आरआरबी एनटीपीसी सीबीटी 1 2026 Mathematics प्रश्न — हल सहित

व्याख्या

मान लीजिए एक पुस्तक का क्रय मूल्य CP है और एक पुस्तक का विक्रय मूल्य SP है।

दिया गया है: 48 × CP = 36 × SP SP / CP = 48 / 36 = 4 / 3

लाभ प्रतिशत = [(SP - CP) / CP] × 100 = [(4 - 3) / 3] × 100 = (1 / 3) × 100 = 33.33%

व्याख्या

प्रति वैफल आवश्यक मक्खन = 680 ÷ 4 = 170 ग्राम।

एकिक विधि का प्रयोग करके, 17 वैफल्स के लिए आवश्यक कुल मक्खन = 170 × 17 = 2890 ग्राम।

व्याख्या

स्प्रे के एक साथ सक्रिय होने के बीच का समय अंतराल उनके व्यक्तिगत सक्रियण अंतरालों के लघुत्तम समापवर्त्य (LCM) द्वारा दिया जाता है।

LCM(12, 15, 20) = 60 मिनट = 1 घंटा

चूंकि स्प्रे हर 1 घंटे में एक साथ सक्रिय होते हैं, इसलिए 6वें एक साथ सक्रियण (शुरुआत वाले को मिलाकर) के समय के लिए शुरुआती समय में 1 घंटे के 5 अंतराल अवधियों को जोड़ना होगा।

समय = सुबह 9:45 + (5 × 1 घंटा) = अपराह्न 2:45

व्याख्या

बहुलक वर्ग 70-80 है क्योंकि इसकी उच्चतम बारंबारता 38 है।

समूहबद्ध आँकड़ों के बहुलक के सूत्र का उपयोग करते हुए: बहुलक = L + [(f₁ - f₀) / (2f₁ - f₀ - f₂)] × h

यहाँ, बहुलक वर्ग की निम्न सीमा L = 70, बहुलक वर्ग की बारंबारता f₁ = 38, पूर्ववर्ती वर्ग की बारंबारता f₀ = 18, अनुवर्ती वर्ग की बारंबारता f₂ = 26, और वर्ग अंतराल h = 10 है।

मानों को प्रतिस्थापित करने पर: बहुलक = 70 + [(38 - 18) / (2 × 38 - 18 - 26)] × 10 बहुलक = 70 + [20 / (76 - 44)] × 10 बहुलक = 70 + (20 / 32) × 10 बहुलक = 70 + 6.25 = 76.25

व्याख्या

जब कोर लंबाई 'a' वाले घन के एक फलक से त्रिज्या 'r' वाला एक अर्धगोला तराशा जाता है, तो उस फलक का कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल πr² से बढ़ जाता है क्योंकि πr² का सपाट वृत्ताकार आधार क्षेत्रफल हटा दिया जाता है जबकि 2πr² का वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल जोड़ दिया जाता है।

शेष संरचना का कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल = 6a² + 6πr²

दिया गया है, a = 14 सेमी और r = 7 सेमी: पृष्ठीय क्षेत्रफल = 6 × 14² + 6 × (22/7) × 7² = 6 × 196 + 6 × 22 × 7 = 1176 + 924 = 2100 सेमी²

व्याख्या

वृत्त के केंद्र से जीवा पर खींचा गया लंब जीवा को समद्विभाजित करता है।

जीवा की आधी लंबाई = 18 / 2 = 9 सेमी

त्रिज्या (r), केंद्र से लंबवत दूरी (12 सेमी), और जीवा के आधे भाग (9 सेमी) द्वारा बनाए गए समकोण त्रिभुज में पाइथागोरस प्रमेय का उपयोग करते हुए:

r² = 9² + 12² = 81 + 144 = 225 r = √225 = 15 सेमी

व्यास = 2 × r = 2 × 15 = 30 सेमी

व्याख्या

लाभ प्रत्येक भागीदार द्वारा किए गए निवेश के अनुपात में वितरित किया जाता है।

कुल निवेश = ₹1230 + ₹1710 + ₹1010 = ₹3950

लाभ में शनाया का हिस्सा = कुल लाभ × (शनाया का निवेश / कुल निवेश) = ₹1580 × (1010 / 3950) = 4 × 101 = ₹404

