एक चतुर्भुज ABCD का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए जिसका क्षेत्रफल त्रिभुज PQR के क्षेत्रफल का दोगुना है। त्रिभुज PQR की भुजाएँ 4:5:6 के अनुपात में हैं और त्रिभुज का परिमाप 90 सेमी है (√7 = 2.6 का प्रयोग करें)।
● सही
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उत्तर: (B) 702 सेमी²
व्याख्या
त्रिभुज PQR की भुजाओं का अनुपात 4:5:6 है, इसलिए भुजाएँ 4x, 5x और 6x हैं।
परिमाप = 4x + 5x + 6x = 15x = 90 सेमी, जिससे x = 6 सेमी प्राप्त होता है।
भुजाओं की लंबाई a = 24 सेमी, b = 30 सेमी और c = 36 सेमी है।
अर्ध-परिमाप s = (24 + 30 + 36) / 2 = 45 सेमी।
त्रिभुज PQR के क्षेत्रफल के लिए हेरॉन के सूत्र का उपयोग करके:
क्षेत्रफल(PQR) = √(s(s - a)(s - b)(s - c))
क्षेत्रफल(PQR) = √(45 × (45 - 24) × (45 - 30) × (45 - 36))
क्षेत्रफल(PQR) = √(45 × 21 × 15 × 9) = 135√7 सेमी²
चतुर्भुज ABCD का क्षेत्रफल त्रिभुज PQR के क्षेत्रफल का दोगुना है:
क्षेत्रफल(ABCD) = 2 × 351 = 702 सेमी²
2Mathematics
एक संख्या का 20% , 620 के 20% से 210 अधिक है। वह संख्या है:
● सही
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उत्तर: (C) 1670
व्याख्या
मान लीजिए वह संख्या x है।
620 का 20% = 0.20 × 620 = 124
दी गई शर्त के अनुसार:
x का 20% - 124 = 210
0.20x = 210 + 124
0.20x = 334
x = 334 / 0.20 = 1670
3Mathematics
आनंद के पास ₹1407 हैं। वह इस राशि को अपने दो बेटों, अनिल और अशोक, के बीच बाँटता है और उनसे अपने-अपने हिस्से को 10% प्रति वर्ष की चक्रवृद्धि ब्याज दर पर निवेश करने के लिए कहता है, जो वार्षिक रूप से संयोजित होता है। यह देखा गया है कि 15 वर्षों के बाद अनिल के निवेश का मान उतना ही है जितना 16 वर्षों के बाद अशोक के निवेश का है। आनंद ने अशोक को कितने (₹ में) दिए?
● सही
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उत्तर: (D) 670
व्याख्या
चक्रवृद्धि ब्याज सूत्र A = P(1 + r/100)ⁿ का उपयोग करके, 15 वर्षों के बाद अनिल की राशि को 16 वर्षों के बाद अशोक की राशि के बराबर करें:
अनिल × (1 + 10/100)¹⁵ = अशोक × (1 + 10/100)¹⁶
दोनों पक्षों को (1 + 10/100)¹⁵ से विभाजित करने पर प्राप्त होता है:
अनिल / अशोक = 1 + 10/100 = 11/10
अनिल के हिस्से और अशोक के हिस्से का अनुपात 11 : 10 है।
कुल भाग = 11 + 10 = 21 भाग।
1 भाग का मान = 1407 / 21 = ₹67।
अशोक का हिस्सा = 10 × ₹67 = ₹670।
4Mathematics
13 संख्याओं का औसत 8 है। यदि प्रत्येक संख्या को 7 से गुणा किया जाए, तो नया औसत क्या होगा:
● सही
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उत्तर: (C) 56
व्याख्या
यदि किसी डेटासेट में प्रत्येक अवलोकन को एक स्थिरांक k से गुणा किया जाता है, तो नया औसत मूल औसत को k से गुणा करने के बराबर होता है।
नया औसत = मूल औसत × k
दिया गया है कि 13 संख्याओं का मूल औसत 8 है और प्रत्येक संख्या को 7 से गुणा किया गया है:
नया औसत = 8 × 7 = 56
5Mathematics
यदि (y - 12) = 4√5 है, तो √(y - 3) - (1)/(√(y - 3)) का मान ज्ञात कीजिए।
● सही
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उत्तर: (B) 4
व्याख्या
दिया गया है y - 12 = 4√5, दोनों पक्षों में 9 जोड़ने पर:
y - 3 = 9 + 4√5
हम 9 + 4√5 को एक पूर्ण वर्ग के रूप में पुनः लिख सकते हैं:
y - 3 = (√5)² + (2)² + 2(2)(√5) = (√5 + 2)²
दोनों पक्षों का वर्गमूल लेने पर:
√(y - 3) = √5 + 2
इन मानों को दिए गए व्यंजक में प्रतिस्थापित करने पर:
√(y - 3) - 1/√(y - 3) = (√5 + 2) - (√5 - 2) = 4
6Mathematics
गिरीश ने एक परीक्षा में 572 अंक प्राप्त किए और अधिकतम अंकों के 28% से 30 अंक कम थे। उसी परीक्षा में, उसके दोस्त ने 473 अंक प्राप्त किए। उसके दोस्त द्वारा प्राप्त अंकों का प्रतिशत कितना है?
● सही
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उत्तर: (A) 22%
व्याख्या
मान लीजिए परीक्षा में अधिकतम अंक M हैं।
प्रश्न के अनुसार:
M का 28% - 30 = 572
0.28 × M = 572 + 30 = 602
M = 602 / 0.28 = 2150
उसके दोस्त द्वारा प्राप्त अंकों का प्रतिशत:
(473 / 2150) × 100% = 22%
7Mathematics
दो नल एक टंकी को क्रमशः 4 घंटे और 38 घंटे में भर सकते हैं। एक तीसरा नल इसे 38 घंटे में खाली कर सकता है। यदि तीनों नल एक साथ खोल दिए जाएं, तो खाली टंकी का एक-चौथाई भाग भरने में कितना समय (घंटों में) लगेगा?
