एसएससी सीजीएल टियर 1 2016 मात्रात्मक अभिक्षमता प्रश्न — हल सहित

व्याख्या

एक वृत्त में, किसी चाप द्वारा केंद्र पर अंतरित कोण, उसी चाप द्वारा परिधि के शेष भाग पर स्थित किसी बिंदु पर अंतरित कोण का दोगुना होता है। यहाँ, चाप PA केंद्र पर कोण ∠ POA = 120° अंतरित करता है। बिंदु B वृत्त की परिधि पर स्थित है। इसलिए, चाप PA द्वारा बिंदु B पर अंतरित कोण, जो कि ∠ PBA (या ∠ PBO) है, केंद्रीय कोण ∠ POA का आधा होगा। सूत्र ∠ PBO = ½ ∠ POA का उपयोग करते हुए, हम गणना करते हैं: ∠ PBO = ½ × 120° = 60°। वैकल्पिक रूप से, चूंकि AOB एक सीधी रेखा है, इसलिए ∠ POB = 180° - ∠ POA = 180° - 120° = 60°। △ POB में, चूंकि OP = OB (वृत्त की त्रिज्याएँ) हैं, इसलिए यह त्रिभुज समद्विबाहु है और ∠ OPB = ∠ OBP है। कोणों का योग करने पर 60° + 2∠ PBO = 180° प्राप्त होता है, जिसके परिणामस्वरूप ∠ PBO = 60° प्राप्त होता है।

व्याख्या

मान लीजिए कि हवाई जहाज की ऊंचाई h = 200 मीटर है। नदी के दोनों ओर स्थित दो बिंदु नदी के किनारे हैं। नदी की चौड़ाई इन दोनों बिंदुओं के बीच की क्षैतिज दूरी है। प्रेक्षक के ऊर्ध्वाधर प्रक्षेप (vertical projection) से किसी बिंदु की क्षैतिज दूरी d, सूत्र d = h cot θ द्वारा दी जाती है, जहाँ θ अवनमन कोण है।

45° के अवनमन कोण वाले दूर के किनारे पर स्थित बिंदु के लिए: d_fₐᵣ = 200 cot 45° = 200 × 1 = 200 मीटर

60° के अवनमन कोण वाले पास के किनारे पर स्थित बिंदु के लिए: dₙₑₐᵣ = 200 cot 60° = 200 × (1)/(√(3)) = (200)/(√(3)) मीटर

नदी की चौड़ाई, हवाई जहाज के ऊर्ध्वाधर प्रक्षेप से दोनों किनारों की क्षैतिज दूरियों का अंतर है: चौड़ाई = d_fₐᵣ - dₙₑₐᵣ चौड़ाई = 200 - (200)/(√(3)) मीटर

व्याख्या

मूल ठोस गोले को पिघलाकर एक छोटा गोला और एक बेलन बनाने पर उसका आयतन संरक्षित रहता है। आयतन संरक्षण के सिद्धांत के अनुसार, बड़े गोले का आयतन नए गोले और बेलन के आयतनों के योग के बराबर होता है।

गोले का आयतन Vₛ = ⁴⁄₃ π r³ और बेलन का आयतन V_c = π r² h द्वारा दिया जाता है।

मान लीजिए बड़े गोले की त्रिज्या R = 9 सेमी, छोटे गोले की त्रिज्या r = 6 सेमी, और त्रिज्या r = 6 सेमी वाले बेलन की ऊंचाई h है। समीकरण इस प्रकार है:

⁴⁄₃ π R³ = ⁴⁄₃ π r³ + π r² h

पूरे समीकरण को π से विभाजित करने पर:

⁴⁄₃ (9³) = ⁴⁄₃ (6³) + (6²) h

⁴⁄₃ × 729 = ⁴⁄₃ × 216 + 36h

4 × 243 = 4 × 72 + 36h

972 = 288 + 36h

दोनों पक्षों से 288 घटाने पर:

36h = 684

h = ⁶⁸⁴⁄₃₆

h = 19 सेमी

व्याख्या

एक चाप की लंबाई s सूत्र s = rθ द्वारा दी जाती है, जहाँ r त्रिज्या है और θ केंद्र पर अंतरित कोण है। मान लीजिए r₁ और r₂ क्रमशः पहले और दूसरे वृत्त की त्रिज्याएँ हैं, और s₁ और s₂ उनकी संगत चाप की लंबाइयाँ हैं। प्रश्न के अनुसार, r₂ = 3r₁ और s₁ = 2s₂।

पहले वृत्त के लिए, चाप की लंबाई s₁ = r₁ × 30° है। चाप की लंबाइयों के बीच के संबंध का उपयोग करते हुए, हमें प्राप्त होता है: s₂ = s₁{2} = 30° × r₁{2} = 15° r₁।

दूसरे वृत्त के लिए चाप की लंबाई के सूत्र को लागू करने पर, s₂ = r₂ × ₂, जहाँ ₂ दूसरे वृत्त के केंद्र पर अंतरित कोण है। इस समीकरण में r₂ = 3r₁ और s₂ के परिकलित मान को प्रतिस्थापित करने पर 15° r₁ = 3r₁ × ₂ प्राप्त होता है। दोनों पक्षों को 3r₁ से विभाजित करके ₂ के लिए हल करने पर ₂ = 5° प्राप्त होता है।

व्याख्या

कार्य और मजदूरी से संबंधित समस्याओं में, प्रत्येक व्यक्ति के भुगतान का हिस्सा उनके द्वारा किए गए कुल कार्य के भाग के सीधे आनुपातिक (समानुपाती) होता है। कुल कार्य को 1 इकाई के रूप में दर्शाया जाता है। दिया गया है कि A और B मिलकर कार्य का 7/11 भाग पूरा करते हैं, तो C द्वारा किए गए कार्य के शेष भाग की गणना इस प्रकार की जाती है:

C द्वारा किया गया कार्य = 1 - 7/11 = 4/11

चूंकि C कुल कार्य का 4/11 भाग करता है, इसलिए C कुल 550 रुपये के भुगतान के 4/11 भाग का हकदार है।

C का हिस्सा = 4/11 × 550

550 को 11 से विभाजित करने पर 50 प्राप्त होता है। इसे 4 से गुणा करने पर प्राप्त होता है:

C का हिस्सा = 4 × 50 = 200

अतः, C का हिस्सा 200 रुपये है।

व्याख्या

△ ADC में, ऊंचाई CD, AB पर लंब है, जिससे △ ADC, D पर एक समकोण त्रिभुज बनता है। पाइथागोरस प्रमेय के अनुसार, कर्ण AC की लंबाई की गणना AC = √(AD² + CD²) के रूप में की जाती है। दिए गए मानों को प्रतिस्थापित करने पर, AC = √(8² + 6²) = √(64 + 36) = √(100) = 10 सेमी।

