आरआरबी एनटीपीसी सीबीटी 1 2021 Mathematics प्रश्न — हल सहित

व्याख्या

मान लीजिए कि कक्षा में बच्चों की कुल संख्या N है।

पहली शर्त के अनुसार, प्रत्येक बच्चे को N / 8 नोटबुक मिलती हैं। कुल नोटबुक = N × (N / 8) = N² / 8

दूसरी शर्त के अनुसार, यदि बच्चों की संख्या आधी (N / 2) कर दी जाए, तो प्रत्येक बच्चे को 16 नोटबुक मिलेंगी। कुल नोटबुक = (N / 2) × 16 = 8N

कुल नोटबुक के दोनों व्यंजकों को बराबर करने पर: N² / 8 = 8N N² = 64N N = 64

N = 64 को कुल नोटबुक के सूत्र में प्रतिस्थापित करने पर: कुल नोटबुक = 8 × 64 = 512

व्याख्या

मान लीजिए कि 2002 के बाद n वर्षों की संख्या है।

n वर्षों के बाद X का मूल्य = 5.20 + 0.40n n वर्षों के बाद Y का मूल्य = 6.30 + 0.25n

प्रश्न के अनुसार, X का मूल्य Y से 0.40 अधिक होना चाहिए: (5.20 + 0.40n) − (6.30 + 0.25n) = 0.40 0.15n − 1.10 = 0.40 0.15n = 1.50 n = 10

2002 में 10 वर्ष जोड़ने पर वर्ष 2012 प्राप्त होता है।

व्याख्या

दी गई असमानता है: 1/20 < n/160 < 1/16

असमानता के सभी भागों को 160 से गुणा करने पर: 160 × (1/20) < n < 160 × (1/16) 8 < n < 10

8 और 10 के बीच एकमात्र पूर्णांक n, 9 है।

व्याख्या

चक्रवृद्धि ब्याज के तहत समान वार्षिक किश्तों के लिए, मूलधन P और किश्त राशि x निम्न सूत्र द्वारा संबंधित हैं: P = x / (1 + r/100) + x / (1 + r/100)²।

यहाँ, P = ₹2,460 और दर r = 5% है, इसलिए 1 + r/100 = 21/20।

दिए गए मानों को सूत्र में प्रतिस्थापित करने पर: 2,460 = x / (21/20) + x / (21/20)² 2,460 = x × (20/21) + x × (400/441) 2,460 = x × (420 + 400) / 441 2,460 = x × (820 / 441)

x के लिए हल करने पर: x = (2,460 × 441) / 820 = 3 × 441 = ₹1,323।

व्याख्या

प्रत्येक पद के हर का परिमेयकरण करने पर:

पहला पद = 3√2 / (√6 + √3) = 3√2(√6 - √3) / (6 - 3) = √2(√6 - √3) = 2√3 - √6

दूसरा पद = 4√3 / (√6 + √2) = 4√3(√6 - √2) / (6 - 2) = √3(√6 - √2) = 3√2 - √6

तीसरा पद = 6 / (√8 - √12) = 6 / (2√2 - 2√3) = 3 / (√2 - √3) = 3(√2 + √3) / (2 - 3) = -3√2 - 3√3

इन मानों को वापस व्यंजक में रखने पर: (2√3 - √6) - (3√2 - √6) - (-3√2 - 3√3) = 2√3 - √6 - 3√2 + √6 + 3√2 + 3√3 = 5√3

व्याख्या

कुल कार्य = 21 महिलाएँ × 40 दिन = 840 महिला-दिन कुल कार्य = 30 पुरुष × 21 दिन = 630 पुरुष-दिन

1 पुरुष द्वारा अकेले लिया गया समय = 630 दिन 1 महिला द्वारा अकेले लिया गया समय = 840 दिन

पुरुष द्वारा महिला को लिए गए दिनों का अनुपात = 630 : 840 = 3 : 4

व्याख्या

त्रिकोणमिति का उपयोग करके, उन्नयन कोण θ के साथ दूरी d से जमीन के ऊपर किसी बिंदु की ऊंचाई h = d × tan(θ) द्वारा दी जाती है।