व्याख्या

साझेदारी में लाभ का हिस्सा निवेश की राशि और समय अवधि के गुणनफल के समानुपाती होता है।

मान लीजिए मानसी, नेहा और उत्सव के लिए निवेश राशि क्रमशः 7 इकाई, 9 इकाई और 9 इकाई है। मानसी और नेहा ने 12 महीने के लिए निवेश किया, जबकि उत्सव ने 6 महीने के लिए निवेश किया।

लाभ अनुपात = (7 × 12) : (9 × 12) : (9 × 6)

सभी पदों को 6 से विभाजित करने पर: = (7 × 2) : (9 × 2) : (9 × 1) = 14 : 18 : 9

व्याख्या

मान लीजिए ईंधन की मूल कीमत 100 इकाई है।

क्रमागत प्रतिशत परिवर्तन सूत्र का उपयोग करके, अंतिम मूल्य कारक है: (1 - 0.30) × (1 - 0.20) × (1 - 0.50) × (1 + 0.40) = 0.70 × 0.80 × 0.50 × 1.40 = 0.392

अंतिम मूल्य = 100 × 0.392 = 39.2 इकाई

प्रतिशत कमी = ((100 - 39.2) / 100) × 100 = 60.8%

व्याख्या

किसी द्विघात व्यंजक ax² + bx + c के सभी वास्तविक मानों x के लिए सदैव धनात्मक होने के लिए, x² का गुणांक धनात्मक (a > 0) होना चाहिए और उसका विविक्तकर ऋणात्मक (D = b² - 4ac < 0) होना चाहिए।

यहाँ, a = 12 > 0, b = -k, और c = 27 हैं।

D < 0 रखने पर: (-k)² - 4(12)(27) < 0 k² - 1296 < 0 k² < 1296

दोनों पक्षों का वर्गमूल लेने पर -36 < k < 36 प्राप्त होता है।

व्याख्या

BODMAS नियम (कोष्ठक, घात, भाग, गुणा, जोड़, घटाव) का उपयोग करके, व्यंजक को चरण दर चरण सरल करें:

सबसे पहले, भाग करें: 20 ÷ 5 = 4

इसके बाद, गुणा करें: 2 × 4 = 8

अब इन मानों को व्यंजक में वापस रखें: 16 + 4 - 8

बाएं से दाएं जोड़ और घटाव करें: 16 + 4 = 20 20 - 8 = 12

व्याख्या

परिभाषा के अनुसार, एक समकोण त्रिभुज में, tanθ सम्मुख भुजा की लंबाई और आसन्न भुजा की लंबाई का अनुपात है:

tanθ = सम्मुख भुजा / आसन्न भुजा

दिए गए मानों को प्रतिस्थापित करने पर:

tanθ = 7 / 21 = 1/3

व्याख्या

मानक बीजगणितीय सर्वसमिका का प्रयोग करके: a³ + b³ + c³ - 3abc = (a + b + c)(a² + b² + c² - ab - bc - ca)

मान लीजिए a = 2.33, b = 1.55, और c = 1.22।

ध्यान दें कि: ab = 2.33 × 1.55 = 3.6115 ac = 2.33 × 1.22 = 2.8426 bc = 1.55 × 1.22 = 1.891

दिया गया व्यंजक इस रूप में है: (a³ + b³ + c³ - 3abc) / (a² + b² + c² - ab - ac - bc) = a + b + c

मानों को प्रतिस्थापित करने पर: a + b + c = 2.33 + 1.55 + 1.22 = 5.1

व्याख्या

एक दर्जन वस्तुओं का क्रय मूल्य = ₹520 एक दर्जन वस्तुओं का विक्रय मूल्य = 12 × ₹52 = ₹624

प्रति दर्जन लाभ = ₹624 - ₹520 = ₹104

लाभ प्रतिशत = (लाभ / क्रय मूल्य) × 100 = (104 / 520) × 100 = 20%

चूंकि लाभ प्रतिशत केवल इकाई मूल्यों पर निर्भर करता है, इसलिए 59 दर्जन की कुल मात्रा लाभ प्रतिशत को नहीं बदलती है।

व्याख्या

मान लीजिए 1000 ग्राम माल का क्रय मूल्य ₹100 है। चूंकि दुकानदार 35% हानि पर बेचने का दावा करता है, इसलिए दावा किए गए 1000 ग्राम के लिए उसका विक्रय मूल्य ₹65 है।

