आरआरबी एनटीपीसी सीबीटी 1 2021 Mathematics प्रश्न — हल सहित

व्याख्या

प्रत्येक व्यंजक को एक सामान्य स्थिरांक k के बराबर रखने पर: (1/3) A = (3/4) B = (1/6) C = k

A, B, और C के लिए हल करने पर प्राप्त होता है: A = 3k, B = (4/3)k, और C = 6k

अनुपात 3k : (4/3)k : 6k को हर को हटाने के लिए 3 से गुणा करने पर प्राप्त होता है: A : B : C = 9 : 4 : 18

व्याख्या

दो समरूप त्रिभुजों के लिए, उनके परिमापों का अनुपात उनके संगत भुजाओं के अनुपात के बराबर होता है:

परिमाप(ΔXYZ) / परिमाप(ΔLMN) = XY / LM

दिए गए मानों को प्रतिस्थापित करने पर:

48 / 32 = XY / 12

3 / 2 = XY / 12

XY = (12 × 3) / 2 = 18 cm

व्याख्या

साधारण ब्याज का सूत्र: SI = (P × R × T) / 100

पहले 4 वर्षों के लिए: SI₁ = (12,200 × 2 × 4) / 100 = 976

नई मूल राशि के रूप में पुनर्निवेश की गई कुल राशि: P₂ = 12,200 + 976 = 13,176

अगले 4 वर्षों के लिए: SI₂ = (13,176 × 2 × 4) / 100 = 105,408 / 100 = 1,054.08

व्याख्या

व्यंजक में tan A = sin A / cos A और cot A = cos A / sin A प्रतिस्थापित करें:

sin A cos A (tan A - cot A) = sin A cos A (sin A / cos A - cos A / sin A) = sin A cos A [ (sin² A - cos² A) / (sin A cos A) ] = sin² A - cos² A

मूल पाइथागोरस सर्वसमिका cos² A = 1 - sin² A का प्रयोग करके:

= sin² A - (1 - sin² A) = 2 sin² A - 1

व्याख्या

A : B : C : D के हिस्सों का अनुपात = 3 : 4 : 5 : 7.

दिया गया है कि A का हिस्सा = 3 इकाई = 192 फल। 1 इकाई का मान = 192 ÷ 3 = 64 फल।

B और C का संयुक्त हिस्सा = 4 + 5 = 9 इकाई। B और C को एक साथ मिले फलों की संख्या = 9 × 64 = 576।

व्याख्या

एक वर्ग का क्षेत्रफल A = s² द्वारा दिया जाता है, जहाँ s उसकी भुजा की लंबाई है। जब दो गुणन खंडों में से प्रत्येक x% बढ़ जाता है, तो शुद्ध प्रतिशत वृद्धि की गणना क्रमिक प्रतिशत परिवर्तन सूत्र का उपयोग करके की जाती है:

शुद्ध प्रतिशत वृद्धि = x + y + (x × y) / 100

चूंकि वर्ग के दोनों आयाम 10% (x = 10, y = 10) बढ़ जाते हैं:

प्रतिशत वृद्धि = 10 + 10 + (10 × 10) / 100 = 20 + 1 = 21%

वैकल्पिक रूप से, प्रारंभिक भुजा 10 इकाई लेने पर प्रारंभिक क्षेत्रफल 10² = 100 वर्ग इकाई प्राप्त होता है। भुजा को 10% बढ़ाने पर नई भुजा 11 इकाई हो जाती है, जिससे नया क्षेत्रफल 11² = 121 वर्ग इकाई प्राप्त होता है। क्षेत्रफल में शुद्ध वृद्धि 121 − 100 = 21% है।

व्याख्या

सह-अभाज्य अनुपात a:b में दो संख्याओं और म.स.प. H के लिए, उनका ल.स.प. सूत्र ल.स.प. = H × a × b द्वारा दिया जाता है।

दिया गया है: अनुपात (a:b) = 4:5 म.स.प. (H) = 3

ल.स.प. = 3 × 4 × 5 = 60

व्याख्या

दो प्रेक्षण समुच्चयों का संयुक्त माध्य निम्न सूत्र द्वारा दिया जाता है:

