एसएससी सीजीएल टियर 1 2016 मात्रात्मक अभिक्षमता प्रश्न — हल सहित

व्याख्या

बहुगुणिता (पॉलीप्लोइडी) उस स्थिति को संदर्भित करती है जिसमें एक कोशिका या जीव में गुणसूत्रों के दो से अधिक पूर्ण समुच्चय (sets) होते हैं। सामान्य द्विगुणित (diploid) जीवों में, गुणसूत्र जोड़ों में मौजूद होते हैं जिन्हें 2n के रूप में दर्शाया जाता है, लेकिन बहुगुणिता के परिणामस्वरूप संख्यात्मक वृद्धि होती है जैसे कि त्रिगुणिता (3n) या चतुर्गुणिता (4n)। यह स्थिति तब उत्पन्न होती है जब अर्धसूत्रीविभाजन (meiosis) के दौरान तर्कु उपकरण (spindle apparatus) विफल हो जाता है या समसूत्रीविभाजन (mitosis) के दौरान कोशिकाद्रव्य विभाजन (cytokinesis) विफल हो जाता है, जिससे गुणसूत्र समुच्चयों का विभिन्न संतति कोशिकाओं में पृथक्करण बाधित हो जाता है। परिणामस्वरूप, संपूर्ण जीनोम बहुगुणित हो जाता है, जिससे केंद्रक के भीतर गुणसूत्रों की कुल संख्या में प्रत्यक्ष वृद्धि होती है।

व्याख्या

हान कांग एक दक्षिण कोरियाई लेखिका हैं, जिन्होंने वर्ष 2016 में अपने उपन्यास 'द वेजिटेरियन' (The Vegetarian) के लिए मैन बुकर इंटरनेशनल पुरस्कार जीता था। यह कहानी एक ऐसी महिला पर आधारित है, जिसके परेशान करने वाले सपनों की एक श्रृंखला के बाद मांस खाना बंद करने के फैसले से उसके परिवार और समाज में लगातार अंधेरी और अवास्तविक घटनाओं का सिलसिला शुरू हो जाता है। यह जीत इसलिए महत्वपूर्ण थी क्योंकि यह पहला वर्ष था जब यह पुरस्कार किसी लेखक के संपूर्ण कार्य के बजाय अंग्रेजी में अनुवादित कथा साहित्य (फिक्शन) की एक एकल कृति के लिए प्रदान किया गया था। हान कांग ने पुरस्कार राशि को अपनी अनुवादक, डेबोरा स्मिथ के साथ साझा किया, जो वैश्विक साहित्य में अनुवाद के महत्व पर पुरस्कार के नए ध्यान को दर्शाता है।

व्याख्या

माना कुल कार्य 30 इकाई है। चूंकि A और B मिलकर कार्य को 30 दिनों में पूरा कर सकते हैं, इसलिए उनकी संयुक्त कार्यक्षमता 30/30 = 1 इकाई प्रति दिन है।

20 दिनों में, A और B ने 20 × 1 = 20 इकाई कार्य पूरा किया। शेष कार्य 30 - 20 = 10 इकाई है।

प्रश्न के अनुसार, A ने इस शेष 10 इकाई कार्य को 20 दिनों में पूरा किया। इसलिए, A की कार्यक्षमता 10 / 20 = 0.5 इकाई प्रति दिन है।

A द्वारा अकेले 30 इकाई के पूरे कार्य को समाप्त करने में लिया गया समय, कुल कार्य को A की कार्यक्षमता से विभाजित करके निकाला जाता है: 30 / 0.5 = 60 दिन।

कार्य-भिन्न (work-fraction) विधि का उपयोग करते हुए, A और B ने 20 दिनों में कार्य का 20/30 = 2/3 भाग पूरा किया। शेष 1/3 कार्य A द्वारा 20 दिनों में पूरा किया गया। यदि A कार्य का 1/3 भाग 20 दिनों में करता है, तो A पूरा कार्य 20 × 3 = 60 दिनों में पूरा करेगा।

व्याख्या

भुजा की लंबाई a वाले एक समबाहु त्रिभुज में, किसी भी शीर्ष से केंद्रक G की दूरी परित्रिज्या R के बराबर होती है। एक समबाहु त्रिभुज की परित्रिज्या का सूत्र R = (a)/(√(3)) है। यह दिया गया है कि भुजा AB = 6 सेमी है, AG की लंबाई ज्ञात करने के लिए हम सूत्र में a = 6 प्रतिस्थापित करते हैं:

AG = (6)/(√(3))

व्यंजक को सरल करने के लिए, हम अंश और हर दोनों को √3 से गुणा करके हर का परिमेयकरण करते हैं:

AG = 6 × √3{√3 × √3} = 6√3{3} = 2√3 सेमी

वैकल्पिक रूप से, केंद्रक माध्यिका को 2:1 के अनुपात में विभाजित करता है। एक समबाहु त्रिभुज में, माध्यिका ही ऊँचाई h भी होती है, जिसकी गणना h = √3{2}a के रूप में की जाती है। 6 सेमी की भुजा के लिए, h = √3{2} × 6 = 3√3 है। AG की लंबाई माध्यिका की ⅔ होती है:

AG = ⅔ × 3√3 = 2√3 सेमी

व्याख्या

माना वस्तु का अंकित मूल्य (MP) 100 है। जब व्यापारी 25% की व्यापारिक छूट देता है, तो प्रारंभिक विक्रय मूल्य (SP₁) की गणना 100 - 25 = 75 के रूप में की जाती है। जब व्यापारी व्यापारिक छूट को बदलकर 15% कर देता है, तो नया विक्रय मूल्य (SP₂) 100 - 15 = 85 हो जाता है।

विक्रय मूल्य में वृद्धि, नए और पुराने विक्रय मूल्य के बीच का अंतर है: SP₂ - SP₁ = 85 - 75 = 10। प्रतिशत वृद्धि ज्ञात करने के लिए, इस मान को मूल विक्रय मूल्य से विभाजित किया जाता है और 100 से गुणा किया जाता है।

प्रतिशत वृद्धि = ¹⁰⁄₇₅ × 100

अंश और हर दोनों को 5 से विभाजित करके भिन्न को सरल करने पर ²⁄₁₅ × 100 प्राप्त होता है। इससे ²⁰⁰⁄₁₅ प्राप्त होता है, जिसे 5 से विभाजित करने पर यह और सरल होकर ⁴⁰⁄₃ हो जाता है। अनुचित भिन्न ⁴⁰⁄₃ को मिश्रित भिन्न में बदलने पर 13⅓% प्राप्त होता है। यह सही विकल्प में दर्शाए गए संख्यात्मक मान से मेल खाता है।