मान लीजिए खंभे का आधार B है और दूरी AB = 100 मीटर।

कुल खंभे की ऊंचाई (शीर्ष S) = BS = AB × tan(60°) = 100 × √3 = 100 × 1.732 = 173.2 मीटर।

स्टील के हिस्से की ऊंचाई (शीर्ष R) = BR = AB × tan(45°) = 100 × 1 = 100 मीटर।

लकड़ी के हिस्से की ऊंचाई RS = BS - BR = 173.2 - 100 = 73.2 मीटर।

व्याख्या

दी गई लंबाइयों को ठीक-ठीक मापने के लिए सबसे बड़ी संभावित लंबाई ज्ञात करने के लिए, सभी तीन लंबाइयों का सेंटीमीटर में महत्तम समापवर्तक (HCF) ज्ञात करें:

4 मीटर 20 सेंटीमीटर = 420 सेंटीमीटर 31 मीटर 50 सेंटीमीटर = 3150 सेंटीमीटर 14 मीटर 70 सेंटीमीटर = 1470 सेंटीमीटर

संख्याओं का गुणनखंडन करने पर: 420 = 210 × 2 3150 = 210 × 15 1470 = 210 × 7

चूंकि 2, 15 और 7 का 1 के अलावा कोई उभयनिष्ठ गुणनखंड नहीं है, इसलिए HCF(420, 3150, 1470) = 210 सेमी।

व्याख्या

कुल बिल = निश्चित लागत + (प्रति इकाई परिवर्तनशील लागत × खपत की गई इकाइयाँ)।

प्रति इकाई परिवर्तनशील लागत = बिल में परिवर्तन / इकाइयों में परिवर्तन = (2,250 - 1,620) / (690 - 480) = 630 / 210 = ₹3 प्रति इकाई।

500 इकाइयों के लिए, जो 480 इकाइयों से 20 इकाइयाँ अधिक हैं: 500 इकाइयों का बिल = 480 इकाइयों का बिल + (20 × ₹3) = 1,620 + 60 = ₹1,680।

व्याख्या

चूंकि मूलधन और कुल साधारण ब्याज स्थिर रहते हैं, इसलिए दोनों स्थितियों में ब्याज दर और समय का गुणनफल बराबर होता है:

R₁ × T₁ = R₂ × T₂

दिए गए मानों को प्रतिस्थापित करने पर: 6 × 7 = R₂ × 5 42 = 5 × R₂ R₂ = 42 / 5 = 8.4%

व्याख्या

आवृत्ति वितरण का अंकगणितीय माध्य सूत्र माध्य = Σ(f × x) / Σf द्वारा दिया जाता है, जहाँ x दिए गए प्रेक्षणों को दर्शाता है और f उनकी संगत आवृत्तियों को दर्शाता है।

प्रेक्षणों और आवृत्तियों के गुणनफलों का योगफल ज्ञात करना: Σ(f × x) = (2 × 5) + (4 × 3) + (8 × 2) + (7 × 6) + (5 × 4) = 10 + 12 + 16 + 42 + 20 = 100

कुल आवृत्ति ज्ञात करना: Σf = 5 + 3 + 2 + 6 + 4 = 20

इन मानों को सूत्र में रखने पर माध्य = 100 / 20 = 5 प्राप्त होता है।

व्याख्या

प्रथम पद a, अंतिम पद l, और पदों की संख्या n वाली एक अंकगणितीय श्रृंखला का योग S, सूत्र S = (n / 2) × (a + l) द्वारा दिया जाता है।

श्रृंखला 25 + 26 + ... + 75 के लिए: पदों की संख्या n = 75 - 25 + 1 = 51 प्रथम पद a = 25 अंतिम पद l = 75

S = (51 / 2) × (25 + 75) = (51 / 2) × 100 = 51 × 50 = 2550

व्याख्या

कुल पीस = प्रति मीटर पीस की संख्या × कपड़े की कुल लंबाई कुल पीस = 6 × 33.5 = 201

व्याख्या

नेस्टेड वर्गमूलों को चरण दर चरण, सबसे भीतरी व्यंजक से बाहर की ओर काम करते हुए सरल करें:

