आरआरबी एनटीपीसी सीबीटी 1 2021 Mathematics प्रश्न — हल सहित

व्याख्या

चूंकि गति स्थिर है, इसलिए लिया गया समय दूरी के सीधे आनुपातिक है: समय = 60 × (105 / 35) = 60 × 3 = 180 मिनट।

व्याख्या

द्विघात समीकरण को पदों को समूहित करके गुणनखंडित करें:

y² - √5 y - y + √5 = 0 y(y - √5) - 1(y - √5) = 0 (y - 1)(y - √5) = 0

प्रत्येक गुणनखंड को शून्य के बराबर रखने पर: y - 1 = 0 ⇒ y = 1 y - √5 = 0 ⇒ y = √5

व्याख्या

मंजूषा के अंदर के पदों का मूल्यांकन: 2 - 1/3 = 5/3 2/3 × 1 1/5 = 2/3 × 6/5 = 4/5 5/3 + 4/5 = (25 + 12)/15 = 37/15

शेष गुणन का मूल्यांकन: 3/5 × 2 5/7 = 3/5 × 19/7 = 57/35

दोनों भागों को जोड़ना: 37/15 + 57/35 = (259 + 171)/105 = 430/105 = 86/21

86/21 को मिश्रित भिन्न में बदलने पर 4 2/21 प्राप्त होता है।

व्याख्या

बेलन का वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल 2πrh और आयतन πr²h द्वारा दिया जाता है।

दिया गया है 2πrh = 660 सेमी² और h = 14 सेमी: 2 × (22/7) × r × 14 = 660 88r = 660 r = 15/2 सेमी

आयतन सूत्र में r और h का मान रखने पर: आयतन = πr²h आयतन = (22/7) × (15/2)² × 14 आयतन = 22 × (225/4) × 2 आयतन = 11 × 225 = 2475 सेमी³

व्याख्या

समान कुल कार्य के लिए दक्षता और लिया गया समय व्युत्क्रमानुपाती होते हैं (कार्य = दक्षता × समय)।

मान लीजिए सुंदर की दक्षता 100 इकाई/दिन है। चूंकि राज, सुंदर से 60% अधिक कुशल है, राज की दक्षता = 160 इकाई/दिन।

कुल कार्य = सुंदर की दक्षता × सुंदर द्वारा लिया गया समय कुल कार्य = 100 × 16 = 1600 इकाई

राज द्वारा अकेले लिया गया समय = कुल कार्य / राज की दक्षता राज द्वारा अकेले लिया गया समय = 1600 / 160 = 10 दिन

व्याख्या

रवि का वेतन = मोहन का वेतन × (1 + प्रतिशत वृद्धि / 100)

दिया गया है मोहन का वेतन = ₹1,600 और वृद्धि 20% है:

रवि का वेतन = 1,600 × (1 + 20/100) = 1,600 × 1.20 = ₹1,920

व्याख्या

सबसे पहले, ब्रैकेट के अंदर मिश्रित भिन्नों को जोड़ें: 3 1/7 + 4 3/7 = (3 + 4) + (1/7 + 3/7) = 7 + 4/7 = 53/7

अगला, 53/7 में 7/6 जोड़ें, दोनों भिन्नों को 42 के सामान्य भाजक में परिवर्तित करके: 53/7 + 7/6 = (53 × 6 + 7 × 7) / 42 = (318 + 49) / 42 = 367/42

व्याख्या

4, 5, 8, 16 और 32 से पूर्णतः विभाज्य सबसे छोटी वर्ग संख्या ज्ञात करने के लिए, हम पहले उनका लघुत्तम समापवर्त्य (LCM) ज्ञात करते हैं।

अभाज्य गुणनखंडन: 4 = 2² 5 = 5¹ 8 = 2³ 16 = 2⁴ 32 = 2⁵

LCM(4, 5, 8, 16, 32) = 2⁵ × 5¹ = 160

किसी संख्या के पूर्ण वर्ग होने के लिए, उसके अभाज्य गुणनखंडन में प्रत्येक अभाज्य गुणनखंड का घातांक सम होना चाहिए। 160 (2⁵ × 5¹) को 2¹ × 5¹ = 10 से गुणा करने पर 2⁶ × 5² = 1600 प्राप्त होता है, जो दी गई सभी संख्याओं से विभाज्य सबसे छोटी पूर्ण वर्ग संख्या है।

