एसएससी सीजीएल टियर 1 2016 मात्रात्मक अभिक्षमता प्रश्न — हल सहित

व्याख्या

13851 में जोड़ी जाने वाली वह न्यूनतम संख्या ज्ञात करने के लिए जिससे यह 87 से पूर्णतः विभाज्य हो जाए, हम सबसे पहले शेषफल ज्ञात करने के लिए 13851 को 87 से विभाजित करते हैं।

13851 = (87 × 159) + 18

13851 को 87 से विभाजित करने पर 18 शेषफल प्राप्त होता है। किसी संख्या में कोई मान जोड़ने के बाद उसे भाजक से पूर्णतः विभाज्य बनाने के लिए, आवश्यक मान की गणना इस सूत्र का उपयोग करके की जाती है:

जोड़ी जाने वाली संख्या = भाजक - शेषफल

सूत्र में मान रखने पर: अभीष्ट संख्या = 87 - 18 = 69

13851 में 69 जोड़ने पर 13920 प्राप्त होता है, जो कि 87 का ठीक 160 गुना है।

व्याख्या

माना संख्याएँ 3x और 5x हैं। प्रश्न के अनुसार, (3x + 6) / (5x + 6) = 2/3, जिससे 3(3x + 6) = 2(5x + 6) प्राप्त होता है, जिसके परिणामस्वरूप 9x + 18 = 10x + 12, या x = 6 प्राप्त होता है। वे संख्याएँ 3(6) = 18 और 5(6) = 30 हैं।

व्याख्या

नए पार्सल का वजन 11 पार्सल के कुल वजन और शुरुआती 10 पार्सल के कुल वजन के बीच के अंतर की गणना करके निर्धारित किया जा सकता है। सबसे पहले, मूल 10 पार्सल का कुल वजन 10 × 1.7 = 17 किग्रा है। प्रश्न के अनुसार, एक नया पार्सल जोड़ने से औसत वजन 60 ग्राम कम हो जाता है, जो कि 0.06 किग्रा के बराबर है। इसलिए, 11 पार्सल का नया औसत वजन 1.7 - 0.06 = 1.64 किग्रा है।

11 पार्सल का कुल वजन 11 × 1.64 = 18.04 किग्रा है। इस नए कुल वजन में से प्रारंभिक कुल वजन को घटाकर, हमें जोड़े गए पार्सल का वजन प्राप्त होता है: 18.04 - 17 = 1.04 किग्रा।

एक त्वरित तरीका औसत में जोड़े गए मान के सूत्र का उपयोग करता है: वजन = पुराना औसत + (नई संख्या × औसत में परिवर्तन)। दिए गए मानों को प्रतिस्थापित करने पर, जहाँ कमी के कारण परिवर्तन ऋणात्मक है: 1.7 + (11 × -0.06) = 1.7 - 0.66 = 1.04 किग्रा।

व्याख्या

अंश सर्वसमिका x³ + y³ + z³ - 3xyz = (x + y + z)(x² + y² + z² - xy - yz - zx) का अनुसरण करता है। जब x, y, z सार्व अंतर d के साथ एक समांतर श्रेणी (arithmetic progression) में होते हैं, तो पद x² + y² + z² - xy - yz - zx सरल होकर 3d² हो जाता है।

दिया गया है कि x = 999, y = 1000, z = 1001, ये मान d = 1 के साथ समांतर श्रेणी में हैं।

अंश की गणना इस प्रकार की जाती है: (x + y + z) · 3d² = (999 + 1000 + 1001) · 3(1)² = 3000 × 3 = 9000

हर है: x - y + z = 999 - 1000 + 1001 = 1000

व्यंजक का मान है: ⁹⁰⁰⁰⁄₁₀₀₀ = 9

व्याख्या

व्यंजक ¹⁄₁₋₂ₐ + (1)/(1-2b) + (1)/(1-2c) का मान ज्ञात करने के लिए, हम दिए गए समीकरण के घटकों का उपयोग करके प्रत्येक पद को पुनर्गठित कर सकते हैं। हम प्रत्येक पद के लिए निम्नलिखित बीजगणितीय सर्वसमिका देखते हैं: ¹⁄₁₋₂ₐ = (1 - 2a + 2a)/(1-2a) = ¹⁻²ᵃ⁄₁₋₂ₐ + ²ᵃ⁄₁₋₂ₐ = 1 + 2 ( ᵃ⁄₁₋₂ₐ )

b और c से संबंधित पदों पर भी यही तर्क लागू करने पर, हमें प्राप्त होता है: (1)/(1-2b) = 1 + 2 ( (b)/(1-2b) ) (1)/(1-2c) = 1 + 2 ( (c)/(1-2c) )

इन तीनों समीकरणों को जोड़ने पर प्राप्त होता है: ¹⁄₁₋₂ₐ + (1)/(1-2b) + (1)/(1-2c) = (1 + 1 + 1) + 2 ( ᵃ⁄₁₋₂ₐ + (b)/(1-2b) + (c)/(1-2c) )

हमें दिया गया है कि ᵃ⁄₁₋₂ₐ + (b)/(1-2b) + (c)/(1-2c) = ½ है। इस मान को हमारे योग में प्रतिस्थापित करने पर: मान = 3 + 2 ( ½ ) = 3 + 1 = 4

व्याख्या

किसी भी त्रिभुज △ ABC में, वह बिंदु जहाँ कोण समद्विभाजक मिलते हैं, अंतःकेंद्र (incenter) होता है। आधार कोणों ∠ B और ∠ C के समद्विभाजकों द्वारा अंतःकेंद्र D पर बनने वाला कोण सूत्र ∠ BDC = 90° + (∠ A)/(2) द्वारा दिया जाता है।

दिया गया है कि ∠ A = 80°, इस मान को सूत्र में रखने पर प्राप्त होता है:

∠ BDC = 90° + (80°)/(2)

∠ BDC = 90° + 40°

∠ BDC = 130°

वैकल्पिक रूप से, चूंकि AB = AC है, इसलिए आधार कोण बराबर हैं। त्रिभुज के कोण योग गुण (angle sum property) का उपयोग करने पर, ∠ B + ∠ C = 180° - 80° = 100°, इसलिए ∠ B = ∠ C = 50°। समद्विभाजक △ BDC बनाते हैं जहाँ ∠ DBC = (50°)/(2) = 25° और ∠ DCB = (50°)/(2) = 25° है। △ BDC में, कोणों का योग 180° होता है, इसलिए ∠ BDC = 180° - (25° + 25°) = 130°।