△ ABC में, P और Q क्रमशः भुजाओं AB और BC के मध्य बिंदु हैं। मध्य-बिंदु प्रमेय के अनुसार, किसी त्रिभुज की किन्हीं दो भुजाओं के मध्य बिंदुओं को मिलाने वाला रेखाखंड तीसरी भुजा के समानांतर होता है और उसकी लंबाई का आधा होता है। इसलिए, PQ की लंबाई भुजा AC की लंबाई की आधी है, जिससे PQ = ½ AC = ½ × 10 = 5 सेमी प्राप्त होता है।

व्याख्या

दो क्रमिक छूटों के बाद विक्रय मूल्य की गणना सूत्र S.P. = M.P. × (1 - (d₁)/(100)) × (1 - (d₂)/(100)) का उपयोग करके की जाती है, जहाँ M.P. अंकित मूल्य है और d₁, d₂ छूट की दरें हैं। 500 रुपये के प्रारंभिक मूल्य और प्रत्येक 10% की दो क्रमिक छूटों को देखते हुए, गणना 500 × (1 - ¹⁰⁄₁₀₀) × (1 - ¹⁰⁄₁₀₀) है। यह सरल होकर 500 × 0.9 × 0.9 हो जाता है, जो कि 500 × 0.81 = 405 है। वैकल्पिक रूप से, 10% की दो क्रमिक छूटों के लिए प्रभावी छूट दर 10 + 10 - (10 × 10)/(100) = 19% है। अंतिम विक्रय मूल्य मूल मूल्य का 81% है, जिसके परिणामस्वरूप 500 × 0.81 = 405 प्राप्त होता है।

व्याख्या

माना वस्तु का क्रय मूल्य x है। लाभ प्रतिशत का सूत्र P% = (SP - CP)/(CP) × 100 है। प्रश्न के अनुसार, जब वस्तु को 78 रुपये में बेचा जाता है तो लाभ प्रतिशत, उसे 69 रुपये में बेचने पर होने वाले लाभ प्रतिशत का दोगुना होता है। समीकरण बनाने पर:

(78 - x)/(x) × 100 = 2 × ( (69 - x)/(x) × 100 )

चूंकि हर x और गुणक 100 दोनों पक्षों में समान हैं, इसलिए समीकरण को सरल बनाने के लिए उन्हें हटाया जा सकता है:

78 - x = 2(69 - x) 78 - x = 138 - 2x 2x - x = 138 - 78 x = 60

व्याख्या

ग्रामीणों की कुल संख्या की गणना गरीबी रेखा से नीचे के लोगों की संख्या को कुल जनसंख्या के सापेक्ष उनके प्रतिशत से विभाजित करके की जा सकती है। मान लीजिए कि ग्रामीणों की कुल संख्या x है। दिया गया है कि x का 14% 574 है, इस संबंध को इस प्रकार व्यक्त किया जाता है:

x का 14% = 574

¹⁴⁄₁₀₀ × x = 574

x का मान ज्ञात करने के लिए, पदों को पुनर्व्यवस्थित करें:

x = (574 × 100)/(14)

विभाजन करने पर:

574 ÷ 14 = 41

x = 41 × 100 = 4100

प्रतिशत सूत्र का उपयोग करके, कुल जनसंख्या 4100 प्राप्त होती है।

व्याख्या

किसी कार्य को पूरा करने में लगने वाला समय कार्य करने की दर या कार्यक्षमता के व्युत्क्रमानुपाती होता है, बशर्ते कुल कार्य स्थिर रहे। यह संबंध सूत्र 'कार्य = दर × समय' द्वारा परिभाषित होता है। चूंकि A और B दोनों के लिए कार्य समान है, इसलिए लिए गए दिनों का अनुपात उनकी कार्य दरों के अनुपात का व्युत्क्रम होगा। यह देखते हुए कि A और B के कार्य करने की दर का अनुपात 2:3 है, उनके द्वारा लिए गए समय का अनुपात ½ : ⅓ होगा। भिन्नों को हटाने के लिए दोनों पदों को 6 से गुणा करने पर अनुपात 3:2 प्राप्त होता है।

व्याख्या

दिए गए अनुपात के आधार पर मान लीजिए कि दो संख्याएँ 3x और 4x हैं। प्रश्न के अनुसार, उनके वर्गों का योग (3x)² + (4x)² = 400 है। इसे सरल करने पर 9x² + 16x² = 400 प्राप्त होता है, जिसके परिणामस्वरूप 25x² = 400 होता है। दोनों पक्षों को 25 से विभाजित करने पर, हमें x² = 16 प्राप्त होता है, और चूँकि संख्याएँ धनात्मक हैं, इसलिए x = 4 है। दोनों संख्याओं का योग 3x + 4x = 7x है। x का मान रखने पर, योग 7 × 4 = 28 प्राप्त होता है। वैकल्पिक रूप से, कोई यह देख सकता है कि संख्याओं का योग 3 + 4 = 7 का गुणज होना चाहिए। दिए गए विकल्पों में से केवल 28 ही इस शर्त को पूरा करता है।

व्याख्या

माना विक्रय मूल्य 100 है। विक्रय मूल्य पर 10 प्रतिशत की हानि का अर्थ है कि हानि 10 है, जिससे क्रय मूल्य 110 (विक्रय मूल्य + हानि) हो जाता है। क्रय मूल्य पर हानि प्रतिशत की गणना (हानि / क्रय मूल्य) * 100 के रूप में की जाती है, जो (10 / 110) * 100 = 100/11% या 9 ¹⁄₁₁% है।

व्याख्या

दोनों प्रतिशतों के बीच के अंतर की गणना इस प्रकार की जाती है: 82.5% - 62.5% = 20%

दी गई परिभाषा के अनुसार, 1 प्रतिशत 100 आधार अंकों के बराबर है। इसलिए, प्रतिशत अंतर को आधार अंकों में बदलने के लिए, इस मान को रूपांतरण कारक (conversion factor) से गुणा किया जाता है: 20 × 100 = 2000

अतः, 82.5 प्रतिशत, 62.5 प्रतिशत से 2000 आधार अंक अधिक है।

व्याख्या

किसी वस्तु की दूरी की गणना मूल संबंध d = v × t का उपयोग करके की जा सकती है, जहाँ v ध्वनि की गति है और t समय अंतराल है। यह देखते हुए कि ध्वनि की गति 330 मीटर/सेकंड है और बिजली की चमक तथा गर्जना के बीच का समय अंतराल 10 सेकंड है, मीटर में कुल दूरी है:

d = 330 मीटर/सेकंड × 10 सेकंड = 3300 मीटर

चूंकि प्रश्न में दूरी किलोमीटर में पूछी गई है, इसलिए परिणाम को 1000 से विभाजित करके परिवर्तित किया जाता है:

किलोमीटर में दूरी = ³³⁰⁰⁄₁₀₀₀ = 3.3 किमी

व्याख्या

योग के वर्ग के लिए बीजीय सर्वसमिका का उपयोग करने पर, (p + ¹⁄ₚ)² = p² + (1)/(p²) + 2(p)(¹⁄ₚ)। यह सरल होकर (p + ¹⁄ₚ)² = p² + (1)/(p²) + 2 हो जाता है। चूंकि दिया गया है कि p² + (1)/(p²) = 47, हम इस मान को समीकरण में प्रतिस्थापित करते हैं जिससे हमें (p + ¹⁄ₚ)² = 47 + 2 = 49 प्राप्त होता है। दोनों पक्षों का वर्गमूल लेने पर p + ¹⁄ₚ = √(49) = 7 प्राप्त होता है।

व्याख्या

दो राशियों a और b के तृतीयानुपाती c को सतत अनुपात a : b = b : c द्वारा परिभाषित किया जाता है, जिससे सूत्र c = (b²)/(a) प्राप्त होता है। इस प्रश्न में, दिए गए मान a = (x-y)² और b = (x²-y²)² हैं।

बीजगणितीय सर्वसमिका x² - y² = (x-y)(x+y) का उपयोग करके, b के व्यंजक को इस प्रकार विस्तारित किया जा सकता है: b = [(x-y)(x+y)]² = (x-y)²(x+y)²

इन मानों को तृतीयानुपाती के सूत्र में रखने पर: c = ([(x-y)²(x+y)²]²)/((x-y)²) c = ((x-y)⁴(x+y)⁴)/((x-y)²)

घातांक के नियमों के अनुसार, समान आधार वाली घातों को विभाजित करते समय, घातांकों को घटाया जाता है: c = (x-y)⁴⁻²(x+y)⁴ c = (x-y)²(x+y)⁴

व्याख्या

जब दो वृत्त एक-दूसरे को बाह्य रूप से स्पर्श करते हैं, तो उनके केंद्रों के बीच की दूरी उनकी त्रिज्याओं के योग के बराबर होती है। मान लीजिए कि पहले वृत्त की त्रिज्या r₁ है और दूसरे वृत्त की त्रिज्या r₂ है। इस संबंध को सूत्र d = r₁ + r₂ द्वारा व्यक्त किया जाता है, जहाँ d केंद्रों के बीच की दूरी है।

दिया गया है कि केंद्रों के बीच की दूरी d = 7 सेमी है और पहले वृत्त की त्रिज्या r₁ = 4 सेमी है, तो समीकरण इस प्रकार होगा:

7 = 4 + r₂

अज्ञात त्रिज्या के लिए हल करने पर:

r₂ = 7 - 4 r₂ = 3 सेमी

व्याख्या

जब कोई रेलगाड़ी किसी टेलीग्राफ खंभे को पार करती है, तो तय की गई दूरी रेलगाड़ी की लंबाई के बराबर होती है। गति के सूत्र, v = d/t का उपयोग करते हुए, जहाँ दूरी d = 240 मीटर और समय t = 16 सेकंड है:

मीटर/सेकंड में गति = 240 / 16 = 15 मीटर/सेकंड

गति को मीटर प्रति सेकंड से किलोमीटर प्रति घंटा में बदलने के लिए, मान को 18/5 से गुणा करें:

किमी/घंटा में गति = 15 × (18/5) = 3 × 18 = 54 किमी/घंटा

व्याख्या

किसी भी गैर-ऋणात्मक वास्तविक संख्याओं a और b के लिए, समांतर माध्य - गुणोत्तर माध्य (AM-GM) असमिका यह बताती है कि (a + b)/(2) ≥ √(ab) होता है। दिए गए व्यंजक tan² x + cot² x में, दोनों पद गैर-ऋणात्मक वर्ग हैं। मान लीजिए a = tan² x और b = cot² x। चूंकि cot x, tan x का व्युत्क्रम है, इसलिए गुणनफल ab = tan² x · cot² x = 1 है।

AM-GM असमिका लागू करने पर: (tan² x + cot² x)/(2) ≥ √(tan² x · cot² x) (tan² x + cot² x)/(2) ≥ √1 tan² x + cot² x ≥ 2

समानता तब लागू होती है जब a = b हो, जिसका अर्थ है tan² x = cot² x। यह स्थिति तब संतुष्ट होती है जब tan² x = 1 हो, जैसे कि x = (π)/(4) पर।

वैकल्पिक रूप से, पूर्ण वर्ग बनाकर भी व्यंजक का मूल्यांकन किया जा सकता है: tan² x + cot² x = (tan x - cot x)² + 2 tan x cot x tan² x + cot² x = (tan x - cot x)² + 2

चूंकि पद (tan x - cot x)² हमेशा x के उन सभी वास्तविक मानों के लिए 0 से बड़ा या उसके बराबर होता है जहाँ फलन परिभाषित हैं, इसलिए पूरे व्यंजक का न्यूनतम मान 0 + 2 = 2 है।

व्याख्या

लाभ में कमी सीधे अंकित मूल्य पर दी जाने वाली छूट में हुई वृद्धि के अनुरूप है। चूँकि घड़ी का क्रय मूल्य स्थिर है, इसलिए 7% की छूट और 5% की छूट के बीच का अंतर, जो कि अंकित मूल्य का 2% है, कमाई में हुई ₹ 15 की कमी के बराबर होना चाहिए। अंकित मूल्य (MP) को आधार मानते हुए: अंकित मूल्य (MP) का 2% = 15 ²⁄₁₀₀ × MP = 15 MP = (15 × 100)/(2) MP = 750

व्याख्या

8 से विभाज्यता का नियम कहता है कि कोई संख्या 8 से विभाज्य होती है यदि उसके अंतिम तीन अंकों से बनी संख्या 8 से विभाज्य हो। संख्या 63576x2 में, अंतिम तीन अंक 6x2 हैं। इसे 600 + 10x + 2 के रूप में व्यक्त किया जा सकता है, जो सरल होकर 602 + 10x हो जाता है।

x का न्यूनतम मान ज्ञात करने के लिए, हम 602 + 10x की 8 से विभाज्यता की जाँच करते हैं। 602 को 8 से भाग देने पर शेषफल 2 प्राप्त होता है, क्योंकि 602 = (75 × 8) + 2। इसलिए, व्यंजक 2 + 10x, 8 से विभाज्य होना चाहिए।

x के मानों का परीक्षण करने पर: यदि x = 1, तो 2 + 10(1) = 12, जो 8 से विभाज्य नहीं है। यदि x = 2, तो 2 + 10(2) = 22, जो 8 से विभाज्य नहीं है। यदि x = 3, तो 2 + 10(3) = 32, जो कि 8 × 4 है।