√16 = 4

√(12 + 4) = √16 = 4

√(5 + 4) = √9 = 3

√(6 + 3) = √9 = 3

व्याख्या

समचतुर्भुज के विकर्ण बिंदु E पर लंबवत प्रतिच्छेद करते हैं, जिससे समकोण त्रिभुज ΔBEC बनता है जहाँ m∠BEC = 90°।

समकोण त्रिभुज ΔBEC में, दो न्यून कोणों का योग 90° होता है: m∠ECB + m∠EBC = 90° (5a + 4) + (4a + 5) = 90° 9a + 9 = 90° 9a = 81 a = 9

a = 9 को m∠EBC के व्यंजक में प्रतिस्थापित करने पर: m∠EBC = 4(9) + 5 = 41°

व्याख्या

r% की वार्षिक वृद्धि दर के साथ t वर्षों के बाद की जनसंख्या P = P₀ × (1 + r/100)ᵗ द्वारा दी जाती है।

दिया गया है वर्तमान जनसंख्या P₀ = 640000, दर r = 5%, और समय t = 2 वर्ष:

2 वर्ष बाद जनसंख्या = 640000 × (1 + 5/100)² = 640000 × (21/20)² = 640000 × 441 / 400 = 1600 × 441 = 705600

व्याख्या

दिया गया है A:B:C = 2:4:6, मान लीजिए A = 2, B = 4, और C = 6।

प्रत्येक व्यक्तिगत अनुपात की गणना: A/B = 2/4 = 1/2 B/C = 4/6 = 2/3 C/A = 6/2 = 3

इसलिए, A/B : B/C : C/A = 1/2 : 2/3 : 3।

इसे पूर्ण संख्याओं में व्यक्त करने के लिए, प्रत्येक पद को 6 से गुणा करें, जो हर 2 और 3 का लघुत्तम समापवर्त्य है: (1/2 × 6) : (2/3 × 6) : (3 × 6) = 3 : 4 : 18

व्याख्या

10 में से 3 बिंदु चुनकर बनाए जा सकने वाले त्रिभुजों की कुल संख्या: कुल त्रिभुज = 10C3 = (10 × 9 × 8) / (3 × 2 × 1) = 120

व्यास के अंतिम बिंदु A और B शेष 8 बिंदुओं को AB के प्रत्येक तरफ 4 बिंदुओं में विभाजित करते हैं। इस प्रकार, प्रत्येक बंद अर्धवृत्त (AB के एक तरफ, A और B बिंदुओं सहित) में कुल 6 बिंदु होते हैं।

त्रिभुज के AB के एक तरफ पूरी तरह से स्थित होने के लिए: पहली तरफ त्रिभुजों की संख्या = 6C3 = 20 दूसरी तरफ त्रिभुजों की संख्या = 6C3 = 20

चूंकि दो अर्धवृत्तों में केवल 2 बिंदु (A और B) उभयनिष्ठ हैं, इसलिए 3-शीर्ष वाले त्रिभुज का दोनों तरफ होना असंभव है, इसलिए कोई अतिव्यापन नहीं है।

अनुकूल त्रिभुजों की कुल संख्या = 20 + 20 = 40

प्रायिकता = 40 / 120 = 1/3

व्याख्या

मान लीजिए दो प्रेक्षण x और y हैं।

अंकगणितीय माध्य = (x + y) / 2 = 10, जिससे x + y = 20 प्राप्त होता है। ज्यामितीय माध्य = √(xy) = 5, जिससे xy = 25 प्राप्त होता है।

बीजगणितीय सर्वसमिका x² + y² = (x + y)² - 2xy का उपयोग करके:

x² + y² = 20² - 2(25) = 400 - 50 = 350।

व्याख्या

सही माध्य = पुराना माध्य + (सही मान − गलत मान) / कुल प्रेक्षण

दिए गए मानों को सूत्र में प्रतिस्थापित करने पर: सही माध्य = 22.5 + (25 − (−25)) / 20 सही माध्य = 22.5 + 50 / 20 सही माध्य = 22.5 + 2.5 = 25