व्याख्या

दिए गए अनुपात 1/2 : 2/3 : 4/5 को सरल बनाने के लिए, प्रत्येक पद को हरों 2, 3, और 5 के लघुत्तम समापवर्त्य (LCM) से गुणा करें। 2, 3, और 5 का लघुत्तम समापवर्त्य (LCM) 30 है।

1/2 × 30 = 15 2/3 × 30 = 20 4/5 × 30 = 24

तीनों भागों का सरल अनुपात 15 : 20 : 24 है। इन अनुपात इकाइयों का योग 15 + 20 + 24 = 59 है। चूंकि विभाजित की जाने वाली कुल राशि 177 है, इसलिए एक अनुपात इकाई का मान 177 / 59 = 3 के रूप में परिकलित किया जाता है।

दूसरा भाग अनुपात के दूसरे पद से संबंधित है, जो कि 20 है। इसलिए, दूसरा भाग 20 × 3 = 60 है।

व्याख्या

लाभ प्रतिशत की गणना सूत्र P% = (SP - CP)/(CP) × 100 का उपयोग करके की जाती है, जहाँ SP विक्रय मूल्य (selling price) है और CP क्रय मूल्य (cost price) है। प्रश्न के अनुसार, जब वस्तु को 78 रुपये में बेचा जाता है, तो लाभ प्रतिशत, उसे 69 रुपये में बेचने पर होने वाले लाभ प्रतिशत का दोगुना होता है।

मान लीजिए क्रय मूल्य CP है। दी गई शर्त के आधार पर समीकरण स्थापित करने पर:

(78 - CP)/(CP) × 100 = 2 × ( (69 - CP)/(CP) × 100 )

समीकरण के दोनों पक्षों से 100 और CP निरस्त (cancel) हो जाते हैं, जिससे यह सरल होकर निम्न रूप में आ जाता है:

78 - CP = 2(69 - CP)

दाहिने पक्ष का विस्तार करने पर प्राप्त होता है:

78 - CP = 138 - 2CP

CP का मान ज्ञात करने के लिए पदों को व्यवस्थित करने पर:

2CP - CP = 138 - 78

CP = 60

वस्तु का क्रय मूल्य 60 रुपये है। इस मूल्य पर, 78 रुपये में बेचने पर 30 प्रतिशत का लाभ होता है, जो कि 69 रुपये में बेचने पर होने वाले 15 प्रतिशत लाभ का ठीक दोगुना है।

व्याख्या

राम की आयु और रहीम की आयु का अनुपात 10:11 दिया गया है। राम की आयु के प्रतिशत के रूप में रहीम की आयु ज्ञात करने के लिए, हम अनुपात को एक भिन्न के रूप में व्यक्त करते हैं जहाँ रहीम की आयु अंश है और राम की आयु हर है, और फिर इसे 100 से गुणा करते हैं।

अनुपात के मानों का उपयोग करने पर: प्रतिशत = ¹¹⁄₁₀ × 100

गणना को सरल करने पर, हम 100 को 10 से विभाजित करके 10 प्राप्त करते हैं, और फिर 11 से गुणा करते हैं: 11 × 10 = 110%

व्याख्या

जब कोई वस्तु अलग-अलग गतियों से समान दूरी तय करती है, तो पूरी यात्रा की औसत गति की गणना हरात्मक माध्य (harmonic mean) सूत्र का उपयोग करके की जाती है: औसत गति = (2xy)/(x+y)

यहाँ, गौतम x = 32 किमी/घंटा की गति से 160 किमी की दूरी तय करता है और y = 40 किमी/घंटा की गति से उतनी ही दूरी (160 किमी) वापस लौटता है। इन मानों को सूत्र में रखने पर: औसत गति = (2 × 32 × 40)/(32 + 40) औसत गति = ²⁵⁶⁰⁄₇₂

अंश और हर दोनों को 8 से विभाजित करने पर व्यंजक सरल हो जाता है: औसत गति = ³²⁰⁄₉

संख्यात्मक मान की गणना करने पर: 320 ÷ 9 = 35.555...

औसत गति लगभग 35.55 किमी/घंटा है। इसे कुल दूरी (160 + 160 = 320 किमी) की गणना करके और इसे लिए गए कुल समय (160/32 = 5 घंटे और 160/40 = 4 घंटे, कुल 9 घंटे) से विभाजित करके भी सत्यापित किया जा सकता है। इस प्रकार, 320 / 9 = 35.55 किमी/घंटा।

व्याख्या

व्यंजक 27x³ - 54x² + 36x - 11 को द्विपद के घन के बीजीय सर्वसमिका का उपयोग करके सरल किया जा सकता है: (a - b)³ = a³ - 3a²b + 3ab² - b³

पदों की तुलना करने पर: a³ = 27x³ ⟹ a = 3x 3a²b = 3(3x)²b = 27x²b चूंकि व्यंजक में दूसरा पद 54x² है, इसलिए हमारे पास 27x²b = 54x² है, जिससे b = 2 प्राप्त होता है।

तीसरे पद का सत्यापन करने पर: 3ab² = 3(3x)(2)² = 36x. यह दिए गए व्यंजक से मेल खाता है। (3x - 2)³ का प्रसार है: (3x - 2)³ = 27x³ - 54x² + 36x - 8

मूल व्यंजक को इस प्रकार फिर से लिखा जा सकता है: 27x³ - 54x² + 36x - 8 - 3 = (3x - 2)³ - 3

अब, सरलीकृत व्यंजक में x = ³⁄₂ प्रतिस्थापित करें: मान = (3 × ³⁄₂ - 2)³ - 3 मान = (⁹⁄₂ - 2)³ - 3 मान = (4.5 - 2)³ - 3 मान = (2.5)³ - 3 मान = 15.625 - 3 = 12.625

संख्यात्मक परिणाम 12.625 विकल्प C के पूर्णांक भाग से मेल खाता है।

व्याख्या

किसी भी त्रिभुज के आंतरिक कोणों का योग हमेशा 180° होता है। दिया गया है कि कोणों का अनुपात 2:3:4 है, इसलिए अनुपात में कुल भागों की संख्या 2 + 3 + 4 = 9 इकाई है।

चूंकि 9 इकाई 180° के बराबर है, इसलिए 1 इकाई का मान इस प्रकार निकाला जाता है: 1 इकाई = 180° / 9 = 20°

सबसे बड़ा कोण 4 इकाई के बराबर है और सबसे छोटा कोण 2 इकाई के बराबर है। सबसे बड़े और सबसे छोटे कोण के बीच का अंतर है: अंतर = (4 - 2) इकाई = 2 इकाई

