आरआरबी एनटीपीसी सीबीटी 1 2026 Mathematics प्रश्न — हल सहित

व्याख्या

2 वर्ष की अवधि के लिए, चक्रवृद्धि ब्याज और साधारण ब्याज के बीच का अंतर सूत्र द्वारा दिया जाता है: अंतर = P × (r / 100)²

दिए गए मानों को प्रतिस्थापित करने पर: 58 = P × (4 / 100)² 58 = P × (1 / 25)² 58 = P / 625 P = 58 × 625 = 36,250

व्याख्या

n-भुज वाले बहुभुज के आंतरिक कोणों का योग सूत्र (n - 2) × 180° द्वारा दिया जाता है।

(n - 2) × 180° = 2520° n - 2 = 14 n = 16

एक सम n-भुज वाले बहुभुज के प्रत्येक बाह्य कोण का माप 360° / n द्वारा दिया जाता है।

प्रत्येक बाह्य कोण का माप = 360° / 16 = 22.5°

व्याख्या

50 का 16% = (16 × 50) / 100 = 8

व्यंजक के दूसरे भाग के लिए: ∛729 = 9 √25 = 5

इन मानों को पद में प्रतिस्थापित करने पर: (4 / 5) × 9 × 5 = 36

अब, y का मूल्यांकन करने पर: y = 8 - 36 = -28

व्याख्या

मान लीजिए शांत जल में नाव की गति v किमी/घंटा है। धारा की गति 2 किमी/घंटा दी गई है, इसलिए अनुप्रवाह गति v + 2 किमी/घंटा और ऊर्ध्वप्रवाह गति v - 2 किमी/घंटा है।

समय = दूरी / गति का उपयोग करके: 36 / (v + 2) + 24 / (v - 2) = 6

पूरे समीकरण को 6 से विभाजित करने पर: 6 / (v + 2) + 4 / (v - 2) = 1

सरल करने पर: 6(v - 2) + 4(v + 2) = v² - 4 6v - 12 + 4v + 8 = v² - 4 10v = v² v = 10 किमी/घंटा

अनुप्रवाह के लिए लिया गया समय = 36 / (10 + 2) = 36 / 12 = 3.0 घंटे। ऊर्ध्वप्रवाह के लिए लिया गया समय = 24 / (10 - 2) = 24 / 8 = 3.0 घंटे।

व्याख्या

कुल कार्य = LCM(12, 15, 18) = 180 इकाई मान लें।

दैनिक कार्य क्षमता: A की दक्षता = 180 / 12 = 15 इकाई/दिन B की दक्षता = 180 / 15 = 12 इकाई/दिन C की दक्षता = 180 / 18 = 10 इकाई/दिन

चूंकि B हर दिन काम करता है जबकि C और A बारी-बारी से काम करते हैं, C से शुरू करते हुए: पहला दिन (B + C) = 12 + 10 = 22 इकाई दूसरा दिन (B + A) = 12 + 15 = 27 इकाई

1 चक्र (2 दिन) में पूरा हुआ कार्य = 22 + 27 = 49 इकाई। 3 चक्र (6 दिन) में पूरा हुआ कार्य = 3 × 49 = 147 इकाई। शेष कार्य = 180 - 147 = 33 इकाई।

7वें दिन, B और C एक साथ काम करते हैं और 22 इकाई पूरा करते हैं। शेष कार्य = 33 - 22 = 11 इकाई।

8वें दिन, B और A 27 इकाई/दिन की दर से एक साथ काम करते हैं। शेष 11 इकाई के लिए आवश्यक समय = 11 / 27 दिन।

कुल आवश्यक समय = 7 + 11/27 = 7 11/27 दिन।

व्याख्या

मान लीजिए कि P ने वस्तु x में खरीदी थी।

क्रमिक लेनदेन संबंध का उपयोग करके: R द्वारा भुगतान किया गया मूल्य = x × (1 + लाभ%/100) × (1 - हानि%/100)

दिए गए मानों को प्रतिस्थापित करने पर: 3060 = x × (153/100) × (32/100)