व्याख्या

एक वृत्त में, केंद्र से जीवा पर खींचा गया लंब उस जीवा को समद्विभाजित करता है। यह रचना एक समकोण त्रिभुज बनाती है जहाँ कर्ण त्रिज्या r = 13 सेमी है, लंब केंद्र से दूरी d = 12 सेमी है, और आधार जीवा की लंबाई का आधा x है। पाइथागोरस प्रमेय के अनुसार:

r² = d² + x²

दिए गए मानों को प्रतिस्थापित करने पर:

13² = 12² + x² 169 = 144 + x² x² = 169 - 144 = 25 x = √(25) = 5 सेमी

चूंकि x जीवा का केवल आधा हिस्सा है, इसलिए जीवा की कुल लंबाई 2x = 2 × 5 = 10 सेमी है।

व्याख्या

दिया गया समीकरण 7cos²θ + 3sin²θ = 4 है। त्रिकोणमितीय सर्वसमिका sin²θ = 1 - cos²θ का उपयोग करके, हम पूरे समीकरण को cosθ के पदों में व्यक्त कर सकते हैं:

7cos²θ + 3(1 - cos²θ) = 4

पद का विस्तार करने पर, हमें प्राप्त होता है:

7cos²θ + 3 - 3cos²θ = 4

4cos²θ = 4 - 3

4cos²θ = 1

cos²θ = ¼

धनात्मक न्यून कोण θ के लिए वर्गमूल लेने पर:

cosθ = ½

न्यून कोणों की सीमा में cosθ = ½ के लिए θ का मान 60° है।

व्याख्या

छह अंकों की सबसे छोटी संख्या 100,000 है। छह अंकों की सबसे छोटी पूर्ण वर्ग संख्या ज्ञात करने के लिए, हम 100,000 का वर्गमूल ज्ञात करते हैं। चूंकि √(100,000) ≈ 316.22 है, इसलिए वह सबसे छोटा पूर्णांक जिसका वर्ग छह अंकों की संख्या देता है, 317 है।

सर्वसमिका (a+b)² = a² + 2ab + b² का उपयोग करके, जहाँ a = 310 और b = 7 है:

317² = (310 + 7)² 317² = 310² + 2(310)(7) + 7² 317² = 96,100 + 4,340 + 49 317² = 100,489

वैकल्पिक रूप से, a = 300 और b = 17 का उपयोग करके: 317² = 300² + 2(300)(17) + 17² 317² = 90,000 + 10,200 + 289 = 100,489

यह मान छह अंकों की सीमा तक पहुँचने वाले पहले पूर्ण वर्ग को दर्शाता है।

व्याख्या

जब किसी ठोस को पिघलाकर दूसरे आकार में ढाला जाता है, तो कुल आयतन अपरिवर्तित रहता है। सबसे पहले, इकाइयों को सेंटीमीटर में बदलें: त्रिज्या r = 3.2 dm = 32 सेमी, और प्रत्येक घन की भुजा a = 8 सेमी।

बेलनाकार छड़ का आयतन V = π r² h द्वारा दिया जाता है, और 44 घनों का आयतन V = 44 × a³ है। दोनों आयतनों की तुलना करने पर:

²²⁄₇ × (32)² × h = 44 × 8³

²²⁄₇ × 1024 × h = 44 × 512

दोनों पक्षों को 512 से विभाजित करने पर:

²²⁄₇ × 2 × h = 44

⁴⁴⁄₇ × h = 44

h = 7 सेमी

व्याख्या

मान लीजिए मीनार की ऊंचाई h है। मान लीजिए कि दो बिंदु मीनार के आधार से एक ही सीधी रेखा में क्रमशः a = 4 मीटर और b = 9 मीटर की दूरी पर हैं। मान लीजिए 4 मीटर की दूरी पर स्थित बिंदु से उन्नयन कोण θ है। चूंकि उन्नयन कोण पूरक हैं, इसलिए 9 मीटर की दूरी पर स्थित बिंदु से उन्नयन कोण 90° - θ होगा।

पहले बिंदु से, संबंध tan θ = h/4 है। दूसरे बिंदु से, संबंध tan(90° - θ) = h/9 है। त्रिकोणमितीय सर्वसमिका tan(90° - θ) = cot θ का उपयोग करने पर, दूसरा समीकरण cot θ = h/9 बन जाता है।

इन दोनों समीकरणों को आपस में गुणा करने पर tan θ · cot θ = (h/4) · (h/9) प्राप्त होता है। चूंकि tan θ · cot θ = 1 होता है, इसलिए यह समीकरण सरल होकर 1 = (h²)/(36) हो जाता है, जिससे h² = 36 प्राप्त होता है। वर्गमूल लेने पर, h = 6 मीटर। यह आधार से a और b दूरियों से पूरक उन्नयन कोणों के लिए मानक ऊंचाई और दूरी के सूत्र h = √(ab) का अनुसरण करता है। a = 4 और b = 9 मान रखने पर h = √(36) = 6 मीटर प्राप्त होता है।

व्याख्या

जब किसी मात्रा में a% और b% के दो क्रमिक प्रतिशत परिवर्तन होते हैं, तो शुद्ध प्रतिशत परिवर्तन की गणना सूत्र (a + b + ᵃᵇ⁄₁₀₀)% का उपयोग करके की जाती है। इस परिदृश्य में, संख्या में पहले 10% की कमी की जाती है, जिससे a = -10 हो जाता है, और फिर 10% की वृद्धि की जाती है, जिससे b = +10 हो जाता है।

सूत्र में इन मानों को प्रतिस्थापित करने पर: शुद्ध परिवर्तन = (-10 + 10 + (-10 × 10)/(100))% शुद्ध परिवर्तन = (0 - ¹⁰⁰⁄₁₀₀)% = -1%

ऋणात्मक परिणाम कमी को दर्शाता है। इसे प्रारंभिक मान को 100 मानकर भी समझा जा सकता है। 10% की कमी के बाद, मान 90 हो जाता है। इस नए मान में 10% (जो कि 9 है) की वृद्धि करने पर परिणाम 99 प्राप्त होता है। 100 से 99 तक का कुल परिवर्तन 1 की कमी है, जो 1% की कमी के अनुरूप है।

व्याख्या

ऊर्ध्वाधर खंभे और जमीन पर उसकी छाया द्वारा बनने वाले समकोण त्रिभुज में, खंभे की ऊंचाई लंब (perpendicular) के रूप में और छाया आधार (base) के रूप में कार्य करती है। सूर्य का उन्नयन कोण θ वह कोण है जिस पर छाया खंभे के शीर्ष से मिलती है।

