एसएससी सीजीएल टियर 1 2016 मात्रात्मक अभिक्षमता प्रश्न — हल सहित

व्याख्या

6% की हानि और 10% के लाभ के बीच का कुल प्रतिशत अंतर 10% - (-6%) = 16% है। क्रय मूल्य (CP) के मान में यह 16% का परिवर्तन, विक्रय मूल्य में 64 रुपये की वृद्धि को दर्शाता है। मूल्यों में अंतर के सूत्र का उपयोग करने पर:

प्रतिशत में अंतर × CP = विक्रय मूल्य में अंतर

CP का 16% = 64

¹⁶⁄₁₀₀ × CP = 64

CP = (64 × 100)/(16)

CP = 4 × 100 = 400

वस्तु का क्रय मूल्य 400 रुपये है।

व्याख्या

चश्मा पहनने वाले विद्यार्थियों की कुल संख्या की गणना कुल विद्यार्थियों की संख्या के 25% के रूप में की जाती है: S = 1400 × 0.25 = 350

चश्मा पहनने वाले विद्यार्थियों में से 2/7 लड़के हैं। चूंकि समूह में लड़के और लड़कियां शामिल हैं, इसलिए चश्मा पहनने वाली लड़कियों का भिन्न 1 - 2/7 = 5/7 है।

चश्मा पहनने वाली लड़कियों की संख्या ज्ञात करने के लिए, हम इस भिन्न को चश्मा पहनने वाले कुल विद्यार्थियों की संख्या से गुणा करते हैं: लड़कियों की संख्या = 5/7 × 350 लड़कियों की संख्या = 5 × 50 = 250

व्याख्या

शांत जल में किसी व्यक्ति की गति उसकी धारा के अनुकूल गति और धारा के प्रतिकूल गति का औसत होती है। मानक सूत्र का उपयोग करते हुए: शांत जल में गति v = (d + u)/(2) जहाँ d धारा के अनुकूल गति है और u धारा के प्रतिकूल गति है। दिए गए मानों को प्रतिस्थापित करने पर: v = (18 किमी/घंटा + 12 किमी/घंटा)/(2) v = ³⁰⁄₂ v = 15 किमी/घंटा

व्याख्या

दिए गए अनुपात ((a+b)²)/((a-b)²) = ²⁵⁄₄ से, हम (a+b)² को (a-b)² के पदों में (a+b)² = ²⁵⁄₄(a-b)² के रूप में व्यक्त कर सकते हैं। मानक बीजगणितीय सर्वसमिका (a+b)² = (a-b)² + 4ab का उपयोग करते हुए, हम समीकरण में ज्ञात मान ab = 21 प्रतिस्थापित करते हैं:

²⁵⁄₄(a-b)² = (a-b)² + 4(21)

(a-b)² का मान ज्ञात करने के लिए पदों को पुनर्व्यवस्थित करने पर:

²⁵⁄₄(a-b)² - (a-b)² = 84 ²¹⁄₄(a-b)² = 84 (a-b)² = (84 × 4)/(21) = 16

अब, प्रारंभिक अनुपात का उपयोग करके (a+b)² का मान ज्ञात कीजिए:

(a+b)² = ²⁵⁄₄ × 16 = 100

जिस व्यंजक का मान ज्ञात करना है वह a² + b² + 3ab है। इसे (a+b)² के विस्तार से जोड़कर सरल बनाया जा सकता है:

a² + b² + 3ab = (a² + b² + 2ab) + ab = (a+b)² + ab

परिकलित मानों (a+b)² = 100 और ab = 21 को प्रतिस्थापित करने पर:

100 + 21 = 121

व्याख्या

इस व्यंजक को घातांक के भागफल नियम (quotient rule) का उपयोग करके सरल किया गया है, जो यह बताता है कि dᵐ ÷ dⁿ = dᵐ⁻ⁿ होता है।

सबसे पहले कोष्ठक के भीतर के व्यंजक पर इस नियम को लागू करने पर:

d⁵⁺ᵗ ÷ d⁵ = d⁽⁵⁺ᵗ⁾⁻⁵ = dᵗ

अब, इस परिणाम को मूल प्रश्न के शेष भाग में प्रतिस्थापित करने पर:

dᵗ ÷ dᵗ = dᵗ⁻ᵗ = d⁰

घातांक के नियमों के अनुसार, किसी भी गैर-शून्य (non-zero) आधार की घात 0 होने पर उसका मान 1 के बराबर होता है। अतः, दिए गए व्यंजक का मान 1 है।

व्याख्या

त्रिभुज के कोण योग गुण (Angle Sum Property) के अनुसार, सभी तीन आंतरिक कोणों का योग ठीक 180° होना चाहिए। इस विकल्प में दिए गए मापों के लिए, गणना 50° + 60° + 70° = 110° + 70° = 180° है। चूंकि योग ठीक 180° के बराबर है, इसलिए ये तीनों कोण मिलकर एक त्रिभुज बना सकते हैं।

व्याख्या

व्यंजक sec⁴θ - tan⁴θ को वर्गों के अंतर के बीजगणितीय सर्वसमिका, a² - b² = (a + b)(a - b) का उपयोग करके सरल किया जा सकता है। sec²θ को a और tan²θ को b मानने पर, व्यंजक इस प्रकार हो जाता है:

sec⁴θ - tan⁴θ = (sec²θ + tan²θ)(sec²θ - tan²θ)

मूल त्रिकोणमितीय सर्वसमिका से, हम जानते हैं कि 1 + tan²θ = sec²θ, जिसका अर्थ है कि sec²θ - tan²θ = 1। प्रश्न में दूसरे गुणनखंड का मान sec²θ + tan²θ = √3 दिया गया है। इन दोनों मानों को समीकरण में प्रतिस्थापित करने पर:

sec⁴θ - tan⁴θ = (√3)(1) = √3

व्याख्या

6 अंकों की सबसे बड़ी संख्या 999999 है। इस सीमा के भीतर सबसे बड़ी पूर्ण वर्ग संख्या ज्ञात करने के लिए, हम उस सबसे बड़े पूर्णांक की खोज करते हैं जिसका वर्ग 1,000,000 से कम हो। चूंकि 1,000,000 सबसे छोटी 7-अंकीय संख्या है और यह 1000² के बराबर है, इसलिए 6 अंकों की सबसे बड़ी पूर्ण वर्ग संख्या 999² होनी चाहिए। बीजगणितीय सर्वसमिका (a - b)² = a² - 2ab + b² का उपयोग करते हुए, जहाँ a = 1000 और b = 1 है, हम गणना करते हैं: 999² = (1000 - 1)² = 1000² - 2(1000)(1) + 1² = 1000000 - 2000 + 1 = 998001।

