आरआरबी एनटीपीसी सीबीटी 1 2021 Mathematics प्रश्न — हल सहित

व्याख्या

मान लीजिए अभीष्ट संख्या x है।

प्रश्न के अनुसार: [5 × (x + 7)] / 9 - 3 = 12

समीकरण को चरण दर चरण हल करने पर: 5 × (x + 7) / 9 = 12 + 3 = 15 5 × (x + 7) = 15 × 9 = 135 x + 7 = 135 / 5 = 27 x = 27 - 7 = 20

व्याख्या

मान लीजिए कुल काम (आदमी + लड़का) मिलकर 24 दिनों में पूरा करते हैं। चूँकि आदमी कुल 26 दिनों के अंतिम 6 दिनों के लिए अकेले काम करता है, इसलिए दोनों ने पहले 26 - 6 = 20 दिनों तक एक साथ काम किया।

20 दिनों में मिलकर पूरा किया गया काम का अंश = 20/24 = 5/6। शेष काम = 1 - 5/6 = 1/6।

आदमी यह शेष 1/6 काम 6 दिनों में अकेले पूरा करता है। आदमी का 1-दिन का काम = (1/6) ÷ 6 = 1/36।

लड़के का 1-दिन का काम = संयुक्त 1-दिन का काम - आदमी का 1-दिन का काम = 1/24 - 1/36 = (3 - 2) / 72 = 1/72।

लड़के द्वारा अकेले काम करने में लिया गया समय = 1 ÷ (1/72) = 72 दिन।

व्याख्या

दिए गए व्यंजक में a = 0.9 और b = 0.1 को चरण दर चरण प्रतिस्थापित करें:

a - b = 0.9 - 0.1 = 0.8 = 8/10

1/√(ab) = 1/√(0.9 × 0.1) = 1/√0.09 = 1/0.3 = 10/3

√(a/b) = √(0.9/0.1) = √9 = 3

इन पदों को एक साथ जोड़ना: 0.9 ⊕ 0.1 = 8/10 + 10/3 + 3 = 4/5 + 10/3 + 3

30 को सामान्य भाजक के रूप में लेते हुए: = (24 + 100 + 90) / 30 = 214/30

व्याख्या

चूंकि त्रिभुज ABC के कोण A, B, और C समान्तर श्रेणी में हैं और उनका योग 180° है, इसलिए A + B + C = 3B = 180°, जिससे B = 60° प्राप्त होता है।

समकोण त्रिभुज AMB में जहाँ AM, BC पर लम्ब है (∠AMB = 90°):

cos(B) = BM / AB

B = 60° रखने पर:

BM / AB = cos(60°) = ½

व्याख्या

दिए गए समीकरण को पुनर्व्यवस्थित करने पर: a = b² / (b - a) a(b - a) = b² ab - a² = b² a² - ab + b² = 0

मानक बीजगणितीय सर्वसमिका का उपयोग करके: a³ + b³ = (a + b)(a² - ab + b²)

a² - ab + b² = 0 को प्रतिस्थापित करने पर प्राप्त होता है: a³ + b³ = (a + b) × 0 = 0

व्याख्या

त्रिकोणमितीय सर्वसमिका से, sin A sin B + cos A cos B = cos(A - B)।

चूंकि कोण A = कोण B है, इसलिए अंतर (A - B) = 0° है।

अतः, cos(A - B) = cos 0° = 1।

वैकल्पिक रूप से, चूंकि त्रिभुज ABC C पर समकोण है और कोण A = कोण B है, इसलिए A और B दोनों 45° के बराबर हैं। इन मानों को प्रतिस्थापित करने पर sin 45° sin 45° + cos 45° cos 45° = (1/√2 × 1/√2) + (1/√2 × 1/√2) = ½ + ½ = 1 प्राप्त होता है।

व्याख्या

दिया गया है कि 40% × (a - b) = 20% × (a + b)।

दोनों पक्षों को 20% से विभाजित करने पर: 2(a - b) = 1(a + b) 2a - 2b = a + b a = 3b

यह ज्ञात करने के लिए कि b , a का कितना प्रतिशत है: (b / a) × 100 = (1 / 3) × 100 = 100/3 %