स्पर्शज्या (tangent) के त्रिकोणमितीय अनुपात का उपयोग करने पर: tan θ = (लंब)/(आधार) = (खंभे की ऊंचाई)/(छाया की लंबाई)

दिए गए मानों को प्रतिस्थापित करने पर: tan θ = (15)/(15){√3} tan θ = 15 × √3{15} tan θ = √3

चूंकि tan 60° = √3, इसलिए θ का मान 60° है।

व्याख्या

दिए गए समीकरण 2y cosθ = x sinθ को y के पदों में x को व्यक्त करने के लिए पुनर्व्यवस्थित किया जा सकता है: x = (2y cosθ)/(sinθ)। x के इस मान को दूसरे समीकरण 2x secθ - y cscθ = 3 में प्रतिस्थापित करने पर:

2((2y cosθ)/(sinθ)) (1)/(cosθ) - (y)/(sinθ) = 3

पहले भाग में cosθ के पद आपस में कट जाते हैं, जिससे समीकरण सरल होकर निम्न रूप में आ जाता है:

(4y)/(sinθ) - (y)/(sinθ) = 3 (3y)/(sinθ) = 3 y = sinθ

अब, x का मान ज्ञात करने के लिए y = sinθ को वापस पहले समीकरण में प्रतिस्थापित करने पर:

x sinθ = 2(sinθ) cosθ x = 2 cosθ

x² + 4y² का मान ज्ञात करने के लिए, x और y के प्राप्त मानों को प्रतिस्थापित करने पर:

x² + 4y² = (2 cosθ)² + 4(sinθ)² x² + 4y² = 4 cos²θ + 4 sin²θ x² + 4y² = 4(cos²θ + sin²θ)

मूलभूत त्रिकोणमितीय सर्वसमिका sin²θ + cos²θ = 1 का उपयोग करने पर:

x² + 4y² = 4(1) = 4

व्याख्या

2 वर्ष की अवधि के लिए, चक्रवृद्धि ब्याज और साधारण ब्याज के बीच का अंतर सूत्र D = P × (ʳ⁄₁₀₀)² द्वारा दिया जाता है, जहाँ D अंतर है, P मूलधन है, और r वार्षिक ब्याज दर है।

सूत्र में दिए गए मानों को रखने पर: 96 = 15000 × (ʳ⁄₁₀₀)² 96 = 15000 × (r²)/(10000) 96 = 1.5 × r² r² = (96)/(1.5) r² = ⁹⁶⁰⁄₁₅ r² = 64 r = √(64) r = 8

वार्षिक ब्याज की दर 8% है।

व्याख्या

स्पिरिट और पानी का अनुपात 3:2 है। स्पिरिट और पानी के अनुपात के भागों के बीच का अंतर 3 - 2 = 1 इकाई है। प्रश्न के अनुसार, यह 1 इकाई का अंतर 3 लीटर के वास्तविक अंतर के बराबर है। चूंकि 1 इकाई 3 लीटर को दर्शाती है, इसलिए मिश्रण में किसी भी घटक की मात्रा उसके अनुपात के भाग को 3 से गुणा करके ज्ञात की जा सकती है। अनुपात में स्पिरिट का भाग 3 इकाई है, इसलिए स्पिरिट की कुल मात्रा 3 × 3 = 9 लीटर है।

व्याख्या

जब x वस्तुओं का क्रय मूल्य y वस्तुओं के विक्रय मूल्य के बराबर होता है, तो लाभ या हानि प्रतिशत की गणना सूत्र (x - y)/(y) × 100 का उपयोग करके की जाती है। इस प्रश्न में, x = 25 पेनों का क्रय मूल्य y = 20 पेनों के विक्रय मूल्य के बराबर है। इन मानों को सूत्र में रखने पर, लाभ प्रतिशत (25 - 20)/(20) × 100 = ⁵⁄₂₀ × 100 है। इस समीकरण को सरल करने पर ¼ × 100 प्राप्त होता है, जिसका परिणाम 25 प्रतिशत होता है। वैकल्पिक रूप से, यदि हम मान लें कि एक पेन का क्रय मूल्य 1 इकाई है, तो 25 पेनों का कुल क्रय मूल्य 25 इकाई होगा। चूंकि यह केवल 20 पेनों को बेचने से प्राप्त राजस्व है, इसलिए प्रति पेन विक्रय मूल्य ²⁵⁄₂₀ = 1.25 इकाई है। प्रति पेन लाभ 1.25 - 1 = 0.25 इकाई है, जिससे लाभ प्रतिशत (0.25)/(1) × 100 = 25% प्राप्त होता है।

व्याख्या

x% और y% के दो क्रमिक प्रतिशत परिवर्तनों के लिए शुद्ध प्रतिशत परिवर्तन की गणना सूत्र x + y + ˣʸ⁄₁₀₀ का उपयोग करके की जाती है।

चूंकि दोनों ही मामलों में संख्या में कमी की गई है, इसलिए हम x = -10 और y = -20 लेते हैं। इन मानों को सूत्र में रखने पर प्राप्त होता है:

शुद्ध प्रतिशत परिवर्तन = -10 + (-20) + ((-10 × -20))/(100)

शुद्ध प्रतिशत परिवर्तन = -30 + ²⁰⁰⁄₁₀₀

शुद्ध प्रतिशत परिवर्तन = -30 + 2 = -28%

ऋणात्मक चिह्न 28% की कुल कमी को दर्शाता है। वैकल्पिक रूप से, यदि हम मानते हैं कि प्रारंभिक संख्या 100 है, तो 10% की पहली कमी इसे घटाकर 90 कर देती है। 20% की दूसरी कमी 90 पर लागू होती है, जो कि 0.20 × 90 = 18 है। अंतिम मान 90 - 18 = 72 है। मूल 100 से कुल कमी 100 - 72 = 28 है।

व्याख्या

जब दो वस्तुएं एक ही दिशा में गति करती हैं, तो उनकी सापेक्ष गति उनकी व्यक्तिगत गतियों का अंतर होती है। यहाँ, A से चलने वाली कार की गति V₁ = 35 किमी/घंटा है और B से चलने वाली कार की गति V₂ = 25 किमी/घंटा है।

सापेक्ष गति Vᵣₑₗ = V₁ - V₂ = 35 - 25 = 10 किमी/घंटा।

दोनों कारों के बीच की प्रारंभिक दूरी D = 60 किमी है। कारों के मिलने में लगने वाले समय की गणना प्रारंभिक दूरी को सापेक्ष गति से विभाजित करके की जाती है:

समय = (दूरी) / (सापेक्ष गति)

समय = ⁶⁰⁄₁₀ = 6 घंटे।

व्याख्या

साधारण ब्याज (SI) की गणना सूत्र SI = (P × R × T)/(100) का उपयोग करके की जाती है, जहाँ P मूलधन है, R वार्षिक ब्याज दर है, और T वर्षों में समय है।

दिया गया है कि SI = 60, R = 6, और T = 5, मूलधन ज्ञात करने के लिए हम इन मानों को सूत्र में रख सकते हैं:

60 = (P × 6 × 5)/(100)

अंश में मानों का गुणा करने पर: 60 = (30P)/(100)

भिन्न को सरल करने पर: 60 = (3P)/(10)

P का मान ज्ञात करने के लिए, दोनों पक्षों को 10 से गुणा करें और 3 से विभाजित करें: 3P = 600 P = ⁶⁰⁰⁄₃ P = 200

व्याख्या

किसी भी वास्तविक संख्या का वर्ग हमेशा गैर-ऋणात्मक होता है। इसलिए, कई वर्गों का योग शून्य होने के लिए, प्रत्येक व्यक्तिगत वर्ग पद को स्वतंत्र रूप से शून्य के बराबर होना चाहिए।

दिए गए समीकरण (x - 3)² + (y - 4)² + (z - 5)² = 0 में, जहाँ x, y, और z वास्तविक संख्याएँ हैं, हम प्रत्येक घटक को शून्य के बराबर रख सकते हैं:

(x - 3)² = 0 ⟹ x = 3 (y - 4)² = 0 ⟹ y = 4 (z - 5)² = 0 ⟹ z = 5

व्यंजक (x + y + z) का मान ज्ञात करने के लिए, हम इन निर्धारित मानों को प्रतिस्थापित करते हैं: x + y + z = 3 + 4 + 5 = 12

व्याख्या

दिए गए समीकरण 2x + ¹⁄₃ₓ = 5 से, भिन्न को हटाने के लिए दोनों पक्षों को 3x से गुणा करें: 3x(2x) + 3x(¹⁄₃ₓ) = 5(3x) 6x² + 1 = 15x

वह व्यंजक जिसका मान ज्ञात करना है, (5x)/(6x² + 20x + 1) है। हर के पदों को पुनर्व्यवस्थित करने पर प्राप्त मान का सीधे प्रतिस्थापन किया जा सकता है: (5x)/((6x² + 1) + 20x)

हर में 6x² + 1 = 15x प्रतिस्थापित करने पर: (5x)/(15x + 20x) = ⁵ˣ⁄₃₅ₓ

अंश और हर दोनों को 5x से विभाजित करने पर प्राप्त होता है: ⅐

व्याख्या

किसी त्रिभुज का लंबकेंद्र वह संगामी बिंदु होता है जहाँ त्रिभुज के तीनों शीर्षलंब मिलते हैं। शीर्षलंब को त्रिभुज के किसी शीर्ष से सम्मुख भुजा पर खींचे गए लंबवत रेखाखंड के रूप में परिभाषित किया जाता है। त्रिभुज के प्रकार के आधार पर, लंबकेंद्र की स्थिति भिन्न होती है: यह न्यूनकोण त्रिभुज के अंदर, समकोण त्रिभुज में समकोण वाले शीर्ष पर, और अधिककोण त्रिभुज में त्रिभुज के बाहर स्थित होता है। सभी तीनों शीर्षलंबों के लिए इस एकल प्रतिच्छेद बिंदु का अस्तित्व यूक्लिडीय ज्यामिति का एक मूलभूत गुण है।

व्याख्या

एक चक्रीय चतुर्भुज ABCD में, सम्मुख कोणों का योग 180° होता है। इसलिए, ∠ ABC + ∠ ADC = 180°। चूंकि AD ∥ BC है, रेखा CD एक तिर्यक रेखा के रूप में कार्य करती है, और अंतः सह-कोणों का योग 180° होता है, जिससे ∠ BCD + ∠ ADC = 180° प्राप्त होता है।

इन दोनों व्यंजकों को बराबर करने पर: ∠ ABC + ∠ ADC = ∠ BCD + ∠ ADC

दोनों पक्षों से ∠ ADC घटाने पर, हमें प्राप्त होता है कि ∠ ABC = ∠ BCD। चूंकि ∠ ABC = 70° दिया गया है, इसलिए ∠ BCD का मान भी 70° होना चाहिए। यह संबंध इसलिए लागू होता है क्योंकि कोई भी चक्रीय समलम्ब चतुर्भुज अनिवार्य रूप से एक समद्विबाहु समलम्ब चतुर्भुज होता है, जिसका अर्थ है कि प्रत्येक समांतर आधार के आसन्न कोण बराबर होते हैं।

व्याख्या

कोण 63° और 27° पूरक कोण हैं क्योंकि 63° + 27° = 90° है। त्रिकोणमितीय पूरक कोण सर्वसमिकाओं के अनुसार, tan(90° - θ) = cot θ, जिसका अर्थ है कि tan 63° = tan(90° - 27°) = cot 27°।

हमें दिया गया है कि cos 27° = x। मूल सर्वसमिका sin² θ + cos² θ = 1 का उपयोग करके, हम sin 27° का मान √(1 - cos² 27°) = √(1 - x²) के रूप में निर्धारित कर सकते हैं। चूंकि cot θ = (cos θ)/(sin θ) होता है, इसलिए 27° के लिए मानों को प्रतिस्थापित करने पर cot 27° = (cos 27°)/(sin 27°) = (x)/(√(1 - x²)) प्राप्त होता है। इसलिए, tan 63° = (x)/(√(1 - x²)) है।

व्याख्या

एक समांतर श्रेणी के n पदों का योग सूत्र Sₙ = ⁿ⁄₂[2a + (n-1)d] द्वारा दिया जाता है और n-वें पद को aₙ = a + (n-1)d के रूप में परिभाषित किया जाता है, जहाँ a प्रथम पद है और d सार्वअंतर है।

दिया गया है कि तीसरा पद a₃ = 19: a + (3-1)d = 19 a + 2d = 19 (समीकरण 1)