मान लीजिए x ग्राम वह वास्तविक वजन है जो 1000 ग्राम के बजाय उपयोग किया जाता है। x ग्राम का क्रय मूल्य = ₹(x / 10)

लाभ प्रतिशत सूत्र का उपयोग करके: लाभ % = [(विक्रय मूल्य - क्रय मूल्य) / क्रय मूल्य] × 100 55 = [(65 - x/10) / (x/10)] × 100 0.55 = (65 - x/10) / (x/10) 0.55x / 10 = 65 - x / 10 1.55x = 650 x = 650 / 1.55 = 419.35... ग्राम ≈ 419.4 ग्राम

व्याख्या

समकोण त्रिभुज ABO में, स्पर्शरेखा AB त्रिज्या OB पर लंबवत है, इसलिए ∠ABO = 90°।

ΔABO में त्रिकोणमिति का उपयोग करके: cos(∠AOB) = OB / AO = 3 / 6 = ½ ∠AOB = 60°

एक बाह्य बिंदु से स्पर्शरेखाओं की समरूपता के अनुसार, OA, ∠BOC को समद्विभाजित करता है, जिससे: ∠BOC = 2 × ∠AOB = 2 × 60° = 120°

त्रिभुज OBC में, भुजाएँ OB और OC दोनों 3 सेमी लंबाई की त्रिज्याएँ हैं, इसलिए ΔOBC एक समद्विबाहु त्रिभुज है जिसमें ∠OBC = ∠OCB।

ΔOBC में कोणों का योग: ∠BOC + 2(∠OBC) = 180° 120° + 2(∠OBC) = 180° 2(∠OBC) = 60° ∠OBC = 30°

व्याख्या

पहले समीकरण से, x = 3z - 5।

x = 3z - 5 को दूसरे समीकरण में प्रतिस्थापित करने पर: 2(3z - 5) - y + 2z = 16 8z - y = 26 y = 8z - 26

x और y को तीसरे समीकरण में प्रतिस्थापित करने पर: 7(3z - 5) - 3(8z - 26) - 5z = 19 21z - 35 - 24z + 78 - 5z = 19 -8z + 43 = 19 -8z = -24 z = 3

z = 3 को x और y के व्यंजकों में वापस प्रतिस्थापित करने पर: x = 3(3) - 5 = 4 y = 8(3) - 26 = -2

इस प्रकार, मान x = 4, y = -2, और z = 3 हैं।

व्याख्या

कार्य तुल्यता सूत्र (M₁ × T₁) ÷ W₁ = (M₂ × T₂) ÷ W₂ का प्रयोग करके:

दिया गया है: M₁ = 9 छात्र, T₁ = 3 घंटे, W₁ = 117 चार्ट M₂ = आवश्यक छात्र, T₂ = 1 घंटा, W₂ = 208 चार्ट

मानों को प्रतिस्थापित करने पर: (9 × 3) ÷ 117 = (M₂ × 1) ÷ 208 27 ÷ 117 = M₂ ÷ 208

27 ÷ 117 को सरल करने पर 3 ÷ 13 प्राप्त होता है: 3 ÷ 13 = M₂ ÷ 208 M₂ = (3 × 208) ÷ 13 M₂ = 3 × 16 = 48

व्याख्या

दो संख्याओं a और b के बीच मध्य समानुपाती √(a × b) द्वारा दिया जाता है।

दिया गया है कि x और 36 के बीच मध्य समानुपाती 18 है: √(x × 36) = 18

दोनों पक्षों का वर्ग करने पर: 36x = 18² 36x = 324 x = 324 / 36 = 9

व्याख्या

मान लीजिए छोटे भाई की वर्तमान आयु x है। तब शरद् की वर्तमान आयु 2x है, और दूसरे भाई की वर्तमान आयु x - 3 है।

उनकी वर्तमान आयु का योग 2x + x + (x - 3) = 4x - 3 है।

तीन साल पहले, तीनों भाइयों में से प्रत्येक 3 साल छोटा था, जिससे उनकी आयु का योग वर्तमान कुल से 9 वर्ष कम हो गया था: (4x - 3) - 9 = 28 4x - 12 = 28 4x = 40 x = 10