व्याख्या

2 वर्षों के लिए वार्षिक रूप से चक्रवृद्धि r% की दर के लिए, शुद्ध प्रभावी ब्याज दर r₁ + r₂ + (r₁ × r₂)/100 द्वारा दी जाती है।

रफीक के लिए 15% प्रति वर्ष की दर से: शुद्ध ब्याज दर = 15 + 15 + (15 × 15)/100 = 32.25%

प्रीतम के लिए 10% प्रति वर्ष की दर से: शुद्ध ब्याज दर = 10 + 10 + (10 × 10)/100 = 21%

ब्याज दरों में अंतर = 32.25% - 21% = 11.25%

मान लीजिए प्रारंभिक निवेश P है: P का 11.25% = ₹2,250 P = (2250 × 100) / 11.25 = ₹20,000

व्याख्या

मान लीजिए तीन संख्याएँ x, y, और z हैं।

दी गई शर्तों के अनुसार: x = 2y ⇒ y = x/2 z = x/3

तीन संख्याओं का योग 253 दिया गया है: x + y + z = 253 x + x/2 + x/3 = 253

6 को सामान्य हर (common denominator) के रूप में लेते हुए: (6x + 3x + 2x) / 6 = 253 11x / 6 = 253 x = (253 × 6) / 11 x = 23 × 6 = 138

दूसरी संख्या y है: y = x / 2 = 138 / 2 = 69

व्याख्या

मान लीजिए जेसी की दक्षता प्रति दिन 5 इकाई है। चूँकि जॉन जेसी की तुलना में 40% कुशल है, जॉन की दक्षता प्रति दिन 2 इकाई है।

कुल कार्य = जॉन की दक्षता × जॉन द्वारा लिया गया समय कुल कार्य = 2 × 35 = 70 इकाई

जॉन और जेसी की संयुक्त दक्षता = 2 + 5 = 7 इकाई प्रति दिन

दोनों द्वारा एक साथ काम करने में लिया गया समय = कुल कार्य ÷ संयुक्त दक्षता = 70 ÷ 7 = 10 दिन

व्याख्या

माना दो संख्याएँ x और 2x हैं।

x और 2x का लघुत्तम समापवर्त्य (LCM) 2x है। दिया गया है कि LCM 24 है: 2x = 24 x = 12

इस प्रकार, दो संख्याएँ 12 और 24 हैं।

दोनों संख्याओं का गुणनफल = 12 × 24 = 288।

व्याख्या

प्रतिशत को एक मानक भिन्न में बदलना: 6.25% = 6.25/100 = 1/16

व्यय और कुल राशि के बीच संबंध का उपयोग करना: कुल राशि = व्यय ÷ खर्च किया गया अंश कुल राशि = 75 ÷ (1/16) = 75 × 16 = 1200

व्याख्या

मान लीजिए गंतव्य की दूरी d किमी है। सूत्र समय = दूरी ÷ गति का उपयोग करके:

पहले व्यक्ति द्वारा लिया गया समय = d / 3 घंटे दूसरे व्यक्ति द्वारा लिया गया समय = d / 3.75 = 4d / 15 घंटे

उनके बीच समय का अंतर आधा घंटा (½ घंटा) है:

(d / 3) - (4d / 15) = ½

15 को सामान्य हर के रूप में लेते हुए: (5d - 4d) / 15 = ½ d / 15 = ½ d = 15 ÷ 2 = 7.5 किमी

व्याख्या

बीजगणितीय सर्वसमिका a³ - b³ = (a - b)(a² + ab + b²) का प्रयोग करके, मान लीजिए a = 0.96 और b = 0.1।

चूंकि a × b = 0.96 × 0.1 = 0.096, व्यंजक सरल हो जाता है:

[(0.96)³ - (0.1)³] / [(0.96)² + 0.096 + (0.1)²] = 0.96 - 0.1 = 0.86

व्याख्या

साधारण ब्याज (SI) = मिश्रधन - मूलधन = 15,000 - 12,000 = 3,000

सूत्र SI = (P × R × T) / 100 का प्रयोग करके:

3,000 = (12,000 × R × 5) / 100 3,000 = 600 × R R = 3,000 / 600 = 5%

व्याख्या

योग-से-गुणनफल सर्वसमिका का प्रयोग करके: cos C - cos D = -2 sin((C + D)/2) sin((C - D)/2)

इसे cos 64° - cos 4° पर लागू करने पर: cos 64° - cos 4° = -2 sin((64° + 4°)/2) sin((64° - 4°)/2) = -2 sin 34° sin 30°

चूंकि sin 30° = ½: cos 64° - cos 4° = -2 sin 34° × ½ = -sin 34°

इसे दिए गए व्यंजक में प्रतिस्थापित करने पर प्राप्त होता है: sin 34° + cos 64° - cos 4° = sin 34° - sin 34° = 0

व्याख्या

व्यंजक के प्रत्येक पद का अलग-अलग परिमेयकरण करने पर:

पहला पद: 3√2 / (√6 - √3) = 3√2(√6 + √3) / (6 - 3) = √2(√6 + √3) = 2√3 + √6

दूसरा पद: 4√3 / (√6 - √2) = 4√3(√6 + √2) / (6 - 2) = √3(√6 + √2) = 3√2 + √6

तीसरा पद: 6 / (√8 - √12) = 6 / (2√2 - 2√3) = 3 / (√2 - √3) = 3(√2 + √3) / (2 - 3) = -3√2 - 3√3

पदों को संयोजित करने पर: (2√3 + √6) - (3√2 + √6) - (-3√2 - 3√3) = 2√3 + √6 - 3√2 - √6 + 3√2 + 3√3 = 2√3 + 3√3 = 5√3

व्याख्या

आयत की लंबाई (L) = 30 सेमी आयत की चौड़ाई (W) = ⅔ × 30 = 20 सेमी आयत का परिमाप (P) = 2 × (L + W) = 2 × (30 + 20) = 100 सेमी

चूंकि वर्ग का परिमाप आयत के समान है: वर्ग का परिमाप = 100 सेमी वर्ग की भुजा (s) = 100 / 4 = 25 सेमी वर्ग का क्षेत्रफल = s² = 25² = 625 सेमी²

व्याख्या

त्रिकोणमितीय सर्वसमिका cos A + sin A = √2 cos (45° - A) का उपयोग करके, A = 28° प्रतिस्थापित करें:

cos 28° + sin 28° = √2 cos (45° - 28°) = √2 cos 17°

यह देखते हुए कि cos 28° + sin 28° = k है, हमें प्राप्त होता है:

k = √2 cos 17°

cos 17° के लिए हल करने पर:

cos 17° = k / √2

व्याख्या

प्रथम n प्राकृतिक संख्याओं के वर्गों का योग सूत्र Sₙ = n(n + 1)(2n + 1) / 6 द्वारा दिया जाता है।

21² + 22² + 23² + ... + 30² ज्ञात करने के लिए, प्रथम 30 वर्गों के योग और प्रथम 20 वर्गों के योग के बीच का अंतर ज्ञात करें:

30 तक का योग: S₃₀ = (30 × 31 × 61) / 6 = 5 × 31 × 61 = 9455

20 तक का योग: S₂₀ = (20 × 21 × 41) / 6 = 10 × 7 × 41 = 2870

वांछित योग = 9455 - 2870 = 6585

व्याख्या

त्रिकोणमितीय सर्वसमिका का उपयोग करते हुए, यदि (1 + tan A)(1 + tan B) = 2, तो A + B = π/4 + nπ किसी भी पूर्णांक n के लिए होता है।

यहाँ, A = α और B = 4α रखने पर: α + 4α = π/4 5α = π/4 α = π/20

चूंकि π/20 दिए गए अंतराल (0, π/16) में स्थित है, इसलिए α = π/20 हल है।

व्याख्या

साधारण ब्याज (SI) = (P × R × T) / 100

यहाँ, मूलधन (P) = ₹73,000, दर (R) = 13⅓% = 40/3%, और समय (T) = 10 महीने = 10/12 वर्ष = 5/6 वर्ष।