व्याख्या

दोनों समीकरणों को दोनों पक्षों पर समान आधारों के साथ व्यक्त करना:

2ˣ = 4ʸ⁺¹ से, 4 को 2² लिखें: 2ˣ = (2²)ʸ⁺¹ = 2²ʸ⁺² घातांकों को बराबर करना: x = 2y + 2

3ʸ = 3ˣ⁻⁹ से, घातांकों को सीधे बराबर करना: y = x - 9

y = x - 9 को x = 2y + 2 में प्रतिस्थापित करना: x = 2(x - 9) + 2 x = 2x - 16 x = 16

x = 16 को y = x - 9 में प्रतिस्थापित करना: y = 16 - 9 = 7

व्याख्या

क्रय मूल्य = विक्रय मूल्य ÷ (1 + लाभ%) क्रय मूल्य = 750 ÷ 1.25 = ₹600

जब वस्तु ₹660 में बेची जाती है: लाभ राशि = 660 - 600 = ₹60 लाभ प्रतिशत = (लाभ राशि ÷ क्रय मूल्य) × 100 = (60 ÷ 600) × 100 = 10%

व्याख्या

मान लीजिए पंक्तियों की संख्या x है। चूँकि प्रत्येक पंक्ति में पेड़ों की संख्या पंक्तियों की संख्या के बराबर है, पेड़ों की कुल संख्या इस प्रकार दी जाती है:

कुल पेड़ = x × x = x²

दिया गया है x² = 5776, दोनों पक्षों का वर्गमूल लेने पर:

x = √5776 = 76

व्याख्या

BODMAS नियम का उपयोग करके, सबसे भीतरी कोष्ठकों से बाहर की ओर गणितीय व्यंजक का मूल्यांकन करें:

सबसे भीतरी कोष्ठक: (8 × ½) = 4 मंजिला कोष्ठक: {6 - 4} = 2 वर्ग कोष्ठक: [4 - 3 × 2] = [4 - 6] = -2 अंतिम गुणन: 18 × (-2) = -36

व्याख्या

दो बिंदुओं (x₁, y₁) और (x₂, y₂) से गुजरने वाली सीधी रेखा का समीकरण सूत्र द्वारा दिया जाता है:

(y - y₁) = [(y₂ - y₁) / (x₂ - x₁)] × (x - x₁)

(x₁, y₁) = (-2, 5) और (x₂, y₂) = (1, 3) प्रतिस्थापित करने पर:

(y - 5) = [(3 - 5) / (1 - (-2))] × (x - (-2))

(y - 5) = (-2 / 3) × (x + 2)

3(y - 5) = -2(x + 2)

3y - 15 = -2x - 4

2x + 3y - 11 = 0

व्याख्या

मिश्रित भिन्न को विषम भिन्न में बदलें: 5 44/49 = (5 × 49 + 44) / 49 = (245 + 44) / 49 = 289 / 49

वर्गमूल लेने पर: √(289 / 49) = √289 / √49 = 17 / 7

व्याख्या

दिए गए बीजीय समीकरण के दोनों पक्षों का विस्तार करें: 3(5x + 2) - 4 = 2(1 - 4x) 15x + 6 - 4 = 2 - 8x 15x + 2 = 2 - 8x

x को अलग करने के लिए समान पदों को एक साथ समूहित करें: 15x + 8x = 2 - 2 23x = 0 x = 0

व्याख्या

किसी संख्या के 5 से विभाज्य होने के लिए, उसका अंतिम अंक S, 0 या 5 होना चाहिए। चूँकि संख्या 8 से भी विभाज्य है, इसलिए वह सम होनी चाहिए, जिससे S = 0 निश्चित हो जाता है।

किसी संख्या के 8 से विभाज्य होने के लिए, उसके अंतिम तीन अंकों से बनी संख्या, 3#S, 8 से विभाज्य होनी चाहिए। S = 0 के साथ, अंतिम तीन अंक 3#0 बनाते हैं। # = 2 रखने पर 320 बनता है, जो 8 से विभाज्य है (320 ÷ 8 = 40)। इस प्रकार, # = 2 और S = 0 दोनों विभाज्यता नियमों को संतुष्ट करते हैं।

