आरआरबी एनटीपीसी सीबीटी 1 2021 Mathematics प्रश्न — हल सहित

व्याख्या

√7 = 2.6 को सीधे व्यंजक में प्रतिस्थापित करें:

अंश = 5 × √7 = 5 × 2.6 = 13

हर = 4 × √7 - 0.4 = (4 × 2.6) - 0.4 = 10.4 - 0.4 = 10

मान = 13 / 10 = 1.3

व्याख्या

कुल कार्य 60 इकाई है (10, 12 और 15 का लघुत्तम समापवर्त्य)।

रामू और सोमू का संयुक्त दैनिक कार्य = 60 / 10 = 6 इकाई सोमू और धामू का संयुक्त दैनिक कार्य = 60 / 12 = 5 इकाई धामू और रामू का संयुक्त दैनिक कार्य = 60 / 15 = 4 इकाई

इन सबको जोड़ने पर 2 × (रामू + सोमू + धामू) = 6 + 5 + 4 = 15 इकाई प्रति दिन प्राप्त होता है।

रामू, सोमू और धामू का एक साथ दैनिक कार्य = 15 / 2 = 7.5 इकाई।

कार्य को एक साथ पूरा करने में लिया गया समय = 60 / 7.5 = 8 दिन।

व्याख्या

सबसे पहले, ध्यान दें कि y, x का व्युत्क्रम है, इसलिए xy = 1।

x और y का योग: x + y = [(√5 + 1)² + (√5 - 1)²] / [(√5 - 1)(√5 + 1)] x + y = [2((√5)² + 1²)] / [5 - 1] x + y = 2(5 + 1) / 4 = 12 / 4 = 3

बीजगणितीय सर्वसमिका x² + y² = (x + y)² - 2xy का प्रयोग करके: x² + y² = 3² - 2(1) = 9 - 2 = 7

इसे दिए गए व्यंजक में प्रतिस्थापित करने पर: x² + y² - 4 = 7 - 4 = 3

व्याख्या

n भुजाओं वाले बहुभुज के आंतरिक कोणों का योग सूत्र (n - 2) × 180° द्वारा दिया जाता है। एक चतुर्भुज के लिए, n = 4:

कोण योग = (4 - 2) × 180° = 2 × 180° = 360°

वैकल्पिक रूप से, एक विकर्ण खींचने से कोई भी चतुर्भुज दो त्रिभुजों में विभाजित हो जाता है। चूँकि त्रिभुज में कोणों का योग 180° होता है, इसलिए चतुर्भुज का कुल कोण योग 2 × 180° = 360° होता है।

व्याख्या

त्रिकोणमितीय सर्वसमिका cos² θ = 1 - sin² θ का प्रयोग करके, sin θ = 4/5 रखने पर:

cos² θ = 1 - (4/5)² = 1 - 16/25 = 9/25 cos θ = ±√(9/25) = ±3/5

चूंकि sin θ धनात्मक है और θ प्रथम चतुर्थांश में स्थित नहीं है, इसलिए θ को दूसरे चतुर्थांश में होना चाहिए जहाँ साइन धनात्मक और कोसाइन ऋणात्मक होता है। अतः, cos θ = -3/5।

व्याख्या

बिंदु A और बिंदु B के बीच कुल दूरी = गति × समय = 104 × 7 = 728 किमी।

पहले 4 घंटों में तय की गई दूरी = 118 × 4 = 472 किमी।

शेष दूरी = 728 - 472 = 256 किमी।

चूंकि कुल लक्ष्य समय 8 घंटे है और 4 घंटे पहले ही बीत चुके हैं, इसलिए शेष उपलब्ध समय 8 - 4 = 4 घंटे है।

शेष यात्रा के लिए आवश्यक औसत गति = 256 / 4 = 64 किमी/घंटा।

व्याख्या

प्रतिशत = (दिया गया समय / एक दिन में कुल समय) × 100%

चूंकि 1 दिन = 24 घंटे: प्रतिशत = (3 / 24) × 100% = (1 / 8) × 100% = 12.5% = 12 ½ %

व्याख्या

भिन्नों का म.स.प. = (अंशों का म.स.प.) / (हरों का ल.स.प.)

