आरआरबी एनटीपीसी सीबीटी 1 2021 Mathematics प्रश्न — हल सहित

व्याख्या

सभी पदों को घात नियमों (aᵐ)ⁿ = aᵐⁿ और aᵐ × aⁿ ÷ aᵖ = aᵐ⁺ⁿ⁻ᵖ का उपयोग करके आधार 5 में बदलें:

बायां पक्ष: 25³.⁸ × 5⁴.² ÷ 5⁶.⁴ = (5²)³.⁸ × 5⁴.² ÷ 5⁶.⁴ = 5⁷.⁶ × 5⁴.² ÷ 5⁶.⁴ = 5⁷.⁶ ⁺ ⁴.² ⁻ ⁶.⁴ = 5⁵.⁴

दायां पक्ष: 25ˣ = (5²)ˣ = 5²ˣ

5 की घातों को बराबर करने पर: 2x = 5.4 x = 2.7

व्याख्या

GEO का अर्थ जिओस्टेशनरी अर्थ ऑर्बिट (Geostationary Earth Orbit) है, जो पृथ्वी के भूमध्य रेखा के लगभग 35,786 किलोमीटर ऊपर स्थित एक वृत्ताकार कक्षा है। इस कक्षा में रखे गए उपग्रह पृथ्वी के चारों ओर पृथ्वी के घूर्णन काल (23 घंटे, 56 मिनट और 4 सेकंड) के बराबर कक्षीय अवधि के साथ घूमते हैं। परिणामस्वरूप, उपग्रह उसी दिशा में और उसी दर से घूमता है जिस दर से पृथ्वी घूमती है, जिससे यह पृथ्वी की सतह पर एक निश्चित स्थिति के सापेक्ष स्थिर दिखाई देता है। यह दूरसंचार, मौसम की निगरानी और उपग्रह प्रसारण के लिए आदर्श है।

व्याख्या

एक आयताकार बॉक्स (घनाभ) के अंदर फिट होने वाली छड़ी की अधिकतम लंबाई उसके त्रिविमीय विकर्ण की लंबाई द्वारा दी जाती है:

विकर्ण = √(l² + b² + h²)

दी गई विमाएँ l = 15 सेमी, b = 8 सेमी, और h = 6 सेमी हैं:

विकर्ण = √(15² + 8² + 6²) विकर्ण = √(225 + 64 + 36) विकर्ण = √325 विकर्ण = √(25 × 13) = 5√13 सेमी

व्याख्या

दिए गए भिन्नात्मक अनुपात 2/5 : 1/3 : 3/5 को पूर्णांकों में बदलने के लिए, प्रत्येक पद को हरों के लघुत्तम समापवर्त्य (LCM) से गुणा करें, जो कि 15 है: (2/5 × 15) : (1/3 × 15) : (3/5 × 15) = 6 : 5 : 9

अनुपात के भागों की कुल संख्या = 6 + 5 + 9 = 20 भाग।

चूंकि 5 सबसे छोटा अनुपात पद है, सबसे छोटी भुजा की लंबाई = (5 / 20) × 110 = 27.5 सेमी।

व्याख्या

a : b के अनुपात में दो संख्याओं के लिए, जहाँ a और b सह-अभाज्य हैं, HCF और LCM के बीच संबंध सूत्र द्वारा दिया गया है:

LCM = HCF × a × b

दिया गया अनुपात a : b = 5 : 6 और HCF = 6:

LCM = 6 × 5 × 6 = 180

व्याख्या

4, 5, 9 और 12 से पूर्णतः विभाज्य सबसे छोटी पूर्ण वर्ग संख्या ज्ञात करने के लिए, पहले अभाज्य गुणनखंडन द्वारा संख्याओं का लघुत्तम समापवर्त्य (LCM) ज्ञात करें:

4 = 2² 5 = 5¹ 9 = 3² 12 = 2² × 3¹

LCM(4, 5, 9, 12) = 2² × 3² × 5¹ = 180

किसी संख्या के पूर्ण वर्ग होने के लिए, सभी अभाज्य गुणनखंडों के घातांक सम होने चाहिए। 180 में, अभाज्य गुणनखंड 5 की घात विषम (5¹) है। 180 को 5 से गुणा करने पर प्राप्त होता है:

