आरआरबी एनटीपीसी सीबीटी 1 2026 Mathematics प्रश्न — हल सहित

व्याख्या

औसत = मानों का योग ÷ मानों की संख्या

अंकों का योग = 72 + 68 + 74 + 70 + 76 = 360 विषयों की कुल संख्या = 5

औसत अंक = 360 ÷ 5 = 72

व्याख्या

जब दो धावक एक वृत्ताकार ट्रैक पर एक ही दिशा में दौड़ते हैं, तो परिधि पर अलग-अलग मिलन बिंदुओं की संख्या |a - b| द्वारा दी जाती है, जहाँ a : b उनकी गति का अनुपात है जिसे उसके सरलतम रूप में व्यक्त किया गया है।

दिया गया है: शाहरुख द्वारा लिया गया समय = 85 सेकंड आमिर द्वारा लिया गया समय = 90 सेकंड

शाहरुख की गति = 1530 / 85 = 18 मीटर/सेकंड आमिर की गति = 1530 / 90 = 17 मीटर/सेकंड

गति अनुपात (शाहरुख : आमिर) = 18 : 17

चूंकि 18 और 17 सह-अभाज्य हैं, a = 18 और b = 17।

अलग-अलग मिलन बिंदुओं की संख्या = |18 - 17| = 1

व्याख्या

एक विविक्त बारंबारता बंटन का बहुलक चर का वह मान होता है जो उच्चतम बारंबारता के संगत होता है।

दिए गए आँकड़ों में: ऊँचाई 14 सेमी की बारंबारता 1 है ऊँचाई 27 सेमी की बारंबारता 3 है ऊँचाई 23 सेमी की बारंबारता 6 है ऊँचाई 21 सेमी की बारंबारता 12 है ऊँचाई 19 सेमी की बारंबारता 7 है ऊँचाई 17 सेमी की बारंबारता 5 है

अधिकतम बारंबारता 12 है, जो 21 सेमी की ऊँचाई के संगत है।

व्याख्या

जब दोनों दिशाओं में तय की गई दूरी बराबर होती है, तो औसत गति का सूत्र है: औसत गति = 2 × v₁ × v₂ / (v₁ + v₂)

मान लीजिए सुबह की गति v किमी/घंटा है। तब दोपहर की गति (v - 2) किमी/घंटा होगी।

सूत्र में मान रखने पर: 4.8 = 2 × v × (v - 2) / (v + v - 2) 4.8 = v(v - 2) / (v - 1) 24 / 5 = (v² - 2v) / (v - 1) 24v - 24 = 5v² - 10v 5v² - 34v + 24 = 0

द्विघात समीकरण का गुणनखंड करने पर: (5v - 4)(v - 6) = 0

चूंकि दोपहर की गति धनात्मक रहने के लिए v का मान 2 किमी/घंटा से अधिक होना चाहिए, इसलिए v = 6 किमी/घंटा।

सुबह की गति = 6 किमी/घंटा दोपहर की गति = 4 किमी/घंटा गतियों का योग = 6 + 4 = 10 किमी/घंटा

व्याख्या

दूसरे समीकरण को पहले समीकरण से घटाने पर प्राप्त होता है: (2X + 2Y + 3Z) - (X + 2Y + 4Z) = 10 - 12 X - Z = -2

तीसरे समीकरण को दूसरे समीकरण से घटाने पर प्राप्त होता है: (3X + 2Y + Z) - (2X + 2Y + 3Z) = 8 - 10 X - 2Z = -2

X - 2Z = -2 को X - Z = -2 से घटाने पर प्राप्त होता है: Z = 0

X - Z = -2 में Z = 0 प्रतिस्थापित करने पर X = -2 प्राप्त होता है। पहले समीकरण X + 2Y + 4Z = 12 में X = -2 और Z = 0 प्रतिस्थापित करने पर प्राप्त होता है: -2 + 2Y + 0 = 12 2Y = 14 Y = 7