व्याख्या

मान लीजिए विकास का प्रारंभिक वेतन ₹100 है। चूंकि वह अपने वेतन का 80% खर्च करता है: प्रारंभिक व्यय = ₹80 प्रारंभिक बचत = 100 - 80 = ₹20

Increases के बाद: नया वेतन = ₹100 × 1.25 = ₹125 नया व्यय = ₹80 × 1.15 = ₹92 नई बचत = 125 - 92 = ₹33

बचत में वृद्धि = 33 - 20 = ₹13 बचत में प्रतिशत वृद्धि = (13 / 20) × 100 = 65%

व्याख्या

मान लीजिए दो संख्याओं का प्रारंभिक अनुपात 9 : 11 है और प्रत्येक में से 4 घटाने के बाद नया अनुपात 7 : 9 है।

दोनों संख्याओं के लिए अनुपात इकाइयों में अंतर है: (9 - 7) = (11 - 9) = 2 इकाइयाँ

चूंकि 4 घटाने से प्रत्येक संख्या 2 अनुपात इकाइयों से कम हो जाती है: 2 इकाइयाँ = 4 1 इकाई = 2

अनुपात इकाइयों में दो संख्याओं का योग 9 + 11 = 20 इकाइयाँ है।

योग = 20 × 2 = 40

वैकल्पिक रूप से, चूंकि अनुपात 9 : 11 है, संख्याओं का योग (9 + 11) = 20 का गुणज होना चाहिए, जिससे सीधे 40 प्राप्त होता है।

व्याख्या

5 सेल्समैनों में से 3 सदस्यीय प्रतिनिधिमंडल का चयन करने के कुल तरीकों की संख्या ⁵C₃ = 10 है।

A को शामिल करने वाले अनुकूल प्रतिनिधिमंडलों की संख्या में शेष 4 सेल्समैनों में से 2 और सदस्यों का चयन करना शामिल है, जो ⁴C₂ = 6 है।

A के चुने जाने की प्रायिकता = ⁴C₂ / ⁵C₃ = 6 / 10 = 3/5 है।

व्याख्या

मान लीजिए टीवी का प्रारंभिक विक्रय मूल्य ₹100 है।

अनीशा का क्रय मूल्य (CP) = ⅘ × 100 = ₹80 अनीशा का विक्रय मूल्य (SP) = 100 + 100 का 4% = ₹104

लाभ = SP - CP = 104 - 80 = ₹24 लाभ प्रतिशत = (लाभ / CP) × 100 = (24 / 80) × 100 = 30%

व्याख्या

अंश का मूल्यांकन: 19 × 9 + 31 × 10 + 32 × 11 = 171 + 310 + 352 = 833

हर का मूल्यांकन: 233.25 × 2 - 50 = 466.5 - 50 = 416.5

व्यंजक का मान = 833 ÷ 416.5 = 2

व्याख्या

पूरक कोण संबंधों का उपयोग करके, cot 71° = tan(90° - 71°) = tan 19°, 1/tan 71° = tan 19°, और 1/sec² 69° = cos² 69° = sin²(90° - 69°) = sin² 21°।

इन मानों को कोष्ठक वाले व्यंजक में प्रतिस्थापित करने पर: cot 71° cos² 21° + 1 / (tan 71° sec² 69°) = tan 19° cos² 21° + tan 19° sin² 21° = tan 19° (cos² 21° + sin² 21°)

सर्वसमिका cos² θ + sin² θ = 1 का उपयोग करके, आंतरिक व्यंजक tan 19° × 1 = tan 19° तक सरल हो जाता है।

बाहरी पद से गुणा करने पर: cot 19° × tan 19° = 1

व्याख्या

लघुत्तम समापवर्त्य (LCM) (5, 6, 8, 9, 12) = 360.