चूंकि 32, 8 से विभाज्य है, इसलिए संख्या 632, 8 से विभाज्य है, जिससे पूरी संख्या 6357632, 8 से विभाज्य हो जाती है। दिए गए विकल्पों में से, 3 वह न्यूनतम मान है जो इस शर्त को पूरा करता है।

व्याख्या

सही औसत की गणना गलत औसत में मानों के अंतर को समायोजित करके की जा सकती है। उत्पन्न हुई त्रुटि गलत तरीके से दर्ज की गई संख्या और वास्तविक संख्या के बीच का अंतर थी, जो कि 64 - 46 = 18 है। चूंकि दर्ज की गई संख्या वास्तविक मान से अधिक थी, इसलिए योग 18 अधिक दर्शाया गया था।

10 संख्याओं के औसत पर इसका प्रभाव कुल त्रुटि को संख्या से विभाजित करने पर प्राप्त होता है, जो कि 18 / 10 = 1.8 है।

सही औसत = गलत औसत - समायोजन सही औसत = 50 - 1.8 = 48.2

वैकल्पिक रूप से, गलत कुल योग 50 × 10 = 500 है। त्रुटि (18) को घटाने पर सही योग 500 - 18 = 482 प्राप्त होता है। सही औसत 482 / 10 = 48.2 है।

व्याख्या

दिए गए समीकरण x + √5 = 5 + √y में, जहाँ x और y धनात्मक पूर्णांक हैं, हम परिमेय और अपरिमेय भागों को अलग करने के लिए पदों को पुनर्व्यवस्थित कर सकते हैं: x - 5 = √y - √5। बाएँ पक्ष के पूर्णांक होने के लिए, दाएँ पक्ष का भी पूर्णांक होना आवश्यक है। चूँकि √5 एक अपरिमेय संख्या है, इसलिए व्यंजक √y - √5 का मान केवल तभी एक पूर्णांक हो सकता है जब यह शून्य के बराबर हो, क्योंकि दो वर्गमूलों का अंतर केवल तभी परिमेय होता है जब संख्याएँ पूर्ण वर्ग हों या पद आपस में कट जाएँ।

दाएँ पक्ष को शून्य के बराबर रखने पर √y - √5 = 0 प्राप्त होता है, जिससे y = 5 प्राप्त होता है। मूल समीकरण में y = 5 प्रतिस्थापित करने पर, हमें x + √5 = 5 + √5 प्राप्त होता है, जिसे सरल करने पर x = 5 प्राप्त होता है। चूँकि x = 5 और y = 5 दोनों धनात्मक पूर्णांक हैं, वे दी गई शर्तों को संतुष्ट करते हैं।

अब, व्यंजक √x + y{x + √y} में x = 5 और y = 5 प्रतिस्थापित करने पर: √5 + 5{5 + √5} = 1

चूँकि अंश और हर समान हैं, इसलिए व्यंजक का मान 1 है।

व्याख्या

997 के घन की गणना बीजगणितीय सर्वसमिका (a - b)³ = a³ - 3a²b + 3ab² - b³ का उपयोग करके कुशलतापूर्वक की जा सकती है। 997 को (1000 - 3) के रूप में व्यक्त करके, हम सूत्र में a = 1000 और b = 3 प्रतिस्थापित करते हैं।

गणना: 997³ = (1000 - 3)³ = 1000³ - 3 × 1000² × 3 + 3 × 1000 × 3² - 3³ = 1,000,000,000 - 9,000,000 + 27,000 - 27

अंकगणितीय गणना करने पर: 1,000,000,000 - 9,000,000 = 991,000,000 991,000,000 + 27,000 = 991,027,000 991,027,000 - 27 = 991,026,973

व्याख्या

दिए गए समीकरण a² + b² + c² = ab + bc + ca के दोनों पक्षों को 2 से गुणा करके पुनः व्यवस्थित किया जा सकता है, जिससे 2a² + 2b² + 2c² = 2ab + 2bc + 2ca प्राप्त होता है। सभी पदों को एक पक्ष में लाने पर 2a² + 2b² + 2c² - 2ab - 2bc - 2ca = 0 प्राप्त होता है। इस व्यंजक को पूर्ण वर्गों के रूप में इस प्रकार समूहीकृत किया जा सकता है: (a² - 2ab + b²) + (b² - 2bc + c²) + (c² - 2ca + a²) = 0, जो सरल होकर (a - b)² + (b - c)² + (c - a)² = 0 हो जाता है। चूंकि a, b, और c भुजाओं की लंबाई (वास्तविक संख्याएं) हैं, इसलिए उनके वर्गों का योग केवल तभी शून्य हो सकता है जब प्रत्येक व्यक्तिगत पद शून्य हो। इसलिए, a - b = 0, b - c = 0, और c - a = 0, जिसका अर्थ है a = b = c। तीन समान भुजाओं वाला त्रिभुज एक समबाहु त्रिभुज होता है।

व्याख्या

वृत्त का क्षेत्रफल सूत्र A = π r² द्वारा निर्धारित किया जाता है। त्रिज्या Y वाले बड़े वृत्त के लिए, क्षेत्रफल W = π Y² दिया गया है। त्रिज्या X वाले छोटे वृत्त के लिए, क्षेत्रफल π X² है।

प्रश्न में W' को बड़े वृत्त और छोटे वृत्त के क्षेत्रफल के बीच के अंतर के रूप में परिभाषित किया गया है: W' = π Y² - π X²

उपरोक्त समीकरण में π Y² के स्थान पर W रखने पर: W' = W - π X²

छोटे वृत्त के क्षेत्रफल को ज्ञात करने के लिए समीकरण को पुनर्व्यवस्थित करने पर: π X² = W - W'

अनुपात x/y ज्ञात करने के लिए, हम X² के व्यंजक को Y² के व्यंजक से विभाजित करते हैं: (X²)/(Y²) = (π X²)/(π Y²) = (W - W')/(W) (X²)/(Y²) = 1 - (W')/(W)

त्रिज्याओं का अनुपात ज्ञात करने के लिए दोनों पक्षों का वर्गमूल लेने पर: (X)/(Y) = √(1 - (W')/(W))

व्याख्या

दिया गया है कि cos 21° = (x)/(y), हम एक समकोण त्रिभुज पर विचार करते हैं जहाँ संलग्न भुजा (आधार) x है और कर्ण y है। पाइथागोरस प्रमेय का उपयोग करने पर, सम्मुख भुजा (लंब) √(y² - x²) है।

