आरआरबी एनटीपीसी सीबीटी 1 2021 Mathematics प्रश्न — हल सहित

व्याख्या

अमोनिया का रासायनिक सूत्र NH₃ है, जिसमें एक नाइट्रोजन परमाणु और तीन हाइड्रोजन परमाणु होते हैं। नाइट्रोजन का परमाणु द्रव्यमान 14 u और हाइड्रोजन का 1 u है। इसलिए, अमोनिया में हाइड्रोजन का कुल द्रव्यमान 3 × 1 u = 3 u है। द्रव्यमान के अनुसार नाइट्रोजन और हाइड्रोजन का अनुपात 14 : 3 है।

व्याख्या

साधारण ब्याज दर में वृद्धि = 12½% - 8% = 4.5% = 9/2%

1 वर्ष की अवधि के लिए, ब्याज आय में वृद्धि का सूत्र इस प्रकार दिया गया है: ब्याज में वृद्धि = (मूलधन × दर में वृद्धि × समय) / 100

दिए गए मानों को प्रतिस्थापित करने पर: 369 = (मूलधन × 4.5 × 1) / 100 मूलधन = (369 × 100) / 4.5 = 41 × 200 = 8,200

व्याख्या

दिया गया है कि 19 × CP = 25 × SP, तो क्रय मूल्य (CP) और विक्रय मूल्य (SP) का अनुपात CP / SP = 25 / 19 है।

CP = 25 और SP = 19 लेने पर: हानि = CP - SP = 25 - 19 = 6

प्रतिशत हानि = (हानि / CP) × 100 = (6 / 25) × 100 = 24%

व्याख्या

सड़क घनत्व को भूमि के प्रति इकाई क्षेत्रफल (आमतौर पर प्रति 1,000 वर्ग किलोमीटर मापा जाता है) में सड़क नेटवर्क की लंबाई के रूप में परिभाषित किया गया है। केरल में भारतीय राज्यों में सर्वाधिक सड़क घनत्व है, जो प्रति 1,000 वर्ग किलोमीटर पर 5,000 किमी से अधिक है, जो राष्ट्रीय औसत से काफी ऊपर है। यह व्यापक नेटवर्क काफी हद तक राज्य के उच्च जनसंख्या घनत्व, अद्वितीय शहरी-ग्रामीण निरंतरता और बिखरे हुए बसावट पैटर्न से प्रेरित है, जिसके लिए सभी ग्रामीण और शहरी क्षेत्रों में व्यापक सड़क कनेक्टिविटी की आवश्यकता होती है।

व्याख्या

श्रृंखला क्रमागत अभाज्य संख्याओं से बढ़ रही है:

1 + 2 = 3 3 + 3 = 6 6 + 5 = 11 11 + 7 = 18 18 + 11 = 29 29 + 13 = 42

13 के बाद आने वाली अभाज्य संख्या 17 है। 42 में 17 जोड़ने पर 42 + 17 = 59 प्राप्त होता है।

व्याख्या

भाभा परमाणु अनुसंधान केंद्र (बीएआरसी), जिसे जनवरी 1954 में डॉ. होमी जहांगीर भाभा द्वारा एटॉमिक एनर्जी एस्टेब्लिशमेंट, ट्रॉम्बे (एईईटी) के रूप में स्थापित किया गया था, भारत की प्रमुख बहु-विषयक परमाणु अनुसंधान सुविधा है। बीएआरसी को भारत में नाभिकीय और त्वरक प्रौद्योगिकी अनुसंधान एवं विकास सुविधाओं की मूल संस्था माना जाता है, क्योंकि इसने मूलभूत ढाँचा, विशेषज्ञता और प्रशिक्षित वैज्ञानिक कार्यबल प्रदान किया, जिससे देश भर में परमाणु ऊर्जा विभाग के कई विशिष्ट अनुसंधान केंद्रों की स्थापना हुई।