कोई भी संख्या जो 5, 6, 8, 9 और 12 से विभाजित करने पर 1 शेष देती है, वह N = 360k + 1 के रूप में होती है, जहाँ k एक धनात्मक पूर्णांक है।

360k + 1 को (13 × 27k + 9k + 1) के रूप में पुनः लिखने पर, संख्या N 13 से विभाज्य होती है जब (9k + 1) 13 से विभाज्य हो।

k के मानों का परीक्षण करने पर: k = 10 के लिए, 9(10) + 1 = 91, जो 13 से विभाज्य है (91 ÷ 13 = 7)।

इस प्रकार, आवश्यक सबसे छोटी धनात्मक संख्या N = 360 × 10 + 1 = 3601 है।

व्याख्या

(x, y) ज्ञात करने के लिए, अंश और हर को (2 + √3) से गुणा करके हर का परिमेयकरण करें:

(5 + 2√3) / (2 - √3) = [(5 + 2√3)(2 + √3)] / [(2 - √3)(2 + √3)]

हर (a - b)(a + b) = a² - b² सर्वसमिका का उपयोग करके सरल हो जाता है: 2² - (√3)² = 4 - 3 = 1

अंश का विस्तार इस प्रकार होता है: (5 × 2) + (5 × √3) + (2√3 × 2) + (2√3 × √3) = 10 + 5√3 + 4√3 + 6 = 16 + 9√3

16 + 9√3 की तुलना x + y√3 से करने पर x = 16 और y = 9 प्राप्त होता है, इसलिए (x, y) = (16, 9)।

व्याख्या

समांतर चतुर्भुज का क्षेत्रफल = आधार × शीर्षलंब।

माना आधार b है और शीर्षलंब h है। दिया गया है कि h = 2b, जिसका अर्थ है b = h / 2।

क्षेत्रफल = (h / 2) × h = h² / 2 288 = h² / 2 h² = 576 h = √576 = 24 मी

व्याख्या

कर्ण h वाले एक समकोण समद्विबाहु त्रिभुज के लिए, क्षेत्रफल सूत्र Area = h² / 4 द्वारा दिया जाता है।

सूत्र में h = 8 सेमी रखने पर: Area = 8² / 4 = 64 / 4 = 16 सेमी²

वैकल्पिक रूप से, यदि दो बराबर भुजाओं की लंबाई a है, तो पाइथागोरस प्रमेय द्वारा, a² + a² = 8², जिससे 2a² = 64, या a² = 32 प्राप्त होता है। त्रिभुज का क्षेत्रफल ½ × a² = ½ × 32 = 16 सेमी² है।

व्याख्या

उन दी गई संख्याओं को विभाजित करने वाली सबसे बड़ी संख्या ज्ञात करने के लिए, जिनसे प्रत्येक स्थिति में समान शेषफल प्राप्त होता है, संख्याओं के बीच निरपेक्ष अंतरों का महत्तम समापवर्तक (HCF) ज्ञात करें।

संख्याओं के बीच अंतर: 3739 - 2270 = 1469 6677 - 3739 = 2938 6677 - 2270 = 4407

HCF(1469, 2938, 4407) ज्ञात करना: 2938 = 2 × 1469 4407 = 3 × 1469

चूंकि 1469, 2938 और 4407 दोनों को पूरी तरह से विभाजित करता है, इसलिए महत्तम समापवर्तक 1469 है।

व्याख्या

दोनों छात्रों के लिए सभी चार विषयों में कुल अधिकतम अंक = 4 × 50 = 200।

राज के कुल अंक = 37 + 45 + 42 + 32 = 156 राज का कुल प्रतिशत = (156 / 200) × 100 = 78%

रोहित के कुल अंक = 48 + 30 + 45 + 35 = 158 रोहित का कुल प्रतिशत = (158 / 200) × 100 = 79%

कुल प्रतिशत में अंतर = 79% − 78% = 1%

वैकल्पिक रूप से, कुल अंकों में अंतर = 158 − 156 = 2 प्रतिशत अंतर = (2 / 200) × 100 = 1%

व्याख्या

2015 में गेहूं का कुल उत्पादन = 7.2 + 5.6 + 6.2 = 19 टन

2016 में गेहूं का कुल उत्पादन = 7.8 + 6.2 + 6 = 20 टन

अंतर = 20 - 19 = 1 टन

व्याख्या

तर्क P कमजोर है क्योंकि केवल यह बताना कि नीति अन्य देशों में अपनाई जाती है, एक उदाहरण-आधारित तर्क है जो यह बताने में विफल रहता है कि इसे क्यों लागू किया जाना चाहिए, इसका कोई तार्किक कारण या औचित्य प्रदान नहीं करता है।