2² × 3² × 5² = 900

व्याख्या

सेबों की प्रारंभिक संख्या = 100

अमर को दिए गए सेब = 100 का 10% = 10 केशव को दिए गए सेब = 100 का 15% = 15 रिंकू को दिए गए सेब = (2/5) × 100 = 40

वितरित कुल सेब = 10 + 15 + 40 = 65

अतुलित के पास बचे सेब = 100 - 65 = 35

व्याख्या

लंबाई l और चौड़ाई w वाले एक आयत के लिए: परिमाप = 2(l + w) = 62 मीटर, जिससे l + w = 31 मीटर प्राप्त होता है। क्षेत्रफल = l × w = 168 वर्ग मीटर।

विकर्ण d का सूत्र d = √(l² + w²) द्वारा दिया जाता है।

बीजगणितीय सर्वसमिका (l + w)² = l² + w² + 2lw का उपयोग करके: l² + w² = (l + w)² - 2lw l² + w² = 31² - 2 × 168 = 961 - 336 = 625

इसे विकर्ण सूत्र में प्रतिस्थापित करने पर: d = √625 = 25 मीटर।

व्याख्या

बीजगणितीय सर्वसमिका (x - 1/x)³ = x³ - 1/x³ - 3(x - 1/x) का उपयोग करके, हम x³ - 1/x³ को इस प्रकार व्यक्त कर सकते हैं:

x³ - 1/x³ = (x - 1/x)³ + 3(x - 1/x)

दिए गए मान x - 1/x = 3 को सूत्र में प्रतिस्थापित करने पर:

x³ - 1/x³ = 3³ + 3(3) = 27 + 9 = 36

व्याख्या

सभी समय अंतरालों को मिनटों में बदलें: 30 मिनट, 45 मिनट, 1 घंटा = 60 मिनट, और 1½ घंटा = 90 मिनट।

यह पता लगाने के लिए कि चारों उपकरण फिर से एक साथ कब बीप करेंगे, चार समय अंतरालों का लघुत्तम समापवर्त्य (LCM) ज्ञात करें: LCM(30, 45, 60, 90) = 180 मिनट

180 मिनट को घंटों में बदलना: 180 / 60 = 3 घंटे

प्रारंभिक समय सुबह 10.45 बजे में 3 घंटे जोड़ना: सुबह 10.45 बजे + 3 घंटे = दोपहर 1.45 बजे।

व्याख्या

मूल्यह्रास सूत्र का उपयोग करके: वर्तमान मूल्य = P × (1 - r/100)ⁿ

जहाँ P 2 साल पहले कार का मूल्य है, r = 12%, और n = 2 वर्ष।

7,74,400 = P × (1 - 12/100)² 7,74,400 = P × (88/100)² 7,74,400 = P × (22/25)² 7,74,400 = P × (484/625)

P = (7,74,400 × 625) / 484 P = 1600 × 625 = 10,00,000

व्याख्या

√(8/5) का मान ज्ञात करने के लिए, वर्गमूल के अंतर्गत अंश और हर को 5 से गुणा करें ताकि व्यंजक में 40 आ जाए:

√(8/5) = √((8 × 5) / (5 × 5)) = √(40/25) = √(40) / 5

√(40) = 6.3245 का दिया गया मान प्रतिस्थापित करने पर:

√(8/5) = 6.3245 / 5 = 1.2649

व्याख्या

दशमलव 1.25 को भिन्न 125/100 के रूप में लिखा जा सकता है। उनके सबसे बड़े सामान्य भाजक, 25, से अंश और हर दोनों को विभाजित करने पर सरलतम भिन्न रूप प्राप्त होता है:

1.25 = 125/100 = 5/4

यहाँ, अंश 5 है और हर 4 है। अंश और हर के बीच का अंतर है:

5 - 4 = 1

व्याख्या

BODMAS नियम (कोष्ठक, भाग/गुणा बाएं से दाएं, जोड़) का प्रयोग करके:

सबसे पहले, कोष्ठक के अंदर के व्यंजक का मूल्यांकन करें: (3 × 2) = 6

यह व्यंजक को सरल करता है: 5 + 2 × 3 ÷ 6 × 3

इसके बाद, गुणा और भाग को बाएं से दाएं क्रम में निष्पादित करें: 2 × 3 = 6 6 ÷ 6 = 1 1 × 3 = 3

अंत में, जोड़ करें: 5 + 3 = 8

व्याख्या

एक न्यून कोण θ के लिए tan θ = 1 दिया गया है, θ = 45°।

व्यंजक में θ = 45° का प्रतिस्थापन करने पर: 2 sin 45° cos 45° - cosec² 45° = sin 90° - cosec² 45° = 1 - (√2)² = 1 - 2 = -1

व्याख्या

जब कोई राशि साधारण ब्याज के तहत दोगुनी हो जाती है, तो अर्जित ब्याज (SI) मूलधन (P) के बराबर होता है।

साधारण ब्याज सूत्र SI = (P × R × T) / 100 का उपयोग करके: P = (P × R × 4) / 100 1 = (R × 4) / 100 R = 100 / 4 = 25% प्रति वर्ष

व्याख्या

जब एक निश्चित दूरी को दो अलग-अलग गति S₁ और S₂ से तय किया जाता है, तो दूरी D का सूत्र है:

D = (S₁ × S₂ / |S₁ - S₂|) × Δt

दिया गया है S₁ = 45 किमी/घंटा, S₂ = 50 किमी/घंटा, और समय का अंतर Δt = 32 मिनट = 32/60 घंटे = 8/15 घंटे।

इन मानों को सूत्र में रखने पर: D = (45 × 50 / 5) × (8 / 15) D = 450 × (8 / 15) D = 240 किमी

व्याख्या

A का 1 दिन का काम = 1/24.

A द्वारा 21 दिनों में किया गया काम = 21/24 = 7/8. शेष काम = 1 - 7/8 = 1/8.

B शेष 1/8 काम 5 दिनों में पूरा करता है, इसलिए B का 1 दिन का काम = (1/8) ÷ 5 = 1/40.

A और B का संयुक्त 1 दिन का काम = 1/24 + 1/40 = (5 + 3)/120 = 8/120 = 1/15.

A और B द्वारा मिलकर काम पूरा करने में लिया गया समय = 1 ÷ (1/15) = 15 दिन।

व्याख्या

दिए गए गुणनखंडों को गुणा करने पर: (4y - 1)(y + 4) = 4y² + 16y - y - 4 = 4y² + 15y - 4

4y² + 15y - 4 के गुणांकों की py² + 15y - q से तुलना करने पर: p = 4 -q = -4 ⇒ q = 4

चूंकि p = 4 और q = 4 है, इसलिए p = q।

व्याख्या

√(0.000081) = 0.009, क्योंकि 0.009 × 0.009 = 0.000081।

इस मान को 4 से गुणा करने पर: 4 × 0.009 = 0.036

व्याख्या

किसी वृत्त की परिधि 2πr होती है और क्षेत्रफल πr² होता है, जहाँ r त्रिज्या है। दोनों के संख्यात्मक मानों को बराबर करने पर:

2πr = πr²

दोनों पक्षों को πr से विभाजित करने पर r = 2 इकाई प्राप्त होता है।

व्याख्या

मान लीजिए दो संख्याएँ 3x और 2x हैं।

दी गई शर्त के अनुसार: (3x - 8) / (2x - 6) = 8 / 5

वज्र गुणन करने पर: 5(3x - 8) = 8(2x - 6) 15x - 40 = 16x - 48 x = 8

इसलिए, संख्याएँ हैं: पहली संख्या = 3 × 8 = 24 दूसरी संख्या = 2 × 8 = 16

व्याख्या

75 का 20% = (20 / 100) × 75 = 15

इसे दिए गए समीकरण में प्रतिस्थापित करने पर: 15 = 225 - (x / 100) × 420

पदों को पुनर्व्यवस्थित करने पर: (x / 100) × 420 = 225 - 15 4.2x = 210 x = 210 / 4.2 = 50

