आरआरबी एनटीपीसी सीबीटी 1 2021 Mathematics प्रश्न — हल सहित

व्याख्या

समय = दूरी / गति

दिया गया है: गति = 45 किमी/घंटा दूरी = 4/5 किमी

घंटों में समय = (4/5) / 45 = 4/225 घंटे

घंटों को सेकंड में बदलने के लिए, 3600 से गुणा करें: सेकंड में समय = (4/225) × 3600 = 4 × 16 = 64 सेकंड।

व्याख्या

2 वर्षों के लिए 4% प्रति वर्ष की प्रभावी दर सूत्र का उपयोग करके: प्रभावी दर = 4 + 4 + (4 × 4) / 100 = 8.16%

चक्रवृद्धि ब्याज = मूलधन × प्रभावी दर = 7,500 × (8.16 / 100) = 75 × 8.16 = ₹612

व्याख्या

समचतुर्भुज के विकर्ण एक दूसरे को समकोण पर समद्विभाजित करते हैं। पाइथागोरस प्रमेय का उपयोग करके, दूसरे विकर्ण का आधा भाग है:

√(10² - (16/2)²) = √(100 - 64) = √36 = 6 सेमी

इसलिए, दूसरे विकर्ण (d₂) की पूरी लंबाई 2 × 6 = 12 सेमी है।

समचतुर्भुज का क्षेत्रफल = ½ × d₁ × d₂ = ½ × 16 × 12 = 96 सेमी²

व्याख्या

चार क्रमागत सम संख्याओं x, x + 2, x + 4, और x + 6 के लिए, औसत अनुक्रम का मध्य बिंदु होता है: औसत = (x + x + 2 + x + 4 + x + 6) / 4 = x + 3

दिया गया औसत 27 है: x + 3 = 27 x = 24

इन पूर्णांकों में सबसे बड़ी संख्या x + 6 = 24 + 6 = 30 है।

व्याख्या

प्रतिशत वृद्धि = [(नया प्रीमियम - मूल प्रीमियम) / मूल प्रीमियम] × 100

दिए गए मानों को प्रतिस्थापित करने पर: प्रीमियम में वृद्धि = 1,512 - 1,440 = 72 प्रतिशत वृद्धि = (72 / 1,440) × 100 = (1 / 20) × 100 = 5%

व्याख्या

समय = कुल शब्द / टाइपिंग गति

समय = 987 / 35 = 28 7/35 मिनट = 28 1/5 मिनट

1/5 मिनट को सेकंड में बदलें: (1/5) × 60 = 12 सेकंड

मिनट और सेकंड को मिलाने पर 28 मिनट 12 सेकंड प्राप्त होता है।

व्याख्या

दिए गए पदों का परिमेयकरण करने पर: x = (√3 + 1)/(√3 - 1) = (√3 + 1)²/(3 - 1) = (4 + 2√3)/2 = 2 + √3 y = (√3 - 1)/(√3 + 1) = (√3 - 1)²/(3 - 1) = (4 - 2√3)/2 = 2 - √3

योगफल और गुणनफल की गणना: x + y = (2 + √3) + (2 - √3) = 4 x × y = (2 + √3)(2 - √3) = 4 - 3 = 1

बीजगणितीय सर्वसमिका x² + y² = (x + y)² - 2xy का प्रयोग करने पर: x² + y² = 4² - 2(1) = 16 - 2 = 14

व्याख्या

A का 1 दिन का काम = 1/16 B का 1 दिन का काम = 1/12 A, B और C का एक साथ 1 दिन का काम = 1/4

C का 1 दिन का काम = 1/4 - (1/16 + 1/12) = 1/4 - (3 + 4)/48 = 12/48 - 7/48 = 5/48

C द्वारा अकेले काम पूरा करने में लिया गया समय = 1 / (5/48) = 48/5 दिन।

व्याख्या

मान प्रतिस्थापित करने से पहले व्यंजक को बीजगणितीय रूप से सरल करें:

y √(y³ - y²) = y √(y²(y - 1)) = y² √(y - 1)

सरलीकृत व्यंजक में y = 26 प्रतिस्थापित करें:

26² × √(26 - 1) = 676 × √25 = 676 × 5 = 3380

व्याख्या

क्रय मूल्य = (विक्रय मूल्य × 100) / (100 + लाभ%)

दिए गए मानों को प्रतिस्थापित करने पर: क्रय मूल्य = (2600 × 100) / (100 + 30) = 260000 / 130 = ₹2,000