व्याख्या

पूरी कक्षा की औसत ऊँचाई की गणना सभी छात्रों की कुल ऊँचाई ज्ञात करके और उसे छात्रों की कुल संख्या से विभाजित करके की जाती है। कक्षा में कुल 50 लड़के हैं। 30 लड़कों के पहले समूह की औसत ऊँचाई 160 सेमी है, और शेष 20 लड़कों (50 - 30 = 20) की औसत ऊँचाई 165 सेमी है।

कक्षा की कुल ऊँचाई दोनों समूहों की ऊँचाई का योग है: कुल ऊँचाई = (30 × 160) + (20 × 165) = 4800 + 3300 = 8100 सेमी

50 लड़कों की पूरी कक्षा की औसत ऊँचाई है: औसत = ⁸¹⁰⁰⁄₅₀ = 162 सेमी

इसे भारित औसत (weighted average) सूत्र A = (n₁ A₁ + n₂ A₂)/(n₁ + n₂) का उपयोग करके अधिक कुशलता से हल किया जा सकता है। दोनों समूहों के अनुपात को 30:20 से सरल करके 3:2 करने पर, गणना इस प्रकार होगी: A = (3 × 160 + 2 × 165)/(3 + 2) = (480 + 330)/(5) = ⁸¹⁰⁄₅ = 162 सेमी

व्याख्या

दो घनों के अंतर का व्यंजक सर्वसमिका a³ - b³ = (a - b)(a² + ab + b²) द्वारा दिया जाता है। दिए गए मानों a³ - b³ = 26 और a - b = 2 को इस सूत्र में रखने पर, हमें 26 = 2(a² + ab + b²) प्राप्त होता है, जो सरल होकर a² + ab + b² = 13 हो जाता है।

हम यह भी जानते हैं कि (a - b)² = a² - 2ab + b² होता है। चूंकि a - b = 2 है, इसलिए हमारे पास 2² = a² - 2ab + b² है, जिसका अर्थ है a² - 2ab + b² = 4।

ab का मान ज्ञात करने के लिए, हम पहले समीकरण में से दूसरे समीकरण को घटाते हैं: (a² + ab + b²) - (a² - 2ab + b²) = 13 - 4। इससे 3ab = 9 प्राप्त होता है, इसलिए ab = 3।

व्यंजक (a + b)² को a² + 2ab + b² के रूप में विस्तारित किया जा सकता है। पिछले परिणाम a² + ab + b² = 13 का उपयोग करते हुए, हम दोनों पक्षों में ab जोड़ सकते हैं जिससे a² + 2ab + b² = 13 + ab प्राप्त होता है। ab = 3 प्रतिस्थापित करने पर, हमें (a + b)² = 13 + 3 = 16 प्राप्त होता है। वैकल्पिक रूप से, सर्वसमिका (a + b)² = (a - b)² + 4ab का उपयोग करके, हमें (a + b)² = 2² + 4(3) = 4 + 12 = 16 प्राप्त होता है।

व्याख्या

यह व्यंजक मानक बीजगणितीय सर्वसमिका a³ + b³ + c³ - 3abc = (a + b + c)(a² + b² + c² - ab - bc - ca) का अनुसरण करता है। माना a = (X - 4), b = (Y - 2), और c = (Z - 3)।

सबसे पहले, इन तीनों पदों के योग की गणना करें: a + b + c = (X - 4) + (Y - 2) + (Z - 3) a + b + c = X + Y + Z - (4 + 2 + 3) a + b + c = X + Y + Z - 9

दिए गए प्रतिबंध X + Y + Z = 9 को समीकरण में रखने पर: a + b + c = 9 - 9 = 0

जब भी तीन पदों का योग शून्य होता है (a + b + c = 0), तो सर्वसमिका a³ + b³ + c³ - 3abc का मान शून्य हो जाता है क्योंकि सर्वसमिका का पूरा दायां पक्ष (a + b + c)(a² + b² + c² - ab - bc - ca) बदलकर 0 × (a² + b² + c² - ab - bc - ca) = 0 हो जाता है। परिणामस्वरूप, व्यंजक (X - 4)³ + (Y - 2)³ + (Z - 3)³ - 3(X - 4)(Y - 2)(Z - 3) का मान 0 के बराबर है।

व्याख्या

एक त्रिभुज की माध्यिकाएँ केन्द्रक G पर प्रतिच्छेद करती हैं और त्रिभुज को समान क्षेत्रफल वाले छह छोटे त्रिभुजों में विभाजित करती हैं। ये छह त्रिभुज Δ AGE, Δ CGE, Δ CGD, Δ BGD, Δ BGF, और Δ AGF हैं। चूंकि पूरे त्रिभुज ABC का क्षेत्रफल 36 वर्ग सेमी दिया गया है, इसलिए इन छह घटक त्रिभुजों में से प्रत्येक का क्षेत्रफल कुल क्षेत्रफल का ठीक एक-छठा (⅙) भाग है।

Δ CGE का क्षेत्रफल = ⅙ × Δ ABC का क्षेत्रफल

दिए गए मान को प्रतिस्थापित करने पर:

Δ CGE का क्षेत्रफल = ⅙ × 36 = 6 वर्ग सेमी

व्याख्या

मान लीजिए कि वृत्त का केंद्र O है और जीवा AB है। चूँकि जीवा AB की लंबाई वृत्त की त्रिज्या r के बराबर है, इसलिए हमारे पास OA = OB = AB = r है। इससे △ OAB एक समबाहु त्रिभुज बन जाता है, जहाँ प्रत्येक आंतरिक कोण 60° होता है। इसलिए, ∠ OAB = 60°।

त्रिज्या OA, सिरे A पर खींची गई स्पर्श रेखा पर लंबवत है। इस प्रकार, त्रिज्या OA और स्पर्श रेखा के बीच का कोण 90° है। स्पर्श रेखा और जीवा AB के बीच का कोण, त्रिज्या और स्पर्श रेखा द्वारा बनाए गए कोण तथा समबाहु त्रिभुज के आंतरिक कोण के बीच का अंतर है। गणना के अनुसार, यह कोण 90° - 60° = 30° है।