शरद् की वर्तमान आयु 2x = 2 × 10 = 20 वर्ष है।

व्याख्या

सबसे पहले, √2601 का मूल्यांकन करें: चूंकि 51² = 2601, √2601 = 51।

इसे समीकरण में वापस प्रतिस्थापित करें: (22 × 3 × 816) ÷ 51 = y + 794

816 को 51 से विभाजित करने पर 16 प्राप्त होता है: 22 × 3 × 16 = y + 794

बाईं ओर गुणा करें: 66 × 16 = 1056

y के लिए हल करें: 1056 = y + 794 y = 1056 − 794 = 262

व्याख्या

मान लीजिए ईंधन की मूल कीमत 100 है।

लगातार प्रतिशत परिवर्तन सूत्र का उपयोग करके, अंतिम कीमत है: अंतिम कीमत = 100 × (1 - 0.40) × (1 - 0.60) × (1 - 0.60) × (1 + 0.70) = 100 × 0.60 × 0.40 × 0.40 × 1.70 = 16.32

प्रतिशत परिवर्तन = 16.32 - 100 = -83.68%

ऋणात्मक मान 83.68% की कमी दर्शाता है।

व्याख्या

साझेदारी में लाभ का हिस्सा निवेश और समय अवधि के गुणनफल के समानुपाती होता है। मान लीजिए त्रिशा और रिया का प्रारंभिक निवेश क्रमशः 8x और 5x है। चूंकि पूर्वां का निवेश रिया के निवेश के बराबर है, इसलिए पूर्वां का निवेश 5x है।

त्रिशा की निवेश अवधि = 12 महीने रिया की निवेश अवधि = 12 महीने पूर्वां की निवेश अवधि = 6 महीने

लाभ का अनुपात = (8x × 12) : (5x × 12) : (5x × 6) सभी को 6x से विभाजित करने पर (8 × 2) : (5 × 2) : (5 × 1) = 16 : 10 : 5 प्राप्त होता है।

व्याख्या

माना 1 ग्राम माल का क्रय मूल्य ₹1 है। 1000 ग्राम का क्रय मूल्य ₹1000 है।

चूंकि दुकानदार 45% हानि पर बेचने का दावा करता है, इसलिए 1000 ग्राम का विक्रय मूल्य है: विक्रय मूल्य = 1000 × (1 - 0.45) = ₹550

माना x ग्राम वह वास्तविक वजन है जिसका उपयोग 1000 ग्राम के बजाय किया जाता है। इस वजन का दुकानदार के लिए वास्तविक क्रय मूल्य ₹x है।

कुल 50% लाभ पर: विक्रय मूल्य = क्रय मूल्य × (1 + लाभ%) 550 = x × (1 + 0.50) 1.5 x = 550 x = 550 / 1.5 = 366.666... ग्राम

एक दशमलव स्थान तक पूर्णांकित करने पर 366.7 ग्राम प्राप्त होता है।

व्याख्या

A : B : C का अनुपात ज्ञात करने के लिए जब 3A = 4B = 8C हो, तो गुणांकों 3, 4 और 8 का लघुत्तम समापवर्त्य (LCM) लें, जो कि 24 है।

LCM को प्रत्येक गुणांक से विभाजित करने पर संगत अनुपात पद प्राप्त होते हैं: A = 24 / 3 = 8 B = 24 / 4 = 6 C = 24 / 8 = 3

इससे A : B : C = 8 : 6 : 3 प्राप्त होता है।

व्याख्या

प्रथम n सम प्राकृतिक संख्याओं का औसत सूत्र (n + 1) द्वारा दिया जाता है।

सूत्र में n = 62 रखने पर: औसत = 62 + 1 = 63

व्याख्या

प्रत्येक शंक्वाकार कप की तिर्यक ऊंचाई l = √(r² + h²) = √(7² + 24²) = √625 = 25 सेमी।

एक कप का वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल = π × r × l = 3.14 × 7 × 25 = 549.5 सेमी²।

1000 कपों के लिए आवश्यक कुल कागज़ = 549.5 × 1000 = 549500 सेमी²।

वर्ग मीटर में परिवर्तित करना (चूंकि 1 m² = 10000 सेमी²): आवश्यक कागज़ = 549500 / 10000 = 54.95 m²।

