आरआरबी एनटीपीसी सीबीटी 1 2026 Mathematics प्रश्न — हल सहित

व्याख्या

मान लीजिए क्रय मूल्य C है और वास्तविक विक्रय मूल्य S है।

चूंकि S के 4/11 पर बेचने पर 20% की हानि होती है: (4/11) × S = 0.80 × C (4/11) × S = (4/5) × C S = (11/5) × C = 2.2 × C

वास्तविक विक्रय मूल्य के 71% पर बेचने पर: नया विक्रय मूल्य = 0.71 × S = 0.71 × 2.2 × C = 1.562 × C

लाभ प्रतिशत = [(1.562 × C - C) / C] × 100 = 56.2%

व्याख्या

वह समय अंतराल जिसके बाद तीनों घंटियाँ एक साथ बजेंगी, उनके व्यक्तिगत बजने के अंतरालों के लघुत्तम समापवर्त्य (LCM) द्वारा दिया जाता है: LCM(120, 180, 240)।

अभाज्य गुणनखंडन: 120 = 2³ × 3 × 5 180 = 2² × 3² × 5 240 = 2⁴ × 3 × 5

LCM(120, 180, 240) = 2⁴ × 3² × 5 = 720 मिनट।

मिनटों को घंटों में बदलना: 720 ÷ 60 = 12 घंटे।

प्रारंभिक समय सुबह 9:00 बजे में 12 घंटे जोड़ने पर रात 9:00 बजे प्राप्त होता है।

व्याख्या

साधारण ब्याज सूत्र, SI = (P × R × T) / 100 का उपयोग करके, जहाँ P = ₹7,200, R = 4%, और SI = ₹360 है।

समय T के लिए पुनर्व्यवस्थित करने पर: T = (SI × 100) / (P × R) T = (360 × 100) / (7200 × 4) T = 36000 / 28800 = 5 / 4 = 1.25 वर्ष

व्याख्या

दी गई समानता से, युग्मवार घटाने पर प्राप्त होता है: p - m = (m - n) / (mn) m - n = (n - p) / (np) n - p = (p - m) / (pm)

इन तीन समीकरणों को एक साथ गुणा करने पर: (p - m)(m - n)(n - p) = [(p - m)(m - n)(n - p)] / (p m n)²

चूंकि p, m, और n सभी भिन्न हैं (p ≠ m ≠ n), गुणनफल (p - m)(m - n)(n - p) अशून्य है। दोनों पक्षों को इस गुणनफल से विभाजित करने पर प्राप्त होता है: 1 = 1 / (p m n)² (p m n)² = 1 p × m × n = ±1

व्याख्या

मान लीजिए छोटे भाई की वर्तमान आयु x वर्ष है।

वनराज की वर्तमान आयु = 2x दूसरे भाई की वर्तमान आयु = x - 3

उनकी वर्तमान आयु का योग = 2x + x + (x - 3) = 4x - 3

चूंकि 3 भाई हैं, इसलिए 3 साल पहले उनकी आयु का योग 3 × 3 = 9 वर्ष कम था: (4x - 3) - 9 = 20 4x - 12 = 20 4x = 32 x = 8

वनराज की वर्तमान आयु = 2x = 2 × 8 = 16 वर्ष।

व्याख्या

संयुक्त अनुपात A : B : C : D ज्ञात करने के लिए: A : B = 2 : 3 B : C = 4 : 5 C : D = 10 : 3

पहले, A : B और B : C को मिलाने पर A : B : C = (2 × 4) : (3 × 4) : (3 × 5) = 8 : 12 : 15 प्राप्त होता है।

इसके बाद, A : B : C को C : D = 10 : 3 के साथ मिलाने पर (C-पद को LCM(15, 10) = 30 के बराबर बनाते हुए): A : B : C : D = (8 × 2) : (12 × 2) : (15 × 2) : (3 × 3) = 16 : 24 : 30 : 9.

अनुपात भागों का योग = 16 + 24 + 30 + 9 = 79.

1 भाग का मान = 6241 / 79 = 79.