वैकल्पिक रूप से, एकांतर वृत्तखंड प्रमेय (Alternate Segment Theorem) का उपयोग करते हुए, केंद्र पर जीवा AB द्वारा अंतरित कोण 60° है। परिधि के दीर्घ चाप पर किसी भी बिंदु पर उसी जीवा द्वारा अंतरित कोण केंद्र कोण का आधा होता है, जो कि (60°)/(2) = 30° है। प्रमेय के अनुसार, एक स्पर्श रेखा और एक जीवा के बीच का कोण एकांतर वृत्तखंड में जीवा द्वारा अंतरित कोण के बराबर होता है, जो पुष्टि करता है कि मान 30° है।

व्याख्या

दिए गए समीकरणों π sin θ = 1 और π cos θ = 1 से, हम पहले समीकरण को दूसरे से विभाजित करके (π sin θ)/(π cos θ) = ¹⁄₁ प्राप्त कर सकते हैं, जो सरल होकर tan θ = 1 हो जाता है। चूंकि sin θ और cos θ दोनों धनात्मक हैं, इसलिए θ प्रथम चतुर्थांश में स्थित है, जिससे θ = (π)/(4) (या 45°) प्राप्त होता है।

अब, θ के मान को आवश्यक व्यंजक में रखने पर: √3 tan(⅔θ) + 1 = √3 tan(⅔ · (π)/(4)) + 1 = √3 tan((π)/(6)) + 1

मानक त्रिकोणमितीय मान tan((π)/(6)) = (1)/(√(3)) का उपयोग करने पर, हमें प्राप्त होता है: √3 ((1)/(√(3))) + 1 = 1 + 1 = 2

व्याख्या

3 वर्ष की अवधि के लिए चक्रवृद्धि ब्याज और साधारण ब्याज के बीच का अंतर सूत्र D = P ( ʳ⁄₁₀₀ )² ( (300 + r)/(100) ) द्वारा दिया जाता है, जहाँ P मूलधन है, r वार्षिक ब्याज दर है, और D अंतर है।

दिया गया है D = 93 और r = 10, इन मानों को सूत्र में रखने पर:

93 = P ( ¹⁰⁄₁₀₀ )² ( (300 + 10)/(100) )

93 = P ( ⅒ )² ( ³¹⁰⁄₁₀₀ )

93 = P ( ¹⁄₁₀₀ ) ( ³¹⁄₁₀ )

93 = (31P)/(1000)

P = (93 × 1000)/(31)

P = 3 × 1000 = 3000

वैकल्पिक रूप से, 10% की दर से 3 वर्षों के लिए साधारण ब्याज की प्रभावी दर 10% × 3 = 30% है। 10% की दर से 3 वर्षों के लिए चक्रवृद्धि ब्याज की प्रभावी दर की गणना क्रमिक प्रतिशत सूत्र का उपयोग करके 33.1% के रूप में की जाती है। दरों में अंतर 33.1% - 30% = 3.1% है।

P का 3.1% = 93

(3.1)/(100) × P = 93

P = (93 × 100)/(3.1) = 3000

व्याख्या

इस प्रश्न में, माना प्रेक्षक से ध्वजदंड के आधार की दूरी d = 30 मीटर है। माना hₚₒₛₜ ध्वज के निचले हिस्से तक ध्वजदंड की ऊंचाई है, और H जमीन से ध्वज के शीर्ष तक की कुल ऊंचाई है। ध्वज की अपनी ऊंचाई h = H - hₚₒₛₜ है।

त्रिकोणमितीय संबंध tan θ = (ऊंचाई)/(दूरी) का उपयोग करने पर, हमें प्राप्त होता है: ध्वज के निचले हिस्से के लिए: tan 30° = hₚₒₛₜ/30 ⟹ hₚₒₛₜ = 30 tan 30° = (30)/(√(3)) = 10√3 मीटर। ध्वज के शीर्ष के लिए: tan 45° = (H)/(30) ⟹ H = 30 tan 45° = 30(1) = 30 मीटर।

ध्वज की ऊंचाई h = H - hₚₒₛₜ = 30 - 10√3 है। √3 = 1.732 का मान रखने पर: h = 30 - 10(1.732) = 30 - 17.32 = 12.68 मीटर।

व्याख्या

पहले बेटे की कार्य दर 1/3 इकाई प्रति घंटा है, और दूसरे बेटे की कार्य दर 1/6 इकाई प्रति घंटा है। एक साथ कार्य करने पर, उनकी संयुक्त कार्य दर उनकी व्यक्तिगत दरों का योग होगी: 1/3 + 1/6 = 2/6 + 1/6 = 3/6 = 1/2 इकाई प्रति घंटा। चूंकि पिता उतनी ही तेजी से कार्य कर सकता है जितनी तेजी से दोनों बेटे मिलकर कार्य करते हैं, इसलिए उसकी कार्य दर भी 1/2 इकाई प्रति घंटा है। पिता द्वारा अकेले कार्य पूरा करने में लिया गया समय उसकी कार्य दर का व्युत्क्रम है, जो कि 1 / (1/2) = 2 घंटे है।

व्याख्या

एक समचतुर्भुज एक विशेष प्रकार का समांतर चतुर्भुज होता है जिसकी सभी भुजाएँ समान लंबाई की होती हैं। एक समचतुर्भुज का परिमाप P सूत्र P = 4s द्वारा दिया जाता है, जहाँ s एक भुजा की लंबाई है। 240 मीटर का परिमाप दिए जाने पर, भुजा की लंबाई की गणना इस प्रकार की जाती है:

s = (P)/(4) = ²⁴⁰⁄₄ = 60 मीटर

किसी भी समांतर चतुर्भुज का क्षेत्रफल, जिसमें समचतुर्भुज भी शामिल है, सूत्र क्षेत्रफल = आधार × ऊँचाई का उपयोग करके ज्ञात किया जा सकता है। इस स्थिति में, भुजा की लंबाई s आधार के रूप में कार्य करती है, और समानांतर भुजाओं के बीच की दूरी ऊँचाई h के रूप में कार्य करती है। h = 20 मीटर दिए जाने पर:

क्षेत्रफल = s × h = 60 × 20 = 1200 वर्ग मीटर।

व्याख्या

16 ⅔% की छूट भिन्न ⅙ के बराबर है। विक्रय मूल्य (SP) और अंकित मूल्य (MP) के बीच का संबंध सूत्र SP = MP × (1 - d) द्वारा परिभाषित किया गया है, जहाँ d छूट की भिन्न है। दिए गए मानों को प्रतिस्थापित करने पर, हमें प्राप्त होता है: 450 = MP × (1 - ⅙)। यह सरल होकर 450 = MP × ⅚ हो जाता है। MP के लिए हल करने पर, MP = (450 × 6)/(5) = 90 × 6 = 540 प्राप्त होता है।