संयुक्त माध्य = (n₁x̄₁ + n₂x̄₂) / (n₁ + n₂)

जहाँ: n₁ = 7, x̄₁ = 10 n₂ = 3, x̄₂ = 5

मानों को प्रतिस्थापित करने पर: संयुक्त माध्य = (7 × 10 + 3 × 5) / (7 + 3) = (70 + 15) / 10 = 85 / 10 = 8.5

व्याख्या

5/7 का व्युत्क्रम 7/5 है, और 9/5 का व्युत्क्रम 5/9 है।

व्युत्क्रमों का योग = 7/5 + 5/9 = (63 + 25) / 45 = 88/45

योग का व्युत्क्रम = 1 / (88/45) = 45/88

व्याख्या

माना S = √(1 + x) + √(1 - x)।

दोनों पक्षों का वर्ग करने पर: S² = (1 + x) + (1 - x) + 2√((1 + x)(1 - x)) S² = 2 + 2√(1 - x²)

दिया गया है x = √3 / 2: x² = 3/4 1 - x² = 1 - 3/4 = 1/4

इस मान को प्रतिस्थापित करने पर: S² = 2 + 2√(1/4) S² = 2 + 2(1/2) S² = 3

चूंकि S > 0 है, वर्गमूल लेने पर S = √3 प्राप्त होता है।

व्याख्या

r त्रिज्या वाले वृत्त के लिए, क्षेत्रफल A = πr² और परिधि C = 2πr है।

कथन 1 के लिए: परिधि का वर्ग करने पर C² = (2πr)² = 4π²r² प्राप्त होता है। क्षेत्रफल और वर्ग परिधि का अनुपात A : C² = (πr²) / (4π²r²) = 1 / (4π) = 1 : 4π है।

कथन 2 के लिए: क्षेत्रफल और परिधि का अनुपात A : C = (πr²) / (2πr) = r / 2 = r : 2 है।

दोनों कथन गणितीय रूप से सही हैं।

व्याख्या

A + B = 45° के दोनों पक्षों का स्पर्शज्या (tangent) लेने पर:

tan(A + B) = tan 45° = 1

(tan A + tan B) / (1 - tan A tan B) = 1

tan A + tan B = 1 - tan A tan B

tan A + tan B + tan A tan B = 1

दोनों पक्षों में 1 जोड़ने पर:

1 + tan A + tan B + tan A tan B = 2

(1 + tan A)(1 + tan B) = 2

वैकल्पिक रूप से, त्वरित कोण प्रतिस्थापन का उपयोग करके, मान लीजिए A = 0° और B = 45°:

(1 + tan 0°)(1 + tan 45°) = (1 + 0)(1 + 1) = 2

व्याख्या

दिए गए समीकरण के दोनों पक्षों का वर्ग करने पर: √(0.03 × 0.3 × p) = 0.3 × 0.03 × √q

0.03 × 0.3 × p = (0.3)² × (0.03)² × q

दोनों पक्षों को (0.03 × 0.3 × q) से विभाजित करने पर: p/q = [(0.3)² × (0.03)²] / (0.03 × 0.3) p/q = 0.3 × 0.03 = 0.009

व्याख्या

संख्याओं के एक समूह का लघुत्तम समापवर्त्य (LCM) उस समूह की प्रत्येक व्यक्तिगत संख्या से विभाज्य होना चाहिए। चूँकि 4 संख्याओं में से एक है, LCM को 4 से विभाज्य होना चाहिए। 18 को 4 से विभाजित करने पर 4.5 प्राप्त होता है, जो एक पूर्णांक नहीं है, इसलिए 18, 4 का गुणज नहीं है और 4, 6 और x का LCM नहीं हो सकता।

व्याख्या

साधारण ब्याज सूत्र, SI = (P × R × T) / 100 का उपयोग करके:

दिया गया है कि मासिक ब्याज SI = ₹1,500, समय T = 1/12 वर्ष, और ब्याज दर R = 12% प्रति वर्ष:

1,500 = (P × 12 × 1/12) / 100 1,500 = P / 100 P = 1,500 × 100 = ₹1,50,000 = ₹1.5 लाख

