आरआरबी एनटीपीसी सीबीटी 1 2021 Mathematics प्रश्न — हल सहित

व्याख्या

जब किसी बिंदु (x, y) को x-अक्ष के अनुदिश परावर्तित किया जाता है, तो उसका x-निर्देशांक अपरिवर्तित रहता है जबकि उसका y-निर्देशांक चिह्न बदल जाता है, जो परिवर्तन नियम (x, y) → (x, -y) के अनुसार होता है।

इस नियम को बिंदु (7, 8) पर लागू करने पर प्रतिबिंब बिंदु (7, -8) प्राप्त होता है।

व्याख्या

दूरी = गति × समय

दिया गया है: गति = 5 किमी/घंटा समय = 15 मिनट = 15/60 घंटा = 1/4 घंटा

पुल की लंबाई = 5 × (1/4) किमी = 1.25 किमी = 1.25 × 1000 मीटर = 1250 मीटर।

व्याख्या

साधारण ब्याज की गणना सूत्र SI = (P × R × T) / 100 का उपयोग करके की जाती है, जहाँ मूलधन (P) = ₹16,800, दर (R) = 6¼% = 25/4% प्रति वर्ष, और समय (T) = 9 महीने = 9/12 वर्ष = ¾ वर्ष है।

दिए गए मानों को सूत्र में प्रतिस्थापित करने पर: SI = (16,800 × 25 × 3) / (100 × 4 × 4) SI = (168 × 75) / 16 SI = 12,600 / 16 = ₹787.50

व्याख्या

भिन्नों को दशमलव रूप में बदलने पर 5/7 ≈ 0.714, 7/9 ≈ 0.778, 4/5 = 0.800, और 7/6 ≈ 1.167 प्राप्त होता है। इन मानों की तुलना करने पर पता चलता है कि 0.714 सबसे छोटा है, जिससे 5/7 सबसे छोटा भिन्न बनता है।

व्याख्या

शुद्ध प्रतिशत परिवर्तन = x + y + (x × y)/100

यहाँ, अंकित मूल्य प्रतिशत x = +10% और छूट प्रतिशत y = -10%:

शुद्ध परिवर्तन = 10 - 10 + (10 × (-10))/100 = -1%

ऋणात्मक परिणाम 1% की हानि दर्शाता है।

व्याख्या

मान लीजिए कि एक वस्तु का क्रय मूल्य CP है और एक वस्तु का विक्रय मूल्य SP है।

दिया गया है: 6 × CP = 7 × SP

CP / SP = 7 / 6

चूंकि क्रय मूल्य (7 इकाई) विक्रय मूल्य (6 इकाई) से अधिक है, इसलिए हानि होती है।

हानि प्रतिशत = ((CP - SP) / CP) × 100 = ((7 - 6) / 7) × 100 = (1 / 7) × 100 = 14.28% हानि

व्याख्या

चक्रवृद्धि ब्याज की दर से r% प्रति वर्ष की दर से n वर्षों में देय A राशि का वर्तमान मूल्य P सूत्र P = A / (1 + r/100)ⁿ द्वारा दिया जाता है।

A = 338, r = 4, और n = 2 को प्रतिस्थापित करने पर: P = 338 / (1 + 4/100)² P = 338 / (26/25)² P = (338 × 625) / 676 P = 625 / 2 = ₹312.50

व्याख्या

मान लीजिए आवश्यक संख्या x है।

प्रतिशत सूत्र का उपयोग करके: (40 / 100) × x = 800 x = (800 × 100) / 40 x = 2000

व्याख्या

मान लीजिए विद्यालय में छात्रों की संख्या x है। चूँकि प्रत्येक छात्र द्वारा भुगतान किया गया शुल्क छात्रों की कुल संख्या के बराबर है, इसलिए एकत्र किया गया कुल शुल्क x × x = x² द्वारा दिया गया है।

x² = 2601 x = √2601 x = 51

विद्यालय में 51 छात्र थे।

व्याख्या

y = 5 को सीधे व्यंजक में प्रतिस्थापित करें:

