आरआरबी एनटीपीसी सीबीटी 1 2021 Mathematics प्रश्न — हल सहित

व्याख्या

कार्य को पूरा करने के लिए P को कुल 10 × 6 = 60 घंटे चाहिए, जबकि Q को 9 × 10 = 90 घंटे चाहिए।

कुल कार्य को LCM(60, 90) = 180 इकाई मानते हुए: P की दर = 180 ÷ 60 = 3 इकाई/घंटा Q की दर = 180 ÷ 90 = 2 इकाई/घंटा

P और Q की संयुक्त दर = 3 + 2 = 5 इकाई/घंटा।

प्रतिदिन 6 घंटे कार्य करते हुए, वे 5 × 6 = 30 इकाई कार्य प्रतिदिन पूरा करते हैं।

कार्य को पूरा करने के लिए आवश्यक समय = 180 ÷ 30 = 6 दिन।

व्याख्या

10% प्रति वर्ष की दर से 2 वर्षों के लिए प्रभावी चक्रवृद्धि ब्याज दर (वार्षिक रूप से संयोजित) = 10 + 10 + (10 × 10) / 100 = 21%।

मूलधन = (630 / 21) × 100 = ₹3000।

10% प्रति वर्ष की दर से 3 वर्षों के लिए साधारण ब्याज = (मूलधन × दर × समय) / 100 = (3000 × 10 × 3) / 100 = ₹900।

व्याख्या

बीजगणितीय सर्वसमिका (a + b)² + (a - b)² = 2(a² + b²) का प्रयोग करके, मान लीजिए a = 759 और b = 253।

इन मानों को दिए गए व्यंजक में प्रतिस्थापित करने पर: [(759 + 253)² + (759 - 253)²] / (759 × 759 + 253 × 253) = 2(759² + 253²) / (759² + 253²) = 2

अंश और हर के पद एक दूसरे को निरस्त कर देते हैं, जिससे a और b के विशिष्ट मानों की परवाह किए बिना परिणाम 2 प्राप्त होता है।

व्याख्या

मान लीजिए पाइप A और B की भरने की दर क्रमशः A और B इकाई प्रति घंटा है।

जब पाइप B को A के साथ टंकी भरने के लिए इस्तेमाल किया जाता है, तो संयुक्त भरने की दर A + B होती है, जिसमें t समय लगता है। जब पाइप B को A द्वारा भरते समय टंकी खाली करने के लिए इस्तेमाल किया जाता है, तो शुद्ध भरने की दर A - B होती है, जिसमें 5t समय लगता है।

चूंकि टंकी का आयतन स्थिर है: (A + B) × t = (A - B) × 5t A + B = 5A - 5B 4A = 6B A / B = 6 / 4 = 3 / 2

इस प्रकार, A और B की दरों का अनुपात 3:2 है।

व्याख्या

एक द्विघात समीकरण ax² + bx + c = 0 जिसके मूल p : q के अनुपात में हैं, के गुणांकों के बीच संबंध इस प्रकार दिया गया है:

b² / (a × c) = (p + q)² / (p × q)

दिए गए समीकरण 12x² + mx + 6 = 0 से, गुणांक a = 12, b = m, और c = 6 हैं, जहाँ p = 2 और q = 3 है।

इन मानों को सूत्र में प्रतिस्थापित करने पर:

m² / (12 × 6) = (2 + 3)² / (2 × 3) m² / 72 = 25 / 6 m² = (25 × 72) / 6 m² = 300 m = √300 = 10√3

व्याख्या

बीजगणितीय सर्वसमिका (a - b)² = a² - 2ab + b² का प्रयोग करके:

1498 × 1498 = (1500 - 2)² = 1500² - (2 × 1500 × 2) + 2² = 22,50,000 - 6,000 + 4 = 22,44,004

व्याख्या

बीजगणितीय सर्वसमिका a² - b² = (a + b)(a - b) का प्रयोग करके:

माना a = 515.86 और b = 314.87।

ध्यान दें कि a - b = 515.86 - 314.87 = 200.99।

दिया गया व्यंजक (a² - b²) / 200.99 = (a² - b²) / (a - b) है।

व्यंजक को सरल बनाना: (a² - b²) / (a - b) = (a + b)(a - b) / (a - b) = a + b

मानों को प्रतिस्थापित करना: a + b = 515.86 + 314.87 = 830.73

व्याख्या

वृत्त के केंद्र से जीवा पर डाला गया लम्ब जीवा को समद्विभाजित करता है। जीवा AB का आधा 3 सेमी है और जीवा CD का आधा 4 सेमी है।

मान लीजिए r वृत्त की त्रिज्या है, और मान लीजिए x और y क्रमशः जीवा AB और CD से केंद्र O की लम्बवत दूरियाँ हैं। चूँकि केंद्र चतुर्भुज ABCD (दो जीवाओं के बीच) के आंतरिक भाग में स्थित है, इसलिए उनके बीच की कुल दूरी x + y = 7 सेमी है।

त्रिज्या, अर्ध-जीवा और केंद्र से दूरी से बनने वाले समकोण त्रिभुजों पर पाइथागोरस प्रमेय लागू करने पर: r² = x² + 3² = x² + 9 r² = y² + 4² = y² + 16

r² के दोनों व्यंजकों को बराबर करने पर: x² + 9 = y² + 16 x² - y² = 7 (x + y)(x - y) = 7

x + y = 7 को प्रतिस्थापित करने पर: 7(x - y) = 7 x - y = 1

समीकरणों x + y = 7 और x - y = 1 को हल करने पर x = 4 सेमी और y = 3 सेमी प्राप्त होता है।

x = 4 को त्रिज्या समीकरण में वापस प्रतिस्थापित करने पर: r² = 4² + 9 = 25 r = √25 = 5 सेमी

व्याख्या

कुल कार्य को 1 इकाई मान लें। A, B और C की संयुक्त दैनिक कार्य दर 1/16 है, और C की अकेले दैनिक कार्य दर 1/24 है।

पहले 2 दिनों में A, B और C द्वारा मिलकर पूरा किया गया कार्य = 2 × (1/16) = 1/8 इकाई। शेष कार्य = 1 - 1/8 = 7/8 इकाई।

मान लीजिए B की दैनिक कार्य दर b है। शेष कार्य B और C द्वारा मिलकर 9 दिनों में पूरा किया गया, जिसके बाद C ने अकेले 6 दिनों में पूरा किया: 9(b + 1/24) + 6 × (1/24) = 7/8 9b + 15/24 = 7/8 9b + 5/8 = 7/8 9b = 2/8 = 1/4 b = 1/36

चूंकि B प्रति दिन कार्य का 1/36 भाग पूरा करता है, B अकेले पूरे कार्य को 36 दिनों में पूरा कर सकता है।

व्याख्या

दिए गए दो वर्गों की भुजाओं की लंबाई हैं: पहले वर्ग की भुजा = 48 / 4 = 12 सेमी दूसरे वर्ग की भुजा = 60 / 4 = 15 सेमी

उनके क्षेत्रफल हैं: पहले वर्ग का क्षेत्रफल = 12² = 144 सेमी² दूसरे वर्ग का क्षेत्रफल = 15² = 225 सेमी²

तीसरे वर्ग का क्षेत्रफल = 225 - 144 = 81 सेमी² तीसरे वर्ग की भुजा = √81 = 9 सेमी तीसरे वर्ग का परिमाप = 4 × 9 = 36 सेमी

व्याख्या

बीजगणितीय सर्वसमिका x² + y² = (x + y)² - 2xy का प्रयोग करके:

सबसे पहले, x और y का योग ज्ञात कीजिए: x + y = (3 + √5) + (3 - √5) = 6

इसके बाद, वर्गों के अंतर के सूत्र (a + b)(a - b) = a² - b² का प्रयोग करके x और y का गुणनफल ज्ञात कीजिए: xy = (3 + √5)(3 - √5) = 3² - (√5)² = 9 - 5 = 4

