एसएससी सीजीएल टियर 1 2016 मात्रात्मक अभिक्षमता प्रश्न — हल सहित

व्याख्या

किसी भी त्रिभुज ABC में, अंतः कोणों का योग A + B + C = 180° होता है। दी गई शर्त sin A = cos B है। त्रिकोणमितीय सर्वसमिका cos θ = sin(90° - θ) का उपयोग करने पर, समीकरण को sin A = sin(90° - B) के रूप में लिखा जा सकता है। कोणों की तुलना करने पर, हमें A = 90° - B प्राप्त होता है, जिसे सरल करने पर A + B = 90° प्राप्त होता है। इस संबंध को त्रिभुज के कोण योग गुणधर्म में प्रतिस्थापित करने पर, हमें 90° + C = 180° प्राप्त होता है, जिसके परिणामस्वरूप C = 90° प्राप्त होता है। अतः, cos C का मान cos 90° = 0 है।

व्याख्या

जब एक आयत को किसी वृत्त के अंतर्गत (अंतर्लिखित) खींचा जाता है, तो उसका विकर्ण वृत्त के व्यास के रूप में कार्य करता है। ऐसा इसलिए है क्योंकि आयत का प्रत्येक शीर्ष 90° का कोण बनाता है, और वृत्त की ज्यामिति के अनुसार, परिधि पर अंतरित 90° का कोण व्यास द्वारा ही अंतरित होना चाहिए।

आसन्न भुजाओं a = 5 सेमी और b = 12 सेमी वाले आयत के लिए, पाइथागोरस प्रमेय का उपयोग करके विकर्ण d की लंबाई ज्ञात की जाती है:

d = √(5² + 12²) = √(25 + 144) = √(169) = 13 सेमी

इसलिए वृत्त का व्यास 13 सेमी है। त्रिज्या r व्यास की आधी होती है:

r = ¹³⁄₂ = 6.5 सेमी

व्याख्या

sinθ - cosθ का मान ज्ञात करने के लिए, हम बीजगणितीय सर्वसमिका (a - b)² = a² + b² - 2ab का उपयोग करते हैं। माना a = sinθ और b = cosθ। इस प्रकार, (sinθ - cosθ)² = sin²θ + cos²θ - 2sinθcosθ। त्रिकोणमितीय सर्वसमिका sin²θ + cos²θ = 1 का उपयोग करने और दिए गए मान sinθcosθ = ½ को प्रतिस्थापित करने पर, हमें (sinθ - cosθ)² = 1 - 2(½) = 1 - 1 = 0 प्राप्त होता है। दोनों पक्षों का वर्गमूल लेने पर sinθ - cosθ = 0 प्राप्त होता है। वैकल्पिक रूप से, दिए गए समीकरण को 2 से गुणा करने पर 2sinθcosθ = 1 प्राप्त होता है, जो कि sin(2θ) का सूत्र है। चूंकि sin(2θ) = 1 और 0° < θ < 90° है, इसलिए 2θ = 90° होगा, जिसका अर्थ है θ = 45°। 45° पर, sinθ और cosθ दोनों के मान (1)/(√(2)) होते हैं, जिससे उनका अंतर शून्य हो जाता है।

व्याख्या

सही माध्य का निर्धारण डेटा दर्ज करने में हुई त्रुटि के लिए प्रारंभिक माध्य को समायोजित करके किया जाता है। कुल योग में परिवर्तन 53 - 83 = -30 है। चूंकि 100 प्रेक्षण हैं, इसलिए माध्य पर इस त्रुटि का प्रभाव ⁻³⁰⁄₁₀₀ = -0.3 है। मूल माध्य में इस सुधार को लागू करने पर, सही माध्य 40 - 0.3 = 39.7 है। इसकी गणना सीधे समायोजित माध्य के सूत्र का उपयोग करके की जा सकती है:

xₙₑ_w = xₒₗ_d + x_cₒᵣᵣₑ_cₜ - xᵢₙ_cₒᵣᵣₑ_cₜ{n}

मानों को प्रतिस्थापित करने पर:

xₙₑ_w = 40 + (53 - 83)/(100) = 40 - ³⁰⁄₁₀₀ = 40 - 0.3 = 39.7

यह गणना दर्शाती है कि चूंकि मान को उसके वास्तविक मान से अधिक दर्ज किया गया था, इसलिए प्रारंभिक माध्य का अधिक आकलन (overestimate) किया गया था, और सुधार के परिणामस्वरूप औसत कम प्राप्त होता है।

व्याख्या

किसी भी धनात्मक वास्तविक संख्या x के लिए, समीकरण x + ¹⁄ₓ = 2 केवल और केवल तभी संतुष्ट होता है जब x = 1 हो। यह एक मानक परिणाम है जो इस तथ्य से प्राप्त होता है कि (x - 1)² ≥ 0, जिससे तात्पर्य है कि x² - 2x + 1 ≥ 0, या x > 0 के लिए x + ¹⁄ₓ ≥ 2, जहाँ समानता केवल x = 1 पर लागू होती है। दिए गए व्यंजक a³ + (1)/(a³) = 2 में, माना x = a³ है। चूँकि a एक धनात्मक संख्या है, इसलिए a³ = 1, जिससे a = 1 प्राप्त होता है।

ज्ञात किया जाने वाला मान (a² + 1)/(a) है। हम अंश के प्रत्येक पद को हर से विभाजित करके इस व्यंजक को सरल बना सकते हैं: (a²)/(a) + ¹⁄ₐ = a + ¹⁄ₐ

सरलीकृत व्यंजक में a = 1 का मान रखने पर: 1 + ¹⁄₁ = 1 + 1 = 2

वैकल्पिक रूप से, बीजीय सर्वसमिका (a + ¹⁄ₐ)³ = a³ + (1)/(a³) + 3(a + ¹⁄ₐ) का उपयोग करते हुए, माना k = a + ¹⁄ₐ है। समीकरण k³ = 2 + 3k, या k³ - 3k - 2 = 0 में परिवर्तित हो जाता है। इसका गुणनखंड करने पर (k - 2)(k + 1)² = 0 प्राप्त होता है। चूँकि a > 0 है, इसलिए k धनात्मक होना चाहिए, अतः k = 2 है।