A का हिस्सा = 16 × 79 = 1264।

व्याख्या

दिया गया समीकरण: 3(sin²θ + cosec²θ) = 10

माना sin²θ = x। तब cosec²θ = 1/x। 3(x + 1/x) = 10 3x² - 10x + 3 = 0 (3x - 1)(x - 3) = 0

चूंकि sin²θ ≤ 1, x = 1/3। अतः, sin²θ = 1/3 और cosec²θ = 3।

सर्वसमिका cot²θ = cosec²θ - 1 का उपयोग करके: cot²θ = 3 - 1 = 2

अब, आवश्यक व्यंजक का मूल्यांकन करें: cot⁶θ + cosec⁶θ = (cot²θ)³ + (cosec²θ)³ = 2³ + 3³ = 8 + 27 = 35

व्याख्या

मान लीजिए A और B की वर्तमान आयु क्रमशः 5x और 8x वर्ष है।

दी गई शर्त के अनुसार, 6 वर्ष बाद: (5x + 6) / (8x + 6) = 3 / 4

x के लिए हल करने हेतु वज्र गुणन करने पर: 4 × (5x + 6) = 3 × (8x + 6) 20x + 24 = 24x + 18 4x = 6 x = 1.5

A की वर्तमान आयु = 5x = 5 × 1.5 = 7.5 वर्ष।

व्याख्या

माध्य, माध्यक और बहुलक के बीच संबंध अनुभवजन्य सूत्र द्वारा दिया गया है:

बहुलक = 3 × माध्यक - 2 × माध्य

दिए गए मानों को सूत्र में प्रतिस्थापित करें: 24.7 = 3 × माध्यक - 2 × 17.9 24.7 = 3 × माध्यक - 35.8 3 × माध्यक = 24.7 + 35.8 3 × माध्यक = 60.5 माध्यक = 60.5 ÷ 3 = 20.166... ≈ 20.2

व्याख्या

एक ही दिशा में दौड़ते हुए A और B के बीच सापेक्ष गति = 7 - 5 = 2 मीटर/सेकंड।

A और B के पहली बार मिलने में लगा समय = पथ की लम्बाई / सापेक्ष गति = 840 / 2 = 420 सेकंड।

A द्वारा तय की गई कुल दूरी = गति × समय = 7 × 420 = 2940 मीटर।

A द्वारा लगाए गए चक्कर = 2940 / 840 = 3.5 चक्कर, जो शुरुआती बिंदु से दक्षिणावर्त दिशा में 3 पूर्ण चक्कर और अतिरिक्त 420 मीटर की दूरी के बराबर है।

व्याख्या

भारतीय संविधान का अनुच्छेद 243R(2)(a), जिसे 74वें संवैधानिक संशोधन अधिनियम, 1992 द्वारा डाला गया है, राज्य विधानमंडल को नगरपालिका प्रशासन में विशेष ज्ञान या अनुभव रखने वाले व्यक्तियों के नगरपालिका में प्रतिनिधित्व का प्रावधान करने का अधिकार देता है। इस खंड की परंतुक स्पष्ट रूप से निर्दिष्ट करती है कि ऐसे नामांकित या सह-चयनित सदस्यों को नगरपालिका की बैठकों में मतदान का अधिकार नहीं होगा।

व्याख्या

वैश्वीकरण से तात्पर्य विश्व स्तर पर देशों के बीच बढ़ती परस्पर संबद्धता और एकीकरण की प्रक्रिया से है, जो वस्तुओं, सेवाओं, पूंजी, प्रौद्योगिकी और श्रम के अंतरराष्ट्रीय सीमाओं के पार मुक्त प्रवाह के माध्यम से होती है। समकालीन काल में, यह सीमा पार व्यापार और निवेश को सुगम बनाता है, टैरिफ और गैर-टैरिफ बाधाओं को दूर करता है, और राष्ट्रीय अर्थव्यवस्थाओं को एक एकीकृत वैश्विक बाजार में एकीकृत करता है।

व्याख्या

प्रति सदस्य खर्च की गई कुल औसत राशि = प्रति सदस्य कुल खर्च / सदस्यों की कुल संख्या