भिन्नों 1/2, 2/3, 3/4, और 4/5 के लिए:

अंशों (1, 2, 3, 4) का म.स.प. = 1 हरों (2, 3, 4, 5) का ल.स.प. = 60

म.स.प. = 1/60

व्याख्या

मान लीजिए 1 कलम का क्रय मूल्य C है और 1 कलम का विक्रय मूल्य S है।

दिया गया है: 12 × C = 8 × S S / C = 12 / 8 = 3 / 2 = 1.5

प्रतिशत लाभ = [(S - C) / C] × 100 प्रतिशत लाभ = (1.5 - 1) × 100 = 50%

व्याख्या

x का 10% = y का 15%

(10/100) × x = (15/100) × y

10 × x = 15 × y

x / y = 15 / 10 = 3 / 2

x : y = 3 : 2

व्याख्या

पाई आरेख का भिन्न = त्रिज्यखंड का कोण / कुल कोण

दिए गए मानों को प्रतिस्थापित करने पर: भिन्न = 135° / 360° = 3/8

व्याख्या

किसी फलन का डोमेन उन सभी संभावित इनपुट मानों का समुच्चय होता है जिनके लिए फलन परिभाषित होता है। साइन फलन sin(x) प्रत्येक वास्तविक कोण x के लिए परिभाषित होता है, चाहे वह धनात्मक, ऋणात्मक या शून्य हो, क्योंकि इकाई वृत्त पर किसी भी परिमाण के कोण को दर्शाया जा सकता है। परिणामस्वरूप, सभी वास्तविक संख्याओं का समुच्चय, जिसे R द्वारा दर्शाया जाता है, साइन फलन के डोमेन का गठन करता है।

व्याख्या

योग पर गुणन के वितरण नियम को लागू करके, a × c + b × c = (a + b) × c:

4.6 × 13.5 + 5.4 × 13.5 = (4.6 + 5.4) × 13.5 = 10 × 13.5 = 135

व्याख्या

1 घंटा = 60 मिनट × 60 सेकंड = 3600 सेकंड।

यह ज्ञात करने के लिए कि 1 सेकंड घंटे का कितना दशमलव भाग है, 1 को 3600 से विभाजित करें: 1 / 3600 = 0.0002777... ≈ 0.00027

व्याख्या

प्रथम n धनात्मक सम पूर्णांकों का गुणनफल 2ⁿ × n! द्वारा दिया जाता है।

प्रथम छह सम संख्याओं (2, 4, 6, 8, 10, 12) के लिए, n = 6:

गुणनफल = 2⁶ × 6! गुणनफल = 64 × 720 = 46080

वैकल्पिक रूप से, सीधे गणना करके: 2 × 4 × 6 × 8 × 10 × 12 = 46080

व्याख्या

मिश्रित भिन्नों को विषम भिन्नों में बदलें: 5 3/9 = 5 1/3 = 16/3 3 1/4 = 13/4 7 5/16 = 117/16

अब, BODMAS नियमों का पालन करते हुए दिए गए व्यंजक को फिर से लिखें: (16/3) ÷ (13/4) × (117/16) + (7/8) × 16

व्युत्क्रम लेकर विभाजन को गुणन में बदलें: = (16/3) × (4/13) × (117/16) + (7/8) × 16