10y = 10 × 5 = 50

y³ - y² = 5³ - 5² = 125 - 25 = 100

√(y³ - y²) = √100 = 10

घटकों को गुणा करने पर: 10y × √(y³ - y²) = 50 × 10 = 500

व्याख्या

माना कि घटाई जाने वाली संख्या x है।

(15 - x) / (19 - x) = ¾

वज्र गुणन करने पर: 4 × (15 - x) = 3 × (19 - x) 60 - 4x = 57 - 3x x = 60 - 57 = 3

सत्यापन: (15 - 3) / (19 - 3) = 12 / 16 = ¾।

व्याख्या

किसी डेटासेट का माध्य सूत्र द्वारा दिया जाता है: माध्य = (सभी प्रेक्षणों का योग) ÷ (प्रेक्षणों की कुल संख्या)।

प्रेक्षणों का योग = 2 + 5 + 4 + 1 + 8 = 20 प्रेक्षणों की कुल संख्या = 5

माध्य = 20 ÷ 5 = 4

व्याख्या

किसी भी प्राकृतिक संख्या n के लिए, n और n + 1 दो क्रमागत पूर्णांक हैं। मान लीजिए d, n और n + 1 का महत्तम समापवर्तक (HCF) है। चूँकि d, n और n + 1 दोनों को विभाजित करता है, इसलिए d को उनके अंतर को भी विभाजित करना चाहिए:

(n + 1) - n = 1

1 को विभाजित करने वाली एकमात्र धनात्मक पूर्णांक संख्या 1 है। इसलिए, सभी प्राकृतिक संख्याओं n के लिए HCF(n, n + 1) = 1 होता है, जिसका अर्थ है कि क्रमागत प्राकृतिक संख्याएँ हमेशा सह-अभाज्य होती हैं।

व्याख्या

वह छोटी से छोटी संख्या जो दी गई संख्याओं के समूह से पूर्णतः विभाज्य होती है, उनका लघुत्तम समापवर्त्य (LCM) होती है।

प्रत्येक संख्या का अभाज्य गुणनखंडन ज्ञात करना: 12 = 2² × 3 15 = 3 × 5 18 = 2 × 3²

प्रत्येक शामिल अभाज्य गुणनखंड की उच्चतम घात लेना: LCM = 2² × 3² × 5 = 4 × 9 × 5 = 180।

व्याख्या

जब दो पाइप व्यक्तिगत रूप से एक टंकी को T₁ और T₂ समय में खाली करते हैं, तो एक साथ काम करते हुए पूरी टंकी को खाली करने के लिए आवश्यक संयुक्त समय T निम्न सूत्र द्वारा दिया जाता है:

T = (T₁ × T₂) / (T₁ + T₂)

दिए गए मानों (T₁ = 6 घंटे और T₂ = 18 घंटे) को प्रतिस्थापित करने पर:

T = (6 × 18) / (6 + 18) = 108 / 24 = 4.5 घंटे

व्याख्या

दिए गए 10 प्रेक्षणों को आरोही क्रम में व्यवस्थित करने पर: 2, 2, 3, 3, 3, 5, 5, 7, 7, 9

चूंकि प्रेक्षणों की संख्या n = 10 सम है, माध्यिका 5वें और 6वें पद का औसत होगी: माध्यिका = (3 + 5) ÷ 2 = 4

बहुलक वह प्रेक्षण है जिसकी आवृत्ति सर्वाधिक होती है। इस डेटासेट में, 3 तीन बार आता है, जो किसी भी अन्य मान की तुलना में अधिक बार है, इसलिए बहुलक = 3।

व्याख्या

आवर्ती दशमलव 3.127 (जहाँ 7 आवर्ती है) को भिन्न रूप में बदलने के लिए, मान लीजिए x = 3.12777...

x को 100 और 1000 से गुणा करने पर: 100x = 312.777... 1000x = 3127.777...