व्याख्या

समतल के समीकरण का अंतःखंड रूप x/a + y/b + z/c = 1 है, जहाँ a, b, और c क्रमशः x, y, और z अंतःखंडों को दर्शाते हैं।

दिए गए समतल समीकरण 3x - 4y - 2z = 6 के दोनों पक्षों को 6 से विभाजित करने पर: 3x/6 - 4y/6 - 2z/6 = 6/6 x/2 + y/(-3/2) + z/(-3) = 1

इसकी मानक अंतःखंड रूप से तुलना करने पर निर्देशांक अक्षों पर अंतःखंड 2, -3/2, और -3 प्राप्त होते हैं।

व्याख्या

किन्हीं भी दो धनात्मक पूर्णांकों के लिए, संख्याओं का गुणनफल उनके LCM और HCF के गुणनफल के बराबर होता है:

पहली संख्या × दूसरी संख्या = LCM × HCF

18 × x = 126 × 2

x = (126 × 2) / 18 = 7 × 2 = 14

व्याख्या

यदि n आकार के डेटासेट में प्रत्येक प्रविष्टि xᵢ में एक स्थिरांक k जोड़ा जाता है, तो नया अंकगणितीय माध्य x̄' इस प्रकार दिया जाता है:

x̄' = ∑(xᵢ + k) / n = (∑xᵢ + nk) / n = (∑xᵢ / n) + k = x̄ + k

चूंकि प्रत्येक प्रविष्टि में 7 की वृद्धि की जाती है, इसलिए k = 7। अतः, अंकगणितीय माध्य 7 से बढ़ जाता है।

व्याख्या

साधारण ब्याज = मूलधन × मासिक दर × समय (महीनों में)

प्रति रुपया प्रति माह 5 पैसे की दर 5/100 या 5% की मासिक ब्याज दर के बराबर है।

साधारण ब्याज = 10,000 × (5 / 100) × 6 = 3,000

व्याख्या

सभी दिए गए वर्षों में बोर्ड X में लड़के और लड़कियों के प्रदर्शन की तुलना करने पर पता चलता है कि लड़कियों ने 2014 (77.57% बनाम 75.85%), 2015 (73.80% बनाम 72.58%), 2017 (82.00% बनाम 74.45%), 2018 (78.55% बनाम 70.56%), और 2019 (81.48% बनाम 79.18%) में लड़कों से अधिक अंक प्राप्त किए। 2016 में, लड़कों ने 81.00% अंक प्राप्त किए जबकि लड़कियों ने 77.80% अंक प्राप्त किए, जिससे 2016 एकमात्र वर्ष बन गया जब बोर्ड X के लड़कों ने लड़कियों से अधिक अंक प्राप्त किए।

व्याख्या

6-वर्ष की अवधि (2014 से 2019) में बोर्ड X की लड़कियों के लिए औसत स्कोर की गणना उनके प्रतिशत स्कोर के योग को 6 से विभाजित करके की जाती है:

योग = 77.57% + 73.80% + 77.80% + 82.00% + 78.55% + 81.48% = 471.20%

औसत = 471.20% / 6 = 78.53%

सभी चार समूहों में 6-वर्षीय योग और औसत की तुलना: बोर्ड X की लड़कियाँ: योग = 471.20%, औसत = 78.53% बोर्ड Y की लड़कियाँ: योग = 457.65%, औसत = 76.28% बोर्ड X के लड़के: योग = 453.62%, औसत = 75.60% बोर्ड Y के लड़के: योग = 434.35%, औसत = 72.39%

व्याख्या

पिछले वर्ष से सकारात्मक वृद्धि वाले वर्षों में बोर्ड X की लड़कियों के लिए प्रतिशत स्कोर में निरपेक्ष वृद्धि है:

वर्ष 2016 = 77.80% - 73.80% = 4.00% वर्ष 2017 = 82.00% - 77.80% = 4.20% वर्ष 2019 = 81.48% - 78.55% = 2.93%