व्याख्या

BODMAS नियम के अनुसार, संक्रियाओं को विभाजन, गुणन, योग और घटाव के क्रम में किया जाता है।

सबसे पहले, विभाजन करें: (-60) ÷ (-6) = 10

अगला, गुणन करें: (-2) × 9 = -18

अब इन मानों को व्यंजक में वापस प्रतिस्थापित करें: (-9) - 10 + (-18) = -19 - 18 = -37

व्याख्या

बीजगणितीय सर्वसमिका (a - b)² = (a + b)² - 4ab का प्रयोग करते हुए, जहाँ a = 3x और b = 2y है:

(3x - 2y)² = (3x + 2y)² - 4(3x)(2y)

दिया गया है कि 3x + 2y = 10 और 2xy = 3: (3x - 2y)² = (10)² - 12(2xy) (3x - 2y)² = 100 - 12(3) (3x - 2y)² = 100 - 36 = 64

धनात्मक वर्गमूल लेने पर प्राप्त होता है: 3x - 2y = √64 = 8

व्याख्या

व्युत्क्रम अनुपात सूत्र M₁ × D₁ = M₂ × D₂ का उपयोग करके:

शेष आदमी M₂ = 100 - 46 = 54

100 × 27 = 54 × D₂

D₂ = (100 × 27) / 54 = 50 दिन

व्याख्या

यदि A का वेतन B के वेतन से r% अधिक है, तो B का वेतन A के वेतन से [r / (100 + r)] × 100% कम है।

r = 13 रखने पर: प्रतिशत कमी = (13 / 113) × 100% = 1300 / 113 % ≈ 11.50%

व्याख्या

दिए गए अनुपातों A:B = 2:3, B:C = 4:5, और C:D = 10:3 को एक एकल संयुक्त अनुपात A:B:C:D में संयोजित करने के लिए:

पहले, A:B और B:C को B के पद को सामान्य बनाकर संयोजित करें (3 और 4 का LCM 12 है): A:B:C = (2 × 4) : (3 × 4) : (5 × 3) = 8 : 12 : 15

इसके बाद, A:B:C और C:D को C के पद को सामान्य बनाकर संयोजित करें (15 और 10 का LCM 30 है): A:B:C:D = (8 × 2) : (12 × 2) : (15 × 2) : (3 × 3) = 16 : 24 : 30 : 9

सभी अनुपात भागों का योग = 16 + 24 + 30 + 9 = 79 भाग।

प्रति अनुपात भाग का मान = 6320 / 79 = 80।

A का हिस्सा = 16 × 80 = 1280।

व्याख्या

अंकित मूल्य = ₹1,800 विक्रय मूल्य = ₹234 कुल छूट = 1800 − 234 = ₹1,566

अंकित मूल्य पर α% की पहली छूट का मौद्रिक मूल्य = (α / 100) × 1800 = 18α। चूंकि दूसरी छूट का मौद्रिक रुपया मूल्य पहली छूट के समान है, इसलिए कुल छूट 18α + 18α = 36α है।

कुल छूट को बराबर करने पर: 36α = 1566 α = 1566 / 36 = 43.5

व्याख्या

दो संख्याओं का गुणनफल उनके HCF और LCM के गुणनफल के बराबर होता है:

पहली संख्या × दूसरी संख्या = HCF × LCM

दिए गए मानों को सूत्र में प्रतिस्थापित करें: 208 × दूसरी संख्या = 104 × 1040 दूसरी संख्या = (104 × 1040) / 208 = 1040 / 2 = 520

दोनों संख्याओं का योग है: 208 + 520 = 728

व्याख्या

दिए गए अनुपात a : b :: b : c से, पदों के बीच संबंध b² = ac है।

दिया गया है b = 6 और c = 4a, a को c के पदों में a = c/4 के रूप में व्यक्त करें। इन मानों को अनुपात समीकरण में प्रतिस्थापित करने पर:

6² = (c/4) × c 36 = c²/4 c² = 144 c = √144 = 12

व्याख्या

समचतुर्भुज ABCD में, विकर्ण AC और BD बिंदु O पर समकोण पर प्रतिच्छेद करते हैं, इसलिए ∠BOC = 90°।