अब, इन मानों को सर्वसमिका में प्रतिस्थापित कीजिए: x² + y² = (x + y)² - 2xy x² + y² = 6² - 2(4) x² + y² = 36 - 8 = 28

व्याख्या

व्यास AB वाले एक अर्धवृत्त में, कोण ADB 90° है। चूँकि CD कर्ण AB पर लंबवत है, समकोण त्रिभुज की शीर्षलंब प्रमेय द्वारा, CD² = AC × CB।

दिए गए मानों को प्रतिस्थापित करने पर: 9² = 6 × CB 81 = 6 × CB CB = 13.5 सेमी

कुल व्यास AB = AC + CB = 6 + 13.5 = 19.5 सेमी।

व्याख्या

8 और 59 के बीच की अभाज्य संख्याएँ 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47 और 53 हैं।

इन 12 अभाज्य संख्याओं का योग पदों को जोड़कर: (11 + 53) + (13 + 47) + (17 + 43) + (19 + 41) + (23 + 37) + (29 + 31) = 64 + 60 + 60 + 60 + 60 + 60 = 64 + 300 = 364

व्याख्या

बेलनाकार टंकी की क्षमता V = 38,500 लीटर = 38.5 मी³ (चूंकि 1000 लीटर = 1 मी³)।

बेलन के आयतन सूत्र V = πr²h का उपयोग करके: 38.5 = (22/7) × r² × 4 r² = (38.5 × 7) / 88 = 245 / 80 = 49/16 r = √(49/16) = 7/4 = 1.75 मीटर

व्यास = 2 × r = 2 × 1.75 = 3.5 मीटर

व्याख्या

मान लीजिए आयताकार खेत के आयाम 4x और 3x हैं।

क्षेत्रफल = लंबाई × चौड़ाई 12x² = 300 x² = 25 x = 5

लंबाई = 4 × 5 = 20 मीटर चौड़ाई = 3 × 5 = 15 मीटर

व्याख्या

माना 50 पैसे, 25 पैसे और 10 पैसे के सिक्कों की संख्या क्रमशः 9x, 5x और 6x है।

रुपयों में कुल मूल्य = (9x × 0.50) + (5x × 0.25) + (6x × 0.10) = 4.50x + 1.25x + 0.60x = 6.35x

कुल मूल्य को ₹317.50 के बराबर रखने पर: 6.35x = 317.50 x = 317.50 ÷ 6.35 = 50

25 पैसे के सिक्कों की संख्या = 5x = 5 × 50 = 250।

व्याख्या

HCF, LCM और दो संख्याओं x और y के बीच संबंध का उपयोग करके: संख्याओं का गुणनफल xy = HCF × LCM = 21 × 315 = 6615

बीजगणितीय सर्वसमिका (x + y)² = (x - y)² + 4xy का उपयोग करके: (x + y)² = 42² + 4 × 6615 (x + y)² = 1764 + 26460 (x + y)² = 28224 x + y = √28224 = 168

व्याख्या

दो संकेंद्रित वृत्तों के बीच एक वृत्ताकार पथ की चौड़ाई उनकी बाहरी और आंतरिक त्रिज्याओं का अंतर होती है (w = R - r)।

बाहरी और आंतरिक परिधियों के बीच का अंतर इस प्रकार दिया गया है: C₂ - C₁ = 2πR - 2πr = 2π(R - r) = 2πw

मिश्रित भिन्नों को विषम भिन्नों में बदलना: आंतरिक परिधि C₁ = 56 4/7 = 396/7 m बाहरी परिधि C₂ = 94 2/7 = 660/7 m

सूत्र में मानों को प्रतिस्थापित करना: 660/7 - 396/7 = 2 × (22/7) × w 264/7 = (44/7) × w w = 264 / 44 = 6 m

व्याख्या

प्रतिशत वृद्धि = [(वर्ष 2002 में मान - वर्ष 2000 में मान) / वर्ष 2000 में मान] × 100

लेखाकारों के लिए: संख्या में वृद्धि = 154 - 115 = 39 प्रतिशत वृद्धि = (39 / 115) × 100 = 33.91%