पहले पद को सरल करें: = (16/16) × (117/39) × 4 = 1 × 3 × 4 = 12

दूसरे पद को सरल करें: = (7/8) × 16 = 14

परिणामों को जोड़ें: = 12 + 14 = 26

व्याख्या

एक समांतर चतुर्भुज में, सम्मुख कोण बराबर होते हैं। चूंकि ABCD समांतर चतुर्भुज में A और C सम्मुख कोण हैं, ∠A = ∠C।

x + 20° = 3x - 10° 3x - x = 20° + 10° 2x = 30° x = 15°

व्याख्या

दिया गया है a = √4 = 2।

व्यंजक के प्रत्येक पद का मूल्यांकन: √9 = 3 25a = 25 × 2 = 50 √64 = 8

इन मानों को व्यंजक में प्रतिस्थापित करने पर: √9 + 25a + √64 = 3 + 50 + 8 = 61

व्याख्या

चयन का अधिकतम प्रतिशत वाले स्कूल का पता लगाने के लिए, प्रत्येक स्कूल के लिए चयन प्रतिशत की गणना निम्न सूत्र का उपयोग करके करें:

चयन प्रतिशत = (चयनित छात्रों की संख्या / उपस्थित छात्रों की संख्या) × 100%

ABC: (800 / 1000) × 100 = 80% EFG: (1050 / 1200) × 100 = 87.5% IJK: (1350 / 1500) × 100 = 90% MNO: (900 / 1100) × 100 = 81.82% QRS: (750 / 900) × 100 = 83.33%

स्कूल IJK में 90% के साथ उच्चतम चयन प्रतिशत प्राप्त हुआ है।

व्याख्या

मीनार की ऊंचाई = प्रेक्षक की ऊंचाई + (दूरी × tan θ)

दिया गया है: प्रेक्षक की ऊंचाई = 1.5 मीटर मीनार से दूरी = 28.5 मीटर उन्नयन कोण θ = 45°

आँख के स्तर से ऊपर मीनार की ऊंचाई = 28.5 × tan(45°) = 28.5 × 1 = 28.5 मीटर

मीनार की कुल ऊंचाई = 28.5 मीटर + 1.5 मीटर = 30 मीटर

व्याख्या

वर्ष 2013 में परिवहन पर व्यय = 60 लाख

सभी चार वर्षों (2012 से 2015) के लिए परिवहन पर कुल व्यय = 48 + 60 + 71 + 82 = 261 लाख

वांछित अनुपात = 60 : 261 = 20 : 87

व्याख्या

माना कि सार्व गुणनखंड (common multiplier) x है, तो दो संख्याएँ 3x और 4x होंगी। चूँकि 3 और 4 सह-अभाज्य (co-prime) हैं, उनका लघुत्तम समापवर्त्य (LCM) 3 × 4 × x = 12x होगा।

दिया गया है कि 12x = 180, तो x का मान 180 / 12 = 15 प्राप्त होता है।

बड़ी संख्या 4x = 4 × 15 = 60 है।

व्याख्या

अर्ध-वार्षिक रूप से संयोजित ब्याज के लिए, वार्षिक दर को आधा कर दिया जाता है और अर्ध-वर्षों में समय अवधि को दोगुना कर दिया जाता है: अर्ध-वर्ष की दर, r = 10% / 2 = 5% अर्ध-वर्षों की संख्या, n = 1.5 × 2 = 3

राशि (A) = P × (1 + r/100)ⁿ A = 2800 × (1 + 5/100)³ A = 2800 × (21/20)³ A = 2800 × 9261 / 8000 = 3241.35

चक्रवृद्धि ब्याज = राशि − मूलधन चक्रवृद्धि ब्याज = 3241.35 − 2800 = 441.35

व्याख्या

एक शून्य आव्यूह, जिसे शून्य आव्यूह भी कहा जाता है, को एक ऐसे आव्यूह के रूप में परिभाषित किया जाता है जिसमें प्रत्येक अवयव शून्य होता है। यह किसी भी आयाम m × n का हो सकता है, जहाँ प्रत्येक प्रविष्टि aᵢⱼ = 0 सभी i और j के लिए होती है।

व्याख्या

x और y का मूल्यांकन: x = (√9 + 1) / (√9 - 1) = (3 + 1) / (3 - 1) = 4 / 2 = 2 y = (√16 + 1) / (√16 - 1) = (4 + 1) / (4 - 1) = 5 / 3