समकोण त्रिभुज OBC में: ∠CBO = 180° - (90° + ∠ACB) = 180° - (90° + 50°) = 40°

चूंकि AD, BC के समानांतर है, तिर्यक रेखा BD द्वारा बनाए गए एकांतर अंतः कोण बराबर होते हैं, जिससे ∠ADB = ∠CBO = 40° प्राप्त होता है।

व्याख्या

प्रति दर्जन क्रय मूल्य = ₹620 प्रति दर्जन विक्रय मूल्य = ₹93 × 12 = ₹1116

प्रति दर्जन लाभ = विक्रय मूल्य - क्रय मूल्य = 1116 - 620 = ₹496

लाभ प्रतिशत = (लाभ / क्रय मूल्य) × 100 = (496 / 620) × 100 = 80%

चूंकि मात्रा (33 दर्जन) क्रय और विक्रय दोनों के लिए स्थिर रहती है, इसलिए एक दर्जन के लिए लाभ प्रतिशत की गणना सीधे समग्र लाभ प्रतिशत देती है।

व्याख्या

साधारण ब्याज पर किसी धनराशि को T वर्षों में n गुना होने के लिए, प्रति वर्ष ब्याज दर R का सूत्र है:

R = [(n - 1) × 100] / T

दिया गया है n = 5 और T = 20 वर्ष:

R = [(5 - 1) × 100] / 20 = (4 × 100) / 20 = 20%

व्याख्या

BODMAS नियम का उपयोग करते हुए, भाग और गुणा को जोड़ और घटाव से पहले मूल्यांकित किया जाता है:

पहले, भाग करें: (-56) ÷ (-8) = 7

इसके बाद, गुणा करें: (-4) × 6 = -24

इन मानों को वापस व्यंजक में प्रतिस्थापित करें: (-9) - 7 + (-24)

अंत में, बाएं से दाएं जोड़ और घटाव करें: (-9) - 7 = -16 -16 + (-24) = -40

व्याख्या

मासिक बचत = मासिक वेतन - (मकान किराया + बिल) मासिक बचत = 18000 - (5000 + 2500) = 18000 - 7500 = ₹10500

चूंकि रूपेश अपने जन्मदिन के महीने में अपनी पूरी बचत खर्च कर देता है, इसलिए वह वर्ष में केवल 11 महीनों के लिए बचत करता है।

कुल वार्षिक बचत = 11 × 10500 = ₹115500

व्याख्या

एक अनुपात a : b :: c : d में, चरम पदों का गुणनफल मध्य पदों के गुणनफल के बराबर होता है (a × d = b × c)।

4 : 12 :: 2.1 : x के लिए: 4 × x = 12 × 2.1 x = (12 × 2.1) / 4 = 6.3

9 : 36 :: 8 : y के लिए: 9 × y = 36 × 8 y = (36 × 8) / 9 = 32

x और y का अनुपात x : y = 6.3 : 32 = 63 / 320 = 63 : 320 है।

व्याख्या

दिए गए द्विघात समीकरण के लिए, मूलों का योग 3/2 है और मूलों का गुणनफल 5/2 है। मूलों के वर्गों के योग के लिए बीजगणितीय सर्वसमिका का उपयोग करते हुए, α² + β² = (α + β)² - 2(α)(β) = (3/2)² - 2(5/2) = 9/4 - 5 = -11/4।

व्याख्या

जब दो ट्रेनें विपरीत दिशाओं में चलती हैं, तो उनकी सापेक्ष गति उनकी व्यक्तिगत गति का योग होती है: सापेक्ष गति = 110 + 120 = 230 किमी/घंटा

सापेक्ष गति को मीटर प्रति सेकंड में परिवर्तित करना: सापेक्ष गति = 230 × (5/18) = 575/9 मी/से

