आरआरबी एनटीपीसी सीबीटी 1 2021 Mathematics प्रश्न — हल सहित

व्याख्या

पंक्तियों की संख्या को न्यूनतम करने के लिए, प्रत्येक पंक्ति में एक ही किस्म के पेड़ों की अधिकतम संभव संख्या होनी चाहिए। प्रति पंक्ति यह क्षमता 24, 56 और 72 का महत्तम समापवर्तक (HCF) द्वारा दी जाती है।

HCF(24, 56, 72) = 8 पेड़ प्रति पंक्ति।

आवश्यक पंक्तियों की संख्या: आम के पेड़ों की पंक्तियाँ = 24 ÷ 8 = 3 सेब के पेड़ों की पंक्तियाँ = 56 ÷ 8 = 7 संतरे के पेड़ों की पंक्तियाँ = 72 ÷ 8 = 9

पंक्तियों की कुल न्यूनतम संख्या = 3 + 7 + 9 = 19

व्याख्या

मान लीजिए दो संख्याएँ 16a और 16b हैं, जहाँ a और b सह-अभाज्य धनात्मक पूर्णांक हैं जिनका gcd(a, b) = 1 है।

16a + 16b = 288 16(a + b) = 288 a + b = 18

हम सह-अभाज्य संख्याओं (a, b) के ऐसे जोड़े चुनते हैं जहाँ a < b और a + b = 18: जोड़ा 1: (1, 17) जिसका gcd(1, 17) = 1 है, जिससे संख्याएँ 16 और 272 प्राप्त होती हैं। जोड़ा 2: (5, 13) जिसका gcd(5, 13) = 1 है, जिससे संख्याएँ 80 और 208 प्राप्त होती हैं। जोड़ा 3: (7, 11) जिसका gcd(7, 11) = 1 है, जिससे संख्याएँ 112 और 176 प्राप्त होती हैं।

18 का योग करने वाले अन्य जोड़े, जैसे (2, 16), (3, 15), (4, 14), (6, 12), (8, 10), और (9, 9), में 1 से बड़े उभयनिष्ठ गुणनखंड हैं, जो समग्र HCF को बदल देंगे।

व्याख्या

दूरी = (s₁ × s₂) / (s₂ - s₁) × Δt

दिया गया है: गति 1 (s₁) = 30 किमी/घंटा गति 2 (s₂) = 40 किमी/घंटा समय का अंतर (Δt) = 5 मिनट देर से + 3 मिनट जल्दी = 8 मिनट = 8/60 घंटा

सूत्र में मान रखने पर: दूरी = (30 × 40) / (40 - 30) × (8 / 60) दूरी = (1200 / 10) × (8 / 60) दूरी = 120 × (2 / 15) दूरी = 16 किमी

व्याख्या

एक समकोण त्रिभुज में, कर्ण c की गणना पाइथागोरस प्रमेय का उपयोग करके की जाती है: c = √(10² + 24²) = √(100 + 576) = √676 = 26 सेमी

लंबवत भुजाओं a, b और कर्ण c वाले समकोण त्रिभुज में अंतर्निहित वृत्त की त्रिज्या r इस प्रकार दी जाती है: r = (a + b - c) / 2

मानों को प्रतिस्थापित करने पर: r = (10 + 24 - 26) / 2 = 8 / 2 = 4 सेमी

वैकल्पिक रूप से, r = क्षेत्रफल / s का उपयोग करके: क्षेत्रफल = ½ × 10 × 24 = 120 सेमी² अर्ध-परिमाप s = (10 + 24 + 26) / 2 = 30 सेमी r = 120 / 30 = 4 सेमी

व्याख्या

मान लीजिए समचतुर्भुज का लम्बा विकर्ण d है। छोटा विकर्ण d का 65% है, जो (65/100)d = (13/20)d के बराबर है।

समचतुर्भुज का क्षेत्रफल = ½ × विकर्ण₁ × विकर्ण₂ = ½ × d × (13/20)d = (13/40)d²

चूंकि वर्ग की भुजा लम्बे विकर्ण d के बराबर है: वर्ग का क्षेत्रफल = d²

समचतुर्भुज के क्षेत्रफल और वर्ग के क्षेत्रफल का अनुपात = [(13/40)d²] / d² = 13 / 40 = 13:40