दिया गया है कि 10 पदों का योग S₁₀ = 390: ¹⁰⁄₂[2a + (10-1)d] = 390 5[2a + 9d] = 390 2a + 9d = 78 (समीकरण 2)

a का मान ज्ञात करने के लिए, हम समीकरण 1 से 2d को 2d = 19 - a के रूप में व्यक्त कर सकते हैं, जिससे d = (19 - a)/(2) प्राप्त होता है। इसे समीकरण 2 में प्रतिस्थापित करने पर: 2a + 9((19 - a)/(2)) = 78 भिन्न को हटाने के लिए पूरे समीकरण को 2 से गुणा करने पर: 4a + 9(19 - a) = 156 4a + 171 - 9a = 156 -5a = 156 - 171 -5a = -15 a = 3

व्याख्या

मिश्रण (alligation) की विधि का उपयोग करते हुए, उत्तीर्ण उम्मीदवारों और अनुत्तीर्ण उम्मीदवारों का अनुपात उनके संबंधित औसत की तुलना समग्र औसत से करके निर्धारित किया जाता है। समग्र औसत 30 और अनुत्तीर्ण औसत 10 के बीच का अंतर 20 है, जबकि उत्तीर्ण औसत 35 और समग्र औसत 30 के बीच का अंतर 5 है। इस प्रकार, उत्तीर्ण और अनुत्तीर्ण उम्मीदवारों का अनुपात 20 : 5 है, जो सरल होकर 4 : 1 हो जाता है। चूंकि उम्मीदवारों की कुल संख्या 100 है, जो कुल 4 + 1 = 5 भागों को दर्शाती है, इसलिए उत्तीर्ण उम्मीदवारों की संख्या की गणना ⅘ × 100 = 80 के रूप में की जाती है। वैकल्पिक रूप से, बीजगणितीय दृष्टिकोण का उपयोग करते हुए, माना उत्तीर्ण उम्मीदवारों की संख्या x है। सभी उम्मीदवारों द्वारा प्राप्त कुल अंक 100 × 30 = 3000 हैं। यह कुल अंक उत्तीर्ण और अनुत्तीर्ण उम्मीदवारों के अंकों का योग है: 35x + 10(100 - x) = 3000. समीकरण का विस्तार करने पर 35x + 1000 - 10x = 3000 प्राप्त होता है, जो सरल होकर 25x = 2000 हो जाता है। x का मान ज्ञात करने पर 80 प्राप्त होता है।

व्याख्या

दो संख्याओं के अंतर के वर्ग को उनके योग और गुणनफल से जोड़ने वाली बीजीय सर्वसमिका (a - b)² = (a + b)² - 4ab है। इस सूत्र में दिए गए मानों a + b = 10 और ab = 21 को प्रतिस्थापित करने पर (a - b)² = (10)² - 4(21) प्राप्त होता है। इसकी गणना करने पर 100 - 84 = 16 प्राप्त होता है। वैकल्पिक रूप से, संख्याओं a और b को 7 और 3 के रूप में पहचाना जा सकता है, क्योंकि 7 + 3 = 10 और 7 × 3 = 21 है। इस प्रकार (a - b)² का मान (7 - 3)² = 4² = 16 है।

व्याख्या

दिया गया व्यंजक (x - 4)(x² + 4x + 16) दो घनों के अंतर के मानक बीजगणितीय सर्वसमिका से मेल खाता है, जो कि (a - b)(a² + ab + b²) = a³ - b³ है। इस विशिष्ट मामले में, a = x और b = 4 रखने पर, मध्य पद आवश्यक पैटर्न के अनुरूप हो जाते हैं क्योंकि ab = 4x और b² = 4² = 16 है। सर्वसमिका को लागू करने पर, हमें (x - 4)(x² + 4x + 16) = x³ - 4³ प्राप्त होता है। अचर के घन की गणना करने पर, 4³ = 4 × 4 × 4 = 64 प्राप्त होता है। परिणामी व्यंजक x³ - 64 की तुलना दिए गए रूप x³ - P से करने पर, यह स्पष्ट है कि P = 64 है।

व्याख्या

किसी भी त्रिभुज में, केंद्रक G माध्यिका AM (जहाँ M, BC का मध्यबिंदु है) को 2:1 के अनुपात में विभाजित करता है। इसका अर्थ है कि AG = ⅔ AM और GM = ⅓ AM। प्रश्न में दिया गया है कि AG = BC है। इसे अनुपात में प्रतिस्थापित करने पर, हमें BC = ⅔ AM प्राप्त होता है, जिससे तात्पर्य है कि AM = ³⁄₂ BC।

अब, हम BC के पदों में GM की लंबाई की गणना करते हैं: GM = ⅓ AM = ⅓ (³⁄₂ BC) = ½ BC

चूंकि M, BC का मध्यबिंदु है, इसलिए रेखाखंड BM और MC दोनों ½ BC के बराबर हैं। इसलिए, Δ BGC में, हमारे पास GM = BM = MC का संबंध है। यह दर्शाता है कि बिंदु G एक ऐसे वृत्त पर स्थित है जिसका व्यास BC है और केंद्र M है। ज्यामिति में, व्यास द्वारा परिधि पर किसी भी बिंदु पर अंतरित कोण हमेशा एक समकोण होता है। परिणामस्वरूप, ∠ BGC = 90°।

व्याख्या

एक वृत्त में, केंद्र को जीवा के सिरों से जोड़ने वाली त्रिज्याएँ और स्वयं जीवा मिलकर एक समद्विबाहु त्रिभुज बनाती हैं। यदि जीवा केंद्र पर समकोण अंतरित करती है, तो यह त्रिभुज एक समकोण समद्विबाहु त्रिभुज होता है जहाँ त्रिज्याएँ दो भुजाओं को दर्शाती हैं और जीवा कर्ण को दर्शाती है। पाइथागोरस प्रमेय को लागू करने पर, संबंध r² + r² = c² होता है, जहाँ r त्रिज्या है और c जीवा की लंबाई है। समीकरण में दिए गए मान c = 5√2 सेमी को प्रतिस्थापित करने पर, हमें 2r² = (5√2)² प्राप्त होता है। इसे सरल करने पर 2r² = 25 × 2 प्राप्त होता है, जो आगे सरल होकर 2r² = 50 हो जाता है। 2 से विभाजित करने पर, हमें r² = 25 प्राप्त होता है, और वर्गमूल लेने पर r = 5 सेमी प्राप्त होता है।