एक-दूसरे को पार करते समय तय की गई कुल दूरी उनकी लंबाई के योग के बराबर होती है: कुल दूरी = सापेक्ष गति × समय पहली ट्रेन की लंबाई + दूसरी ट्रेन की लंबाई = (575/9) × 12 = 2300/3 ≈ 766.67 मी

पहली ट्रेन की लंबाई घटाने पर दूसरी ट्रेन की लंबाई प्राप्त होती है: दूसरी ट्रेन की लंबाई = 766.67 - 450 = 316.67 मी

व्याख्या

समूहीकृत आँकड़ों के लिए माध्यिका ज्ञात करने हेतु, सबसे पहले प्रत्येक वर्ग अंतराल के लिए संचयी आवृत्ति (CF) निर्धारित करें:

0 - 10: आवृत्ति = 9, CF = 9 10 - 30: आवृत्ति = 19, CF = 28 30 - 60: आवृत्ति = 34, CF = 62 60 - 80: आवृत्ति = 12, CF = 74 80 - 90: आवृत्ति = 6, CF = 80

कुल आवृत्ति N = 80, इसलिए N/2 = 40।

माध्यिका वर्ग 30 - 60 है, क्योंकि इसकी संचयी आवृत्ति (62) 40 से अधिक होने वाली पहली है।

समूहीकृत माध्यिका सूत्र का उपयोग करते हुए: माध्यिका = L + [(N/2 - CFₚrev) / f] × h

यहाँ, निम्न सीमा L = 30, माध्यिका वर्ग से पूर्व की संचयी आवृत्ति CFₚrev = 28, माध्यिका वर्ग की आवृत्ति f = 34, और वर्ग चौड़ाई h = 30 है।

माध्यिका = 30 + [(40 - 28) / 34] × 30 माध्यिका = 30 + (12 / 34) × 30 माध्यिका = 30 + 360 / 34 माध्यिका = 30 + 10.5882 = 40.5882...

दो दशमलव स्थानों तक पूर्णांकित करने पर 40.59 प्राप्त होता है।

व्याख्या

अनुप्रवाह गति = शांत जल में गति + धारा की गति = 8 + 3 = 11 किमी/घंटा उर्ध्वप्रवाह गति = शांत जल में गति - धारा की गति = 8 - 3 = 5 किमी/घंटा

अनुप्रवाह में लिया गया समय = दूरी / अनुप्रवाह गति = 11 / 11 = 1 घंटा उर्ध्वप्रवाह में लिया गया समय = दूरी / उर्ध्वप्रवाह गति = 15 / 5 = 3 घंटे

कुल समय = 1 + 3 = 4 घंटे

व्याख्या

माना लंबाई L और चौड़ाई B है। दिया गया है B = (2/3)L और क्षेत्रफल = 600 वर्ग मीटर।

क्षेत्रफल = L × B = L × (2/3)L = (2/3)L² = 600 वर्ग मीटर L² = (600 × 3) / 2 = 900 L = 30 मीटर

चौड़ाई B = (2/3) × 30 = 20 मीटर

परिमाप = 2(L + B) = 2(30 + 20) = 100 मीटर

बाड़ लगाने की लागत = परिमाप × दर = 100 × ₹200 = ₹20,000

व्याख्या

मान लीजिए कुल कार्य 36 इकाई है (12 और 36 का लघुत्तम समापवर्त्य)।

रीमा की दक्षता = 36 ÷ 12 = 3 इकाई/दिन जूही की दक्षता = 36 ÷ 36 = 1 इकाई/दिन

एक 2-दिवसीय चक्र में (पहले दिन रीमा, दूसरे दिन जूही), कुल कार्य पूरा हुआ = 3 + 1 = 4 इकाई।

आवश्यक 2-दिवसीय चक्रों की संख्या = 36 ÷ 4 = 9 चक्र।

लिया गया कुल समय = 9 चक्र × 2 दिन = 18 दिन।

व्याख्या

आयत का क्षेत्रफल = लंबाई × चौड़ाई

दिए गए मानों को प्रतिस्थापित करने पर: क्षेत्रफल = 10 × √5 वर्ग सेमी.