व्याख्या

दिया गया समीकरण x(3 - ²⁄ₓ) = ³⁄ₓ है। बाएँ पक्ष का विस्तार करने पर 3x - 2 = ³⁄ₓ प्राप्त होता है। पदों को पुनर्व्यवस्थित करने पर, हमें 3x - ³⁄ₓ = 2 प्राप्त होता है। पूरे समीकरण को 3 से भाग देने पर सरल रूप x - ¹⁄ₓ = ⅔ प्राप्त होता है।

x² + (1)/(x²) का मान ज्ञात करने के लिए, हम बीजगणितीय सर्वसमिका (x - ¹⁄ₓ)² = x² + (1)/(x²) - 2 का उपयोग करते हैं। इस सर्वसमिका को पुनर्व्यवस्थित करने पर x² + (1)/(x²) = (x - ¹⁄ₓ)² + 2 प्राप्त होता है। सूत्र में x - ¹⁄ₓ का मान रखने पर, हमें x² + (1)/(x²) = (⅔)² + 2 प्राप्त होता है। यह सरल होकर ⁴⁄₉ + 2 हो जाता है, जो कि 2 ⁴⁄₉ है।

व्याख्या

जब किसी ठोस वस्तु को पिघलाकर दूसरे आकार में ढाला जाता है, तो उसका आयतन अपरिवर्तित रहता है। गोले का आयतन सूत्र Vₛ = ⁴⁄₃ π r³ द्वारा दिया जाता है और शंकु का आयतन V_c = ⅓ π r² h द्वारा दिया जाता है।

गोले के आयतन को शंकु के आयतन के बराबर रखने पर: ⁴⁄₃ π r³ = ⅓ π r² h

चूँकि गोले की त्रिज्या और शंकु के आधार की त्रिज्या समान (r = 5 सेमी) दी गई है, हम दोनों पक्षों को ⅓ π r² से विभाजित करके समीकरण को सरल कर सकते हैं: 4r = h

सरलीकृत सूत्र में r = 5 सेमी का मान रखने पर: h = 4 × 5 = 20 सेमी

व्याख्या

2 वर्ष की अवधि के लिए चक्रवृद्धि ब्याज और साधारण ब्याज के बीच का अंतर (D) सूत्र D = P × (r/100)² द्वारा निर्धारित किया जाता है, जहाँ P मूलधन है और r वार्षिक ब्याज दर है। यह देखते हुए कि अंतर रु. 41 है और दर 5% वार्षिक है, इन मानों को सूत्र में निम्नानुसार प्रतिस्थापित किया जा सकता है:

41 = P × (5/100)²

41 = P × (1/20)²

41 = P × (1/400)

P = 41 × 400

P = 16400

व्याख्या

मान लीजिए कि पेड़ की ऊंचाई h है और नदी की चौड़ाई w है। पहले प्रेक्षण के अनुसार, उन्नयन कोण 60° है, जिससे संबंध tan 60° = (h)/(w) प्राप्त होता है, जो सरल होकर h = w√3 हो जाता है। व्यक्ति के किनारे से 36 मीटर और दूर जाने के बाद, पेड़ से कुल दूरी w + 36 हो जाती है और उन्नयन कोण 30° हो जाता है। इससे दूसरा संबंध tan 30° = (h)/(w + 36), या h = (w + 36)/(√(3)) प्राप्त होता है।

h के दोनों व्यंजकों को बराबर रखने पर: w√3 = (w + 36)/(√(3))

दोनों पक्षों को √3 से गुणा करने पर प्राप्त होता है: 3w = w + 36 2w = 36 w = 18 मीटर

वैकल्पिक रूप से, उन्नयन कोणों में परिवर्तन के लिए दूरी सूत्र d = w((tan α)/(tan β) - 1) का उपयोग करने पर, जहाँ d = 36, α = 60°, और β = 30°: 36 = w(√3{1/√3} - 1) 36 = w(3 - 1) 36 = 2w w = 18 मीटर

व्याख्या

अंकों 2, 5, 0, 6, और 8 का बिना पुनरावृत्ति के उपयोग करके पांच अंकों की सबसे बड़ी संख्या बनाने के लिए, हम अंकों को अवरोही क्रम में व्यवस्थित करते हैं। इससे हमें 86520 प्राप्त होता है।

पांच अंकों की सबसे छोटी संख्या बनाने के लिए, हम अंकों को आरोही क्रम में व्यवस्थित करते हैं। हालाँकि, पांच अंकों की संख्या अंक 0 से शुरू नहीं हो सकती है, क्योंकि तब यह चार अंकों की संख्या बन जाएगी। इसलिए, हम सबसे छोटे गैर-शून्य अंक, 2 को दस-हजार के स्थान पर रखते हैं, उसके बाद हजार के स्थान पर 0 रखते हैं, और फिर शेष अंकों को आरोही क्रम में रखते हैं। इसके परिणामस्वरूप 20568 प्राप्त होता है।

सबसे बड़ी और सबसे छोटी संख्या के बीच के अंतर की गणना इस प्रकार की जाती है: 86520 - 20568 = 65952

व्याख्या

अंकित मूल्य (MP), छूट प्रतिशत (d), और विक्रय मूल्य (SP) के बीच का संबंध सूत्र SP = MP × (1 - ᵈ⁄₁₀₀) द्वारा दिया गया है। इस प्रश्न में, छूट के बाद विक्रय मूल्य 119 रुपये है और छूट की दर 15% है। सूत्र में इन मानों को प्रतिस्थापित करने पर, हमें प्राप्त होता है: 119 = MP × (1 - ¹⁵⁄₁₀₀), जो सरल होकर 119 = MP × ⁸⁵⁄₁₀₀ हो जाता है।

अंकित मूल्य ज्ञात करने के लिए, हम समीकरण को इस प्रकार पुनर्व्यवस्थित करते हैं: MP = (119 × 100)/(85)। 119 और 85 दोनों को उनके महत्तम समापवर्तक (greatest common divisor), 17 से विभाजित करने पर, यह व्यंजक MP = (7 × 100)/(5) हो जाता है। इसे और सरल करने पर MP = 7 × 20 = 140 प्राप्त होता है। अतः, छूट से पहले शर्ट का अंकित मूल्य 140 रुपये था।

व्याख्या

दिए गए चरों की समरूपता के आधार पर, हम समान अनुपातों को इस प्रकार परिभाषित करते हैं कि (a)/(q-r) = ᵇ⁄ᵣ₋ₚ = (c)/(p-q) = k। इससे हम a को k(q-r), b को k(r-p), और c को k(p-q) के रूप में व्यक्त कर सकते हैं। इन व्यंजकों को अभीष्ट योग pa + qb + rc में प्रतिस्थापित करने पर, हमें p(k(q-r)) + q(k(r-p)) + r(k(p-q)) प्राप्त होता है। अचर k को उभयनिष्ठ (common) लेने पर k(pq - pr + qr - qp + rp - rq) प्राप्त होता है। कोष्ठक के भीतर, पद चक्रीय रूप से एक-दूसरे को निरस्त (cancel) कर देते हैं: pq, -qp से निरस्त हो जाता है, qr, -rq से निरस्त हो जाता है, और -pr, rp से निरस्त हो जाता है। इसके परिणामस्वरूप k(0) प्राप्त होता है, जो सरल होकर 0 हो जाता है।

