एसएससी सीजीएल टियर 1 2016 मात्रात्मक अभिक्षमता प्रश्न — हल सहित

व्याख्या

(ab + bc + ca) का मान ज्ञात करने के लिए, हम त्रिपद के वर्ग के बीजगणितीय सर्वसमिका का उपयोग करते हैं: (a + b + c)² = a² + b² + c² + 2(ab + bc + ca)।

दिया गया है कि a + b + c = 6 और a² + b² + c² = 14, हम इन मानों को सर्वसमिका में प्रतिस्थापित करते हैं:

6² = 14 + 2(ab + bc + ca)

36 = 14 + 2(ab + bc + ca)

अज्ञात पद को हल करने के लिए समीकरण को पुनर्व्यवस्थित करने पर:

2(ab + bc + ca) = 36 - 14

2(ab + bc + ca) = 22

ab + bc + ca = ²²⁄₂

ab + bc + ca = 11

व्याख्या

दिया गया समीकरण (a)/(b) + ᵇ⁄ₐ = 1 है। हरों का लघुत्तम समापवर्त्य (LCM) लेने पर, यह व्यंजक सरल होकर (a² + b²)/(ab) = 1 हो जाता है। दोनों पक्षों को ab से गुणा करने पर a² + b² = ab प्राप्त होता है, जिसे व्यवस्थित करने पर a² - ab + b² = 0 लिखा जा सकता है। दो घनों के योग के लिए बीजीय सर्वसमिका a³ + b³ = (a + b)(a² - ab + b²) है। इस सर्वसमिका में प्राप्त मान a² - ab + b² = 0 प्रतिस्थापित करने पर, हमें a³ + b³ = (a + b) × 0 = 0 प्राप्त होता है।

व्याख्या

एक वृत्त में, त्रिज्या स्पर्श बिंदु पर स्पर्शरेखा के लंबवत होती है। इसलिए, △OQP एक समकोण त्रिभुज है जिसमें Q पर समकोण है। △OQP के लिए पाइथागोरस प्रमेय का उपयोग करने पर, जहाँ त्रिज्या OQ = 5 सेमी और दूरी OP = 13 सेमी (कर्ण) है, स्पर्शरेखा PQ की लंबाई की गणना इस प्रकार की जाती है: PQ = √(OP² - OQ²) = √(13² - 5²) = √(169 - 25) = √(144) = 12 सेमी।

चतुर्भुज PQOR दो सर्वांगसम समकोण त्रिभुजों, △OQP और △ORP से बना है। एक त्रिभुज का क्षेत्रफल = ½ × आधार × ऊँचाई = ½ × 5 × 12 = 30 सेमी² है। चतुर्भुज PQOR का कुल क्षेत्रफल इन दोनों त्रिभुजों के क्षेत्रफलों का योग है, जो कि 30 + 30 = 60 सेमी² है।

व्याख्या

△ATC में, कोणों का योग 180° होता है। दिया गया है कि ∠ATC = 30° और ∠ACT = 48°, इसलिए ∠CAT = 180° - (30° + 48°) = 102°। चूंकि T, A, और B एक सीधी रेखा पर स्थित हैं, इसलिए ∠CAB और ∠CAT संपूरक कोण हैं। इसलिए, ∠CAB = 180° - 102° = 78°।

एकांतर वृत्तखंड प्रमेय (Alternate Segment Theorem) के अनुसार, स्पर्श रेखा TC और जीवा AC के बीच का कोण, एकांतर वृत्तखंड में जीवा द्वारा अंतरित कोण के बराबर होता है। इस प्रकार, ∠ABC = ∠ACT = 48°। △ABC में, कोणों का योग 180° होता है, इसलिए ∠ACB = 180° - (∠CAB + ∠ABC) = 180° - (78° + 48°) = 54°।

किसी चाप द्वारा केंद्र पर अंतरित कोण, वृत्त के शेष भाग के किसी भी बिंदु पर इसके द्वारा अंतरित कोण का दोगुना होता है। अतः, ∠AOB = 2 × ∠ACB = 2 × 54° = 108°।