वैकल्पिक रूप से, 12% की वार्षिक दर 1% की मासिक दर के बराबर है। चूंकि आवश्यक पूंजी का 1% ₹1,500 है, इसलिए पूरी पूंजी (100%) 1,500 × 100 = ₹1,50,000 है, जो ₹1.5 लाख के बराबर है।

व्याख्या

3 वर्षों के लिए 5% (1/20) प्रति वर्ष की दर से अनुपात विधि का उपयोग करते हुए, मूलधन 20³ = 8,000 इकाई मान लें।

3 वर्षों के लिए चक्रवृद्धि ब्याज के घटक अनुपात 3 : 3 : 1 में हैं: प्रथम स्तर का ब्याज = 8,000 × 1/20 = 400 इकाई द्वितीय स्तर का ब्याज = 400 × 1/20 = 20 इकाई तृतीय स्तर का ब्याज = 20 × 1/20 = 1 इकाई

कुल चक्रवृद्धि ब्याज = (3 × 400) + (3 × 20) + (1 × 1) = 1,261 इकाई

दिया गया चक्रवृद्धि ब्याज = ₹3,783, इसलिए 1 इकाई = 3,783 / 1,261 = ₹3।

3 वर्षों के लिए साधारण ब्याज (SI) में केवल प्राथमिक ब्याज घटक शामिल होता है: SI = 3 × 400 = 1,200 इकाई

SI = 1,200 × 3 = ₹3,600।

व्याख्या

ज्यामिति में, त्रिभुज के संगामी बिंदुओं के मौलिक गुण स्थापित करते हैं कि त्रिभुज की तीन माध्यिकाएँ हमेशा एक एकल बिंदु पर मिलती हैं जिसे केंद्रक कहा जाता है; शीर्षों से विपरीत भुजाओं पर खींचे गए तीन शीर्षलम्ब एक एकल बिंदु पर प्रतिच्छेद करते हैं जिसे लम्बकेन्द्र कहा जाता है; और तीन आंतरिक कोण समद्विभाजक एक एकल बिंदु पर संगामी होते हैं जिसे अंतःकेन्द्र कहा जाता है, जो अंतःवृत्त के केंद्र के रूप में कार्य करता है। चूंकि तीनों कथन त्रिभुज के केंद्रों की इन मौलिक परिभाषाओं का सटीक वर्णन करते हैं, इसलिए कथन 1, 2 और 3 सभी सही हैं।

व्याख्या

बीजीय सर्वसमिका (a + b + c)² = a² + b² + c² + 2(ab + bc + ca) का प्रयोग करके:

3² = 6 + 2(ab + bc + ca) 9 = 6 + 2(ab + bc + ca) 2(ab + bc + ca) = 3 ab + bc + ca = 3/2

दिया गया संबंध 1/a + 1/b + 1/c = 1 को सरल करने पर: (ab + bc + ca) / abc = 1 ab + bc + ca = abc

ab + bc + ca = 3/2 रखने पर abc = 3/2 प्राप्त होता है।

व्याख्या

कुल कार्य = 60 इकाई (12, 15 और 5 का लघुत्तम समापवर्त्य)।

A की दक्षता = 60 ÷ 12 = 5 इकाई/दिन B की दक्षता = 60 ÷ 15 = 4 इकाई/दिन A, B और C की संयुक्त दक्षता = 60 ÷ 5 = 12 इकाई/दिन

C की दक्षता = 12 - (5 + 4) = 3 इकाई/दिन

चूंकि वे सभी पूरी अवधि के लिए एक साथ काम करते हैं, इसलिए धन को उनकी दक्षता के अनुपात में वितरित किया जाता है: C का हिस्सा = (3 ÷ 12) × ₹2,880 = ¼ × ₹2,880 = ₹720

व्याख्या

BODMAS नियम के अनुसार, कोष्ठकों के अंदर की संक्रियाओं को पहले हल किया जाता है, जिसमें भाग, गुणा, जोड़ और घटाव का क्रम होता है:

कोष्ठकों के अंदर: 12 ÷ 4 × 3 = 3 × 3 = 9 2 × 2 = 4 20 + 9 - 4 = 25

इस मान को मूल व्यंजक में वापस प्रतिस्थापित करने पर: 36 - 2(25) + 10 = 36 - 50 + 10 = -14 + 10 = -4

व्याख्या

चूंकि a : b = 3 : 2 है, दिए गए व्यंजक में a = 3 और b = 2 प्रतिस्थापित करें:

7a + 9b = 7(3) + 9(2) = 21 + 18 = 39

5a + 7b = 5(3) + 7(2) = 15 + 14 = 29

इसलिए, (7a + 9b) : (5a + 7b) = 39 : 29।

व्याख्या

सर्वसमिका x³ + y³ = (x + y)³ - 3xy(x + y) का प्रयोग करके:

36 = 6³ - 3xy(6) 36 = 216 - 18xy 18xy = 180 xy = 10

वांछित व्यंजक का मूल्यांकन: 1/x + 1/y = (x + y) / xy = 6 / 10 = 3/5

व्याख्या

एक समकोण त्रिभुज में, समकोण वाले शीर्ष से कर्ण तक खींचा गया माध्यिका कर्ण की लंबाई का आधा होता है (BD = ½ × AC)।

दिया गया है AC = 4√2 इकाई: BD = ½ × 4√2 = 2√2 इकाई।

व्याख्या

4 से विभाज्य दो-अंकीय संख्याएँ 12, 16, 20, ..., 96 हैं, जिन्हें 4 × k के रूप में व्यक्त किया जा सकता है जहाँ k = 3, 4, 5, ..., 24 है।

उनके वर्गों का योग इस प्रकार दिया गया है: S = (4 × 3)² + (4 × 4)² + ... + (4 × 24)² S = 16 × (3² + 4² + ... + 24²)

वर्गों के मानक योग सूत्र का उपयोग करते हुए, Σ k² = n(n + 1)(2n + 1) / 6: Σₖ₌₁²⁴ k² = (24 × 25 × 49) / 6 = 4900

k = 3 से 24 तक का योग ज्ञात करने के लिए 1² + 2² = 5 घटाने पर: 3² + 4² + ... + 24² = 4900 - 5 = 4895

16 से गुणा करने पर: S = 16 × 4895 = 78320

व्याख्या

बीजगणितीय सर्वसमिका a⁴ - b⁴ = (a² - b²)(a² + b²) का प्रयोग करके:

(0.3⁴ - 0.2⁴) / (0.3² + 0.2²) = [(0.3² - 0.2²)(0.3² + 0.2²)] / (0.3² + 0.2²)

अंश और हर से (0.3² + 0.2²) को रद्द करने पर:

= 0.3² - 0.2² = 0.09 - 0.04 = 0.05

व्याख्या

बीजगणितीय सर्वसमिका (a + b)² = a² + b² + 2ab का प्रयोग करके:

(x² + x⁻²)² = x⁴ + x⁻⁴ + 2 (x² + x⁻²)² = 1154 + 2 = 1156 x² + x⁻² = √1156 = 34

इसके बाद, x + x⁻¹ पर वही सर्वसमिका लागू करने पर:

(x + x⁻¹)² = x² + x⁻² + 2 (x + x⁻¹)² = 34 + 2 = 36 x + x⁻¹ = √36 = 6

व्याख्या

दो संख्याओं का गुणनफल = म.स.प. × ल.स.प.

माना आवश्यक संख्या x है। x × 210 = 30 × 2310 x = (30 × 2310) ÷ 210 x = 2310 ÷ 7 x = 330

व्याख्या

राजू की विनोद की तुलना में दक्षता का अनुपात = 3 : 1 संयुक्त दक्षता = 3 + 1 = 4 इकाई प्रति दिन

कुल कार्य = संयुक्त दक्षता × दिनों की संख्या = 4 × 21 = 84 इकाई

विनोद द्वारा अकेले लिया गया समय = कुल कार्य / विनोद की दक्षता = 84 / 1 = 84 दिन

व्याख्या

B द्वारा तय की गई दूरी = 60 + 12 = 72 किमी। A द्वारा तय की गई दूरी = 60 - 12 = 48 किमी।