व्याख्या

दिया गया समीकरण cos² x + cos⁴ x = 1 है। पदों को पुनर्व्यवस्थित करने पर, हमें cos⁴ x = 1 - cos² x प्राप्त होता है। सर्वसमिका sin² x + cos² x = 1 का उपयोग करने पर, यह सरल होकर cos⁴ x = sin² x हो जाता है। इस समीकरण के दोनों पक्षों को cos⁴ x से विभाजित करने पर, हमें 1 = (sin² x)/(cos⁴ x) प्राप्त होता है। इस व्यंजक को 1 = (sin² x)/(cos² x) · (1)/(cos² x) के रूप में गुणनखंडित किया जा सकता है। त्रिकोणमितीय अनुपातों tan² x = (sin² x)/(cos² x) और sec² x = (1)/(cos² x) को प्रतिस्थापित करने पर, समीकरण 1 = tan² x · sec² x बन जाता है। सर्वसमिका sec² x = 1 + tan² x को लागू करने पर, हमें 1 = tan² x (1 + tan² x) प्राप्त होता है, जिसका विस्तार करने पर 1 = tan² x + tan⁴ x प्राप्त होता है।

व्याख्या

एक समान ऊंचाई h पर उड़ रहे हवाई जहाज की गति, जब समय t में उन्नयन कोण ₁ से ₂ में परिवर्तित होता है, इस सूत्र द्वारा दी जाती है: v = (h(cot ₂ - cot ₁))/(t)

दिया गया है: h = 2500 मीटर, ₁ = 45°, ₂ = 30°, और t = 15 सेकंड, इन मानों को प्रतिस्थापित करने पर: v = (2500(cot 30° - cot 45°))/(15) v = 2500(√3 - 1){15} मी/से

गति को मी/से से किमी/घंटा में बदलने के लिए, हम इसे ¹⁸⁄₅ गुणांक से गुणा करते हैं: किमी/घंटा में गति = 2500(√3 - 1){15} × ¹⁸⁄₅ किमी/घंटा में गति = 500(√3 - 1){3} × ¹⁸⁄₅ किमी/घंटा में गति = 100(√3 - 1) × 6 किमी/घंटा में गति = 600(√3 - 1)

व्याख्या

एक ठोस गोले का आयतन V = ⁴⁄₃ π r³ द्वारा दिया जाता है, जिसे व्यास D के रूप में V = ⅙ π D³ के रूप में व्यक्त किया जा सकता है। जब n छोटे गोलों को पिघलाकर एक बड़ा गोला बनाया जाता है, तो बड़े गोले का आयतन छोटे गोलों के आयतनों के योग के बराबर होता है।

माना नए गोले का व्यास D है और छोटे गोलों का व्यास d है। n × ⅙ π d³ = ⅙ π D³

समान पदों को काटकर समीकरण को सरल करने पर: n × d³ = D³ D = d × ³√n

दिए गए मानों n = 1000 और d = 6 सेमी को प्रतिस्थापित करने पर: D = 6 × ³√(1000) D = 6 × 10 D = 60 सेमी

व्याख्या

कार्यकर्ताओं, समय और कार्य के बीच के संबंध को सूत्र (M₁ D₁)/(W₁) = (M₂ D₂)/(W₂) द्वारा व्यक्त किया जाता है, जहाँ M मकड़ियों की संख्या को दर्शाता है, D दिनों की संख्या को दर्शाता है, और W जालों की संख्या को दर्शाता है।

दिया गया है कि 7 मकड़ियाँ 7 दिनों में 7 जाल बनाती हैं, इसलिए हमारे पास M₁ = 7, D₁ = 7, और W₁ = 7 है। 1 मकड़ी (M₂ = 1) द्वारा 1 जाल (W₂ = 1) बनाने में लगने वाले समय D₂ को ज्ञात करने के लिए, इन मानों को सूत्र में रखें:

(7 × 7)/(7) = (1 × D₂)/(1)

7 = D₂

तार्किक रूप से, यदि एक साथ काम करने वाली 7 मकड़ियाँ 7 दिनों में 7 जाल बनाती हैं, तो इसका अर्थ है कि प्रत्येक व्यक्तिगत मकड़ी अपने स्वयं के जाल पर काम कर रही है और इसे पूरा करने में पूरे 7 दिन लेती है। इसलिए, एक मकड़ी को एक जाल पूरा करने में 7 दिन लगेंगे।

व्याख्या

पंखे का अंकित मूल्य 150 रुपये है। 20% (30 रुपये) की पहली छूट के बाद, मूल्य 150 - 30 = 120 रुपये हो जाता है। 108 रुपये के अंतिम शुद्ध मूल्य तक पहुँचने के लिए, 12 रुपये की अतिरिक्त छूट दी जानी चाहिए (120 - 108 = 12)। इस अतिरिक्त छूट के प्रतिशत की गणना घटे हुए मूल्य पर की जाती है: (12 / 120) × 100 = 10%। चूंकि 10% विकल्प A, B, या C में से नहीं है, इसलिए सही विकल्प "इनमें से कोई नहीं" है।

व्याख्या

मान लीजिए कि दिए गए अनुपात 1 : 2 : 3 के आधार पर तीनों संख्याएँ x, 2x और 3x हैं। उनके घनों के योग को समीकरण x³ + (2x)³ + (3x)³ = 4500 द्वारा व्यक्त किया जाता है।

पदों का विस्तार करने पर, हमें प्राप्त होता है: x³ + 8x³ + 27x³ = 4500 36x³ = 4500

x³ का मान ज्ञात करने के लिए, 4500 को 36 से विभाजित करें: x³ = ⁴⁵⁰⁰⁄₃₆ x³ = 125

दोनों पक्षों का घनमूल लेने पर: x = ³√(125) = 5

सबसे छोटी संख्या अनुपात के पहले भाग के अनुरूप है, जो कि x है। इसलिए, सबसे छोटी संख्या 5 है।

व्याख्या

क्रय मूल्य (CP), विक्रय मूल्य (SP) और लाभ प्रतिशत के बीच का संबंध सूत्र SP = CP × (1 + (लाभ%)/(100)) द्वारा दिया गया है। यह देखते हुए कि विक्रय मूल्य ₹ 390 है और लाभ 20% है, समीकरण को इस प्रकार लिखा जा सकता है: 390 = CP × (1 + ²⁰⁄₁₀₀)।

कोष्ठक के पद को सरल करने पर 390 = CP × ¹²⁰⁄₁₀₀ प्राप्त होता है, जो आगे सरल होकर 390 = CP × 1.2 हो जाता है। क्रय मूल्य ज्ञात करने के लिए, विक्रय मूल्य को 1.2 से विभाजित करें:

CP = (390)/(1.2)