व्याख्या

प्रश्न के अनुसार, A को B और C के संयुक्त हिस्से का 2/9 भाग प्राप्त होता है। यह A और B तथा C के योग के बीच एक अनुपात स्थापित करता है जैसे कि A : (B + C) = 2 : 9। 770 रुपये की कुल राशि इस अनुपात में सभी भागों के योग को दर्शाती है। भागों की कुल संख्या 2 + 9 = 11 है। A के हिस्से का मान ज्ञात करने के लिए, आनुपातिक विभाजन सूत्र का उपयोग करें: A = 2/11 × 770। 770 को 11 से विभाजित करने पर 70 प्राप्त होता है, और 70 को 2 से गुणा करने पर 140 प्राप्त होता है। इस प्रकार, A का हिस्सा 140 रुपये है। इसे B + C = x मानकर भी सत्यापित किया जा सकता है, जिससे A = 2/9x हो जाता है। समीकरण x + 2/9x = 770 से 11/9x = 770 प्राप्त होता है, जिससे x = 630 मिलता है। x के मान को A के समीकरण में वापस रखने पर A = 2/9 × 630 = 140 प्राप्त होता है।

व्याख्या

अंडों का कुल क्रय मूल्य (CP) दोनों अलग-अलग खरीदारियों की लागत को जोड़कर निकाला जाता है। ₹ 24 प्रति दर्जन की दर से 4 दर्जन की पहली खरीदारी ₹ 96 (4 × 24) के बराबर है, और ₹ 32 प्रति दर्जन की दर से 2 दर्जन की दूसरी खरीदारी ₹ 64 (2 × 32) के बराबर है। इस प्रकार, 6 दर्जन अंडों का कुल क्रय मूल्य ₹ 160 (96 + 64) है।

पूरे लेनदेन पर 20% का लाभ प्राप्त करने के लिए प्रति दर्जन आवश्यक विक्रय मूल्य (SP) की गणना करने के लिए, हम इस सूत्र का उपयोग करते हैं: SP = (कुल CP × (100 + लाभ%))/(100 × कुल दर्जन)

ज्ञात मानों को प्रतिस्थापित करने पर: SP = (160 × 120)/(100 × 6) SP = (160 × 1.2)/(6) SP = ¹⁹²⁄₆ = ₹ 32 प्रति दर्जन।

व्याख्या

जब एक मान दूसरे मान से r% अधिक होता है, तो दूसरा मान पहले मान से कितने प्रतिशत कम है, इसकी गणना इस सूत्र का उपयोग करके की जाती है: [ (r)/(100 + r) × 100 ]%। यह देखते हुए कि P का वेतन Q के वेतन से r = 25% अधिक है, सूत्र में मान रखने पर:

प्रतिशत कमी = (25)/(100 + 25) × 100

प्रतिशत कमी = ²⁵⁄₁₂₅ × 100

प्रतिशत कमी = ⅕ × 100 = 20%

इसे इस प्रकार भी समझा जा सकता है कि मान लीजिए Q का वेतन 100 है। यदि P का वेतन 25% अधिक है, तो P का वेतन 125 है। दोनों का अंतर 25 है। P से कितने प्रतिशत कम है, यह ज्ञात करने के लिए हम अंतर का P के वेतन से अनुपात ज्ञात करते हैं: ²⁵⁄₁₂₅ × 100, जिसके परिणामस्वरूप 20% प्राप्त होता है।

व्याख्या

एक वृत्ताकार पथ पर चलते हुए एक ही बिंदु से शुरू करने वाले दो व्यक्तियों के प्रारंभिक बिंदु पर फिर से मिलने का समय ज्ञात करने के लिए, हम प्रत्येक द्वारा एक पूरा चक्कर लगाने में लिए गए समय का लघुत्तम समापवर्त्य (LCM) ज्ञात करते हैं। इस स्थिति में, A को एक चक्कर पूरा करने में 40 सेकंड और B को 50 सेकंड का समय लगता है।

दिए गए समय अंतरालों का अभाज्य गुणनखंडन इस प्रकार है: 40 = 2³ × 5¹ 50 = 2¹ × 5²

LCM (लघुत्तम समापवर्त्य) इसमें शामिल सभी अभाज्य गुणनखंडों की उच्चतम घातों का गुणनफल होता है: LCM(40, 50) = 2³ × 5² LCM(40, 50) = 8 × 25 LCM(40, 50) = 200

वैकल्पिक रूप से, एक सामान्य भाजक विधि का उपयोग करते हुए, हम देख सकते हैं कि 40 और 50 दोनों 10 से विभाज्य हैं। उन्हें विभाजित करने पर 4 और 5 प्राप्त होते हैं, जो सह-अभाज्य (co-prime) हैं। इसलिए, LCM = 10 × 4 × 5 = 200। इसका अर्थ है कि 200 सेकंड के बाद, A ने 5 चक्कर पूरे कर लिए होंगे और B ने 4 चक्कर पूरे कर लिए होंगे, जिससे दोनों पहली बार एक साथ प्रारंभिक बिंदु पर वापस आ जाएंगे।

व्याख्या

दिया गया समीकरण है: x - ¹⁄₃ₓ = ⅓

मान ज्ञात करने के लिए, समीकरण के दोनों पक्षों को 3x से गुणा करें: 3x × (x - ¹⁄₃ₓ) = 3x × ⅓

दोनों पक्षों को सरल करें: 3x² - ³ˣ⁄₃ₓ = ³ˣ⁄₃ 3x² - 1 = x

समीकरण के पदों को पुनर्व्यवस्थित करने पर (दोनों पक्षों से x घटाने और दोनों पक्षों में 1 जोड़ने पर), हमें यह सर्वसमिका प्राप्त होती है: 3x² - x = 1

प्रारंभिक संक्रिया 3x(x - ¹⁄₃ₓ) सरल होकर 3x² - 1 हो जाती है, जो x के बराबर है। इस प्रकार की बीजगणितीय समस्याओं में, अचर मान उस संबंध की पहचान करके ज्ञात किया जाता है जहाँ चर पद 1 के बराबर होते हैं।

व्याख्या

दिए गए समीकरण p = 3 + ¹⁄ₚ को p - ¹⁄ₚ = 3 के रूप में पुनर्व्यवस्थित किया जा सकता है। p⁴ + (1)/(p⁴) का मान ज्ञात करने के लिए, हम बीजगणितीय सर्वसमिका (x - ¹⁄ₓ)² = x² + (1)/(x²) - 2 का उपयोग करते हैं।

p - ¹⁄ₚ = 3 के दोनों पक्षों का वर्ग करने पर: (p - ¹⁄ₚ)² = 3² p² + (1)/(p²) - 2 = 9 p² + (1)/(p²) = 11