चूंकि दोनों एक साथ शुरू करते हैं और एक ही समय पर मिलते हैं, उनकी गति का अनुपात तय की गई दूरियों के अनुपात के बराबर है:

A की गति / B की गति = 48 / 72 = 2 / 3

माना A की गति = 2x और B की गति = 3x। गति में अंतर = 3x - 2x = x = 4 किमी/घंटा।

A की गति = 2x = 2 × 4 = 8 किमी/घंटा।

व्याख्या

मान लीजिए कुकर का अंकित मूल्य ₹100 है।

क्रय मूल्य (CP) = 100 × 9/10 = ₹90 विक्रय मूल्य (SP) = 100 + 8 = ₹108

लाभ = SP - CP = 108 - 90 = ₹18

लाभ प्रतिशत = (लाभ / CP) × 100 = (18 / 90) × 100 = 20%

व्याख्या

दिए गए अनुपात को तिरछा गुणा करने पर:

(3a² - 8b²) / (a² + 4b²) = 2 / 1

3a² - 8b² = 2(a² + 4b²) 3a² - 8b² = 2a² + 8b² 3a² - 2a² = 8b² + 8b² a² = 16b²

दोनों पक्षों का वर्गमूल लेने पर a = ±4b प्राप्त होता है। चूँकि a और b समान चिह्न के हैं, इसलिए a और b या तो दोनों धनात्मक होने चाहिए या दोनों ऋणात्मक होने चाहिए, इसलिए a = 4b। अतः, a : b = 4 : 1।

व्याख्या

8.17 घंटे को घंटे, मिनट और सेकंड में बदलने के लिए:

पूर्ण संख्या वाला भाग 8 घंटे दर्शाता है।

दशमलव भाग (0.17 घंटे) को मिनट में बदलें: 0.17 × 60 = 10.2 मिनट

पूर्ण संख्या वाला भाग 10 मिनट दर्शाता है।

शेष दशमलव भाग (0.2 मिनट) को सेकंड में बदलें: 0.2 × 60 = 12 सेकंड

इन सबको मिलाने पर 8 घंटे, 10 मिनट और 12 सेकंड प्राप्त होते हैं।

व्याख्या

मान लीजिए कि पुस्तक में पृष्ठों की कुल संख्या x है।

पहले दिन, पुस्तक का 3/8 पढ़ने के बाद, अप्रठित पृष्ठों का शेष भाग 1 - 3/8 = 5/8 है।

दूसरे दिन, लड़के ने शेष का 4/5 पढ़ा, जिससे उस शेष का 1 - 4/5 = 1/5 अप्रठित रह गया।

पुस्तक का कुल अप्रठित शेष भाग = (5/8) × (1/5) = 1/8।

यह देखते हुए कि पुस्तक का 1/8 भाग 45 पृष्ठों के बराबर है: x = 45 × 8 = 360 पृष्ठ।

व्याख्या

भुजा 'a' वाले समबाहु त्रिभुज की ऊँचाई (h) निम्न सूत्र द्वारा दी जाती है:

h = (√3 / 2) × a

सूत्र में a = 3√3 सेमी रखने पर:

h = (√3 / 2) × 3√3 h = (3 × 3) / 2 h = 9 / 2 h = 4.5 सेमी

व्याख्या

साधारण ब्याज के तहत धन को दोगुना करने के लिए, अर्जित ब्याज मूलधन के बराबर होना चाहिए, जिससे संबंध R × T = 100 प्राप्त होता है, जहाँ R ब्याज दर है और T वर्षों में समय अवधि है।

कथन 1 में, R × T = 16 × 6 = 96 ≠ 100। कथन 2 में, R × T = 18 × 5 = 90 ≠ 100।

चूंकि कोई भी शर्त 100 नहीं देती है, इसलिए दोनों कथन गलत हैं।

व्याख्या

भिन्नों का HCF सूत्र द्वारा दिया जाता है: भिन्नों का HCF = (अंशों का HCF) / (हरों का LCM)

दी गई भिन्नों 3/2, 9/8, 81/16, और 27/10 के लिए: अंशों का HCF (3, 9, 81, 27) = 3 हरों का LCM (2, 8, 16, 10) = 80