तर्क Q मजबूत है क्योंकि सरकारी हस्तक्षेप सीधे तौर पर मीडिया की स्वतंत्रता और निष्पक्षता से समझौता करता है, जिससे समाचार अपनी विश्वसनीयता और जनता का विश्वास खो देते हैं, जो सीधे मुद्दे के एक मौलिक परिणाम को संबोधित करता है।

व्याख्या

अंग्रेजी वर्णमाला में 26 अक्षर होते हैं। प्रत्येक तीसरे अक्षर (तीसरे, छठे, नौवें, ..., 24वें) को हटाने पर 8 अक्षर हट जाते हैं, जिससे नई श्रृंखला में कुल 18 अक्षर बचते हैं।

18 अक्षरों की श्रृंखला में दाएं से 9वां अक्षर, बाएं से (18 - 9 + 1) = 10वें अक्षर के बराबर होता है।

बाएं से क्रम में बचे हुए अक्षर हैं: A, B, D, E, G, H, J, K, M, N, P, Q, S, T, V, W, Y, Z। बाएं से 10वें स्थान की गिनती करने पर N प्राप्त होता है।

व्याख्या

5% प्रति वर्ष की दर से, भिन्नात्मक समतुल्य 1/20 है।

3 वर्षों की अवधि के लिए, मूलधन P = 20³ = 8000 इकाई मान लें। 3 वर्षों के बाद मिश्रधन A = 21³ = 9261 इकाई।

चक्रवृद्धि ब्याज (CI) = A - P = 9261 - 8000 = 1261 इकाई।

दिया गया CI = ₹6,305: 1261 इकाई = ₹6,305 1 इकाई = 6305 / 1261 = ₹5

साधारण ब्याज (SI) = (P × R × T) / 100 SI = (8000 इकाई × 5 × 3) / 100 = 1200 इकाई

साधारण ब्याज का मान = 1200 × 5 = ₹6,000

व्याख्या

भिन्नों को उनके अनुमानित दशमलव तुल्यांकों में परिवर्तित करने पर:

11/13 ≈ 0.846 13/14 ≈ 0.928 15/17 ≈ 0.882 17/19 ≈ 0.894

दशमलव मानों की तुलना करने पर पता चलता है कि 0.846 सबसे छोटा मान है। वैकल्पिक रूप से, 11/13 को किसी भी अन्य भिन्न के साथ तिरछा गुणा करने पर यह पुष्टि होती है कि यह प्रत्येक तुलना में छोटी है (उदाहरण के लिए, 11 × 14 = 154 < 13 × 13 = 169, और 11 × 17 = 187 < 13 × 15 = 195)।

व्याख्या

दिए गए व्यंजक में मानक त्रिकोणमितीय मानों को प्रतिस्थापित करें: sin 45° = 1/√2 sec 45° = √2 tan 45° = 1 cos 60° = ½ sin 30° = ½ sin 90° = 1

प्रत्येक घटक का मूल्यांकन करें: पहला पद = sin 45° × sec 45° × tan 45° = (1/√2) × √2 × 1 = 1 दूसरा पद = cos 60° × sin 30° × sin 90° = ½ × ½ × 1 = ¼ तीसरा पद = -4 cos 60° = -4 × ½ = -2

पदों को मिलाएं: 1 + ¼ - 2 = 5/4 - 2 = -3/4

व्याख्या

साधारण ब्याज के तहत किसी राशि को तिगुना (n = 3) करने के लिए, अर्जित ब्याज मूलधन के दोगुने के बराबर होता है।

साधारण ब्याज की दर का सूत्र इस प्रकार दिया गया है: R = [(n - 1) / T] × 100%

n = 3 और T = 12.5 वर्ष रखने पर: R = [(3 - 1) / 12.5] × 100 R = (2 / 12.5) × 100 = 16%

व्याख्या

बहुपद 6x⁴ + 8x³ + 17x² + 21x + 7 को बहुपद 3x² + 4x + 1 से बहुपद विभाजन का उपयोग करके विभाजित करना:

पहला चरण: 6x⁴ / 3x² = 2x² 2x² × (3x² + 4x + 1) = 6x⁴ + 8x³ + 2x² इसे भाज्य से घटाने पर प्राप्त होता है: (6x⁴ + 8x³ + 17x² + 21x + 7) - (6x⁴ + 8x³ + 2x²) = 15x² + 21x + 7

दूसरा चरण: 15x² / 3x² = 5 5 × (3x² + 4x + 1) = 15x² + 20x + 5 इसे घटाने पर शेषफल प्राप्त होता है: (15x² + 21x + 7) - (15x² + 20x + 5) = x + 2

शेषफल x + 2 की ax + b से तुलना करने पर a = 1 और b = 2 प्राप्त होता है।

व्याख्या

पानीपत की तीसरी लड़ाई 14 जनवरी 1761 को पानीपत में मराठा साम्राज्य, जिसका नेतृत्व सदाशिवराव भाऊ कर रहे थे, और अहमद शाह दुर्रानी (अब्दाली) के नेतृत्व वाली अफगान सेना के बीच लड़ी गई थी, जिसे नजीब-उद-दौला और शुजा-उद-दौला सहित क्षेत्रीय सहयोगियों का समर्थन प्राप्त था। इस संघर्ष के परिणामस्वरूप मराठों की निर्णायक हार हुई और उत्तरी भारत में उनके विस्तार पर काफी अंकुश लगा।

व्याख्या

(P + Q) द्वारा 1 दिन में किया गया कार्य की दर = 1/9 (Q + R) द्वारा 1 दिन में किया गया कार्य की दर = 1/12 (P + R) द्वारा 1 दिन में किया गया कार्य की दर = 1/18

दैनिक कार्य दरों को जोड़ने पर: 2 × (P + Q + R) = 1/9 + 1/12 + 1/18 2 × (P + Q + R) = (4 + 3 + 2) / 36 = 9/36 = 1/4 P + Q + R = 1/8

चूंकि P, Q और R मिलकर 1 दिन में खेत का 1/8 भाग पूरा करते हैं, इसलिए वे एक साथ काम करते हुए पूरे खेत को पूरा करने में 8 दिन लेंगे।

व्याख्या

ई-संपर्क डिजिटल इंडिया अभियान के तहत भारत सरकार द्वारा नागरिकों के साथ सीधा संचार स्थापित करने के लिए शुरू की गई एक पहल है। राष्ट्रीय सूचना विज्ञान केंद्र (एनआईसी) द्वारा विकसित, यह केंद्र और राज्य सरकार के विभागों को एसएमएस, आउटबाउंड डायलिंग (ओबीडी) और ईमेल जैसे इलेक्ट्रॉनिक चैनलों का उपयोग करके नीतियों, सार्वजनिक सेवाओं, सलाहों और कल्याणकारी योजनाओं के बारे में व्यक्तिगत और थोक जानकारी सीधे नागरिकों को भेजने में सक्षम बनाता है।

व्याख्या

दिसंबर 1922 में भारतीय राष्ट्रीय कांग्रेस के गया अधिवेशन के बाद, विधायी परिषदों में प्रवेश करने के प्रस्ताव को पराजित कर दिया गया था। सत्र की अध्यक्षता करने वाले चितरंजन दास ने मोतीलाल नेहरू के साथ इस्तीफा दे दिया और परिषद चुनावों में भाग लेने और विधायिका के भीतर से ब्रिटिश नीति में बाधा डालने के लिए 1 जनवरी 1923 को स्वराज पार्टी की स्थापना की।

व्याख्या

चक्रवृद्धि ब्याज की गणना सूत्र का उपयोग करके की जाती है: CI = P × [(1 + r/100)ⁿ - 1]

दिया गया है: मूलधन (P) = ₹ 10,000 ब्याज दर (r) = 10% प्रति वर्ष समय अवधि (n) = 3 वर्ष

दिए गए मानों को सूत्र में प्रतिस्थापित करने पर: CI = 10,000 × [(1 + 10/100)³ - 1] CI = 10,000 × [(1.1)³ - 1] CI = 10,000 × [1.331 - 1] CI = 10,000 × 0.331 = ₹ 3,310