3060 को 153 से विभाजित करने पर 20 प्राप्त होता है: 20 = x × (32/10000)

x = (20 × 10000) / 32 = 200000 / 32 = 6250

व्याख्या

बुनियादी त्रिकोणमितीय सर्वसमिकाओं का उपयोग करके दिए गए व्यंजक को सरल बनाना: 4 cot A sec A + 3 = 4 × (cos A / sin A) × (1 / cos A) + 3 = 4 / sin A + 3 = 4 cosec A + 3

दिया गया cosec A = 5/4, इस मान को सरल व्यंजक में प्रतिस्थापित करें: 4 cosec A + 3 = 4 × (5/4) + 3 = 5 + 3 = 8

व्याख्या

शीर्ष (x₁, y₁), (x₂, y₂) और (x₃, y₃) वाले त्रिभुज के केंद्रक (ज्यामितीय केंद्र) के निर्देशांक ((x₁ + x₂ + x₃) / 3, (y₁ + y₂ + y₃) / 3) द्वारा दिए जाते हैं।

x-निर्देशांकों की तुलना करने पर: (9 + 4 + q) / 3 = 5 13 + q = 15 q = 2

y-निर्देशांकों की तुलना करने पर: (5 + p + 4) / 3 = 5 9 + p = 15 p = 6

इससे p = 6 और q = 2 प्राप्त होता है।

व्याख्या

आनुपातिक नियम का उपयोग करके, यदि a:b::c:d, तो a/b = c/d।

3:27::5.6:x के लिए: 3/27 = 5.6/x 1/9 = 5.6/x x = 5.6 × 9 = 50.4

5:35::6:y के लिए: 5/35 = 6/y 1/7 = 6/y y = 6 × 7 = 42

x और y का अनुपात है: x/y = 50.4/42 = 504/420 = 6/5 = 6:5

व्याख्या

A और B की आयु का वर्तमान योग = (24 + 8) × 2 = 64 वर्ष।

A, B और C की आयु का वर्तमान योग = 32 × 3 = 96 वर्ष।

C की वर्तमान आयु = 96 - 64 = 32 वर्ष।

16 साल बाद C की आयु = 32 + 16 = 48 वर्ष।

व्याख्या

प्रथम n विषम धनात्मक पूर्णांकों का योग n² सूत्र द्वारा दिया जाता है। 1 से 100 तक की विषम संख्याएँ 1, 3, 5, ..., 99 हैं, जिससे n = 50 पद मिलते हैं। इस प्रकार, योग 50² = 2500 है।

एक समांतर श्रेणी का योग S = (N / 2) × (a + l) सूत्र द्वारा दिया जाता है, जहाँ N पदों की संख्या है, a पहला पद है, और l अंतिम पद है। 150 से 200 तक की सम संख्याओं के लिए, a = 150, l = 200, और सार्व अंतर d = 2 है। N = (200 - 150) / 2 + 1 = 26। योग = (26 / 2) × (150 + 200) = 13 × 350 = 4550।

वांछित अनुपात 2500 : 4550 = 50 : 91 है।

व्याख्या

मान लीजिए अजय और अमित की मासिक आय क्रमशः 6x और 7x है।

चूंकि व्यय = आय - बचत और प्रत्येक व्यक्ति प्रति माह ₹63,000 बचाता है, इसलिए उनके व्यय का अनुपात इस प्रकार दिया गया है: (6x − 63000) / (7x − 63000) = 2 / 4

2 / 4 को 1 / 2 के रूप में सरल करने और तिरछा गुणा करने पर: 2 × (6x − 63000) = 1 × (7x − 63000) 12x − 126000 = 7x − 63000 5x = 63000 x = 12600

अजय की मासिक आय = 6x = 6 × 12600 = ₹75,600।

व्याख्या

बीजीय सर्वसमिका (x + y)² = x² + 2xy + y² का प्रयोग करके:

(2a + 3b)² = (2a)² + (3b)² + 2(2a)(3b) (2a + 3b)² = 4a² + 9b² + 12ab

विस्तार में 4a² + 9b² = 49 और ab = 6 का मान रखने पर:

