आरआरबी एनटीपीसी सीबीटी 1 2021 Mathematics प्रश्न — हल सहित

व्याख्या

शेषफल प्रमेय के अनुसार, जब एक बहुपद f(a) को एक रैखिक भाजक (a - ½) से विभाजित किया जाता है, तो शेषफल f(½) द्वारा दिया जाता है।

भाजक को शून्य के बराबर रखने पर: a - ½ = 0 a = ½

f(a) = 4a³ - 12a² + 14a - 3 में a = ½ प्रतिस्थापित करने पर: f(½) = 4(½)³ - 12(½)² + 14(½) - 3 f(½) = 4(1/8) - 12(1/4) + 14(1/2) - 3 f(½) = ½ - 3 + 7 - 3 f(½) = ½ + 1 = 3/2

व्याख्या

दी गई संख्याओं को विशिष्ट शेषफल छोड़ने वाली सबसे बड़ी संख्या ज्ञात करने के लिए, संख्याओं से संबंधित शेषफलों को घटाएं और परिणामों का महत्तम समापवर्तक (HCF) ज्ञात करें:

आवश्यक संख्या = HCF(13 - 1, 26 - 2, 39 - 3) = HCF(12, 24, 36)

चूंकि 12, 24 और 36 दोनों को पूरी तरह से विभाजित करता है, HCF(12, 24, 36) = 12।

व्याख्या

बीजगणितीय सर्वसमिका के अनुसार: a³ + b³ + c³ - 3abc = (a + b + c)(a² + b² + c² - ab - bc - ca)

यह दिया गया है कि तीन संख्याओं का योग शून्य है, अर्थात्, a + b + c = 0: a³ + b³ + c³ - 3abc = 0 × (a² + b² + c² - ab - bc - ca) = 0 a³ + b³ + c³ = 3abc

a + b + c = 0 प्रतिस्थापित करने पर घनों का योग, a³ + b³ + c³, सीधे 3abc के बराबर हो जाता है, जो कि तीनों संख्याओं के गुणनफल का तीन गुना है।

व्याख्या

आर्थिक सहयोग और विकास संगठन (ओईसीडी) एक अंतर-सरकारी संगठन है जिसकी स्थापना 1961 में आर्थिक विकास, सामाजिक कल्याण और अंतर्राष्ट्रीय व्यापार को बढ़ावा देने के लिए की गई थी। इसका आधिकारिक मुख्यालय पेरिस, फ्रांस में शैटो डे ला म्यूएट में स्थित है।

व्याख्या

एडेनोसिन ट्राइफॉस्फेट (ATP) को कोशिका की ऊर्जा मुद्रा के रूप में जाना जाता है क्योंकि यह खाद्य अणुओं के टूटने से निकलने वाली रासायनिक ऊर्जा को ग्रहण करता है और इसे कोशिकीय प्रक्रियाओं को संचालित करने के लिए जारी करता है। ऊर्जा इसके तीन फॉस्फेट समूहों को जोड़ने वाले उच्च-ऊर्जा फॉस्फेट बंधों के भीतर संग्रहीत होती है। जब किसी कोशिका को उपापचयी अभिक्रियाओं, सक्रिय परिवहन या यांत्रिक कार्य के लिए ऊर्जा की आवश्यकता होती है, तो जल-अपघटन के माध्यम से अंतिम फॉस्फेट बंध टूट जाता है, जिससे प्रयोग करने योग्य ऊर्जा निकलती है।

व्याख्या

किन्हीं दो धनात्मक पूर्णांकों x और y के लिए, संख्याओं का गुणनफल उनके लघुत्तम समापवर्त्य (LCM) और महत्तम समापवर्तक (HCF) के गुणनफल के बराबर होता है:

x × y = LCM × HCF

दिए गए मानों को सूत्र में प्रतिस्थापित करने पर:

189 × y = 2079 × 27

y = (2079 × 27) / 189

चूंकि 189 / 27 = 7 है:

y = 2079 / 7 = 297

व्याख्या

अमीर खुसरो, प्रतिष्ठित सूफी संगीतकार, कवि और विद्वान, का जन्म 1253 ईस्वी में उत्तर प्रदेश के पटियाली (वर्तमान कासगंज जिले में स्थित, पूर्व में एटा जिले का हिस्सा) में हुआ था। उन्हें "भारत का तोता" (तुती-ए-हिंद) माना जाता है, वे हजरत निजामुद्दीन औलिया के समर्पित शिष्य थे और उन्होंने फारसी और हिंदवी साहित्य, कव्वाली और भारतीय शास्त्रीय संगीत में अग्रणी योगदान दिया।

