आरआरबी एनटीपीसी सीबीटी 1 2021 Mathematics प्रश्न — हल सहित

व्याख्या

अर्धगोले की त्रिज्या r = व्यास / 2 = 7 / 2 सेमी।

अर्धगोले का कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल निम्न सूत्र द्वारा दिया जाता है: कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल = 3πr²

r = 7 / 2 सेमी और π = 22 / 7 रखने पर: कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल = 3 × (22 / 7) × (7 / 2)² = 3 × (22 / 7) × (49 / 4) = (3 × 22 × 7) / 4 = 462 / 4 = 115.50 सेमी²

व्याख्या

एक पाई आरेख एक पूर्ण वृत्त का उपयोग करके एक पूर्ण डेटासेट का प्रतिनिधित्व करता है जिसे केंद्रीय क्षेत्रों में विभाजित किया गया है। चूँकि एक पूर्ण वृत्त द्वारा केंद्र पर बनाया गया कोण 360° होता है, पाई आरेख में सभी व्यक्तिगत क्षेत्रों के केंद्रीय कोणों का योग हमेशा 360° के बराबर होता है।

व्याख्या

विक्रय मूल्य = क्रय मूल्य × (100 + लाभ%) / 100

विक्रय मूल्य = 800 × (120 / 100) = 800 × 1.2 = ₹960।

व्याख्या

जब दो व्यक्ति किसी कार्य को क्रमशः 'a' और 'b' दिनों में पूरा करते हैं, तो दोनों द्वारा मिलकर कार्य पूरा करने में लिया गया समय निम्न सूत्र द्वारा दिया जाता है:

समय = (a × b) / (a + b)

a = 20 और b = 30 रखने पर:

समय = (20 × 30) / (20 + 30) = 600 / 50 = 12 दिन।

व्याख्या

5 वर्षों में कच्चे माल पर कुल व्यय = 452 + 569 + 659 + 706 + 783 = 3169 मिलियन।

5 वर्षों में वेतन पर कुल व्यय = 340 + 398 + 409 + 456 + 479 = 2082 मिलियन।

अंतर = 3169 - 2082 = 1087 मिलियन।

व्याख्या

धनात्मक भिन्नों के लिए जहाँ हर और अंश के बीच का अंतर स्थिर (यहाँ, हर - अंश = 1) है, सबसे बड़े अंश और हर वाले भिन्न का मान सबसे अधिक होता है। प्रत्येक भिन्न को 1 - (1/d) के रूप में लिखने पर, जहाँ d हर है, 15/16 बराबर 1 - 1/16 होता है। चूँकि 1 से घटाई जा रही सबसे छोटी संख्या 1/16 है, इसलिए 15/16 का मान सबसे अधिक होगा।

व्याख्या

द्विघात व्यंजक p² - 7p + 12 में p = 3 प्रतिस्थापित करें:

p² - 7p + 12 = (3)² - 7(3) + 12 = 9 - 21 + 12 = 21 - 21 = 0

व्याख्या

मान लीजिए लुप्त संख्या x है।

0.008 ÷ x = 0.8

x = 0.008 ÷ 0.8 = 8/1000 ÷ 8/10 = 1/100 = 0.01

व्याख्या

क्रय मूल्य = विक्रय मूल्य × 100 / (100 - हानि%)

SP = ₹34.80 और हानि% = 25% रखने पर:

क्रय मूल्य = 34.80 × 100 / 75 = 34.80 × 4 / 3 = 11.60 × 4 = ₹46.40

व्याख्या

1296 का वर्गमूल लेने पर: √1296 = 36

चूंकि √1296 = x² दिया गया है, हमारे पास है: x² = 36 x = √36 = 6

व्याख्या

प्रतिशत ज्ञात करने के लिए, दोनों मात्राओं को समान इकाई (ग्राम) में बदलें: 7.2 किग्रा = 7.2 × 1000 ग्राम = 7200 ग्राम