व्याख्या

मान लीजिए कुणाल और कीर्ति की वर्तमान आयु क्रमशः x और y वर्ष है।

दी गई शर्तों के अनुसार: y + 6 = 2(x + 6) ⇒ y = 2x + 6 y - 4 = 4(x - 4) ⇒ y = 4x - 12

y के लिए दोनों व्यंजकों को बराबर करने पर: 2x + 6 = 4x - 12 2x = 18 x = 9

व्याख्या

पहला मान = (3/5) × 200 = 120 दूसरा मान = (1/2) × 300 = 150

अंतर = 150 - 120 = 30

व्याख्या

दी गई मिश्रित भिन्नों को विषम भिन्नों में बदलें: 2(1/5) = 11/5 5(2/5) = 27/5

मान लीजिए x आवश्यक गुणक है। (11/5) × x = 27/5 x = (27/5) ÷ (11/5) x = 27/11 = 2(5/11)

व्याख्या

त्रिभुज के आंतरिक कोणों का योग हमेशा 180° होता है। कोणों का अनुपात 2 : 3 : 4 दिया गया है, इसलिए अनुपातिक भागों की कुल संख्या 2 + 3 + 4 = 9 है।

1 अनुपातिक भाग का मान = 180° / 9 = 20°।

सबसे बड़ा कोण सबसे बड़े अनुपातिक भाग, 4 के संगत है, इसलिए इसका माप 4 × 20° = 80° है।

व्याख्या

6, 8 और 12 का लघुत्तम समापवर्त्य (LCM) 24 है।

कोई भी संख्या जिसे 6, 8 और 12 से विभाजित करने पर शेषफल 1 बचता है, वह 24k + 1 के रूप की होती है, जहाँ k एक धनात्मक पूर्णांक है।

k = 1 के लिए: 24(1) + 1 = 25, जो 7 का गुणज नहीं है। k = 2 के लिए: 24(2) + 1 = 49, जो 7 से विभाज्य है (49 = 7 × 7)।

व्याख्या

A के लिए क्रय मूल्य = अंतिम मूल्य / ((1 + लाभ₁%)(1 + लाभ₂%))

A के लिए क्रय मूल्य = 360 / (1.20 × 1.20) = 360 / 1.44 = ₹250।

व्याख्या

कुल परिणाम = (92 - 33) + 1 = 60 कार्ड।

33 से 92 की सीमा में पूर्ण वर्ग 36 (6²), 49 (7²), 64 (8²), और 81 (9²) हैं। अनुकूल परिणामों की संख्या = 4।

प्रायिकता = अनुकूल परिणाम / कुल परिणाम = 4 / 60 = 1 / 15।

व्याख्या

दी गई संख्याओं का अभाज्य गुणनखंडन: 30 = 2 × 3 × 5 40 = 2³ × 5 45 = 3² × 5

लघुत्तम समापवर्त्य (LCM) प्रत्येक अभाज्य गुणनखंड की उच्चतम घात का गुणनफल होता है: LCM(30, 40, 45) = 2³ × 3² × 5 = 8 × 9 × 5 = 360

व्याख्या

तिमाही चक्रवृद्धि के साथ चक्रवृद्धि राशि का सूत्र A = P × (1 + R/400)⁽4t) है, जहाँ P मूलधन है, A अंतिम राशि है, R वार्षिक ब्याज दर है, और t वर्षों में समय है।

P = 3200, A = 3362, और R = 10 को सूत्र में प्रतिस्थापित करने पर: 3362 = 3200 × (1 + 10/400)⁽4t) 3362 / 3200 = (41/40)⁽4t) 1681 / 1600 = (41/40)⁽4t) (41/40)² = (41/40)⁽4t)

घातों की तुलना करने पर: 4t = 2 t = ½ वर्ष

व्याख्या

A, B और C द्वारा मिलकर 1 दिन में किया गया कार्य = 1/14 C द्वारा अकेले 1 दिन में किया गया कार्य = 1/42