व्याख्या

एक ठोस अर्धगोले का कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल सूत्र 3πr² द्वारा दिया जाता है, जहाँ r त्रिज्या है।

3πr² = 200

π = 22/7 रखने पर: 3 × (22/7) × r² = 200 (66/7) × r² = 200 r² = (200 × 7) / 66 r² = 700 / 33 r = √(700/33) सेमी

व्याख्या

समग्र औसत = कुल खर्च की गई राशि / सदस्यों की कुल संख्या

सदस्यों की कुल संख्या = 69 + 65 + 88 = 222

कुल खर्च की गई राशि = (69 × 468) + (65 × 120) + (88 × 276) = 32,292 + 7,800 + 24,288 = 64,380

समग्र औसत = 64,380 / 222 = 290

व्याख्या

जब दो वस्तुएँ एक-दूसरे की ओर बढ़ती हैं तो सापेक्ष गति = गति₁ + गति₂ = 49 + 59 = 108 किमी/घंटा।

सापेक्ष गति को मी/से में बदलना: 108 × (5/18) = 30 मी/से।

एक-दूसरे को पूरी तरह से पार करने के लिए तय की जाने वाली कुल दूरी = लंबाई₁ + लंबाई₂ = 349 + 371 = 720 मीटर।

लिया गया समय = कुल दूरी / सापेक्ष गति = 720 / 30 = 24 सेकंड।

व्याख्या

सीढ़ी, दीवार और जमीन द्वारा बनाए गए समकोण त्रिभुज में:

sin(60°) = ऊँचाई / सीढ़ी की लंबाई

ऊँचाई = सीढ़ी की लंबाई × sin(60°) ऊँचाई = 28 × (√3 / 2) ऊँचाई = 14 × √3

दिए गए मान √3 = 1.74 का प्रयोग करने पर: ऊँचाई = 14 × 1.74 = 24.36 मीटर

व्याख्या

मर्चेंडाइज एक्सपोर्ट्स फ्रॉम इंडिया स्कीम (MEIS) के तहत, जिसे विदेश व्यापार नीति 2015-20 के हिस्से के रूप में पेश किया गया था, पात्र निर्यातकों को फ्री ऑन बोर्ड (FOB) निर्यातित माल के मूल्य के प्रतिशत के रूप में गणना की गई प्रोत्साहन के रूप में ड्यूटी क्रेडिट स्क्रिप्ट प्रदान की जाती हैं। ये ड्यूटी क्रेडिट स्क्रिप्ट स्वतंत्र रूप से हस्तांतरणीय होती हैं, जिससे निर्यातकों को या तो आयातित माल पर मूल सीमा शुल्क और अन्य निर्दिष्ट करों का भुगतान करने के लिए उनका उपयोग करने या उन्हें खुले बाजार में अन्य आयातकों को बेचने की अनुमति मिलती है।

व्याख्या

साधारण ब्याज के तहत, जब कोई धनराशि P स्वयं की 5 गुनी हो जाती है, तो कुल राशि 5P होती है, जिसका अर्थ है अर्जित ब्याज SI = 5P - P = 4P।

दर सूत्र R = (SI × 100) / (P × T) का उपयोग करके: R = (4P × 100) / (P × 4) = 100% प्रति वर्ष।

व्याख्या

मानक बीजगणितीय सर्वसमिकाओं का उपयोग करते हुए, a + 1/a = k के लिए, घन a³ + 1/a³ = k³ - 3k होता है, और aⁿ + 1/aⁿ = m के लिए, वर्ग a²ⁿ + 1/a²ⁿ = m² - 2 होता है।

दिया गया है a + 1/a = 3:

a³ + 1/a³ = 3³ - 3(3) = 27 - 9 = 18

इस व्यंजक का वर्ग करने पर:

a⁶ + 1/a⁶ = (a³ + 1/a³)² - 2 = 18² - 2 = 324 - 2 = 322

व्याख्या

घातांक नियमों का उपयोग करके, सभी पदों को (9/28) आधार में परिवर्तित करें:

(28/9)¹¹ = (9/28)⁻¹¹ (28/9)¹⁷ = (9/28)⁻¹⁷

बाएं पक्ष के पदों को उनके घातांकों को जोड़कर गुणा करें:

(9/28)⁻¹¹ × (9/28)¹⁶ × (9/28)⁻¹⁷ = (9/28)⁻¹¹ ⁺ ¹⁶ ⁻ ¹⁷ = (9/28)⁻¹²

दोनों पक्षों से घातांकों को बराबर करें:

-12 = 2m + 8 2m = -20 m = -10

व्याख्या

ax² + bx + c = 0 के रूप का एक समीकरण द्विघात समीकरण को तभी दर्शाता है जब x² का गुणांक अशून्य हो (a ≠ 0)।

दिए गए समीकरण में, x² का गुणांक (2m - 3) है। समीकरण को द्विघात समीकरण दर्शाने के लिए, यह गुणांक शून्य के बराबर नहीं होना चाहिए:

2m - 3 ≠ 0 2m ≠ 3 m ≠ 3/2

व्याख्या

चक्रवृद्धि ब्याज सूत्र A = P(1 + r/100)ᵗ का उपयोग करते हुए, मान लीजिए अक्षय का हिस्सा P₁ है और अर्जुन का हिस्सा P₂ है।

दिया गया है कि 16 वर्षों में अक्षय द्वारा संचित राशि 17 वर्षों में अर्जुन द्वारा संचित राशि के बराबर है: P₁ × (1 + 5/100)¹⁶ = P₂ × (1 + 5/100)¹⁷ P₁ / P₂ = 1 + 5/100 = 21/20

इस प्रकार, अक्षय के हिस्से और अर्जुन के हिस्से का अनुपात 21 : 20 है।

कुल हिस्सा = 21 + 20 = 41 इकाई = ₹1394 1 इकाई = 1394 / 41 = 34

अर्जुन का हिस्सा = 20 × 34 = ₹680

व्याख्या

प्रत्येक अनुपात को उसके दशमलव मान में परिवर्तित करने पर:

5/12 = 0.4167 14/31 = 0.4516 8/33 = 0.2424 17/39 = 0.4359

दशमलव मानों की तुलना करने पर: 0.4516 (14/31) > 0.4359 (17/39) > 0.4167 (5/12) > 0.2424 (8/33)

व्याख्या

प्रति वस्तु क्रय मूल्य = ₹300 / 12 = ₹25

प्रति वस्तु विक्रय मूल्य = ₹90

प्रति वस्तु लाभ = ₹90 - ₹25 = ₹65

लाभ प्रतिशत = (लाभ / क्रय मूल्य) × 100 = (65 / 25) × 100 = 260%

व्याख्या

समूहबद्ध आँकड़ों का माध्य सूत्र माध्य = Σ(f × x) / Σf द्वारा दिया जाता है, जहाँ x प्रत्येक वर्ग का वर्ग चिह्न (मध्यबिंदु) है और f प्रत्येक वर्ग की आवृत्ति है।

वर्ग अंतरालों 10-20, 20-30, 30-40, 40-50, और 50-60 के लिए वर्ग चिह्न (x) क्रमशः 15, 25, 35, 45, और 55 हैं।

Σf = 15 + 21 + 43 + 41 + X = 120 + X

Σ(f × x) = (15 × 15) + (21 × 25) + (43 × 35) + (41 × 45) + (X × 55) = 225 + 525 + 1505 + 1845 + 55X = 4100 + 55X

दिए गए माध्य 35 के बराबर करने पर: 35 = (4100 + 55X) / (120 + X) 35 × (120 + X) = 4100 + 55X 4200 + 35X = 4100 + 55X 20X = 100 X = 5

व्याख्या

किन्हीं दो धनात्मक पूर्णांकों के लिए, दो संख्याओं का गुणनफल उनके म.स.प. और ल.स.प. के गुणनफल के बराबर होता है:

पहली संख्या × दूसरी संख्या = म.स.प. × ल.स.प.