व्याख्या

मानों के एक समूह का योग, औसत और प्रेक्षणों की संख्या के गुणनफल के बराबर होता है। दिए गए औसतों से, हम दो समीकरण स्थापित कर सकते हैं: a + b + c = 20 × 3 = 60 और b + c + d = 25 × 3 = 75। पहले समीकरण को दूसरे समीकरण से घटाने पर उभयनिष्ठ पदों b और c का विलोपन हो जाता है, जिससे (b + c + d) - (a + b + c) = 75 - 60 प्राप्त होता है, जो सरल होकर d - a = 15 हो जाता है। इस संबंध में दिए गए मान d = 30 को प्रतिस्थापित करने पर 30 - a = 15 प्राप्त होता है। a का मान ज्ञात करने के लिए पदों को व्यवस्थित करने पर, हमें a = 30 - 15 = 15 प्राप्त होता है।

व्याख्या

माना घड़ी का क्रय मूल्य (CP) 100 है। दिया गया है कि लाभ क्रय मूल्य का 25% है, इसलिए लाभ की राशि 0.25 × 100 = 25 है। विक्रय मूल्य (SP) की गणना क्रय मूल्य में लाभ जोड़कर की जाती है: SP = CP + लाभ = 100 + 25 = 125।

विक्रय मूल्य के संदर्भ में लाभ प्रतिशत निर्धारित करने के लिए, हम सूत्र का उपयोग करते हैं: विक्रय मूल्य (SP) पर लाभ % = ( (लाभ)/(SP) ) × 100

सूत्र में ज्ञात मानों को रखने पर: विक्रय मूल्य (SP) पर लाभ % = ( ²⁵⁄₁₂₅ ) × 100 विक्रय मूल्य (SP) पर लाभ % = ( ⅕ ) × 100 = 20%

व्याख्या

तीनों चरों के बीच के संबंध को क्रमिक प्रतिस्थापन (sequential substitution) द्वारा निर्धारित किया जा सकता है। दिया गया है कि A = B का 20% और B = C का 25%, हम इन्हें गणितीय समीकरणों के रूप में लिख सकते हैं: A = 0.20 × B और B = 0.25 × C।

B के मान को पहले समीकरण में प्रतिस्थापित करने पर: A = 0.20 × (0.25 × C) A = 0.05 × C

इसे प्रतिशत के रूप में व्यक्त करने के लिए, हम 100 से गुणा करते हैं: A = C का (0.05 × 100)% A = C का 5%

वैकल्पिक रूप से, मान मानने की विधि का उपयोग करके, माना C = 100 है। तो B = 100 का 25% = 25 होगा। परिणामस्वरूप, A = 25 का 20% होगा, जो कि ⅕ × 25 = 5 है। चूंकि C = 100 होने पर A = 5 है, इसलिए A, C का 5% है।

व्याख्या

ध्वनि की चाल की गणना चाल के मूल सूत्र का उपयोग करके की जा सकती है, जो तय की गई दूरी और लिए गए समय का अनुपात है:

v = ᵈ⁄ₜ

इस प्रश्न में, दूरी (d) 1.7 किमी दी गई है। मीटर प्रति सेकंड (m/s) में चाल प्राप्त करने के लिए, इस मान को पहले मीटर में परिवर्तित किया जाना चाहिए:

d = 1.7 × 1000 = 1700 मीटर

ध्वनि को राम तक पहुँचने में लगा समय (t) 25 सेकंड है। इन मानों को सूत्र में रखने पर:

v = ¹⁷⁰⁰⁄₂₅

गणना को सरल बनाने के लिए, 1700 को 17 × 100 के रूप में देखा जा सकता है। चूंकि 100 को 25 से विभाजित करने पर 4 प्राप्त होता है, इसलिए गणना इस प्रकार होगी:

v = 17 × 4 = 68 मीटर/सेकंड

व्याख्या

समयावधि की गणना साधारण ब्याज के मानक सूत्र का उपयोग करके की जा सकती है: T = (SI × 100)/(P × R), जहाँ SI साधारण ब्याज है, P मूलधन है, R वार्षिक ब्याज दर है, और T वर्षों में समय है। दिए गए मानों SI = 1080, P = 3000, और R = 12 को प्रतिस्थापित करने पर:

T = (1080 × 100)/(3000 × 12)

T = (1080)/(30 × 12)

T = ¹⁰⁸⁰⁄₃₆₀ = 3 वर्ष

वैकल्पिक रूप से, ₹ 3000 पर 12% की दर से एक वर्ष के ब्याज की गणना करने पर 3000 × ¹²⁄₁₀₀ = 360 प्राप्त होता है। कुल ब्याज ₹ 1080 को वार्षिक ब्याज ₹ 360 से विभाजित करने पर ¹⁰⁸⁰⁄₃₆₀ = 3 वर्ष प्राप्त होता है।

व्याख्या

दिए गए समीकरण (a + ¹⁄ₐ)² = 3 से, दोनों पक्षों का वर्गमूल लेने पर संबंध a + ¹⁄ₐ = √3 प्राप्त होता है।

a³ + (1)/(a³) का मान ज्ञात करने के लिए, हम घनों के योग के लिए मानक बीजगणितीय सर्वसमिका (algebraic identity) का उपयोग करते हैं: x³ + y³ = (x + y)³ - 3xy(x + y)

x = a और y = ¹⁄ₐ प्रतिस्थापित करने पर, सूत्र इस प्रकार सरल हो जाता है: a³ + (1)/(a³) = (a + ¹⁄ₐ)³ - 3(a · ¹⁄ₐ)(a + ¹⁄ₐ) a³ + (1)/(a³) = (a + ¹⁄ₐ)³ - 3(a + ¹⁄ₐ)

अब, व्यंजक में a + ¹⁄ₐ = √3 का मान प्रतिस्थापित करें: a³ + (1)/(a³) = (√3)³ - 3(√3) चूंकि (√3)³ = √3 × √3 × √3 = 3√3 है, इसलिए गणना इस प्रकार होगी: a³ + (1)/(a³) = 3√3 - 3√3 a³ + (1)/(a³) = 0

यह परिणाम इस बीजगणितीय गुण के अनुरूप है कि जब भी a + ¹⁄ₐ = √3 होता है, तो व्यंजक a⁶ + 1 = 0 सत्य होता है, जिसका अर्थ है a³ + (1)/(a³) = (a⁶ + 1)/(a³) = 0।

व्याख्या

समान अनुपातों का गुणधर्म यह बताता है कि यदि (x₁)/(y₁) = (x₂)/(y₂) = … = (xₙ)/(yₙ) = λ, तो λ अंशों के योग और हरों के योग के अनुपात के भी बराबर होता है, अर्थात λ = (Σ xᵢ)/(Σ yᵢ)। दिए गए समीकरण पर इस गुणधर्म को लागू करने पर:

¹⁄ₖ = ((a² + b²) + (b² + c²) + (c² + a²))/(c² + a² + b²)

अंश में प्रत्येक वर्ग पद दो बार आता है, जिसका गुणनखंड इस प्रकार किया जा सकता है:

¹⁄ₖ = (2a² + 2b² + 2c²)/(a² + b² + c²)

¹⁄ₖ = (2(a² + b² + c²))/(a² + b² + c²)

यह मानते हुए कि a² + b² + c² ≠ 0, अंश और हर में उभयनिष्ठ पद को निरस्त (cancel) किया जा सकता है:

¹⁄ₖ = 2

k का मान ज्ञात करने के लिए दोनों पक्षों का व्युत्क्रम (reciprocal) लेने पर:

k = ½

व्याख्या

एक अर्धवृत्त में अंतर्निहित त्रिभुज के क्षेत्रफल को अधिकतम करने के लिए, त्रिभुज का आधार अर्धवृत्त के व्यास के संपाती होना चाहिए। इस विन्यास में, आधार b, 2r के बराबर होता है, जहाँ r त्रिज्या है। एक त्रिभुज का क्षेत्रफल सूत्र A = ½ × आधार × ऊँचाई द्वारा दिया जाता है। अर्धवृत्त के चाप पर किसी भी बिंदु के लिए, ऊँचाई h व्यास से लंबवत दूरी होती है। यह ऊँचाई तब अधिकतम होती है जब शीर्ष चाप के मध्य बिंदु पर होता है, जिससे ऊँचाई त्रिज्या r के बराबर हो जाती है। क्षेत्रफल के सूत्र में इन मानों को प्रतिस्थापित करने पर A = ½ × (2r) × r = r² प्राप्त होता है। दी गई त्रिज्या r = 6 मीटर के लिए, क्षेत्रफल 6² = 36 वर्ग मीटर है।

व्याख्या

व्यंजक (sinθ)/(1+cosθ) + (sinθ)/(1-cosθ) को सरल करने के लिए, हम पहले दोनों हरों को गुणा करके एक उभयनिष्ठ हर (common denominator) ज्ञात करते हैं:

(1+cosθ)(1-cosθ) = 1 - cos²θ

मूलभूत त्रिकोणमितीय सर्वसमिका sin²θ + cos²θ = 1 का उपयोग करके, हम 1 - cos²θ को sin²θ से प्रतिस्थापित कर सकते हैं। अब, हम इस उभयनिष्ठ हर पर भिन्नों को जोड़ते हैं:

(sinθ(1-cosθ) + sinθ(1+cosθ))/(sin²θ)

अंश में पदों का विस्तार करने पर प्राप्त होता है:

(sinθ - sinθ + sinθ + sinθ)/(sin²θ)

पद -sinθ और +sinθ एक-दूसरे को निरस्त कर देते हैं, जिससे बचता है:

(2sinθ)/(sin²θ)

अंश और हर दोनों को sinθ से विभाजित करने पर, व्यंजक निम्न रूप में आ जाता है:

(2)/(sinθ)

चूंकि sinθ का व्युत्क्रम (reciprocal) cscθ के रूप में परिभाषित है, इसलिए यह व्यंजक 2cscθ के बराबर है।

व्याख्या

किया गया कुल कार्य व्यक्तियों की संख्या, समयावधि और व्यक्तिगत क्षमता या दक्षता का गुणनफल होता है। मान लीजिए कि एक पुरुष की क्षमता M है और एक महिला की क्षमता W है। चूंकि दोनों स्थितियों में समान कार्य पूरा किया जा रहा है, इसलिए कुल कार्य इकाइयों को निम्नानुसार बराबर किया जाता है:

20 × W × 16 = 16 × M × 15

समीकरण के दोनों पक्षों को 16 से विभाजित करने पर व्यंजक सरल होकर निम्न प्रकार हो जाता है:

20 × W = 15 × M

एक पुरुष की क्षमता का एक महिला की क्षमता से अनुपात निर्धारित करने के लिए, M/W का मान ज्ञात करने हेतु समीकरण को पुनर्व्यवस्थित किया जाता है:

(M)/(W) = ²⁰⁄₁₅

अंश और हर दोनों को उनके महत्तम समापवर्तक, 5 से विभाजित करने पर, भिन्न सरल होकर निम्न प्रकार हो जाती है:

(M)/(W) = ⁴⁄₃

व्याख्या

दिए गए समीकरण 2x + ²⁄₉ₓ = 4 को, पहले हम दोनों पक्षों को 2 से विभाजित करके सरल करते हैं जिससे हमें x + ¹⁄₉ₓ = 2 प्राप्त होता है। इसे वांछित व्यंजक 27x³ + (1)/(27x³) के आवश्यक रूप में बदलने के लिए, जो कि (3x)³ + (1)/((3x)³) के समतुल्य है, हम पूरे सरलीकृत समीकरण को 3 से गुणा करते हैं:

3 · (x + ¹⁄₉ₓ) = 3 · 2 3x + ¹⁄₃ₓ = 6

बीजगणितीय सर्वसमिका a³ + b³ = (a+b)³ - 3ab(a+b) का उपयोग करके, जहाँ a = 3x और b = ¹⁄₃ₓ है, हम मान प्रतिस्थापित कर सकते हैं। a + ¹⁄ₐ = k के रूप में किसी भी व्यंजक के लिए, उनके घनों का योग k³ - 3k द्वारा दिया जाता है। k = 6 प्रतिस्थापित करने पर:

27x³ + (1)/(27x³) = (3x + ¹⁄₃ₓ)³ - 3(3x)(¹⁄₃ₓ)(3x + ¹⁄₃ₓ) 27x³ + (1)/(27x³) = 6³ - 3(1)(6) 27x³ + (1)/(27x³) = 216 - 18 27x³ + (1)/(27x³) = 198

व्याख्या

एक चक्रीय चतुर्भुज में, सम्मुख कोणों का योग 180° होता है। दिया गया है कि ∠ BCD = 120°, सम्मुख कोण ∠ BAD की गणना इस प्रकार की जाती है: ∠ BAD = 180° - ∠ BCD = 180° - 120° = 60°

प्रश्न में कहा गया है कि एक भुजा वृत्त के केंद्र से होकर गुजरती है, जिसका अर्थ है कि यह एक व्यास है। AB को व्यास मानने पर, व्यास द्वारा वृत्त की परिधि पर किसी भी बिंदु पर अंतरित कोण एक समकोण (90°) होता है। अतः: ∠ ADB = 90°

△ ABD में, सभी आंतरिक कोणों का योग 180° होता है। ∠ BAD और ∠ ADB के मानों का उपयोग करने पर: ∠ ABD = 180° - (∠ BAD + ∠ ADB) ∠ ABD = 180° - (60° + 90°) ∠ ABD = 180° - 150° = 30°