इन मानों को x² - y² में प्रतिस्थापित करने पर: x² - y² = 2² - (5 / 3)² = 4 - 25 / 9 = (36 - 25) / 9 = 11 / 9

व्याख्या

BODMAS नियम का उपयोग करके, पहले आंतरिक पदों को सरल करें:

सबसे पहले, वर्ग कोष्ठक व्यंजक का मूल्यांकन करें: 3 - 2 = 1 6 + 8 × 1 = 14 3/7 × 14 = 6

दूसरा, कर्ली कोष्ठक व्यंजक का मूल्यांकन करें: 1/5 ÷ 7/25 = 1/5 × 25/7 = 5/7 3/7 + 4/14 = 3/7 + 2/7 = 5/7 5/7 - 5/7 = 0

सभी पदों को मिलाकर: 1 + 6 + 0 = 7

व्याख्या

प्रत्येक किनारे के साथ छोटे घनों की संख्या (n) = बड़े घन की भुजा / छोटे घन की भुजा = 15 / 3 = 5.

छोटे घनों की कुल संख्या = n³ = 5³ = 125।

व्याख्या

मान लीजिए एक कुर्सी की कीमत C और एक मेज की कीमत T है।

दी गई जानकारी से: 2C + T = 880 C + 2T = 980

दोनों समीकरणों को जोड़ने पर: 3C + 3T = 1860 C + T = 620

दूसरे समीकरण में से पहले समीकरण को घटाने पर: T - C = 100

इन दोनों समीकरणों को जोड़ने पर: 2T = 720 T = 360

C + T = 620 में T = 360 रखने पर: C = 620 - 360 = 260

प्रत्येक कुर्सी की कीमत 260 और प्रत्येक मेज की कीमत 360 है।

व्याख्या

जब संख्याओं को एक सरल अनुपात a : b : c के रूप में व्यक्त किया जाता है, जहाँ पद सह-अभाज्य होते हैं, तो प्रत्येक वास्तविक संख्या को उसके अनुपात पद को म.स.प. से गुणा करके प्राप्त किया जाता है।

चूंकि 1, 2 और 3 सह-अभाज्य हैं, इसलिए सामान्य गुणक स्वयं म.स.प. है, जो कि 15 है।

अनुपात 1 : 2 : 3 के प्रत्येक पद को 15 से गुणा करने पर प्राप्त होता है: 1 × 15 = 15 2 × 15 = 30 3 × 15 = 45

व्याख्या

अंकित मूल्य = लागत / (1 - कमीशन दर)

दिए गए मानों को प्रतिस्थापित करने पर: अंकित मूल्य = 9090 / (1 - 0.10) = 9090 / 0.90 = 10,100.00

व्याख्या

अनुपातों को दशमलव रूप में बदलने पर: 15/28 ≈ 0.536 5/18 ≈ 0.278 13/21 ≈ 0.619 19/27 ≈ 0.704

दशमलव मानों की तुलना करने पर पता चलता है कि 19/27 (≈ 0.704) इनमें सबसे बड़ा मान है।

व्याख्या

माध्यिका ज्ञात करने के लिए, दिए गए डेटासेट को आरोही क्रम में व्यवस्थित करें: 2, 2, 3, 5, 6, 7, 9, 10, 11।

अवलोकनों की कुल संख्या n = 9 है। चूँकि n विषम है, माध्यिका ((n + 1) / 2)-वें पद के सूत्र द्वारा दी जाती है, जो 5वें पद के अनुरूप है।

क्रमित सूची में 5वाँ मान 6 है।

व्याख्या

चौथे चतुर्थांश में एक कोण के लिए न्यूनीकरण सूत्र sin(2π - θ) = -sin(θ) का उपयोग करके:

sin(5π/3) = sin(2π - π/3) = -sin(π/3)