अब, सर्वसमिका (x + ¹⁄ₓ)² = x² + (1)/(x²) + 2 का उपयोग करके इस परिणाम का पुनः वर्ग करने पर: (p² + (1)/(p²))² = 11² p⁴ + (1)/(p⁴) + 2 = 121 p⁴ + (1)/(p⁴) = 121 - 2 = 119

व्याख्या

एक समद्विबाहु त्रिभुज में जहाँ AB = AC है, शीर्ष A से खींचा गया शीर्षलंब आधार BC को एक बिंदु D पर समद्विभाजित करता है, जिससे दो सर्वांगसम समकोण त्रिभुज ABD और ACD बनते हैं। △ ABD में पाइथागोरस प्रमेय द्वारा, हमारे पास AB² = AD² + BD² है। दिए गए मानों AB = 15 सेमी और AD = 12 सेमी को प्रतिस्थापित करने पर:

15² = 12² + BD² 225 = 144 + BD² BD² = 81 BD = 9 सेमी

चूंकि शीर्षलंब आधार को समद्विभाजित करता है, इसलिए BC = 2 × BD = 2 × 9 = 18 सेमी। इसे पाइथागोरस त्रिक (3, 4, 5) को 3 के गुणक से गुणा करके भी निर्धारित किया जा सकता है, जिसके परिणामस्वरूप (9, 12, 15) प्राप्त होता है। यह देखते हुए कि कर्ण 15 है और शीर्षलंब 12 है, आधा आधार 9 सेमी होना चाहिए।

व्याख्या

मध्य-बिंदु प्रमेय (Midpoint Theorem) के अनुसार, किसी त्रिभुज की किन्हीं दो भुजाओं के मध्य बिंदुओं को मिलाने वाला रेखाखंड तीसरी भुजा के समानांतर होता है और उस तीसरी भुजा की लंबाई का आधा होता है। त्रिभुज ABC में, चूंकि X और Y क्रमशः AB और AC के मध्य बिंदु हैं, इसलिए XY और BC के बीच का संबंध सूत्र XY = ½BC द्वारा दिया गया है, जिसे BC = 2XY भी लिखा जा सकता है।

दिए गए समीकरण BC + XY = 12 इकाई में, हम BC को 2XY से प्रतिस्थापित करते हैं: 2XY + XY = 12 3XY = 12 XY = 4 इकाई

XY के मान को पुनः BC के संबंध में रखने पर: BC = 2 × 4 = 8 इकाई

BC - XY का मान ज्ञात करने के लिए: BC - XY = 8 - 4 = 4 इकाई

व्याख्या

0 < θ < 90° की सीमा में किसी भी कोण θ के लिए, sinθ का मान विवृत अंतराल (open interval) (0, 1) में स्थित होता है। एक मूलभूत बीजगणितीय गुण यह बताता है कि किसी भी वास्तविक संख्या x, जहाँ 0 < x < 1 हो, के लिए उस संख्या का वर्ग स्वयं उस संख्या से छोटा होता है, जिसे x² < x के रूप में व्यक्त किया जाता है। चूंकि प्रथम चतुर्थांश (first quadrant) में sinθ ऐसे ही एक मान को दर्शाता है, इसलिए इस असमिका (inequality) में x = sinθ प्रतिस्थापित करने पर sin²θ < sinθ प्राप्त होता है। इस संबंध को एक मानक कोण जैसे कि θ = 30° का उपयोग करके सत्यापित किया जा सकता है, जहाँ sin 30° = 1/2 = 0.5 और sin² 30° = 1/4 = 0.25 है; स्पष्ट रूप से, 0.5 > 0.25 है। अतः, दी गई सीमाओं के भीतर, कोण का sine हमेशा उसके वर्ग से बड़ा होता है।

व्याख्या

माना दो संख्याएँ x और y हैं। दी गई शर्तों के आधार पर, x - y = 9 और x² - y² = 207। बीजगणितीय सर्वसमिका x² - y² = (x + y)(x - y) का उपयोग करके, हम संख्याओं का योग ज्ञात करने के लिए ज्ञात मानों को प्रतिस्थापित कर सकते हैं:

207 = (x + y)(9) x + y = ²⁰⁷⁄₉ = 23

अलग-अलग संख्याएँ ज्ञात करने के लिए, हम समीकरणों के निकाय को हल करते हैं: x + y = 23 x - y = 9

दोनों समीकरणों को जोड़ने पर: (x + y) + (x - y) = 23 + 9 2x = 32 x = 16

समीकरणों को घटाने पर: (x + y) - (x - y) = 23 - 9 2y = 14 y = 7

संख्याएँ 16 और 7 हैं। ये दोनों शर्तों को पूरा करती हैं क्योंकि 16 - 7 = 9 और 16² - 7² = 256 - 49 = 207।

व्याख्या

सही औसत कुल योग के लिए आवश्यक शुद्ध समायोजन की गणना करके और फिर उस समायोजन को सभी प्रेक्षणों में वितरित करके निर्धारित किया जा सकता है। त्रुटि इसलिए हुई क्योंकि संख्या 85 को गलती से 45 पढ़ लिया गया था, जिसका अर्थ है कि गणना किया गया योग वास्तविक योग से कम था।

कुल योग में आवश्यक शुद्ध वृद्धि है: सही मान - गलत मान = 85 - 45 = 40

औसत में सुधार ज्ञात करने के लिए 40 की इस वृद्धि को 20 संख्याओं में वितरित किया जाना चाहिए: औसत में वृद्धि = (योग में शुद्ध वृद्धि)/(कुल संख्याएँ) = ⁴⁰⁄₂₀ = 2

सही औसत प्रारंभिक औसत और इस वृद्धि का योग है: सही औसत = 35 + 2 = 37

वैकल्पिक रूप से, सही योग की गणना इस प्रकार की जाती है: (35 × 20) + (85 - 45) = 700 + 40 = 740। सही कुल योग को संख्याओं की संख्या से विभाजित करने पर 740 / 20 = 37 प्राप्त होता है।

व्याख्या

व्यंजक x⁴ + x²y² + y⁴ को मानक बीजगणितीय सर्वसमिका का उपयोग करके गुणनखंडित किया जा सकता है: x⁴ + x²y² + y⁴ = (x² + xy + y²)(x² - xy + y²)