व्याख्या

मान लीजिए कुल कार्य 30 इकाई है (15 और 30 का लघुत्तम समापवर्त्य)।

A की दक्षता = 30 / 15 = 2 इकाई/दिन B की दक्षता = 30 / 30 = 1 इकाई/दिन

2-दिन के चक्र में (बारी-बारी से काम करते हुए), कुल कार्य पूरा हुआ = 2 + 1 = 3 इकाई।

30 इकाई पूरा करने के लिए आवश्यक 2-दिन के चक्रों की संख्या = 30 / 3 = 10 चक्र।

लिया गया कुल समय = 10 × 2 = 20 दिन।

व्याख्या

आवर्ती दशमलव 5.4646... को भिन्न में बदलने के लिए:

मान लीजिए x = 5.4646... 100x = 546.4646...

दूसरे समीकरण में से पहले समीकरण को घटाने पर: 100x - x = 546.4646... - 5.4646... 99x = 541 x = 541/99

संक्षिप्त नियम का उपयोग करके: भिन्न = (पूर्ण संख्या - अनावर्ती भाग) / 99 = (546 - 5) / 99 = 541/99

व्याख्या

भारत सरकार अधिनियम 1935 के तहत प्रांतीय विधानमंडलों के लिए पहले चुनाव जनवरी और फरवरी 1937 में ब्रिटिश भारत के ग्यारह प्रांतों में आयोजित किए गए थे। इस अधिनियम ने प्रांतीय स्वायत्तता प्रदान की, प्रांतीय स्तर पर द्वैध शासन को समाप्त कर दिया, और निर्वाचक मंडल का विस्तार लगभग 30 मिलियन लोगों तक कर दिया, जिससे लोकप्रिय प्रांतीय सरकारों का गठन हुआ।

व्याख्या

समकोण त्रिभुज की दो लंबवत भुजाओं को a और b तथा कर्ण को c = 26 सेमी मान लीजिए।

त्रिभुज का परिमाप a + b + c = 60 सेमी है, जिससे प्राप्त होता है: a + b = 60 - 26 = 34 सेमी

पाइथागोरस प्रमेय द्वारा: a² + b² = c² = 26² = 676

बीजीय सर्वसमिका (a + b)² = a² + b² + 2ab का उपयोग करके: 34² = 676 + 2ab 1156 = 676 + 2ab 2ab = 1156 - 676 = 480 ab = 240

समकोण त्रिभुज का क्षेत्रफल ½ × a × b द्वारा दिया जाता है: क्षेत्रफल = ½ × 240 = 120 सेमी²

व्याख्या

किसी डेटासेट का माध्य निम्न सूत्र का उपयोग करके परिकलित किया जाता है: माध्य = (सभी प्रेक्षणों का योग) ÷ (प्रेक्षणों की कुल संख्या)।

प्रेक्षणों का योग = 1 + 1 + 1 + 2 + 4 + 5 + 5 + 7 + 8 + 12 = 46 प्रेक्षणों की कुल संख्या = 10

माध्य = 46 ÷ 10 = 4.6

व्याख्या

500 और 700 के बीच 11 के गुणजों की संख्या ज्ञात करने के लिए:

500 के बाद 11 का पहला गुणज 11 × 46 = 506 है। 700 से पहले 11 का अंतिम गुणज 11 × 63 = 693 है।

गुणजों की संख्या = 63 - 46 + 1 = 18।

वैकल्पिक रूप से, फ्लोर डिवीजन का उपयोग करके: पदों की संख्या = floor(699 / 11) - floor(500 / 11) = 63 - 45 = 18।

व्याख्या

मान लीजिए पुत्र की वर्तमान आयु x वर्ष है। पिता की वर्तमान आयु 3x वर्ष है।

13 वर्ष बाद, पिता की आयु 3x + 13 वर्ष होगी और पुत्र की आयु x + 13 वर्ष होगी।

इस शर्त के आधार पर समीकरण स्थापित करना कि पिता पुत्र से दोगुना बड़ा होगा: 3x + 13 = 2(x + 13) 3x + 13 = 2x + 26 3x - 2x = 26 - 13 x = 13 वर्ष

व्याख्या

सातवीं शताब्दी ईस्वी में उत्तरी भारत पर शासन करने वाले राजा हर्षवर्धन साहित्य के एक प्रतिष्ठित संरक्षक और एक कुशल नाटककार थे। उन्होंने तीन प्रमुख संस्कृत नाटक लिखे: रत्नावली, प्रियदर्शिका और नागानंद। 'रत्नावली' एक प्रसिद्ध चार-अंकीय संस्कृत नाटक है जो वत्स के राजा उदयन और राजकुमारी रत्नावली की प्रेम कहानी के इर्द-गिर्द घूमता है।