सदस्यों की कुल संख्या = 30 + 21 + 40 = 91

प्रत्येक समूह द्वारा खर्च की गई कुल राशि: समूह A = 30 × 378 = ₹11340 समूह B = 21 × 355 = ₹7455 समूह C = 40 × 224 = ₹8960

कुल व्यय = 11340 + 7455 + 8960 = ₹27755

कुल औसत = 27755 / 91 = ₹305

व्याख्या

मान लीजिए परीक्षा में अधिकतम अंक M हैं।

प्रश्न के अनुसार, M का 19% - 13 = 424 M का 19% = 424 + 13 = 437

M = (437 × 100) / 19 = 2300

उसके दोस्त द्वारा प्राप्त अंकों का प्रतिशत = (दोस्त के अंक / M) × 100 प्रतिशत = (529 / 2300) × 100 = 529 / 23 = 23%

व्याख्या

एक चक्रीय चतुर्भुज में, किसी भी भुजा को बढ़ाने से बनने वाला बाह्य कोण, सम्मुख आंतरिक कोण के बराबर होता है।

यहां, चक्रीय चतुर्भुज PQRS की भुजा PQ को बिंदु T तक बढ़ाया गया है, जिससे ∠RQT शीर्ष Q पर बाह्य कोण बनता है। ∠RQT का सम्मुख आंतरिक कोण ∠PSR है।

इसलिए, ∠PSR = ∠RQT = 58°।

व्याख्या

दी गई प्रतिशत शर्त को एक बीजगणितीय समीकरण में बदलें: A का 10% + B का 20% = ¾ (A का 20% + B का 10%)

0.10A + 0.20B = ¾ (0.20A + 0.10B)

दशमलव हटाने के लिए दोनों पक्षों को 100 से गुणा करें: 10A + 20B = ¾ (20A + 10B)

दोनों पक्षों को 4 से गुणा करें: 4(10A + 20B) = 3(20A + 10B) 40A + 80B = 60A + 30B

सरल करें और समान पदों को समूहित करें: 80B - 30B = 60A - 40A 50B = 20A

A और B के अनुपात के लिए हल करें: A / B = 50 / 20 = 5 / 2

व्याख्या

कुल काम = LCM(10, 15, 25) = 150 इकाई।

प्रति दिन दक्षता: P = 150 / 10 = 15 इकाई/दिन Q = 150 / 15 = 10 इकाई/दिन R = 150 / 25 = 6 इकाई/दिन

एक विषम दिन में किया गया काम (P + Q) = 15 + 10 = 25 इकाई एक सम दिन में किया गया काम (P + R) = 15 + 6 = 21 इकाई

2-दिन के चक्र में, पूरा किया गया काम = 25 + 21 = 46 इकाई।

3 चक्रों (6 दिनों) में, पूरा किया गया काम = 3 × 46 = 138 इकाई। शेष काम = 150 - 138 = 12 इकाई।

7वें दिन (विषम दिन), P और Q मिलकर 25 इकाई/दिन की दक्षता से काम करते हैं। शेष काम के लिए आवश्यक समय = 12/25 दिन।

कुल समय = 6 + 12/25 = 6 12/25 दिन।

व्याख्या

BODMAS नियम के अनुसार, संक्रियाओं का मूल्यांकन पहले भाग और गुणा (बाएं से दाएं) के क्रम में किया जाता है, उसके बाद जोड़ और घटाव (बाएं से दाएं) किया जाता है।

पहले भाग और गुणा का मूल्यांकन करें: 20 ÷ 4 = 5 2 × 3 = 6

इन परिणामों को व्यंजक में प्रतिस्थापित करें: 16 + 5 - 6

जोड़ और घटाव करें: 16 + 5 = 21 21 - 6 = 15

व्याख्या

जब दो वस्तुएँ विपरीत दिशाओं में चलती हैं, तो उनकी सापेक्ष गति उनकी व्यक्तिगत गतियों का योग होती है: सापेक्ष गति = 90 किमी/घंटा + 70 किमी/घंटा = 160 किमी/घंटा