1 इकाई का मान रखने पर: अंतर = 2 × 20° = 40°

व्याख्या

एक समकोण त्रिभुज ABC में, जहाँ ∠ A = 90° और AD ⊥ BC है, शीर्षलंब AD, कर्ण के खंडों BD और CD का गुणोत्तर माध्य होता है। यह संबंध सूत्र AD² = BD × CD द्वारा परिभाषित होता है। दिए गए मानों AD = 2 सेमी और BD = 2 सेमी को सूत्र में रखने पर, हमें 2² = 2 × CD प्राप्त होता है। इसे सरल करने पर 4 = 2 × CD प्राप्त होता है, जिससे CD = 2 सेमी प्राप्त होता है।

वैकल्पिक रूप से, △ ABD में, चूंकि ∠ ADB = 90° और AD = BD है, इसलिए यह त्रिभुज एक समद्विबाहु समकोण त्रिभुज है, जिसका अर्थ है कि ∠ BAD = ∠ ABD = 45°। परिणामस्वरूप, ∠ CAD = ∠ BAC - ∠ BAD = 90° - 45° = 45°। △ ACD में, चूंकि ∠ ADC = 90° और ∠ CAD = 45° है, इसलिए यह त्रिभुज भी एक समद्विबाहु समकोण त्रिभुज है जहाँ CD = AD = 2 सेमी है।

व्याख्या

व्यंजक 2⁵¹ + 2⁵² + 2⁵³ + 2⁵⁴ + 2⁵⁵ की विभाज्यता ज्ञात करने के लिए, हम सबसे पहले इस श्रृंखला से 2 की सबसे छोटी घात को उभयनिष्ठ (common) लेते हैं, जो कि 2⁵¹ है।

व्यंजक सरल होकर इस प्रकार हो जाता है: 2⁵¹ (2⁰ + 2¹ + 2² + 2³ + 2⁴) 2⁵¹ (1 + 2 + 4 + 8 + 16) 2⁵¹ × 31

यह निर्धारित करने के लिए कि क्या यह गुणनफल दिए गए विकल्पों में से किसी से विभाज्य है, हम गुणनखंडों को और सरल कर सकते हैं। 2⁵¹ में से 2² बाहर निकालने पर, हमें प्राप्त होता है: 2⁴⁹ × 2² × 31 2⁴⁹ × 4 × 31 2⁴⁹ × 124

चूंकि 124 प्राप्त गुणनफल का एक गुणनखंड है, इसलिए संपूर्ण व्यंजक 124 से विभाज्य है।

व्याख्या

अंकगणितीय माध्य रैखिक रूपांतरण (linear transformation) के गुण का अनुसरण करता है। यदि किसी डेटा सेट (आंकड़ों के समूह) में प्रत्येक प्रेक्षण (observation) पर एक ही रैखिक संक्रिया की जाती है, जैसे कि उसे एक स्थिरांक a से गुणा करना और फिर उसमें एक स्थिरांक b जोड़ना, तो उस समूह का माध्य भी उसी संक्रिया के अनुसार बदल जाता है।

दिया गया है कि 12 संख्याओं का मूल औसत x = 9 है, और प्रत्येक संख्या पर लागू किया गया रूपांतरण 2x + 3 है, तो नए औसत xₙₑ_w की गणना सीधे इस सूत्र का उपयोग करके की जा सकती है:

xₙₑ_w = (2 × x) + 3

दिए गए मान को प्रतिस्थापित करने पर:

xₙₑ_w = (2 × 9) + 3 xₙₑ_w = 18 + 3 xₙₑ_w = 21

व्याख्या

दिया गया है (a + ¹⁄ₐ)² = 3, दोनों पक्षों का वर्गमूल लेने पर a + ¹⁄ₐ = √3 प्राप्त होता है। घनों के योग के लिए बीजीय सर्वसमिका, x³ + (1)/(x³) = (x + ¹⁄ₓ)³ - 3(x + ¹⁄ₓ) का उपयोग करते हुए, हम x के स्थान पर a प्रतिस्थापित करते हैं:

a³ + (1)/(a³) = (√3)³ - 3(√3) a³ + (1)/(a³) = 3√3 - 3√3 = 0

a³ + (1)/(a³) = 0 से, हम यह निष्कर्ष निकाल सकते हैं कि (a⁶ + 1)/(a³) = 0, जिसका अर्थ है a⁶ + 1 = 0 या a⁶ = -1।

अभीष्ट व्यंजक का मान ज्ञात करने के लिए, a⁶ = -1 प्रतिस्थापित करें: a⁶ - (1)/(a⁶) = (-1) - ¹⁄₋₁ = -1 - (-1) = -1 + 1 = 0

व्याख्या

समीकरण √(2+x) + √(2-x){√(2+x) - √(2-x)} = 2 को हल करने के लिए, हम योगानुपात (componendo and dividendo) का नियम लागू करते हैं, जिसके अनुसार यदि (a)/(b) = (c)/(d) है, तो (a+b)/(a-b) = (c+d)/(c-d) होगा।

अंश को a, हर को b, और दाईं ओर को ²⁄₁ मानकर, हमें प्राप्त होता है:

(√(2+x) + √(2-x)) + (√(2+x) - √(2-x)){(√(2+x) + √(2-x)) - (√(2+x) - √(2-x))} = ²⁺¹⁄₂₋₁

पदों को सरल करने पर प्राप्त होता है:

2√(2+x){2√(2-x)} = ³⁄₁

√(2+x){√(2-x)} = 3

वर्गमूलों को हटाने के लिए समीकरण के दोनों पक्षों का वर्ग करने पर:

²⁺ˣ⁄₂₋ₓ = 9

2 + x = 9(2 - x)

2 + x = 18 - 9x

10x = 16

x = ¹⁶⁄₁₀ = ⁸⁄₅

व्याख्या

किन्हीं दो समरूप त्रिभुजों के लिए, उनकी संगत भुजाओं का अनुपात उनके परिमापों के अनुपात के बराबर होता है। दिया गया है कि △ ABC ∼ △ PQR, परिमापों और भुजाओं के बीच संबंध को इस प्रकार व्यक्त किया जाता है:

(परिमाप(△ ABC))/(परिमाप(△ PQR)) = (AB)/(PQ)

सूत्र में दिए गए मानों को रखने पर:

36/24 = (AB)/(10)

परिमापों के अनुपात 36/24 को उसके सरलतम रूप में सरल करने पर 3/2 प्राप्त होता है। समीकरण इस प्रकार हो जाता है:

3/2 = (AB)/(10)

तिर्यक-गुणन (cross-multiplication) द्वारा AB का मान ज्ञात करने पर:

2 × AB = 30

AB = 30/2 = 15 सेमी

व्याख्या

समकोण त्रिभुज ABC में, चूंकि ∠ B = 90° है, इसलिए भुजा AC कर्ण है। पाइथागोरस प्रमेय के अनुसार, AB² + BC² = AC²। दिए गए मानों को रखने पर, 8² + BC² = 10², जिसे सरल करने पर 64 + BC² = 100 प्राप्त होता है। इससे BC² = 36 प्राप्त होता है, जिससे BC = 6 सेमी मिलता है। यह त्रिभुज मानक पाइथागोरस त्रिक (6, 8, 10) का अनुसरण करता है। समकोण त्रिभुज के क्षेत्रफल की गणना सूत्र ½ × आधार × ऊँचाई का उपयोग करके की जाती है। BC को आधार और AB को ऊँचाई के रूप में उपयोग करने पर, क्षेत्रफल ½ × 6 × 8 = 24 वर्ग सेमी है।

व्याख्या

किसी भी त्रिभुज ABC में, अंतः कोणों का योग A + B + C = 180° होता है। इस संबंध को A + B = 180° - C के रूप में फिर से लिखा जा सकता है। दोनों पक्षों को 2 से विभाजित करने पर सर्वसमिका (A+B)/(2) = 90° - (C)/(2) प्राप्त होती है।

इस सर्वसमिका को दिए गए व्यंजक sin((A+B)/(2)) = √3{2} में प्रतिस्थापित करने पर sin(90° - (C)/(2)) = √3{2} प्राप्त होता है। पूरक कोण सूत्र sin(90° - θ) = cos θ को लागू करने पर, समीकरण सरल होकर cos((C)/(2)) = √3{2} हो जाता है।

चूंकि cos 30° = √3{2} है, इसलिए हमें प्राप्त होता है कि (C)/(2) = 30° है। वांछित मान ज्ञात करने के लिए, हम sin((C)/(2)) = sin 30° की गणना करते हैं। मानक त्रिकोणमितीय मानों का उपयोग करने पर, sin 30° = ½ प्राप्त होता है।

व्याख्या

चक्रवृद्धि ब्याज के बाद मिश्रधन A की गणना सूत्र A = P(1 + (R)/(100))ⁿ का उपयोग करके की जाती है। यहाँ मूलधन P = 64,000, दर R = 7.5%, और समय n = 3 वर्ष दिया गया है, दर को भिन्न के रूप में 7.5/100 = 3/40 के रूप में व्यक्त किया जा सकता है।

सूत्र में मान रखने पर: A = 64,000(1 + ³⁄₄₀)³ A = 64,000(⁴³⁄₄₀)³ A = 64,000 × (43 × 43 × 43)/(40 × 40 × 40) A = 64,000 × (79,507)/(64,000) A = 79,507

चक्रवृद्धि ब्याज, कुल मिश्रधन और मूलधन के बीच का अंतर है: CI = A - P CI = 79,507 - 64,000 CI = 15,507

व्याख्या

माना मंदिर की ऊंचाई H है और भवन तथा मंदिर के बीच की क्षैतिज दूरी x है। प्रश्न के अनुसार, भवन की ऊंचाई 30 मीटर है।

भवन के पाद से, मंदिर के शिखर का उन्नयन कोण 60° है: tan 60° = (H)/(x) ⟹ √3 = (H)/(x) ⟹ x = (H)/(√3)

भवन के शिखर से, मंदिर के शिखर का उन्नयन कोण 30° है। भवन के शिखर से मंदिर के शिखर की ऊर्ध्वाधर दूरी H - 30 है: tan 30° = (H - 30)/(x) ⟹ (1)/(√3) = (H - 30)/(x) ⟹ x = (H - 30)√3

x के दोनों मानों को बराबर रखने पर: (H)/(√3) = (H - 30)√3 H = 3(H - 30) H = 3H - 90 2H = 90 H = 45 मीटर

व्याख्या

भरने वाले नल की दर 1/50 टंकी प्रति मिनट है, और खाली करने वाले नल की दर 1/75 टंकी प्रति मिनट है। जब दोनों नल एक साथ खोले जाते हैं, तो शुद्ध भरने की दर इन दोनों दरों के बीच का अंतर होती है: शुद्ध दर = 1/50 - 1/75 इन भिन्नों को घटाने के लिए, हम 50 और 75 के लघुत्तम समापवर्त्य (LCM) का उपयोग करते हैं, जो कि 150 है: शुद्ध दर = 3/150 - 2/150 = 1/150 टंकी प्रति मिनट। टंकी पहले से ही आधी भरी हुई है, जिसका अर्थ है कि टंकी की क्षमता का 1 - 1/2 = 1/2 भाग भरना शेष है। इस शेष भाग को भरने के लिए आवश्यक समय की गणना इस शेष भाग को शुद्ध भरने की दर से विभाजित करके की जाती है: समय = (1/2) / (1/150) = 150 / 2 = 75 मिनट।

व्याख्या

एक ठोस गोले के आयतन की गणना सूत्र V = ⁴⁄₃ π r³ का उपयोग करके की जाती है, जहाँ r त्रिज्या है। जब तीनों गोलों को पिघलाकर एक बड़ा गोला बनाया जाता है, तो सामग्री का कुल आयतन संरक्षित रहता है। इसलिए, R त्रिज्या वाले नए गोले का आयतन तीनों छोटे गोलों के आयतनों के योग के बराबर होगा।

आयतन संरक्षण के आधार पर समीकरण स्थापित करने पर: ⁴⁄₃ π R³ = ⁴⁄₃ π r₁³ + ⁴⁄₃ π r₂³ + ⁴⁄₃ π r₃³

समीकरण के दोनों पक्षों से अचर गुणांक ⁴⁄₃ π को विभाजित करके हटाया जा सकता है, जिससे यह सरल होकर निम्न रूप में आ जाता है: R³ = r₁³ + r₂³ + r₃³

त्रिज्या R ज्ञात करने के लिए, दोनों पक्षों का घनमूल लेने पर: R = (r₁³ + r₂³ + r₃³)^⅓

व्याख्या

क्रमिक छूट d₁ और d₂ के लिए प्रभावी छूट ज्ञात करने के लिए, हम सूत्र D = d₁ + d₂ - (d₁ × d₂)/100 का उपयोग करते हैं।

पहले दुकानदार के लिए, प्रभावी छूट = 30 + 6 - (30 × 6)/(100) = 36 - 1.8 = 34.2% है। दूसरे दुकानदार के लिए, प्रभावी छूट = 20 + 16 - (20 × 16)/(100) = 36 - 3.2 = 32.8% है।

चूंकि दोनों के लिए 700 रुपये का मूल मूल्य समान है, इसलिए उनके विक्रय मूल्य में अंतर उनकी कुल छूट प्रतिशत के अंतर के बराबर है। छूट प्रतिशत में अंतर = 34.2% - 32.8% = 1.4%.