वैकल्पिक रूप से, 3 वर्षों के लिए 3:3:1 अनुपात विधि का उपयोग करके: पहले वर्ष का ब्याज = 10,000 का 10% = 1,000 ब्याज पर दूसरे वर्ष का ब्याज = 1,000 का 10% = 100 ब्याज पर तीसरे वर्ष का ब्याज = 100 का 10% = 10

CI = (3 × 1,000) + (3 × 100) + (1 × 10) = 3,000 + 300 + 10 = ₹ 3,310

व्याख्या

फुटबॉल, कबड्डी और शतरंज खिलाड़ियों के प्रतिशत का योग 82% + 7% + 4% = 93% है।

क्रिकेट खिलाड़ियों का प्रतिशत 100% - 93% = 7% है।

क्रिकेट खिलाड़ियों की संख्या = 3600 का 7% = (7 / 100) × 3600 = 7 × 36 = 252।

व्याख्या

मूलधन P को 40% से बढ़ाने के लिए, अर्जित साधारण ब्याज SI, 0.40 × P के बराबर होना चाहिए।

साधारण ब्याज सूत्र SI = (P × R × T) / 100 का उपयोग करके:

0.40 × P = (P × 10 × T) / 100 40 = 10 × T T = 4 वर्ष

व्याख्या

बीजगणितीय विस्तार सूत्र का उपयोग करके: (a - b)² = a² + b² - 2ab

दिए गए मानों a² + b² = 29 और ab = 10 को प्रतिस्थापित करने पर: (a - b)² = 29 - 2(10) = 29 - 20 = 9

व्याख्या

औसत गति = कुल दूरी / कुल समय

P द्वारा तय की गई दूरी = 1 घंटा × 40 किमी/घंटा = 40 किमी Q द्वारा तय की गई दूरी = 2 घंटे × 50 किमी/घंटा = 100 किमी R द्वारा तय की गई दूरी = 3 घंटे × 60 किमी/घंटा = 180 किमी

कुल दूरी = 40 + 100 + 180 = 320 किमी कुल समय = 1 + 2 + 3 = 6 घंटे

औसत गति = 320 / 6 = 53.33 किमी/घंटा

व्याख्या

संख्या 128935 में, अंक 2 दस-हजारवें स्थान पर है, जिसका स्थानीय मान 20000 है। अंक 3 दहाई के स्थान पर है, जिसका स्थानीय मान 30 है।

अंतर = 20000 - 30 = 19970

व्याख्या

एक बेलन का पार्श्व पृष्ठीय क्षेत्रफल सूत्र LSA = 2πrh द्वारा दिया जाता है।

दिया गया है, त्रिज्या (r) = 25 सेमी और ऊँचाई (h) = 42 सेमी।

π = 22/7 के साथ मानों को प्रतिस्थापित करने पर: LSA = 2 × (22/7) × 25 × 42 LSA = 2 × 22 × 25 × 6 LSA = 6600 सेमी²

व्याख्या

तीन कक्षाओं में छात्रों का प्रारंभिक अनुपात 2 : 3 : 5 है, और प्रत्येक कक्षा में 30 छात्र जोड़ने के बाद, नया अनुपात 4 : 5 : 7 हो जाता है।

प्रत्येक कक्षा के लिए अनुपात इकाइयों में वृद्धि 4 - 2 = 5 - 3 = 7 - 5 = 2 इकाई है।

चूंकि 2 इकाइयों की वृद्धि 30 छात्रों के बराबर है: 1 इकाई = 15 छात्र

वृद्धि के बाद अनुपात इकाइयों की कुल संख्या 4 + 5 + 7 = 16 इकाई है।

वृद्धि के बाद कुल छात्र = 16 × 15 = 240।

व्याख्या

दो संख्याओं का गुणनफल = उनके LCM और HCF का गुणनफल

माना दो संख्याएँ 5x और 4x हैं।

(5x) × (4x) = 18000 20x² = 18000 x² = 900 x = 30

दोनों संख्याओं का योग = 5x + 4x = 9x = 9 × 30 = 270।

व्याख्या

a भुजा वाले घन का कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल सूत्र द्वारा दिया जाता है: कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल = 6a²