व्याख्या

मध्य-बिंदु प्रमेय (Midpoint Theorem) के अनुसार, किसी त्रिभुज की दो भुजाओं के मध्य-बिंदुओं को मिलाने वाला रेखाखंड तीसरी भुजा के समानांतर होता है और उस तीसरी भुजा की लंबाई का आधा होता है। त्रिभुज ABC में, चूंकि X और Y क्रमशः AB और AC के मध्य-बिंदु हैं, इसलिए हमारे पास संबंध XY = ½ BC, या BC = 2XY है।

यह दिया गया है कि BC + XY = 12 इकाई है, हम BC के स्थान पर 2XY रख सकते हैं: 2XY + XY = 12 3XY = 12 XY = 4 इकाई।

XY के मान को वापस संबंध BC = 2XY में रखने पर, हमें प्राप्त होता है: BC = 2 × 4 = 8 इकाई।

BC - XY के मान की गणना इस प्रकार की जाती है: 8 - 4 = 4 इकाई।

व्याख्या

एक समद्विबाहु Δ ABC में जहाँ AB = AC है, असमान भुजा BC पर माध्यिका AD भी शीर्षलंब होती है। इसलिए, AD ⊥ BC, जिसका अर्थ है ∠ ADB = ∠ ADC = 90°। चूँकि DP, ∠ ADB का कोण समद्विभाजक है, हमारे पास ∠ ADP = ½ ∠ ADB = ½(90°) = 45° है।

Δ ADB में कोण समद्विभाजक प्रमेय द्वारा, भुजाओं का अनुपात AP/PB = AD/DB है। चूँकि PQ ∥ BC है, इसलिए आधारभूत आनुपातिकता प्रमेय द्वारा, हमारे पास AP/PB = AQ/QC है। चूँकि D, BC का मध्यबिंदु है, हम जानते हैं कि DB = DC है। इन मानों को अनुपातों में प्रतिस्थापित करने पर, हमें AQ/QC = AD/DC प्राप्त होता है।

Δ ADC में कोण समद्विभाजक प्रमेय के विलोम के अनुसार, चूँकि AQ/QC = AD/DC है, इसलिए रेखाखंड DQ, ∠ ADC का कोण समद्विभाजक होना चाहिए। इस प्रकार, ∠ ADQ = ½ ∠ ADC = ½(90°) = 45°। ∠ PDQ का माप ∠ ADP और ∠ ADQ का योग है, जिसके परिणामस्वरूप 45° + 45° = 90° प्राप्त होता है।

व्याख्या

चट्टान की ऊंचाई, h, को एक समकोण त्रिभुज में स्पर्शज्या (tangent) के त्रिकोणमितीय अनुपात का उपयोग करके ज्ञात किया जा सकता है। इस स्थिति में, चट्टान की ऊंचाई लंब (सम्मुख) भुजा को दर्शाती है और चट्टान के आधार से दूरी आधार (संलग्न) भुजा को दर्शाती है। दिया गया है कि उन्नयन कोण θ = 30° और दूरी d = 129 मीटर है:

tan θ = (h)/(d)

tan 30° = ʰ⁄₁₂₉

tan 30° = (1)/(√(3)) का मान रखने पर:

(1)/(√(3)) = ʰ⁄₁₂₉

h = (129)/(√(3))

सरल करने के लिए, अंश और हर दोनों को √3 से गुणा करके हर का परिमेयकरण करें:

h = 129 × √3{√3 × √3}

h = 129√3{3}

h = 43√3 मीटर

व्याख्या

एक खोखले बेलनाकार पाइप का आयतन V सूत्र V = π(R² - r²)h द्वारा दिया जाता है, जहाँ R बाहरी त्रिज्या है, r आंतरिक त्रिज्या है, और h पाइप की लंबाई है। दिए गए मानों V = 748 सेमी³, R = 9 सेमी, और h = 14 सेमी को सूत्र में रखने पर, हमें प्राप्त होता है:

748 = ²²⁄₇ × (9² - r²) × 14

748 = 22 × (81 - r²) × 2

748 = 44 × (81 - r²)

748 को 44 से विभाजित करने पर:

17 = 81 - r²

r² = 81 - 17 = 64

r = √(64) = 8 सेमी

पाइप की मोटाई बाहरी त्रिज्या और आंतरिक त्रिज्या के बीच का अंतर है:

मोटाई = R - r = 9 - 8 = 1 सेमी

व्याख्या

किया गया कार्य स्थिर है और इसकी गणना चेन रूल (chain rule) सूत्र M₁ × D₁ × H₁ = M₂ × D₂ × H₂ का उपयोग करके की जा सकती है, जहाँ M पुरुषों की संख्या है, D दिनों की संख्या है, और H प्रतिदिन कार्य किए गए घंटों की संख्या है। दिए गए मानों को प्रतिस्थापित करने पर:

20 × 21 × 8 = 48 × 7 × H₂

H₂ ज्ञात करने के लिए, समीकरण को पुनर्व्यवस्थित करें:

H₂ = (20 × 21 × 8)/(48 × 7)

गणना को सरल करने पर, 21 को 7 से विभाजित करने पर 3 प्राप्त होता है, और 48 को 8 से विभाजित करने पर 6 प्राप्त होता है। समीकरण इस प्रकार हो जाता है:

H₂ = (20 × 3)/(6)

H₂ = ⁶⁰⁄₆

H₂ = 10

व्याख्या

त्रिभुज △ ABD में, अंतः कोणों का योग 180° होता है। इसलिए, ∠ DAB = 180° - (∠ DBA + ∠ ADB)। दिए गए मानों को प्रतिस्थापित करने पर, हमें ∠ DAB = 180° - (50° + 33°) = 97° प्राप्त होता है। एक चक्रीय चतुर्भुज में, सम्मुख कोणों का योग 180° होता है। चूंकि ∠ DAB और ∠ BCD सम्मुख कोण हैं, इसलिए ∠ BCD = 180° - ∠ DAB। परिकलित मान को प्रतिस्थापित करने पर, ∠ BCD = 180° - 97° = 83°। इसे यह देखकर भी सरल किया जा सकता है कि ∠ BCD = 180° - [180° - (∠ DBA + ∠ ADB)], जो सरल होकर ∠ BCD = ∠ DBA + ∠ ADB = 50° + 33° = 83° हो जाता है।

व्याख्या

जब छूट (D%) और लाभ (P%) दिए गए हों, तो क्रय मूल्य (CP) और अंकित मूल्य (MP) के बीच के संबंध को निम्नलिखित अनुपात द्वारा व्यक्त किया जाता है: (CP)/(MP) = (100 - D)/(100 + P)