व्याख्या

दिए गए समीकरण 2.5x = 0.05y से, हम दोनों पक्षों को 0.05 से विभाजित करके y को x के पदों में व्यक्त कर सकते हैं:

y / x = 2.5 / 0.05 = 250 / 5 = 50

इस प्रकार, y = 50x।

y = 50x को दिए गए व्यंजक में प्रतिस्थापित करने पर:

(y - x) / (y + x) = (50x - x) / (50x + x) = 49x / 51x = 49/51

व्याख्या

किन्हीं भी दो अभाज्य संख्याओं x और y के लिए, उनका लघुत्तम समापवर्त्य (LCM) उनके गुणनफल x × y के बराबर होता है।

दिया गया है कि x × y = 119, 119 का गुणनखंड करने पर 7 × 17 प्राप्त होता है। चूँकि x > y है, इसलिए x = 17 और y = 7 है।

इन मानों को आवश्यक व्यंजक में प्रतिस्थापित करने पर: 3y - x = 3(7) - 17 = 21 - 17 = 4

व्याख्या

एक बाह्य बिंदु से एक वृत्त पर खींची गई स्पर्शरेखाएँ लंबाई में बराबर होती हैं, इसलिए SA = SB = 12 सेमी। त्रिभुज SAB में, चूँकि SA = SB है, इन भुजाओं के सम्मुख कोण बराबर होते हैं, जिससे कोण SAB = कोण SBA होता है।

त्रिभुज में कोणों का योग 180° होता है। दिया गया कोण ASB = 60°, तो आधार कोणों में से प्रत्येक की गणना (180° - 60°) / 2 = 60° के रूप में की जाती है।

चूँकि तीनों कोण 60° के बराबर हैं, त्रिभुज SAB एक समबाहु त्रिभुज है। इसलिए, जीवा AB की लंबाई SA और SB के बराबर है, जो कि 12 सेमी है।

व्याख्या

मिश्रित भिन्नों और दशमलव को परिवर्तित करें: 5½ = 5.5, 7½ = 7.5, और (0.2)² = 0.04।

व्यंजक 4.25 ÷ (0.2)² को सरल करें: 4.25 ÷ 0.04 = 106.25

मंजिला कोष्ठक के अंदर सरल करें: 5.5 - (7.5 + 2.8 ÷ x) = 5.5 - 7.5 - 2.8 ÷ x = -2 - 2.8 ÷ x

इन्हें दिए गए समीकरण में वापस प्रतिस्थापित करें: 8.5 - (-2 - 2.8 ÷ x) × 106.25 = 306 8.5 + (2 + 2.8 ÷ x) × 106.25 = 306

दोनों पक्षों से 8.5 घटाएं: (2 + 2.8 ÷ x) × 106.25 = 297.5

दोनों पक्षों को 106.25 से विभाजित करें: 2 + 2.8 ÷ x = 297.5 ÷ 106.25 = 2.8

दोनों पक्षों से 2 घटाएं: 2.8 ÷ x = 0.8 x = 2.8 ÷ 0.8 = 3.5

व्याख्या

ट्रेन R द्वारा दूरी तय करने में लिया गया समय = 7 घंटे (सुबह 5 बजे से दोपहर 12 बजे तक)। ट्रेन S द्वारा दूरी तय करने में लिया गया समय = 10.5 घंटे या 21/2 घंटे (सुबह 7 बजे से शाम 5:30 बजे तक)।

मान लीजिए चेन्नई और विजयवाड़ा के बीच कुल दूरी D है। ट्रेन R की गति = D/7 ट्रेन S की गति = 2D/21

ट्रेन S के चलने से 2 घंटे पहले (सुबह 5 बजे से सुबह 7 बजे तक), ट्रेन R द्वारा तय की गई दूरी = 2 × (D/7) = 2D/7। सुबह 7 बजे शेष दूरी = D - 2D/7 = 5D/7।