दूसरे समीकरण से पहले समीकरण को घटाने पर: 1000x - 100x = 3127.777... - 312.777... 900x = 2815 x = 2815 / 900

अंश और हर को 5 से विभाजित करने पर: x = 563 / 180

व्याख्या

दिए गए समीकरण के दाएँ पक्ष को सरल करने पर: √(169/289) = √169 / √289 = 13/17

इसे समीकरण में वापस प्रतिस्थापित करने पर: 52/x = 13/17

x के लिए हल करने हेतु वज्र गुणन करने पर: x = (52 × 17) / 13 = 4 × 17 = 68

व्याख्या

अंश और हर को (√2 - 1) से गुणा करके हर का परिमेयकरण करने पर: x = 1 / (√2 + 1) = (√2 - 1) / [(√2 + 1)(√2 - 1)] = (√2 - 1) / (2 - 1) = √2 - 1

अब, दोनों पक्षों में 1 जोड़ने पर प्राप्त होता है: x + 1 = (√2 - 1) + 1 = √2

व्याख्या

वर्ग का क्षेत्रफल = भुजा² = 12 × 12 = 144 सेमी²

त्रिभुज का क्षेत्रफल = ½ × आधार × ऊँचाई

चूंकि त्रिभुज का क्षेत्रफल वर्ग के क्षेत्रफल के बराबर है: ½ × 12 × ऊँचाई = 144 6 × ऊँचाई = 144 ऊँचाई = 144 / 6 = 24 सेमी

व्याख्या

राज द्वारा प्राप्त कुल अंक = 18 + 17 + 16 + 15 = 66, कुल अधिकतम 80 अंकों में से। राज का कुल प्रतिशत = (66 / 80) × 100 = 82.5%।

रमेश द्वारा प्राप्त कुल अंक = 85 + 70 + 60 + 75 = 290, कुल अधिकतम 400 अंकों में से। रमेश का कुल प्रतिशत = (290 / 400) × 100 = 72.5%।

उनके कुल प्रतिशत के बीच अंतर = 82.5% - 72.5% = 10%।

व्याख्या

मान लीजिए दो संख्याएँ x और y हैं।

दिया गया है: x - y = 14 x² - y² = 56

बीजगणितीय सर्वसमिका x² - y² = (x - y)(x + y) का प्रयोग करके: 56 = 14 × (x + y) x + y = 4

दोनों समीकरणों को जोड़ने और घटाने पर: 2x = 4 + 14 = 18 ⇒ x = 9 2y = 4 - 14 = -10 ⇒ y = -5

दोनों संख्याएँ 9 और -5 हैं।

व्याख्या

मान लीजिए दो संख्याएँ x और y हैं।

पहली दी गई शर्त से: x/3 + y/2 = 8 6 से गुणा करने पर: 2x + 3y = 48

दूसरी दी गई शर्त से: x/5 + y/6 = 4 30 से गुणा करने पर: 6x + 5y = 120

2x + 3y = 48 को 3 से गुणा करने पर: 6x + 9y = 144

6x + 5y = 120 को 6x + 9y = 144 से घटाने पर: 4y = 24 y = 6

y = 6 को 2x + 3y = 48 में प्रतिस्थापित करने पर: 2x + 18 = 48 2x = 30 x = 15

दो संख्याएँ 15 और 6 हैं, जिससे 15 सबसे बड़ी संख्या है।

व्याख्या

मान लीजिए x वह आवश्यक संख्या है जिसे अंश और हर दोनों में से घटाया जाना है।

(42 - x) / (45 - x) = 5 / 6

दोनों पक्षों को तिरछा गुणा करने पर: 6 × (42 - x) = 5 × (45 - x) 252 - 6x = 225 - 5x 252 - 225 = 6x - 5x x = 27

अंश में से 27 घटाने पर 42 - 27 = 15 प्राप्त होता है, और हर में से 27 घटाने पर 45 - 27 = 18 प्राप्त होता है, जो 15/18 = 5/6 हो जाता है।

व्याख्या

दो उम्मीदवारों के लिए डाले गए मतों का अनुपात 2 : 9 है, इसलिए सफल उम्मीदवार को कुल मतों का 9 भाग मिला।

दिया गया है कि 9 भाग = 984321 1 भाग = 984321 / 9 = 109369

डाले गए कुल मत = 2 + 9 = 11 भाग कुल मत = 11 × 109369 = 1203059

व्याख्या

दिए गए संबंध से, A का 15% = B का 18%। सरलीकरण करने पर A = (18 / 15) B = 1.2 B प्राप्त होता है।