(2a + 3b)² = 49 + 12(6) (2a + 3b)² = 49 + 72 (2a + 3b)² = 121

दोनों पक्षों का धनात्मक वर्गमूल लेने पर 2a + 3b = √121 = 11 प्राप्त होता है।

व्याख्या

BODMAS / PEMDAS नियमों का उपयोग करके, पहले भाग और गुणा करें, उसके बाद बाएं से दाएं जोड़ और घटाव करें:

16 + 20 ÷ 4 - 3 × 3 = 16 + 5 - 9 = 21 - 9 = 12

व्याख्या

किसी डेटासेट का बहुलक वह मान होता है जो उच्चतम आवृत्ति के साथ प्रकट होता है। 25 अवलोकनों के दिए गए डेटासेट में, संख्या 7, 4 बार प्रकट होती है, जो सेट में किसी भी अन्य संख्या की तुलना में अधिक आवृत्ति है।

व्याख्या

एक लम्ब वृत्तीय शंकु का कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल (TSA) सूत्र TSA = πr(r + l) द्वारा दिया जाता है, जहाँ r त्रिज्या है और l तिर्यक ऊँचाई है।

दिया गया है: त्रिज्या (r) = 7 सेमी तिर्यक ऊँचाई (l) = 25 सेमी π = 22 / 7

मानों को प्रतिस्थापित करने पर: TSA = (22 / 7) × 7 × (7 + 25) TSA = 22 × 32 TSA = 704 सेमी²

व्याख्या

मीनाक्षी और मीना के निवेश का अनुपात = 12 : 32 = 3 : 8।

कुल अनुपात इकाई = 3 + 8 = 11। अनुपात इकाइयों में अंतर = 8 - 3 = 5।

1 अनुपात इकाई का मान = 2904 / 11 = ₹264।

उनके लाभ के बीच अंतर = 5 × 264 = ₹1,320।

व्याख्या

नए बने घन का आयतन पिघलाए गए तीन घनों के आयतनों के योग के बराबर होता है: V = 1³ + 6³ + 8³ = 1 + 216 + 512 = 729 सेमी³

यदि नए घन की भुजा की लंबाई a है, तो: a³ = 729 a = 9 सेमी

भुजा a वाले घन के मुख्य विकर्ण की लंबाई सूत्र d = a√3 द्वारा दी जाती है। a = 9 रखने पर विकर्ण 9√3 सेमी प्राप्त होता है।

व्याख्या

पहले नल द्वारा भरने की दर = +1/4 प्रति घंटा दूसरे नल द्वारा भरने की दर = +1/26 प्रति घंटा तीसरे नल द्वारा खाली करने की दर = -1/26 प्रति घंटा

जब तीनों नल एक साथ खोले जाते हैं तो शुद्ध भरने की दर = 1/4 + 1/26 - 1/26 = 1/4 टंकी प्रति घंटा।

टंकी का 1/4 भाग भरने के लिए आवश्यक समय = (1/4) / (1/4) = 1 घंटा।

व्याख्या

दी गई संख्याओं का अभाज्य गुणनखंडन: 64 = 2⁶ 128 = 2⁷ 4480 = 2⁷ × 5¹ × 7¹

चूंकि 64 और 128 में 5 या 7 के गुणनखंड नहीं हैं, A में 5¹ और 7¹ दोनों होने चाहिए। A में 2 की घात 2⁰ से 2⁷ तक कोई भी घात हो सकती है, क्योंकि 128 पहले से ही लघुत्तम समापवर्त्य में 2⁷ का योगदान देता है।

इस प्रकार, A = 2ᵏ × 5 × 7 = 35 × 2ᵏ, जहाँ 0 ≤ k ≤ 7 है।

A का न्यूनतम संभव मान तब होता है जब k = 0: A_min = 35 × 2⁰ = 35

A का अधिकतम संभव मान तब होता है जब k = 7: A_max = 35 × 2⁷ = 4480

A के अधिकतम और न्यूनतम मानों के बीच का अंतर = 4480 - 35 = 4445

व्याख्या

किसी द्विघात समीकरण ax² + bx + c = 0 के समान मूल होने के लिए, उसका विविक्तकर D = b² - 4ac शून्य के बराबर होना चाहिए।