व्याख्या

दिया गया समीकरण 3sinθ + 4cosθ = 5 है। पूरे समीकरण को 5 से भाग देने पर, हमें प्राप्त होता है: ⅗sinθ + ⅘cosθ = 1

इस परिणाम की तुलना मूलभूत त्रिकोणमितीय सर्वसमिका sin²θ + cos²θ = 1 से करने पर, जिसे (sinθ)sinθ + (cosθ)cosθ = 1 के रूप में लिखा जा सकता है, हम सीधे गुणांकों की तुलना कर सकते हैं। इससे sinθ = ⅗ और cosθ = ⅘ प्राप्त होता है।

यह प्रतिस्थापन मान्य है क्योंकि ये मान सर्वसमिका (⅗)² + (⅘)² = ⁹⁄₂₅ + ¹⁶⁄₂₅ = ²⁵⁄₂₅ = 1 को संतुष्ट करते हैं। asinθ + bcosθ = √(a² + b²) के रूप वाले किसी भी समीकरण के लिए, sinθ का मान हमेशा (a)/(√(a² + b²)) होता है। इस स्थिति में, a = 3 और b = 4 है, इसलिए √(3² + 4²) = 5 है, जिससे sinθ = ⅗ हो जाता है।

व्याख्या

2 वर्ष की अवधि के लिए, चक्रवृद्धि ब्याज और साधारण ब्याज के बीच का अंतर D, सूत्र D = P × ((R)/(100))² द्वारा दिया जाता है, जहाँ P मूलधन है और R वार्षिक ब्याज दर है।

दिए गए मानों P = 5000 और R = 8 को प्रतिस्थापित करने पर:

D = 5000 × (⁸⁄₁₀₀)²

D = 5000 × ⁶⁴⁄₁₀₀₀₀

D = (5000 × 64)/(10000)

D = ⁶⁴⁄₂ = 32

5000 रुपये पर 8% वार्षिक दर से 2 वर्ष के लिए चक्रवृद्धि ब्याज और साधारण ब्याज के बीच का अंतर 32 रुपये है।

व्याख्या

ग्रीनहाउस प्रभाव उस प्रक्रिया को दर्शाता है जिसके द्वारा वायुमंडल में मौजूद कुछ गैसें उस ऊष्मा को रोक लेती हैं जो अन्यथा अंतरिक्ष में चली जाती। सौर विकिरण लघुतरंग प्रकाश के रूप में वायुमंडल में प्रवेश करता है और पृथ्वी की सतह को गर्म करता है। इसके बाद सतह इस ऊर्जा को दीर्घतरंग अवरक्त (इन्फ्रारेड) विकिरण के रूप में वापस उत्सर्जित करती है। कार्बन डाइऑक्साइड और मीथेन जैसी ग्रीनहाउस गैसें आने वाली सूर्य की रोशनी के लिए पारदर्शी होती हैं, लेकिन बाहर जाने वाली अवरक्त किरणों को अवशोषित कर लेती हैं, जिससे उस ऊर्जा का एक हिस्सा वापस जमीन की ओर परावर्तित हो जाता है। यह तंत्र निचले वायुमंडल के भीतर सौर ऊर्जा को बनाए रखकर पृथ्वी के तापमान को नियंत्रित करता है, जिससे यह सुनिश्चित होता है कि ग्रह जैविक जीवन को बनाए रखने के लिए पर्याप्त गर्म रहे।

व्याख्या

ऊधम सिंह एक भारतीय क्रांतिकारी थे, जिन्होंने जलियांवाला बाग नरसंहार का बदला लेने के लिए 13 मार्च, 1940 को लंदन में माइकल ओ'डायर की हत्या कर दी थी। माइकल ओ'डायर 1919 के नरसंहार के दौरान पंजाब के उपराज्यपाल (लेफ्टिनेंट गवर्नर) थे और उन्होंने उस स्थल पर की गई सैन्य कार्रवाई का समर्थन किया था। अमृतसर की इस त्रासदी से गहरे आहत ऊधम सिंह गदर पार्टी में शामिल हो गए और उन्होंने अपना बदला लेने की योजना बनाने में वर्षों बिताए। कैक्सटन हॉल में इस हत्या को अंजाम देने के बाद, उन्हें गिरफ्तार कर लिया गया, उन पर हत्या का मुकदमा चलाया गया और 31 जुलाई, 1940 को पेंटनविले जेल में उन्हें फांसी दे दी गई। भारतीय स्वतंत्रता आंदोलन के ऐतिहासिक आख्यान में, उनके इस कृत्य को औपनिवेशिक अत्याचारों के खिलाफ एक महत्वपूर्ण प्रतिरोध के रूप में याद किया जाता है।