A = 1.2 B को A के 20% में प्रतिस्थापित करने पर: A का 20% = (1.2 B) का 20% = B का 24%।

व्याख्या

दिए गए दशमलव संख्याओं को चरण दर चरण जोड़ने पर:

0.56 + 0.43 = 0.99 0.99 + 0.89 = 1.88

व्याख्या

मान लीजिए रेलगाड़ी की लंबाई L मीटर है और उसकी गति v किमी/घंटा है।

जब रेलगाड़ी एक लड़के को उसी दिशा में चलते हुए पीछे छोड़ती है, तो सापेक्ष गति (v - लड़के की गति) किमी/घंटा होती है। 5/18 से गुणा करके मी/से में बदलने पर, प्रत्येक लड़के को पार करने के लिए तय की गई दूरी रेलगाड़ी की लंबाई L के बराबर होती है।

पहले लड़के के लिए (गति = 5 किमी/घंटा, समय = 6 सेकंड): L = (v - 5) × (5/18) × 6 = (5/3)(v - 5)

दूसरे लड़के के लिए (गति = 7 किमी/घंटा, समय = 9 सेकंड): L = (v - 7) × (5/18) × 9 = (5/2)(v - 7)

L के लिए दो व्यंजकों को बराबर करने पर: (5/3)(v - 5) = (5/2)(v - 7) 2(v - 5) = 3(v - 7) 2v - 10 = 3v - 21 v = 11 किमी/घंटा

v = 11 किमी/घंटा को L के सूत्र में वापस रखने पर: L = (5/3) × (11 - 5) = (5/3) × 6 = 10 मी

व्याख्या

अंतःवृत्त का क्षेत्रफल π × r² = 462 दिया गया है। π = 22/7 का उपयोग करके: (22/7) × r² = 462 r² = (462 × 7) / 22 = 147 r = √147 = 7√3 cm

भुजा की लंबाई a वाले एक समबाहु त्रिभुज के लिए, अंतःत्रिज्या r = a / (2√3)। a = 2√3 × r = 2√3 × 7√3 = 42 cm

परिमाप = 3a = 3 × 42 = 126 cm

व्याख्या

विक्रय मूल्य = क्रय मूल्य × (100 - हानि%) / 100

विक्रय मूल्य = 2400 × (100 - 10) / 100 = 2400 × 0.9 = ₹2,160

व्याख्या

बीजीय सर्वसमिका (a + b)² = a² + b² + 2ab का प्रयोग करके: (a + b)² = 82 + 2(9) = 100 a + b = 10

अब, घनों के योग का सूत्र लागू करके: a³ + b³ = (a + b)(a² + b² - ab) a³ + b³ = 10 × (82 - 9) = 10 × 73 = 730

व्याख्या

भिन्नों को दशमलव रूप में बदलने पर 7/10 = 0.70, 5/7 ≈ 0.714, 3/4 = 0.75, और 7/8 = 0.875 प्राप्त होता है। चूंकि 0.70 सबसे छोटा दशमलव मान है, इसलिए 7/10 सबसे छोटा भिन्न है। वैकल्पिक रूप से, 7/10 की तुलना 5/7 से वज्र गुणन (cross-multiplication) द्वारा करने पर 7 × 7 = 49 और 10 × 5 = 50 प्राप्त होता है; चूंकि 49 < 50, इसलिए 7/10, 5/7 के साथ-साथ अन्य सभी दिए गए विकल्पों से छोटा है।

व्याख्या

त्रिभुज का क्षेत्रफल सूत्र Area = ½ × base × altitude द्वारा दिया जाता है।

दो त्रिभुजों के क्षेत्रफलों का अनुपात है: A₁ / A₂ = (b₁ × h₁) / (b₂ × h₂)

दिए गए मानों को प्रतिस्थापित करने पर: 8 / 15 = (4 / 5) × (h₁ / h₂)

h₁ / h₂ = (8 / 15) × (5 / 4) = 40 / 60 = 2 / 3

व्याख्या

किसी सम बहुभुज का बाह्य कोण = 180° - आंतरिक कोण = 180° - 120° = 60°।

भुजाओं की संख्या n = 360° / बाह्य कोण = 360° / 60° = 6।

n-भुजाओं वाले बहुभुज के विकर्णों की संख्या का सूत्र n(n - 3) / 2 है।

n = 6 रखने पर: विकर्णों की संख्या = 6 × (6 - 3) / 2 = 6 × 3 / 2 = 9।

व्याख्या

मंजूषा के अंदर प्रत्येक पद को दशमलव बिंदु हटाकर सरल करें:

2.4 / 0.9 = 24 / 9 = 8 / 3 0.27 / 0.08 = 27 / 8 0.50 / 0.05 = 50 / 5 = 10

इन पदों को मंजूषा के अंदर एक साथ गुणा करें: (8 / 3) × (27 / 8) × 10 = (27 / 3) × 10 = 9 × 10 = 90

परिणाम को बाहरी गुणनखंड 4 से गुणा करें: 4 × 90 = 360

व्याख्या

व्यंजक 4⁷ − 4 को 4 × (4⁶ − 1) के रूप में गुणनखंडित किया जा सकता है। चूँकि 4⁶ सम है, 4⁶ − 1 एक विषम संख्या है। इसलिए, 4⁷ − 4 के अभाज्य गुणनखंडन में 2² = 4 के रूप में 2 की उच्चतम घात होती है। चूँकि 8 = 2³, व्यंजक में 2 का तीसरा गुणनखंड नहीं है और यह 8 का गुणज नहीं है।

व्याख्या

मान लीजिए आवश्यक संख्या x है।

प्रश्न के अनुसार: x का 30% + 38 = 50 0.3x = 50 - 38 0.3x = 12 x = 12 ÷ 0.3 = 40

व्याख्या

आरोही क्रम में व्यवस्थित 7 भिन्न प्रेक्षणों के एक समुच्चय x₁ < x₂ < x₃ < x₄ < x₅ < x₆ < x₇ के लिए, माध्यक चौथा प्रेक्षण, x₄ = 21.5 होता है।

सबसे बड़े 3 प्रेक्षणों (x₅, x₆, और x₇) को 4 से बढ़ाने से क्रमित अनुक्रम में केवल 5वें, 6वें और 7वें स्थान प्रभावित होते हैं। चौथा प्रेक्षण x₄ = 21.5 पर अपरिवर्तित रहता है, इसलिए नए समुच्चय का माध्यक मूल समुच्चय के समान ही रहता है।

व्याख्या

सेंटीमीटर में फर्श के आयाम: लंबाई = 3 मीटर = 300 सेमी चौड़ाई = 1 मीटर 50 सेमी = 150 सेमी

फर्श को सबसे बड़ी संभव वर्गाकार स्लैबों से पूरी तरह पक्का करने के लिए, प्रत्येक वर्गाकार स्लैब की भुजा की लम्बाई, लम्बाई और चौड़ाई के महत्तम समापवर्तक (HCF) के बराबर होनी चाहिए: वर्गाकार स्लैब की भुजा = HCF(300, 150) = 150 सेमी

आवश्यक स्लैबों की संख्या = (फर्श का क्षेत्रफल) / (एक स्लैब का क्षेत्रफल) स्लैबों की संख्या = (300 × 150) / (150 × 150) = 2

व्याख्या

√529 = 23.

इसे दिए गए समीकरण में प्रतिस्थापित करने पर: √x + 10 = 23 √x = 23 - 10 √x = 13

दोनों पक्षों का वर्ग करने पर: x = 13² = 169

व्याख्या

दिए गए समीकरण पर योगांतरा अनुपात (Componendo and Dividendo) का प्रयोग करने पर:

(sec θ + tan θ + sec θ - tan θ) / (sec θ + tan θ - sec θ + tan θ) = (5 + 3) / (5 - 3)

2 sec θ / 2 tan θ = 8 / 2

sec θ / tan θ = 4

चूंकि sec θ = 1 / cos θ और tan θ = sin θ / cos θ है, तो बायां पक्ष सरल करने पर प्राप्त होता है:

(1 / cos θ) / (sin θ / cos θ) = 1 / sin θ = 4

व्युत्क्रम लेने पर sin θ = 1/4 प्राप्त होता है।

व्याख्या

किसी अनुपात a : b के उप-डुप्लिकेट अनुपात को √a : √b के रूप में परिभाषित किया गया है।