वांछित व्यंजक csc 21° - cos 69° है। पूरक कोण सर्वसमिका cos(90° - θ) = sin θ का उपयोग करने पर, हमें प्राप्त होता है कि cos 69° = cos(90° - 21°) = sin 21°। यह व्यंजक सरल होकर csc 21° - sin 21° हो जाता है।

त्रिभुज से अनुपातों का उपयोग करने पर: csc 21° = (कर्ण)/(लंब) = (y)/(√(y² - x²)) sin 21° = (लंब)/(कर्ण) = √(y² - x²)/y

इन्हें व्यंजक में प्रतिस्थापित करने पर: (y)/(√(y² - x²)) - √(y² - x²)/y = (y² - (√(y² - x²))²)/(y√(y² - x²)) = (y² - (y² - x²))/(y√(y² - x²)) = (x²)/(y√(y² - x²))

व्याख्या

दिए गए समीकरण a² + 1 = a को a² - a + 1 = 0 के रूप में लिखा जा सकता है। a³ का मान ज्ञात करने के लिए, हम घनों के योग की बीजीय सर्वसमिका (algebraic identity) x³ + y³ = (x + y)(x² - xy + y²) का उपयोग करते हैं। x = a और y = 1 रखने पर, a³ + 1³ = (a + 1)(a² - a + 1) प्राप्त होता है। प्रारंभिक समीकरण से a² - a + 1 = 0 का मान सर्वसमिका में प्रतिस्थापित करने पर, a³ + 1 = (a + 1) × 0 प्राप्त होता है। इसे सरल करने पर a³ + 1 = 0 प्राप्त होता है, जिससे a³ = -1 प्राप्त होता है।

व्याख्या

वृत्ताकार आधार की त्रिज्या r, व्यास की आधी होती है, इसलिए r = ²¹⁄₂ = 10.5 मीटर। दी गई ऊंचाई h = 14 मीटर है, तिर्यक ऊंचाई l को संबंध l = √(r² + h²) का उपयोग करके ज्ञात किया जाता है। मानों को प्रतिस्थापित करने पर, l = √(10.5² + 14²) = √(110.25 + 196) = √(306.25) = 17.5 मीटर।

शंकु के वक्र पृष्ठ का क्षेत्रफल (CSA) सूत्र CSA = π rl का उपयोग करके ज्ञात किया जाता है। दिए गए मानों को प्रतिस्थापित करने पर, CSA = ²²⁄₇ × ²¹⁄₂ × ³⁵⁄₂ = 11 × 3 × ³⁵⁄₂ = 577.5 वर्ग मीटर।

रंगाई की कुल लागत, वक्र पृष्ठ के क्षेत्रफल और प्रति वर्ग मीटर की दर का गुणनफल है। कुल लागत = 577.5 × 6 = 3465।

व्याख्या

माना कि खंभे के अभी भी खड़े ऊर्ध्वाधर भाग की ऊंचाई h है और मुड़े हुए भाग की लंबाई l है। खंभे की कुल ऊंचाई H = h + l है। जब शीर्ष जमीन को छूता है, तो यह एक समकोण त्रिभुज बनाता है जिसका आधार 8√3 मीटर है और क्षैतिज के साथ कोण 30° है।

ऊर्ध्वाधर ऊंचाई के लिए स्पर्शज्या (tangent) अनुपात का उपयोग करने पर: tan 30° = (h)/(8√(3)) (1)/(√(3)) = (h)/(8√(3)) h = 8 मीटर

मुड़े हुए भाग (कर्ण) के लिए कोज्या (cosine) अनुपात का उपयोग करने पर: cos 30° = 8√3/l √3/2 = 8√3/l l = 16 मीटर

टेलीग्राफ खंभे की कुल ऊंचाई इन दोनों भागों का योग है: H = h + l = 8 + 16 = 24 मीटर

व्याख्या

दिए गए रैखिक समीकरण x + 3y = -3x + y में, x और y के बीच संबंध ज्ञात करने के लिए हम पदों को पुनर्व्यवस्थित करते हैं। दोनों पक्षों में 3x जोड़ने और दोनों पक्षों से 3y घटाने पर हमें प्राप्त होता है:

x + 3x = y - 3y 4x = -2y

दोनों पक्षों को 2 से विभाजित करने पर, हमें 2x = -y प्राप्त होता है, जो अनुपात (x)/(y) = -½ के रूप में सरल हो जाता है।

वह व्यंजक जिसका मान ज्ञात करना है, (x²)/(2y²) है। इसे इस प्रकार पुनः लिखा जा सकता है:

½ · ((x)/(y))²

व्यंजक में अनुपात (x)/(y) = -½ का मान प्रतिस्थापित करने पर:

½ · (-½)² = ½ · ¼ = ⅛

व्याख्या

एक वृत्त में, बाहरी बिंदु से खींची गई स्पर्श रेखाएं स्पर्श बिंदुओं पर त्रिज्याओं पर लंबवत होती हैं। मान लीजिए P बाहरी बिंदु है, O वृत्त का केंद्र है, और A तथा B स्पर्श बिंदु हैं। त्रिज्याएं OA और OB क्रमशः स्पर्श रेखाओं PA और PB पर लंबवत हैं, जिससे ∠ OAP = 90° और ∠ OBP = 90° बनता है।

चतुर्भुज OAPB में, अंतः कोणों का योग 360° होता है। इस संबंध को ∠ AOB + ∠ OAP + ∠ APB + ∠ OBP = 360° के रूप में व्यक्त किया जाता है। ज्ञात मानों को प्रतिस्थापित करने पर, हमें 72° + 90° + ∠ APB + 90° = 360° प्राप्त होता है। यह सरल होकर ∠ AOB + ∠ APB = 180° हो जाता है, जिसका अर्थ है कि जीवा द्वारा केंद्र पर अंतरित कोण और स्पर्श रेखाओं के बीच का कोण संपूरक (supplementary) हैं। केंद्र पर दिए गए कोण का मान रखने पर, ∠ APB = 180° - 72° = 108°।

व्याख्या

त्रिभुज असमानता प्रमेय (Triangle Inequality Theorem) के अनुसार, किसी त्रिभुज के निर्माण के लिए, किन्हीं भी दो भुजाओं की लंबाइयों का योग तीसरी भुजा की लंबाई से हमेशा अधिक होना चाहिए। यदि भुजाएँ a, b और c हैं, जहाँ c सबसे लंबी भुजा है, तो शर्त a + b > c संतुष्ट होनी चाहिए। 8 सेमी, 15 सेमी और 17 सेमी के मापों के लिए, दो छोटी भुजाओं का योग 8 + 15 = 23 सेमी है। चूँकि 23 सेमी, सबसे लंबी भुजा 17 सेमी से अधिक है (23 > 17), इसलिए एक त्रिभुज का निर्माण किया जा सकता है। इसके अतिरिक्त, ये विशिष्ट लंबाइयाँ पाइथागोरस प्रमेय को भी संतुष्ट करती हैं क्योंकि 8² + 15² = 64 + 225 = 289, जो कि 17² के बराबर है, जो यह दर्शाता है कि वे एक समकोण त्रिभुज बनाते हैं।