व्याख्या

किसी व्यक्ति के कार्य की दर, कार्य को पूरा करने में लगने वाले समय का व्युत्क्रम होती है। X कार्य को p दिनों में पूरा करता है, इसलिए X के कार्य की दर 1/p इकाई प्रति दिन है। इसी प्रकार, Y कार्य को q दिनों में पूरा करता है, इसलिए Y के कार्य की दर 1/q इकाई प्रति दिन है। एक साथ काम करते समय, उनकी संयुक्त दैनिक कार्य दर उनकी व्यक्तिगत दरों का योग होती है:

संयुक्त दर = ¹⁄ₚ + (1)/(q) = (q + p)/(pq)

संपूर्ण कार्य को पूरा करने के लिए आवश्यक दिनों की संख्या संयुक्त दैनिक कार्य दर का व्युत्क्रम होती है:

लिया गया समय = (1)/(संयुक्त दर) = (1)/(p+q){pq} = (pq)/(p+q)

व्याख्या

कुल लाभ या हानि प्रतिशत की गणना क्रमिक प्रतिशत परिवर्तन के सूत्र x + y + ˣʸ⁄₁₀₀ का उपयोग करके की जा सकती है, जहाँ x मूल्य वृद्धि (मार्क-अप) प्रतिशत को दर्शाता है और y छूट प्रतिशत को दर्शाता है। चूँकि मूल्य वृद्धि से कीमत बढ़ती है और छूट से यह घटती है, इसलिए x = 40 और y = -25 होगा।

लाभ % = 40 - 25 + (40 × (-25))/(100) लाभ % = 15 - ¹⁰⁰⁰⁄₁₀₀ लाभ % = 15 - 10 = 5%

वैकल्पिक रूप से, यदि क्रय मूल्य (CP) को 100 माना जाए, तो 40% मूल्य वृद्धि के परिणामस्वरूप अंकित मूल्य (MP) 140 हो जाता है। अंकित मूल्य पर 25% की छूट की गणना 0.25 × 140 = 35 के रूप में की जाती है। तो विक्रय मूल्य (SP) = 140 - 35 = 105 होगा। लाभ = SP - CP = 105 - 100 = 5 है, जो 100 के मूल क्रय मूल्य पर 5% लाभ के बराबर है।

व्याख्या

मान लीजिए कि दोनों लड़कों की वर्तमान आयु 3x और 4x है। प्रश्न के अनुसार, 3 वर्ष बाद, उनकी आयु का अनुपात 4:5 हो जाता है। इसे इस प्रकार व्यक्त किया जा सकता है:

(3x + 3)/(4x + 3) = 4/5

x का मान ज्ञात करने के लिए तिर्यक गुणन (cross-multiplying) करने पर:

5(3x + 3) = 4(4x + 3) 15x + 15 = 16x + 12 x = 3

वैकल्पिक रूप से, अनुपात में 3:4 से 4:5 तक के परिवर्तन को देखने पर, दोनों के लिए अनुपात इकाइयों में अंतर 1 है। चूंकि यह परिवर्तन 3 वर्षों में होता है, इसलिए 1 इकाई = 3 वर्ष।

वर्तमान आयु 3 × 3 = 9 वर्ष और 4 × 3 = 12 वर्ष है। 21 वर्ष बाद, उनकी आयु 9 + 21 = 30 वर्ष और 12 + 21 = 33 वर्ष होगी। 21 वर्ष बाद उनकी आयु का अनुपात 30:33 होगा। दोनों पदों को उनके महत्तम समापवर्तक (GCD), 3 से विभाजित करने पर, हमें सरल अनुपात 10:11 प्राप्त होता है।