चूंकि √5 ≈ 2.23606, क्षेत्रफल = 10 × 2.23606 = 22.3606 ≈ 22.36 वर्ग सेमी।

व्याख्या

10 घंटे में तय की गई कुल दूरी प्रत्येक 1-घंटे के अंतराल में तय की गई दूरियों का योग है, जो पहली 10 प्राकृतिक संख्याओं के घनों के योग के बराबर है:

कुल दूरी = Σ i³ (i = 1 से 10 के लिए) = [n(n + 1) / 2]²

n = 10 रखने पर: कुल दूरी = [10 × 11 / 2]² = 55² = 3025 किमी

औसत गति को कुल दूरी को कुल समय से विभाजित करने के रूप में परिभाषित किया गया है: औसत गति = कुल दूरी / कुल समय = 3025 / 10 = 302.5 किमी/घंटा

व्याख्या

अंकगणितीय माध्य के रैखिक गुणधर्म के अनुसार, यदि किसी डेटासेट में प्रत्येक अवलोकन को एक स्थिरांक k से गुणा किया जाता है, तो डेटासेट का माध्य भी k से गुणा हो जाता है।

नया औसत = मूल औसत × k

दिए गए मानों को प्रतिस्थापित करने पर: नया औसत = 40 × 2 = 80

व्याख्या

1 पृष्ठ टाइप करने के लिए आवश्यक समय = 40 ÷ 2 = 20 मिनट।

95 पृष्ठ टाइप करने के लिए आवश्यक कुल समय = 95 × 20 = 1900 मिनट।

व्याख्या

A : D का अनुपात व्यक्तिगत लगातार अनुपातों को गुणा करके सीधे गणना की जा सकती है:

A / D = (A / B) × (B / C) × (C / D)

दिए गए अनुपातों को प्रतिस्थापित करना:

A / D = (3 / 5) × (2 / 3) × (3 / 4)

अंश और हर में सामान्य गुणनखंडों को रद्द करना:

A / D = (3 × 2 × 3) / (5 × 3 × 4) = 3 / 10

इस प्रकार, A और D की आयु का अनुपात 3 : 10 है।

व्याख्या

समूहबद्ध आँकड़ों के लिए बहुलक की गणना सूत्र का उपयोग करके की जाती है:

बहुलक = L + [(f₁ - f₀) / (2f₁ - f₀ - f₂)] × h

यहाँ, बहुलक वर्ग 20-25 है क्योंकि इसकी उच्चतम आवृत्ति 72 है।

सूत्र के लिए मान हैं: L (बहुलक वर्ग की निम्न सीमा) = 20 f₁ (बहुलक वर्ग की आवृत्ति) = 72 f₀ (पूर्ववर्ती वर्ग की आवृत्ति) = 48 f₂ (अनुवर्ती वर्ग की आवृत्ति) = 36 h (वर्ग अंतराल की चौड़ाई) = 5

मानों को सूत्र में प्रतिस्थापित करने पर:

बहुलक = 20 + [(72 - 48) / (2 × 72 - 48 - 36)] × 5 बहुलक = 20 + [24 / (144 - 84)] × 5 बहुलक = 20 + (24 / 60) × 5 बहुलक = 20 + 2 = 22

व्याख्या

संचालन के क्रम के अनुसार, गुणा को जोड़ और घटाव से पहले मूल्यांकित किया जाता है।

सबसे पहले, गुणा पद को सरल करें: (5/4) × 2.4 = 5 × 0.6 = 3

भिन्न 1/2 को दशमलव रूप में बदलें: 1/2 = 0.5

इन मानों को व्यंजक में वापस प्रतिस्थापित करें: 3.6 + 3 - 0.5 = 6.6 - 0.5 = 6.1

व्याख्या

प्रति सदस्य खर्च की गई कुल औसत राशि की गणना भारित औसत सूत्र का उपयोग करके की जाती है:

कुल औसत = (n₁A₁ + n₂A₂ + n₃A₃) / (n₁ + n₂ + n₃)