प्रत्येक पद का वर्गमूल लेने पर: √225 : √144 = 15 : 12

व्याख्या

बीजगणितीय सर्वसमिका (a + b)² + (a - b)² = 2(a² + b²) का प्रयोग करते हुए, मान लीजिए a = 74 और b = 47।

इन मानों को दिए गए व्यंजक में प्रतिस्थापित करने पर: अंश = (74 + 47)² + (74 - 47)² = 2(74² + 47²)

हर से विभाजित करने पर: 2(74² + 47²) / (74² + 47²) = 2

व्याख्या

60 मिनट में मिनट की सुई द्वारा बनाया गया कोण 360° होता है, इसलिए 5 मिनट में यह θ = (5 / 60) × 360° = 30° का कोण बनाती है।

,

बनने वाले त्रिज्यखंड का क्षेत्रफल निम्न सूत्र का उपयोग करके ज्ञात किया जाता है: क्षेत्रफल = (θ / 360°) × πr²

त्रिज्या r = 6 सेमी, θ = 30°, और π = 22/7 रखने पर: क्षेत्रफल = (30° / 360°) × (22 / 7) × 6² = (1 / 12) × (22 / 7) × 36 = 3 × (22 / 7) = 66 / 7 ≈ 9.43 cm²

व्याख्या

मान लीजिए दो धनात्मक संख्याएँ x और y हैं।

दिया गया है कि √x = 7, दोनों पक्षों का वर्ग करने पर x = 49 प्राप्त होता है। पहली संख्या का वर्ग x² = 49² = 2401 है।

संबंध x² + y² = 2437 का उपयोग करके: 2401 + y² = 2437 y² = 2437 - 2401 y² = 36 y = √36 = 6

व्याख्या

प्रथम n विषम प्राकृतिक संख्याओं का योग सूत्र S = n² द्वारा दिया जाता है। n = 25 रखने पर S = 25² = 625 प्राप्त होता है।

व्याख्या

कुल कार्य = LCM(4, 6, 8) = 24 इकाई मान लीजिए।

प्रति घंटा कार्य (दक्षता): A + B = 24 / 4 = 6 इकाई/घंटा B + C = 24 / 6 = 4 इकाई/घंटा A + C = 24 / 8 = 3 इकाई/घंटा

तीनों समीकरणों को जोड़ने पर: 2(A + B + C) = 6 + 4 + 3 = 13 इकाई/घंटा A + B + C = 13 / 2 = 6.5 इकाई/घंटा

C की दक्षता = (A + B + C) - (A + B) = 6.5 - 6 = 0.5 इकाई/घंटा

C द्वारा अकेले लिया गया समय = कुल कार्य / C की दक्षता = 24 / 0.5 = 48 घंटे।

व्याख्या

9.23 घंटे को घंटे, मिनट और सेकंड में बदलने के लिए:

पूर्ण घंटे = 9 घंटे भिन्नात्मक घंटे = 0.23 × 60 = 13.8 मिनट पूर्ण मिनट = 13 मिनट भिन्नात्मक मिनट = 0.8 × 60 = 48 सेकंड

इन सबको मिलाने पर 9 घंटे, 13 मिनट और 48 सेकंड प्राप्त होते हैं।

व्याख्या

समीकरण √(15 × 27 × x) = 180 के दोनों पक्षों का वर्ग करने पर:

15 × 27 × x = 180²

405 × x = 32400

x = 32400 / 405 = 80

व्याख्या

किसी व्यक्ति द्वारा पूरा काम करने में लिया गया कुल समय निम्न सूत्र द्वारा दिया जाता है: कुल समय = लिया गया दिन / किया गया काम का अंश

A द्वारा लिया गया समय = 12 / (½) = 24 दिन B द्वारा लिया गया समय = 10 / (20/100) = 50 दिन C द्वारा लिया गया समय = 8 / (½) = 16 दिन D द्वारा लिया गया समय = 12 / (⅕) = 60 दिन

चूंकि C को पूरा काम व्यक्तिगत रूप से खत्म करने में सबसे कम समय (16 दिन) लगता है, इसलिए C इसे सबसे पहले पूरा करेगा।