व्याख्या

स्थान मान की 10 की घातों का उपयोग करके:

0.0003618 = 36.18 × 10⁻⁵

इसलिए, 1 / 0.0003618 = 1 / (36.18 × 10⁻⁵) = (1 / 36.18) × 10⁵ = 0.0276 × 100000 = 2760

व्याख्या

साधारण ब्याज में परिपक्वता राशि (A), मूलधन (P), ब्याज दर (R), और समय अवधि (T) के बीच संबंध इस प्रकार दिया गया है:

A = P × [1 + (R × T) / 100]

A = 175, R = 5%, और T = 8 वर्ष को सूत्र में प्रतिस्थापित करने पर:

175 = P × [1 + (5 × 8) / 100] 175 = P × (1 + 0.4) 175 = 1.4 × P P = 175 / 1.4 = 125

व्याख्या

कार्य तुल्यता सूत्र M₁ × D₁ = M₂ × D₂ का उपयोग करके, जहाँ M श्रमिकों की संख्या है और D कार्य पूरा करने में लगने वाले दिनों की संख्या है।

चूंकि दोनों परिदृश्यों में प्रत्येक श्रमिक के पास एक झाड़ू है, इसलिए व्यक्तिगत कार्य दर स्थिर रहती है।

दिए गए मानों को प्रतिस्थापित करने पर: 12 × 4 = 8 × D₂ 48 = 8 × D₂ D₂ = 48 / 8 = 6 दिन।

व्याख्या

1857 के विद्रोह के बाद, ब्रिटिश संसद ने ईस्ट इंडिया कंपनी के शासन को समाप्त करने के लिए भारत सरकार अधिनियम 1858 पारित किया। 1 नवंबर 1858 को, भारत के प्रथम वायसराय लॉर्ड कैनिंग ने इलाहाबाद में एक भव्य दरबार में महारानी विक्टोरिया की घोषणा पढ़ी। इस घोषणा ने औपचारिक रूप से यह घोषणा की कि भारत को इसके बाद सीधे ब्रिटिश सम्राट के नाम से और उनके द्वारा शासित किया जाएगा, जिसका प्रशासन भारत के लिए राज्य सचिव के नव निर्मित पद के माध्यम से किया जाएगा।

व्याख्या

माना कोण का माप x है। चूँकि दो संपूरक कोणों का योग 180° होता है, इसलिए संपूरक कोण 180° - x है।

प्रश्न के अनुसार: x = ½ × (180° - x) 2x = 180° - x 3x = 180° x = 60°

व्याख्या

मानक बीजगणितीय सर्वसमिका का प्रयोग करके: a³ + b³ = (a + b)³ - 3ab(a + b)

मान लीजिए a = cos θ और b = sec θ। चूँकि cos θ × sec θ = 1, दिए गए मान cos θ + sec θ = √3 को प्रतिस्थापित करने पर:

cos³θ + sec³θ = (cos θ + sec θ)³ - 3(cos θ)(sec θ)(cos θ + sec θ) = (√3)³ - 3(1)(√3) = 3√3 - 3√3 = 0

व्याख्या

2³ × 3³ × 5⁴ × 7² का कोई भी गुणनखंड 2ᵃ × 3ᵇ × 5ᶜ × 7ᵈ के रूप का होता है।

किसी गुणनखंड के 50 (2¹ × 5²) से विभाज्य होने के लिए, हमें a ≥ 1 और c ≥ 2 की आवश्यकता है। इसके 100 (2² × 5²) से विभाज्य न होने के लिए, 2 का घातांक 2 या उससे अधिक नहीं हो सकता। इस प्रकार, a = 1 (1 विकल्प)।

3 का घातांक (b) 0, 1, 2, या 3 (4 विकल्प) हो सकता है। 5 का घातांक (c) 2, 3, या 4 (3 विकल्प) हो सकता है। 7 का घातांक (d) 0, 1, या 2 (3 विकल्प) हो सकता है।