अपेक्षित प्रतिशत = (18 / 7200) × 100 = 18 / 72 = 0.25%

व्याख्या

एक ही दिशा में सापेक्ष गति = 4 किमी/घंटा - 3.5 किमी/घंटा = 0.5 किमी/घंटा।

समय = दूरी / सापेक्ष गति = 1.5 किमी / 0.5 किमी/घंटा = 3 घंटे।

व्याख्या

त्रिकोणमितीय सर्वसमिका cos(A - B) = cos A cos B + sin A sin B का प्रयोग करके:

cos 100° cos 40° + sin 100° sin 40° = cos(100° - 40°) = cos 60° = ½

व्याख्या

जब कोई व्यक्ति एक निश्चित दूरी v₁ गति से तय करता है और वही दूरी v₂ गति से लौटता है, तो दूरी d का सूत्र है:

d = (v₁ × v₂) / (v₁ + v₂) × कुल समय

v₁ = 2 किमी/घंटा, v₂ = 3 किमी/घंटा, और कुल समय = 5 घंटे रखने पर:

d = (2 × 3) / (2 + 3) × 5 = (6 / 5) × 5 = 6 किमी

व्याख्या

जो बिंदु एक रेखा खंड को तीन बराबर भागों में विभाजित करते हैं, वे उसे अंतिम बिंदुओं के सापेक्ष 1:2 और 2:1 के अनुपात में आंतरिक रूप से विभाजित करते हैं। परिणामस्वरूप, इन दो बिंदुओं को त्रिखंडन के बिंदु कहा जाता है।

व्याख्या

1 लीटर 1000 मिलीलीटर के बराबर होता है। 180 मिलीलीटर को लीटर के दशमलव भिन्न के रूप में व्यक्त करने के लिए, 180 को 1000 से विभाजित करें:

180 ÷ 1000 = 0.18

व्याख्या

माना कि x वह आवश्यक मान है जिसे घटाया जाना है।

गुणनफल = 0.527 × 2.013 = 1.060851

दी गई शर्त के अनुसार: 1.060851 - x = 1 x = 1.060851 - 1 = 0.060851

व्याख्या

कुल RTR और कुल AT के बीच सबसे कम अंतर वाला राज्य ज्ञात करने के लिए, तालिका में दिए गए कुल मानों का उपयोग करके प्रत्येक राज्य के लिए कुल AT को कुल RTR से घटाएं:

यूपी: 45158969 - 44098473 = 1060496 एचपी: 9359022 - 8428032 = 930990 पंजाब: 14860518 - 13722869 = 1137649 हरियाणा: 10358582 - 9151587 = 1206995

इन अंतरों की तुलना करने पर, एचपी का मान 930990 सबसे कम है।

व्याख्या

सभी 6 विषयों को मिलाकर सभी के लिए अधिकतम अंक = 100 + 100 + 100 + 100 + 50 + 50 = 500।

500 का 70% = 0.70 × 500 = 350 अंक। 500 का 80% = 0.80 × 500 = 400 अंक।

प्रश्न में 350 और 400 के बीच कुल अंक प्राप्त करने वाले छात्रों की संख्या पूछी गई है। पुंडिर ने 355 अंक (71%) प्राप्त किए और देवश ने 360 अंक (72%) प्राप्त किए, जिससे कुल 2 छात्रों की गणना हुई।

व्याख्या

बीजीय व्यंजकों का महत्तम समापवर्तक (म.स.प.) ज्ञात करने के लिए, उनके संख्यात्मक गुणांकों के म.स.प. को प्रत्येक सामान्य चर को उसकी निम्नतम घात तक बढ़ाकर गुणा करें:

म.स.प.(28, 70) = 14 p⁵ और p³ के बीच p की निम्नतम घात = p³ q² और q⁴ के बीच q की निम्नतम घात = q²

इनको मिलाने पर 14p³q² प्राप्त होता है।

व्याख्या

प्रिंटर मॉडल L-1100 के लिए, 2014 से 2018 तक प्रत्येक वर्ष बेची गई मात्राएँ हैं: 2014: 523 2015: 673 2016: 567 2017: 590 2018: 623

एक वर्ष में बेचे गए L-1100 प्रिंटरों की अधिकतम संख्या 673 (2015 में) है, और बेची गई न्यूनतम संख्या 523 (2014 में) है।

अंतर = अधिकतम - न्यूनतम = 673 - 523 = 150

व्याख्या

जब 1000 को 15 से विभाजित किया जाता है, तो भागफल 66 और शेषफल 10 होता है, क्योंकि 15 × 66 = 990।

1000 में जोड़ी जाने वाली सबसे छोटी संख्या जो इसे 15 से विभाज्य बनाती है, वह भाजक में से शेषफल घटाने के बराबर होती है: 15 - 10 = 5

1000 में 5 जोड़ने पर 1005 प्राप्त होता है, जो 15 से पूरी तरह विभाज्य है (1005 ÷ 15 = 67)।