व्याख्या

कुल क्रय मूल्य (CP) = खरीद मूल्य + मरम्मत व्यय = 1,200 + 300 = 1,500 विक्रय मूल्य (SP) = 2,000 लाभ = SP - CP = 2,000 - 1,500 = 500

लाभ % = (लाभ / CP) × 100 = (500 / 1,500) × 100 = (1 / 3) × 100 = 33⅓%

व्याख्या

रेखा ax + by + c = 0 द्वारा निर्देशांक अक्षों के साथ बनाए गए त्रिभुज का क्षेत्रफल सूत्र द्वारा दिया जाता है: क्षेत्रफल = c² / (2|ab|)।

रेखा 2x - 4y - 7 = 0 के लिए, गुणांक a = 2, b = -4, और c = -7 हैं।

इन मानों को प्रतिस्थापित करने पर: क्षेत्रफल = (-7)² / (2 × |2 × (-4)|) = 49 / (2 × 8) = 49/16 इकाई²

वैकल्पिक रूप से, y = 0 रखने पर x-अवरोधन 7/2 मिलता है, और x = 0 रखने पर y-अवरोधन -7/4 मिलता है। क्षेत्रफल ½ × |7/2| × |-7/4| = 49/16 इकाई² है।

व्याख्या

दो संख्याओं का गुणनफल उनके HCF और LCM के गुणनफल के बराबर होता है:

पहली संख्या × दूसरी संख्या = HCF × LCM

दिए गए मानों को सूत्र में रखने पर:

10¹² × दूसरी संख्या = 10⁸ × 10¹²·⁷³ 10¹² × दूसरी संख्या = 10⁽8 + 12.73) 10¹² × दूसरी संख्या = 10²⁰·⁷³

दूसरी संख्या = 10²⁰·⁷³ / 10¹² = 10⁽20.73 - 12) = 10⁸·⁷³

व्याख्या

मान लीजिए रेलगाड़ी की मूल गति v किमी/घंटा है।

समय = दूरी / गति के संबंध का उपयोग करते हुए, प्रारंभिक समय 400/v घंटे है और बढ़ी हुई गति पर लगने वाला समय 400/(v + 10) घंटे है।

समय के अंतर को 2 घंटे दिया गया है: 400/v - 400/(v + 10) = 2

समीकरण को 2 से विभाजित करने पर: 200/v - 200/(v + 10) = 1

पदों को मिलाने पर: 2000 / [v(v + 10)] = 1 v(v + 10) = 2000 v² + 10v - 2000 = 0

द्विघात समीकरण का गुणनखंड करने पर: (v + 50)(v - 40) = 0

चूंकि गति ऋणात्मक नहीं हो सकती, v = 40 किमी/घंटा।

व्याख्या

दिए गए व्यंजक के अंश और हर को cos θ से विभाजित करके tan θ में बदलें:

(a cos θ + b sin θ) / (a cos θ - b sin θ) = (a + b tan θ) / (a - b tan θ)

सरलीकृत व्यंजक में tan θ = b / a प्रतिस्थापित करें:

= [a + b(b / a)] / [a - b(b / a)] = (a + b² / a) / (a - b² / a) = [(a² + b²) / a] / [(a² - b²) / a] = (a² + b²) / (a² - b²)

व्याख्या

दिया गया अनुक्रम एक समांतर श्रेणी है जिसका पहला पद a = 2 और सार्व अंतर d = 3 है।

समांतर श्रेणी के n-वें पद के सूत्र का उपयोग करके: aₙ = a + (n - 1) × d

10वें पद के लिए (n = 10): a₁₀ = 2 + (10 - 1) × 3 a₁₀ = 2 + 9 × 3 a₁₀ = 2 + 27 = 29

व्याख्या

छोटी आंत वह स्थान है जहाँ मनुष्यों में कार्बोहाइड्रेट, प्रोटीन और वसा का पूर्ण पाचन होता है। यह यकृत और अग्न्याशय दोनों से पाचक एंजाइम और स्राव प्राप्त करती है, साथ ही अपना आंत रस (सक्कस एंटरिकस) भी उत्पन्न करती है। कार्बोहाइड्रेट को ग्लूकोज जैसी सरल शर्करा में पूरी तरह से तोड़ा जाता है, प्रोटीन को अमीनो एसिड में पचाया जाता है, और वसा को पित्त द्वारा पायसीकृत किया जाता है और लाइपेज एंजाइम द्वारा फैटी एसिड और ग्लिसरॉल में परिवर्तित किया जाता है।