चूंकि लेखाकारों और प्रोग्रामरों दोनों में कर्मचारियों की समान निरपेक्ष वृद्धि 39 हुई, लेखाकारों ने 2000 में अपने निम्न आधार मान (134 की तुलना में 115) के कारण उच्च प्रतिशत वृद्धि हासिल की। इससे लेखाकारों को सूचीबद्ध विकल्पों में उच्चतम प्रतिशत वृद्धि 33.91% प्राप्त हुई।

व्याख्या

वर्ष 2000 में कर्मचारियों की कुल संख्या 19 + 115 + 134 + 116 + 32 + 96 = 512 है।

वर्ष 2000 में कुल कर्मचारियों का आधा (50%) 512 / 2 = 256 के बराबर है।

वर्ष 2000 में प्रोग्रामर, तकनीशियन और विश्लेषक की कुल संख्या 134 + 116 + 32 = 282 है।

चूंकि 282, 256 से अधिक है, इसलिए इन तीन श्रेणियों का संयुक्त योग वास्तव में 2000 में कुल कर्मचारियों के 50% से अधिक था।

व्याख्या

2000 में कर्मचारियों की कुल संख्या = 19 + 115 + 134 + 116 + 32 + 96 = 512। 2002 में कर्मचारियों की कुल संख्या = 19 + 154 + 173 + 120 + 133 + 149 = 748।

कुल संख्या में वृद्धि = 748 − 512 = 236।

प्रतिशत वृद्धि = (वृद्धि / प्रारंभिक मान) × 100 = (236 / 512) × 100 ≈ 46.09% ≈ 46%।

व्याख्या

2000 से 2002 तक लेखाकारों की प्रतिशत वृद्धि = [(154 - 115) / 115] × 100 = (39 / 115) × 100 ≈ 33.91%

2000 से 2002 तक तकनीशियनों की प्रतिशत वृद्धि = [(120 - 116) / 116] × 100 = (4 / 116) × 100 ≈ 3.45%

प्रतिशत वृद्धि में अंतर = 33.91% - 3.45% = 30.46% ≈ 31%

व्याख्या

BODMAS नियम का उपयोग करते हुए, सबसे भीतरी कोष्ठक से बाहर की ओर चरण-दर-चरण व्यंजक का मूल्यांकन करें:

सबसे भीतरी कोष्ठक: (20 × 1/5) = 4

भाग और गुणा: 4 ÷ 1/8 × 1/16 = 4 × 8 × 1/16 = 2

कोष्ठक के अंदर: 2 - 8 = -6

2 से गुणा: 2 × (-6) = -12

वर्ग कोष्ठक: 20 - (-12) = 20 + 12 = 32

अंतिम जोड़: 25 + 32 = 57

व्याख्या

माना कि भैंसों की संख्या b है।

सिरों की कुल संख्या H = 20 + 10 + 15 + b = 45 + b

प्रत्येक कबूतर के 2 पैर होते हैं, जबकि गायों, कुत्तों और भैंसों के प्रत्येक के 4 पैर होते हैं। पैरों की कुल संख्या F = (20 × 2) + (10 × 4) + (15 × 4) + (b × 4) = 140 + 4b

दिया गया है कि पैरों की कुल संख्या सिरों की कुल संख्या से 125 अधिक है: F - H = 125 (140 + 4b) - (45 + b) = 125 95 + 3b = 125 3b = 30 b = 10

व्याख्या

दो बिंदुओं (x₁, y₁) और (x₂, y₂) से गुजरने वाली रेखा का ढलान m निम्न द्वारा दिया जाता है: m = (y₂ - y₁) / (x₂ - x₁)

(3, 4) और (4, 5) को प्रतिस्थापित करने पर: m = (5 - 4) / (4 - 3) = 1

रेखा के झुकाव कोण θ का उसके ढलान से संबंध इस प्रकार है: m = tan θ tan θ = 1 θ = 45°