दिए गए मानों को प्रतिस्थापित करें:

खर्च की गई कुल राशि = (45 × 295) + (31 × 311) + (48 × 233) = 13275 + 9641 + 11184 = ₹34,100

सदस्यों की कुल संख्या = 45 + 31 + 48 = 124

कुल औसत = 34100 / 124 = ₹275

व्याख्या

मान लीजिए अरुण का हिस्सा A है और महेश का हिस्सा M है।

चक्रवृद्धि ब्याज सूत्र का उपयोग करके, राशि = P(1 + r/100)ᵗ: A × (1 + 8/100)¹⁷ = M × (1 + 8/100)¹⁸

दोनों पक्षों को (1 + 8/100)¹⁷ से विभाजित करने पर: A = M × (1 + 8/100)¹ A = M × (27/25)

इसलिए, अरुण के हिस्से और महेश के हिस्से का अनुपात A : M = 27 : 25 है।

कुल अनुपात भाग = 27 + 25 = 52 भाग

1 भाग का मान = 1404 / 52 = ₹27

महेश का हिस्सा = 25 × 27 = ₹675

व्याख्या

शंक्वाकार तंबू की तिर्यक ऊंचाई, l = √(r² + h²) = √(7² + 24²) = √625 = 25 मीटर।

वक्र पृष्ठ क्षेत्रफल (CSA) = π × r × l = (22/7) × 7 × 25 = 550 वर्ग मीटर।

कपड़े की कुल लागत = CSA × दर प्रति वर्ग मीटर = 550 × 40 = ₹22,000।

व्याख्या

लगातार प्रतिशत परिवर्तनों x% और y% के लिए, शुद्ध प्रतिशत परिवर्तन निम्न सूत्र द्वारा दिया जाता है: शुद्ध % परिवर्तन = x + y + (x × y) / 100

यहाँ, x = -5 (5% की हानि) और y = 60 (60% का लाभ)।

सूत्र में मानों को प्रतिस्थापित करने पर: शुद्ध % परिवर्तन = -5 + 60 + (-5 × 60) / 100 = 55 - 300 / 100 = 55 - 3 = 52%

व्याख्या

जब दो धावक एक वृत्ताकार ट्रैक पर विपरीत दिशाओं में चलते हैं, तो उनकी सापेक्ष गति उनकी व्यक्तिगत गतियों का योग होती है: सापेक्ष गति = 6 मीटर/सेकंड + 4 मीटर/सेकंड = 10 मीटर/सेकंड

उनके पहली बार मिलने में लगने वाला समय निम्न द्वारा दिया जाता है: समय = कुल दूरी / सापेक्ष गति = 400 / 10 = 40 सेकंड

व्याख्या

चूंकि बिंदु P, M, N, और Q क्रम में तिर्यक रेखा PQ पर स्थित हैं, ∠PMB और ∠BMN बिंदु M पर एक रैखिक युग्म बनाते हैं। ∠PMB + ∠BMN = 180° 5x + (3x + 2y) = 180° 8x + 2y = 180° 4x + y = 90° --- (समीकरण 1)

चूंकि AB, CD के समानांतर है, तिर्यक रेखा PQ द्वारा बनाए गए संगत कोण बराबर होते हैं। इसलिए, ∠BMN और ∠DNQ बराबर हैं। ∠BMN = ∠DNQ 3x + 2y = x + 3y 2x = y --- (समीकरण 2)

समीकरण 1 में y = 2x रखने पर: 4x + 2x = 90° 6x = 90° x = 15°

इससे y = 2(15°) = 30° प्राप्त होता है।

∠BMN का माप ज्ञात करने पर: ∠BMN = 3x + 2y = 3(15°) + 2(30°) = 45° + 60° = 105°।

व्याख्या

साधारण ब्याज सूत्र, SI = (P × R × T) / 100 का उपयोग करके, जहाँ P मूलधन है, R ब्याज दर है, और T वर्षों में समय है।