A और B द्वारा मिलकर 1 दिन में किया गया कार्य = 1/14 - 1/42 = (3 - 1)/42 = 2/42 = 1/21

वैकल्पिक रूप से, संयुक्त कार्य सूत्र का उपयोग करके: लिया गया समय = (14 × 42) / (42 - 14) = 588 / 28 = 21 दिन

व्याख्या

व्यंजक में सीधे प्रतिस्थापन का उपयोग करके:

a² - b² = (-5)² - (5)²

चूंकि (-5)² = 25 और 5² = 25, इन मानों को प्रतिस्थापित करने पर:

a² - b² = 25 - 25 = 0

वैकल्पिक रूप से, बीजगणितीय सर्वसमिका a² - b² = (a + b)(a - b) का उपयोग करके:

a² - b² = (-5 + 5)(-5 - 5) = 0 × (-10) = 0

व्याख्या

बीजीय सर्वसमिका का प्रयोग करके, यदि a + b + c = 0, तो a³ + b³ + c³ - 3abc = 0।

माना a = 2x, b = y, और c = -3।

दिया गया है कि a + b + c = 2x + y - 3 = 0, हम इन मानों को सर्वसमिका में प्रतिस्थापित करते हैं: a³ + b³ + c³ - 3abc = (2x)³ + y³ + (-3)³ - 3(2x)(y)(-3) = 8x³ + y³ - 27 + 18xy = 8x³ + 18xy + y³ - 27 = 0

व्याख्या

पहले दोस्त के खाते में नई राशि = ₹47,000 + ₹2,000 = ₹49,000 दूसरे दोस्त के खाते में नई राशि = ₹54,000 + ₹2,000 = ₹56,000

अनुपात = 49,000 : 56,000 = 49 : 56

दोनों पदों को उनके महत्तम समापवर्तक (7) से विभाजित करने पर: 49 ÷ 7 = 7 और 56 ÷ 7 = 8, जिससे सरलीकृत अनुपात 7 : 8 प्राप्त होता है।

व्याख्या

एक मानक गड्डी में कुल पत्ते = 52। निकाले गए काले बादशाहों और बेगमों की संख्या = 2 बादशाह (हुकुम, चिड़ी) + 2 बेगम (हुकुम, चिड़ी) = 4 पत्ते। शेष कुल पत्ते = 52 - 4 = 48।

हुकुम के पत्तों की मूल संख्या = 13। चूंकि हुकुम का बादशाह और हुकुम की बेगम निकाल लिए गए थे, शेष हुकुम के पत्ते = 13 - 2 = 11।

हुकुम का पत्ता निकालने की प्रायिकता = अनुकूल परिणाम / कुल परिणाम = 11/48।

व्याख्या

आरोही क्रम का अर्थ है संख्याओं को सबसे छोटे मान से सबसे बड़े मान तक व्यवस्थित करना। पूर्ण संख्या भागों और दशमलव स्थान मानों की तुलना करने पर: 0.0882 सबसे छोटी है क्योंकि इसका पूर्ण संख्या भाग 0 है और दशमांश अंक 0 है, इसके बाद 0.25 आता है जिसका दशमांश अंक 2 है, फिर 1.24 आता है जिसका पूर्ण संख्या भाग 1 है, और अंत में 2.67 आता है जिसका सबसे बड़ा पूर्ण संख्या भाग 2 है। सबसे छोटे से सबसे बड़े तक का क्रम 0.0882 < 0.25 < 1.24 < 2.67 है।

व्याख्या

5 विषयों के लिए कुल अधिकतम अंक = 5 × 50 = 250। चूंकि सभी छात्रों के लिए अधिकतम संभव अंक समान हैं, इसलिए सबसे कम कुल अंक प्राप्त करने वाले छात्र का समग्र प्रतिशत सबसे कम होगा।

B द्वारा प्राप्त कुल अंक = 29 + 33 + 22 + 15 + 30 = 129 B के लिए समग्र प्रतिशत = (129 / 250) × 100 = 51.6%