विपरीत दिशाओं में चलने वाली दोनों ट्रेनों की सापेक्ष गति = D/7 + 2D/21 = 5D/21।

सुबह 7 बजे के बाद एक-दूसरे को पार करने में लिया गया समय = (5D/7) ÷ (5D/21) = 3 घंटे।

पार करने का समय = सुबह 7 बजे + 3 घंटे = सुबह 10 बजे।

व्याख्या

रीना द्वारा अकेले लिया गया समय = (T₁ × T₂) / (T₂ - T₁)

यहाँ, T₁ = 6 दिन (रीना और जया का संयुक्त समय) और T₂ = 8 दिन (अकेले जया द्वारा लिया गया समय)।

सूत्र में मानों को प्रतिस्थापित करने पर: समय = (6 × 8) / (8 - 6) = 48 / 2 = 24 दिन

वैकल्पिक रूप से, 1-दिन के कार्य दर का उपयोग करके: रीना का 1-दिन का कार्य = (1/6) - (1/8) = (4 - 3) / 24 = 1/24 कार्य प्रति दिन, जिसका अर्थ है कि रीना को अकेले पूरा काम करने में 24 दिन लगेंगे।

व्याख्या

शब्द समस्या को एक गणितीय व्यंजक में अनुवाद करना:

मान = 3 × (3/10) × (3/100) × (3/1000) × 30

अंशों को एक साथ गुणा करना: अंश = 3 × 3 × 3 × 3 × 30 = 2430

हरों को एक साथ गुणा करना: हर = 10 × 100 × 1000 = 1,000,000

अंश को हर से विभाजित करना: मान = 2430 / 1,000,000 = 0.00243

व्याख्या

कुल अनुपात इकाइयाँ = 35 + 28 + 20 = 83। 1 अनुपात इकाई का मान = 1162 / 83 = 14।

A का हिस्सा = 35 × 14 = 490 B का हिस्सा = 28 × 14 = 392 C का हिस्सा = 20 × 14 = 280

व्याख्या

कोई संख्या 9 से विभाज्य होती है यदि उसके अंकों का योग 9 से विभाज्य हो।

7x5462 के अंकों का योग = 7 + x + 5 + 4 + 6 + 2 = 24 + x

24 के बाद 9 का अगला गुणज 27 है। इसलिए, 24 + x = 27, जिससे x = 3 प्राप्त होता है।

व्याख्या

मिश्र धातु A में सोने और तांबे का अनुपात = 7 : 2 (योग = 9 भाग) मिश्र धातु B में सोने और तांबे का अनुपात = 7 : 11 (योग = 18 भाग)

दोनों मिश्र धातुओं की बराबर मात्रा लेने के लिए, मिश्र धातु A के अनुपात को 2 से गुणा करके कुल भागों को बराबर करें: मिश्र धातु A = 14 : 4 मिश्र धातु B = 7 : 11

जब C बनाने के लिए बराबर मात्रा में मिलाया जाता है: C में कुल सोना = 14 + 7 = 21 भाग C में कुल तांबा = 4 + 11 = 15 भाग

C में सोने और तांबे का अनुपात = 21 : 15 = 7 : 5

चूंकि तांबे के 5 भाग 10 किग्रा के बराबर हैं, 1 भाग = 2 किग्रा। C में सोने की मात्रा = 7 भाग = 7 × 2 किग्रा = 14 किग्रा।

व्याख्या

किसी भी त्रिभुज ABC में, सभी आंतरिक कोणों का योग 180° होता है, इसलिए ∠A + ∠B + ∠C = 180°। दिया गया है कि ∠A + ∠B = ∠C, इसे कोण योग गुण में प्रतिस्थापित करने पर ∠C + ∠C = 180° प्राप्त होता है, जो 2∠C = 180° को सरल करता है, जिससे ∠C = 90° प्राप्त होता है।

व्याख्या

संयुग्मी योग के लिए बीजगणितीय सर्वसमिका का प्रयोग करके, (a + b)/(a - b) + (a - b)/(a + b) = 2(a² + b²)/(a² - b²):

x + y = 2((√3)² + 1²) / ((√3)² - 1²) = 2(3 + 1) / (3 - 1) = 8 / 2 = 4

चूंकि y, x का व्युत्क्रम है, xy = 1.