व्याख्या

समद्विबाहु त्रिभुज में, आधार पर खींचा गया लंब आधार को दो बराबर भागों में समद्विभाजित करता है।

बराबर भुजाओं a = 26 सेमी और आधार b = 20 सेमी के लिए: आधार का आधा = 20 / 2 = 10 सेमी

पाइथागोरस प्रमेय का उपयोग करके: ऊंचाई h = √(26² - 10²) = √(676 - 100) = √576 = 24 सेमी

त्रिभुज ABC का क्षेत्रफल = ½ × आधार × ऊंचाई क्षेत्रफल = ½ × 20 × 24 = 240 सेमी²

व्याख्या

P, Q और R के भार का योग = 3 × 58 = 174 किग्रा P और Q के भार का योग = 2 × 54 = 108 किग्रा Q और R के भार का योग = 2 × 48 = 96 किग्रा

(P + Q) और (Q + R) का योग = P + 2Q + R = 108 + 96 = 204 किग्रा Q का भार = (P + 2Q + R) - (P + Q + R) = 204 - 174 = 30 किग्रा

व्याख्या

वह सबसे छोटी संख्या ज्ञात करने के लिए जिससे 35280 को विभाजित करने पर भागफल एक पूर्ण वर्ग बन जाए, 35280 का अभाज्य गुणनखंडन करें:

35280 = 2⁴ × 3² × 5¹ × 7²

किसी संख्या के पूर्ण वर्ग होने के लिए, उसके सभी अभाज्य गुणनखंडों की घातें सम संख्याएँ होनी चाहिए। 35280 के अभाज्य गुणनखंडन में, 2, 3 और 7 की घातें सम हैं (4, 2 और 2), जबकि 5 की घात विषम (1) है।

35280 को 5 से विभाजित करने पर अयुग्मित अभाज्य गुणनखंड हट जाता है, जिससे 2⁴ × 3² × 7² = 7056 बचता है, जो एक पूर्ण वर्ग (84²) है।

व्याख्या

क्रमागत परिवर्तनों के लिए प्रभावी प्रतिशत परिवर्तन सूत्र का उपयोग करके: प्रभावी परिवर्तन = -20 + 15 + (-20 × 15)/100 = -8%

यह मूल संख्या से 8% की शुद्ध कमी को दर्शाता है।

दिया गया है कि 8% की कमी 64 की कमी के बराबर है: मूल संख्या = (64 / 8) × 100 = 800

व्याख्या

त्रिकोणमितीय सर्वसमिका tan θ + cot θ = 2 / sin 2θ का प्रयोग करके, θ = 15° प्रतिस्थापित करें:

tan 15° + cot 15° = 2 / sin(2 × 15°) = 2 / sin 30°

चूंकि sin 30° = ½ है:

tan 15° + cot 15° = 2 / (½) = 4

वैकल्पिक रूप से, मानक त्रिकोणमितीय मानों tan 15° = 2 - √3 और cot 15° = 2 + √3 का उपयोग करके:

tan 15° + cot 15° = (2 - √3) + (2 + √3) = 4

व्याख्या

मान लीजिए एक पुरुष की दैनिक कार्य क्षमता M है और एक लड़के की दैनिक कार्य क्षमता B है।

चूंकि कुल कार्य = दैनिक दक्षता × दिनों की संख्या: 10 × (20M + 15B) = 9 × (25M + 10B) 200M + 150B = 225M + 90B 25M = 60B M / B = 60 / 25 = 12 / 5

अतः, M : B = 12 : 5।

व्याख्या

स्कूल B में लड़कों का उत्तीर्ण प्रतिशत = 32 × (3 / (3 + 5)) = 32 × (3 / 8) = 12%

स्कूल C में लड़कों का उत्तीर्ण प्रतिशत = 24 × (1 / (1 + 2)) = 24 × (1 / 3) = 8%

स्कूल B के लड़कों के उत्तीर्ण प्रतिशत का स्कूल C के लड़कों के उत्तीर्ण प्रतिशत से अनुपात = 12 : 8 = 3 : 2