विक्रय मूल्य में अंतर 700 रुपये का 1.4% है: अंतर = (1.4)/(100) × 700 = 1.4 × 7 = 9.8।

व्याख्या

स्प्रिंग में खिंचाव हुक के नियम (Hooke's Law) का पालन करता है, जिसके अनुसार स्प्रिंग पर लटकाया गया भार W, उत्पन्न खिंचाव x के अनुक्रमानुपाती होता है, जिसे W = kx के रूप में व्यक्त किया जाता है। चूंकि समानुपात का संबंध लागू होता है, इसलिए भार और खिंचाव का अनुपात स्थिर रहता है: (W₁)/(x₁) = (W₂)/(x₂)। दिए गए मानों को प्रतिस्थापित करने पर, जहाँ W₁ = 5 किग्रा, x₁ = 0.4 सेमी, और x₂ = 5 सेमी है, हमें प्राप्त होता है: (5)/(0.4) = (W₂)/(5)। W₂ का मान ज्ञात करने के लिए समीकरण को पुनर्व्यवस्थित करने पर: W₂ = (5 × 5)/(0.4) = (25)/(0.4) प्राप्त होता है। यह गणना सरल होकर ²⁵⁰⁄₄ हो जाती है, जिससे 62.5 किग्रा का भार प्राप्त होता है।

व्याख्या

मान लीजिए कि पुस्तक की एक प्रति का क्रय मूल्य x रुपये है। 12 प्रतियों का कुल क्रय मूल्य 12x है। इन 12 प्रतियों का विक्रय मूल्य 1800 रुपये दिया गया है। प्रश्न के अनुसार, इस बिक्री से प्राप्त लाभ 3 प्रतियों के क्रय मूल्य के बराबर है, जो कि 3x है।

लाभ और हानि के मूल सूत्र का उपयोग करने पर: विक्रय मूल्य = क्रय मूल्य + लाभ

12 प्रतियों के लिए ज्ञात मानों को प्रतिस्थापित करने पर: 1800 = 12x + 3x 1800 = 15x

एक प्रति का क्रय मूल्य ज्ञात करने के लिए, कुल विक्रय मूल्य को समतुल्य क्रय मूल्य इकाइयों की कुल संख्या से विभाजित करें: x = ¹⁸⁰⁰⁄₁₅ x = 120

पुस्तक की प्रत्येक प्रति का क्रय मूल्य 120 रुपये है।

व्याख्या

विवाह समारोह में लोगों का कुल प्रतिशत 100% है। बच्चों का प्रतिशत कुल प्रतिशत में से महिलाओं और पुरुषों के प्रतिशत को घटाकर निकाला जाता है: 100% - (32% + 54%) = 14%।

हमें दिया गया है कि बच्चों की संख्या 196 है, इसलिए कुल जनसंख्या का 14% = 196 है। कुल जनसंख्या के 1% का मान ज्ञात करने के लिए, हम बच्चों की संख्या को उनके प्रतिशत से विभाजित करते हैं: 196 / 14 = 14। पुरुषों की संख्या कुल जनसंख्या का 54% है। इसलिए, पुरुषों की कुल संख्या 54 × 14 = 756 है।

व्याख्या

मीटर में तय की गई दूरी ज्ञात करने के लिए, सबसे पहले गति को किलोमीटर प्रति घंटा (किमी/घंटा) से मीटर प्रति सेकंड (मीटर/सेकंड) में परिवर्तित किया जाना चाहिए। यह परिवर्तन कारक ⁵⁄₁₈ का उपयोग करके किया जाता है।

मीटर/सेकंड में गति की गणना इस प्रकार की जाती है: गति = 116 × ⁵⁄₁₈ मीटर/सेकंड

दूरी का सूत्र है: दूरी = गति × समय। दिए गए मानों को प्रतिस्थापित करने पर: दूरी = (116 × ⁵⁄₁₈) × 18

हर (denominator) में 18 और अंश (numerator) में 18 एक-दूसरे को काट देते हैं, जिससे गणना सरल होकर 116 × 5 हो जाती है। इससे कुल 580 मीटर की दूरी प्राप्त होती है।

व्याख्या

दी गई शर्त a + b = 5 है। हम लक्षित व्यंजक (a - 3)² + (b - 2)² में स्थिरांकों को देखकर a और b के मानों का एक ऐसा समूह ज्ञात कर सकते हैं जो इस समीकरण को संतुष्ट करता हो। a = 3 और b = 2 चुनने पर, हम इस शर्त को संतुष्ट करते हैं क्योंकि 3 + 2 = 5 होता है। व्यंजक में इन विशिष्ट मानों को प्रतिस्थापित करने पर, हमें प्राप्त होता है:

(3 - 3)² + (2 - 2)² = 0² + 0² = 0

प्रतियोगी परीक्षाओं में, जब किसी दिए गए प्रतिबंध के लिए एक व्यंजक पूछा जाता है और उस प्रतिबंध को संतुष्ट करने वाले मानों का एक विशिष्ट युग्म विकल्पों में से एक मान प्रदान करता है, तो वही मान अभीष्ट उत्तर होता है। चूंकि a = 3 और b = 2 शर्त a + b = 5 को संतुष्ट करते हैं, इसलिए व्यंजक का मान 0 प्राप्त होता है।

व्याख्या

दिया गया समीकरण x² - 2x + 1 = 0 एक पूर्ण वर्ग त्रिपद है जिसे (x - 1)² = 0 के रूप में लिखा जा सकता है। x का मान ज्ञात करने के लिए, हम दोनों पक्षों का वर्गमूल लेते हैं जिससे x - 1 = 0 प्राप्त होता है, जो x = 1 देता है। वांछित व्यंजक का मान ज्ञात करने के लिए, x⁴ + (1)/(x⁴) में x = 1 प्रतिस्थापित करें। इसके परिणामस्वरूप 1⁴ + (1)/(1⁴) प्राप्त होता है। चूंकि 1 की कोई भी घात 1 ही रहती है, इसलिए व्यंजक सरल होकर 1 + ¹⁄₁ = 1 + 1 = 2 हो जाता है।

व्याख्या

एक समबाहु त्रिभुज में, माध्यिका त्रिभुज की ऊंचाई भी होती है। भुजा s और माध्यिका की लंबाई h के बीच का संबंध सूत्र h = √3/2 s द्वारा दिया जाता है। माध्यिका के दिए गए मान को प्रतिस्थापित करने पर, हमें 12√3 = √3/2 s प्राप्त होता है, जिससे s = 24 सेमी प्राप्त होता है।

भुजा s वाले एक समबाहु त्रिभुज का क्षेत्रफल A, सूत्र A = √3/4 s² का उपयोग करके ज्ञात किया जाता है। भुजा का मान प्रतिस्थापित करने पर, हमें A = √3/4 × (24)² = √3/4 × 576 = 144√3 वर्ग सेमी प्राप्त होता है। वैकल्पिक रूप से, क्षेत्रफल सीधे माध्यिका की लंबाई से सूत्र A = (h²)/(√(3)) का उपयोग करके ज्ञात किया जा सकता है। h = 12√3 रखने पर A = (12√3)²/(√3) = (144 × 3)/(√(3)) = 144√3 वर्ग सेमी प्राप्त होता है।