● सही
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उत्तर: (A) 1
व्याख्या
पहले नल की दर = +1/4 टंकी प्रति घंटा
दूसरे नल की दर = +1/38 टंकी प्रति घंटा
तीसरे नल की दर = -1/38 टंकी प्रति घंटा
जब तीनों नल एक साथ खोले जाते हैं, तो प्रति घंटा भरने की शुद्ध दर है:
शुद्ध दर = 1/4 + 1/38 - 1/38 = 1/4 टंकी प्रति घंटा
खाली टंकी का 1/4 भाग भरने के लिए आवश्यक समय = (भरा जाने वाला अंश) / (शुद्ध दर)
समय = (1/4) / (1/4) = 1 घंटा
8Mathematics
यदि किसी आँकड़े का माध्यक उसके बहुलक से 61.54 कम है, तो उस आँकड़े का माध्यक उसके माध्य से ______ अधिक है। (उत्तर ज्ञात करने के लिए आनुभविक सूत्र का प्रयोग करें)
● सही
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उत्तर: (C) 30.77
व्याख्या
माध्य, माध्यक और बहुलक से संबंधित आनुभविक सूत्र है:
बहुलक = 3 × माध्यक - 2 × माध्य
दोनों पक्षों से माध्यक घटाने पर सूत्र को इस प्रकार पुनर्व्यवस्थित किया जाता है:
बहुलक - माध्यक = 2 × (माध्यक - माध्य)
दिया गया है कि माध्यक बहुलक से 61.54 कम है, अर्थात् बहुलक - माध्यक = 61.54। इस मान को सूत्र में प्रतिस्थापित करने पर प्राप्त होता है:
60 किमी/घंटा की गति से यात्रा कर रही एक ट्रेन, 84 किमी/घंटा की गति से विपरीत दिशा में यात्रा कर रही दूसरी ट्रेन को 30 सेकंड में पार करती है। दोनों ट्रेनों की संयुक्त लंबाई (मीटर में) कितनी है?
● सही
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उत्तर: (C) 1200
व्याख्या
जब दो ट्रेनें विपरीत दिशाओं में चलती हैं, तो उनकी सापेक्ष गति उनकी व्यक्तिगत गतियों का योग होती है:
सापेक्ष गति = 60 किमी/घंटा + 84 किमी/घंटा = 144 किमी/घंटा
सापेक्ष गति को मीटर प्रति सेकंड में परिवर्तित करना:
144 × (5/18) = 40 मी/से
दोनों ट्रेनों की संयुक्त लंबाई इस सापेक्ष गति से 30 सेकंड में तय की गई दूरी के बराबर होती है:
संयुक्त लंबाई = सापेक्ष गति × समय = 40 मी/से × 30 से = 1200 मी
10Mathematics
एक नाव को धारा के साथ 36 किमी जाने में उतना ही समय लगता है जितना धारा के विपरीत 24 किमी जाने में लगता है। यदि धारा की गति 3 किमी/घंटा है, तो शांत जल में नाव की गति क्या है?
● सही
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उत्तर: (A) 15 किमी/घंटा
व्याख्या
मान लीजिए शांत जल में नाव की गति v किमी/घंटा है। धारा की गति 3 किमी/घंटा है।
धारा के साथ गति = (v + 3) किमी/घंटा
धारा के विपरीत गति = (v - 3) किमी/घंटा
चूंकि समय = दूरी / गति, और दोनों यात्राओं के लिए लिया गया समय बराबर है:
36 / (v + 3) = 24 / (v - 3)
अंशों को 12 से विभाजित करने पर:
3 / (v + 3) = 2 / (v - 3)
एक मीनार जमीन पर लंबवत खड़ी है। मीनार के पाद (foot) से 28.6 मीटर की दूरी पर जमीन पर स्थित एक बिंदु से, मीनार के शीर्ष का उन्नयन कोण 45° पाया गया है। मीनार की ऊंचाई ज्ञात कीजिए।
● सही
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उत्तर: (B) 28.6 मीटर
व्याख्या
मीनार, जमीन और दृष्टि रेखा द्वारा बनाए गए समकोण त्रिभुज में:
tan(θ) = ऊंचाई / दूरी
दिया गया है θ = 45° और दूरी = 28.6 मीटर:
tan(45°) = ऊंचाई / 28.6
निम्नलिखित वितरण के माध्य अंक हैं:
प्राप्त अंक | छात्रों की संख्या
81 | 15
35 | 4
73 | 3
56 | 16
● सही
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उत्तर: (C) 65
व्याख्या
एक विविक्त बारंबारता वितरण का माध्य अंक (x̄) निम्न सूत्र का उपयोग करके परिकलित किया जाता है:
x̄ = Σ(f × x) / Σf
अंकों और छात्रों की संख्या के गुणनफलों का योग:
Σ(f × x) = (81 × 15) + (35 × 4) + (73 × 3) + (56 × 16)
Σ(f × x) = 1215 + 140 + 219 + 896 = 2470
छात्रों की कुल संख्या:
Σf = 15 + 4 + 3 + 16 = 38
माध्य की गणना:
x̄ = 2470 / 38 = 65
13Mathematics
A के लिए वह अधिकतम मान क्या होना चाहिए ताकि 8-अंकीय संख्या 816A0408, 4 से विभाज्य हो?