चूंकि sin(π/3) = √3/2 है, इस मान को प्रतिस्थापित करने पर: sin(5π/3) = -√3/2

व्याख्या

समीकरण √(5ⁿ) = 5 के दोनों पक्षों का वर्ग करने पर:

5ⁿ = 5²

चूंकि दोनों पक्षों के आधार समान हैं, इसलिए घातांकों को सीधे बराबर करने पर n = 2 प्राप्त होता है।

व्याख्या

मान लीजिए दो संख्याएँ 5x और 3x हैं।

5x + 3x = 560 8x = 560 x = 70

दोनों संख्याओं में से छोटी संख्या 3x के संगत है: 3 × 70 = 210

व्याख्या

वापसी की गति = 50 + (50 का 40%) = 70 किमी/घंटा

जब दो अलग-अलग गति v₁ और v₂ पर समान दूरियाँ तय की जाती हैं, तो औसत गति इस प्रकार दी जाती है: औसत गति = (2 × v₁ × v₂) / (v₁ + v₂)

v₁ = 50 किमी/घंटा और v₂ = 70 किमी/घंटा रखने पर: औसत गति = (2 × 50 × 70) / (50 + 70) = 7000 / 120 = 58.33 किमी/घंटा

व्याख्या

एक फलन f(x) आवर्ती कहलाता है जिसका आवर्तकाल T > 0 है, यदि T वह सबसे छोटी धनात्मक वास्तविक संख्या है जिसके लिए उसके प्रांत में सभी x के लिए f(x + T) = f(x) होता है। कोसाइन फलन के लिए, cos(x + 2π) = cos x सभी वास्तविक संख्याओं x के लिए सत्य है, और 2π वह सबसे छोटी धनात्मक मान है जिसके लिए यह समानता सार्वभौमिक रूप से सत्य है।

व्याख्या

जब व्यक्तिगत समय (x) और संयुक्त समय (y) दिया गया हो, तो दूसरे व्यक्ति द्वारा अकेले काम करने में लगने वाला समय निम्न सूत्र का उपयोग करके गणना की जाती है: समय = (x × y) / (x - y)

दिया गया है x = 6 दिन और y = 4 दिन: समय = (6 × 4) / (6 - 4) = 24 / 2 = 12 दिन

वैकल्पिक रूप से, LCM विधि का उपयोग करके: मान लीजिए कुल काम = LCM(6, 4) = 12 इकाई गिरी की दक्षता = 12 / 6 = 2 इकाई/दिन संयुक्त दक्षता = 12 / 4 = 3 इकाई/दिन सहेली की दक्षता = 3 - 2 = 1 इकाई/दिन

सहेली द्वारा अकेले लिया गया समय = 12 / 1 = 12 दिन

व्याख्या

आवश्यक टाइलों की संख्या = (लंबाई × चौड़ाई) ÷ (टाइल की भुजा)²

रसोई के आयामों को मीटर से सेंटीमीटर में बदलें: लंबाई = 2.4 मीटर = 240 सेमी चौड़ाई = 1.6 मीटर = 160 सेमी

रसोई के फर्श का क्षेत्रफल = 240 सेमी × 160 सेमी = 38,400 सेमी² एक वर्गाकार टाइल का क्षेत्रफल = 10 सेमी × 10 सेमी = 100 सेमी²

आवश्यक टाइलों की संख्या = 38,400 ÷ 100 = 384

व्याख्या

आवृत्ति बहुभुज (frequency polygon) मात्रात्मक डेटा का एक ग्राफिकल निरूपण है जिसे प्रत्येक वर्ग अंतराल की बारंबारता को उसके मध्यबिंदु (या वर्ग चिह्न) पर प्लॉट करके बनाया जाता है। मध्यबिंदुओं को क्षैतिज अक्ष पर और संगत बारंबारताओं को ऊर्ध्वाधर अक्ष पर अंकित किया जाता है, जिसके बाद लगातार बिंदुओं को सीधी रेखा खंडों से जोड़ा जाता है।