यह सर्वसमिका पहले और अंतिम पदों के लिए वर्ग पूर्ण करके प्राप्त की जाती है। x²y² को जोड़ने और घटाने पर, व्यंजक (x⁴ + 2x²y² + y⁴) - x²y² बन जाता है। यह (x² + y²)² - (xy)² के समतुल्य है। वर्गों के अंतर के सूत्र a² - b² = (a + b)(a - b) को लागू करने पर दो द्विघात गुणनखंड प्राप्त होते हैं।

प्रश्न में दिए गए मानों को प्रतिस्थापित करने पर: 6 = (x² + xy + y²) × 2

दोनों पक्षों को 2 से विभाजित करने पर: x² + xy + y² = 6 / 2 = 3

व्याख्या

दिए गए समीकरण a² + 13b² + c² - 4ab - 6bc = 0 को पूर्ण वर्ग बनाने के लिए पदों को पुनर्व्यवस्थित किया जा सकता है। हम गुणनफल पदों 4ab और 6bc से मिलान करने के लिए 13b² को 4b² + 9b² में विभाजित करते हैं:

a² - 4ab + 4b² + 9b² - 6bc + c² = 0

सर्वसमिका (x - y)² = x² - 2xy + y² का उपयोग करने पर, यह व्यंजक इस प्रकार बन जाता है:

(a - 2b)² + (3b - c)² = 0

वास्तविक संख्याओं के दो वर्गों का योग शून्य होने के लिए, प्रत्येक वर्ग पद का मान स्वतंत्र रूप से शून्य होना चाहिए। इन दोनों समीकरणों को एक साथ हल करने पर:

a - 2b = 0 ⟹ a = 2b ⟹ a:b = 2:1

3b - c = 0 ⟹ c = 3b ⟹ b:c = 1:3

अनुपातों a:b = 2:1 और b:c = 1:3 को मिलाने पर हमें अनुपात a:b:c = 2:1:3 प्राप्त होता है।

व्याख्या

त्रिभुज ABC में, सभी आंतरिक कोणों का योग 180° होता है। दिए गए ∠ BAC = 85° और ∠ BCA = 75° के लिए, तीसरे कोण ∠ ABC की गणना इस प्रकार की जाती है: 180° - (85° + 75°) = 20°। परिवृत्त के गुणों के अनुसार, जीवा AC द्वारा केंद्र O पर अंतरित कोण, शीर्ष B पर परिधि पर इसके द्वारा अंतरित कोण का दोगुना होता है। इस प्रकार, ∠ AOC = 2 × ∠ ABC = 2 × 20° = 40°।

त्रिभुज OAC में, रेखाखंड OA और OC एक ही परिवृत्त की त्रिज्याएँ हैं, जिससे OA = OC हो जाता है। इसका तात्पर्य यह है कि त्रिभुज OAC एक समद्विबाहु त्रिभुज है जहाँ बराबर भुजाओं के सम्मुख कोण बराबर होते हैं, इसलिए ∠ OAC = ∠ OCA। त्रिभुज OAC के लिए कोण योग गुणधर्म का उपयोग करने पर, हमें ∠ OAC + ∠ OCA + ∠ AOC = 180° प्राप्त होता है। ज्ञात मानों को प्रतिस्थापित करने पर, 2 × ∠ OAC + 40° = 180°, जो सरल होकर 2 × ∠ OAC = 140° हो जाता है। दो से विभाजित करने पर, हमें ∠ OAC = 70° प्राप्त होता है। वैकल्पिक रूप से, एक न्यून कोण B के लिए, कोण ∠ OAC को सीधे सूत्र 90° - ∠ B का उपयोग करके निर्धारित किया जा सकता है, जिससे 90° - 20° = 70° प्राप्त होता है।

व्याख्या

भुजा की लंबाई a वाले एक समबाहु त्रिभुज के अंतःवृत्त की त्रिज्या r को सूत्र r = (a)/(2√3) द्वारा दर्शाया जाता है। यह संबंध इस गुण से प्राप्त होता है कि एक समबाहु त्रिभुज का अंतःकेंद्र उसके केंद्रक के संपाती होता है, जो माध्यिका (या ऊंचाई h = (√3/2)a) को 2:1 के अनुपात में विभाजित करता है। अंतःत्रिज्या छोटे खंड की लंबाई होती है, r = ⅓h।

दी गई भुजा की लंबाई a = 2√3 इकाई है, इस मान को सूत्र में रखने पर:

x = (2√3)/(2√3)

अंश और हर के पद पूरी तरह से एक-दूसरे से कट जाते हैं, जिसके परिणामस्वरूप x = 1 प्राप्त होता है।

व्याख्या

त्रिकोणमितीय सर्वसमिका tan A · tan B = 1 ⟺ A + B = 90° का उपयोग करके, हम कोणों के योग को 90° के बराबर रख सकते हैं। दिए गए समीकरण tan 3θ · tan 7θ = 1 से, हमें प्राप्त होता है:

3θ + 7θ = 90° 10θ = 90° θ = 9°

व्यंजक tan(θ + 36°) में θ का मान रखने पर:

tan(9° + 36°) = tan 45°

tan 45° का मान 1 होता है।

व्याख्या

मान लीजिए कि झील की सतह से बादल की ऊंचाई H है और झील से प्रेक्षण बिंदु की ऊंचाई h है, जो कि 200 मीटर है। झील में बादल का प्रतिबिंब सतह से H गहराई पर है।

मान लीजिए कि प्रेक्षण बिंदु से बादल से होकर गुजरने वाली ऊर्ध्वाधर रेखा की क्षैतिज दूरी x है। प्रेक्षण बिंदु के सापेक्ष बादल की ऊंचाई H - h है, और प्रेक्षण बिंदु के सापेक्ष इसके प्रतिबिंब की गहराई H + h है।

उन्नयन कोण α = 30° से: tan 30° = (H - h)/(x) ⟹ x = (H - 200)/(tan 30°)

अवनमन कोण β = 60° से: tan 60° = (H + h)/(x) ⟹ x = (H + 200)/(tan 60°)

x के दोनों समीकरणों की तुलना करने पर: (H - 200)/(tan 30°) = (H + 200)/(tan 60°) (H - 200) √3 = (H + 200)/(√3) 3(H - 200) = H + 200 3H - 600 = H + 200 2H = 800 H = 400 मीटर

वैकल्पिक रूप से, बादल की ऊंचाई के लिए सीधे सूत्र H = h (tan β + tan α)/(tan β - tan α) का उपयोग करने पर: H = 200 (tan 60° + tan 30°)/(tan 60° - tan 30°) = 200 (√3 + 1/√3)/(√3 - 1/√3) = 200 (4/√3)/(2/√3) = 200 × 2 = 400 मीटर