● सही
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उत्तर: (C) 9
व्याख्या
कोई संख्या 4 से विभाज्य होती है यदि उसके अंतिम दो अंकों से बनी संख्या 4 से विभाज्य हो। 8-अंकीय संख्या 816A0408 में, अंतिम दो अंक 08 हैं। चूँकि 8, 4 से विभाज्य है, इसलिए अंक A के मान पर ध्यान दिए बिना पूरी संख्या 4 से विभाज्य है। चूँकि A, 0 से 9 तक कोई भी एकल अंक हो सकता है, इसका अधिकतम संभव मान 9 है।
14Mathematics
मूल्यांकन करें: (-9) - (-56) ÷ (-14) + (-4) × 7
● सही
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उत्तर: (B) -41
व्याख्या
संचालन के मानक क्रम (BODMAS/PEMDAS) का उपयोग करके, पहले बाएं से दाएं भाग और गुणा की गणना करें, उसके बाद जोड़ और घटाव करें:
पहले, भाग और गुणा पदों की गणना करें:
(-56) ÷ (-14) = 4
(-4) × 7 = -28
तीन दोस्तों X, Y और Z ने 4 : 2 : 5 के अनुपात में धन का निवेश करके एक व्यवसाय शुरू किया। 6 महीने बाद, X अपनी पूंजी का आधा निकाल लेता है। यदि Z द्वारा निवेश की गई राशि ₹23,000 है, तो ₹37,000 के कुल वार्षिक लाभ में से, X और Y के लाभ के बीच क्या अंतर है?
● सही
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उत्तर: (A) 3700
व्याख्या
लाभ को प्रत्येक साझेदार के लिए पूंजी और समय के गुणनफल के अनुपात में साझा किया जाता है।
मान लीजिए X, Y और Z का प्रारंभिक मासिक निवेश क्रमशः 4x, 2x और 5x है।
12 महीनों के लिए प्रभावी निवेश:
X = (4x × 6) + (2x × 6) = 36x
Y = 2x × 12 = 24x
Z = 5x × 12 = 60x
लाभ साझाकरण अनुपात (X : Y : Z) = 36 : 24 : 60 = 3 : 2 : 5
कुल लाभ अनुपात भाग = 3 + 2 + 5 = 10 भाग
X और Y के लाभ हिस्से के बीच अंतर = 3 - 2 = 1 भाग
लाभ में अंतर = (1 / 10) × ₹37,000 = ₹3,700
16Mathematics
वर्तमान में, शरद अपने पुत्र से तीन गुना बड़ा है, और उसकी पुत्री पुत्र से 3 वर्ष छोटी है। यदि 3 वर्ष पूर्व इन तीनों व्यक्तियों की आयु का योग 63 वर्ष था, तो शरद की वर्तमान आयु (वर्षों में) है:
● सही
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उत्तर: (C) 45
व्याख्या
मान लीजिए पुत्र की वर्तमान आयु x वर्ष है। तब, शरद की वर्तमान आयु 3x वर्ष है और उसकी पुत्री की वर्तमान आयु (x - 3) वर्ष है।
उनकी वर्तमान आयु का योग 3x + x + (x - 3) = 5x - 3 है।
चूंकि 3 वर्ष पूर्व प्रत्येक व्यक्ति 3 वर्ष छोटा था, इसलिए उनकी आयु का योग 3 × 3 = 9 वर्ष कम हो गया था:
(5x - 3) - 9 = 63
5x - 12 = 63
5x = 75
x = 15
शरद की वर्तमान आयु = 3x = 3 × 15 = 45 वर्ष।
17Mathematics
एक सम षट्भुज का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए जिसकी भुजा 14√3 सेमी है।
● सही
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उत्तर: (C) 882√3 सेमी²
व्याख्या
एक सम षट्भुज का क्षेत्रफल = (3√3 / 2) × a², जहाँ a भुजा की लंबाई है।
दिया गया है a = 14√3 सेमी:
a² = (14√3)² = 196 × 3 = 588 सेमी²
किसी वस्तु को उसके वास्तविक विक्रय मूल्य के ⁶⁄₁₅ पर बेचने पर, हितेश को 28% की हानि होती है।
यदि वह उसे उसके वास्तविक विक्रय मूल्य के 89% पर बेचता है, तो लाभ प्रतिशत है
● सही
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उत्तर: (C) 60.2%
व्याख्या
मान लीजिए वास्तविक विक्रय मूल्य S और क्रय मूल्य C है।
वस्तु को उसके वास्तविक विक्रय मूल्य के 6/15 (या 2/5) पर बेचने पर 28% की हानि होती है:
(2/5) × S = C का (100 - 28)%
0.4 × S = 0.72 × C
S = (0.72 / 0.4) × C = 1.8 C
जब वास्तविक विक्रय मूल्य के 89% पर बेचा जाता है, तो नया विक्रय मूल्य है:
नया SP = 0.89 × S = 0.89 × 1.8 C = 1.602 C
लाभ प्रतिशत = [(1.602 C - C) / C] × 100 = 0.602 × 100 = 60.2%
19Mathematics
यदि द्विघात समीकरण A(8x² + 4) + Bx + 4x² - 8 = 0 और 3A(2x² + 1) + Kx + 3x² - 6 = 0 के दोनों मूल उभयनिष्ठ (common) हैं, तो 9B² - 16K² का मान क्या है?
● सही
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उत्तर: (D) 0
व्याख्या
जब दो द्विघात समीकरण a₁x² + b₁x + c₁ = 0 और a₂x² + b₂x + c₂ = 0 के दोनों मूल उभयनिष्ठ होते हैं, तो उनके संगत गुणांकों का अनुपात बराबर होता है: a₁/a₂ = b₁/b₂ = c₁/c₂।
दिए गए समीकरणों को मानक रूप में पुनर्व्यवस्थित करने पर:
(8A + 4)x² + Bx + (4A - 8) = 0
(6A + 3)x² + Kx + (3A - 6) = 0
उभयनिष्ठ मूल की शर्त लागू करने पर:
(8A + 4)/(6A + 3) = B/K = (4A - 8)/(3A - 6)
त्रिभुज PQR में, ∠ QOR = 130° है, जहाँ O त्रिभुज PQR का अंतःकेंद्र है। ∠ QPR का माप है:
● सही
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उत्तर: (B) 80°
व्याख्या
किसी भी त्रिभुज के लिए, अंतःकेंद्र O पर एक भुजा द्वारा बनाया गया कोण विपरीत शीर्ष कोण से सूत्र द्वारा संबंधित होता है:
∠QOR = 90° + ½ ∠QPR
दिए गए मान ∠QOR = 130° को प्रतिस्थापित करने पर:
130° = 90° + ½ ∠QPR
½ ∠QPR = 40°
∠QPR = 80°
22Mathematics
तीन प्रिंटिंग मशीनें, P, Q और R, जब प्रत्येक अकेले काम करती हैं, तो क्रमशः 8 घंटे, 16 घंटे और 24 घंटे में एक लाख किताबें छाप सकती हैं। ये मशीनें एक-एक घंटे की बारी में किताबें छापती हैं, P से शुरू होकर, उसके बाद Q और फिर R। हालाँकि, कुल 9 घंटे के बाद, P काम करना बंद कर देती है, लेकिन Q और R बारी-बारी से एक-एक घंटे काम करना जारी रखते हैं, जिसमें 10वें घंटे के दौरान Q काम करती है, जब तक कि सभी एक लाख किताबों की छपाई पूरी नहीं हो जाती। मशीनों Q और R ने शेष किताबें छापने में कुल कितने घंटे लगाए?