सर्वसमिका x² + y² = (x + y)² - 2xy लागू करने पर:

x² + y² = 4² - 2(1) = 16 - 2 = 14

व्याख्या

मान लीजिए मदन की कमाई 100 है।

चूंकि अजय ने मदन से 30% कम कमाया, अजय की कमाई = 100 - 30 = 70।

चूंकि रवि ने अजय से 50% अधिक कमाया, रवि की कमाई = 70 + (70 का 50%) = 70 + 35 = 105।

रवि ने मदन से कितने प्रतिशत अधिक कमाया = ((105 - 100) / 100) × 100 = 5%।

व्याख्या

माना कि राशि के दो भाग P₁ और P₂ हैं।

साधारण ब्याज सूत्र SI = (P × R × T) / 100 का उपयोग करके, दोनों भागों से ब्याज को बराबर करें: (P₁ × 15 × 4) / 100 = (P₂ × 10 × 6) / 100 60 P₁ = 60 P₂ P₁ = P₂

चूंकि कुल राशि P₁ + P₂ = ₹2,700 है, प्रत्येक भाग कुल राशि का आधा है: P₁ = 2,700 / 2 = ₹1,350

व्याख्या

अभाज्य गुणनखंडित रूप में दी गई संख्याओं का लघुत्तम समापवर्त्य (LCM) ज्ञात करने के लिए, सभी संख्याओं में उपस्थित प्रत्येक अभाज्य गुणनखंड की उच्चतम घात लें।

प्रत्येक अभाज्य गुणनखंड के लिए घातों की तुलना करने पर: 2 के लिए: max(2, 3, 1) = 3 → 2³ 3 के लिए: max(3, 2, 1) = 3 → 3³ 5 के लिए: max(1, 2, 3) = 3 → 5³ 7 के लिए: max(2, 4, 1) = 4 → 7⁴ 11 के लिए: max(0, 0, 1) = 1 → 11

इन उच्चतम घातों को गुणा करने पर LCM = 2³ × 3³ × 5³ × 7⁴ × 11 प्राप्त होता है।

व्याख्या

दूरी d = (v₁ × v₂ / |v₁ - v₂|) × Δt

दिया गया है v₁ = 6 किमी/घंटा, v₂ = 7.5 किमी/घंटा, और समय का अंतर Δt = 1 घंटा 4 मिनट = 64/60 घंटे = 16/15 घंटे।

मानों को प्रतिस्थापित करने पर: d = (6 × 7.5 / 1.5) × (16/15) d = 30 × (16/15) d = 32 किमी

व्याख्या

चूंकि x और y धनात्मक न्यून कोण हैं, x + y 0° और 180° के बीच स्थित है।

दिया गया है cos(x + y) = ½, प्रतिलोम कोसाइन लेने पर: x + y = 60°

दिया गया है sin(x - y) = 0 और x ≥ y, प्रतिलोम साइन लेने पर: x - y = 0°, जिसका अर्थ है x = y

x = y को x + y = 60° में प्रतिस्थापित करने पर: 2x = 60° x = 30°

चूंकि x = y, y = 30°।

व्याख्या

मान लीजिए कि सेबों की प्रारंभिक संख्या x है।

पहले ग्राहक को ⅓ सेब बेचने के बाद, शेष सेबों की संख्या (⅔)x है।

दूसरा ग्राहक शेष सेबों का ½ लेता है, जो कि ½ × (⅔)x = (⅓)x है। इस बिक्री के बाद शेष सेब (⅔)x - (⅓)x = (⅓)x के बराबर हैं।