व्याख्या

3 वर्ष की अवधि के लिए चक्रवृद्धि ब्याज और साधारण ब्याज के बीच के अंतर की गणना सूत्र D = PR²(300 + R){100³} का उपयोग करके की जा सकती है, जहाँ P मूलधन है, R वार्षिक ब्याज दर है, और D अंतर है।

दिया गया है P = 40,000 और R = 8, इन मानों को सूत्र में रखने पर प्राप्त होता है:

D = 40,000 × 8² × (300 + 8){100³}

D = (40,000 × 64 × 308)/(1,000,000)

शून्यों को सरल करने पर, व्यंजक इस प्रकार हो जाता है:

D = (4 × 64 × 308)/(100)

D = (256 × 308)/(100)

256 × 308 की गणना करने के लिए, गुणन को विभाजित करें: 256 × 300 = 76,800 और 256 × 8 = 2,048। इन परिणामों को जोड़ने पर 78,848 प्राप्त होता है।

D = (78,848)/(100) = 788.48

व्याख्या

समतापमंडल पृथ्वी के वायुमंडल की दूसरी प्रमुख परत है, जो क्षोभमंडल के शीर्ष से पृथ्वी की सतह से लगभग 50 किलोमीटर ऊपर तक फैली हुई है। इसमें ओजोन परत स्थित है, जो एक ऐसा क्षेत्र है जहाँ ओजोन (O₃) अणु मुख्य रूप से 15 से 35 किलोमीटर की ऊंचाई के बीच केंद्रित होते हैं। इस परत का निर्माण तब होता है जब सूर्य से आने वाली उच्च-ऊर्जा पराबैंगनी विकिरण ऑक्सीजन अणुओं (O₂) से टकराती है, जिससे वे एकल ऑक्सीजन परमाणुओं में विभाजित हो जाते हैं, जो बाद में अन्य O₂ अणुओं के साथ संयोजित होते हैं। ओजोन परत पृथ्वी पर जीवन के लिए अत्यंत आवश्यक है क्योंकि यह हानिकारक सौर पराबैंगनी विकिरण, विशेष रूप से UV-B के अधिकांश भाग को अवशोषित कर लेती है और इसे पृथ्वी की सतह तक पहुँचने से रोकती है।

व्याख्या

ग्रेट बैरियर रीफ विश्व की सबसे बड़ी प्रवाल भित्ति (कोरल रीफ) प्रणाली है, जो ऑस्ट्रेलिया के उत्तर-पूर्वी तट पर 2,300 किलोमीटर से अधिक दूरी तक फैली हुई है। यह कोरल सागर में स्थित है, जो दक्षिण प्रशांत महासागर का एक सीमांत सागर है। यह विशाल पारिस्थितिकी तंत्र 2,900 से अधिक व्यक्तिगत भित्तियों और 900 द्वीपों से मिलकर बना है, जो इसे जीवित जीवों द्वारा निर्मित पृथ्वी पर सबसे बड़ी संरचना बनाता है। यह क्वींसलैंड के तट पर स्थित है और इसे प्रशांत क्षेत्र की एक प्रमुख भौगोलिक विशेषता के रूप में मान्यता प्राप्त है।

व्याख्या

माना 5 से विभाज्य तीन क्रमागत प्राकृत संख्याएं x-5, x, और x+5 हैं। चूंकि वे 5 के क्रमागत गुणज हैं, इसलिए उनके बीच का सार्व अंतर 5 है।

दी गई शर्त के अनुसार: (x - 5) + x + (x + 5) = 225 3x = 225 x = ²²⁵⁄₃ = 75

तीनों संख्याएं 75 - 5 = 70, 75, और 75 + 5 = 80 हैं। उनमें से सबसे बड़ी संख्या 80 है।

वैकल्पिक रूप से, समांतर श्रेणी में किन्हीं तीन संख्याओं के लिए, मध्य पद उनके योग का औसत होता है। मध्य पद = ²²⁵⁄₃ = 75 संख्याएं 5 के क्रमागत गुणज हैं, इसलिए सबसे बड़ी संख्या मध्य पद से 5 अधिक होगी: सबसे बड़ी संख्या = 75 + 5 = 80

व्याख्या

A पूरे कार्य को 18 दिनों में पूरा कर सकता है। 12 दिनों में, A द्वारा पूरा किया गया कार्य का भाग 12/18 = 2/3 है। शेष बचा हुआ कार्य कुल कार्य का 1 - 2/3 = 1/3 भाग है। यह देखते हुए कि B इस शेष 1/3 कार्य को 8 दिनों में पूरा करता है, B द्वारा पूरे कार्य को समाप्त करने में लगने वाले समय की गणना, लिए गए समय को पूरे किए गए कार्य के भाग से विभाजित करके की जाती है। इस प्रकार, B अकेला पूरे कार्य को 8 / (1/3) = 8 × 3 = 24 दिनों में कर सकता है।

व्याख्या

क्रमिक छूट के बाद किसी वस्तु के विक्रय मूल्य की गणना प्रत्येक छूट प्रतिशत को शेष मूल्य पर लागू करके की जाती है। अंकित मूल्य L और क्रमिक छूट d₁ और d₂ के लिए, विक्रय मूल्य SP सूत्र SP = L × (1 - (d₁)/(100)) × (1 - (d₂)/(100)) द्वारा दिया जाता है।

दिया गया है, अंकित मूल्य L = 900, पहली छूट d₁ = 20%, और दूसरी छूट d₂ = 10%: SP = 900 × (1 - ²⁰⁄₁₀₀) × (1 - ¹⁰⁄₁₀₀) SP = 900 × 0.8 × 0.9 SP = 900 × 0.72 SP = 648

वैकल्पिक रूप से, 900 रुपये पर 20% की पहली छूट मूल्य को 0.20 × 900 = 180 कम कर देती है, जिससे मध्यवर्ती मूल्य 900 - 180 = 720 हो जाता है। इसके बाद इस घटे हुए मूल्य पर 10% की दूसरी छूट लागू की जाती है, जो कि 0.10 × 720 = 72 है। मध्यवर्ती मूल्य से दूसरी छूट को घटाने पर 720 - 72 = 648 प्राप्त होता है।

व्याख्या

मासिक आय, व्यय और बचत का योग होती है। दिया गया है कि व्यय और बचत का अनुपात 61 : 6 है, इसलिए कुल आय को 61 + 6 = 67 इकाइयों के रूप में दर्शाया जा सकता है।