व्याख्या

विक्रय मूल्य, क्रय मूल्य (CP) के प्रतिशत के सीधे समानुपाती होता है।

CP का 120% = 1,20,000 CP का 1% = 1,000 CP का 130% = 130 × 1,000 = 1,30,000

इस प्रकार, 30% लाभ कमाने के लिए, कार को 1,30,000 में बेचा जाना चाहिए।

व्याख्या

आर्किमिडीज के सिद्धांत के अनुसार, N डूबे हुए सीसे के गोलों का कुल आयतन बेलनाकार पात्र में विस्थापित पानी के आयतन के बराबर होता है।

एक गोले का आयतन = (4/3)πr³ गोले का व्यास = 6 सेमी दिया गया है, इसलिए त्रिज्या r = 3 सेमी। एक गोले का आयतन = (4/3) × π × 3³ = 36π सेमी³

विस्थापित पानी का आयतन = πR²h पात्र का व्यास = 9 सेमी दिया गया है, इसलिए त्रिज्या R = 9/2 सेमी, और पानी के स्तर में वृद्धि h = 32 सेमी। विस्थापित पानी का आयतन = π × (9/2)² × 32 = π × (81/4) × 32 = 648π सेमी³

गोलों की संख्या N = विस्थापित पानी का आयतन ÷ एक गोले का आयतन N = 648π ÷ 36π = 18

व्याख्या

BODMAS नियम (कोष्ठक, घात, विभाजन, गुणन, योग, घटाव) का प्रयोग करके:

विभाजन करें: 6.3 ÷ 7 = 0.9

गुणन करें: 3 × 1.3 = 3.9

इन मानों को व्यंजक में वापस प्रतिस्थापित करें: 15 - 0.9 + 3.9 - 2

बाएं से दाएं योग और घटाव करें: 15 - 0.9 + 3.9 - 2 = 14.1 + 3.9 - 2 = 18 - 2 = 16

व्याख्या

√x = 8 से, दोनों पक्षों का वर्ग करने पर x = 64 प्राप्त होता है।

x का वर्ग करने पर x² = 64² = 4096 प्राप्त होता है।

x² को समीकरण x² + y = 4112 में प्रतिस्थापित करने पर: 4096 + y = 4112 y = 4112 - 4096 y = 16

इसलिए, √y = √16 = 4।

व्याख्या

BODMAS नियम का पालन करते हुए:

सबसे पहले, कोष्ठक में दिए गए व्यंजक का मान ज्ञात करें: 5.4 ÷ 9 = 0.6

अगला, गुणा की संक्रियाएँ करें: 4 × 0.6 = 2.4 6 × 1.9 = 11.4

अंत में, घटाव और जोड़ की संक्रियाएँ बाएं से दाएं करें: 17 - 2.4 + 11.4 = 14.6 + 11.4 = 26

व्याख्या

BODMAS नियम का पालन करते हुए, व्यंजक के प्रत्येक पद को अलग-अलग सरल करें:

पहला पद: 25 ÷ 10 = 5/2 = 2.5

दूसरा पद: (7/4 × 1/3) × 6/5 = 7/12 × 6/5 = 7/10 = 0.7

तीसरा पद: 14/3 × 9/10 = 42/10 = 4.2

चौथा पद: 1/5 ÷ 1/25 = 1/5 × 25 = 5

इन मूल्यांकित मानों को व्यंजक में वापस प्रतिस्थापित करने पर: 2.5 - 0.7 + 4.2 - 5 = 1.8 + 4.2 - 5 = 6 - 5 = 1

व्याख्या

मॉड्यूलर अंकगणित के गुणों के अनुसार, यदि n को 9 से विभाजित करने पर शेषफल 4 है, तो 12n को 9 से विभाजित करने पर शेषफल, 12 × 4 को 9 से विभाजित करने पर प्राप्त शेषफल के बराबर होगा।