सापेक्ष गति को मी/से में बदलना: 160 × 5/18 = 400/9 मी/से

एक-दूसरे को पार करते समय तय की गई कुल दूरी दोनों ट्रेनों की लंबाई का योग होती है: कुल दूरी = सापेक्ष गति × समय लंबाई₁ + लंबाई₂ = (400/9) × 27 = 1200 मी

चूंकि एक ट्रेन की लंबाई 480 मीटर दी गई है: दूसरी ट्रेन की लंबाई = 1200 − 480 = 720 मीटर

व्याख्या

मान लीजिए टंकी की कुल क्षमता 1 इकाई है।

पहले नल की भरने की दर = ½ इकाई प्रति घंटा दूसरे नल की भरने की दर = 1/57 इकाई प्रति घंटा तीसरे नल की खाली करने की दर = 1/57 इकाई प्रति घंटा

जब तीनों नल एक साथ खोले जाते हैं, तो प्रति घंटा शुद्ध भरने की दर है: शुद्ध दर = ½ + 1/57 - 1/57 = ½ इकाई प्रति घंटा

टंकी का आधा भाग (½ इकाई) भरने के लिए: आवश्यक समय = (भरने के लिए आयतन) / (शुद्ध दर) = (½) / (½) = 1 घंटा

व्याख्या

लाभ को निवेश के अनुपात में साझा किया जाता है।

A और B के निवेश का अनुपात = 3 : 2 कुल अनुपात भाग = 3 + 2 = 5

B का हिस्सा = (2 / 5) × 25,000 = ₹10,000

व्याख्या

गोले में अंतर्निहित शंकु के लिए, परिबद्ध गोले की त्रिज्या R सूत्र द्वारा दी जाती है: R = (r² + h²) / (2h)

r = 3 सेमी और h = 3√2 सेमी रखने पर: R = (3² + (3√2)²) / (2 × 3√2) = (9 + 18) / (6√2) = 27 / (6√2) = 9 / (2√2) सेमी

R का वर्ग करने पर: R² = 81 / 8

गोले के पृष्ठीय क्षेत्रफल के सूत्र का उपयोग करके: पृष्ठीय क्षेत्रफल = 4πR² = 4 × (22 / 7) × (81 / 8) = (11 × 81) / 7 = 891 / 7 = 127 2/7 सेमी²

व्याख्या

1 पृष्ठ टाइप करने में लगा समय = 40 / 2 = 20 मिनट।

84 पृष्ठ टाइप करने के लिए आवश्यक कुल समय = 84 × 20 = 1680 मिनट।

व्याख्या

शेषफल प्रमेय के अनुसार, f(x) को (x - r) से विभाजित करने पर शेषफल f(r) के बराबर होता है। चूँकि अग्रणी गुणांक 1 है, बहुपद का रूप f(x) = x² + bx + c होगा।

दी गई शर्तों का उपयोग करके: f(2) = 2² + 2b + c = 5 → 2b + c = 1 f(4) = 4² + 4b + c = -3 → 4b + c = -19

दूसरे समीकरण से पहले समीकरण को घटाने पर: (4b + c) - (2b + c) = -19 - 1 → 2b = -20 → b = -10

b = -10 को 2b + c = 1 में प्रतिस्थापित करने पर: 2(-10) + c = 1 → c = 21

परिणामी बहुपद f(x) = x² - 10x + 21 है, जो समीकरण f(x) = 0 को x² - 10x + 21 = 0 के रूप में स्थापित करता है।

व्याख्या

मान लीजिए N पंजीकृत मतदाताओं की कुल संख्या है।

डाले गए मत = N का 80% = 0.80N वैध मत = 0.80N का 97% = 0.776N

विजेता उम्मीदवार को वैध मतों का 52% प्राप्त हुआ, जबकि हारने वाले उम्मीदवार को वैध मतों का 48% प्राप्त हुआ। जीत का अंतर उनके शेयरों के बीच का अंतर है, जो कि वैध मतों का 52% - 48% = 4% है।