यह देखते हुए कि छूट 10% है और अर्जित लाभ 12% है, इन मानों को सूत्र में रखने पर प्राप्त होता है: (CP)/(MP) = (100 - 10)/(100 + 12) (CP)/(MP) = ⁹⁰⁄₁₁₂

दोनों पदों को उनके महत्तम समापवर्तक, 2 से विभाजित करके भिन्न को सरल करने पर, हमें प्राप्त होता है: (90 ÷ 2)/(112 ÷ 2) = ⁴⁵⁄₅₆

इसके परिणामस्वरूप 45:56 का अनुपात प्राप्त होता है।

व्याख्या

विद्यार्थियों की कुल संख्या 55 है, और उन्हें पुरुष और महिला के 5:6 के अनुपात में विभाजित किया गया है। महिला विद्यार्थियों की संख्या ज्ञात करने के लिए, कुल अनुपात भागों के सापेक्ष महिलाओं के हिस्से की गणना करें। अनुपात के भागों का योग 5 + 6 = 11 है। समानुपात सूत्र का उपयोग करते हुए, महिला विद्यार्थियों की संख्या ⁶⁄₁₁ × 55 द्वारा दी गई है। 55 को 11 से विभाजित करने पर 5 प्राप्त होता है, और 6 को 5 से गुणा करने पर परिणाम 30 प्राप्त होता है।

व्याख्या

दोनों विक्रय मूल्यों के बीच का अंतर 350 रुपये - 340 रुपये = 10 रुपये है। प्रश्न के अनुसार, 10 रुपये का यह अंतर लाभ में 5% की वृद्धि को दर्शाता है। चूंकि लाभ प्रतिशत की गणना हमेशा क्रय मूल्य (CP) पर की जाती है, इसलिए हम निम्नलिखित संबंध स्थापित कर सकते हैं:

क्रय मूल्य (CP) का 5% = 10 रुपये

क्रय मूल्य ज्ञात करने के लिए, हम इस सूत्र का उपयोग करते हैं:

⁵⁄₁₀₀ × CP = 10

CP = (10 × 100)/(5)

CP = 2 × 100 = 200

घड़ी को 340 रुपये के बजाय 350 रुपये में बेचने पर, विक्रेता को 10 रुपये अतिरिक्त प्राप्त होते हैं, जो कि 200 रुपये के क्रय मूल्य के ठीक 5% के बराबर है।

व्याख्या

मान लीजिए कि संख्या x है। दी गई शर्त को बीजगणितीय समीकरण x + 1/x = 2 के रूप में लिखा जा सकता है। भिन्न को समाप्त करने के लिए पूरे समीकरण को x से गुणा करने पर x² + 1 = 2x प्राप्त होता है। सभी पदों को एक तरफ ले जाने पर, हमें द्विघात समीकरण x² - 2x + 1 = 0 प्राप्त होता है।

यह द्विघात व्यंजक बीजगणितीय सर्वसमिका (a - b)² = a² - 2ab + b² के अनुसार एक पूर्ण वर्ग है, जहाँ a = x और b = 1 है। इसलिए, समीकरण सरल होकर (x - 1)² = 0 हो जाता है। दोनों पक्षों का वर्गमूल लेकर x का मान निकालने पर, हमें x - 1 = 0 प्राप्त होता है, जिससे x = 1 मिलता है।

वैकल्पिक रूप से, एक धनात्मक संख्या x के लिए समांतर माध्य-गुणोत्तर माध्य (AM-GM) असमिका लागू करने पर, योग x + 1/x हमेशा 2√(x · 1/x) = 2 से अधिक या उसके बराबर होता है। समानता x + 1/x = 2 केवल और केवल तभी लागू होती है जब दोनों पद बराबर हों, अर्थात x = 1/x, जिससे x² = 1 प्राप्त होता है। चूंकि योग धनात्मक 2 है, इसलिए x का मान 1 होना चाहिए।

व्याख्या

माना आयत की लंबाई और चौड़ाई क्रमशः l और w हैं। परिमाप 2(l + w) = 34 सेमी दिया गया है, जिसे सरल करने पर l + w = 17 सेमी प्राप्त होता है। क्षेत्रफल lw = 60 सेमी² दिया गया है। विकर्ण की लंबाई d को पाइथागोरस प्रमेय द्वारा d = √(l² + w²) के रूप में निर्धारित किया जाता है।

बीजगणितीय सर्वसमिका (l + w)² = l² + w² + 2lw का उपयोग करके, हम विकर्ण के वर्ग को d² = l² + w² = (l + w)² - 2lw के रूप में व्यक्त कर सकते हैं। ज्ञात मानों को प्रतिस्थापित करने पर:

d² = 17² - 2(60) d² = 289 - 120 d² = 169

दोनों पक्षों का वर्गमूल लेने पर, d = √(169) = 13 सेमी। वैकल्पिक रूप से, यह पाइथागोरस त्रिक (5, 12, 13) के अनुरूप है जहाँ 5 + 12 = 17 और 5 × 12 = 60 है।

व्याख्या

प्रति मीटर कपड़े पर दी जाने वाली छूट इसके क्रय मूल्य का 25% है। चूंकि मूल्य ₹ 32 प्रति मीटर है, इसलिए प्रति मीटर छूट की गणना इस प्रकार की जाती है: प्रति मीटर छूट = 32 × ²⁵⁄₁₀₀ = 32 × ¼ = ₹ 8

कुल ₹ 40 की छूट प्राप्त करने के लिए, आवश्यक कपड़े की लंबाई कुल वांछित छूट को प्रति मीटर उपलब्ध छूट से विभाजित करके निर्धारित की जाती है: कपड़े की लंबाई = ⁴⁰⁄₈ = 5 मीटर

व्याख्या

नए औसत वेतन की गणना विचलन विधि (deviation method) का उपयोग करके की जा सकती है। नया सदस्य 20000 रुपये लाता है, जो कि 16000 रुपये के मौजूदा औसत से 4000 रुपये अधिक है। यह अतिरिक्त राशि नए समूह के सभी सदस्यों के बीच समान रूप से वितरित की जाती है, जिसमें अब 20 लोग (19 + 1 = 20) शामिल हैं।

औसत में वृद्धि = (अतिरिक्त वेतन)/(कुल सदस्य) = (20000 - 16000)/(20) = ⁴⁰⁰⁰⁄₂₀ = 200.

नया औसत = पुराना औसत + वृद्धि = 16000 + 200 = 16200.

वैकल्पिक रूप से, योग विधि का उपयोग करके: 19 सदस्यों का कुल वेतन = 19 × 16000 = 304000. 20 सदस्यों का कुल वेतन = 304000 + 20000 = 324000. नया औसत = ³²⁴⁰⁰⁰⁄₂₀ = 16200.