व्याख्या

मान लीजिए कि एक पुस्तक का क्रय मूल्य CP है और एक पुस्तक का विक्रय मूल्य SP है। दी गई शर्त के अनुसार, 25 × CP = 20 × SP। इस समीकरण को व्यवस्थित करने पर, विक्रय मूल्य का क्रय मूल्य से अनुपात इस प्रकार निर्धारित होता है: (SP)/(CP) = ²⁵⁄₂₀ = ⁵⁄₄।

लाभ प्रतिशत की गणना निम्नलिखित सूत्र का उपयोग करके की जाती है: लाभ % = ( (SP - CP)/(CP) ) × 100

आनुपातिक मानों को प्रतिस्थापित करने पर, जहाँ SP = 5 और CP = 4: लाभ % = ( (5 - 4)/(4) ) × 100 = ¼ × 100 = 25%

उन समस्याओं के लिए जहाँ x वस्तुओं का क्रय मूल्य, y वस्तुओं के विक्रय मूल्य के बराबर होता है, लाभ प्रतिशत की गणना सीधे इस शॉर्टकट का उपयोग करके की जा सकती है: लाभ % = ( (x - y)/(y) ) × 100 = ( (25 - 20)/(20) ) × 100 = ⁵⁄₂₀ × 100 = 25%

व्याख्या

माना बड़ी संख्या x है। चूंकि छोटी संख्या बड़ी संख्या की 25% है, इसलिए उनके बीच का अंतर बड़ी संख्या का 75% है। प्रश्न के अनुसार यह अंतर 12 है, इसलिए हम समीकरण x का 75% = 12 बना सकते हैं। प्रतिशत को भिन्न में बदलने पर, हमें ¾x = 12 प्राप्त होता है। दोनों पक्षों को ⁴⁄₃ से गुणा करके x का मान ज्ञात करने पर, x = 12 × ⁴⁄₃ = 16 प्राप्त होता है।

व्याख्या

ट्रेन की गति ज्ञात करने के लिए, हम सूत्र गति = (कुल दूरी)/(कुल समय) का उपयोग करते हैं। जब कोई ट्रेन किसी प्लेटफॉर्म को पार करती है, तो तय की गई कुल दूरी ट्रेन की लंबाई और प्लेटफॉर्म की लंबाई का योग होती है।

कुल दूरी = 500 मीटर + 221 मीटर = 721 मीटर कुल समय = 35 सेकंड

मीटर प्रति सेकंड में गति ⁷²¹⁄₃₅ है। इस गति को किलोमीटर प्रति घंटे में बदलने के लिए, हम इसे ¹⁸⁄₅ के गुणक से गुणा करते हैं:

गति (किमी/घंटा) = ⁷²¹⁄₃₅ × ¹⁸⁄₅

अंश और हर दोनों को 7 से विभाजित करके भिन्न ⁷²¹⁄₃₅ को सरल करने पर प्राप्त होता है: (721 ÷ 7)/(35 ÷ 7) = ¹⁰³⁄₅ = 20.6 मीटर/सेकंड

अंततः, किमी/घंटा में बदलने पर: 20.6 × ¹⁸⁄₅ = 20.6 × 3.6 = 74.16 किमी/घंटा

व्याख्या

साधारण ब्याज का सूत्र SI = (P × R × T)/(100) है, जहाँ P मूलधन (Principal) है, R वार्षिक ब्याज की दर (Rate of interest per annum) है, और T वर्षों में समय अवधि (Time period) है।

दिया गया है कि P = 400, T = 10, और SI = 280, हम दर R का मान ज्ञात करने के लिए सूत्र को इस प्रकार व्यवस्थित कर सकते हैं:

R = (SI × 100)/(P × T)

समीकरण में मान रखने पर:

R = (280 × 100)/(400 × 10)

R = ²⁸⁰⁰⁰⁄₄₀₀₀

R = 7

अतः, वार्षिक ब्याज की दर 7% है।

व्याख्या

व्यंजक के हरों को संबंधित करने के लिए दी गई शर्त a+b=2c को पुनर्व्यवस्थित किया जा सकता है। दोनों पक्षों से c घटाने और पदों को स्थानांतरित करने पर, हमें b-c = c-a प्राप्त होता है, जो b-c = -(a-c) के समतुल्य है।