● सही
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उत्तर: (B) 6
व्याख्या
एक लाख किताबें छापने के कुल कार्य को LCM(8, 16, 24) = 48 इकाई मान लीजिए।
प्रति घंटे किया गया कार्य:
P = 48 / 8 = 6 इकाई
Q = 48 / 16 = 3 इकाई
R = 48 / 24 = 2 इकाई
एक पूर्ण 3-घंटे के चक्र (P, Q, R) में, पूरा किया गया कार्य = 6 + 3 + 2 = 11 इकाई।
पहले 9 घंटों में (3 पूर्ण चक्र), कुल किया गया कार्य = 3 × 11 = 33 इकाई।
शेष कार्य = 48 - 33 = 15 इकाई।
P के रुकने के बाद, Q और R बारी-बारी से काम करते हैं।
Q और R के 2-घंटे के चक्र में, किया गया कार्य = 3 + 2 = 5 इकाई।
शेष 15 इकाइयों को पूरा करने के लिए आवश्यक समय = (15 / 5) × 2 = 6 घंटे।
23Mathematics
एक घन के आकार का लकड़ी का गुटका है जिसकी प्रत्येक भुजा 8 मीटर लंबी है।
इस गुटके से 1 मीटर व्यास और 4 मीटर ऊंचाई वाले अधिकतम संभव बेलनों को काटा गया।
बेलनों को ₹14 प्रति वर्ग मीटर की दर से पेंट किया जाना है।
यदि हम प्रत्येक बेलन की पूरी सतह को पेंट करते हैं तो सभी बेलनों को पेंट करने के लिए आवश्यक कुल राशि (₹ में) क्या है? (π = 22/7 लीजिए)
● सही
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उत्तर: (C) 25,344
व्याख्या
लंबाई के अनुदिश काटे गए बेलनों की संख्या = 8 / 1 = 8
चौड़ाई के अनुदिश काटे गए बेलनों की संख्या = 8 / 1 = 8
ऊंचाई के अनुदिश काटे गए बेलनों की संख्या = 8 / 4 = 2
काटे गए बेलनों की कुल संख्या = 8 × 8 × 2 = 128
एक बेलन का कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल = 2πr(h + r)
दिया गया है त्रिज्या r = 0.5 मीटर और ऊंचाई h = 4 मीटर:
क्षेत्रफल = 2 × (22/7) × 0.5 × (4 + 0.5) = 99/7 वर्ग मीटर
एक बेलन को पेंट करने की लागत = (99/7) × 14 = ₹198
सभी 128 बेलनों को पेंट करने की कुल लागत = 128 × 198 = ₹25,344
24Mathematics
दो संख्याओं का योग 56 है। उनका अंतर उनके योग का 1/7 है। उनका लघुत्तम समापवर्त्य (LCM) है:
● सही
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उत्तर: (A) 96
व्याख्या
माना दो संख्याएँ x और y हैं।
दिया गया है:
योग: x + y = 56
अंतर: x - y = 56 × (1/7) = 8
x और y के लिए हल करना:
x = (56 + 8) / 2 = 32
y = (56 - 8) / 2 = 24
32 और 24 का लघुत्तम समापवर्त्य (LCM) ज्ञात करने के लिए:
अभाज्य गुणनखंडन: 32 = 2⁵ और 24 = 2³ × 3
LCM(32, 24) = 2⁵ × 3 = 96
25Mathematics
वार्षिक कितने प्रतिशत (प्रतिशत में) की दर से कोई धनराशि 16 वर्षों में साधारण ब्याज पर दोगुनी हो जाएगी?
● सही
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उत्तर: (D) 6.25
व्याख्या
साधारण ब्याज के तहत किसी धनराशि को दोगुना होने के लिए, अर्जित ब्याज मूलधन के बराबर होना चाहिए, जिसका अर्थ है कि कुल अर्जित प्रतिशत ब्याज 100% है।
सूत्र का उपयोग करके:
दर (R) × समय (T) = 100
T = 16 वर्ष रखने पर:
R = 100 / 16 = 6.25% प्रति वर्ष
26Mathematics
समूह A में 78 सदस्य हैं, समूह B में 22 सदस्य हैं और समूह C में 34 सदस्य हैं। इन समूहों के सभी सदस्य एक रेस्तरां में गए। समूह A, B और C के प्रत्येक सदस्य पर खर्च की गई औसत राशि क्रमशः ₹136, ₹383 और ₹457 है। प्रति सदस्य खर्च की गई समग्र औसत राशि (₹ में) है:
● सही
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उत्तर: (C) 258
व्याख्या
प्रति सदस्य खर्च की गई समग्र औसत राशि भारित औसत सूत्र द्वारा दी जाती है:
समग्र औसत = कुल व्यय ÷ कुल सदस्य
कुल व्यय = (78 × 136) + (22 × 383) + (34 × 457) = 10608 + 8426 + 15538 = ₹34572
कुल सदस्य = 78 + 22 + 34 = 134
समग्र औसत = 34572 ÷ 134 = ₹258
27Mathematics
P एक वस्तु Q को 50% लाभ पर बेचता है। Q उसी वस्तु को R को 60% हानि पर बेचता है। यदि R ने वस्तु के लिए ₹ 3234 का भुगतान किया, तो P द्वारा वस्तु किस मूल्य (₹ में) पर खरीदी गई थी?