12 × 4 = 48

48 को 9 से विभाजित करने पर 48 = 9 × 5 + 3 प्राप्त होता है, इसलिए शेषफल 3 है।

व्याख्या

मान लीजिए अमर और कोमल की मासिक आय क्रमशः 5x और 4x है।

चूंकि आय - व्यय = बचत, उनका व्यय (5x - 6000) और (4x - 6000) है।

उनके व्यय का अनुपात 2 : 1 दिया गया है: (5x - 6000) / (4x - 6000) = 2 / 1

तिरछा गुणा करने पर: 5x - 6000 = 2(4x - 6000) 5x - 6000 = 8x - 12000 3x = 6000 x = 2000

अमर की आय = 5x = 5 × 2000 = 10,000।

व्याख्या

त्रिकोणमितीय सर्वसमिका sec² θ - tan² θ = 1 का प्रयोग करके:

दिया गया है: sec θ = 5x => x² = sec² θ / 25 tan θ = 5/x => 1/x² = tan² θ / 25

दोनों समीकरणों को घटाने पर: x² - 1/x² = (sec² θ - tan² θ) / 25 = 1 / 25

दोनों पक्षों को 10 से गुणा करने पर: 10(x² - 1/x²) = 10 × (1 / 25) = 10/25 = 2/5

व्याख्या

वे संख्याएँ जिन्हें 8, 12 और 16 से विभाजित करने पर 5 शेष बचता है, वे LCM(8, 12, 16) × k + 5 के रूप की होती हैं।

LCM(8, 12, 16) = 48

इन संख्याओं के लिए सामान्य व्यंजक 48k + 5 है।

400 और 500 के बीच 48k + 5 के मान ज्ञात करना: k = 9 के लिए: 48 × 9 + 5 = 432 + 5 = 437 k = 10 के लिए: 48 × 10 + 5 = 480 + 5 = 485

इन संख्याओं का योग = 437 + 485 = 922।

व्याख्या

खरीदे गए प्रत्येक 18 अंडों में से, 3 खराब हैं, जिससे 18 - 3 = 15 अच्छे अंडे बचते हैं।

अच्छे अंडों का भिन्न 15/18 = 5/6 है।

690 अंडे खरीदने पर, अच्छे अंडों की कुल संख्या = 690 × (5/6) = 115 × 5 = 575।

व्याख्या

सर्वसमिका (x + x⁻¹)³ = x³ + x⁻³ + 3(x + x⁻¹) का प्रयोग करके, हम x³ + x⁻³ को इस प्रकार व्यक्त कर सकते हैं:

x³ + x⁻³ = (x + x⁻¹)³ - 3(x + x⁻¹)

दिया गया है x + x⁻¹ = 7:

x³ + x⁻³ = 7³ - 3(7) = 343 - 21 = 322

व्याख्या

मिश्रधन A, मूलधन P, ब्याज दर r, और समय n से संबंधित चक्रवृद्धि ब्याज सूत्र है A/P = (1 + r/100)ⁿ।

A/P = 14641/10000 और n = 4 रखने पर:

(1 + r/100)⁴ = 14641 / 10000

दोनों पक्षों का चतुर्थ मूल लेने पर:

1 + r/100 = 11 / 10

r/100 = 11/10 - 1 = 1/10

r = 10%

व्याख्या

मान लीजिए कि दो टीवी सेटों का क्रय मूल्य C₁ और C₂ है। चूँकि उनके विक्रय मूल्य बराबर हैं:

C₁ का 120% = C₂ का 85% C₁ / C₂ = 85 / 120 = 17 / 24

कुल क्रय मूल्य = 17x + 24x = 41x = ₹41,000 x = 1,000

इस प्रकार, C₁ = ₹17,000 और C₂ = ₹24,000।

पहले टीवी पर लाभ = 17,000 का 20% = ₹3,400 दूसरे टीवी पर हानि = 24,000 का 15% = ₹3,600

कुल हानि = ₹3,600 - ₹3,400 = ₹200

व्याख्या

मानक बीजगणितीय सर्वसमिका का प्रयोग करके: a³ + b³ + c³ - 3abc = (a + b + c)[(a + b + c)² - 3(ab + bc + ca)]