व्याख्या

परिकेंद्र O वाले एक वृत्त में, किसी जीवा द्वारा केंद्र पर अंतरित कोण, उसके द्वारा दीर्घ चाप पर किसी बिंदु पर अंतरित कोण का दोगुना होता है। प्रश्न में कहा गया है कि शीर्ष A और जीवा BC, परिकेंद्र O के विपरीत ओर स्थित हैं। इस ज्यामितीय विन्यास का तात्पर्य है कि परिकेंद्र O, त्रिभुज ABC के भीतर स्थित है, जिससे शीर्ष A, जीवा BC के सापेक्ष दीर्घ चाप पर स्थित होता है।

जीवा BC द्वारा अंतरित केंद्रीय कोण दिया गया है: ∠ BOC = 150°

दीर्घ चाप के लिए केंद्रीय कोण और परिधि पर बने कोण से संबंधित प्रमेय के अनुसार: ∠ BAC = ½ × ∠ BOC

दिया गया मान रखने पर: ∠ BAC = ½ × 150° = 75°

व्याख्या

किसी भी त्रिभुज ABC में, अंतः कोणों का योग A + B + C = 180° होता है। दिए गए त्रिकोणमितीय समीकरण कोणों के लिए रैखिक समीकरणों का एक निकाय प्रदान करते हैं:

sin(B + C - A) = √3/2 से, हम जानते हैं कि B + C - A का मान 60° या 120° हो सकता है। इसी प्रकार, tan(C + A - B) = 1 से, हमें C + A - B = 45° प्राप्त होता है।

B + C - A = 60° और C + A - B = 45° का उपयोग करते हुए, हम दोनों समीकरणों को जोड़ते हैं: (B + C - A) + (C + A - B) = 60° + 45° 2C = 105° C = 52.5°

यह सुनिश्चित करने के लिए कि यह त्रिभुज की शर्तों को संतुष्ट करता है, हम A और B का मान ज्ञात करते हैं। पहले समीकरण में से दूसरे समीकरण को घटाने पर: (B + C - A) - (C + A - B) = 60° - 45° 2B - 2A = 15° ⟹ B - A = 7.5°

कोण योग गुणधर्म का उपयोग करने पर: A + B = 180° - C = 180° - 52.5° = 127.5°

(B - A) और (B + A) को जोड़ने पर 2B = 135° प्राप्त होता है, इसलिए B = 67.5°। इससे A = 127.5° - 67.5° = 60° प्राप्त होता है। चूंकि A, B और C सभी 90° से कम हैं, इसलिए त्रिभुज आवश्यकतानुसार न्यूनकोण त्रिभुज है।

व्याख्या

कोई संख्या 125 से केवल और केवल तभी विभाज्य होती है जब उसके अंतिम तीन अंकों से बनी संख्या 125 से विभाज्य हो। 125 के तीन अंकों वाले गुणज 125, 250, 375, 500, 625, 750 और 875 हैं। दिए गए अंकों {2, 3, 8, 7, 5} के आधार पर, केवल 375 और 875 ही ऐसे संभावित अंतिम तीन अंक हैं जो बनाए जा सकते हैं।

उस स्थिति में जब संख्या 375 पर समाप्त होती है, अंक 2 और 8 शेष बचते हैं। इन दोनों अंकों को शेष दो स्थानों पर 2! = 2 × 1 = 2 तरीकों से व्यवस्थित किया जा सकता है। इसके परिणामस्वरूप पाँच अंकों की संख्याएँ 28375 और 82375 प्राप्त होती हैं।

उस स्थिति में जब संख्या 875 पर समाप्त होती है, अंक 2 और 3 शेष बचते हैं। इन दोनों अंकों को भी शेष दो स्थानों पर 2! = 2 × 1 = 2 तरीकों से व्यवस्थित किया जा सकता है। इसके परिणामस्वरूप पाँच अंकों की संख्याएँ 23875 और 32875 प्राप्त होती हैं।

दोनों स्थितियों की संभावनाओं को मिलाने पर, ऐसे पूर्णांकों की कुल संख्या 2 + 2 = 4 है।

व्याख्या

मिश्रण के नियम (rule of alligation) का उपयोग करते हुए, तकनीशियनों की संख्या और शेष श्रमिकों की संख्या का अनुपात उनके संबंधित औसत वेतन के कुल औसत वेतन से विचलन के आधार पर निकाला जाता है।

तकनीशियनों का शेष श्रमिकों से अनुपात = (12000 - 9000) : (15000 - 12000) अनुपात = 3000 : 3000 = 1 : 1

चूंकि तकनीशियनों की संख्या 7 दी गई है, और तकनीशियनों का शेष श्रमिकों से अनुपात 1:1 है, इसलिए शेष श्रमिकों की संख्या भी 7 होगी। अतः, कार्यशाला में श्रमिकों की कुल संख्या 7 + 7 = 14 है।

इसे भारित औसत (weighted average) सूत्र का उपयोग करके भी हल किया जा सकता है। माना श्रमिकों की कुल संख्या n है: 12000n = 7 × 15000 + (n - 7) × 9000 12000n = 105000 + 9000n - 63000 3000n = 42000 n = 14

व्याख्या

मान लीजिए कि जमीन से हवाई जहाज की ऊंचाई h है। वस्तु के एक ही ओर d दूरी पर स्थित दो अवलोकन बिंदुओं के लिए, ऊंचाई और उन्नयन कोणों α और β (जहाँ α < β) के बीच का संबंध सूत्र h = (d)/(cot α - cot β) द्वारा दिया जाता है। चूंकि अवलोकन क्रमिक पत्थरों से किए गए हैं, इसलिए उनके बीच की दूरी d = 1 किमी है। दिए गए कोण α = 45° और β = 60° हैं:

h = (1)/(cot 45° - cot 60°)

त्रिकोणमितीय मानों cot 45° = 1 और cot 60° = (1)/(√(3)) को प्रतिस्थापित करने पर:

h = (1)/(1 - 1){√3} = √3{√3 - 1}

व्यंजक को सरल बनाने के लिए, अंश और हर दोनों को (√3 + 1) से गुणा करके हर का परिमेयकरण करने पर:

h = √3(√3 + 1){(√3 - 1)(√3 + 1)} = 3 + √3{3 - 1} = 3 + √3{2}

इसे ½ (√3 + 3) किमी के रूप में लिखा जा सकता है।

व्याख्या

दिया गया व्यंजक एक द्विघात फलन f(x) = -4x² + 20x + 5 है, जो मानक रूप ax² + bx + c में है, जहाँ a = -4, b = 20, और c = 5 है। चूंकि x² का गुणांक ऋणात्मक (a < 0) है, इसलिए परवलय (parabola) नीचे की ओर खुलता है, और फलन अपने शीर्ष (vertex) पर अपना अधिकतम मान प्राप्त करता है। ऐसे द्विघात व्यंजक के अधिकतम मान का सूत्र है:

अधिकतम मान = (4ac - b²)/(4a)

दिए गए स्थिरांकों को सूत्र में रखने पर: अधिकतम मान = (4(-4)(5) - (20)²)/(4(-4)) अधिकतम मान = (-80 - 400)/(-16) अधिकतम मान = ⁻⁴⁸⁰⁄₋₁₆ = 30

वैकल्पिक रूप से, अधिकतम मान x = -b / (2a) पर प्राप्त होता है। इसकी गणना करने पर x = -20 / (2 × -4) = 2.5 प्राप्त होता है। मूल व्यंजक में x = 2.5 का मान वापस रखने पर: f(2.5) = 5 + 20(2.5) - 4(2.5)² f(2.5) = 5 + 50 - 4(6.25) f(2.5) = 55 - 25 = 30

व्याख्या

दिए गए अनुपात 3a = 4b = 6c में, हम 3, 4 और 6 का लघुत्तम समापवर्त्य (LCM) ज्ञात करके, जो कि 12 है, a, b और c को एक उभयनिष्ठ चर x के पदों में व्यक्त कर सकते हैं। संपूर्ण समीकरण को 12 से विभाजित करने पर, हमें a/4 = b/3 = c/2 = x प्राप्त होता है। इस प्रकार, a = 4x, b = 3x और c = 2x है।

इन्हें योग समीकरण a + b + c = 27√(29) में प्रतिस्थापित करने पर: 4x + 3x + 2x = 27√(29) 9x = 27√(29) x = 3√(29)

अभीष्ट मान √(a² + b² + c²) है: √((4x)² + (3x)² + (2x)²) = √(16x² + 9x² + 4x²) = √(29x²) = x√(29)

x का मान प्रतिस्थापित करने पर: 3√(29) × √(29) = 3 × 29 = 87

व्याख्या

किसी समबहुभुज के एक अंतः कोण और एक बाह्य कोण का योग हमेशा 180° होता है। चूंकि अंतः कोण 170° दिया गया है, इसलिए बाह्य कोण इस प्रकार ज्ञात किया जा सकता है: बाह्य कोण = 180° - 170° = 10°

किसी भी उत्तल बहुभुज के सभी बाह्य कोणों का योग 360° होता है। एक समबहुभुज में, सभी बाह्य कोण बराबर होते हैं, इसलिए भुजाओं की संख्या n, बाह्य कोणों के कुल योग को एक बाह्य कोण के माप से विभाजित करके निर्धारित की जाती है: n = (360°)/(10°) = 36

वैकल्पिक रूप से, समबहुभुज के अंतः कोण के सूत्र का उपयोग करके: ((n - 2) × 180°)/(n) = 170° 180n - 360 = 170n 10n = 360 n = 36

व्याख्या

केंद्र O वाले एक वृत्त और एक बाहरी बिंदु P से खींची गई स्पर्श रेखाओं PA और PB के लिए, स्पर्श रेखाओं द्वारा बनाए गए कोण ∠ APB और कोण ∠ OAB के बीच का संबंध सूत्र ∠ OAB = ½ ∠ APB द्वारा परिभाषित होता है। यह संबंध इसलिए मौजूद है क्योंकि त्रिज्याएँ OA और OB स्पर्श बिंदुओं पर स्पर्श रेखाओं पर लंबवत होती हैं, जिससे ∠ OAP = ∠ OBP = 90° हो जाता है। चतुर्भुज OAPB में, केंद्र पर बना कोण ∠ AOB = 180° - ∠ APB होता है। समद्विबाहु त्रिभुज OAB में, आधार कोण ∠ OAB = (180° - ∠ AOB)/(2) होता है। ∠ AOB का मान प्रतिस्थापित करने पर, यह व्यंजक सरल होकर (180° - (180° - ∠ APB))/(2) = ½ ∠ APB हो जाता है। दिया गया है कि ∠ APB = 50°, इसलिए गणना इस प्रकार है: ∠ OAB = (50°)/(2) = 25°।

व्याख्या

तीन क्रमिक वार्षिक वृद्धियों के बाद श्रमिकों की अंतिम संख्या की गणना भिन्न-भिन्न दरों के साथ चक्रवृद्धि वृद्धि के सूत्र का उपयोग करके की जाती है:

A = P(1 + (R₁)/(100))(1 + (R₂)/(100))(1 + (R₃)/(100))

प्रारंभिक संख्या P = 8000 और वृद्धि दर R₁ = 5%, R₂ = 10%, और R₃ = 20% रखने पर:

A = 8000 × (1 + ⁵⁄₁₀₀) × (1 + ¹⁰⁄₁₀₀) × (1 + ²⁰⁄₁₀₀)

A = 8000 × ¹⁰⁵⁄₁₀₀ × ¹¹⁰⁄₁₀₀ × ¹²⁰⁄₁₀₀

A = 8000 × ²¹⁄₂₀ × ¹¹⁄₁₀ × ⁶⁄₅

हरों के गुणनफल से प्रारंभिक संख्या को विभाजित करके व्यंजक को सरल करने पर:

A = ⁸⁰⁰⁰⁄₁₀₀₀ × (21 × 11 × 6)

A = 8 × 21 × 11 × 6

A = 168 × 66

A = 11088

यह परिणाम तीसरे वर्ष के अंत में उपस्थित श्रमिकों की कुल संख्या को दर्शाता है, जो कि चौथे वर्ष के दौरान कार्यबल की संख्या है।

व्याख्या

किसी भी कोण X के लिए, sin X और cos X के योग और अंतर के बीच बीजगणितीय संबंध को इस सर्वसमिका द्वारा दर्शाया जाता है: (sin X + cos X)² + (sin X - cos X)² = 2(sin² X + cos² X)

समीकरण में दिए गए मान sin X - cos X = 1 और मूलभूत त्रिकोणमितीय सर्वसमिका sin² X + cos² X = 1 को प्रतिस्थापित करने पर: (sin X + cos X)² + (1)² = 2(1) (sin X + cos X)² + 1 = 2 (sin X + cos X)² = 1

दोनों पक्षों का वर्गमूल लेने पर, हमें sin X + cos X = ± 1 प्राप्त होता है। चूँकि X प्रथम चतुर्थांश में एक कोण है, इसलिए sin X और cos X दोनों गैर-ऋणात्मक हैं, जिसका अर्थ है कि उनका योग धनात्मक होना चाहिए। अतः, sin X + cos X = 1।