● सही
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उत्तर: (A) 5390
व्याख्या
मान लीजिए P के लिए वस्तु का क्रय मूल्य x है।
क्रमागत प्रतिशत सूत्र का उपयोग करके:
R द्वारा भुगतान किया गया अंतिम मूल्य = x × (1 + लाभ%) × (1 - हानि%)
3234 = x × (1 + 0.5) × (1 - 0.6)
3234 = x × 1.5 × 0.4
3234 = 0.6x
x = 3234 / 0.6 = 5390
28Mathematics
एक डीलर ₹500 प्रत्येक पर दो वस्तुएँ X और Y खरीदता है। वह प्रत्येक को समान मूल्य पर अंकित करता है। वह X को 50% और 28% की दो क्रमिक छूट देकर बेचता है और फिर भी ₹958 का लाभ कमाता है। यदि वह Y को 77% की एकल छूट पर बेचता है, तो Y पर लाभ प्रतिशत क्या है?
● सही
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उत्तर: (A) 86.3%
व्याख्या
X का क्रय मूल्य (CP) = ₹500
X का विक्रय मूल्य (SP_X) = CP + लाभ = 500 + 958 = ₹1458
50% और 28% की दो क्रमिक छूटों के परिणामस्वरूप अंकित मूल्य (MP) का (1 − 0.50) × (1 − 0.28) = 0.36 या 36% के बराबर विक्रय मूल्य प्राप्त होता है।
MP का 36% = ₹1458
MP = 1458 / 0.36 = ₹4050
वस्तु Y के लिए:
एकल छूट = 77%
Y का विक्रय मूल्य (SP_Y) = 4050 × (1 − 0.77) = 4050 × 0.23 = ₹931.5
Y पर लाभ = 931.5 − 500 = ₹431.5
Y पर लाभ प्रतिशत = (431.5 / 500) × 100 = 86.3%
29Mathematics
संख्याओं 16 और 24 का तृतीय समानुपाती ज्ञात कीजिए।
● सही
● सही उत्तर हाइलाइट किया गया है
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उत्तर: (B) 36
व्याख्या
दो संख्याओं a और b का तृतीय समानुपाती x, अनुपात a : b = b : x को संतुष्ट करता है, जिससे सूत्र x = b² / a प्राप्त होता है।
a = 16 और b = 24 को प्रतिस्थापित करने पर:
x = 24² / 16 = 576 / 16 = 36
30Mathematics
किसी वस्तु को उसके अंकित मूल्य के ³⁄₁₀ पर बेचने पर, अमन को 25% की हानि होती है।
यदि वह इसे उसके वास्तविक अंकित मूल्य के 69% पर बेचता है, तो लाभ प्रतिशत है
● सही
● सही उत्तर हाइलाइट किया गया है
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उत्तर: (D) 72.5%
व्याख्या
वस्तु का अंकित मूल्य (MP) 100 मान लीजिए।
पहला विक्रय मूल्य (SP₁) = 100 × ³⁄₁₀ = 30।
चूंकि SP₁ पर 25% की हानि होती है, क्रय मूल्य (CP) = SP₁ / (1 - 0.25) = 30 / 0.75 = 40।
दूसरा विक्रय मूल्य (SP₂) = MP का 69% = 69।
लाभ = SP₂ - CP = 69 - 40 = 29।
लाभ प्रतिशत = (लाभ / CP) × 100 = (29 / 40) × 100 = 72.5%।
31Mathematics
तीन दोस्तों X, Y और Z ने क्रमशः 9 : 5 : 2 के अनुपात में धन का निवेश करके एक व्यवसाय शुरू किया। 6 महीने बाद, X ने अपनी पूंजी का आधा हिस्सा निकाल लिया। यदि Z द्वारा निवेश की गई राशि ₹83,000 है, तो ₹88,000 के कुल वार्षिक लाभ में से, X और Y के लाभ के बीच क्या अंतर है?
● सही
● सही उत्तर हाइलाइट किया गया है
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उत्तर: (A) 11,200
व्याख्या
लाभ-साझाकरण अनुपात की गणना प्रत्येक भागीदार की पूंजी को उस अवधि से गुणा करके की जाती है जिसके लिए उसका निवेश किया गया था।
मान लीजिए X, Y और Z की प्रारंभिक पूंजी क्रमशः 9, 5 और 2 इकाई है।
12 महीनों के लिए X का प्रभावी निवेश = (9 × 6) + (4.5 × 6) = 54 + 27 = 81 इकाई
12 महीनों के लिए Y का प्रभावी निवेश = 5 × 12 = 60 इकाई
12 महीनों के लिए Z का प्रभावी निवेश = 2 × 12 = 24 इकाई
लाभ अनुपात X : Y : Z = 81 : 60 : 24 = 27 : 20 : 8
कुल लाभ इकाई = 27 + 20 + 8 = 55 इकाई
1 इकाई का मान = 88,000 ÷ 55 = ₹1,600
X और Y के लाभ के बीच अंतर = (27 - 20) × 1,600 = 7 × 1,600 = ₹11,200
32Mathematics
यदि (5x - 1)³ +(x + 3)³ +8(3x - 4)³ = 6(5x - 1)(x + 3)(3x - 4) , तो x का मान है:
● सही
● सही उत्तर हाइलाइट किया गया है
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उत्तर: (D) ½
व्याख्या
बीजीय सर्वसमिका a³ + b³ + c³ = 3abc तब लागू होती है जब a + b + c = 0।
दिए गए समीकरण को इस प्रकार लिखें:
(5x - 1)³ + (x + 3)³ + (6x - 8)³ = 3(5x - 1)(x + 3)(6x - 8)
यहाँ, a = 5x - 1, b = x + 3, और c = 2(3x - 4) = 6x - 8।
a + b + c = 0 रखने पर:
(5x - 1) + (x + 3) + (6x - 8) = 0
12x - 6 = 0
12x = 6
x = ½
33Mathematics
एक ठोस अर्धगोले का कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल 281 सेमी² है। इसकी त्रिज्या (सेमी में) क्या है?