तीसरा ग्राहक (⅓)x का ⅓ प्लस 5 सेब लेता है, जो (1/9)x + 5 के बराबर है।

तीसरे ग्राहक के बाद शेष सेब हैं: (⅓)x - ((1/9)x + 5) = (2/9)x - 5

दिया गया है कि आदमी के पास 3 सेब बचते हैं: (2/9)x - 5 = 3 (2/9)x = 8 x = 36

व्याख्या

दोनों दिए गए समीकरणों का वर्ग करके और उन्हें एक साथ जोड़कर: x² = (sin A + sin B)² = sin²A + sin²B + 2 sin A sin B y² = (cos A + cos B)² = cos²A + cos²B + 2 cos A cos B

x² और y² को जोड़कर: x² + y² = (sin²A + cos²A) + (sin²B + cos²B) + 2 (cos A cos B + sin A sin B)

सर्वसमिकाओं sin²θ + cos²θ = 1 और cos A cos B + sin A sin B = cos(A - B) का उपयोग करके: x² + y² = 1 + 1 + 2 cos(A - B) x² + y² = 2 + 2 cos(A - B)

पदों को पुनर्व्यवस्थित करके: 2 cos(A - B) = x² + y² - 2 cos(A - B) = (x² + y² - 2) / 2

व्याख्या

किन्हीं दो भिन्न अभाज्य संख्याओं x और y के लिए, उनका लघुत्तम समापवर्त्य (LCM) उनका गुणनफल, x × y होता है।

319 का अभाज्य गुणनखंड करने पर 319 = 29 × 11 प्राप्त होता है।

चूंकि x > y, इसलिए x = 29 और y = 11 है।

इन मानों को दिए गए व्यंजक में प्रतिस्थापित करने पर: 2x - 5y = 2(29) - 5(11) = 58 - 55 = 3।

व्याख्या

घनाभ का कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल सूत्र A = 2 × (lb + bh + hl) द्वारा दिया जाता है, जहाँ l लंबाई, b चौड़ाई और h ऊंचाई है।

दिया गया है l = 16 मी, b = 14 मी, और h = 7 मी:

पृष्ठीय क्षेत्रफल = 2 × (16 × 14 + 14 × 7 + 7 × 16) = 2 × (224 + 98 + 112) = 2 × 434 = 868 मी²

व्याख्या

वर्गमूल की गणना करें: √625 = 25 √25 = 5 √196 = 14

इन मानों को दिए गए व्यंजक में प्रतिस्थापित करें: (√625 / 11) × (14 / √25) × (11 / √196) = (25 / 11) × (14 / 5) × (11 / 14)

अंश और हर दोनों से उभयनिष्ठ पदों 11 और 14 को रद्द करने पर व्यंजक सरल हो जाता है: 25 / 5 = 5

व्याख्या

मॉड्यूलर अंकगणित के अनुसार, 17 ≡ -1 (mod 18)। दोनों पक्षों को 200 की घात तक बढ़ाने पर 17²⁰⁰ ≡ (-1)²⁰⁰ (mod 18) प्राप्त होता है। चूँकि घातांक 200 एक सम संख्या है, (-1)²⁰⁰ = 1।

व्याख्या

एक गोले का आयतन उसकी त्रिज्या के घन के समानुपाती होता है (V ∝ R³)। जब R त्रिज्या वाले एक बड़े गोले को पिघलाकर r त्रिज्या वाले n छोटे समान गोले बनाए जाते हैं, तो कुल आयतन संरक्षित रहता है:

n = (R / r)³

दिया गया है R = 10 सेमी और r = 2.5 सेमी:

n = (10 / 2.5)³ = 4³ = 64

व्याख्या

किसी वृत्त का क्षेत्रफल उसकी त्रिज्या के वर्ग के सीधे समानुपाती होता है (A ∝ r²)। जब किसी रैखिक आयाम में x% की कमी की जाती है, तो क्षेत्रफल में प्रतिशत कमी का सूत्र इस प्रकार दिया जाता है:

क्षेत्रफल में प्रतिशत कमी = 2x - x²/100 %

x = 15 रखने पर: प्रतिशत कमी = 2(15) - (15)²/100 = 30 - 225/100 = 30 - 2.25 = 27.75%

व्याख्या

एक शंकु का वक्र पृष्ठ क्षेत्रफल (CSA) सूत्र CSA = πrl द्वारा दिया जाता है, जहाँ r आधार की त्रिज्या है और l तिर्यक ऊँचाई है।

चूंकि आधार व्यास बराबर हैं, दोनों शंकुओं की त्रिज्याएँ बराबर हैं (r₁ = r₂ = r)। उनके वक्र पृष्ठ क्षेत्रफलों का अनुपात है:

CSA₁ / CSA₂ = (π × r × l₁) / (π × r × l₂) = l₁ / l₂

यह देखते हुए कि उनकी तिर्यक ऊँचाइयों l₁ : l₂ का अनुपात 3 : 4 है, उनके वक्र पृष्ठ क्षेत्रफलों का अनुपात भी 3 : 4 है।

व्याख्या

कुल कार्य = LCM(18, 24, 36) = 72 इकाई मान लीजिए।

प्रत्येक जोड़ी द्वारा किया गया दैनिक कार्य: A + B = 72 / 18 = 4 इकाई B + C = 72 / 24 = 3 इकाई A + C = 72 / 36 = 2 इकाई

तीनों समीकरणों को जोड़ने पर 2(A + B + C) = 9 इकाई प्राप्त होता है, जिसका अर्थ है A + B + C = 4.5 इकाई/दिन।

A का दैनिक कार्य = (A + B + C) - (B + C) = 4.5 - 3 = 1.5 इकाई/दिन A द्वारा लिया गया समय = 72 / 1.5 = 48 दिन

B का दैनिक कार्य = (A + B + C) - (A + C) = 4.5 - 2 = 2.5 इकाई/दिन B द्वारा लिया गया समय = 72 / 2.5 = 28 4/5 दिन

C का दैनिक कार्य = (A + B + C) - (A + B) = 4.5 - 4 = 0.5 इकाई/दिन C द्वारा लिया गया समय = 72 / 0.5 = 144 दिन

व्याख्या

मान लीजिए खंभे की कुल लंबाई L मीटर है।

रंगे हुए भागों का योग = 1/10 + 1/20 + 1/30 + 1/40

हरों (120) का लघुत्तम समापवर्त्य (LCM) लेने पर: योग = (12 + 6 + 4 + 3) / 120 = 25/120 = 5/24

हरे भाग का भिन्न = 1 - 5/24 = 19/24

दिया गया है कि हरे भाग की माप 4.75 मीटर है: (19/24) × L = 4.75 L = (4.75 × 24) / 19 L = 114 / 19 = 6 मीटर

व्याख्या

मान लीजिए कुर्सी का क्रय मूल्य C है और मेज का क्रय मूल्य T है।

दी गई शर्तों से: -0.05C + 0.15T = 300 0.05C + 0.05T = 180

दोनों समीकरणों को 20 से गुणा करने पर वे सरल हो जाते हैं: -C + 3T = 6000 C + T = 3600

C को समाप्त करने के लिए दोनों रैखिक समीकरणों को जोड़ने पर: 4T = 9600 T = 2400

मेज का वास्तविक क्रय मूल्य ₹2,400 है।

व्याख्या

चूंकि बचत = आय - व्यय, इसलिए A और B दोनों के लिए अनुपात इकाई का अंतर समान है: A के लिए: 5 - 3 = 2 इकाई B के लिए: 4 - 2 = 2 इकाई