व्याख्या

दिए गए समीकरण sinθ + cscθ = 2 में, हम त्रिकोणमितीय सर्वसमिका cscθ = (1)/(sinθ) का उपयोग करके इस व्यंजक को sinθ + (1)/(sinθ) = 2 के रूप में लिख सकते हैं।

माना sinθ = x है। समीकरण x + ¹⁄ₓ = 2 हो जाता है। पूरे समीकरण को x से गुणा करने पर x² + 1 = 2x प्राप्त होता है, जिसे द्विघात रूप x² - 2x + 1 = 0 में पुनर्व्यवस्थित किया जा सकता है। यह एक पूर्ण वर्ग द्विपद (sinθ - 1)² = 0 है। sinθ के लिए हल करने पर sinθ = 1 प्राप्त होता है।

चूंकि sinθ = 1 है, इसलिए cscθ का मान भी ¹⁄₁ = 1 होगा। इन मानों को वांछित व्यंजक sin⁷θ + csc⁷θ में प्रतिस्थापित करने पर, हमें प्राप्त होता है: (1)⁷ + (1)⁷ = 1 + 1 = 2

व्याख्या

गायों की संख्या ज्ञात करने के लिए, माना मुर्गियों की संख्या H है और गायों की संख्या C है। चूंकि प्रत्येक जानवर का एक सिर होता है, इसलिए पहला समीकरण H + C = 50 है। मुर्गियों के 2 पैर होते हैं और गायों के 4 पैर होते हैं, इसलिए दूसरा समीकरण 2H + 4C = 142 है।

ऐसी समस्याओं में चार पैरों वाले जानवरों (गायों) की संख्या ज्ञात करने का एक त्वरित शॉर्टकट यह है कि मान लिया जाए कि सभी जानवर दो पैरों वाले हैं। यदि सभी 50 जानवर मुर्गियां होते, तो पैरों की कुल संख्या 50 × 2 = 100 होती। प्रश्न में कहा गया है कि वास्तव में 142 पैर हैं, जो कि 142 - 100 = 42 पैर अधिक हैं। चूंकि प्रत्येक गाय एक मुर्गी की तुलना में 2 अधिक पैर (4 - 2 = 2) जोड़ती है, इसलिए गायों की संख्या अतिरिक्त पैरों को प्रति जानवर पैरों के अंतर से विभाजित करके प्राप्त की जाती है।

सूत्र का उपयोग करके: गायों की संख्या = (कुल पैर - (2 × कुल सिर))/(2) C = (142 - (2 × 50))/(2) C = (142 - 100)/(2) C = ⁴²⁄₂ = 21

व्याख्या

मान लीजिए कि कक्षा में छात्रों की कुल संख्या n है। भारित औसत (weighted average) सूत्र A = (n₁ A₁ + n₂ A₂)/(n₁ + n₂) का उपयोग करने पर, जहाँ A संयुक्त औसत है, n₁ और n₂ उपसमूहों की संख्याएँ हैं, और A₁ और A₂ उनके संबंधित औसत हैं:

a = (10b + (n - 10)c)/(n)

कुल ऊँचाई ज्ञात करने के लिए दोनों पक्षों को n से गुणा करने पर: na = 10b + nc - 10c

n वाले सभी पदों को एक पक्ष में समूहित करने के लिए समीकरण को पुनर्व्यवस्थित करने पर: na - nc = 10b - 10c

उनके संबंधित पक्षों से n और 10 को उभयनिष्ठ (common) लेने पर: n(a - c) = 10(b - c)

n के लिए हल करने पर प्राप्त होता है: n = (10(b - c))/(a - c)

यह व्यंजक कक्षा में छात्रों की कुल संख्या को परिभाषित करता है।

व्याख्या

इस व्यंजक को हल करने के लिए, सर्वसमिका (a + b)(a - b) = a² - b² का उपयोग करके, अंश और हर को हर के संयुग्मी (conjugate) से गुणा करके प्रत्येक हर का परिमेयकरण कीजिए।

प्रथम पद का परिमेयकरण इस प्रकार है: 3√7{√5 + √2} × √5 - √2{√5 - √2} = 3√7(√5 - √2){5 - 2} = 3(√(35) - √(14)){3} = √(35) - √(14)

हर को √7 + √2 मानकर द्वितीय पद का परिमेयकरण इस प्रकार है: 5√5{√7 + √2} × √7 - √2{√7 - √2} = 5√5(√7 - √2){7 - 2} = 5(√(35) - √(10)){5} = √(35) - √(10)

तृतीय पद का परिमेयकरण इस प्रकार है: 2√2{√7 + √5} × √7 - √5{√7 - √5} = 2√2(√7 - √5){7 - 5} = 2(√(14) - √(10)){2} = √(14) - √(10)

अब, इन सरलीकृत पदों को मूल व्यंजक में प्रतिस्थापित करने पर: (√(35) - √(14)) - (√(35) - √(10)) + (√(14) - √(10)) √(35) - √(14) - √(35) + √(10) + √(14) - √(10)

समान और विपरीत पदों को निरस्त करने पर: (√(35) - √(35)) + (-√(14) + √(14)) + (√(10) - √(10)) = 0

व्याख्या

दिया गया समीकरण (a+b-6)² + a²+b²+1+2b = 2ab+2a है। सभी पदों को बाईं ओर ले जाकर पुनर्व्यवस्थित करने पर, हमें (a+b-6)² + a²+b²+1-2ab-2a+2b = 0 प्राप्त होता है।

सर्वसमिका (x+y+z)² = x²+y²+z²+2xy+2yz+2zx का उपयोग करके व्यंजक a²+b²+1-2ab-2a+2b को एक पूर्ण वर्ग के रूप में पहचाना जा सकता है। x=a, y=-b, और z=-1 रखने पर, हम देखते हैं कि (a-b-1)² = a²+(-b)²+(-1)²+2(a)(-b)+2(-b)(-1)+2(a)(-1) = a²+b²+1-2ab+2b-2a है। यह हमारे समीकरण के दूसरे भाग से बिल्कुल मेल खाता है।

इसे वापस मूल समीकरण में प्रतिस्थापित करने पर (a+b-6)² + (a-b-1)² = 0 प्राप्त होता है। चूंकि वास्तविक संख्याओं के दो वर्गों का योग शून्य केवल और केवल तभी होता है जब प्रत्येक वर्ग व्यक्तिगत रूप से शून्य हो, इसलिए हम रैखिक समीकरणों का निम्नलिखित निकाय बना सकते हैं: a+b-6 = 0 ⟹ a+b = 6 a-b-1 = 0 ⟹ a-b = 1

a का मान ज्ञात करने के लिए, हम दोनों समीकरणों को जोड़ते हैं: (a+b) + (a-b) = 6 + 1 2a = 7 a = 3.5