मूल गणना सिद्धांत के अनुसार, ऐसे गुणनखंडों की कुल संख्या 1 × 4 × 3 × 3 = 36 है।

व्याख्या

प्रत्येक वस्तु का विक्रय मूल्य = ₹4,000 कुल विक्रय मूल्य = ₹8,000

पहली वस्तु का क्रय मूल्य = 4000 / 1.15 = ₹3,478.26 दूसरी वस्तु का क्रय मूल्य = 4000 / 0.85 = ₹4,705.88

कुल क्रय मूल्य = 3478.26 + 4705.88 = ₹8,184.14

कुल हानि = कुल क्रय मूल्य - कुल विक्रय मूल्य कुल हानि = 8184.14 - 8000 = ₹184.14

निकटतम पूर्णांक तक पूर्णांकित करने पर ₹184 की हानि होती है।

व्याख्या

किसी भाज्य संख्या के कुल भाजकों की संख्या ज्ञात करने के लिए, उसे उसके अभाज्य गुणनखंडों के गुणनफल के रूप में व्यक्त करें:

120 = 2³ × 3¹ × 5¹

भाजकों की संख्या के सूत्र d(N) = (a + 1)(b + 1)(c + 1)... का उपयोग करें, जहाँ a, b, c अभाज्य गुणनखंडों के घातांक हैं:

d(120) = (3 + 1) × (1 + 1) × (1 + 1) = 4 × 2 × 2 = 16

व्याख्या

प्रति किलोग्राम मूल्य की गणना सूत्र का उपयोग करके की जाती है: प्रति किलोग्राम मूल्य = कुल मूल्य (₹ में) ÷ कुल मात्रा (किग्रा में)

प्रत्येक वर्ष के लिए प्रति किलोग्राम मूल्य की गणना: 1993 के लिए: 230 ÷ 110 = 2.09 ₹/किग्रा 1994 के लिए: 210 ÷ 95 = 2.21 ₹/किग्रा 1995 के लिए: 340 ÷ 125 = 2.72 ₹/किग्रा 1996 के लिए: 430 ÷ 130 = 3.31 ₹/किग्रा

इन परिणामों की तुलना करने पर, प्रति किलोग्राम अधिकतम मूल्य 1996 में प्राप्त होता है, जो लगभग 3.3 ₹/किग्रा है।

व्याख्या

जब एक घन को पुनः एक घनाभ में ढाला जाता है, तो उसका आयतन 324 cm³ पर अपरिवर्तित रहता है।

मान लीजिए घनाभ की लंबाई, चौड़ाई और ऊँचाई क्रमशः 3x, 2x और 2x हैं।

घनाभ का आयतन = लंबाई × चौड़ाई × ऊँचाई (3x) × (2x) × (2x) = 324 12x³ = 324 x³ = 27 x = 3

घनाभ की लंबाई = 3x = 3 × 3 = 9 सेमी।

व्याख्या

हर 9, 12, 16 और 8 का लघुत्तम समापवर्त्य (LCM) ज्ञात करें, जो कि 144 है।

प्रत्येक भिन्न को हर 144 के साथ एक समतुल्य भिन्न में बदलें: 7/9 = 112/144 11/12 = 132/144 13/16 = 117/144 1/8 = 18/144

इन्हें व्यंजक में प्रतिस्थापित करें: (112 - 132 + 117 - 18) / 144 = 79/144

व्याख्या

मूल द्रव में स्पिरिट की मात्रा = 50 लीटर का 20% = (20 / 100) × 50 = 10 लीटर।

जब 10 लीटर पानी मिलाया जाता है, तो परिणामी मिश्रण का कुल आयतन 50 लीटर + 10 लीटर = 60 लीटर हो जाता है।

चूंकि कोई अतिरिक्त स्पिरिट नहीं मिलाई गई थी, स्पिरिट की मात्रा 10 लीटर ही रहती है।

नए मिश्रण में स्पिरिट का प्रतिशत = (स्पिरिट की मात्रा / कुल आयतन) × 100% = (10 / 60) × 100% = 100 / 6 % = 16⅔%।

व्याख्या

कटोरे में गेंदों की कुल संख्या = 9 + 7 + 5 = 21।

21 में से 2 गेंदें निकालने के तरीकों की कुल संख्या ²¹C₂ = (21 × 20) / 2 = 210 है।

ठीक एक गेंद के सफेद होने के लिए, 7 सफेद गेंदों में से एक गेंद और 14 गैर-सफेद गेंदों (9 नीली + 5 काली) में से दूसरी गेंद निकाली जानी चाहिए।