इस प्रकार, 2 अनुपात इकाइयाँ ₹1,600 की बचत को दर्शाती हैं।

1 अनुपात इकाई = 1600 / 2 = ₹800

A की आय = 5 × ₹800 = ₹4,000

व्याख्या

एक सप्ताह में अधिकतम उत्पादन पाँचवें सप्ताह में हुआ, जो कि 1400 साइकिल है।

यदि 5 हफ्तों में से प्रत्येक में 1400 साइकिलों का उत्पादन किया गया होता, तो कुल उत्पादन होता: 5 × 1400 = 7000 साइकिल

5 हफ्तों में उत्पादित वास्तविक कुल साइकिलें: 800 + 1360 + 1000 + 900 + 1400 = 5460 साइकिल

उत्पादित किए जाने वाले अतिरिक्त साइकिलों की संख्या: 7000 − 5460 = 1540 साइकिल

व्याख्या

5 फरवरी 2005 से 18 अप्रैल 2005 तक (दोनों तिथियाँ शामिल) दिनों की संख्या: फरवरी (गैर-लीप वर्ष) = 24 दिन मार्च = 31 दिन अप्रैल = 18 दिन कुल दिन = 24 + 31 + 18 = 73 दिन = 73 / 365 = 1/5 वर्ष

साधारण ब्याज सूत्र का उपयोग करके: साधारण ब्याज = (P × R × T) / 100 = (3000 × 25/4 × 1/5) / 100 = (3000 × 5) / 400 = 37.50

व्याख्या

एक वृत्त में खड़े n लोगों के बीच गैर-आसन्न व्यक्तियों के जोड़ों की संख्या n-भुजाओं वाले बहुभुज में विकर्णों की संख्या के सूत्र द्वारा दी जाती है: गैर-आसन्न जोड़े = n(n - 3)/2

चूंकि प्रत्येक गैर-आसन्न जोड़ा 2 मिनट का गीत गाता है, इसलिए सभी जोड़ों के लिए कुल समय है: कुल समय = [n(n - 3)/2] × 2 = n(n - 3) मिनट

यह देखते हुए कि लिया गया कुल समय 40 मिनट है: n(n - 3) = 40 n² - 3n - 40 = 0 (n - 8)(n + 5) = 0

चूंकि व्यक्तियों की संख्या n एक धनात्मक पूर्णांक होनी चाहिए, इसलिए n = 8।

व्याख्या

n प्रेक्षणों का योग निम्न द्वारा दिया जाता है: योग = माध्य × n।

प्रारंभिक 5 प्रेक्षणों का योग = 5 × 20 = 100

छठे प्रेक्षण को जोड़ने पर, 6 प्रेक्षणों के लिए नया माध्य 2 बढ़कर 20 + 2 = 22 हो जाता है।

6 प्रेक्षणों का योग = 6 × 22 = 132

छठे प्रेक्षण का मान = 6 प्रेक्षणों का योग - 5 प्रेक्षणों का योग = 132 - 100 = 32

व्याख्या

कॉलेज शिक्षकों की संख्या = 1500 स्कूल लड़कियों की संख्या = 3000

कॉलेज शिक्षकों और स्कूल लड़कियों का अनुपात = 1500 : 3000 = 1 : 2

व्याख्या

केक और पेस्ट्री के लिए प्रति ग्राहक औसत बिक्री = 210 / 14 = ₹15 बिस्कुट के लिए प्रति ग्राहक औसत बिक्री = 120 / 12 = ₹10

बिक्री में अधिकतम वृद्धि के लिए, ब्रेड खरीदने वाले प्रत्येक ग्राहक को उच्च मूल्य वाली वस्तु, जो कि ₹15 प्रति ग्राहक की दर से केक और पेस्ट्री है, खरीदनी चाहिए।