जब कोई धनराशि स्वयं की 5 गुना हो जाती है, तो राशि = 5P, जिसका अर्थ है ब्याज (SI) = राशि - मूलधन = 5P - P = 4P।

सूत्र में SI = 4P और T = 11 को प्रतिस्थापित करने पर: 4P = (P × R × 11) / 100 R = (4 × 100) / 11 R = 400 / 11 = 36 4/11 %

व्याख्या

दूसरे समीकरण (x + 2y + z = 7) को पहले समीकरण (x + 2y + 4z = 14) से घटाने पर x और y समाप्त हो जाते हैं: 3z = 7, जिससे z = 7/3 प्राप्त होता है।

z = 7/3 को दूसरे समीकरण में प्रतिस्थापित करने पर: x + 2y + 7/3 = 7 x + 2y = 14/3

z = 7/3 को तीसरे समीकरण (2x + y + 2z = 2) में प्रतिस्थापित करने पर: 2x + y + 14/3 = 2 2x + y = -8/3

इसे 2 से गुणा करने पर: 4x + 2y = -16/3

x + 2y = 14/3 को 4x + 2y = -16/3 से घटाने पर: 3x = -30/3 = -10 x = -10/3

x = -10/3 को x + 2y = 14/3 में वापस प्रतिस्थापित करने पर: -10/3 + 2y = 14/3 2y = 24/3 = 8 y = 4

हल है x = -10/3, y = 4, और z = 7/3।

व्याख्या

मान लीजिए टंकी की कुल क्षमता 32 इकाई है (4 और 32 का लघुत्तम समापवर्त्य)।

पहले नल की भरने की दर = +8 इकाई/घंटा दूसरे नल की भरने की दर = +1 इकाई/घंटा तीसरे नल की खाली करने की दर = -8 इकाई/घंटा

संयुक्त भरने की दर = 8 + 1 - 8 = 1 इकाई/घंटा

भरने के लिए आयतन = ¼ × 32 = 8 इकाई

लिया गया समय = 8 इकाई / 1 इकाई प्रति घंटा = 8 घंटे

व्याख्या

जब किसी त्रि-आयामी वस्तु को पिघलाकर पुनः आकार दिया जाता है, तो उसका आयतन अपरिवर्तित रहता है।

बेलन का आयतन = शंकु का आयतन πr²h_बेलन = ⅓πr²h_शंकु

चूंकि दोनों आकृतियों की आधार त्रिज्या r समान है, इसलिए दोनों पक्षों को πr² से विभाजित करने पर प्राप्त होता है: h_शंकु = 3 × h_बेलन h_शंकु = 3 × 10 = 30 सेमी

व्याख्या

1 पृष्ठ टाइप करने के लिए आवश्यक समय = 40 ÷ 2 = 20 मिनट।

इसलिए, 82 पृष्ठ टाइप करने के लिए आवश्यक समय = 82 × 20 = 1640 मिनट।

व्याख्या

कुल औसत = कुल खर्च की गई राशि / सदस्यों की कुल संख्या

सदस्यों की कुल संख्या = 52 + 22 + 36 = 110

कुल खर्च की गई राशि = (52 × 420) + (22 × 437) + (36 × 101) = 21,840 + 9,614 + 3,636 = ₹35,090

प्रति सदस्य खर्च की गई कुल औसत राशि = 35,090 / 110 = ₹319

व्याख्या

दी गई दूरियों को किलोमीटर में बदलें: 20,000 मीटर = 20 किमी, 44,000 मीटर = 44 किमी, 15,000 मीटर = 15 किमी, और 22,000 मीटर = 22 किमी।

मान लीजिए धारा के प्रतिकूल गति u किमी/घंटा और धारा के अनुकूल गति d किमी/घंटा है।

समस्या से समय समीकरण स्थापित करें: 20/u + 44/d = 8 15/u + 22/d = 5

दूसरे समीकरण को 2 से गुणा करने पर: 30/u + 44/d = 10

इस परिणाम से पहले समीकरण को घटाने पर: 10/u = 2 ⇒ u = 5 किमी/घंटा

u = 5 को पहले समीकरण में प्रतिस्थापित करने पर: 20/5 + 44/d = 8 ⇒ 4 + 44/d = 8 ⇒ d = 11 किमी/घंटा