व्याख्या

क्रय मूल्य का निर्धारण अतिरिक्त लाभ और लाभ प्रतिशत के अंतर के बीच के संबंध द्वारा किया जाता है। ऐसे मामलों में क्रय मूल्य का सूत्र है: क्रय मूल्य = (लाभ राशि में परिवर्तन)/(लाभ प्रतिशत में परिवर्तन) × 100

दिया गया है कि जब लाभ प्रतिशत 5% से बढ़कर 10% हो जाता है, तो लाभ में रु. 1000 की वृद्धि होती है, लाभ प्रतिशत में परिवर्तन 10% - 5% = 5% है। इन मानों को सूत्र में रखने पर: क्रय मूल्य = ¹⁰⁰⁰⁄₅ × 100 क्रय मूल्य = 200 × 100 क्रय मूल्य = 20000

व्याख्या

ट्रेन की गति की गणना सीधे सूत्र v = Lₚ / (t₁ - t₂) का उपयोग करके की जा सकती है, जहाँ Lₚ प्लेटफॉर्म की लंबाई है, t₁ प्लेटफॉर्म को पार करने में लिया गया समय है, और t₂ लैंप पोस्ट को पार करने में लिया गया समय है। ऐसा इसलिए है क्योंकि अतिरिक्त समय में तय की गई अतिरिक्त दूरी बिल्कुल प्लेटफॉर्म की लंबाई के बराबर होती है।

दिए गए मानों को रखने पर: v = (50)/(14 - 10) = ⁵⁰⁄₄ = 12.5 मीटर/सेकंड

गति को मीटर/सेकंड से किमी/घंटा में बदलने के लिए, परिवर्तन कारक ¹⁸⁄₅ से गुणा करें: किमी/घंटा में गति = 12.5 × ¹⁸⁄₅ = 2.5 × 18 = 45 किमी/घंटा

व्याख्या

बीजगणितीय सर्वसमिका (x - 1/x)² = x² + 1/x² - 2(x)(1/x) का उपयोग करके, हम व्यंजक को (x - 1/x)² = x² + 1/x² - 2 के रूप में सरल करते हैं। इस सर्वसमिका में दिए गए मान x² + 1/x² = 2 को प्रतिस्थापित करने पर, हमें (x - 1/x)² = 2 - 2 = 0 प्राप्त होता है। दोनों पक्षों का वर्गमूल लेने पर x - 1/x = 0 प्राप्त होता है। वैकल्पिक रूप से, शर्त x² + 1/x² = 2 केवल तभी संतुष्ट होती है जब x² = 1 हो, जिसका अर्थ है x = 1 या x = -1 है। x = 1 प्रतिस्थापित करने पर 1 - 1/1 = 0 प्राप्त होता है, और x = -1 प्रतिस्थापित करने पर -1 - 1/(-1) = -1 + 1 = 0 प्राप्त होता है।

व्याख्या

दिया गया समीकरण pq(p + q) = 1 है। दोनों पक्षों को pq से विभाजित करने पर, हमें संबंध p + q = (1)/(pq) प्राप्त होता है।

वांछित व्यंजक का मान ज्ञात करने के लिए, हम इस संबंध के दोनों पक्षों का घन करते हैं: (p + q)³ = ((1)/(pq))³

सर्वसमिका (a + b)³ = a³ + b³ + 3ab(a + b) का उपयोग करने पर, बाएँ पक्ष का विस्तार इस प्रकार होता है: p³ + q³ + 3pq(p + q) = (1)/(p³q³)

अब हम समीकरण में मूल शर्त pq(p + q) = 1 प्रतिस्थापित करते हैं: p³ + q³ + 3(1) = (1)/(p³q³) p³ + q³ + 3 = (1)/(p³q³)

व्यंजक (1)/(p³q³) - p³ - q³ को पृथक करने के लिए पदों को पुनर्व्यवस्थित करने पर: (1)/(p³q³) - p³ - q³ = 3

व्याख्या

एक विद्यालय में छात्रों का कुल प्रतिशत 100% होता है। चूंकि दिया गया है कि 60% छात्र लड़के हैं, इसलिए लड़कियों का प्रतिशत 100% - 60% = 40% होना चाहिए।

प्रश्न के अनुसार, लड़कियों की वास्तविक संख्या 812 है। चूंकि कुल छात्रों का 40%, 812 के बराबर है, इसलिए हम 812 को 40 से विभाजित करके कुल छात्र संख्या के 1% का मान ज्ञात कर सकते हैं: छात्रों का 1% = ⁸¹²⁄₄₀ = 20.3

लड़कों की संख्या ज्ञात करने के लिए, जो कुल छात्रों का 60% है, हम इस 1% के मान को 60 से गुणा करते हैं: लड़कों की संख्या = 60 × 20.3 = 1218

वैकल्पिक रूप से, लड़कों और लड़कियों के बीच सीधे अनुपात का उपयोग करके: लड़कों की संख्या = (60%)/(40%) × 812 = ³⁄₂ × 812 = 3 × 406 = 1218

व्याख्या

वृत्त के केंद्र से जीवा पर खींचा गया लंब हमेशा उस जीवा को समद्विभाजित करता है। यह रचना एक समकोण त्रिभुज बनाती है जहाँ कर्ण वृत्त की त्रिज्या (r = 10 सेमी) है, एक भुजा जीवा की लंबाई की आधी (16/2 = 8 सेमी) है, और दूसरी भुजा केंद्र से जीवा की दूरी (d) है।

पाइथागोरस प्रमेय a² + b² = c² का उपयोग करने पर:

d² + 8² = 10² d² + 64 = 100 d² = 100 - 64 d² = 36 d = √(36) = 6 सेमी

यह परिणाम मानक 3:4:5 पाइथागोरियन त्रिक (Pythagorean triplet) का उपयोग करके भी निर्धारित किया जा सकता है। चूँकि कर्ण 10 (5 × 2) है और एक भुजा 8 (4 × 2) है, इसलिए आवश्यक दूरी त्रिक की तीसरी भुजा, 3 × 2 = 6 सेमी होनी चाहिए।

व्याख्या

अंतर्लिखित कोण प्रमेय (Inscribed Angle Theorem) के अनुसार, किसी वृत्त के केंद्र पर एक चाप द्वारा अंतरित कोण, उसी चाप द्वारा वृत्त की परिधि पर किसी भी बिंदु पर अंतरित कोण का दोगुना होता है। एक अर्धवृत्त में, चाप एक व्यास होता है, और वृत्त के केंद्र पर व्यास द्वारा अंतरित कोण एक ऋजुकोण (सरल कोण) होता है, जिसका माप 180° होता है। इसलिए, अर्धवृत्त की परिधि पर किसी भी बिंदु पर व्यास द्वारा अंतरित कोण केंद्रीय कोण का आधा होता है, जिसकी गणना ½ × 180° = 90° के रूप में की जाती है। अंतर्लिखित कोण प्रमेय के इस विशिष्ट मामले को थेल्स के प्रमेय (Thales's Theorem) के रूप में भी व्यापक रूप से जाना जाता है।