SI = (73,000 × (40/3) × (5/6)) / 100 SI = (73,000 × 200) / (100 × 18) SI = 73,000 / 9 SI ≈ ₹8,111.11

व्याख्या

मान लीजिए f(x) = (x - a₁)² + (x - a₂)² + ... + (x - aₙ)²।

x का वह मान ज्ञात करने के लिए जो f(x) को न्यूनतम करता है, x के सापेक्ष प्रथम अवकलज को शून्य के बराबर करें:

f'(x) = 2(x - a₁) + 2(x - a₂) + ... + 2(x - aₙ) = 0 2[nx - (a₁ + a₂ + ... + aₙ)] = 0 nx = a₁ + a₂ + ... + aₙ x = (a₁ + a₂ + ... + aₙ) / n

चूंकि f''(x) = 2n > 0 है, यह क्रांतिक बिंदु वैश्विक न्यूनतम के अनुरूप है, जो दी गई संख्याओं का अंकगणितीय माध्य है।

व्याख्या

रैखिक पैमाना अनुपात 1 किमी = 0.05 सेमी है। क्षेत्रफल पैमाना अनुपात रैखिक पैमाने का वर्ग है: 1 किमी² = (0.05 सेमी)² = 0.0025 सेमी²।

नक्शे पर क्षेत्रफल = ज़मीनी क्षेत्रफल × क्षेत्रफल पैमाना नक्शे पर क्षेत्रफल = 8000 किमी² × 0.0025 सेमी²/किमी² = 20 सेमी²

व्याख्या

45 छात्रों के कुल प्रारंभिक अंक = 45 × 16.2 = 729

एक छात्र के जाने के बाद शेष 44 छात्रों के कुल अंक = 44 × 16.5 = 726 छोड़ने वाले छात्र के अंक = 729 - 726 = 3

नए छात्र के शामिल होने के बाद 45 छात्रों के कुल अंक = 45 × 16.4 = 738 शामिल होने वाले छात्र के अंक = 738 - 726 = 12

दोनों छात्रों के औसत अंक = (3 + 12) ÷ 2 = 7.5

व्याख्या

बेलनाकार पात्र में विस्थापित पानी की मात्रा पूरी तरह से डूबे हुए ठोस गोले के आयतन के बराबर होती है।

विस्थापित पानी का आयतन = गोले का आयतन π × r² × h = (4/3) × π × R³

यहाँ, बेलन की त्रिज्या r = 4 सेमी, गोले की त्रिज्या R = 3 सेमी, और h पानी के स्तर में वृद्धि है।

16π × h = (4/3) × π × 3³ 16h = 36 h = 36/16 = 9/4 सेमी

व्याख्या

बीजगणितीय सर्वसमिका a² + b² - 2ab = (a - b)² का प्रयोग करते हुए, जहाँ a = 0.2 और b = 0.02:

अंश = (0.2)² + (0.02)² - 2 × (0.2) × (0.02) = (0.2 - 0.02)² = (0.18)² = 0.0324

अंश को दिए गए हर से विभाजित करने पर: 0.0324 ÷ 0.36 = 324 ÷ 3600 = 0.09

व्याख्या

दूरी = (S₁ × S₂ / |S₁ - S₂|) × Δt

दिया गया है: S₁ = 40 किमी/घंटा S₂ = 35 किमी/घंटा Δt = 15 मिनट = 15/60 घंटे = ¼ घंटा

सूत्र में मान रखने पर: दूरी = (40 × 35 / 5) × (1/4) दूरी = (1400 / 5) × (1/4) दूरी = 280 × (1/4) = 70 किमी

व्याख्या

माना अंकित मूल्य (MP) ₹100 है।

क्रय मूल्य (CP) = 100 का 64% = ₹64 विक्रय मूल्य (SP) = MP - छूट = 100 - 12 = ₹88

लाभ = SP - CP = 88 - 64 = ₹24

प्रतिशत लाभ = (लाभ / CP) × 100 = (24 / 64) × 100 = 37.5%

व्याख्या

दो संख्याओं a और b का तृतीय समानुपाती c सूत्र c = b² / a द्वारा दिया जाता है।

सूत्र में a = 12 और b = 30 रखने पर: c = 30² / 12 = 900 / 12 = 75

व्याख्या

मान लीजिए मूल भिन्न का अंश x है। चूँकि हर अंश से 3 अधिक है, हर x + 3 है, जिससे मूल भिन्न x/(x + 3) बनती है।