अनुकूल तरीकों की संख्या = ⁷C₁ × ¹⁴C₁ = 7 × 14 = 98।

प्रायिकता = अनुकूल परिणाम / कुल परिणाम = 98 / 210 = 7/15।

व्याख्या

कोस्ट रेडवुड (सेक्वॉइया सेम्परवायरेंस), जो तटीय कैलिफ़ोर्निया और दक्षिण-पश्चिमी ओरेगन का मूल निवासी है, पृथ्वी पर सबसे ऊँची जीवित वृक्ष प्रजाति है। व्यक्तिगत कोस्ट रेडवुड 115 मीटर (380 फीट) से अधिक की ऊँचाई तक पहुँच सकते हैं, जिसमें सबसे ऊँचा ज्ञात जीवित वृक्ष हाइपेरियन 115.92 मीटर मापा गया है। ये कोनिफर ठंडी, आर्द्र तटीय जलवायु में पनपते हैं जहाँ मोटी समुद्री धुंध उनके अत्यधिक विकास के लिए आवश्यक नमी प्रदान करती है।

व्याख्या

18 किमी की अतिरिक्त दूरी मूल गति के बजाय कम की गई गति से तय करने पर 45 मिनट - 36 मिनट = 9 मिनट = 3/20 घंटे की बचत होती है।

मान लीजिए मूल गति v किमी/घंटा है। कम की गई गति 4/5 v किमी/घंटा है।

कम की गई गति से 18 किमी तय करने में लगा समय = 18 / (4/5 v) = 22.5 / v घंटे। मूल गति से 18 किमी तय करने में लगा समय = 18 / v घंटे।

बचत हुआ समय = (22.5 / v) - (18 / v) = 4.5 / v = 3/20

v के लिए हल करने पर: v = (4.5 × 20) / 3 = 30 किमी/घंटा।

व्याख्या

किसी स्थिति-आधारित आधार-10 संख्या प्रणाली में किसी अंक का स्थानीय मान सूत्र द्वारा दिया जाता है:

स्थानीय मान = अंक × 10ⁿ

जहाँ n दिए गए अंक के दाईं ओर अंकों की संख्या है। संख्या 367892141 में, अंक 3 के बाद 8 अंक (6, 7, 8, 9, 2, 1, 4, 1) हैं, इसलिए n = 8।

इस प्रकार, 3 का स्थानीय मान 3 × 10⁸ है।

व्याख्या

BODMAS नियम (कोष्ठक, घात/कोटि, भाग/गुणा, जोड़/घटाव) का प्रयोग करके:

सबसे पहले, कोष्ठक के अंदर के व्यंजक का मान निकालें: (6 + 4) = 10 4 / 2 = 2

अगला, परिणामों को गुणा करें: 10 × 2 = 20

अंत में, बाएं से दाएं जोड़ और घटाव करें: 20 + 5 - 3 = 22

व्याख्या

किसी कार्य को पूरा करने के लिए आवश्यक समय दक्षता या कार्य दर के व्युत्क्रमानुपाती होता है।

यह देखते हुए कि X और Y एक साथ Z से 3 गुना तेज़ी से काम करते हैं: (X + Y) की दक्षता = 3 × Z की दक्षता

दोनों पक्षों में Z की दक्षता जोड़ने पर तीनों की संयुक्त दक्षता प्राप्त होती है: (X + Y + Z) की दक्षता = 3 × Z की दक्षता + 1 × Z की दक्षता = 4 × Z की दक्षता

चूंकि तीनों एक साथ मिलकर कार्य को 15 दिनों में पूरा करते हैं, इसलिए Z अकेले, संयुक्त दक्षता के ¼ भाग के साथ, लेगा: Z द्वारा लिया गया समय = 4 × 15 = 60 दिन

व्याख्या

माना मीनार की ऊँचाई h = 200 मी।

दो चट्टानों के अवनमन कोण 45° और 30° हैं, जो जमीन से उनके उन्नयन कोणों के संगत हैं।

मीनार के आधार से पहली चट्टान की दूरी = h / tan 45° = 200 / 1 = 200 मी।

मीनार के आधार से दूसरी चट्टान की दूरी = h / tan 30° = 200 / (1 / √3) = 200√3 मी।

चूंकि दोनों चट्टानें मीनार के एक ही तरफ स्थित हैं, इसलिए उनके बीच की दूरी आधार से उनकी दूरियों का अंतर है: 200√3 - 200 = 200(√3 - 1) मी।