(π = ²²⁄₇ लीजिए)
● सही
● सही उत्तर हाइलाइट किया गया है
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उत्तर: (B) √(¹⁹⁶⁷⁄₆₆)
व्याख्या
एक ठोस अर्धगोले का कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल सूत्र 3πr² द्वारा दिया जाता है, जहाँ r त्रिज्या है।
दिए गए मानों को प्रतिस्थापित करने पर:
3 × (22/7) × r² = 281
(66/7) × r² = 281
r² = (281 × 7) / 66
r² = 1967 / 66
r = √(1967 / 66) सेमी
34Mathematics
पाइप P किसी टंकी का ⁵⁄₉ भाग 15 घंटे में भर सकता है और पाइप Q उसी टंकी का ⁷⁄₉ भाग 21 घंटे में भर सकता है। दोनों P और Q को 3 घंटे के लिए खुला रखा गया, फिर दोनों को बंद कर दिया गया। इसके बाद पाइप R को अकेले खोला गया और उसने 4 घंटे में टंकी का पानी खाली कर दिया। पाइप P, Q और R मिलकर खाली टंकी को कितने समय में भर सकते हैं:
● सही
● सही उत्तर हाइलाइट किया गया है
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उत्तर: (D) 54 घंटे
व्याख्या
पाइप P द्वारा पूरी टंकी भरने में लगा समय = 15 × (9/5) = 27 घंटे।
पाइप Q द्वारा पूरी टंकी भरने में लगा समय = 21 × (9/7) = 27 घंटे।
3 घंटे में P और Q द्वारा मिलकर भरी गई टंकी का भाग = 3 × (1/27 + 1/27) = 6/27 = 2/9।
पाइप R इस 2/9 भाग टंकी को 4 घंटे में खाली करता है, इसलिए R की खाली करने की दर = (2/9) / 4 = 1/18 टंकी प्रति घंटा।
जब P, Q और R एक साथ काम करते हैं, तो शुद्ध भरने की दर = 1/27 + 1/27 - 1/18 = 2/27 - 1/18 = 4/54 - 3/54 = 1/54 टंकी प्रति घंटा।
P, Q और R द्वारा मिलकर खाली टंकी भरने में लिया गया समय = 1 / (1/54) = 54 घंटे।
35Mathematics
A और B मिलकर एक कार्य को 20 दिनों में पूरा करते हैं। यदि A अकेले उस कार्य को 45 दिनों में कर सकता है, तो B अकेले उसी कार्य का तीन-चौथाई भाग ______ दिनों में कर सकता है।
● सही
● सही उत्तर हाइलाइट किया गया है
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उत्तर: (D) 27
व्याख्या
B की कार्य दर = (A + B) की कार्य दर - A की कार्य दर = 1/20 - 1/45 = (9 - 4)/180 = 5/180 = 1/36 प्रति दिन।
चूंकि B अकेले कुल कार्य को 36 दिनों में पूरा करता है, इसलिए B द्वारा अकेले कार्य का तीन-चौथाई (¾) भाग पूरा करने के लिए आवश्यक समय ¾ × 36 = 27 दिन है।
36Mathematics
एक गाँव की जनसंख्या 2,90,000 थी। पहले वर्ष में इसमें 15% की वृद्धि हुई और दूसरे वर्ष में 20% की वृद्धि हुई। दो वर्ष बाद इसकी जनसंख्या ______ है।
● सही
● सही उत्तर हाइलाइट किया गया है
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उत्तर: (B) 4,00,200
व्याख्या
क्रमिक प्रतिशत परिवर्तन सूत्र का उपयोग करके, शुद्ध प्रतिशत वृद्धि = A + B + (A × B)/100 = 15 + 20 + (15 × 20)/100 = 38%।
दो वर्ष बाद जनसंख्या = 2,90,000 × (1 + 38/100) = 2,90,000 × 1.38 = 4,00,200।
37Mathematics
एक व्यक्ति शांत जल में 8 किमी/घंटा की गति से नाव चला सकता है। जब नदी 2 किमी/घंटा की गति से बहती है, तो उसे एक गंतव्य तक जाने और वापस आने में 3 घंटे 12 मिनट लगते हैं। गंतव्य की दूरी ज्ञात कीजिए।
● सही
● सही उत्तर हाइलाइट किया गया है
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उत्तर: (D) 12 किमी
व्याख्या
कुल समय t, शांत जल में गति u, और धारा की गति v दिए जाने पर आने-जाने की दूरी का सूत्र है:
दूरी = t × (u² - v²) / (2 × u)
दिया गया है:
u = 8 किमी/घंटा
v = 2 किमी/घंटा
कुल समय t = 3 घंटे 12 मिनट = 3 + 12/60 = 16/5 घंटे
भिन्नों को एक सामान्य हर पर संयोजित करने पर प्राप्त होता है:
[cos² θ + (1 + sin θ)²] / [cos θ (1 + sin θ)]
(1 + sin θ)² = 1 + 2 sin θ + sin² θ का उपयोग करके अंश का विस्तार करने पर:
[cos² θ + sin² θ + 1 + 2 sin θ] / [cos θ (1 + sin θ)]
पाइथागोरस सर्वसमिका cos² θ + sin² θ = 1 का उपयोग करने पर:
[1 + 1 + 2 sin θ] / [cos θ (1 + sin θ)] = [2(1 + sin θ)] / [cos θ (1 + sin θ)]
सामान्य गुणनखंड (1 + sin θ) को रद्द करने पर 2 / cos θ = 2 sec θ प्राप्त होता है।
39Mathematics
साधारण ब्याज पर कितने प्रतिशत प्रति वर्ष की दर से कोई धनराशि 20 वर्षों में दोगुनी हो जाएगी?