दिए गए समीकरण x² - (2 + h)x + (h² - 4h + 4) = 0 में, गुणांक हैं: a = 1 b = -(2 + h) c = h² - 4h + 4

इनको D = 0 में प्रतिस्थापित करने पर: [-(2 + h)]² - 4(1)(h² - 4h + 4) = 0 (4 + 4h + h²) - (4h² - 16h + 16) = 0 -3h² + 20h - 12 = 0 3h² - 20h + 12 = 0

समीकरण का गुणनखंड करने पर: 3h² - 18h - 2h + 12 = 0 3h(h - 6) - 2(h - 6) = 0 (3h - 2)(h - 6) = 0

अतः, h = 2/3 या h = 6।

व्याख्या

प्रति सदस्य खर्च की गई समग्र औसत राशि भारित औसत सूत्र द्वारा दी जाती है:

भारित औसत = (n₁ × A₁ + n₂ × A₂ + n₃ × A₃) / (n₁ + n₂ + n₃)

दिए गए मानों को प्रतिस्थापित करने पर:

खर्च की गई कुल राशि = (25 × 101) + (32 × 249) + (31 × 269) खर्च की गई कुल राशि = 2525 + 7968 + 8339 = 18832

सदस्यों की कुल संख्या = 25 + 32 + 31 = 88

समग्र औसत = 18832 / 88 = 214

व्याख्या

मान लीजिए CP और SP एक पुस्तक का क्रय मूल्य और विक्रय मूल्य क्रमशः हैं।

25 × SP = 19 × CP SP / CP = 19 / 25

चूंकि SP < CP, इसलिए हानि है।

हानि % = [(CP - SP) / CP] × 100 हानि % = [(25 - 19) / 25] × 100 = (6 / 25) × 100 = 24%

व्याख्या

किसी संख्या k के पहले n गुणजों का औसत सूत्र द्वारा दिया जाता है: औसत = k × (n + 1) ÷ 2.

यहाँ, k = 9 और n = 13.

दिए गए मानों को प्रतिस्थापित करने पर: औसत = 9 × (13 + 1) ÷ 2 औसत = 9 × 14 ÷ 2 औसत = 9 × 7 = 63.

वैकल्पिक रूप से, क्योंकि 9 के गुणज एक समांतर श्रेणी बनाते हैं, औसत मध्य (7वें) पद के बराबर होता है: 9 × 7 = 63.

व्याख्या

जब कोई धनराशि साधारण ब्याज के तहत n गुना हो जाती है, तो ब्याज की दर का सूत्र R = [(n - 1) × 100] / T है, जहाँ n गुणक है और T वर्षों में समय है।

यहाँ, n = 5 और T = 16 वर्ष हैं।

मानों को प्रतिस्थापित करने पर: R = [(5 - 1) × 100] / 16 R = (4 × 100) / 16 R = 400 / 16 = 25% प्रति वर्ष।

व्याख्या

समूहबद्ध आँकड़ों के लिए बहुलक की गणना सूत्र का उपयोग करके की जाती है: बहुलक = L + [(f₁ - f₀) / (2f₁ - f₀ - f₂)] × h

दिए गए आँकड़ों से, वर्ग अंतराल 50-60 में 35 की उच्चतम आवृत्ति है, जो इसे बहुलक वर्ग बनाती है।

यहाँ, बहुलक वर्ग की निम्न सीमा (L) = 50, बहुलक वर्ग की आवृत्ति (f₁) = 35, पूर्ववर्ती वर्ग की आवृत्ति (f₀) = 26, अनुवर्ती वर्ग की आवृत्ति (f₂) = 20, और वर्ग चौड़ाई (h) = 10 है।