इस संबंध को अभीष्ट व्यंजक (a)/(a-c) + (c)/(b-c) में प्रतिस्थापित करने पर:

(a)/(a-c) + (c)/(-(a-c))

(a)/(a-c) - (c)/(a-c)

समान हर a-c वाले भिन्नों को संयोजित करने पर:

(a-c)/(a-c) = 1

इस परिणाम को a+b=2c को संतुष्ट करने वाले मानों को चुनकर भी शीघ्रता से सत्यापित किया जा सकता है। यदि हम c=2, a=3, और b=1 मान लें, तो व्यंजक ³⁄₃₋₂ + ²⁄₁₋₂ हो जाता है, जो सरल होकर 3 - 2 = 1 हो जाता है।

व्याख्या

(x)/(1+x+x²) का मान ज्ञात करने के लिए, अंश और हर दोनों को x से विभाजित करें। यह प्रक्रिया व्यंजक को निम्नानुसार सरल बनाती है:

(x)/(x){(1+x+x²)/(x)} = (1)/(1){x + 1 + x}

हर में पदों को पुनर्व्यवस्थित करने पर, व्यंजक इस प्रकार हो जाता है:

(1)/((x + 1){x) + 1}

सरलीकृत व्यंजक में दी गई स्थिति x + ¹⁄ₓ = 5 को प्रतिस्थापित करने पर प्राप्त होता है:

(1)/(5 + 1) = ⅙

व्याख्या

एक त्रिभुज का केंद्रक G उसकी माध्यिकाओं का संगामी बिंदु होता है। केंद्रक का एक प्रमुख ज्यामितीय गुण यह है कि यह प्रत्येक माध्यिका को शीर्ष से विपरीत भुजा के मध्य बिंदु तक मापने पर 2:1 के अनुपात में विभाजित करता है।

△ ABC में, AD शीर्ष A से निकलने वाली माध्यिका है। चूंकि G केंद्रक है, यह रेखाखंड AD को इस प्रकार विभाजित करता है कि शीर्ष से केंद्रक की दूरी (AG) और केंद्रक से मध्य बिंदु की दूरी (GD) का अनुपात AG:GD = 2:1 होता है।

अनुपात AG:AD ज्ञात करने के लिए, हम माध्यिका की कुल लंबाई को उसके दो खंडों के योग के रूप में व्यक्त करते हैं: AD = AG + GD। अनुपात के भागों का उपयोग करते हुए, यदि किसी स्थिरांक k के लिए AG = 2k और GD = k है, तो AD = 2k + k = 3k होगा। इसलिए, अनुपात AG:AD की गणना 2k:3k के रूप में की जाती है, जो सरल होकर 2:3 हो जाता है।

व्याख्या

किसी त्रिभुज के परिकेंद्र को उस संगामी बिंदु के रूप में परिभाषित किया जाता है जहाँ त्रिभुज की भुजाओं के लंब समद्विभाजक मिलते हैं। लंब समद्विभाजक प्रमेय के अनुसार, किसी रेखाखंड के लंब समद्विभाजक पर स्थित कोई भी बिंदु उस रेखाखंड के अंत्य बिंदुओं से समदूरस्थ होता है। चूँकि परिकेंद्र P तीनों भुजाओं के लंब समद्विभाजकों पर स्थित होता है, इसलिए यह त्रिभुज के तीनों शीर्षों से समदूरस्थ होना चाहिए। इस उभयनिष्ठ दूरी PA = PB = PC = R को परित्रिज्या के रूप में जाना जाता है। परिणामस्वरूप, P को केंद्र मानकर R त्रिज्या वाला एक वृत्त तीनों शीर्षों से होकर गुजरेगा, जिससे P परिवृत्त का केंद्र बन जाता है।

व्याख्या

दिए गए समीकरण sinθ + cosθ = 1 के दोनों पक्षों का वर्ग करने पर हमें पदों का गुणनफल प्राप्त होता है:

(sinθ + cosθ)² = (1)²

बीजगणितीय सर्वसमिका (a + b)² = a² + b² + 2ab का उपयोग करने पर:

sin²θ + cos²θ + 2sinθ = 1

मूल त्रिकोणमितीय सर्वसमिका sin²θ + cos²θ = 1 का उपयोग करते हुए, हम इसे समीकरण में प्रतिस्थापित करते हैं:

1 + 2sinθ = 1

समीकरण के दोनों पक्षों से 1 घटाने पर प्राप्त होता है:

2sinθ = 1 - 1

2sinθ = 0

2 से भाग देने पर, हमें प्राप्त होता है:

sinθ = 0

व्याख्या

किसी समांतर श्रेणी (AP) का n-वाँ पद सूत्र aₙ = a + (n - 1)d द्वारा दिया जाता है, जहाँ a पहला पद है और d सार्व अंतर है। दी गई शर्त के अनुसार, 7 × a₇ = 11 × a₁₁ है। प्रत्येक पद के लिए व्यंजक प्रतिस्थापित करने पर, हमें 7(a + 6d) = 11(a + 10d) प्राप्त होता है। दोनों पक्षों का विस्तार करने पर 7a + 42d = 11a + 110d प्राप्त होता है। पदों को एक तरफ व्यवस्थित करने पर 11a - 7a + 110d - 42d = 0 प्राप्त होता है, जो सरल होकर 4a + 68d = 0 हो जाता है। पूरे समीकरण को 4 से विभाजित करने पर, हमें a + 17d = 0 प्राप्त होता है। चूँकि समांतर श्रेणी (AP) का 18वाँ पद a₁₈ = a + (18 - 1)d = a + 17d के रूप में परिभाषित है, और हमने पाया कि a + 17d = 0 है, इसलिए 18वाँ पद 0 होना चाहिए। सामान्यतः, किसी समांतर श्रेणी में, यदि m-वें पद का m गुना, n-वें पद के n गुने के बराबर हो, तो (m + n)-वाँ पद हमेशा शून्य होता है। यहाँ m = 7 और n = 11 दिया गया है, इसलिए (7 + 11) = 18-वाँ पद 0 है।

व्याख्या

नई औसत आयु की गणना आयु के कुल योग में हुए परिवर्तन को ज्ञात करके की जा सकती है। चूंकि एक शिक्षक के स्थान पर दूसरा शिक्षक आ गया है, इसलिए शिक्षकों की संख्या 8 पर स्थिर रहती है।

आयु के योग में शुद्ध (नेट) परिवर्तन, शामिल होने वाले शिक्षक की आयु और मृत्यु होने वाले शिक्षक की आयु के बीच के अंतर से प्राप्त होता है: 39 - 55 = -16 वर्ष।

औसत आयु में परिवर्तन इस शुद्ध परिवर्तन को शिक्षकों की कुल संख्या से विभाजित करके प्राप्त किया जाता है: ⁻¹⁶⁄₈ = -2 वर्ष।

नई औसत आयु, इस परिवर्तन द्वारा समायोजित मूल औसत है: 40 - 2 = 38 वर्ष।

वैकल्पिक रूप से, कुल योग विधि का उपयोग करते हुए, आयु का प्रारंभिक योग 8 × 40 = 320 वर्ष है। प्रतिस्थापन के बाद, आयु का नया योग 320 - 55 + 39 = 304 वर्ष है। नए औसत की गणना इस प्रकार की जाती है: ³⁰⁴⁄₈ = 38

व्याख्या

दिए गए प्रतिबंध a²{b+c} = 1, b²{c+a} = 1, और c²{a+b} = 1 हैं। पहले समीकरण से, हमें a² = b+c प्राप्त होता है। समीकरण के दोनों पक्षों में a जोड़ने पर, हमें a² + a = a+b+c प्राप्त होता है। बाएँ पक्ष का गुणनखंड करने पर a(a+1) = a+b+c प्राप्त होता है, जिसे ¹⁄ₐ₊₁ = (a)/(a+b+c) के रूप में पुनर्व्यवस्थित किया जा सकता है। दिए गए समीकरणों की समरूपता के कारण, यह निष्कर्ष निकलता है कि (1)/(b+1) = (b)/(a+b+c) और (1)/(c+1) = (c)/(a+b+c) है। जिस व्यंजक का मान ज्ञात करना है वह 2 ( ¹⁄₁₊ₐ + (1)/(1+b) + (1)/(1+c) ) है। इस व्यंजक में प्राप्त मानों को प्रतिस्थापित करने पर, हमें 2 ( (a)/(a+b+c) + (b)/(a+b+c) + (c)/(a+b+c) ) प्राप्त होता है। भिन्नों को जोड़ने पर 2 ( (a+b+c)/(a+b+c) ) प्राप्त होता है, जो सरल होकर 2 × 1 = 2 हो जाता है।