व्याख्या

समय = दूरी / गति

गति को मीटर प्रति मिनट में बदलना: गति = 30 × (1000 / 60) = 500 मी/मिनट

लिया गया समय = 600 / 500 = 6/5 = 1 1/5 मिनट

व्याख्या

मान लीजिए कि मिश्रण में अल्कोहल और पानी की प्रारंभिक मात्रा क्रमशः 5x लीटर और 4x लीटर है।

जब मिश्रण में 9 लीटर पानी मिलाया जाता है, तो पानी की नई मात्रा (4x + 9) लीटर हो जाती है, जबकि अल्कोहल की मात्रा 5x लीटर ही रहती है।

दिया गया है कि अल्कोहल और पानी का नया अनुपात 4 : 5 है: 5x / (4x + 9) = 4 / 5

समीकरण को तिरछा गुणा करने पर: 25x = 16x + 36 9x = 36 x = 4

मिश्रण में अल्कोहल की मात्रा 5 × 4 = 20 लीटर है।

व्याख्या

संचालन के क्रम के लिए BODMAS नियम का उपयोग करके:

सबसे भीतरी कोष्ठक: 11 + 4 - 2 = 13 कर्ली ब्रैकेट्स: 2 × 13 = 26 स्क्वायर ब्रैकेट्स: 2 + 26 = 28 गुणा और घटाव: (2/7) × 28 - 2 = 2 × 4 - 2 = 8 - 2 = 6

व्याख्या

बेलन का वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल (CSA) = 2πrh बेलन का कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल (TSA) = 2πr(h + r)

दिया गया है, CSA / TSA = 3 / 7

(2πrh) / [2πr(h + r)] = 3 / 7 h / (h + r) = 3 / 7 7h = 3h + 3r 4h = 3r h / r = 3 / 4

व्याख्या

0.36 को भिन्न के रूप में 36/100 लिखा जाता है।

इस भिन्न को उसके सरलतम रूप में बदलने के लिए, अंश और हर दोनों को उनके सबसे बड़े सामान्य भाजक, जो कि 4 है, से विभाजित करें:

अंश = 36 ÷ 4 = 9 हर = 100 ÷ 4 = 25

इस प्रकार, सरलतम भिन्न रूप 9/25 है।

अंश और हर का योग 9 + 25 = 34 है।

व्याख्या

साधारण ब्याज (SI) = (P × R × T) / 100

जहाँ P मूलधन है, R प्रति वर्ष ब्याज दर है, और T वर्षों में समय है।

दिया गया है SI = ₹650, R = 13%, और T = 5 वर्ष:

650 = (P × 13 × 5) / 100 650 = 65P / 100 P = (650 × 100) / 65 = ₹1,000

व्याख्या

माध्यिका ज्ञात करने के लिए, दिए गए वज़नों को आरोही क्रम में व्यवस्थित करें: 61, 62, 63, 64, 65, 66, 67

चूंकि प्रेक्षणों की कुल संख्या n = 7 विषम है, माध्यिका ((n + 1) / 2)वाँ पद है, जो कि 4वाँ पद है। क्रमबद्ध डेटा में 4वाँ पद 64 किग्रा है।

व्याख्या

75% का 75% = (75 ÷ 100) × (75 ÷ 100) = 0.75 × 0.75 = 0.5625।

व्याख्या

3.14 को 10⁶ से गुणा करने पर दशमलव बिंदु को दाईं ओर छह स्थान ले जाया जाता है:

3.14 × 10⁶ = 3.14 × 1,000,000 = 3,140,000

व्याख्या

मान लीजिए आरोही क्रम में तीन संख्याएँ x, y, और z हैं।

संख्याओं का योग है: x + y + z = 53 × 3 = 159

दी गई परास और अंतर की शर्तों का उपयोग करते हुए: x = z - 28 y = x + 8 = z - 20

योग समीकरण में x और y को प्रतिस्थापित करने पर: (z - 28) + (z - 20) + z = 159 3z - 48 = 159 3z = 207 z = 69

व्याख्या

दिया गया समीकरण: √(x) ÷ √(6.25) = 2

चूंकि √(6.25) = 2.5, इसे समीकरण में प्रतिस्थापित करने पर: √(x) ÷ 2.5 = 2 √(x) = 2 × 2.5 = 5

दोनों पक्षों का वर्ग करने पर: x = 5² = 25

व्याख्या

h, k केंद्र और r त्रिज्या वाले वृत्त का मानक समीकरण (x - h)² + (y - k)² = r² है।

h = -2, k = 3, और r = 4 को प्रतिस्थापित करने पर: (x - (-2))² + (y - 3)² = 4² (x + 2)² + (y - 3)² = 16 x² + 4x + 4 + y² - 6y + 9 = 16 x² + y² + 4x - 6y + 13 = 16 x² + y² + 4x - 6y - 3 = 0