CP = ³⁹⁰⁰⁄₁₂

CP = 325

वैकल्पिक रूप से, भिन्न विधि का उपयोग करते हुए, 20% लाभ का अर्थ है कि विक्रय मूल्य, क्रय मूल्य का ⁶⁄₅ है। इसलिए, CP = 390 × ⅚। 390 को 6 से विभाजित करने पर 65 प्राप्त होता है, और 65 को 5 से गुणा करने पर 325 प्राप्त होता है।

व्याख्या

मान लीजिए कि द्रव का प्रारंभिक आयतन 100 इकाई है। चूंकि द्रव के जमने पर आयतन में 4% की वृद्धि होती है, इसलिए प्राप्त ठोस का आयतन होगा: 100 + (100 का 4%) = 100 + 4 = 104 इकाई

जब ठोस पुनः पिघलकर द्रव बनता है, तो आयतन 104 इकाई से घटकर वापस प्रारंभिक 100 इकाई हो जाता है। आयतन में वास्तविक कमी है: 104 - 100 = 4 इकाई

प्रतिशत कमी की गणना ठोस के आयतन को आधार मानकर की जाती है: प्रतिशत कमी = (कमी)/(ठोस का प्रारंभिक आयतन) × 100 प्रतिशत कमी = ⁴⁄₁₀₄ × 100

भिन्न को सरल करने पर: ⁴⁄₁₀₄ = ¹⁄₂₆ ¹⁄₂₆ × 100 = ⁵⁰⁄₁₃ = 3 ¹¹⁄₁₃%

50 को 13 से भाग देने पर भागफल 3 और शेषफल 11 प्राप्त होता है, जिससे मिश्रित भिन्न 3 ¹¹⁄₁₃ प्राप्त होती है।

व्याख्या

माना पैदल चलने में लगा समय t घंटे है। फलस्वरूप, साइकिल पर बिताया गया समय 9 - t घंटे है। तय की गई कुल दूरी दोनों भागों में तय की गई दूरियों का योग है। सूत्र दूरी = गति × समय का उपयोग करके, हम समीकरण 4t + 9(9 - t) = 61 स्थापित कर सकते हैं।

t के लिए हल करने पर: 4t + 81 - 9t = 61 -5t = 61 - 81 -5t = -20 t = 4

व्यक्ति ने 4 घंटे पैदल चलकर बिताए। पैदल तय की गई दूरी 4 किमी/घंटा × 4 घंटे = 16 किमी है।

वैकल्पिक रूप से, मिश्रण के नियम (rule of alligation) का उपयोग करते हुए, पैदल चलने और साइकिल चलाने में बिताए गए समय का अनुपात (9 - 61/9) : (61/9 - 4) है, जो सरल होकर 20/9 : 25/9, या 4:5 का अनुपात हो जाता है। चूंकि कुल समय 9 घंटे है, इसलिए पैदल चलने में बिताया गया समय 4 घंटे है, जिसके परिणामस्वरूप 16 किमी की दूरी तय होती है।

व्याख्या

किसी धनराशि को दोगुना होने के लिए, अर्जित साधारण ब्याज मूलधन (P) के बराबर होना चाहिए, ताकि कुल मिश्रधन A = P + SI = 2P हो जाए। साधारण ब्याज की दर (R) की गणना धनराशि के दोगुने होने के प्रत्यक्ष सूत्र का उपयोग करके की जा सकती है:

R = (100(n - 1))/(T)

जहाँ n वह संख्या है जितने गुना धनराशि बढ़ती है (इस मामले में, n = 2) और T वर्षों में समय है। दिए गए मानों को प्रतिस्थापित करने पर:

n = 2 T = 16½ = ³³⁄₂ वर्ष

R = (100(2 - 1))/(33){2} R = (100 × 2)/(33) R = ²⁰⁰⁄₃₃ R ≈ 6.06%

विकल्पों में दिए गए निकटतम मान तक पूर्णांकित करने पर, ब्याज की दर 6% है।

व्याख्या

तीन घनों के योग के लिए बीजीय सर्वसमिका के अनुसार, a³ + b³ + c³ - 3abc = (a + b + c)(a² + b² + c² - ab - bc - ca) होता है। दी गई शर्त a + b + c = 0 के अनुसार, समीकरण का दायां पक्ष शून्य हो जाता है क्योंकि शून्य से गुणा की गई किसी भी अभिव्यक्ति का परिणाम शून्य होता है। इस प्रकार, समीकरण सरल होकर a³ + b³ + c³ - 3abc = 0 हो जाता है। पद -3abc का समीकरण के दूसरी ओर पक्षांतरण करने पर, हमें a³ + b³ + c³ = 3abc प्राप्त होता है।

व्याख्या

दिया गया व्यंजक (x² + x⁻²)(x² - 1 + x⁻²) मानक बीजगणितीय सर्वसमिका (x¹/³ + x⁻¹/³)(x²/³ - 1 + x⁻²/³) के लिए एक मुद्रण त्रुटि प्रतीत होता है। सर्वसमिका (a + b)(a² - ab + b²) = a³ + b³ को लागू करने पर, जहाँ a = x¹/³ और b = x⁻¹/³ है, हमें (x¹/³)³ + (x⁻¹/³)³ = x + x⁻¹ प्राप्त होता है। यह विकल्प D के रूप से मेल खाता है।

व्याख्या

△ ABC में, चूंकि DE ∥ AC है, इसलिए आधारभूत आनुपातिकता प्रमेय (थेल्स प्रमेय) के अनुसार अन्य दो भुजाओं पर बनने वाले खंड आनुपातिक होते हैं। विशेष रूप से, भुजा AB पर खंडों का अनुपात भुजा BC पर खंडों के अनुपात के बराबर होना चाहिए: (BD)/(DA) = (BE)/(EC)

खंड BD की लंबाई, AB की कुल लंबाई से AD को घटाकर निर्धारित की जाती है: BD = AB - AD = 5 सेमी - 3 सेमी = 2 सेमी

समानुपात समीकरण में BD और AD के मान प्रतिस्थापित करने पर: (BE)/(EC) = 2/3

इसके परिणामस्वरूप अनुपात BE : EC = 2:3 प्राप्त होता है।

व्याख्या

किसी वृत्त में, किसी भी बिंदु पर खींची गई स्पर्श रेखा, स्पर्श बिंदु से होकर जाने वाली त्रिज्या पर लंब होती है। इसलिए, त्रिज्या OT, बिंदु T पर स्पर्श रेखा PT पर लंब है, जिससे △ OTP एक समकोण त्रिभुज बनता है जिसमें T पर समकोण है।