दी गई भुजा की लंबाई a = 2 मीटर: कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल = 6 × 2² = 6 × 4 = 24 m²

व्याख्या

दो संख्याओं का गुणनफल उनके लघुत्तम समापवर्त्य (LCM) और महत्तम समापवर्तक (HCF) के गुणनफल के बराबर होता है।

माना दो धनात्मक संख्याएँ 7x और 9x हैं।

(7x) × (9x) = 25200 63x² = 25200 x² = 400 x = 20

संख्याओं का योग 7x + 9x = 16x है। x = 20 रखने पर: योग = 16 × 20 = 320

व्याख्या

105, 210, या 420 पंक्तियों में बिना किसी शेष के लगाए जा सकने वाले पेड़ों की न्यूनतम संख्या ज्ञात करने के लिए, पेड़ों की कुल संख्या 105, 210 और 420 का लघुत्तम समापवर्त्य (LCM) होनी चाहिए।

चूंकि 420, 105 और 210 दोनों का गुणज है: 105 × 4 = 420 210 × 2 = 420 420 × 1 = 420

LCM(105, 210, 420) = 420

व्याख्या

रामू का राहुल को 5% लाभ पर विक्रय मूल्य = 2,00,000 × (105 / 100) = ₹2,10,000

राहुल का रामू को 2% हानि पर वापस विक्रय मूल्य = 2,10,000 × (98 / 100) = ₹2,05,800

चूंकि रामू कार वापस प्राप्त करता है, उसका शुद्ध वित्तीय लाभ प्राप्त नकद और खर्च किए गए नकद के बीच का अंतर है: शुद्ध लाभ = 2,10,000 - 2,05,800 = ₹4,200

व्याख्या

जब x + 1/x = k होता है, तो घनों के योग के लिए बीजगणितीय संबंध है: x³ + 1/x³ = k³ - 3k

k = 2 रखने पर: x³ + 1/x³ = 2³ - 3(2) = 8 - 6 = 2

वैकल्पिक रूप से, x + 1/x = 2 को हल करने पर x = 1 प्राप्त होता है, जिससे सीधे 1³ + 1/1³ = 2 प्राप्त होता है।

व्याख्या

नहर को पूरी तरह से पार करने के लिए, ट्रेन को अपनी लंबाई और नहर की लंबाई के योग के बराबर कुल दूरी तय करनी होगी।

कुल दूरी = 150 मीटर + 102 मीटर = 252 मीटर

गति = कुल दूरी ÷ समय = 252 ÷ 7 = 36 मी/से

व्याख्या

तीन क्रमागत प्राकृतिक संख्याओं के लिए, मध्य संख्या समूह के औसत के बराबर होती है:

मध्य संख्या = 120 / 3 = 40

चूंकि संख्याएँ क्रमागत हैं, इसलिए तीन संख्याएँ 39, 40 और 41 हैं। इस समूह में सबसे बड़ी संख्या 41 है।

व्याख्या

(x + y)² = x² + 2xy + y² सूत्र का उपयोग करके (√5 + 1)² का विस्तार करने पर:

(√5 + 1)² = (√5)² + 2(√5)(1) + 1² = 5 + 2√5 + 1 = 6 + 2√5

इसे a + b√5 के बराबर रखने पर: a = 6 और b = 2

चूँकि 6 > 2 है, इसलिए शर्त a > b संतुष्ट होती है।

व्याख्या

तय की जाने वाली कुल दूरी = ट्रेनों की लंबाई का योग = 131 + 89 = 220 मी

चूंकि ट्रेनें विपरीत दिशाओं में चल रही हैं, सापेक्ष गति = 42 + 30 = 72 किमी/घंटा

गति को मी/से में बदलना = 72 × (5 / 18) = 20 मी/से

एक-दूसरे को पूरी तरह से पार करने में लिया गया समय = कुल दूरी / सापेक्ष गति = 220 / 20 = 11 से

व्याख्या

प्रत्येक भाग की गणना करें: (4/5) × 3500 = 2800 (1/3) × 6000 = 2000

अंतर ज्ञात करने के लिए दूसरे मान को पहले मान से घटाएं: 2800 - 2000 = 800