● सही
● सही उत्तर हाइलाइट किया गया है
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उत्तर: (B) 5
व्याख्या
जब कोई धनराशि साधारण ब्याज पर दोगुनी हो जाती है, तो अर्जित ब्याज (SI) मूलधन (P) के बराबर होता है।
साधारण ब्याज सूत्र का उपयोग करके:
SI = (P × R × T) / 100
SI = P और समय T = 20 वर्ष प्रतिस्थापित करने पर:
P = (P × R × 20) / 100
1 = 20R / 100
R = 100 / 20 = 5%
वैकल्पिक रूप से, राशि के दोगुना होने के लिए सीधे शॉर्टकट का उपयोग करके:
दर (R) = 100 / T = 100 / 20 = 5% प्रति वर्ष।
40Mathematics
यदि 2820 को दो भागों में इस प्रकार विभाजित किया जाता है कि पहले भाग का पाँचवाँ हिस्सा और दूसरे भाग का आठवाँ हिस्सा 3:4 के अनुपात में हैं, तो पहले भाग का दूसरे भाग से अनुपात क्या है?
● सही
● सही उत्तर हाइलाइट किया गया है
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उत्तर: (B) 15:32
व्याख्या
मान लीजिए पहला भाग x है और दूसरा भाग y है।
दी गई शर्त के अनुसार, पहले भाग का पाँचवाँ हिस्सा और दूसरे भाग का आठवाँ हिस्सा 3:4 के अनुपात में हैं:
(x / 5) / (y / 8) = 3 / 4
(x / 5) × (8 / y) = 3 / 4
8x / 5y = 3 / 4
x / y = (3 × 5) / (4 × 8) = 15 / 32
इससे x : y का अनुपात 15 : 32 प्राप्त होता है।
41Mathematics
150 मीटर की दौड़ में, R, S को 6 मीटर से हराता है। 250 मीटर की दौड़ में, R, S को 2 सेकंड से हराता है। इसके अनुसार, एक दौड़ में, यदि R 30 सेकंड तक दौड़ता है, तो वह S को ___ मीटर से हरा देगा।
● सही
● सही उत्तर हाइलाइट किया गया है
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उत्तर: (D) 6.25
व्याख्या
150 मीटर की दौड़ में, जब R 150 मीटर की दूरी तय करता है, तो S 150 - 6 = 144 मीटर की दूरी तय करता है।
गतियों का अनुपात, v_R : v_S = 150 : 144 = 25 : 24, जिससे v_R = (25/24)v_S प्राप्त होता है।
250 मीटर की दौड़ में, R, S को 2 सेकंड से हराता है:
(250 / v_S) - (250 / v_R) = 2
(250 / v_S) - (240 / v_S) = 2
10 / v_S = 2
v_S = 5 मी/से
R की गति, v_R = (25/24) × 5 = 125/24 मी/से।
30 सेकंड में:
R द्वारा तय की गई दूरी = (125/24) × 30 = 156.25 मी
S द्वारा तय की गई दूरी = 5 × 30 = 150 मी
जिस दूरी से R, S को हराता है = 156.25 - 150 = 6.25 मीटर।
42Mathematics
यदि किसी शहर की वर्तमान जनसंख्या 450000 है और जनसंख्या हर साल 25% की दर से बढ़ रही है, तो 3 साल पहले और 2 साल पहले की जनसंख्या के बीच धनात्मक अंतर क्या होगा?
● सही
● सही उत्तर हाइलाइट किया गया है
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उत्तर: (D) 57600
व्याख्या
चूंकि जनसंख्या हर साल 25% (या ¼) की दर से बढ़ती है, इसलिए किसी भी दिए गए वर्ष में जनसंख्या पिछले वर्ष की तुलना में 5/4 गुना होती है। वर्तमान जनसंख्या से पीछे की ओर काम करते हुए:
2 साल पहले की जनसंख्या = 450000 × (4/5)² = 450000 × (16/25) = 288000
3 साल पहले की जनसंख्या = 450000 × (4/5)³ = 450000 × (64/125) = 230400
2 साल पहले और 3 साल पहले की जनसंख्या के बीच धनात्मक अंतर है:
288000 - 230400 = 57600
वैकल्पिक रूप से, 3 साल पहले से 2 साल पहले तक की वृद्धि 3 साल पहले की जनसंख्या का 25% (¼) है:
230400 ÷ 4 = 57600
43Mathematics
गिरीश ने एक परीक्षा में 768 अंक प्राप्त किए और अधिकतम अंकों के 92% से 60 अंक कम थे। उसी परीक्षा में, उसके दोस्त ने 738 अंक प्राप्त किए। उसके दोस्त द्वारा प्राप्त अंकों का प्रतिशत क्या है?
● सही
● सही उत्तर हाइलाइट किया गया है
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उत्तर: (A) 82%
व्याख्या
मान लीजिए अधिकतम अंक M हैं।
दी गई शर्त के अनुसार:
M का 92% - 60 = 768
M का 92% = 828
M = (828 × 100) / 92 = 900
दोस्त द्वारा प्राप्त प्रतिशत = (738 / 900) × 100 = 82%
44Mathematics
निम्नलिखित द्विघात समीकरण के मूलों की प्रकृति क्या है?