दिए गए मानों को प्रतिस्थापित करने पर:

84 × दूसरी संख्या = 12 × 840

दूसरी संख्या = (12 × 840) / 84 = 840 / 7 = 120

व्याख्या

कुल कार्य या प्रावधान के लिए व्युत्क्रमानुपाती सूत्र का उपयोग करके, M₁ × D₁ = M₂ × D₂:

100 × 26 = (100 - 50) × D₂

100 × 26 = 50 × D₂

D₂ = (100 × 26) / 50 = 52 दिन

व्याख्या

मान लीजिए B का वेतन 100 है। चूँकि A का वेतन B के वेतन से 113% अधिक है, A का वेतन = 100 + 113 = 213 है।

जिस प्रतिशत से B का वेतन A के वेतन से कम है, वह इस प्रकार दिया गया है: प्रतिशत कम = [r / (100 + r)] × 100

r = 113 रखने पर: प्रतिशत कम = [113 / (100 + 113)] × 100 = (113 / 213) × 100 = 11300 / 213 = 53.0516% ≈ 53.05%

व्याख्या

एक समांतर श्रेणी का औसत (पहला पद + अंतिम पद) / 2 सूत्र द्वारा दिया जाता है, या किसी संख्या k के पहले n गुणजों के लिए सीधे k × (n + 1) / 2 के रूप में।

यहाँ, k = 7 और n = 350 है।

दिए गए मानों को सूत्र में प्रतिस्थापित करने पर: औसत = 7 × (350 + 1) / 2 औसत = 7 × 351 / 2 औसत = 2457 / 2 = 1228.5

व्याख्या

मान लीजिए शांत जल में नाव की गति v किमी/घंटा है।

धारा के साथ गति = v + 4 धारा के विपरीत गति = v - 4

चूंकि धारा के साथ और धारा के विपरीत तय की गई दूरी बराबर है: दूरी = गति × समय 6(v + 4) = 8(v - 4) 6v + 24 = 8v - 32 2v = 56 v = 28 किमी/घंटा

व्याख्या

मान लीजिए विपुल और विजय की मासिक आय क्रमशः 6x और 7x है। चूँकि व्यय = आय - बचत, उनके व्यय का अनुपात इस प्रकार है:

(6x - 66,000) / (7x - 66,000) = 1 / 3

3 × (6x - 66,000) = 7x - 66,000 18x - 1,98,000 = 7x - 66,000 11x = 1,32,000 x = 12,000

विपुल की मासिक आय = 6x = 6 × 12,000 = ₹72,000।

व्याख्या

माध्य Σ(f × x) / Σf = (7 × 12 + 8 × 13 + 9 × 12 + 10 × 11) / 48 = 406 / 48 ≈ 8.485 है, जो i का 1 से मिलान करता है।

प्रसरण [Σ(f × x²) / Σf] - (माध्य)² = (3492 / 48) - (8.458)² = 72.75 - 71.543 = 1.207 है, जो iii का 2 से मिलान करता है।

मानक विचलन √(प्रसरण) = √1.207 ≈ 1.099 है, जो ii का 3 से मिलान करता है।

व्याख्या

n-भुजाओं वाले बहुभुज के आंतरिक कोणों का योग (n - 2) × 180° सूत्र द्वारा दिया जाता है। समलंब चतुर्भुज एक चार-भुजाओं वाला बहुभुज (चतुर्भुज) होता है, इसलिए n = 4। इसे सूत्र में प्रतिस्थापित करने पर (4 - 2) × 180° = 2 × 180° = 360° प्राप्त होता है।

व्याख्या

वस्तु X का विक्रय मूल्य = 800 + 523 = ₹1323.

चूंकि X को अंकित मूल्य M पर 45% और 73% की दो क्रमिक छूट के बाद बेचा जाता है: 1323 = M × (1 - 0.45) × (1 - 0.73) 1323 = M × 0.55 × 0.27

89% की एकल छूट के बाद वस्तु Y का विक्रय मूल्य: विक्रय मूल्य = M × (1 - 0.89) = M × 0.11

पहले समीकरण से M का मान रखने पर: विक्रय मूल्य = (1323 × 0.11) / (0.55 × 0.27) विक्रय मूल्य = 1323 / (5 × 0.27) विक्रय मूल्य = 1323 / 1.35 = ₹980

Y पर लाभ = 980 - 800 = ₹180. Y पर लाभ प्रतिशत = (180 / 800) × 100 = 22.5%।

व्याख्या

भारित अंकगणितीय माध्य = (w₁x₁ + w₂x₂) / (w₁ + w₂)

असाइनमेंट का योगदान = 40% × 75 = 0.40 × 75 = 30 परीक्षा का योगदान = 60% × 85 = 0.60 × 85 = 51

भारित माध्य = 30 + 51 = 81