व्याख्या

प्रथम पाँच अभाज्य संख्याएँ 2, 3, 5, 7 और 11 हैं।

माध्य = (अवलोकनों का योग) / (अवलोकनों की संख्या) माध्य = (2 + 3 + 5 + 7 + 11) / 5 = 28 / 5 = 5.6

व्याख्या

जब ब्याज अर्ध-वार्षिक रूप से संयोजित होता है, तो प्रति अवधि दर आधी हो जाती है और अवधियों की संख्या दोगुनी हो जाती है: प्रति अर्ध-वर्ष दर (r) = 20% / 2 = 10% संयोजन अवधियों की संख्या (n) = 1 × 2 = 2

राशि (A) = मूलधन × (1 + r/100)ⁿ A = 1000 × (1 + 10/100)² A = 1000 × (11/10)² = 1000 × 121/100 = ₹1,210

चक्रवृद्धि ब्याज = राशि - मूलधन = ₹1,210 - ₹1,000 = ₹210।

व्याख्या

बीजगणितीय सर्वसमिका x/y + y/x = (x² + y²) / (xy) का प्रयोग करते हुए, जहाँ x = 1 + √3 और y = 1 - √3 है:

अंश: (1 + √3)² + (1 - √3)² = 2(1² + (√3)²) = 2(1 + 3) = 8 हर: (1 + √3)(1 - √3) = 1² - (√3)² = 1 - 3 = -2

अंश को हर से विभाजित करने पर: 8 / (-2) = -4

व्याख्या

किन्हीं भी दो संख्याओं के लिए, संख्याओं का गुणनफल उनके HCF और LCM के गुणनफल के बराबर होता है:

पहली संख्या × दूसरी संख्या = HCF × LCM

दिए गए मानों को प्रतिस्थापित करने पर: 12 × दूसरी संख्या = 3 × 60 12 × दूसरी संख्या = 180 दूसरी संख्या = 180 ÷ 12 = 15

व्याख्या

संयुक्त कार्य सूत्र का उपयोग करके, कुल समय = (A × B) / (A + B), जहाँ A = 10 दिन और B = 20 दिन।

मानों को प्रतिस्थापित करने पर: कुल समय = (10 × 20) / (10 + 20) = 200 / 30 = 20 / 3 = 6⅔ दिन।

व्याख्या

भिन्नों का HCF = (अंशों का HCF) / (हरों का LCM)

6/15 को उसके न्यूनतम पदों में सरल करने पर 2/5 प्राप्त होता है। कम की गई भिन्नें 9/10, 3/25, 2/5 और 12/5 हैं।

अंशों का HCF (9, 3, 2, 12) = 1 हरों का LCM (10, 25, 5, 5) = 50

आवश्यक HCF = 1/50

व्याख्या

BODMAS/PEMDAS नियम (कोष्ठक, घात, भाग/गुणा, जोड़/घटाव) का पालन करते हुए:

सबसे भीतरी कोष्ठक का मूल्यांकन करें: (30 - 3 × 9) = 30 - 27 = 3

वर्ग कोष्ठक का मूल्यांकन करें: [20 + 7 × 3] = 20 + 21 = 41

अंतिम घटाव करें: 81 - 41 = 40

व्याख्या

दो वर्षों की अवधि के लिए, चक्रवृद्धि ब्याज और साधारण ब्याज के बीच का अंतर (D) सूत्र द्वारा दिया जाता है:

D = P × (R / 100)²

जहाँ P मूल धनराशि है और R ब्याज की वार्षिक दर है।

D = 1 और R = 5 को सूत्र में प्रतिस्थापित करने पर:

1 = P × (5 / 100)² 1 = P × (1 / 20)² 1 = P / 400 P = 400

व्याख्या

कुल कार्य 10, 15 और 20 का लघुत्तम समापवर्त्य (LCM) है, जो कि 60 इकाई है।

A + B की दक्षता = 60 / 10 = 6 इकाई/दिन B + C की दक्षता = 60 / 15 = 4 इकाई/दिन A + C की दक्षता = 60 / 20 = 3 इकाई/दिन