किसी भी प्रकार की ब्रेड खरीदने वाले कुल ग्राहक = 40 + 16 = 56

बिक्री में अधिकतम वृद्धि = 56 × ₹15 = ₹840

व्याख्या

दिए गए समीकरण a - 5 = b से, पदों को पुनर्व्यवस्थित करने पर a - b = 5 और b - a = -5 प्राप्त होता है।

निरपेक्ष मान लेने पर: |a - b| = |5| = 5 |b - a| = |-5| = 5

दोनों निरपेक्ष मानों को जोड़ने पर प्राप्त होता है: |a - b| + |b - a| = 5 + 5 = 10।

व्याख्या

गति = दूरी ÷ समय

दूरी = 600 मीटर = 0.6 किमी समय = 5 मिनट = 5/60 घंटा = 1/12 घंटा

इन मानों को सूत्र में रखने पर: गति = 0.6 ÷ (1/12) = 0.6 × 12 = 7.2 किमी/घंटा

वैकल्पिक रूप से, पहले मीटर प्रति सेकंड में गति की गणना करना: गति = 600 मीटर ÷ (5 × 60 सेकंड) = 600 ÷ 300 = 2 मी/से

मी/से को किमी/घंटा में बदलने के लिए 18/5 से गुणा करना: गति = 2 × (18/5) = 36/5 = 7.2 किमी/घंटा

व्याख्या

मानक बीजगणितीय सर्वसमिका x² - 2xy + y² = (x - y)² का उपयोग करके, व्यंजक सरल हो जाता है:

√(x² - 2xy + y²) = √((x - y)²) = |x - y|

x = 25 और y = 13 रखने पर:

|25 - 13| = 12

व्याख्या

जब कोई वृत्त किसी वर्ग को परिवेष्टित करता है, तो परिवेष्टित वृत्त का व्यास वर्ग के विकर्ण के बराबर होता है।

दिया गया है त्रिज्या r = 8 सेमी, तो वृत्त का व्यास 2 × 8 = 16 सेमी है।

भुजा की लंबाई a वाले वर्ग के लिए, विकर्ण की लंबाई a√2 होती है।

विकर्ण को व्यास के बराबर रखने पर: a√2 = 16 a = 16 / √2 = 8√2 सेमी

व्याख्या

वार्षिक ब्याज दर R% पर 2 वर्षों के लिए मूलधन (P) पर चक्रवृद्धि ब्याज और साधारण ब्याज के बीच का अंतर (D) निम्न सूत्र द्वारा दिया जाता है:

D = P × (R / 100)²

D = 16.32 और R = 5 रखने पर:

16.32 = P × (5 / 100)² 16.32 = P × (1 / 20)² 16.32 = P / 400 P = 16.32 × 400 = 6,528

व्याख्या

सभी संस्थानों में कुल छात्र = (3000 + 2500) + (9000 + 11000) + (15000 + 16000) = 56500

कॉलेज और विश्वविद्यालय में कुल शिक्षक = 1500 + 2000 = 3500

अनुपात = 56500 : 3500 = 113 : 7

व्याख्या

दूरी = गति × समय = 3 किमी/घंटा × 8 घंटे = 24 किमी

16 किमी/घंटा की गति से लिया गया समय = दूरी / गति = 24 किमी / 16 किमी/घंटा = 1.5 घंटे

व्याख्या

चक्रवृद्धि ब्याज के लिए, t वर्षों के बाद राशि P(1 + r/100)ᵗ द्वारा दी जाती है।

A और B की राशियों को बराबर करने पर: A(1 + 3/100)⁷ = B(1 + 3/100)⁹

दोनों पक्षों को (1 + 3/100)⁷ से विभाजित करने पर: A/B = (1 + 3/100)² = (103/100)² = 10609/10000

A और B का अनुपात 10609 : 10000 है। चूँकि अनुपात इकाइयों का योग 10609 + 10000 = 20609 है, जो कुल राशि ₹20,609 के बराबर है: A = ₹10,609 B = ₹10,000