व्याख्या

किसी अनुबंध (ठेके) के लिए भुगतान को श्रमिकों के बीच उनके द्वारा किए गए कार्य की मात्रा के अनुपात में विभाजित किया जाता है। चूंकि A, B और C एक साथ 3 दिनों की समान अवधि के लिए कार्य करते हैं, इसलिए भुगतान उनकी व्यक्तिगत कार्यक्षमताओं के अनुपात के अनुसार वितरित किया जाता है।

इन कार्यक्षमताओं को निर्धारित करने के लिए, मान लें कि कुल कार्य 15 इकाई है, जो व्यक्तिगत और संयुक्त रूप से कार्य पूरा करने के समय (5, 15 और 3 दिन) का लघुत्तम समापवर्त्य (LCM) है। A की कार्यक्षमता = ¹⁵⁄₅ = 3 इकाई प्रति दिन है। B की कार्यक्षमता = ¹⁵⁄₁₅ = 1 इकाई प्रति दिन है। A, B और C की संयुक्त कार्यक्षमता = ¹⁵⁄₃ = 5 इकाई प्रति दिन है।

C की व्यक्तिगत कार्यक्षमता संयुक्त कुल कार्यक्षमता में से A और B की कार्यक्षमताओं को घटाकर प्राप्त की जाती है: C की कार्यक्षमता = 5 - (3 + 1) = 1 इकाई प्रति दिन।

250 रुपये का कुल भुगतान 5 इकाइयों की कुल कार्यक्षमता के अनुरूप है। A, B और C द्वारा किए गए कार्य का अनुपात 3 : 1 : 1 है। C के हिस्से की गणना इस प्रकार की जाती है: C के लिए राशि = (C की कार्यक्षमता)/(कुल कार्यक्षमता) × कुल भुगतान C के लिए राशि = ⅕ × 250 = 50

व्याख्या

लाभ प्रतिशत और छूट प्रतिशत दोनों को शामिल करने वाले अंकित मूल्य (LP) और क्रय मूल्य (CP) के बीच का संबंध निम्नलिखित सूत्र द्वारा दिया गया है:

LP = CP × (100 + लाभ%)/(100 - छूट%)

यह देखते हुए कि क्रय मूल्य 900 रुपये है, वांछित लाभ 20% है, और दी गई छूट 10% है, हम इन मानों को सूत्र में रखते हैं:

LP = 900 × (100 + 20)/(100 - 10)

LP = 900 × ¹²⁰⁄₉₀

LP = 10 × 120 = 1200

वैकल्पिक रूप से, 900 रुपये के क्रय मूल्य पर 20% लाभ प्राप्त करने के लिए आवश्यक विक्रय मूल्य (SP) की गणना इस प्रकार की जाती है: 900 × 1.20 = 1080। चूंकि इस विक्रय मूल्य पर पहुंचने के लिए अंकित मूल्य पर 10% की छूट दी जाती है, इसलिए संबंध 0.90 × LP = 1080 है। अंकित मूल्य के लिए हल करने पर LP = (1080)/(0.90) = 1200 प्राप्त होता है।

व्याख्या

माना एक वस्तु का क्रय मूल्य (CP) x है। 28 वस्तुओं का कुल क्रय मूल्य 28x है। प्रश्नानुसार, 21 वस्तुओं का विक्रय मूल्य (SP), 28 वस्तुओं के क्रय मूल्य के बराबर है, जिससे समीकरण 21 × SP = 28x प्राप्त होता है। एक वस्तु के विक्रय मूल्य को हल करने पर, हमें SP = ²⁸ˣ⁄₂₁ = ⁴ˣ⁄₃ प्राप्त होता है।

लाभ, विक्रय मूल्य और क्रय मूल्य के बीच के अंतर से निर्धारित होता है: लाभ = SP - CP = ⁴ˣ⁄₃ - x = ˣ⁄₃। लाभ प्रतिशत ज्ञात करने के लिए, हम सूत्र (लाभ)/(CP) × 100 का उपयोग करते हैं। सूत्र में परिकलित मानों को प्रतिस्थापित करने पर (x/3)/(x) × 100 = ⅓ × 100 = 33 ⅓% प्राप्त होता है।

व्याख्या

प्रतिशत वृद्धि की गणना निम्नलिखित सूत्र का उपयोग करके की जाती है: प्रतिशत वृद्धि = (नया मान - मूल मान)/(मूल मान) × 100

बेची गई कारों की संख्या में वृद्धि है: 51,300 - 41,800 = 9,500

सूत्र में मान रखने पर: प्रतिशत वृद्धि = (9,500)/(41,800) × 100 प्रतिशत वृद्धि = (9,500)/(418) = ⁹⁵⁰⁰⁄₄₁₈ = ⁴⁷⁵⁰⁄₂₀₉

अंश और हर दोनों को 19 से विभाजित करने पर: (4750 ÷ 19)/(209 ÷ 19) = ²⁵⁰⁄₁₁

विषम भिन्न को मिश्रित भिन्न में बदलने पर: 250 ÷ 11 = 22, शेषफल 8 के साथ ²⁵⁰⁄₁₁ = 22 ⁸⁄₁₁%

व्याख्या

धारा के अनुकूल (अनुप्रवाह) यात्रा करने वाली नाव की प्रभावी चाल, जिसे अनुप्रवाह चाल कहा जाता है, शांत जल में नाव की चाल और धारा की चाल का योग होती है। इस स्थिति में, अनुप्रवाह चाल 20 + 5 = 25 किमी/घंटा है।

दूरी तय करने के लिए आवश्यक समय की गणना मानक सूत्र का उपयोग करके की जाती है: समय = (दूरी)/(चाल)

सूत्र में मान रखने पर: समय = ¹⁰⁰⁄₂₅ = 4 घंटे

व्याख्या

जब कोई धनराशि स्वयं की दोगुनी हो जाती है, तो अर्जित साधारण ब्याज मूलधन के बराबर होता है (SI = P)। साधारण ब्याज के सूत्र SI = (P × R × T)/(100) का उपयोग करते हुए, जहाँ P मूलधन है, R ब्याज की दर है, और T वर्षों में समय अवधि है, हम दर ज्ञात करने के लिए दिए गए मानों को प्रतिस्थापित कर सकते हैं।

P = (P × R × 8)/(100)

दोनों पक्षों से P को काटने पर, समीकरण इस प्रकार हो जाता है:

1 = (8R)/(100)

R का मान ज्ञात करने के लिए पुनर्व्यवस्थित करने पर:

R = ¹⁰⁰⁄₈

R = 12.5%

दशमलव 12.5% मिश्रित भिन्न 12 ½% के बराबर है।

व्याख्या

वास्तविक संख्याओं के वर्गों का योग शून्य केवल और केवल तभी होता है जब प्रत्येक व्यक्तिगत पद शून्य के बराबर हो। ऐसा इसलिए है क्योंकि किसी भी वास्तविक संख्या a के लिए a² ≥ 0 होता है, और गैर-ऋणात्मक (non-negative) मानों का योग केवल तभी शून्य हो सकता है जब प्रत्येक मान शून्य हो।

दिए गए समीकरण (x - 5)² + (y - 2)² + (z - 9)² = 0 पर इस सिद्धांत को लागू करने पर, हम प्रत्येक वर्ग पद को शून्य के बराबर रखते हैं:

x - 5 = 0 ⟹ x = 5 y - 2 = 0 ⟹ y = 2 z - 9 = 0 ⟹ z = 9

इन मानों को आवश्यक व्यंजक (x + y - z) में प्रतिस्थापित करने पर:

x + y - z = 5 + 2 - 9 x + y - z = 7 - 9 x + y - z = -2

व्याख्या

दिया गया समीकरण x + ¹⁄ₓ = 3 है। x⁸ + (1)/(x⁸) का मान ज्ञात करने के लिए, हम इस बीजगणितीय गुण का उपयोग करते हैं कि यदि x + ¹⁄ₓ = k, तो x² + (1)/(x²) = k² - 2 होता है। इस रूपांतरण को बार-बार लागू करके, हम प्रत्येक चरण में घातांक को दोगुना करते हैं।

सबसे पहले, प्रारंभिक व्यंजक का वर्ग करने पर दूसरी घात का मान प्राप्त होता है: x² + (1)/(x²) = 3² - 2 = 7

इसके बाद, दूसरी घात के परिणाम का वर्ग करने पर चौथी घात का मान प्राप्त होता है: x⁴ + (1)/(x⁴) = 7² - 2 = 47

अंत में, चौथी घात के परिणाम का वर्ग करने पर आठवीं घात का मान प्राप्त होता है: x⁸ + (1)/(x⁸) = 47² - 2

47 का वर्ग ज्ञात करने पर: 47² = (50 - 3)² = 2500 - 300 + 9 = 2209

इस परिणाम में से 2 घटाने पर प्राप्त होता है: 2209 - 2 = 2207

यह क्रमिक वर्ग करने की प्रक्रिया इस रूप के बीजगणितीय सर्वसमिकाओं के लिए मानक घात-दोगुनी करने के नियम का पालन करती है।

व्याख्या

△ PQR में, सभी आंतरिक कोणों का योग 180° होना चाहिए। दिया गया है कि ∠ PQR = 40° और ∠ QRP = 60° है, तो तीसरे कोण ∠ QPR की गणना इस प्रकार की जाती है: ∠ QPR = 180° - (∠ PQR + ∠ QRP) ∠ QPR = 180° - (40° + 60°) = 80°

वृत्त के प्रमेय के अनुसार, किसी वृत्त के चाप द्वारा केंद्र पर अंतरित कोण, वृत्त के शेष भाग के किसी भी बिंदु पर इसके द्वारा अंतरित कोण का दोगुना होता है। यहाँ, चाप QR परिधि के बिंदु P पर ∠ QPR अंतरित करता है। इसलिए, चाप QR द्वारा केंद्र पर अंतरित कोण है: केंद्र पर कोण = 2 × ∠ QPR केंद्र पर कोण = 2 × 80° = 160°

व्याख्या

मान लीजिए O दो संकेंद्रीय वृत्तों का उभयनिष्ठ केंद्र है और AB बड़े वृत्त की जीवा है जो छोटे वृत्त को बिंदु P पर स्पर्श करती है। चूंकि AB छोटे वृत्त की स्पर्श रेखा है, इसलिए त्रिज्या OP, AB पर लंब है। समकोण त्रिभुज OPA में, कर्ण OA बड़े वृत्त की त्रिज्या (17 सेमी) है और लंब OP छोटे वृत्त की त्रिज्या (8 सेमी) है।

पाइथागोरस प्रमेय के अनुसार: AP² = OA² - OP² AP² = 17² - 8² AP² = 289 - 64 = 225 AP = √(225) = 15 सेमी

वृत्त के केंद्र से जीवा पर डाला गया लंब जीवा को समद्विभाजित करता है। चूंकि OP, AB पर लंब है, इसलिए P जीवा AB का मध्य-बिंदु है। इस प्रकार, जीवा की कुल लंबाई है: AB = 2 × AP AB = 2 × 15 = 30 सेमी

व्याख्या

त्रिभुज के कोणों का दिया गया अनुपात 1 : ⅔ : 3 है। इसे एक सरलीकृत पूर्णांक अनुपात में बदलने के लिए, प्रत्येक पद को हर 3 से गुणा करें, जिसके परिणामस्वरूप 3 : 2 : 9 प्राप्त होता है। इस अनुपात के घटकों का योग 3 + 2 + 9 = 14 है। त्रिभुज के कोण योग गुणधर्म के आधार पर, सभी आंतरिक कोणों का योग 180° होता है। सबसे छोटा कोण अनुपात के सबसे छोटे भाग के संगत होता है, जो कि 2 है। सबसे छोटे कोण के मान की गणना सूत्र (सबसे छोटा अनुपात भाग)/(अनुपात भागों का योग) × 180° द्वारा की जाती है। मानों को प्रतिस्थापित करने पर, हमें ²⁄₁₄ × 180° = ⅐ × 180° = (180°)/(7) प्राप्त होता है। 180 को 7 से विभाजित करने पर भागफल 25 और शेषफल 5 प्राप्त होता है, जिसे मिश्रित भिन्न के रूप में व्यक्त करने पर 25 (5°)/(7) प्राप्त होता है।

व्याख्या

कोणों का योग a + β = 90° दिया गया है और उनका अनुपात a : β = 2 : 1 है। हम कुल योग को तीन भागों (2 + 1 = 3) में विभाजित करके प्रत्येक कोण का माप ज्ञात कर सकते हैं। इस प्रकार, a = ⅔ × 90° = 60° और β = ⅓ × 90° = 30° है। अभीष्ट अनुपात cos a : cos β है, जो cos 60° : cos 30° के संगत है। मानक त्रिकोणमितीय मानों का उपयोग करने पर, cos 60° = ½ और cos 30° = √3{2} है। यह अनुपात ½ : √3{2} हो जाता है, जो सरल होकर सीधे 1 : √3 हो जाता है।