व्याख्या

दोनों समीकरणों का वर्ग करने पर, हमें x² = a² cos² θ + b² sin² θ + 2ab sin θ cos θ और y² = b² cos² θ + a² sin² θ - 2ab sin θ cos θ प्राप्त होता है। इन्हें जोड़ने पर x² + y² = (a² + b²)(cos² θ + sin² θ) प्राप्त होता है, जो सरल होकर a² + b² हो जाता है क्योंकि cos² θ + sin² θ का मान 1 होता है।

व्याख्या

अर्जित धन का हिस्सा श्रमिकों की कार्यक्षमता के समानुपाती होता है जब वे समान समय के लिए कार्य करते हैं। कार्यक्षमता, कार्य को पूरा करने में लगने वाले समय का व्युत्क्रम होती है। A की कार्यक्षमता 1/12 है और B की कार्यक्षमता 1/15 है।

A और B की कार्यक्षमता का अनुपात है: कार्यक्षमता_A : कार्यक्षमता_B = ¹⁄₁₂ : ¹⁄₁₅

इस अनुपात को सरल बनाने के लिए, दोनों पदों को 12 और 15 के लघुत्तम समापवर्त्य (LCM) से गुणा करें, जो कि 60 है: अनुपात = ⁶⁰⁄₁₂ : ⁶⁰⁄₁₅ = 5 : 4

अनुपात के कुल भागों की संख्या 5 + 4 = 9 है। 450 रुपये के कुल भुगतान में से A का हिस्सा कुल 9 भागों में से 5 भागों के बराबर है: A का हिस्सा = ⁵⁄₉ × 450 A का हिस्सा = 5 × 50 = 250

A को कुल राशि में से अपने हिस्से के रूप में 250 रुपये प्राप्त होते हैं।

व्याख्या

दिया गया है कि x = √2 + 1, इसका व्युत्क्रम 1/x = (1)/(√(2) + 1) है। हर का परिमेयकरण करने पर हमें 1/x = (√2 - 1)/{(√2 + 1)(√2 - 1)} = (√2 - 1)/{2 - 1} = √2 - 1 प्राप्त होता है।

हम x और 1/x के योग और अंतर की गणना करते हैं: x + 1/x = (√2 + 1) + (√2 - 1) = 2√2 x - 1/x = (√2 + 1) - (√2 - 1) = 2

x⁴ - 1/x⁴ का मान ज्ञात करने के लिए, हम वर्गों के अंतर के लिए बीजगणितीय सर्वसमिका का उपयोग करते हैं: x⁴ - 1/x⁴ = (x² + 1/x²)(x² - 1/x²)

सबसे पहले, संबंध (x + 1/x)² - 2 का उपयोग करके x² + 1/x² ज्ञात करते हैं: x² + 1/x² = (2√2)² - 2 = 8 - 2 = 6

इसके बाद, (x + 1/x)(x - 1/x) का उपयोग करके x² - 1/x² ज्ञात करते हैं: x² - 1/x² = (2√2)(2) = 4√2

इन मानों को गुणनखंडित व्यंजक में प्रतिस्थापित करने पर: x⁴ - 1/x⁴ = 6 × 4√2 = 24√2

व्याख्या

यहाँ a = 3x और b = 4y प्रतिस्थापित करके बीजगणितीय सर्वसमिका (a + b)² = a² + b² + 2ab का उपयोग किया जा सकता है।

दिए गए समीकरण 3x + 4y = 6 का वर्ग करने पर प्राप्त होता है:

(3x + 4y)² = (3x)² + (4y)² + 2(3x)(4y)

विस्तारित समीकरण में ज्ञात मानों को प्रतिस्थापित करने पर:

6² = 9x² + 16y² + 24xy

चूंकि 9x² + 16y² = 60 है, इसलिए समीकरण इस प्रकार हो जाता है:

36 = 60 + 24xy

xy का मान ज्ञात करने के लिए पदों को व्यवस्थित करने पर:

24xy = 36 - 60 24xy = -24 xy = -24 / 24 xy = -1

व्याख्या

Δ ABC में, चूंकि DE ∥ BC है, इसलिए AA (कोण-कोण) समरूपता कसौटी के आधार पर Δ ADE ∼ Δ ABC है। परिणामस्वरूप, उनकी संगत भुजाओं के अनुपात बराबर हैं:

(AD)/(AB) = (DE)/(BC)

दिया गया है कि AB = 7.5 सेमी और BD = 6 सेमी, AD की लंबाई है: AD = AB - BD = 7.5 - 6 = 1.5 सेमी

समरूपता अनुपात में ज्ञात मानों को प्रतिस्थापित करने पर: (1.5)/(7.5) = (2)/(BC)

अनुपात को सरल करने पर: ⅕ = (2)/(BC)

BC के लिए हल करने पर: BC = 2 × 5 = 10 सेमी

व्याख्या

किसी भी त्रिभुज में, माध्यिकाएँ एक ही बिंदु पर प्रतिच्छेद करती हैं जिसे केंद्रक (G) कहा जाता है। केंद्रक का एक मूलभूत गुण यह है कि यह प्रत्येक माध्यिका को 2:1 के अनुपात में विभाजित करता है, जहाँ शीर्ष से शुरू होने वाला खंड विपरीत भुजा के मध्य बिंदु तक पहुँचने वाले खंड से दोगुना लंबा होता है।

इसे निर्देशांक ज्यामिति में विभाजन सूत्र (section formula) का उपयोग करके सिद्ध किया जा सकता है। मान लीजिए कि शीर्ष A(x₁, y₁), B(x₂, y₂), और C(x₃, y₃) हैं। भुजा BC का मध्य बिंदु F, ((x₂+x₃)/(2), (y₂+y₃)/(2)) है। केंद्रक G के निर्देशांक ((x₁+x₂+x₃)/(3), (y₁+y₂+y₃)/(3)) हैं। यदि G, माध्यिका AF को k:1 के अनुपात में विभाजित करता है, तो विभाजन सूत्र द्वारा:

G = (kF + 1A)/(k+1)

x-निर्देशांकों को प्रतिस्थापित करने पर:

(x₁+x₂+x₃)/(3) = (k(x₂+x₃)/(2)) + x₁{k+1}

सभी x₁, x₂, x₃ के लिए इस सर्वसमिका के सत्य होने के लिए, गुणांकों का मिलान होना चाहिए। x₁ के पदों की तुलना करने पर k+1 = 3 प्राप्त होता है, जिससे k = 2 प्राप्त होता है। इस प्रकार, अनुपात AG:GF, 2:1 है।