सूत्र में मानों को प्रतिस्थापित करने पर: बहुलक = 50 + [(35 - 26) / (2 × 35 - 26 - 20)] × 10 बहुलक = 50 + [9 / (70 - 46)] × 10 बहुलक = 50 + (9 / 24) × 10 बहुलक = 50 + 3.75 बहुलक = 53.75

व्याख्या

धारा के साथ गति = 72 किमी / 8 घंटे = 9 किमी/घंटा धारा के विपरीत गति = 72 किमी / 12 घंटे = 6 किमी/घंटा

शांत जल में नाव की गति = (धारा के साथ गति + धारा के विपरीत गति) / 2 = (9 + 6) / 2 = 7.5 किमी/घंटा

धारा की गति = (धारा के साथ गति - धारा के विपरीत गति) / 2 = (9 - 6) / 2 = 1.5 किमी/घंटा

व्याख्या

P 1 चक्कर पूरा करने में 40 ÷ 5 = 8 मिनट लेता है, जिससे P की गति ⅛ चक्कर प्रति मिनट हो जाती है।

P द्वारा 6 चक्कर पूरा करने में लिया गया समय = 6 × 8 = 48 मिनट। चूंकि R 48 मिनट में 7 चक्कर पूरा करता है, R की गति 7/48 चक्कर प्रति मिनट है।

जब एक ही दिशा में चल रहे हों, तो सापेक्ष गति = 7/48 - ⅛ = 1/48 चक्कर प्रति मिनट।

व्यास के विपरीत सिरों से शुरू करते हुए, उनके बीच की दूरी ½ चक्कर है।

मिलने का समय = दूरी ÷ सापेक्ष गति = ½ ÷ (1/48) = 24 मिनट।

व्याख्या

प्रत्येक लेख का क्रय मूल्य = ₹2300।

X का विक्रय मूल्य = क्रय मूल्य + लाभ = 2300 + 460 = ₹2760।

माना अंकित मूल्य M है। 46% और 68% की दो क्रमिक छूट के बाद X का विक्रय मूल्य इस प्रकार दिया गया है: X का विक्रय मूल्य = M × (1 - 0.46) × (1 - 0.68) = M × 0.54 × 0.32 = 0.1728M

इसलिए, 0.1728M = 2760, जिससे M = 2760 / 0.1728 प्राप्त होता है।

लेख Y को 73% की एकल छूट पर बेचा जाता है, इसलिए इसका विक्रय मूल्य है: Y का विक्रय मूल्य = M × (1 - 0.73) = 0.27M Y का विक्रय मूल्य = 0.27 × (2760 / 0.1728) = 2760 × (2700 / 1728) = 2760 × (25 / 16) = ₹4312.5

Y पर लाभ = विक्रय मूल्य - क्रय मूल्य = 4312.5 - 2300 = ₹2012.5।

Y पर लाभ प्रतिशत = (2012.5 / 2300) × 100 = 87.5%

व्याख्या

राशि A = P × (1 + R/100)ⁿ

दिया गया है: मूलधन (P) = ₹28,450 ब्याज दर (R) = 20% समय (n) = 2 वर्ष

सूत्र में मान रखने पर: A = 28,450 × (1 + 20/100)² A = 28,450 × (6/5)² A = 28,450 × (36 / 25) A = 1,138 × 36 A = ₹40,968

व्याख्या

मान लीजिए a = 732 और b = 268।

सर्वसमिका a³ + b³ = (a + b)(a² - ab + b²) का प्रयोग करके, अंश बन जाता है: a³ + b³ = (732 + 268)(732² - 732 × 268 + 268²) = 1000 × (732² - 732 × 268 + 268²)

चूंकि 73.2 = a / 10 और 26.8 = b / 10, हर सरल हो जाता है: (a / 10)² + (b / 10)² - (a / 10)(b / 10) = (a² - ab + b²) / 100

अंश को हर से विभाजित करने पर: [1000 × (a² - ab + b²)] / [(a² - ab + b²) / 100] = 1000 × 100 = 100000