शांत जल में नाव की गति = (u + d) / 2 = (5 + 11) / 2 = 8 किमी/घंटा

8 किमी/घंटा को मी/से में बदलना: 8 × (5/18) = 40/18 = 20/9 = 2 2/9 मी/से

व्याख्या

एक समचतुर्भुज में, विकर्ण एक दूसरे को समकोण पर समद्विभाजित करते हैं, जिससे चार सर्वांगसम समकोण त्रिभुज बनते हैं जिनकी भुजाएँ विकर्णों के आधे के बराबर होती हैं और कर्ण समचतुर्भुज की भुजा के बराबर होता है।

दिया गया है भुजा a = 17 सेमी और विकर्ण d₁ = 30 सेमी, तो d₁ का आधा 15 सेमी है।

पाइथागोरस प्रमेय का उपयोग करके: (d₂/2) = √(a² - (d₁/2)²) = √(17² - 15²) = √(289 - 225) = √64 = 8 सेमी

इसलिए, दूसरा विकर्ण d₂ = 2 × 8 = 16 सेमी।

समचतुर्भुज का क्षेत्रफल = ½ × d₁ × d₂ = ½ × 30 × 16 = 240 सेमी²

व्याख्या

मान लीजिए CP प्रति लेख क्रय मूल्य है और MP प्रति लेख अंकित मूल्य है।

व्यापारी ग्राहक को कुल 104 + 16 = 120 लेख देता है, इसलिए व्यापारी के लिए कुल क्रय मूल्य 120 × CP है।

ग्राहक अंकित मूल्य पर 10% की छूट पर 104 लेखों का भुगतान करता है। कुल विक्रय मूल्य = 104 × 0.90 × MP = 93.6 × MP

कुल 17% लाभ दिया गया है: कुल विक्रय मूल्य = कुल क्रय मूल्य × 1.17 93.6 × MP = 120 × CP × 1.17 93.6 × MP = 140.4 × CP MP / CP = 140.4 / 93.6 = 1.5

अंकन प्रतिशत = (1.5 - 1) × 100 = 50%

व्याख्या

सभी 11 परिणामों का योग = 11 × 61 = 671 पहले 6 परिणामों का योग = 6 × 64 = 384 अंतिम 6 परिणामों का योग = 6 × 61 = 366

चूंकि 6ठा परिणाम पहले 6 और अंतिम 6 दोनों समूहों में शामिल है, इसलिए इसे दो बार गिना जाता है: 6ठा परिणाम = (पहले 6 परिणामों का योग) + (अंतिम 6 परिणामों का योग) - (सभी 11 परिणामों का योग) 6ठा परिणाम = 384 + 366 - 671 = 750 - 671 = 79

विचलन विधि का उपयोग करके: पहले 6 परिणामों का विचलन = 6 × (64 - 61) = +18 अंतिम 6 परिणामों का विचलन = 6 × (61 - 61) = 0 6ठा परिणाम = आधार औसत + कुल विचलन = 61 + 18 = 79

व्याख्या

औसत = मानों का योग / मानों की कुल संख्या

दिए गए मानों को सूत्र में प्रतिस्थापित करने पर: औसत = 540 / 12 = 45

व्याख्या

मध्यम रूप से विषम आवृत्ति वितरण के लिए माध्य, माध्यिका और बहुलक के बीच अनुभवजन्य संबंध इस प्रकार दिया गया है:

बहुलक = 3 × माध्यिका - 2 × माध्य

दिए गए मानों को सूत्र में प्रतिस्थापित करने पर:

50 = 3 × माध्यिका - 2 × 55 50 = 3 × माध्यिका - 110 3 × माध्यिका = 50 + 110 3 × माध्यिका = 160 माध्यिका = 160 / 3 = 53.33