2015 और 2018 में, प्रतिशत स्कोर में कमी आई। अधिकतम निरपेक्ष वृद्धि 2017 में 4.20% है।

व्याख्या

स्नातक छात्रों की कुल संख्या (बी.बी.ए + बी.सी.ए) = 182 + 91 = 273

स्नातकोत्तर छात्रों की कुल संख्या (एम.बी.ए + एम.सी.ए) = 455 + 182 = 637

स्नातक छात्रों का स्नातकोत्तर छात्रों से अनुपात = 273 : 637

दोनों पदों को उनके महत्तम समापवर्तक 91 से विभाजित करने पर: 273 ÷ 91 = 3 637 ÷ 91 = 7

अनुपात = 3 : 7

व्याख्या

आंतरिक वृत्त की त्रिज्या, r = 6 सेमी। बाहरी वृत्त की त्रिज्या, R = 6 + 6 का 50% = 9 सेमी।

एन्युलस (दो संकेंद्रित वृत्तों के बीच की वलय) का क्षेत्रफल सूत्र द्वारा दिया जाता है: क्षेत्रफल = π(R² - r²)

π = 22/7 का उपयोग करके और त्रिज्या मानों को प्रतिस्थापित करके: क्षेत्रफल = (22/7) × (9² - 6²) क्षेत्रफल = (22/7) × (81 - 36) क्षेत्रफल = (22/7) × 45 क्षेत्रफल = 990/7 सेमी²

व्याख्या

अपने सरलतम रूप p/q में एक परिमेय संख्या का दशमलव निरूपण सांत होता है यदि और केवल यदि हर q के अभाज्य गुणनखंडन में 2 और 5 के अलावा कोई अभाज्य गुणनखंड न हो (अर्थात, q = 2ᵃ × 5ᵇ, जहाँ a और b गैर-ऋणात्मक पूर्णांक हैं)। 2/5 के लिए, हर 5 = 2⁰ × 5¹ है, जो इस शर्त को पूरा करता है और सांत दशमलव 0.4 देता है।

व्याख्या

त्रिकोणमितीय सर्वसमिका का प्रयोग करके: cosec²A - cot²A = 1

वर्गों के अंतर के रूप में गुणनखंडित करने पर: (cosecA - cotA)(cosecA + cotA) = 1

cosecA - cotA = 3 को समीकरण में प्रतिस्थापित करने पर: 3 × (cosecA + cotA) = 1 cosecA + cotA = 1/3

व्याख्या

माना a/b = b/c = c/d = k.

a, b, और c को d और k के पदों में व्यक्त करना: c = dk, b = dk², और a = dk³.

इन मानों को अंश और हर में प्रतिस्थापित करना: b³ + c³ + d³ = d³k⁶ + d³k³ + d³ = d³(k⁶ + k³ + 1) a³ + b³ + c³ = d³k⁹ + d³k⁶ + d³k³ = d³k³(k⁶ + k³ + 1)

अंश को हर से विभाजित करना: (b³ + c³ + d³) / (a³ + b³ + c³) = [d³(k⁶ + k³ + 1)] / [d³k³(k⁶ + k³ + 1)] = 1 / k³

चूंकि a/d = (dk³)/d = k³, व्युत्क्रम लेने पर 1/k³ = d/a प्राप्त होता है।

व्याख्या

जब दो विमाओं को a% और b% तक बढ़ाया जाता है, तो क्षेत्रफल में शुद्ध प्रतिशत परिवर्तन का सूत्र इस प्रकार दिया जाता है:

शुद्ध प्रतिशत वृद्धि = a + b + (a × b)/100 %

a = 25 और b = 25 रखने पर:

शुद्ध प्रतिशत वृद्धि = 25 + 25 + (25 × 25)/100 % = 50 + 625/100 % = 50 + 6.25% = 56.25% = 56 ¼ %

व्याख्या

मॉड्यूलर अंकगणित गुणों का उपयोग करके:

11 ≡ 1 (mod 10)

चूंकि 11 को 10 से विभाजित करने पर शेषफल 1 प्राप्त होता है, इसलिए 11 की कोई भी धनात्मक पूर्णांक घात भी 10 से विभाजित करने पर शेषफल 1 देगी: 11⁹ ≡ 1⁹ ≡ 1 (mod 10)