व्याख्या

धागे, ऊंचाई और जमीन द्वारा बनाए गए समकोण त्रिभुज में:

ऊंचाई = धागे की लंबाई × sin(θ)

दिए गए मानों को प्रतिस्थापित करने पर: ऊंचाई = 24.4 × sin(30°) ऊंचाई = 24.4 × ½ = 12.2 मीटर

व्याख्या

मिश्रित भिन्नों और दशमलव को सरल भिन्नों में बदलें: 5 1/6 = 31/6 6.2 = 31/5 0.75 = 3/4

सबसे पहले, कोष्ठक के अंदर के व्यंजक का मान निकालें: (1/5 × 40) = 8

अब, बाएं से दाएं भाग और गुणा करें: 31/6 ÷ 31/5 × 3/4 ÷ 8 = (31/6 × 5/31) × 3/4 ÷ 8 = 5/6 × 3/4 ÷ 8 = 5/8 ÷ 8 = 5/8 × 1/8 = 5/64

व्याख्या

जब दो द्विघात समीकरण A₁x² + B₁x + C₁ = 0 और A₂x² + B₂x + C₂ = 0 के दोनों मूल समान होते हैं, तो उनके संगत गुणांक आनुपातिक होते हैं:

A₁/A₂ = B₁/B₂ = C₁/C₂

दिए गए मानों को प्रतिस्थापित करने पर: (a² - 7a) / 240 = 1 / 8 = 12 / (a² - 4)

(a² - 7a) / 240 = 1/8 को हल करने पर: a² - 7a = 30 a² - 7a - 30 = 0 (a - 10)(a + 3) = 0

चूंकि 'a' एक धनात्मक पूर्णांक है, इसलिए a = 10।

अचर पद अनुपात से सत्यापन: 12 / (10² - 4) = 12 / 96 = 1/8, जो सत्य है।

a = 10 के लिए दिए गए व्यंजक का मूल्यांकन: (a + 2)(a + 3) / (a - 4) = (10 + 2)(10 + 3) / (10 - 4) = (12 × 13) / 6 = 26

व्याख्या

कुल लाभ प्रतिशत के लिए भारित औसत विधि का उपयोग करके:

भारित लाभ % = Σ (भार × लाभ या हानि %) ÷ कुल भार

मान लीजिए माल की कुल मात्रा 100 इकाई है।

पहला बैच = 100 का 50% = 50 इकाई 16% लाभ पर दूसरा बैच = शेष 50 इकाई का 40% = 20 इकाई 35% लाभ पर तीसरा बैच = शेष 100 - (50 + 20) = 30 इकाई 25% हानि पर

कुल लाभ % x = (50 × 16 + 20 × 35 + 30 × (-25)) ÷ 100 x = (800 + 700 - 750) ÷ 100 x = 750 ÷ 100 = 7.5

व्याख्या

मान लीजिए क्रय मूल्य 100 है।

चूंकि अंकित मूल्य क्रय मूल्य से 180% अधिक निर्धारित किया गया है: अंकित मूल्य = 100 + 180 = 280

12% लाभ के लिए, विक्रय मूल्य होना चाहिए: विक्रय मूल्य = 100 + 12 = 112

छूट राशि = अंकित मूल्य - विक्रय मूल्य = 280 - 112 = 168

छूट प्रतिशत = (छूट / अंकित मूल्य) × 100 छूट प्रतिशत = (168 / 280) × 100 = 60%

व्याख्या

प्रति दर्जन क्रय मूल्य (CP) = ₹100

चूंकि 1 दर्जन = 12 वस्तुएँ, प्रति दर्जन विक्रय मूल्य (SP) = 12 × 75 = ₹900

प्रति दर्जन लाभ = SP - CP = 900 - 100 = ₹800

लाभ प्रतिशत = (लाभ / CP) × 100 = (800 / 100) × 100 = 800%

व्याख्या

औसत = मानों का योग / मानों की कुल संख्या

योग = 312 + 126 + 100 + 99 = 637 कुल संख्या = 4

औसत = 637 / 4 = 159.25

व्याख्या

कुल औसत की गणना भारित औसत सूत्र का उपयोग करके की जाती है:

भारित औसत = (n₁A₁ + n₂A₂ + n₃A₃) / (n₁ + n₂ + n₃)

समूह A, B और C में सदस्यों का अनुपात 72 : 12 : 87 = 24 : 4 : 29 है।

कुल औसत = (24 × 404 + 4 × 316 + 29 × 424) / (24 + 4 + 29) = (9696 + 1264 + 12296) / 57 = 23256 / 57 = 408

व्याख्या

दिए गए प्रतिशत संबंधों को गणितीय रूप से व्यक्त करना:

A के 75% का 160% = (1.6) × (0.75) × A = 1.2 A

B के 150% का दोगुना = 2 × 1.5 × B = 3 B

दोनों मानों को बराबर करना: 1.2 A = 3 B A / B = 3 / 1.2 = 2.5

यह ज्ञात करने के लिए कि A, B से कितने प्रतिशत अधिक है: प्रतिशत वृद्धि = ((A - B) / B) × 100 = ((2.5 - 1) / 1) × 100 = 150%

व्याख्या

द्रव स्तंभ के आधार पर हाइड्रोस्टेटिक दाब का सूत्र P = ρgh है, जहाँ ρ द्रव का घनत्व है, g गुरुत्वाकर्षण के कारण त्वरण है, और h स्तंभ की ऊँचाई है।

पानी के घनत्व को SI इकाइयों में परिवर्तित करना: ρ = 1 kg/litre = 1000 kg/m³

दिए गए मानों को सूत्र में प्रतिस्थापित करना: P = 1000 kg/m³ × 9.8 m/s² × 20 m = 1,96,000 Pa

व्याख्या

ऊपर से खुले घनाभाकार बक्से का आंतरिक पृष्ठीय क्षेत्रफल आधार के क्षेत्रफल और चार दीवारों के क्षेत्रफल के योग के बराबर होता है:

पृष्ठीय क्षेत्रफल = lb + 2h(l + b)

दिया गया है लंबाई l = 8 सेमी, चौड़ाई b = 17 सेमी, और ऊँचाई h = 22 सेमी:

आधार का क्षेत्रफल = 8 × 17 = 136 सेमी² 4 दीवारों का क्षेत्रफल = 2 × 22 × (8 + 17) = 44 × 25 = 1100 सेमी²

कुल आंतरिक पृष्ठीय क्षेत्रफल = 136 + 1100 = 1236 सेमी²

व्याख्या

दिए गए LCM मानों को अभाज्य गुणनखंडन रूप में व्यक्त करें: lcm(A, B) = 24 = 2³ × 3¹ lcm(B, C) = 36 = 2² × 3² lcm(C, A) = 72 = 2³ × 3²

मान लीजिए A = 2ᵃ × 3ˣ, B = 2ᵇ × 3ʸ, और C = 2ᶜ × 3ᶻ।

2 की घातों के लिए: max(a, b) = 3, max(b, c) = 2, और max(c, a) = 3। चूंकि max(b, c) = 2 है, इसलिए न तो b और न ही c, 2 से अधिक हो सकते हैं। अतः, a का मान 3 होना चाहिए। max(b, c) = 2 को संतुष्ट करने के लिए, b या c में से कम से कम एक का मान 2 होना चाहिए।

3 की घातों के लिए: max(x, y) = 1, max(y, z) = 2, और max(z, x) = 2। चूंकि max(x, y) = 1 है, इसलिए न तो x और न ही y, 1 से अधिक हो सकते हैं। अतः, z का मान 2 होना चाहिए। max(x, y) = 1 को संतुष्ट करने के लिए, x या y में से कम से कम एक का मान 1 होना चाहिए।

A + B + C के योग को न्यूनतम करने के लिए: x = 0 सेट करें, जिससे y = 1 हो जाता है और A = 2³ × 3⁰ = 8 प्राप्त होता है। c = 0 सेट करें, जिससे b = 2 हो जाता है और C = 2⁰ × 3² = 9 प्राप्त होता है। b = 2 और y = 1 के साथ, B = 2² × 3¹ = 12 प्राप्त होता है।