दिए गए मानों को सूत्र में प्रतिस्थापित करने पर: a³ + b³ + c³ - 3(15) = 14 × [14² - 3(47)] a³ + b³ + c³ - 45 = 14 × (196 - 141) a³ + b³ + c³ - 45 = 14 × 55 a³ + b³ + c³ - 45 = 770 a³ + b³ + c³ = 770 + 45 = 815

व्याख्या

साधारण ब्याज की गणना सूत्र SI = (P × R × T) / 100 का उपयोग करके की जाती है, जहाँ P मूलधन है, R ब्याज दर प्रति वर्ष है, और T वर्षों में समय है।

दुबे से ब्याज = (7200 × R × 3) / 100 = 216R राघव से ब्याज = (8400 × R × 4) / 100 = 336R

प्राप्त कुल ब्याज = 216R + 336R = 552R

दिया गया कुल ब्याज = 4968 552R = 4968 R = 4968 / 552 = 9%

व्याख्या

पाँच अंकों की सबसे बड़ी संख्या 99999 है। 468 से विभाज्य सबसे बड़ी पाँच अंकों की संख्या ज्ञात करने के लिए, शेषफल ज्ञात करने के लिए 99999 को 468 से विभाजित करें:

99999 ÷ 468 = 213 शेषफल 315 के साथ 99999 = (468 × 213) + 315

शेषफल 315 को 99999 से घटाने पर प्राप्त होता है:

99999 - 315 = 99684

व्याख्या

जब दो वस्तुएं विपरीत दिशाओं में चलती हैं, तो वह सापेक्ष गति जिससे उनके बीच की दूरी बढ़ती है, उनकी व्यक्तिगत गतियों के योग के बराबर होती है।

गतियों का योग = कुल दूरी / समय = 4500 किमी / 9 घंटे = 500 किमी/घंटा

व्याख्या

मान लीजिए कि 11-सदस्यीय टीम की औसत आयु A है। टीम की कुल आयु 11A है।

कप्तान की आयु 35 वर्ष है और विकेटकीपर की आयु 40 वर्ष (35 + 5) है, जिससे उनकी संयुक्त आयु 75 वर्ष हो जाती है।

इन 2 खिलाड़ियों को छोड़ने पर 9 खिलाड़ी बचते हैं जिनकी औसत आयु A - 3 वर्ष है। टीम की कुल आयु के लिए समीकरण स्थापित करना:

11A = 9(A - 3) + 75 11A = 9A - 27 + 75 2A = 48 A = 24 वर्ष

व्याख्या

घनाभ (cuboid) एक त्रि-आयामी ठोस आकृति है जो छह आयताकार फलकों से घिरी होती है। इसमें 8 शीर्ष (vertices) और 12 सीधी रेखा खंड होते हैं जिन्हें किनारे (edges) कहा जाता है। ये 12 सीधी रेखाएँ ऊपरी आयताकार फलक बनाने वाले 4 किनारे, निचले आयताकार फलक बनाने वाले 4 किनारे, और ऊपरी और निचले फलकों को जोड़ने वाले 4 ऊर्ध्वाधर किनारे से मिलकर बनती हैं।

व्याख्या

सर्वसमिका cot A cot B = 1 का प्रयोग करने पर, हमें cos(A + B) = 0 प्राप्त होता है।

यहाँ, A = 3θ और B = 6θ है, इसलिए cos(3θ + 6θ) = 0, जिससे cos 9θ = 0 प्राप्त होता है।

व्यापक हल 9θ = 90° + k × 180° है।

k = 2 लेने पर 9θ = 450° प्राप्त होता है, इसलिए θ = 50°।

सत्यापन: cot(3 × 50°) × cot(6 × 50°) = cot 150° × cot 300° = (-√3) × (-1/√3) = 1।

θ = 50° को tan 15θ में प्रतिस्थापित करने पर: tan(15 × 50°) = tan 750° = tan(2 × 360° + 30°) = tan 30° = 1/√3।

व्याख्या

माना क्रय मूल्य (CP) = 100

चूंकि लाभ = CP का 150% लाभ = 150

विक्रय मूल्य (SP) = CP + लाभ = 100 + 150 = 250

क्रय मूल्य और विक्रय मूल्य का अनुपात (CP : SP) = 100 : 250 = 2 : 5

व्याख्या

एक सम बहुभुज के आंतरिक कोण और बाह्य कोण का योग हमेशा 180° होता है। दिया गया है कि आंतरिक कोण और बाह्य कोण का अनुपात 4:1 है, तो बाह्य कोण का माप 180° × 1 / (4 + 1) = 36° है।