सर्वांगसमता के दोनों पक्षों में 7 जोड़ने पर: (11⁹ + 7) ≡ (1 + 7) (mod 10) (11⁹ + 7) ≡ 8 (mod 10)

8 को 10 से विभाजित करने पर शेषफल 8 प्राप्त होता है।

व्याख्या

दी गई संख्याओं का अभाज्य गुणनखंडन इस प्रकार है:

156 = 2² × 3 × 13 455 = 5 × 7 × 13 1183 = 7 × 13²

तीनों संख्याओं में उपस्थित उच्चतम उभयनिष्ठ अभाज्य गुणनखंड 13 है।

इसलिए, म.स.प.(156, 455, 1183) = 13।

व्याख्या

पुनरावर्ती दशमलव x = 0.1246464... को p/q रूप में बदलने के लिए, पुनरावर्ती भाग को अलग करने के लिए x को 10 की घातों से गुणा करें:

100x = 12.464646... 10000x = 1246.464646...

दूसरे समीकरण से पहले समीकरण को घटाने पर: 10000x - 100x = 1246.464646... - 12.464646... 9900x = 1234 x = 1234 / 9900

अंश और हर को 2 से विभाजित करके सरल बनाने पर: x = 617 / 4950

वैकल्पिक रूप से, मिश्रित पुनरावर्ती दशमलव के लिए मानक सूत्र का उपयोग करके: अंश = (पुनरावर्ती ब्लॉक तक के सभी अंक) - (गैर-पुनरावर्ती अंक) = 12464 - 124 = 12340 हर = दो 9 (पुनरावर्ती अंकों 6, 4 के लिए) के बाद तीन 0 (गैर-पुनरावर्ती अंकों 1, 2, 4 के लिए) = 99000

p/q = 12340 / 99000 = 617 / 4950

व्याख्या

एक न्यून कोण A के लिए sin A = 4/√17 दिया गया है, cos A = 1/√17 और tan A = 4 है। द्वि-कोण सर्वसमिका tan 2A = (2 tan A) / (1 - tan² A) लागू करने पर tan 2A = 2(4) / (1 - 16) = -8/15 प्राप्त होता है।

व्याख्या

मान लीजिए अभीष्ट संख्या x है।

दी गई शर्त के अनुसार: x/6 - x/9 = 100

6 और 9 का लघुत्तम समापवर्त्य (LCM) लेने पर, जो कि 18 है: (3x - 2x) / 18 = 100 x / 18 = 100 x = 100 × 18 = 1800

व्याख्या

मान लीजिए संख्याओं के लिए उभयनिष्ठ गुणक x है। दो संख्याएँ 3x और 5x हैं।

चूंकि 3 और 5 सह-अभाज्य हैं, 3x और 5x का LCM 3 × 5 × x = 15x है।

दिया गया है कि LCM 105 है: 15x = 105 x = 7

दो संख्याओं के बीच का अंतर 5x − 3x = 2x है।

x = 7 रखने पर: अंतर = 2 × 7 = 14

व्याख्या

2 पुरुष और 3 महिलाओं की दैनिक कमाई = 49 / 7 = 7 3 पुरुष और 6 महिलाओं की दैनिक कमाई = 96 / 8 = 12

मान लीजिए m और w क्रमशः 1 पुरुष और 1 महिला की दैनिक कमाई है: 2m + 3w = 7 3m + 6w = 12 ⇒ m + 2w = 4

दूसरे समीकरण को 2 से गुणा करने पर 2m + 4w = 8 प्राप्त होता है। 2m + 3w = 7 को 2m + 4w = 8 से घटाने पर w = 1 प्राप्त होता है। m + 2w = 4 में w = 1 प्रतिस्थापित करने पर m = 2 प्राप्त होता है।

1 पुरुष और 1 महिला की दैनिक कमाई = m + w = 2 + 1 = 3। 27 कमाने के लिए आवश्यक दिनों की संख्या = 27 / 3 = 9 दिन।

व्याख्या

माध्य = (अवलोकनों का योग) / (अवलोकनों की कुल संख्या)