0.776N का 4% = 291 0.04 × 0.776N = 291 0.03104N = 291 N = 291 / 0.03104 = 9375

व्याख्या

संचालन के मानक क्रम (BODMAS) का उपयोग करके:

सबसे पहले, बाएं से दाएं भाग और गुणा करें: 20 ÷ 4 = 5 2 × 4 = 8

फिर, बाएं से दाएं जोड़ और घटाव करें: 16 + 5 - 8 = 21 - 8 = 13

व्याख्या

लाभ को भागीदारों के बीच उनके निवेश के अनुपात में साझा किया जाता है।

कुल निवेश = 1050 + 1510 + 1280 = ₹3840

लाभ में पूजा का हिस्सा = (पूजा का निवेश ÷ कुल निवेश) × कुल लाभ = (1280 ÷ 3840) × 1650 = (1 ÷ 3) × 1650 = ₹550

व्याख्या

दिए गए अनुपातों की तुलना बेंचमार्क मान ½ (0.5) से करने पर:

5/9 = 0.555... जो ½ से बड़ा है क्योंकि अंश 5 हर (4.5) के आधे से बड़ा है।

शेष अनुपात—3/17 (≈ 0.176), 13/67 (≈ 0.194), और 10/37 (≈ 0.270)—इन सभी में अंश अपने संबंधित हर के आधे से कम हैं, जिससे वे स्पष्ट रूप से ½ से कम हो जाते हैं।

व्याख्या

समकोण त्रिभुज ABC में, जहाँ ∠C = 90°, ∠A की संलग्न भुजा AC है और कर्ण AB है।

त्रिकोणमितीय अनुपात cos(A) = AC / AB का उपयोग करके: cos(45°) = 7 / AB

चूंकि cos(45°) = 1 / √2: 1 / √2 = 7 / AB AB = 7√2 इकाई

व्याख्या

दिए गए GCD और LCM मानों का अभाज्य गुणनखंडन करें: gcd(a, b) = 8 = 2³ gcd(b, c) = 12 = 2² × 3 gcd(c, a) = 4 = 2² LCM(a, b, c) = 240 = 2⁴ × 3¹ × 5¹

a, b, और c के लिए अभाज्य घातों का विश्लेषण:

अभाज्य 2 के लिए: चूँकि min(a, b) = 3, min(b, c) = 2, और min(c, a) = 2 है, c में 2 की घात 2 होनी चाहिए। चूँकि max(a, b, c) = 4 है, (a, b, c) के लिए 2 की घातें या तो (4, 3, 2) या (3, 4, 2) हैं।

अभाज्य 3 के लिए: gcd(b, c) में 3¹ है, जबकि gcd(a, b) और gcd(c, a) में 3⁰ है। इस प्रकार, (a, b, c) के लिए 3 की घातें (0, 1, 1) हैं।

अभाज्य 5 के लिए: कम से कम एक पूर्णांक में 5¹ होना चाहिए।

a + b + c को न्यूनतम करने के लिए: यदि 2 की घातें (4, 3, 2) हैं और 5 का गुणनखंड c को सौंपा गया है: a = 2⁴ = 16 b = 2³ × 3 = 24 c = 2² × 3 × 5 = 60 योग = 16 + 24 + 60 = 100

यदि 2 की घातें (3, 4, 2) हैं और 5 का गुणनखंड a को सौंपा गया है: a = 2³ × 5 = 40 b = 2⁴ × 3 = 48 c = 2² × 3 = 12 योग = 40 + 48 + 12 = 100

व्याख्या

रैखिक समीकरणों की प्रणाली को हल करने के लिए: x + y + z = 2 --- (1) 6x - 4y + 5z = 31 --- (2) 5x + 2y + 2z = 13 --- (3)