इन मानों को सूत्र में प्रतिस्थापित करने पर: HCF = 3/80

व्याख्या

प्रति वर्ष r% की दर से 2 वर्षों के लिए प्रभावी चक्रवृद्धि ब्याज दर (2r + r²/100)% द्वारा दी जाती है।

10% प्रति वर्ष की दर से, 2 वर्षों के लिए प्रभावी दर = 2(10) + (10²/100) = 21%। 20% प्रति वर्ष की दर से, 2 वर्षों के लिए प्रभावी दर = 2(20) + (20²/100) = 44%।

प्रभावी दर में अंतर = 44% - 21% = 23%।

अतिरिक्त प्राप्त ब्याज = ₹200 का 23% = (23 / 100) × 200 = ₹46।

व्याख्या

पूरक कोण सर्वसमिका का उपयोग करके: tan 48° = tan(90° - 42°) = cot 42° = cos 42° / sin 42°

चूंकि cos 42° = p है, पाइथागोरस त्रिकोणमितीय सर्वसमिका द्वारा: sin 42° = √(1 - cos² 42°) = √(1 - p²)

इनको cot 42° के व्यंजक में प्रतिस्थापित करने पर: tan 48° = p / √(1 - p²)

व्याख्या

पूरक कोण त्रिकोणमितीय सर्वसमिका का उपयोग करके: cos θ = sin(90° - θ)

θ = 75° का मान रखने पर: cos 75° = sin(90° - 75°) = sin 15°

इसे दिए गए संबंध के बराबर करने पर: sin 2A = sin 15°

A के सबसे छोटे धनात्मक मान के लिए: 2A = 15° A = 7.5°

व्याख्या

प्रत्येक छात्र के लिए कुल अधिकतम अंक = 100 + 100 + 100 + 50 = 350

P द्वारा प्राप्त कुल अंक = 50 + 85 + 55 + 40 = 230 P का कुल प्रतिशत = (230 / 350) × 100 = 65.71%

Q द्वारा प्राप्त कुल अंक = 65 + 90 + 50 + 45 = 250 Q का कुल प्रतिशत = (250 / 350) × 100 = 71.43%

कुल प्रतिशत अंकों में अंतर = 71.43% - 65.71% = 5.72% ≈ 6%

व्याख्या

वर्ष 2014 में करों पर व्यय = 2 मिलियन सभी वर्षों (2012 से 2015) में परिवहन पर कुल व्यय = 48 + 60 + 71 + 82 = 261 मिलियन

आवश्यक अनुपात = 2 : 261 = 1 : (261 ÷ 2) = 1 : 130.5

व्याख्या

कुल कार्य = ल.स.प.(8, 7) = 56 इकाई मान लीजिए।

पिता का 1-दिवसीय कार्य = 56 / 8 = 7 इकाई। पुत्र का 1-दिवसीय कार्य = 56 / 7 = 8 इकाई।

2-दिवसीय चक्र में (पहले दिन पिता, दूसरे दिन पुत्र), पूरा हुआ कार्य = 7 + 8 = 15 इकाई।

3 पूर्ण चक्रों में (6 दिनों में), पूरा हुआ कार्य = 3 × 15 = 45 इकाई। शेष कार्य = 56 - 45 = 11 इकाई।

7वें दिन, पिता काम करता है और 7 इकाई पूरा करता है। शेष कार्य = 11 - 7 = 4 इकाई।

8वें दिन, पुत्र की बारी है। शेष 4 इकाई को पूरा करने में लिया गया समय = 4 / 8 = ½ दिन।

कुल आवश्यक दिन = 6 + 1 + ½ = 7½ दिन।

व्याख्या

बीजीय सर्वसमिका का प्रयोग करके: a³ + b³ + c³ - 3abc = (a + b + c)[(a + b + c)² - 3(ab + bc + ca)]

दिए गए मानों को प्रतिस्थापित करने पर: a³ + b³ + c³ - 3(168) = 17 × [17² - 3(94)] a³ + b³ + c³ - 504 = 17 × (289 - 282) a³ + b³ + c³ - 504 = 17 × 7 a³ + b³ + c³ - 504 = 119 a³ + b³ + c³ = 119 + 504 = 623