व्याख्या

दिए गए समीकरण 2x + ²⁄ₓ = 3 के दोनों पक्षों को 2 से भाग देने पर, हमें x + ¹⁄ₓ = ³⁄₂ प्राप्त होता है।

x + ¹⁄ₓ = k के रूप वाले किसी भी व्यंजक के लिए, x³ + (1)/(x³) का मान सर्वसमिका k³ - 3k द्वारा निर्धारित किया जाता है। इस सूत्र में k = ³⁄₂ प्रतिस्थापित करने पर:

x³ + (1)/(x³) = (³⁄₂)³ - 3(³⁄₂) = ²⁷⁄₈ - ⁹⁄₂

इन भिन्नों को घटाने के लिए, हम समान हर 8 का उपयोग करते हैं:

²⁷⁄₈ - ³⁶⁄₈ = -⁹⁄₈

प्रश्न में x³ + (1)/(x³) + 2 का मान पूछा गया है। हमारे परिणाम में 2 जोड़ने पर:

-⁹⁄₈ + 2 = -⁹⁄₈ + ¹⁶⁄₈ = ⅞

व्याख्या

दो वृत्तों के बीच एक अनुप्रस्थ उभयनिष्ठ स्पर्शरेखा (L) की लंबाई सूत्र L = √(d² - (r₁ + r₂)²) द्वारा निर्धारित की जाती है, जहाँ d वृत्तों के केंद्रों के बीच की दूरी को दर्शाता है और r₁, r₂ उनकी संबंधित त्रिज्याओं को दर्शाते हैं।

दिए गए दो समान वृत्तों की त्रिज्याएँ प्रत्येक 3 सेमी (r₁ = 3, r₂ = 3) हैं और उनके केंद्रों के बीच की दूरी 10 सेमी (d = 10) है, गणना इस प्रकार है:

L = √(10² - (3 + 3)²) L = √(100 - 6²) L = √(100 - 36) L = √(64) L = 8 सेमी

यह ज्यामितीय संबंध एक समकोण त्रिभुज पर पाइथागोरस प्रमेय लागू करके प्राप्त किया जाता है, जहाँ कर्ण केंद्रों के बीच की दूरी होती है और एक भुजा त्रिज्याओं का योग होती है। स्पर्शरेखा को समानांतर रूप से तब तक स्थानांतरित करके जब तक कि यह केंद्रों में से एक से न गुजरे, स्पर्शरेखा की लंबाई इस त्रिभुज की दूसरी भुजा बन जाती है।

व्याख्या

△ ABC में, AD भुजा BC पर माध्यिका है, जिसका अर्थ है कि D, BC का मध्य-बिंदु है। इसलिए, BD = DC = ½ BC। प्रश्न में दिया गया है कि AD = ½ BC, जिससे संबंध AD = BD = DC प्राप्त होता है। यह दर्शाता है कि बिंदु D तीनों शीर्षों A, B और C से समान दूरी पर (समदूरस्थ) है। ज्यामिति में, त्रिभुज के शीर्षों से समान दूरी पर स्थित बिंदु उसका परिकेंद्र होता है। चूंकि परिकेंद्र D भुजा BC पर स्थित है, इसलिए BC परिवृत्त का व्यास होना चाहिए। थेल्स के प्रमेय (Thales's Theorem) के अनुसार, व्यास द्वारा परिधि पर किसी भी बिंदु पर अंतरित कोण 90° होता है। वैकल्पिक रूप से, बनने वाले समद्विबाहु त्रिभुजों पर विचार करने पर, △ ABD में, ∠ BAD = ∠ ABD, और △ ACD में, ∠ CAD = ∠ ACD। △ ABC के कोणों का योग ∠ ABD + ∠ ACD + (∠ BAD + ∠ CAD) = 180° है। बराबर कोणों को प्रतिस्थापित करने पर 2(∠ BAD + ∠ CAD) = 180° प्राप्त होता है, जो सरल होकर 2(∠ BAC) = 180° हो जाता है, अतः ∠ BAC = 90°।