योग = 5.2 + 13.3 + 17.5 + 19.5 + 21.4 = 76.9

अवलोकनों की संख्या = 5

माध्य = 76.9 / 5 = 15.38

व्याख्या

मान लीजिए मूलधन P है। चूँकि राशि 5 वर्षों में दोगुनी हो जाती है, इसलिए 5 वर्षों में अर्जित साधारण ब्याज P के बराबर है। अतः, प्रति वर्ष अर्जित साधारण ब्याज P/5 है।

8 वर्षों में, कुल अर्जित साधारण ब्याज 8 × (P/5) = 8P/5 है।

8 वर्षों के बाद कुल राशि P + 8P/5 = 13P/5 = मूल राशि का 2 3/5 गुना है।

व्याख्या

कार्य-दर संबंध का उपयोग करते हुए, रामा की पैकिंग दर 36 बक्से/घंटा है और उसकी बहन की दर 36 / 3 = 12 बक्से/घंटा है।

संयुक्त पैकिंग दर = 36 + 12 = 48 बक्से/घंटा।

एक साथ लिया गया समय = कुल बक्से / संयुक्त दर = 36 / 48 घंटे = ¾ घंटे = ¾ × 60 मिनट = 45 मिनट।

वैकल्पिक रूप से, संयुक्त समय सूत्र T = (t₁ × t₂) / (t₁ + t₂) का उपयोग करते हुए, जहाँ t₁ = 1 घंटा और t₂ = 3 घंटे: T = (1 × 3) / (1 + 3) = ¾ घंटे = 45 मिनट।

व्याख्या

दो समरूप बहुभुजों के लिए, उनके क्षेत्रफलों का अनुपात उनकी संगत भुजाओं की लंबाइयों के अनुपात के वर्ग के बराबर होता है:

(बड़े बहुभुज का क्षेत्रफल) / (छोटे बहुभुज का क्षेत्रफल) = (भुजा अनुपात)²

भुजा अनुपात 7 : 5 दिया गया है, इसलिए क्षेत्रफल अनुपात (7/5)² = 49 / 25 है।

1127 / (छोटे बहुभुज का क्षेत्रफल) = 49 / 25

छोटे बहुभुज का क्षेत्रफल = (1127 × 25) / 49 = 23 × 25 = 575 cm²

व्याख्या

18, 25, 45 और 55 से विभाज्य चार अंकों की सबसे बड़ी संख्या ज्ञात करने के लिए, पहले उनका लघुत्तम समापवर्त्य (LCM) ज्ञात करें।

प्रत्येक संख्या का अभाज्य गुणनखंडन: 18 = 2 × 3² 25 = 5² 45 = 3² × 5 55 = 5 × 11

LCM(18, 25, 45, 55) = 2¹ × 3² × 5² × 11¹ = 2 × 9 × 25 × 11 = 4950

वांछित संख्या 4950 का सबसे बड़ा गुणज है जो चार अंकों की संख्या है।

4950 × 2 = 9900 4950 × 3 = 14850

इस प्रकार, 9900 चार अंकों की सबसे बड़ी संख्या है जो 18, 25, 45 और 55 से विभाज्य है।

व्याख्या

मान लीजिए A और B के वेतन क्रमशः A और B हैं। चूँकि A अपने वेतन का 95% खर्च करता है, इसलिए वह 5% बचाता है। चूँकि B अपने वेतन का 80% खर्च करता है, इसलिए वह 20% बचाता है।

यह देखते हुए कि उनकी बचत बराबर है: A का 5% = B का 20% A = 4B

कुल वेतन समीकरण में A = 4B को प्रतिस्थापित करने पर: A + B = 4300 4B + B = 4300 5B = 4300 B = 860

इस प्रकार, A का वेतन = 4 × 860 = 3440।

व्याख्या

माध्य (x̅) = (3 + 4 + 5 + 6 + 7) / 5 = 25 / 5 = 5

प्रसरण (σ²) = Σ(x - x̅)² / n = [(-2)² + (-1)² + 0² + 1² + 2²] / 5 = (4 + 1 + 0 + 1 + 4) / 5 = 10 / 5 = 2