व्याख्या

दो संख्याओं के सूत्र का प्रयोग करके: पहली संख्या × दूसरी संख्या = HCF × LCM

दिए गए मानों को प्रतिस्थापित करने पर: 435 × दूसरी संख्या = 15 × 6090 दूसरी संख्या = (15 × 6090) / 435

435 को 15 से विभाजित करने पर 29 प्राप्त होता है। दूसरी संख्या = 6090 / 29 = 210

व्याख्या

त्रिभुज का माध्यक किसी शीर्ष को उसकी सम्मुख भुजा के मध्यबिंदु से जोड़ने वाले रेखाखंड के रूप में परिभाषित किया गया है। केंद्रक त्रिभुज के तीन माध्यकों का संगमन बिंदु होता है। केंद्रक प्रमेय के अनुसार, केंद्रक प्रत्येक माध्यक को दो भागों में इस प्रकार विभाजित करता है कि शीर्ष से केंद्रक तक की दूरी, केंद्रक से सम्मुख भुजा के मध्यबिंदु तक की दूरी की दोगुनी होती है, जिससे 2:1 का अनुपात स्थापित होता है।

व्याख्या

मान लीजिए स्तंभ की कुल लंबाई L है।

पहला भाग = L / 4 दूसरा भाग = (4 / 8) × (L / 4) = L / 8

पहले दो भागों का योग है: L / 4 + L / 8 = 3L / 8

तीसरा भाग शेष लंबाई को दर्शाता है: L - 3L / 8 = 5L / 8

दिया गया है कि तीसरा भाग 10 मीटर है: 5L / 8 = 10 L = 10 × 8 / 5 = 16 मीटर

व्याख्या

साधारण ब्याज = (मूलधन × दर × समय) / 100

चूंकि तीनों योजनाओं से प्राप्त साधारण ब्याज बराबर है, माना कि मूलधन निवेश P₁, P₂ और P₃ हैं:

(P₁ × 10 × 6) / 100 = (P₂ × 12 × 10) / 100 = (P₃ × 15 × 12) / 100

60 P₁ = 120 P₂ = 180 P₃

सभी को 60 से विभाजित करने पर: 1 P₁ = 2 P₂ = 3 P₃

अनुपात P₁ : P₂ : P₃ ज्ञात करने के लिए, गुणांकों के व्युत्क्रमों को उनके LCM (6) से गुणा करें: P₁ : P₂ : P₃ = 1/1 : 1/2 : 1/3 = 6 : 3 : 2

व्याख्या

क्रमिक प्रतिशत सूत्र का उपयोग करके: कुल लाभ = x + y + (x × y) / 100, जहाँ x और y क्रमशः पहले और दूसरे व्यक्ति के प्रतिशत लाभ हैं।

38 = 15 + y + (15 × y) / 100 23 = y + 0.15y 23 = 1.15y y = 23 / 1.15 = 20%

व्याख्या

पहली n विषम प्राकृतिक संख्याओं का योग सूत्र S = n² द्वारा दिया जाता है।

0 और 52 के बीच की विषम संख्याएँ 1, 3, 5, ..., 51 हैं। पदों की कुल संख्या n = (51 - 1)/2 + 1 = 26 है।

सूत्र में n = 26 रखने पर: योग = 26² = 676

व्याख्या

प्रत्येक घंटे में तय की गई दूरी एक समांतर श्रेणी बनाती है जिसका पहला पद a = 40 किमी और सार्व अंतर d = 20 किमी है।

5 घंटे में तय की गई दूरी का योग S₅ = (5 / 2) × [2(40) + (5 - 1)20] = 2.5 × [80 + 80] = 400 किमी।

शेष दूरी तय करनी है = 470 - 400 = 70 किमी।

6वें घंटे में, ट्रेन की गति 40 + 5 × 20 = 140 किमी/घंटा हो जाती है।

शेष 70 किमी तय करने में लगा समय = 70 / 140 = ½ घंटा = 30 मिनट।

कुल आवश्यक समय = 5 घंटे + 30 मिनट = 5 घंटे 30 मिनट।