जब अंश और हर दोनों में 4 की वृद्धि की जाती है, तो भिन्न (x + 4)/(x + 7) हो जाती है।

इसे 4/5 के बराबर रखने पर: (x + 4)/(x + 7) = 4/5

वज्र गुणन करने पर: 5(x + 4) = 4(x + 7) 5x + 20 = 4x + 28 x = 8

x = 8 को x/(x + 3) में प्रतिस्थापित करने पर मूल भिन्न 8/11 प्राप्त होती है।

व्याख्या

मान लीजिए कार और बाइक की लागत क्रमशः 3x और 2x है।

कार और बाइक की लागत के बीच का अंतर इस प्रकार दिया गया है: 3x - 2x = ₹15,000 x = ₹15,000

इसलिए, बाइक की लागत है: 2x = 2 × 15,000 = ₹30,000

व्याख्या

बीजगणितीय सर्वसमिका x² - y² = (x + y)(x - y) का प्रयोग करके, दिए गए योग x + y = 10 और वर्गों का अंतर x² - y² = 60 को प्रतिस्थापित करें: 60 = 10 × (x - y) x - y = 6

दो रैखिक समीकरणों x + y = 10 और x - y = 6 को जोड़ने पर 2x = 16 प्राप्त होता है, जिससे x = 8 मिलता है। x = 8 को x + y = 10 में प्रतिस्थापित करने पर y = 2 प्राप्त होता है।

व्याख्या

खोखले गोले का आयतन = (4/3)π(R³ - r³) शंकु का आयतन = (1/3)πr_c²h

खोखले गोले के लिए, बाह्य त्रिज्या R = 4 सेमी और आंतरिक त्रिज्या r = 2 सेमी। शंकु के लिए, आधार त्रिज्या r_c = 4 सेमी।

आयतन को बराबर करने पर: (4/3) × π × (4³ - 2³) = (1/3) × π × (4²) × h 4 × (64 - 8) = 16h 224 = 16h h = 14 सेमी

व्याख्या

कुल प्रतिशत = (प्राप्त कुल अंक / अधिकतम कुल अंक) × 100

तीन परीक्षाओं में प्राप्त अंक: पहली परीक्षा = 100 का 50% = 50 दूसरी परीक्षा = 130 का 60% = 78 तीसरी परीक्षा = 150 का 70% = 105

प्राप्त कुल अंक = 50 + 78 + 105 = 233 अधिकतम कुल अंक = 100 + 130 + 150 = 380

कुल प्रतिशत = (233 / 380) × 100 = 61.315% ≈ 61.32%

व्याख्या

दी गई शर्त को द्विघात समीकरण x² - 5x = -6 के रूप में लिखा जा सकता है, जो x² - 5x + 6 = 0 को सरल करता है।

इस समीकरण का गुणनखंड करने पर: (x - 2)(x - 3) = 0

इसके मूल x = 2 और x = 3 हैं। इन दो धनात्मक पूर्णांकों में से, 2 सबसे छोटी धनात्मक पूर्णांक है।

व्याख्या

वह छोटी से छोटी संख्या जो संख्याओं के एक समूह से विभाजित होने पर एक स्थिर शेषफल r देती है, निम्न सूत्र द्वारा दी जाती है: आवश्यक संख्या = ल.स.प. (दी गई संख्याएँ) + r

पहले, 6, 10, 15 और 24 का ल.स.प. ज्ञात कीजिए: 6 = 2 × 3 10 = 2 × 5 15 = 3 × 5 24 = 2³ × 3

ल.स.प.(6, 10, 15, 24) = 2³ × 3 × 5 = 120

ल.स.प. और शेषफल r = 5 को सूत्र में प्रतिस्थापित कीजिए: आवश्यक संख्या = 120 + 5 = 125