व्याख्या

सबसे बड़ी संख्या ज्ञात करने के लिए, दी गई संख्याओं में से संबंधित शेषफलों को घटाएं और उनका महत्तम समापवर्तक (HCF) ज्ञात करें:

38 - 2 = 36 45 - 3 = 42 52 - 4 = 48

अपेक्षित संख्या = HCF(36, 42, 48)

अभाज्य गुणनखंडन: 36 = 2² × 3² 42 = 2 × 3 × 7 48 = 2⁴ × 3

HCF(36, 42, 48) = 2 × 3 = 6

व्याख्या

वृत्त के अंदर समा सकने वाला सबसे बड़ा वर्ग एक अंतर्लिखित वर्ग होता है जिसका विकर्ण वृत्त के व्यास के बराबर होता है।

वृत्त का व्यास = 2 × त्रिज्या = 2 × 4 सेमी = 8 सेमी

अंतर्लिखित वर्ग का क्षेत्रफल = ½ × (विकर्ण)² = ½ × 8² = ½ × 64 = 32 सेमी²

व्याख्या

दो बिंदुओं (x₁, y₁) और (x₂, y₂) के बीच की दूरी दूरी सूत्र द्वारा दी जाती है:

d = √[(x₂ - x₁)² + (y₂ - y₁)²]

(x₁, y₁) = (a cos α, 0) और (x₂, y₂) = (0, a sin α) को प्रतिस्थापित करने पर:

d = √[(0 - a cos α)² + (a sin α - 0)²] d = √[a² cos² α + a² sin² α] d = √[a²(cos² α + sin² α)]

त्रिकोणमितीय सर्वसमिका cos² α + sin² α = 1 का उपयोग करने पर:

d = √(a²) = |a|

चूंकि दूरी एक गैर-ऋणात्मक मात्रा है, a² का मुख्य वर्गमूल निरपेक्ष मान |a| देता है।

व्याख्या

BODMAS नियम (कोष्ठक, घात, भाग, गुणा, जोड़, घटाव) का पालन करते हुए, सबसे भीतरी कोष्ठक से बाहर की ओर व्यंजक को सरल करें:

सबसे भीतरी कोष्ठक: (8 - 6 + 3) = 2 + 3 = 5

मंजिला कोष्ठक: {4 - 5} = -1

वर्ग कोष्ठक: [6 - (-1)] = 6 + 1 = 7

बाहरी घटाव: 18 - 7 = 11

व्याख्या

साधारण ब्याज की गणना का सूत्र SI = (P × R × T) / 100 है, जहाँ P मूलधन है, R प्रति वर्ष ब्याज दर है, और T वर्षों में समयावधि है।

दिए गए मानों को प्रतिस्थापित करने पर: SI = (6000 × 4 × 7) / 100 = 60 × 28 = ₹1,680

व्याख्या

प्रत्येक भिन्न पद को चरण दर चरण सरल करें:

पहला पद: 1/(1 + 1/3) = 1/(4/3) = 3/4

दूसरा पद: 1/(1 + 1/2) = 1/(3/2) = 2/3

दो पदों को घटाना: 3/4 - 2/3 = (9 - 8)/12 = 1/12

व्याख्या

वृत्त का सामान्य समीकरण x² + y² + 2gx + 2fy + c = 0 है, जहाँ त्रिज्या का सूत्र r = √(g² + f² - c) द्वारा दिया जाता है।

दिए गए समीकरण x² + y² - 6x + 8y + c = 0 के लिए: 2g = -6 → g = -3 2f = 8 → f = 4

यह दिया गया है कि त्रिज्या r = 6 है, इन मानों को त्रिज्या सूत्र में प्रतिस्थापित करें: 6 = √((-3)² + 4² - c) 6 = √(9 + 16 - c) 6 = √(25 - c)

दोनों पक्षों का वर्ग करने पर: 36 = 25 - c c = 25 - 36 c = -11

व्याख्या

आधार त्रिज्या r और ऊँचाई h वाले शंकु का आयतन V सूत्र द्वारा दिया जाता है:

V = (1/3) × π × r² × h

सूत्र में r = 5 सेमी, h = 10 सेमी, और π = 3.14 प्रतिस्थापित करने पर:

V = (1/3) × 3.14 × 5² × 10 V = (1/3) × 3.14 × 250 V = 785 / 3 V = 261.666... cm³

दो दशमलव स्थानों तक पूर्णांकित करने पर 261.67 cm³ प्राप्त होता है।

व्याख्या

नीली गेंदों की संख्या = (नीली गेंदों का अनुपात भाग / अनुपात भागों का योग) × गेंदों की कुल संख्या

लाल और नीली गेंदों का अनुपात = 4:5 अनुपात भागों का योग = 4 + 5 = 9

नीली गेंदों की संख्या = (5 / 9) × 81 = 5 × 9 = 45

व्याख्या

A, B, C, D का कुल भार = 4 × 56 = 224 किग्रा A, B, C का कुल भार = 3 × 52 = 156 किग्रा C, D का कुल भार = 2 × 48 = 96 किग्रा

(A + B + C) और (C + D) के भार को जोड़ने पर: (A + B + C) + (C + D) = 156 + 96 = 252 किग्रा A + B + 2C + D = 252 किग्रा

सभी चार व्यक्तियों (A + B + C + D = 224 किग्रा) के कुल भार को सीधे घटाने पर C का भार प्राप्त होता है: C = 252 - 224 = 28 किग्रा

व्याख्या

प्रथम n प्राकृत संख्याओं के वर्गों का योग सूत्र S = n(n + 1)(2n + 1) / 6 द्वारा दिया जाता है।

n = 10 रखने पर: S = 10 × (10 + 1) × (2 × 10 + 1) / 6 S = (10 × 11 × 21) / 6 S = 2310 / 6 = 385

व्याख्या

पहले पद के लिए, मान लीजिए θ = cos⁻¹(3/5), जिससे cos θ = 3/5 प्राप्त होता है। सर्वसमिका sin θ = √(1 - cos²θ) का उपयोग करके, sin(cos⁻¹(3/5)) = √(1 - (3/5)²) = √(16/25) = 4/5।

दूसरे पद के लिए, मान लीजिए φ = tan⁻¹(5/12), जिससे tan φ = 5/12 प्राप्त होता है। एक समकोण त्रिभुज में जिसकी सम्मुख भुजा 5 और आसन्न भुजा 12 है, कर्ण √(5² + 12²) = 13 होगा। इस प्रकार, cos(tan⁻¹(5/12)) = 12/13।

दोनों मानों का योग: 4/5 + 12/13 = (52 + 60) / 65 = 112/65।

व्याख्या

2016 में तीनों राज्यों से केले का कुल उत्पादन = 3 + 5 + 4.1 = 12.1 टन

2018 में तीनों राज्यों से केले का कुल उत्पादन = 5.3 + 4 + 5 = 14.3 टन

कुल उत्पादन में अंतर = 14.3 - 12.1 = 2.2 टन

व्याख्या

चयन प्रतिशत = (चयनित छात्रों की संख्या / परीक्षा देने वाले छात्रों की संख्या) × 100

के.वी. के लिए, परीक्षा देने वालों की तुलना में चयनित छात्रों का प्रतिशत है: (800 / 1000) × 100 = 80%

यह स्कूलों में सबसे कम चयन अनुपात दर्शाता है।

व्याख्या

एक सीधी रेखा का सामान्य समीकरण Ax + By + C = 0 होता है, जिसका ढलान m = -A/B है।

रेखा x + y - 3 = 0 के लिए, ढलान m₁ = -1/1 = -1 है। रेखा x + y + 2 = 0 के लिए, ढलान m₂ = -1/1 = -1 है। रेखा 3x + 3y - 7 = 0 के लिए, ढलान m₃ = -3/3 = -1 है।

चूंकि m₁ = m₂ = m₃ = -1 है और तीनों रेखाओं के अचर पद भिन्न हैं (जो अलग-अलग अंतःखंड देते हैं), इसलिए रेखाएँ एक दूसरे के समांतर हैं।

व्याख्या

संक्रियाओं के क्रम (BODMAS) के अनुसार, कोष्ठक के अंदर विभाजन पहले किया जाता है, उसके बाद जोड़:

1250 ÷ 50 = 25

7500 + 25 = 7525

व्याख्या

किसी वृत्त S ≡ x² + y² + 2gx + 2fy + c = 0 के सापेक्ष एक बिंदु (x₁, y₁) की स्थिति निर्धारित करने के लिए, बिंदु के निर्देशांकों को समीकरण में प्रतिस्थापित करके S₁ = x₁² + y₁² + 2gx₁ + 2fy₁ + c की गणना करें। यदि S₁ < 0 है, तो बिंदु वृत्त के अंदर स्थित है; यदि S₁ = 0 है, तो यह वृत्त पर स्थित है; और यदि S₁ > 0 है, तो यह वृत्त के बाहर स्थित है।

बिंदु (1, 2) और वृत्त x² + y² - 3x - 4y + 1 = 0 के लिए:

S₁ = 1² + 2² - 3(1) - 4(2) + 1 S₁ = 1 + 4 - 3 - 8 + 1 = -5

चूंकि S₁ < 0 है, बिंदु वृत्त के अंदर स्थित है।

व्याख्या

एक गुणोत्तर श्रेणी का n-वाँ पद सूत्र Tₙ = a × rⁿ⁻¹ द्वारा दिया जाता है, जहाँ a प्रथम पद है और r सार्व अनुपात है। a = 2, r = 3, और n = 5 को प्रतिस्थापित करने पर T₅ = 2 × 3⁵⁻¹ = 2 × 3⁴ = 2 × 81 = 162 प्राप्त होता है।

व्याख्या

माना दो संख्याएँ 9x और 5x हैं, जहाँ 9x बड़ी संख्या है और 5x छोटी संख्या है।

दी गई शर्त के अनुसार: 9x + 9 = 3 × (5x - 5) 9x + 9 = 15x - 15 15x - 9x = 9 + 15 6x = 24 x = 4

दो संख्याएँ 9 × 4 = 36 और 5 × 4 = 20 हैं।

व्याख्या

मान लीजिए कक्षा में लड़कों की संख्या x है। लड़कियों की संख्या ³⁄₅x है।

कुल विद्यार्थी = x + ³⁄₅x = ⁸⁄₅x = 40

x के लिए हल करने पर: x = (40 × 5) / 8 = 25

व्याख्या

π < x < 3π/2 के लिए, x तीसरे चतुर्थांश में स्थित है।

चूंकि cos x = -½ है, हमारे पास है: sin² x = 1 - cos² x = 1 - (-½)² = ¾ tan² x = sin² x / cos² x = (¾) / (¼) = 3 cosec² x = 1 / sin² x = 4/3

इन मानों को व्यंजक में प्रतिस्थापित करने पर: 4 tan² x - 3 cosec² x = 4(3) - 3(4/3) = 12 - 4 = 8

व्याख्या

कार्य सूत्र M₁ × D₁ × H₁ = M₂ × D₂ × H₂ का उपयोग करके:

24 × 15 × 8 = M₂ × 10 × 6 2880 = 60 × M₂ M₂ = 2880 / 60 = 48

व्याख्या

एक कमरे की चार दीवारों का क्षेत्रफल निम्न सूत्र द्वारा दिया जाता है: दीवारों का क्षेत्रफल = फर्श की परिधि × ऊंचाई

दिए गए मानों को प्रतिस्थापित करने पर: दीवारों का क्षेत्रफल = 18 मीटर × 3 मीटर = 54 वर्ग मीटर

व्याख्या

α और β मूलों वाला एक द्विघात समीकरण सूत्र x² - (α + β)x + (α × β) = 0 द्वारा दिया जाता है।

दिए गए मूलों α = -2 और β = 3 के लिए: मूलों का योग = -2 + 3 = 1 मूलों का गुणनफल = -2 × 3 = -6

इन मानों को मानक सूत्र में प्रतिस्थापित करने पर: x² - (1)x + (-6) = 0 x² - x - 6 = 0

व्याख्या

सर्वसमिका sin²θ = 1 - cos²θ = (1 - cosθ)(1 + cosθ) का प्रयोग करके:

तीसरे पद को सरल करें: sin²θ / (1 + cosθ) = (1 - cosθ)(1 + cosθ) / (1 + cosθ) = 1 - cosθ

दूसरे और चौथे पद को मिलाएं: (1 + cosθ) / sinθ - sinθ / (1 - cosθ) = [(1 + cosθ)(1 - cosθ) - sin²θ] / [sinθ(1 - cosθ)] = (1 - cos²θ - sin²θ) / [sinθ(1 - cosθ)] = (1 - 1) / [sinθ(1 - cosθ)] = 0

इनको दिए गए व्यंजक में प्रतिस्थापित करने पर: 1 + 0 - (1 - cosθ) = 1 - 1 + cosθ = cosθ