कुल मासिक आय 8710 रुपये दी गई है। अनुपात में एक इकाई का मान ज्ञात करने के लिए, कुल आय को कुल इकाइयों से विभाजित करें: 1 इकाई = ⁸⁷¹⁰⁄₆₇ = 130

मासिक बचत अनुपात में 6 इकाइयों के संगत है। इसलिए, कुल मासिक बचत है: बचत = 6 × 130 = 780

व्याख्या

अंकित मूल्य (MP), विक्रय मूल्य (SP) और छूट प्रतिशत (d%) के बीच का संबंध सूत्र MP = (SP × 100)/(100 - d%) द्वारा दिया गया है।

दिए गए मानों को प्रतिस्थापित करने पर, जहाँ SP = 950 और d = 5:

MP = (950 × 100)/(100 - 5)

MP = (950 × 100)/(95)

MP = 10 × 100 = 1000

व्याख्या

मान लीजिए कि व्यक्ति के पास प्रारंभिक धन x था। प्रत्येक बाजी में, व्यक्ति उस समय उसके पास मौजूद धन का 75% हार जाता है, जिसका अर्थ है कि उसके पास 100% - 75% = 25%, या राशि का ¼ भाग बचता है।

पहली बाजी के बाद, शेष धन = x × ¼ है। दूसरी बाजी के बाद, शेष धन = (x × ¼) × ¼ = ˣ⁄₁₆ है। तीसरी बाजी के बाद, शेष धन = (ˣ⁄₁₆) × ¼ = ˣ⁄₆₄ है।

प्रश्न के अनुसार, अंत में बची हुई राशि 2 रुपये है। इसलिए, हम निम्नलिखित समीकरण बना सकते हैं:

ˣ⁄₆₄ = 2

x का मान ज्ञात करने पर:

x = 2 × 64 x = 128

प्रारंभिक धन 128 रुपये था।

व्याख्या

जब कोई ट्रेन किसी स्थिर बिंदु वस्तु जैसे कि बिजली के खंभे को पार करती है, तो ट्रेन द्वारा तय की गई कुल दूरी उसकी अपनी लंबाई के बराबर होती है। दी गई लंबाई d = 160 मीटर और गति v = 72 किमी/घंटा है, गति को पहले परिवर्तन कारक ⁵⁄₁₈ का उपयोग करके मीटर प्रति सेकंड में परिवर्तित किया जाना चाहिए:

v = 72 × ⁵⁄₁₈ = 4 × 5 = 20 मीटर/सेकंड

खंभे को पार करने में लिया गया समय t निम्नलिखित सूत्र द्वारा दिया गया है:

t = (दूरी)/(गति)

सूत्र में मान रखने पर:

t = ¹⁶⁰⁄₂₀ = 8 सेकंड

व्याख्या

9x² + (1)/(9x²) का मान ज्ञात करने के लिए, सबसे पहले दिए गए समीकरण x + ¹⁄₉ₓ = 4 के दोनों पक्षों को 3 से गुणा करके इसे परिवर्तित करें। इससे व्यंजक 3x + ¹⁄₃ₓ = 12 प्राप्त होता है। इसके बाद, इस समीकरण के दोनों पक्षों का वर्ग करके बीजगणितीय सर्वसमिका (a + b)² = a² + 2ab + b² का उपयोग करें: (3x + ¹⁄₃ₓ)² = 12²। बाएँ पक्ष का विस्तार करने पर (3x)² + 2(3x)(¹⁄₃ₓ) + (¹⁄₃ₓ)² = 144 प्राप्त होता है, जो सरल होने पर 9x² + 2 + (1)/(9x²) = 144 हो जाता है। समीकरण के दोनों पक्षों से 2 घटाने पर, परिणाम 9x² + (1)/(9x²) = 142 प्राप्त होता है।

व्याख्या

दिया गया व्यंजक 27a³ - 54a²b + 36ab² - 8b³ बीजगणितीय सर्वसमिका (x - y)³ = x³ - 3x²y + 3xy² - y³ का अनुसरण करता है। पदों की तुलना करने पर, हम x = 3a और y = 2b की पहचान कर सकते हैं, क्योंकि (3a)³ = 27a³ और (2b)³ = 8b³ है।

मध्यवर्ती पद भी सर्वसमिका से मेल खाते हैं: -3(3a)²(2b) = -3(9a²)(2b) = -54a²b 3(3a)(2b)² = 3(3a)(4b²) = 36ab²

इसलिए, व्यंजक सरल होकर (3a - 2b)³ हो जाता है। दिए गए मान a = 2 और b = -3 को प्रतिस्थापित करने पर: (3(2) - 2(-3))³ = (6 + 6)³ = 12³ = 1728

व्याख्या

त्रिभुज असमानता प्रमेय (Triangle Inequality Theorem) के अनुसार, किसी त्रिभुज की किन्हीं भी दो भुजाओं की लंबाइयों का योग हमेशा तीसरी भुजा की लंबाई से अधिक होना चाहिए। गणितीय रूप से, भुजाओं a, b, और c के लिए, a + b > c, a + c > b, और b + c > a की सभी शर्तें पूरी होनी चाहिए। 3 सेमी, 4 सेमी और 5 सेमी की लंबाइयों के लिए, दो सबसे छोटी भुजाओं का योग 3 + 4 = 7 सेमी है। चूंकि 7 > 5 है, इसलिए त्रिभुज का यह मूलभूत गुण संतुष्ट होता है। इसके अतिरिक्त, ये लंबाइयाँ पाइथागोरस प्रमेय 3² + 4² = 5² को भी संतुष्ट करती हैं, जिससे एक वैध समकोण त्रिभुज बनता है।

व्याख्या

एक त्रिभुज का केंद्रक उसकी माध्यिकाओं का प्रतिच्छेदन बिंदु होता है और इसमें प्रत्येक माध्यिका को शीर्ष से विपरीत भुजा के मध्य बिंदु तक 2 : 1 के अनुपात में विभाजित करने का गुण होता है। Δ ABC में, केंद्रक O वाली माध्यिका AD के लिए, खंड AO और OD, AO : OD = 2 : 1 के अनुपात में हैं। चूंकि शीर्ष A से केंद्रक O तक का खंड AO = 10 सेमी दिया गया है, इसलिए केंद्रक से मध्य बिंदु D तक के खंड की लंबाई की गणना OD = ½ × AO = ½ × 10 = 5 सेमी के रूप में की जाती है।