पाइथागोरस प्रमेय के अनुसार: OP² = OT² + PT²

यह दिया गया है कि त्रिज्या OT = 6 सेमी और स्पर्श रेखा की लंबाई PT = 8 सेमी है, इन मानों को सूत्र में रखने पर: OP² = 6² + 8² OP² = 36 + 64 OP² = 100 OP = √(100) = 10 सेमी

व्याख्या

व्यंजक (3sinθ + 2cosθ)/(3sinθ - 2cosθ) का मान ज्ञात करने के लिए, हम अंश और हर दोनों को cosθ से विभाजित कर सकते हैं। यह रूपांतरण हमें संपूर्ण भिन्न को tanθ के पदों में व्यक्त करने की अनुमति देता है क्योंकि (sinθ)/(cosθ) = tanθ और (cosθ)/(cosθ) = 1 है।

व्यंजक इस प्रकार हो जाता है:

(3sinθ)/(cosθ) + 2(cosθ)/(cosθ){3(sinθ)/(cosθ) - 2(cosθ)/(cosθ)} = (3tanθ + 2)/(3tanθ - 2)

यह दिया गया है कि tanθ = ⁴⁄₃ है, हम इस मान को सरलीकृत व्यंजक में प्रतिस्थापित करते हैं:

(3(4)/(3)) + 2{3(⁴⁄₃) - 2} = (4 + 2)/(4 - 2) = ⁶⁄₂ = 3

वैकल्पिक रूप से, त्रिकोणमितीय अनुपात का उपयोग करके जहाँ tanθ = (लंब)/(आधार) = ⁴⁄₃ है, हम लंब p = 4k और आधार b = 3k मान सकते हैं। कर्ण h = √((4k)² + (3k)²) = 5k है। इसलिए, sinθ = ⅘ और cosθ = ⅗ है। मूल व्यंजक में इन मानों को प्रतिस्थापित करने पर:

(3(4)/(5)) + 2(⅗){3(⅘) - 2(⅗)} = (12)/(5) + ⁶⁄₅{¹²⁄₅ - ⁶⁄₅} = (18)/(5){⁶⁄₅} = ¹⁸⁄₆ = 3

व्याख्या

कक्षाओं के लिए अधिकतम संभव आकार ज्ञात करने के लिए, जिससे कि लड़कों और लड़कियों की प्रत्येक कक्षा में छात्रों की संख्या समान हो, हमें लड़कों की संख्या और लड़कियों की संख्या का महत्तम समापवर्तक (HCF) ज्ञात करना होगा।

दिया गया है: लड़कों की संख्या = 391 लड़कियों की संख्या = 323

हम यूक्लिडियन विभाजन एल्गोरिथ्म का उपयोग करके HCF ज्ञात कर सकते हैं: 391 = 323 × 1 + 68 323 = 68 × 4 + 51 68 = 51 × 1 + 17 51 = 17 × 3 + 0

391 और 323 का HCF 17 है। यह दोनों संख्याओं के अभाज्य गुणनखंडन से भी स्पष्ट है: 391 = 17 × 23 323 = 17 × 19

सबसे बड़ा उभयनिष्ठ भाजक 17 है, जो उस अधिकतम समान छात्र संख्या को दर्शाता है जो प्रत्येक कक्षा में हो सकती है, जबकि यह सुनिश्चित किया जाता है कि लड़कों और लड़कियों दोनों को समान आकार की कक्षाओं में सटीक रूप से विभाजित किया गया है।

व्याख्या

दूसरे समूह (मंगलवार से शुक्रवार) और पहले समूह (सोमवार से गुरुवार) के कुल तापमान के बीच का अंतर उनके औसत के अंतर को दिनों की संख्या से गुणा करके निकाला जाता है: अंतर = 4 × (63 - 60) = 4 × 3 = 12°

चूंकि मंगलवार, बुधवार और गुरुवार दोनों समूहों में समान हैं, इसलिए यह अंतर शुक्रवार और सोमवार के बीच के अंतर को दर्शाता है: शुक्रवार - सोमवार = 12°

चूंकि सोमवार और शुक्रवार का अनुपात 21 : 25 दिया गया है, मान लीजिए कि तापमान क्रमशः 21k और 25k है। इन्हें अंतर के समीकरण में रखने पर: 25k - 21k = 12 4k = 12 k = 3

शुक्रवार का तापमान इस प्रकार निकाला जाता है: शुक्रवार = 25k = 25 × 3 = 75°

व्याख्या

दिया गया समीकरण: ¹⁄ₚ + (1)/(q) = (1)/(p+q)

बाईं ओर लघुत्तम समापवर्त्य (LCM) लेने पर, हमें प्राप्त होता है: (q+p)/(pq) = (1)/(p+q)

पदों का तिर्यक गुणन (cross-multiplication) करने पर: (p+q)² = pq p² + 2pq + q² = pq p² + pq + q² = 0

दो घनों के अंतर के लिए बीजगणितीय विस्तार है: p³ - q³ = (p-q)(p² + pq + q²)

विस्तार सूत्र में प्राप्त मान p² + pq + q² = 0 प्रतिस्थापित करने पर: p³ - q³ = (p-q)(0) p³ - q³ = 0

व्याख्या

व्यंजक x² - y² + 10xz + 10yz को बीजगणितीय गुणनखंडन का उपयोग करके सरल बनाया जा सकता है। पदों को समूहीकृत करने पर, हमें (x² - y²) + (10xz + 10yz) प्राप्त होता है। वर्गों के अंतर के सूत्र, x² - y² = (x + y)(x - y) को लागू करने और दूसरे समूह से 10z को उभयनिष्ठ (common) लेने पर, व्यंजक (x + y)(x - y) + 10z(x + y) बन जाता है। उभयनिष्ठ पद (x + y) को बाहर निकालने पर सरल रूप (x + y)(x - y + 10z) प्राप्त होता है।

दिए गए मानों x = 93, y = 93, और z = 94 को गुणनखंडित व्यंजक में प्रतिस्थापित करने पर। सबसे पहले, योग और अंतर की गणना करें: x + y = 93 + 93 = 186 और x - y = 93 - 93 = 0। इन्हें सरलीकृत सूत्र में प्रतिस्थापित करने पर 186 × (0 + 10 × 94) प्राप्त होता है, जो आगे सरल होकर 186 × 940 हो जाता है। गुणनफल ज्ञात करने के लिए, 186 × 94 = 186 × (100 - 6) = 18600 - 1116 = 17484 की गणना करें। इसे 10 से गुणा करने पर अंतिम मान 174840 प्राप्त होता है।