व्याख्या

दिए गए समीकरण (sinθ + cosθ)/(sinθ - cosθ) = ³⁄₁ पर योगान्तरानुपात नियम (componendo and dividendo) लागू करने पर:

((sinθ + cosθ) + (sinθ - cosθ))/((sinθ + cosθ) - (sinθ - cosθ)) = (3 + 1)/(3 - 1)

(2sinθ)/(2cosθ) = ⁴⁄₂

tanθ = 2

वह व्यंजक जिसका मान ज्ञात करना है, sin⁴θ - cos⁴θ है। बीजगणितीय सर्वसमिका a² - b² = (a - b)(a + b) का उपयोग करके, हम इसका गुणनखंड इस प्रकार कर सकते हैं:

sin⁴θ - cos⁴θ = (sin²θ - cos²θ)(sin²θ + cos²θ)

चूंकि sin²θ + cos²θ = 1 है, इसलिए यह व्यंजक सरल होकर निम्न प्रकार हो जाता है:

sin⁴θ - cos⁴θ = sin²θ - cos²θ

हम sin²θ और cos²θ को tanθ के पदों में व्यक्त कर सकते हैं:

cos²θ = (1)/(1 + tan²θ) = (1)/(1 + 2²) = ⅕

sin²θ = 1 - cos²θ = 1 - ⅕ = ⅘

सरलीकृत व्यंजक में इन मानों को प्रतिस्थापित करने पर:

sin²θ - cos²θ = ⅘ - ⅕ = ⅗

व्याख्या

शंकु की तिर्यक ऊंचाई l की गणना उसकी ऊर्ध्वाधर ऊंचाई h = 40 सेमी और त्रिज्या r = 30 सेमी के साथ पाइथागोरस प्रमेय का उपयोग करके की जाती है। संबंध l = √(h² + r²) का उपयोग करने पर, हमें l = √(40² + 30²) = √(1600 + 900) = √(2500) = 50 सेमी प्राप्त होता है। शंकु का वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल सूत्र π r l द्वारा दिया जाता है, जिसके परिणामस्वरूप π × 30 × 50 = 1500π सेमी² प्राप्त होता है। प्रश्न के अनुसार, गोले का वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल, 4π R², शंकु के वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल के बराबर है। समीकरण 4π R² = 1500π स्थापित करने और दोनों पक्षों को 4π से विभाजित करने पर, हमें R² = 375 प्राप्त होता है। दोनों पक्षों का वर्गमूल लेने पर, R = √(375) = √(25 × 15) = 5√(15) सेमी प्राप्त होता है।

व्याख्या

ऐसी समस्याओं के लिए जहाँ एक व्यक्ति h ऊँचाई वाली मीनार की ओर d दूरी तय करता है और उन्नयन कोण ₁ से बदलकर ₂ हो जाता है, उनके बीच का संबंध इस सूत्र द्वारा दिया जाता है: d = h(cot ₁ - cot ₂)।

इस स्थिति में, तय की गई दूरी d = 20 मीटर, प्रारंभिक कोण ₁ = 30°, और अंतिम कोण ₂ = 60° है। इन मानों को सूत्र में रखने पर:

20 = h(cot 30° - cot 60°)

चूँकि cot 30° = √3 और cot 60° = (1)/(√(3)) है, इसलिए समीकरण इस प्रकार हो जाता है:

20 = h(√3 - (1)/(√(3)))

उभयनिष्ठ हर (common denominator) लेकर कोष्ठक के पद को सरल करने पर:

20 = h((3 - 1)/(√(3)))

20 = h((2)/(√(3)))

h का मान ज्ञात करने के लिए समीकरण को पुनर्व्यवस्थित करने पर:

h = 20 × √3/2

h = 10√3