x - ¹⁄ₓ = 17
● सही
● सही उत्तर हाइलाइट किया गया है
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उत्तर: (C) वास्तविक और भिन्न (अपरिमेय)
व्याख्या
एक द्विघात समीकरण ax² + bx + c = 0 के लिए, मूलों की प्रकृति विविक्तकर D = b² - 4ac द्वारा निर्धारित की जाती है।
x - 1/x = 17 को पुनर्व्यवस्थित करने पर x² - 17x - 1 = 0 प्राप्त होता है, जहाँ a = 1, b = -17, और c = -1 है।
विविक्तकर की गणना:
D = (-17)² - 4(1)(-1) = 289 + 4 = 293
चूंकि D > 0 और 293 एक पूर्ण वर्ग नहीं है, इसलिए x = (17 ± √293) / 2 द्वारा दिए गए मूल वास्तविक, भिन्न और अपरिमेय हैं।
45Mathematics
दो संपूरक कोणों में से बड़ा कोण छोटे कोण से 32° अधिक है। छोटा कोण (डिग्री में) है:
● सही
● सही उत्तर हाइलाइट किया गया है
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उत्तर: (C) 74
व्याख्या
संपूरक कोणों का योग 180° होता है। मान लीजिए x डिग्री में छोटे कोण का माप है। बड़े कोण को x + 32° के रूप में दिया गया है।
x + (x + 32) = 180
2x + 32 = 180
2x = 148
x = 74°
46Mathematics
एक समकोणीय वृत्तीय शंकु की तिर्यक ऊँचाई उसकी त्रिज्या की 3 गुनी है। एक तल, आधार के समानांतर, इस ऊँचाई पर शंकु को काटता है कि छोटे, ऊपरी शंकु का वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल मूल शंकु के वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल का आधा है। यदि छोटे शंकु का व्यास 6√2 सेमी है, तो मूल शंकु की त्रिज्या (सेमी में) क्या है?
● सही
● सही उत्तर हाइलाइट किया गया है
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उत्तर: (B) 6
व्याख्या
समरूप शंकुओं के लिए, उनके पृष्ठीय क्षेत्रफलों का अनुपात उनकी संगत आधार त्रिज्याओं के अनुपात के वर्ग के बराबर होता है।
यह दिया गया है कि छोटे ऊपरी शंकु का वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल मूल शंकु के वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल का आधा है:
(r'r)² = ½
r'r = 1/√2
r = r' × √2
जहाँ r' छोटे शंकु की त्रिज्या है और r मूल शंकु की त्रिज्या है।
चूंकि छोटे शंकु का व्यास 6√2 सेमी है, इसकी त्रिज्या r' = (6√2) / 2 = 3√2 सेमी है।
r' को संबंध में प्रतिस्थापित करने पर:
r = 3√2 × √2 = 6 सेमी।
47Mathematics
एक व्यापारी किसी वस्तु के अंकित मूल्य पर 5% की छूट देता है और 14 वस्तुएँ खरीदने पर 2 वस्तुएँ मुफ्त देता है और पूरे लेन-देन में 33% का लाभ कमाता है। यह मानते हुए कि एक ग्राहक 14 वस्तुओं के लिए भुगतान करता है, एक वस्तु का अंकित मूल्य उसके क्रय मूल्य से कितने प्रतिशत अधिक है?
● सही
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उत्तर: (B) 60%
व्याख्या
मान लीजिए एक वस्तु का क्रय मूल्य CP और अंकित मूल्य MP है।
व्यापारी द्वारा दी गई कुल वस्तुओं की संख्या = 14 + 2 = 16 वस्तुएँ।
व्यापारी के लिए कुल क्रय मूल्य = 16 × CP
ग्राहक अंकित मूल्य पर 5% की छूट पर 14 वस्तुओं के लिए भुगतान करता है:
प्रति वस्तु भुगतान किया गया छूट मूल्य = 0.95 × MP
कुल राजस्व = 14 × 0.95 × MP = 13.3 × MP
चूंकि व्यापारी को पूरे लेन-देन में 33% का लाभ होता है:
कुल राजस्व = 16 × CP × 1.33 = 21.28 × CP
कुल राजस्व को बराबर करने पर:
13.3 × MP = 21.28 × CP
MP / CP = 21.28 / 13.3 = 1.6
इस प्रकार, अंकित मूल्य क्रय मूल्य से 60% अधिक है।
48Mathematics
एक दुकानदार ने ₹102 प्रति दर्जन की दर से 32 दर्जन वस्तुएँ खरीदीं। उसने उनमें से प्रत्येक को ₹68 की दर से बेचा। उसने कितने प्रतिशत लाभ कमाया?
● सही
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उत्तर: (C) 700%
व्याख्या
प्रति वस्तु क्रय मूल्य (CP) = ₹102 ÷ 12 = ₹8.50
प्रति वस्तु विक्रय मूल्य (SP) = ₹68
प्रति वस्तु लाभ = SP - CP = ₹68 - ₹8.50 = ₹59.50
लाभ प्रतिशत = (लाभ ÷ CP) × 100
= (59.50 ÷ 8.50) × 100
= 7 × 100 = 700%
49Mathematics
एक गणित परीक्षा में 11 छात्रों द्वारा प्राप्त अंक इस प्रकार हैं: 45, 62, 58, 71, 66, 54, 60, 49, 68, 57, 63। माध्यिका अंक क्या हैं?
● सही
● सही उत्तर हाइलाइट किया गया है
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उत्तर: (A) 60
व्याख्या
विषम संख्या में प्रेक्षणों n के लिए, जब डेटा को आरोही क्रम में व्यवस्थित किया जाता है, तो माध्यिका ((n + 1) / 2)वाँ प्रेक्षण होती है।
यहाँ, n = 11 छात्र हैं, इसलिए माध्यिका ((11 + 1) / 2)वाँ = 6वाँ मान है।
दिए गए अंकों को आरोही क्रम में व्यवस्थित करने पर:
45, 49, 54, 57, 58, 60, 62, 63, 66, 68, 71
इस क्रमबद्ध सूची में 6वाँ प्रेक्षण 60 है।
50Mathematics
(x²^.⁵)/(y⁰^.⁵) × √(xy) और (y¹^.⁵)/(√x) × √(xy) का लघुत्तम समापवर्त्य (LCM) और महत्तम समापवर्तक (HCF) क्रमशः और हैं, जहाँ x और y, 1 से बड़े सह-अभाज्य पूर्णांक हैं।