व्याख्या

दैनिक चावल की आवश्यकता की गणना एक सप्ताह में उपयोग किए गए कुल वजन को दिनों की संख्या से विभाजित करके की जाती है: दैनिक आवश्यकता = (56 किग्रा)/(7 दिन) = 8 किग्रा/दिन

अप्रैल के महीने में 30 दिन होते हैं और मई के महीने में 31 दिन होते हैं। दोनों महीनों के लिए आवश्यक कुल मात्रा ज्ञात करने के लिए, पहले कुल दिनों की संख्या निर्धारित करें: कुल दिन = 30 + 31 = 61 दिन

अप्रैल और मई दोनों महीनों के लिए मिलाकर आवश्यक चावल की कुल मात्रा दैनिक खपत और कुल दिनों की संख्या का गुणनफल है: कुल चावल = 8 किग्रा/दिन × 61 दिन = 488 किग्रा

व्याख्या

क्रय मूल्य (CP) और अंकित मूल्य (MP) के बीच के संबंध को सीधे मानक सूत्र (CP)/(MP) = (100 - छूट%)/(100 + लाभ%) का उपयोग करके निर्धारित किया जा सकता है।

यह देखते हुए कि छूट प्रतिशत 20% है और लाभ प्रतिशत 15% है, हम इन मानों को सूत्र में रखते हैं:

(CP)/(MP) = (100 - 20)/(100 + 15)

(CP)/(MP) = ⁸⁰⁄₁₁₅

भिन्न को सरल बनाने के लिए, अंश और हर दोनों को उनके महत्तम समापवर्तक (जो कि 5 है) से विभाजित करें:

80 ÷ 5 = 16 115 ÷ 5 = 23

क्रय मूल्य का अंकित मूल्य से अनुपात 16:23 है।

व्याख्या

किसी वस्तु की चाल सूत्र चाल = (दूरी)/(समय) द्वारा निर्धारित की जाती है। कार के लिए, चाल S_cₐᵣ = (80 किमी)/(2 घंटे) = 40 किमी/घंटा है। ट्रेन के लिए, चाल Sₜᵣₐᵢₙ = (180 किमी)/(3 घंटे) = 60 किमी/घंटा है। कार की चाल का ट्रेन की चाल से अनुपात 40 : 60 है। दोनों पक्षों को उनके महत्तम समापवर्तक, 20 से विभाजित करने पर, अनुपात सरल होकर 2 : 3 हो जाता है।

व्याख्या

नकद राशि, अंकित मूल्य में से छूट घटाने पर प्राप्त होती है। 2.5% की छूट की त्वरित गणना करने के लिए, ध्यान दें कि 3600 का 10%, 360 है। चूंकि 2.5%, 10% का एक-चौथाई है, इसलिए छूट का मूल्य है: छूट = ³⁶⁰⁄₄ = 90 नकद राशि = अंकित मूल्य - छूट = 3600 - 90 = 3510 वैकल्पिक रूप से, छूट के बाद विक्रय मूल्य के सूत्र का उपयोग करने पर: SP = MP × (1 - (D)/(100)) SP = 3600 × (1 - (2.5)/(100)) = 3600 × 0.975 = 3510

व्याख्या

जब कुल व्यय स्थिर रहता है, तो उपभोग की जाने वाली मात्रा मूल्य के व्युत्क्रमानुपाती होती है। मूल्य में 20% की वृद्धि का तात्पर्य है कि प्रारंभिक मूल्य का नए मूल्य से अनुपात 100:120 है, जो सरल होकर 5:6 हो जाता है। परिणामस्वरूप, प्रारंभिक मात्रा का नई मात्रा से अनुपात इसका उल्टा, यानी 6:5 होगा।

अनुपात इकाइयों के संदर्भ में मात्रा में कमी 6 - 5 = 1 इकाई है। प्रश्न के अनुसार, यह 1 इकाई 4 किग्रा की कमी के संगत है। इसलिए, उपभोग की गई प्रारंभिक मात्रा 6 × 4 = 24 किग्रा थी।

प्रारंभिक मूल्य प्रति किग्रा ज्ञात करने के लिए, कुल व्यय को प्रारंभिक मात्रा से विभाजित करें: प्रारंभिक मूल्य = 120 / 24 = 5

वैकल्पिक रूप से, ₹120 पर 20% की मूल्य वृद्धि 0.20 × 120 = 24 है। यह ₹24 की अतिरिक्त राशि वह राशि है जो उस 4 किग्रा चीनी के लिए भुगतान की जाती जो अब उपलब्ध नहीं है। इस प्रकार, वर्तमान (बढ़ा हुआ) मूल्य प्रति किग्रा 24 / 4 = 6 है। चूंकि वर्तमान मूल्य प्रारंभिक मूल्य का 120% है, इसलिए प्रारंभिक मूल्य 6 / 1.2 = 5 प्रति किग्रा है।

व्याख्या

प्रत्येक दिन व्यक्ति द्वारा तय की गई दूरी एक समांतर श्रेणी (arithmetic progression) बनाती है जहाँ पहला पद a = 1 और सार्व अंतर (common difference) d = 1 है। n = 10 दिनों में तय की गई कुल दूरी ज्ञात करने के लिए, हम प्रथम n प्राकृतिक संख्याओं के योग के सूत्र का उपयोग करते हैं, जो कि Sₙ = (n(n + 1))/(2) है। सूत्र में n = 10 रखने पर, हमें S₁₀ = (10(10 + 1))/(2) प्राप्त होता है। इसकी गणना करने पर (10 × 11)/(2) = 5 × 11 = 55 किमी प्राप्त होता है।

व्याख्या

साधारण ब्याज की दर R, जब कोई राशि T वर्षों में स्वयं की n गुनी हो जाती है, सूत्र R = ((n - 1) × 100)/(T) द्वारा दी जाती है। यह देखते हुए कि राशि 8 वर्षों (T = 8) में 5 गुनी (n = 5) हो जाती है, सूत्र में इन मानों को प्रतिस्थापित करके दर की गणना की जाती है: R = ((5 - 1) × 100)/(8) = (4 × 100)/(8)। व्यंजक को सरल करने पर, R = ⁴⁰⁰⁄₈ = 50%।

व्याख्या

त्रिपद के वर्ग के लिए बीजगणितीय सर्वसमिका इस प्रकार है: (a + b + c)² = a² + b² + c² + 2(ab + bc + ca)

दिए गए मान a + b + c = 15 और a² + b² + c² = 83 को सूत्र में रखने पर: 15² = 83 + 2(ab + bc + ca) 225 = 83 + 2(ab + bc + ca)

ab + bc + ca का मान ज्ञात करने के लिए, समीकरण को पुनर्व्यवस्थित करने पर: 2(ab + bc + ca) = 225 - 83 2(ab + bc + ca) = 142 ab + bc + ca = ¹⁴²⁄₂ ab + bc + ca = 71