न्यूनतम मान A = 8, B = 12, और C = 9 हैं। A + B + C = 8 + 12 + 9 = 29

व्याख्या

समूहबद्ध आँकड़ों की माध्यिका का सूत्र है: माध्यिका = L + [(N/2 - cf) / f] × h।

कुल बारंबारता N = 11 + 18 + 28 + 15 + 22 + 31 + 13 = 138, जिससे N/2 = 69 प्राप्त होता है।

अंतरालों के लिए संचयी बारंबारताएँ हैं: 11 (20-30 के लिए), 29 (30-40), 57 (40-50), 72 (50-60), 94 (60-70), 125 (70-80), और 138 (80-90)।

माध्यिका वर्ग 50-60 है, क्योंकि इसकी संचयी बारंबारता (72) पहली बार 69 से अधिक है।

यहाँ, निम्न सीमा L = 50, पूर्ववर्ती संचयी बारंबारता cf = 57, माध्यिका वर्ग की बारंबारता f = 15, और वर्ग चौड़ाई h = 10 है।

माध्यिका = 50 + [(69 - 57) / 15] × 10 = 50 + (12 / 15) × 10 = 50 + 8 = 58

व्याख्या

मान लीजिए पिता और पुत्र की वर्तमान आयु क्रमशः F और S है।

छह साल बाद: F + 6 = 3(S + 6) F - 3S = 12

छह साल पहले: F - 6 = 7(S - 6) F - 7S = -36

दूसरे समीकरण को पहले समीकरण से घटाने पर: 4S = 48 S = 12

F - 3S = 12 में S = 12 रखने पर F = 48 प्राप्त होता है।

व्याख्या

व्यंजक के प्रत्येक भाग को सरल करें:

80 का 30% = (30 / 100) × 80 = 24

∛729 = 9

√49 = 7

इन मानों को दिए गए समीकरण में प्रतिस्थापित करें: y = 24 - (4 / 7) × 9 × 7

गुणा को सरल करें: y = 24 - 4 × 9 y = 24 - 36 y = -12

व्याख्या

1 पृष्ठ टाइप करने में लगा समय = 40 ÷ 2 = 20 मिनट।

91 पृष्ठ टाइप करने के लिए आवश्यक कुल समय = 91 × 20 = 1820 मिनट।

व्याख्या

दीवार, जमीन और सीढ़ी द्वारा बनाए गए समकोण त्रिभुज में, cos(θ) = आधार / कर्ण होता है, जहाँ आधार सीढ़ी के पाद की दीवार से दूरी है और कर्ण सीढ़ी की लंबाई (L) है।

cos(60°) = 11.5 / L ½ = 11.5 / L L = 11.5 × 2 = 23 मीटर

व्याख्या

दिए गए व्यंजक का चरण-दर-चरण मूल्यांकन:

20 का 45% = (45 ÷ 100) × 20 = 9

∛729 = 9

√36 = 6

इन मानों को दूसरे पद में प्रतिस्थापित करना: (4 / 6) × ∛729 × √36 = (4 / 6) × 9 × 6 = 36

दूसरे पद को पहले पद से घटाना: y = 9 - 36 = -27

व्याख्या

किसी भी गैर-शून्य वास्तविक संख्या a के लिए, a⁵ + 1/a⁵ का बीजगणितीय विस्तार इस प्रकार दिया गया है: a⁵ + 1/a⁵ = (a² + 1/a²)(a³ + 1/a³) - (a + 1/a)

दिया गया है a + 1/a = 4: a² + 1/a² = (a + 1/a)² - 2 = 4² - 2 = 14 a³ + 1/a³ = (a + 1/a)³ - 3(a + 1/a) = 4³ - 3(4) = 52

इन मानों को मुख्य सर्वसमिका में प्रतिस्थापित करने पर: a⁵ + 1/a⁵ = 14 × 52 - 4 = 728 - 4 = 724