व्याख्या

त्रिज्या R वाले वृत्त के केंद्र पर θ कोण बनाने वाली जीवा की लंबाई L = 2R sin(θ/2) द्वारा दी जाती है।

केंद्र पर 60° का कोण बनाने वाली जीवा x के लिए: x = 2R sin(30°) = 2R × ½ = R

केंद्र पर 90° का कोण बनाने वाली जीवा y के लिए: y = 2R sin(45°) = 2R × (1/√2) = √2 R

R = x रखने पर y = √2 x प्राप्त होता है।

व्याख्या

संचालन के मानक क्रम का उपयोग करके व्यंजक का मूल्यांकन:

अंश: 6 × 2 = 12 हर: 8 - 1 + 5 = 7 + 5 = 12

अंश को हर से विभाजित करना: 12 ÷ 12 = 1

व्याख्या

कुल जनसंख्या 100 मान लीजिए।

अस्थमा से प्रभावित लोगों की संख्या = 100 का 20% = 20। आटा चक्कियों में काम करने वाले अस्थमा रोगियों की संख्या = 20 का 90% = 18। आटा चक्कियों में काम करने वाले लोगों की कुल संख्या = 100 का 30% = 30।

अस्थमा से पीड़ित आटा चक्की श्रमिकों का प्रतिशत = (18 / 30) × 100 = 60%।

व्याख्या

प्रत्येक वर्गमूल को पूर्ण वर्ग गुणनखंडों को बाहर निकालकर सरल करें:

√75 = √(25 × 3) = 5√3 √147 = √(49 × 3) = 7√3

दोनों पदों को एक साथ जोड़ने पर: √75 + √147 = 5√3 + 7√3 = 12√3

व्याख्या

कुल कार्य = 18 × 12 कुशल श्रमिक-दिन = 24 × 15 अर्ध-कुशल श्रमिक-दिन।

216 कुशल श्रमिक-दिन = 360 अर्ध-कुशल श्रमिक-दिन 3 कुशल श्रमिक = 5 अर्ध-कुशल श्रमिक

शेष कार्य को निर्धारित समय में पूरा करने के लिए, छोड़े गए 3 कुशल श्रमिकों की कार्य दर की पूरी तरह से प्रतिस्थापन श्रमिकों द्वारा भरपाई की जानी चाहिए। चूंकि 3 कुशल श्रमिक कार्य दर में 5 अर्ध-कुशल श्रमिकों के बराबर हैं, इसलिए उन्हें बदलने के लिए ठीक 5 अर्ध-कुशल श्रमिकों की आवश्यकता है।

व्याख्या

मान लीजिए पहली और दूसरी बाइक के क्रय मूल्य क्रमशः C₁ और C₂ हैं, जहाँ C₁ + C₂ = ₹1,00,000।

चूंकि दोनों बाइकों के विक्रय मूल्य बराबर हैं: 1.20 × C₁ = 0.80 × C₂ C₁ / C₂ = 0.80 / 1.20 = 2 / 3

इस प्रकार, C₁ और C₂ का अनुपात 2 : 3 है।

पहली बाइक का क्रय मूल्य (C₁) = (2 / 5) × 1,00,000 = ₹40,000

व्याख्या

ए.पी. से 2016 और 2017 में बैठने वाले कुल छात्र = 260 + 400 = 660

यू.पी. से 2016 और 2017 में बैठने वाले कुल छात्र = 450 + 500 = 950

आवश्यक अनुपात = 660 : 950 = 66 : 95

व्याख्या

कम से कम एक विषय में उत्तीर्ण होने वाले छात्रों का प्रतिशत = 100% - 15% = 85%

समावेशन-अपवर्जन के लिए समुच्चय सूत्र का उपयोग करके: दोनों विषयों में उत्तीर्ण होने वाले छात्रों का प्रतिशत = भौतिकी में उत्तीर्ण होने वाले छात्रों का प्रतिशत + रसायन विज्ञान में उत्तीर्ण होने वाले छात्रों का प्रतिशत - कम से कम एक विषय में उत्तीर्ण होने वाले छात्रों का प्रतिशत दोनों विषयों में उत्तीर्ण होने वाले छात्रों का प्रतिशत = 80% + 70% - 85% = 65%

चूंकि कुल छात्रों का 65% 325 के बराबर है: कुल छात्र = (325 × 100) / 65 = 500