(3) से 2 × (1) घटाने पर y और z समाप्त हो जाते हैं: (5x + 2y + 2z) - 2(x + y + z) = 13 - 2(2) 3x = 9 x = 3

x = 3 को (1) में प्रतिस्थापित करने पर y + z = -1 मिलता है, या z = -1 - y।

x = 3 और z = -1 - y को (2) में प्रतिस्थापित करने पर: 6(3) - 4y + 5(-1 - y) = 31 18 - 4y - 5 - 5y = 31 13 - 9y = 31 -9y = 18 y = -2

y = -2 को z = -1 - y में प्रतिस्थापित करने पर: z = -1 - (-2) = 1

इससे हल (x, y, z) = (3, -2, 1) प्राप्त होता है।

व्याख्या

समरूप त्रिभुजों के क्षेत्रफल प्रमेय के अनुसार, दो समरूप त्रिभुजों के क्षेत्रफलों का अनुपात उनकी संगत भुजाओं के अनुपात के वर्ग के बराबर होता है।

क्षेत्रफल अनुपात = (भुजा 1 / भुजा 2)² = (16 / 14)² = 16² : 14² = 256 : 196

व्याख्या

प्रति सदस्य खर्च की गई कुल औसत राशि की गणना भारित औसत सूत्र का उपयोग करके की जाती है:

भारित औसत = (N₁A₁ + N₂A₂ + N₃A₃) / (N₁ + N₂ + N₃)

कुल व्यय = (12 × 160) + (55 × 109) + (89 × 181) कुल व्यय = 1920 + 5995 + 16109 = 24024

सदस्यों की कुल संख्या = 12 + 55 + 89 = 156

कुल औसत = 24024 / 156 = 154

व्याख्या

माना प्रति नग क्रय मूल्य CP है और प्रति नग विक्रय मूल्य SP है।

दिया गया है कि 48 नगों का विक्रय मूल्य x नगों के क्रय मूल्य के बराबर है: 48 × SP = x × CP SP / CP = x / 48

25% लाभ के साथ, विक्रय मूल्य और क्रय मूल्य का अनुपात है: SP / CP = (100 + लाभ%) / 100 = 125 / 100 = 5 / 4

SP / CP के दोनों व्यंजकों को बराबर करने पर: x / 48 = 5 / 4 x = (5 × 48) / 4 x = 60

व्याख्या

किन्हीं भी दो संख्याओं के लिए, दो संख्याओं का गुणनफल = LCM × HCF।

संख्या 2 = (LCM × HCF) ÷ संख्या 1 संख्या 2 = (1116 × 186) ÷ 372

चूंकि 372 ÷ 186 = 2 है, गणना सीधे सरल हो जाती है: संख्या 2 = 1116 ÷ 2 = 558

व्याख्या

माना x + y = 6k, y + z = 7k, और z + x = 8k।

इन तीनों समीकरणों को जोड़ने पर: 2(x + y + z) = 6k + 7k + 8k = 21k x + y + z = (21/2)k

चूंकि x + y + z = 14: (21/2)k = 14 k = 14 × 2 / 21 = 4/3

z का मान (x + y + z) में से (x + y) घटाकर प्राप्त किया जाता है: z = (x + y + z) - (x + y) z = 14 - 6k z = 14 - 6 × (4/3) = 14 - 8 = 6

व्याख्या

प्रत्येक सिक्के की परिधि = 2πr = 5.5 सेमी 2 × (22/7) × r = 5.5 r = (5.5 × 7) / (2 × 22) = 7/8 सेमी

प्रत्येक सिक्के की मोटाई h = 2 मिमी = 0.2 सेमी

एक बेलनाकार सिक्के का आयतन = πr²h = (22/7) × (7/8)² × 0.2 = 154 / 320 सेमी³

घनाभ का आयतन = लंबाई × चौड़ाई × ऊंचाई = 14 × 11 × 8 = 1232 सेमी³

आवश्यक सिक्कों की संख्या = घनाभ का आयतन / एक सिक्के का आयतन = 1232 / (154 / 320) = (1232 × 320) / 154 = 8 × 320 = 2560

व्याख्या

बीजगणितीय सर्वसमिका के अनुसार, यदि a + b + c = 0, तो a³ + b³ + c³ = 3abc।

यहाँ, a = 55, b = -30, और c = -25 है। चूंकि 55 + (-30) + (-25) = 0, इसलिए उनके घनों का योग इस प्रकार दिया गया है:

55³ + (-30)³ + (-25)³ = 3 × 55 × (-30) × (-25) = 3 × 55 × 750 = 165 × 750 = 123750

व्याख्या

चक्रवृद्धि ब्याज के तहत, राशि समान समय अंतराल में समान गुणक से गुणा हो जाती है। चूँकि राशि 7 वर्षों में दोगुनी (2¹) हो जाती है, तो 8 गुना (2³) होने के लिए 3 ऐसे समय चक्रों की आवश्यकता होगी।

आवश्यक समय = 3 × 7 = 21 वर्ष।

संबंध (1 + r)⁷ = 2 का उपयोग करके, n का मान ज्ञात करने के लिए कि (1 + r)ⁿ = 8: (1 + r)ⁿ = 2³ = ((1 + r)⁷)³ = (1 + r)²¹ घातों की तुलना करने पर n = 21 प्राप्त होता है।

व्याख्या

साधारण ब्याज के तहत किसी धनराशि P को स्वयं का 4 गुना होने के लिए, अर्जित कुल ब्याज SI = 4P - P = 3P है।

दर सूत्र R = [(n - 1) / T] × 100 का उपयोग करते हुए, जहाँ n = 4 गुणक है और T = 25 वर्ष है:

R = [(4 - 1) / 25] × 100 = (3 / 25) × 100 = 12% प्रति वर्ष।

व्याख्या

लाभ को पूंजी और समय अवधि के गुणनफल के अनुपात में बांटा जाता है।

X, Y और Z द्वारा निवेशित प्रारंभिक पूंजी का अनुपात 9 : 4 : 8 है।

X की कुल पूंजी-माह = (9 × 6) + (4.5 × 6) = 81 Y की कुल पूंजी-माह = 4 × 12 = 48 Z की कुल पूंजी-माह = 8 × 12 = 96

लाभ वितरण अनुपात X : Y : Z = 81 : 48 : 96 = 27 : 16 : 32

कुल लाभ इकाई = 27 + 16 + 32 = 75 इकाई

प्रति इकाई मूल्य = ₹33,000 ÷ 75 = ₹440

X और Y के हिस्से का अंतर = 27 - 16 = 11 इकाई

लाभ में अंतर = 11 × 440 = ₹4,840

व्याख्या

n-भुजी सम बहुभुज के आंतरिक कोणों का योग = (n - 2) × 180° = 1620° n - 2 = 1620 / 180 = 9 n = 11

प्रत्येक आंतरिक कोण = 1620° / 11 प्रत्येक बाह्य कोण = 360° / 11

आंतरिक और बाह्य कोण के बीच अंतर = (1620° - 360°) / 11 = 1260° / 11 = 114 6/11°

व्याख्या

मान लीजिए CP वस्तु का क्रय मूल्य और MP अंकित मूल्य है।

जब MP के 3/11 पर बेचा जाता है, तो 15% की हानि होती है, जिसका अर्थ है कि विक्रय मूल्य CP का 85% है: (3/11) × MP = 0.85 × CP MP = (0.85 × 11 / 3) × CP = (9.35 / 3) × CP

जब MP के 54% पर बेचा जाता है, तो नया विक्रय मूल्य है: नया विक्रय मूल्य = 0.54 × MP नया विक्रय मूल्य = 0.54 × (9.35 / 3) × CP = 0.18 × 9.35 × CP = 1.683 × CP

लाभ प्रतिशत = (1.683 - 1) × 100 = 68.3%

व्याख्या

समूहबद्ध आँकड़ों के बहुलक का सूत्र है: बहुलक = L + [(f1 - f0) / (2f1 - f0 - f2)] × h.