250 में से 129 अंकों के साथ, छात्र B सबसे कम कुल अंक प्राप्त करता है और परिणामस्वरूप 51.6% का सबसे कम समग्र प्रतिशत प्राप्त करता है।

व्याख्या

5 विषयों के लिए कुल अधिकतम अंक = 5 × 50 = 250।

छात्र A के कुल अंक की गणना करने पर 48 + 47 + 49 + 46 + 44 = 234 प्राप्त होता है, जो सभी छात्रों में सर्वाधिक कुल अंक है।

अधिकतम समग्र प्रतिशत = (234 / 250) × 100 = 93.60%।

व्याख्या

यह पता लगाने के लिए कि किन दो छात्रों के अंकों में सबसे कम अंतर है, प्रत्येक छात्र द्वारा सभी विषयों में प्राप्त कुल अंकों की गणना करें:

A के कुल अंक = 48 + 47 + 49 + 46 = 190 B के कुल अंक = 29 + 33 + 22 + 15 = 99 C के कुल अंक = 35 + 36 + 42 + 40 = 153 D के कुल अंक = 46 + 49 + 48 + 48 = 191 E के कुल अंक = 32 + 30 + 25 + 21 = 108

A और D के कुल अंकों में अंतर 191 - 190 = 1 है, जो कि किन्हीं भी दो छात्रों के बीच सबसे छोटा संभव अंतर है।

व्याख्या

प्रत्येक छात्र के लिए सभी सूचीबद्ध विषयों में कुल अंक की गणना: D: 46 + 49 + 48 + 48 = 191 A: 48 + 47 + 49 + 46 = 190 C: 35 + 36 + 42 + 40 = 153 E: 32 + 30 + 25 + 21 = 108 B: 29 + 33 + 22 + 15 = 99

सभी विषयों में रैंक क्रम: पहला D, दूसरा A, तीसरा C, चौथा E, पांचवां B।

केवल भौतिकी, रसायन विज्ञान और गणित में अंकों की गणना: A: 48 + 47 + 49 = 144 D: 46 + 49 + 48 = 143 C: 35 + 36 + 42 = 113 E: 32 + 30 + 25 = 87 B: 29 + 33 + 22 = 84

PCM में रैंक क्रम: पहला A, दूसरा D, तीसरा C, चौथा E, पांचवां B।

दोनों रैंकिंग की तुलना करने पर, पहले और दूसरे स्थान A और D के बीच बदल जाते हैं, जबकि तीसरे, चौथे और पांचवें स्थान (C, E, B) अपरिवर्तित रहते हैं। इस प्रकार, केवल शीर्ष दो रैंक ही भिन्न हैं।

व्याख्या

4.14 घंटे को घंटे, मिनट और सेकंड में बदलने के लिए:

पूर्ण घंटे = 4 घंटे।

दशमलव भाग को मिनट में बदलें: 0.14 × 60 = 8.4 मिनट, जिससे 8 पूर्ण मिनट प्राप्त होते हैं।

मिनट के शेष दशमलव भाग को सेकंड में बदलें: 0.4 × 60 = 24 सेकंड।

इन सबको मिलाने पर 4 घंटे, 8 मिनट, 24 सेकंड प्राप्त होते हैं।

व्याख्या

पहली वस्तु का क्रय मूल्य CP1 = 100 मान लीजिए। चूंकि इसे 20% लाभ पर बेचा जाता है, इसका विक्रय मूल्य SP1 = 100 × 1.20 = 120 है।

दूसरी वस्तु का क्रय मूल्य SP1 के बराबर है, इसलिए CP2 = 120। दूसरी वस्तु को 20% हानि पर बेचा जाता है, इसलिए इसका विक्रय मूल्य SP2 = 120 × 0.80 = 96 है।

कुल क्रय मूल्य = CP1 + CP2 = 100 + 120 = 220। कुल विक्रय मूल्य = SP1 + SP2 = 120 + 96 = 216।

कुल हानि = 220 - 216 = 4। हानि प्रतिशत = (4 ÷ 220) × 100 = 20/11 % ≈ 1.818% ≈ 1.8% हानि।