व्याख्या

मान लीजिए कार का मूल लागत मूल्य C है।

20% की हानि के बाद विक्रय मूल्य = C × (1 - 0.20) = 0.80 × C

मित्र द्वारा 30% लाभ पर बेचने के बाद अंतिम विक्रय मूल्य = 0.80 × C × (1 + 0.30) = 1.04 × C

दिया गया है कि अंतिम विक्रय मूल्य ₹58,000 है: 1.04 × C = 58,000 C = 58,000 / 1.04 = 55,769.23

निकटतम पूर्णांक मान तक पूर्णांकित करने पर ₹55,769 प्राप्त होता है।

व्याख्या

20 वस्तुओं का क्रय मूल्य (CP) = ₹16 20 वस्तुओं का विक्रय मूल्य (SP) = 20 × ₹1.50 = ₹30

लाभ = SP - CP = ₹30 - ₹16 = ₹14

लाभ प्रतिशत = (लाभ / CP) × 100 = (14 / 16) × 100 = 87.5%

व्याख्या

एक वृत्त का मानक समीकरण x² + y² + 2gx + 2fy + c = 0 है जिसका केंद्र (-g, -f) और त्रिज्या √(g² + f² - c) होती है।

पहले वृत्त x² + y² - 12x - 6y + 41 = 0 के लिए: केंद्र C₁ = (6, 3) त्रिज्या r₁ = √(36 + 9 - 41) = √4 = 2

दूसरे वृत्त x² + y² + kx + 6y - 59 = 0 के लिए: केंद्र C₂ = (-k/2, -3) त्रिज्या r₂ = √((k²/4) + 9 + 59) = √((k²/4) + 68)

केंद्रों के बीच की दूरी का वर्ग d²: d² = (6 + k/2)² + (3 + 3)² = 36 + 6k + (k²/4) + 36 = (k²/4) + 6k + 72

दो वृत्तों के बीच का कोण θ निम्न समीकरण को संतुष्ट करता है: cos θ = |r₁² + r₂² - d²| / (2 r₁ r₂)

चूंकि θ = 45°, cos 45° = 1/√2: r₁² + r₂² - d² = 4 + ((k²/4) + 68) - ((k²/4) + 6k + 72) = -6k

1/√2 = |-6k| / (2 × 2 × √((k²/4) + 68)) 1/√2 = 3|k| / √(k² + 272)

दोनों पक्षों का वर्ग करने पर: 1/2 = 9k² / (k² + 272) 18k² = k² + 272 17k² = 272 k² = 16 k = ± 4

व्याख्या

त्रिकोणमितीय सर्वसमिका sin²θ + cos²θ = 1 का उपयोग करके, व्यंजक को इस प्रकार पुनः लिखा जा सकता है:

9 sin²θ + 10 cos²θ = 9(sin²θ + cos²θ) + cos²θ = 9 + cos²θ

चूंकि किसी भी वास्तविक कोण θ के लिए cos²θ का न्यूनतम मान 0 होता है, इसलिए 9 + cos²θ का न्यूनतम मान 9 + 0 = 9 है।

व्याख्या

दिया गया है 4A = 5B, तो अनुपात A/B = 5/4 है। दिया गया है 6B = 7C, तो अनुपात B/C = 7/6 है।

दोनों अनुपातों को गुणा करने पर A:C प्राप्त होता है: A/C = (A/B) × (B/C) = (5/4) × (7/6) = 35/24

व्याख्या

बीजगणितीय सर्वसमिका (a + b)² = a² + b² + 2ab का उपयोग करके विस्तार करने पर:

(√5 + √7)² = (√5)² + (√7)² + 2(√5)(√7) = 5 + 7 + 2√35 = 12 + 2√35

चूंकि 35 एक पूर्ण वर्ग नहीं है, √35 एक अपरिमेय संख्या है। एक परिमेय संख्या (12) और एक अपरिमेय संख्या (2√35) का योग एक अपरिमेय संख्या होती है।

व्याख्या

दिए गए समीकरण 2xy cos θ + (x² - y²) sin θ = x² + y² को cos θ से विभाजित करने पर: 2xy + (x² - y²) tan θ = (x² + y²) sec θ