बहुलक वर्ग 60-70 है, क्योंकि इसकी अधिकतम बारंबारता 39 है।

बहुलक वर्ग की निम्न सीमा (L) = 60 बहुलक वर्ग की बारंबारता (f1) = 39 पूर्ववर्ती वर्ग की बारंबारता (f0) = 28 अनुवर्ती वर्ग की बारंबारता (f2) = 10 वर्ग चौड़ाई (h) = 10

सूत्र में मान रखने पर: बहुलक = 60 + [(39 - 28) / (2 × 39 - 28 - 10)] × 10 बहुलक = 60 + (11 / 40) × 10 बहुलक = 60 + 2.75 = 62.75

व्याख्या

बीजगणितीय सर्वसमिका (a - b)³ = a³ - b³ - 3ab(a - b) का प्रयोग करके:

माना a = 7⁽2/3) और b = 7⁽-2/3). यहाँ, ab = 7⁽2/3) × 7⁽-2/3) = 7⁰ = 1, और (a - b) = x.

इन मानों को सर्वसमिका में प्रतिस्थापित करने पर: x³ = (7⁽2/3))³ - (7⁽-2/3))³ - 3(1)(x) x³ = 7² - 7⁻² - 3x x³ = 49 - 1/49 - 3x x³ + 3x = 49 - 1/49 x³ + 3x = (2401 - 1)/49 = 2400/49

व्याख्या

कोई संख्या 3 से विभाज्य होती है यदि उसके अंकों का योग 3 से विभाज्य हो।

230A7807 के अंकों का योग = 2 + 3 + 0 + A + 7 + 8 + 0 + 7 = 27 + A।

27 + A के 3 से विभाज्य होने के लिए, A का मान 3 का एकल-अंकीय गुणज होना चाहिए, क्योंकि 27 पहले से ही 3 से विभाज्य है। एकल-अंकीय चर A के संभावित मान 0, 3, 6 और 9 हैं।

A को दिए जा सकने वाले अधिकतम मान को ज्ञात करने के लिए, हम इन संभावनाओं में से सबसे बड़ा मान चुनते हैं, जो कि 9 है।

व्याख्या

मान लीजिए मूल बेलन की त्रिज्या r और ऊँचाई h है। इसे इसके आधार के समानांतर 5 समान टुकड़ों में काटने पर 5 छोटे बेलन प्राप्त होते हैं, जिनमें से प्रत्येक की त्रिज्या r और ऊँचाई h/5 होती है।

सभी 5 टुकड़ों का कुल वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल 2πrh है, और सभी 5 टुकड़ों का कुल समतल पृष्ठीय क्षेत्रफल 5 × 2πr² = 10πr² है। दोनों को बराबर करने पर 2πrh = 10πr² प्राप्त होता है, जो h = 5r को सरल बनाता है।

एक टुकड़े के लिए, इसका कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल S इसके वक्र क्षेत्रफल और दो वृत्ताकार आधारों का योग है: S = 2πr(h/5) + 2πr² = 2πr(r) + 2πr² = 4πr²।

प्रारंभिक बेलन का कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल था: 2πrh + 2πr² = 2πr(5r) + 2πr² = 12πr² = 3 × 4πr² = 3S।

व्याख्या

मान लीजिए क्रय मूल्य (CP) ₹100 है।

अंकित मूल्य (MP) = 100 + 136 = ₹236 18% लाभ के लिए विक्रय मूल्य (SP) = 100 + 18 = ₹118

आवश्यक छूट = MP - SP = 236 - 118 = ₹118

छूट प्रतिशत = (छूट / MP) × 100 = (118 / 236) × 100 = 50%

व्याख्या

कोणों का अनुपात 2:3:4 है, जिससे कुल 2 + 3 + 4 = 9 अनुपात भाग बनते हैं।

सबसे बड़ा कोण 9 भागों में से 4 भागों का प्रतिनिधित्व करता है।

प्रतिशत = (4 / 9) × 100 = 44.44%

44.44% को निकटतम पूर्णांक तक पूर्णांकित करने पर 44% प्राप्त होता है।

व्याख्या

तीनों नलों को एक साथ खोलने पर प्रति घंटा भरने की शुद्ध दर = 1/4 + 1/30 - 1/30 = 1/4 टंकी प्रति घंटा।

चूंकि तीनों नल मिलकर एक घंटे में टंकी का 1/4 भाग भरते हैं, इसलिए खाली टंकी का एक-चौथाई भाग भरने के लिए आवश्यक समय (1/4) ÷ (1/4) = 1 घंटा है।