इन दक्षताओं को जोड़ने पर 2 × (A + B + C) = 6 + 4 + 3 = 13 इकाई/दिन प्राप्त होता है। इसलिए, A, B और C की संयुक्त दक्षता = 13 / 2 इकाई/दिन।

A, B और C द्वारा एक साथ कार्य करने के लिए आवश्यक समय = कुल कार्य / संयुक्त दक्षता = 60 ÷ (13 / 2) = 120 / 13 = 9 3/13 दिन।

व्याख्या

लाभ = विक्रय मूल्य - क्रय मूल्य = ₹1,200 - ₹1,000 = ₹200

लाभ प्रतिशत = (लाभ / क्रय मूल्य) × 100 = (200 / 1,000) × 100 = 20%

व्याख्या

सभी आधारों को 3 की घात के रूप में व्यक्त करें: 27 = 3³ ⇒ 27¹.⁵ = (3³)¹.⁵ = 3⁴.⁵ 9 = 3² ⇒ 9¹.²⁵ = (3²)¹.²⁵ = 3².⁵

इन्हें समीकरण में प्रतिस्थापित करें: 3⁴.⁵ × 3².⁵ ÷ 3⁵ = 3ⁿ

घातांक के नियमों का उपयोग करके (aˣ × aʸ = aˣ⁺ʸ और aˣ ÷ aʸ = aˣ⁻ʸ): 3⁴.⁵ ⁺ ².⁵ ⁻ ⁵ = 3ⁿ 3² = 3ⁿ

दोनों पक्षों पर घातांकों की तुलना करने पर n = 2 प्राप्त होता है।

व्याख्या

मान लीजिए वर्ग की भुजा s है और वृत्त की त्रिज्या r है।

वर्ग की परिधि = वृत्त की परिधि 4s = 2πr s = πr / 2

वर्ग का क्षेत्रफल = s² = (πr / 2)² = π²r² / 4 वृत्त का क्षेत्रफल = πr²

वर्ग के क्षेत्रफल और वृत्त के क्षेत्रफल का अनुपात = (π²r² / 4) / (πr²) = π / 4 = π : 4

व्याख्या

चूंकि वृत्त x² + y² = a² बिंदु (0, 4) से होकर गुजरता है, इसलिए समीकरण में x = 0 और y = 4 रखने पर:

0² + 4² = a² 16 = a² a = 4

व्याख्या

त्रिकोणमितीय सर्वसमिकाओं का उपयोग करके, 1 + tan²θ = sec²θ और 1 + cot²θ = cosec²θ।

इन मानों को दिए गए व्यंजक में प्रतिस्थापित करने पर: (1 + tan²θ) / (1 + cot²θ) = sec²θ / cosec²θ = (1 / cos²θ) / (1 / sin²θ) = sin²θ / cos²θ = tan²θ

वैकल्पिक रूप से, cot²θ को tan²θ के पदों में व्यक्त करने पर: (1 + tan²θ) / (1 + 1/tan²θ) = (1 + tan²θ) / ((tan²θ + 1) / tan²θ) = tan²θ

व्याख्या

किन्हीं भी दो धनात्मक संख्याओं के लिए: दो संख्याओं का गुणनफल = HCF × LCM

दिए गए मानों को प्रतिस्थापित करने पर: 270 = HCF × 90 HCF = 270 / 90 = 3

व्याख्या

साधारण ब्याज का सूत्र है: SI = (P × R × T) / 100

जहाँ P मूलधन है, R प्रति वर्ष ब्याज दर है, और T वर्षों में समय अवधि है।

दिए गए मानों को सूत्र में प्रतिस्थापित करने पर: 10 = (P × 10 × 10) / 100 10 = (P × 100) / 100 10 = P P = ₹10

व्याख्या

प्रथम n प्राकृत संख्याओं के वर्गों का योग सूत्र द्वारा दिया जाता है:

S = n(n + 1)(2n + 1) / 6

प्रथम 10 प्राकृत संख्याओं के लिए, n = 10 प्रतिस्थापित करें:

S = 10 × (10 + 1) × (2 × 10 + 1) / 6 S = 10 × 11 × 21 / 6 S = 2310 / 6 = 385

व्याख्या

वर्ग का क्षेत्रफल = भुजा² दिया गया क्षेत्रफल = 1225 सेमी² भुजा = √1225 = 35 सेमी

वर्ग की परिधि = 4 × भुजा = 4 × 35 सेमी = 140 सेमी

व्याख्या

एक अनुपात a : b :: c : d में, मध्य पदों का गुणनफल चरम पदों के गुणनफल के बराबर होता है:

b × c = a × d

दिया गया है 1.75 : x :: 5 : 8:

x × 5 = 1.75 × 8 5x = 14 x = 14 ÷ 5 = 2.8

व्याख्या

एक मानक द्विघात समीकरण ax² + bx + c = 0 के लिए, मूलों का योग सूत्र -b/a द्वारा दिया जाता है।

दिए गए समीकरण x² - 11x + 30 = 0 के लिए, गुणांक a = 1, b = -11, और c = 30 हैं।

इन मानों को सूत्र में प्रतिस्थापित करने पर: मूलों का योग = -(-11)/1 = 11

व्याख्या

दो संख्याओं a और b का तृतीय समानुपाती x सूत्र x = b² / a द्वारा दिया जाता है।

दिया गया है a = 4 और b = 9: x = 9² / 4 = 81 / 4 = 20.25

व्याख्या

कई अनुपातों a:b, c:d, और e:f के मिश्रित अनुपात की गणना सूत्र (a × c × e) : (b × d × f) का उपयोग करके की जाती है।

दिए गए मानों को प्रतिस्थापित करने पर: मिश्रित अनुपात = (1 × 3 × 10) : (2 × 10 × 21) = 30 : 420

दोनों पदों को 30 से विभाजित करने पर 1 : 14 प्राप्त होता है।

व्याख्या

भिन्नों का महत्तम समापवर्तक (HCF) निम्न सूत्र द्वारा दिया जाता है:

भिन्नों का HCF = अंशों का HCF / हरों का LCM

भिन्नों ½ और ¾ के लिए: अंश 1 और 3 हैं, इसलिए HCF(1, 3) = 1। हर 2 और 4 हैं, इसलिए LCM(2, 4) = 4।

इन मानों को प्रतिस्थापित करने पर: HCF(½, ¾) = 1 / 4 = ¼

व्याख्या

2¹/², 3¹/³, 4¹/⁴, और 5¹/⁵ की तुलना करने के लिए, प्रत्येक संख्या को 60 (मूल सूचकांकों 2, 3, 4, और 5 का लघुत्तम समापवर्त्य) की घात तक बढ़ाएँ:

(2¹/²)⁶⁰ = 2³⁰ = (2³)¹⁰ = 8¹⁰ (3¹/³)⁶⁰ = 3²⁰ = (3²)¹⁰ = 9¹⁰ (4¹/⁴)⁶⁰ = 4¹⁵ = 2³⁰ = 8¹⁰ (5¹/⁵)⁶⁰ = 5¹² = (5³)⁴ = 125⁴

चूंकि 9¹⁰ > 8¹⁰, इसलिए 3²⁰ > 2³⁰। 3²⁰ को (3⁵)⁴ = 243⁴ के रूप में व्यक्त करने से पता चलता है कि 243⁴ > 125⁴, जिससे 3²⁰ सबसे बड़ा परिणामी मान बनता है।

व्याख्या

व्यंजक का चरण-दर-चरण मूल्यांकन करने के लिए BODMAS नियम का उपयोग करना:

सबसे पहले, सबसे अंदर के कोष्ठक को हल करें: 17 - 2 = 15

अगला, मजले कोष्ठक के अंदर विभाजन का मूल्यांकन करें: 45 ÷ 15 = 3

फिर, गुणा करें: 5 × ½ × 10 = 25

अंत में, इन सरलीकृत मानों को मुख्य व्यंजक में वापस प्रतिस्थापित करें और बाएं से दाएं जोड़ और घटाव करें: 24 + 13 - 25 - 3 = 37 - 25 - 3 = 9