दोनों पक्षों का वर्ग करने और sec² θ = 1 + tan² θ प्रतिस्थापित करने पर: [(x² - y²) tan θ + 2xy]² = (x² + y²)² (1 + tan² θ)

विस्तार करने और समान पदों को एकत्रित करने पर: [(x² + y²)² - (x² - y²)²] tan² θ - 4xy(x² - y²) tan θ + [(x² + y²)² - 4x²y²] = 0

बीजगणितीय सर्वसमिकाओं (x² + y²)² - (x² - y²)² = 4x²y² और (x² + y²)² - 4x²y² = (x² - y²)² का उपयोग करने पर: 4x²y² tan² θ - 4xy(x² - y²) tan θ + (x² - y²)² = 0

यह एक पूर्ण वर्ग में सरल हो जाता है: [2xy tan θ - (x² - y²)]² = 0

वर्गमूल लेने पर: 2xy tan θ = x² - y² tan θ = (x² - y²) / (2xy)

व्याख्या

व्यंजक में वर्गमूलों का मूल्यांकन: √144 = 12 √196 = 14

इन मानों को दिए गए व्यंजक में प्रतिस्थापित करने पर: (12/7) × (14/12) × (7/14)

अंश और हर में सामान्य पदों को रद्द करने पर: (12 × 14 × 7) / (7 × 12 × 14) = 1

व्याख्या

प्रत्येक भिन्न को उसके दशमलव मान में परिवर्तित करने पर:

2/9 ≈ 0.222 3/8 = 0.375 4/9 ≈ 0.444 5/9 ≈ 0.555 8/11 ≈ 0.727

इन मानों को सबसे छोटे से सबसे बड़े क्रम में व्यवस्थित करने पर 0.222 < 0.375 < 0.444 < 0.555 < 0.727 प्राप्त होता है, जो 2/9 < 3/8 < 4/9 < 5/9 < 8/11 के संगत है।

व्याख्या

माना दो संख्याएँ 2x और 3x हैं, जहाँ x उनका महत्तम समापवर्तक (HCF) है।

चूंकि 2 और 3 सह-अभाज्य हैं, इसलिए 2x और 3x का LCM इस प्रकार दिया जाता है: LCM = 2 × 3 × x = 6x

दिया गया है कि LCM = 120: 6x = 120 x = 20

दोनों संख्याओं में सबसे छोटी संख्या 2x = 2 × 20 = 40 है।

व्याख्या

कार्य-दर सूत्र का उपयोग करके: 1 / राजू का समय = (1 / संयुक्त समय) - (1 / रंगा का समय)

दिए गए मानों को प्रतिस्थापित करने पर: 1 / राजू का समय = (1 / 6) - (1 / 18) = (3 - 1) / 18 = 2 / 18 = 1 / 9

व्युत्क्रम लेने पर राजू का समय 9 दिन आता है।

व्याख्या

45 को 0.09 से विभाजित करने की समस्या को दशमलव 0.09 को भिन्न में बदलकर हल किया जा सकता है:

45 ÷ 0.09 = 45 ÷ (9/100) = 45 × (100/9) = 5 × 100 = 500

व्याख्या

गति = दूरी ÷ समय = 15.5 किमी ÷ 5 घंटे = 3.1 किमी/घंटा

6 घंटे में तय की गई दूरी = गति × समय = 3.1 किमी/घंटा × 6 घंटे = 18.6 किमी

व्याख्या

किसी संख्या में किसी अंक का स्थानीय मान, अंक को उसके स्थान मान से गुणा करके निकाला जाता है। संख्या 76897 में, दाएँ से बाएँ गिनने पर, अंक 8 सैकड़े के स्थान पर है:

स्थानीय मान = अंक × स्थान मान = 8 × 100 = 800

व्याख्या

मानक त्रिकोणमितीय मान हैं: sin 90° = 1 tan 45° = 1 cosec 90° = 1

इन मानों को दिए गए व्यंजक में प्रतिस्थापित करने पर: sin 90° + tan 45° + cosec 90° = 1 + 1 + 1 = 3

व्याख्या

सबसे छोटा भिन्न ज्ञात करने के लिए, प्रत्येक भिन्न को उसके अनुमानित दशमलव रूप में बदलें:

11/12 ≈ 0.916 9/11 ≈ 0.818 10/14 ≈ 0.714 8/13 ≈ 0.615

दशमलव मानों की तुलना करने पर पता चलता है कि 0.615 सबसे कम मान है, जिससे 8/13 सबसे छोटा भिन्न बनता है।