मानक विचलन (σ) = √(प्रसरण) = √2

व्याख्या

एक समांतर चतुर्भुज में, आसन्न कोण संपूरक होते हैं, इसलिए उनका योग 180° होता है। मान लीजिए x सबसे छोटा कोण है। आसन्न बड़ा कोण 2x - 12° दिया गया है।

x + (2x - 12°) = 180° 3x - 12° = 180° 3x = 192° x = 64°

सबसे बड़ा कोण 2(64°) - 12° = 116° है।

व्याख्या

85 और 153 का अभाज्य गुणनखंडन है: 85 = 5 × 17 153 = 3² × 17

85 और 153 का महत्तम समापवर्तक (म.स.प.) 17 है।

म.स.प. को दिए गए व्यंजक के बराबर रखने पर: 85x - 153 = 17 85x = 17 + 153 85x = 170 x = 170 / 85 = 2

व्याख्या

मान लीजिए कुल पूंजी C है।

पूंजी का शेष भाग 1 - ¼ - ⅓ = 5/12 है।

समग्र प्रभावी वार्षिक साधारण ब्याज दर है: प्रभावी दर = (¼ × 3½%) + (⅓ × 7½%) + (5/12 × 8%) = (7/8 + 5/2 + 10/3)% = (21 + 60 + 80) / 24 % = 161 / 24 %

दिया गया है कि वार्षिक साधारण ब्याज ₹2,576 है: (161 / 2400) × C = 2576 C = (2576 × 2400) / 161 C = 16 × 2400 C = ₹38,400

व्याख्या

BODMAS/PEMDAS संक्रियाओं के क्रम का पालन करते हुए, घटाव से पहले गुणा और भाग बाएं से दाएं किए जाते हैं:

गुणा: 0.5 × 0.5 = 0.25 लगातार भाग (बाएं से दाएं): (0.5 ÷ 5) ÷ 0.5 = 0.1 ÷ 0.5 = 0.2 घटाव: 0.25 - 0.2 = 0.05

व्याख्या

2ᵃ × 3ᵇ × 5ᶜ × 7ᵈ के अभाज्य गुणनखंडन के रूप के लिए, सम गुणनखंडों की संख्या सूत्र a × (b + 1) × (c + 1) × (d + 1) द्वारा दी जाती है, क्योंकि एक सम गुणनखंड में कम से कम 2 का एक गुणनखंड होना चाहिए (जिससे a विकल्प मिलते हैं: 2¹, 2², ..., 2ᵃ)।

दिया गया N = 2⁷ × 3⁴ × 5³ × 7¹: a = 7, b = 4, c = 3, d = 1

सम गुणनखंडों की संख्या = 7 × (4 + 1) × (3 + 1) × (1 + 1) = 7 × 5 × 4 × 2 = 280।

व्याख्या

दिया गया व्यंजक है: [(1 - x⁴) / (1 + x)] ÷ [(1 + x²) / x] × [1 / (x(x - 1))]

भाग को व्युत्क्रम लेकर गुणा में बदलना: = [(1 - x⁴) / (1 + x)] × [x / (1 + x²)] × [1 / (x(x - 1))]

1 - x⁴ को (1 - x²)(1 + x²) = (1 - x)(1 + x)(1 + x²) के रूप में गुणनखंडित करना: = [(1 - x)(1 + x)(1 + x²) / (1 + x)] × [x / (1 + x²)] × [1 / (x(x - 1))]

अंश और हर से सामान्य पद (1 + x), (1 + x²), और x को रद्द करना: = (1 - x) / (x - 1) = -(x - 1) / (x - 1) = -1

व्याख्या

द्विपद के घन के लिए मानक बीजगणितीय सर्वसमिका का उपयोग करके: (x - y)³ = x³ - y³ - 3xy(x - y)

सर्वसमिका में दिए गए मान x - y = 1 को प्रतिस्थापित करने पर: (1)³ = x³ - y³ - 3xy(1) 1 = x³ - y³ - 3xy

वैकल्पिक रूप से, x - y = 1 को संतुष्ट करने वाले सरल मान, जैसे x = 1 और y = 0, रखने पर: 1³ - 0³ - 3(1)(0) = 1 - 0 - 0 = 1