एक सम बहुभुज की भुजाओं की संख्या n का सूत्र n = 360° / बाह्य कोण = 360° / 36° = 10 द्वारा दिया जाता है।

व्याख्या

आलोक की वर्तमान आयु = 62 - 20 = 42 वर्ष।

चूंकि आलोक और अनिल की वर्तमान आयु का अनुपात 3:4 है, अनिल की वर्तमान आयु = (4 / 3) × 42 = 56 वर्ष।

व्याख्या

A और B की दक्षता का अनुपात = 5 : 1। चूँकि दक्षता लिए गए समय के व्युत्क्रमानुपाती होती है, A द्वारा B की तुलना में लिए गए समय का अनुपात = 1 : 5।

समय इकाइयों में अंतर = 5 - 1 = 4 इकाइयाँ। दिया गया है कि 4 इकाइयाँ = 60 दिन, 1 इकाई = 15 दिन। इसलिए, A अकेले काम पूरा करने में 15 दिन और B 75 दिन लेता है।

जब वे मिलकर काम करते हैं, तो लिया गया कुल समय = (A × B) / (A + B) = (15 × 75) / (15 + 75) = 1125 / 90 = 12.5 = 12½ दिन।

व्याख्या

कुल कार्य = 10 × 18 = 180 पुरुष-दिन।

पहले 6 दिनों में 10 पुरुषों द्वारा पूरा किया गया कार्य = 10 × 6 = 60 पुरुष-दिन।

शेष कार्य = 180 - 60 = 120 पुरुष-दिन।

6 दिनों के बाद, 5 और पुरुष जुड़ जाते हैं, जिससे कुल 10 + 5 = 15 पुरुष हो जाते हैं।

शेष कार्य को पूरा करने के लिए आवश्यक दिन = शेष पुरुष-दिन / कुल पुरुष = 120 / 15 = 8 दिन।

व्याख्या

समबाहु त्रिभुज की भुजा की लंबाई उसके परिमाप को 3 से विभाजित करने पर प्राप्त होती है, जो 36 / 3 = 12 मीटर है।

त्रिभुज के क्षेत्रफल के सूत्र का उपयोग करते हुए, क्षेत्रफल = ½ × आधार × ऊंचाई: क्षेत्रफल = ½ × 12 मीटर × 6 मीटर = 36 मी²

व्याख्या

प्रत्येक दी गई संख्या का अभाज्य गुणनखंडन: 22 = 2 × 11 24 = 2³ × 3 48 = 2⁴ × 3 16 = 2⁴

लघुत्तम समापवर्त्य (LCM) ज्ञात करने के लिए, शामिल सभी अभाज्य गुणनखंडों की उच्चतम घातों को गुणा करें: LCM = 2⁴ × 3¹ × 11¹ = 16 × 3 × 11 = 528

व्याख्या

कार्य तुल्यता सूत्र (M₁ × D₁) / W₁ = (M₂ × D₂) / W₂ का प्रयोग करके:

दिया गया है: M₁ = 15 व्यक्ति, D₁ = 7 दिन, W₁ = 35 बक्से M₂ = आवश्यक व्यक्ति, D₂ = 5 दिन, W₂ = 65 बक्से

सूत्र में मान रखने पर: (15 × 7) / 35 = (M₂ × 5) / 65 105 / 35 = 5M₂ / 65 3 = 5M₂ / 65 3 = M₂ / 13 M₂ = 39

व्याख्या

साधारण ब्याज में अंतर का सूत्र ΔSI = (P × ΔR × T) / 100 है, जहाँ P मूलधन है, T वर्षों में समय है, और ΔR वार्षिक ब्याज दरों के बीच का अंतर है।

दिए गए मानों को प्रतिस्थापित करने पर: 10.80 = (1200 × ΔR × 3) / 100 10.80 = 36 × ΔR ΔR = 10.80 / 36 = 0.3%