व्याख्या

जब दो क्रमिक विमाएँ x% और y% से बढ़ती हैं तो क्षेत्रफल में प्रतिशत परिवर्तन का सूत्र है: शुद्ध प्रतिशत परिवर्तन = x + y + (x × y) / 100

चूंकि वर्ग का क्षेत्रफल भुजा × भुजा होता है, दोनों विमाएँ 20% से बढ़ती हैं, इसलिए x = 20 और y = 20।

इन मानों को सूत्र में प्रतिस्थापित करने पर: शुद्ध प्रतिशत परिवर्तन = 20 + 20 + (20 × 20) / 100 = 40 + 400 / 100 = 40 + 4 = 44%

वैकल्पिक रूप से, प्रारंभिक भुजा की लंबाई 10 इकाई मानते हुए, प्रारंभिक क्षेत्रफल 10 × 10 = 100 वर्ग इकाई है। 20% की वृद्धि के साथ, नई भुजा की लंबाई 12 इकाई हो जाती है, जिससे नया क्षेत्रफल 12 × 12 = 144 वर्ग इकाई हो जाता है। प्रतिशत वृद्धि ((144 - 100) / 100) × 100 = 44% है।

व्याख्या

6, 12 और 18 का लघुत्तम समापवर्त्य (LCM) 36 है।

चार अंकों की सबसे बड़ी संख्या 9999 है। 9999 को 36 से विभाजित करने पर भागफल 277 और शेषफल 27 प्राप्त होता है (9999 = 36 × 277 + 27)।

36 से विभाज्य चार अंकों की सबसे बड़ी संख्या प्राप्त करने के लिए शेषफल को घटाएं: 9999 - 27 = 9972

प्रत्येक स्थिति में 5 शेषफल देने वाली संख्या ज्ञात करने के लिए, इस गुणज में 5 जोड़ें: 9972 + 5 = 9977

व्याख्या

a : b (जहाँ a और b सह-अभाज्य हैं) के अनुपात वाली दो संख्याओं और जिनका महत्तम समापवर्तक (म.स.प.) h है, के लिए लघुत्तम समापवर्त्य (ल.स.प.) का सूत्र इस प्रकार दिया गया है:

ल.स.प. = म.स.प. × a × b

दिए गए मानों को सूत्र में प्रतिस्थापित करने पर:

ल.स.प. = 3 × 7 × 5 = 105

व्याख्या

(7 + 2√5) / (11 + 3√5) के हर का परिमेयकरण करने के लिए, अंश और हर को हर के संयुग्मी, (11 - 3√5) से गुणा करें:

अंश = (7 + 2√5)(11 - 3√5) = 77 - 21√5 + 22√5 - 30 = 47 + √5

हर = (11 + 3√5)(11 - 3√5) = 11² - (3√5)² = 121 - 45 = 76

इस प्रकार, भिन्न सरल हो जाता है: (47 + √5) / 76 = (47 / 76) + (1 / 76)√5

इसकी तुलना a + b√5 से करने पर प्राप्त होता है: a = 47/76 और b = 1/76

व्याख्या

एक अर्धगोले का आयतन (2/3)πR³ होता है और एक शंकु का आयतन (1/3)πr²h होता है।

आवश्यक बोतलों की संख्या = अर्धगोले का आयतन / एक शंक्वाकार बोतल का आयतन = [(2/3)πR³] / [(1/3)πr²h] = (2R³) / (r²h)

दिया गया है: अर्धगोले की त्रिज्या (R) = 12 सेमी शंकु की त्रिज्या (r) = 3/2 = 1.5 सेमी शंकु की ऊंचाई (h) = 4 सेमी

बोतलों की संख्या = (2 × 12 × 12 × 12) / (1.5 × 1.5 × 4) = 3456 / 9 = 384

व्याख्या

मूल कार मूल्य के प्रतिशत के रूप में प्राप्त राशि = 80% × 90% = 72%

कार के मूल्य और प्राप्त राशि के बीच प्रतिशत अंतर = 100% - 72% = 28%

राशि में अंतर = 28% × ₹6,25,000 = 0.28 × 6,25,000 = ₹1,75,000