व्याख्या

जब दी गई संख्याओं के समूह में एक संख्या अन्य सभी संख्याओं की गुणज होती है, तो वह सबसे बड़ी संख्या स्वयं लघुत्तम समापवर्त्य (LCM) होती है।

यहाँ, 144 = 36 × 4 और 144 = 72 × 2। चूँकि 144, 36 और 72 दोनों से विभाज्य है, इसलिए LCM(36, 72, 144) = 144।

व्याख्या

विकर्ण d वाले वर्ग का क्षेत्रफल Area = d² / 2 होता है। चूँकि क्षेत्रफल विकर्ण के वर्ग के सीधे समानुपाती होता है, इसलिए उनके क्षेत्रफलों का अनुपात उनके विकर्णों के अनुपात के वर्ग के बराबर होता है।

क्षेत्रफलों का अनुपात = (3 / 5)² = 9 / 25 = 9:25

व्याख्या

मूल विभाजन सूत्र है: भाज्य = (भाजक × भागफल) + शेषफल।

दिया गया है कि शेषफल = 8: भाजक = 6 × शेषफल = 6 × 8 = 48 भागफल = भाजक / 2 = 48 / 2 = 24

इन मानों को विभाजन सूत्र में प्रतिस्थापित करने पर: भाज्य = (48 × 24) + 8 = 1152 + 8 = 1160

व्याख्या

कोई संख्या 9 से विभाज्य होती है यदि उसके अंकों का योग 9 का गुणज हो।

2346x45 के अंकों का योग = 2 + 3 + 4 + 6 + x + 4 + 5 = 24 + x

x का सबसे छोटा गैर-ऋणात्मक पूर्णांक मान जो (24 + x) को 9 का गुणज बनाता है, 3 है, क्योंकि 24 + 3 = 27, जो 9 से विभाज्य है।

व्याख्या

मान लीजिए दो प्राकृत संख्याएँ 6x और 8x हैं।

दिया गया है कि उनका गुणनफल 768 है: (6x) × (8x) = 768 48x² = 768 x² = 768 / 48 = 16 x = 4

छोटी संख्या 6x = 6 × 4 = 24 है।

व्याख्या

मानक बीजगणितीय सर्वसमिका (x + 1/x)² = x² + 1/x² + 2 का प्रयोग करके:

x² + 1/x² = (x + 1/x)² - 2

x + 1/x = 4 रखने पर:

x² + 1/x² = 4² - 2 = 16 - 2 = 14

व्याख्या

दोनों समीकरणों को सामान्य आधार 2 के साथ व्यक्त करने पर:

2⁽x + y) = 2⁴ ⇒ x + y = 4 (2⁶)⁽x - y) = 2¹ ⇒ 6(x - y) = 1 ⇒ x - y = 1/6

दो समीकरणों को जोड़ने पर प्राप्त होता है: 2x = 4 + 1/6 = 25/6 x = 25/12

पहले समीकरण से दूसरे समीकरण को घटाने पर प्राप्त होता है: 2y = 4 - 1/6 = 23/6 y = 23/12

यह एक अद्वितीय हल देता है जहाँ x = 25/12 और y = 23/12 है।

व्याख्या

पंक्तियों की संख्या को न्यूनतम करने के लिए, प्रत्येक पंक्ति में पेड़ों की अधिकतम संभव संख्या लगाई जानी चाहिए। चूँकि प्रत्येक पंक्ति में केवल एक ही किस्म के पेड़ होने चाहिए, प्रति पंक्ति पेड़ों की संख्या 7, 28 और 42 का महत्तम समापवर्तक (HCF) है।

HCF(7, 28, 42) = 7 पेड़ प्रति पंक्ति

प्रत्येक किस्म के लिए आवश्यक पंक्तियों की संख्या: संतरे के पेड़ = 7 ÷ 7 = 1 पंक्ति सेब के पेड़ = 28 ÷ 7 = 4 पंक्तियाँ आम के पेड़ = 42 ÷ 7 = 6 पंक्तियाँ

कुल न्यूनतम पंक्तियों की संख्या = 1 + 4 + 6 = 11 पंक्तियाँ