व्याख्या

BODMAS नियम का प्रयोग करके, कोष्ठकों के अंदर संक्रियाओं को सबसे अंदर से सबसे बाहर के क्रम में हल करें:

सबसे अंदर के कोष्ठक: 10 × ½ = 5 मंजिले कोष्ठक: 8 - 5 = 3 वर्ग कोष्ठक: 6 ÷ 3 × 3 = 2 × 3 = 6 अंतिम संक्रिया: 18 - 6 = 12

व्याख्या

मान लीजिए अभीष्ट संख्या x है।

दी गई शर्त के अनुसार: (3/4)x - (1/3)x = 50

बायां पक्ष में भिन्नों को घटाने पर: (9/12 - 4/12)x = 50 (5/12)x = 50 x = (50 × 12) / 5 x = 120

व्याख्या

आधारभूत समानुपातिकता प्रमेय (थेल्स प्रमेय) के अनुसार, यदि एक त्रिभुज की एक भुजा के समानांतर एक रेखा खींची जाती है, तो वह अन्य दो भुजाओं को समान अनुपात में विभाजित करती है। चूँकि PQ, AB के समानांतर है और P, BC पर तथा Q, CA पर स्थित है:

CP / PB = CQ / QA

CQ / QA = ⅓ और CP = 4 रखने पर:

4 / PB = ⅓ PB = 12

भुजा BC की कुल लंबाई है:

BC = CP + PB = 4 + 12 = 16

व्याख्या

दो प्रतिच्छेदी वृत्तों के बीच का कोण उनके प्रतिच्छेदन बिंदु पर उनकी स्पर्शरेखाओं के बीच का कोण होता है। दो वृत्तों को लांबिक (orthogonal) तब कहा जाता है जब ये स्पर्शरेखाएँ समकोण (90°) पर प्रतिच्छेद करती हैं। दो लांबिक वृत्तों के प्रतिच्छेदन बिंदु पर, एक वृत्त की त्रिज्या दूसरे वृत्त की स्पर्शरेखा होती है।

व्याख्या

BODMAS नियम के अनुसार, 'का' (of) संक्रिया का महत्व भाग (division) संक्रिया से पहले होता है।

सबसे पहले, भाग चिह्न के दोनों ओर के व्यंजकों का मूल्यांकन करें: 860% का 50 = (860 / 100) × 50 = 430 50% का 860 = (50 / 100) × 860 = 430

अब, भाग संक्रिया करें: 430 ÷ 430 = 1

व्याख्या

21.707 में वह संख्या ज्ञात करने के लिए जिसे जोड़ने पर 29.053 प्राप्त हो, 21.707 को 29.053 से घटाएं:

29.053 - 21.707 = 7.346

व्याख्या

विक्रय मूल्य = मुद्रित मूल्य × (1 - d₁/100) × (1 - d₂/100)

दिए गए मानों को प्रतिस्थापित करने पर: विक्रय मूल्य = 200 × (1 - 30/100) × (1 - 20/100) = 200 × 0.70 × 0.80 = 200 × 0.56 = ₹112

व्याख्या

सबसे पहले, आंतरिक वर्गमूल की गणना करें: √2401 = 49

इसे व्यंजक में वापस प्रतिस्थापित करें: √(176 + 49) = √225 = 15

व्याख्या

एक अनुपात a : b :: c : d में, चरम पदों का गुणनफल मध्य पदों के गुणनफल के बराबर होता है (a × d = b × c)।

दिए गए मानों को प्रतिस्थापित करने पर: 0.75 × 8 = 5 × x 6 = 5x x = 6 ÷ 5 = 1.20

व्याख्या

बीजगणितीय सर्वसमिका a² - b² = (a - b)(a + b) का प्रयोग करके:

अंश = 4.2² - 1.9² = (4.2 - 1.9) × (4.2 + 1.9) = 2.3 × 6.1

हर = 2.3 × 6.1

अंश को हर से विभाजित करने पर: (2.3 × 6.1) / (2.3 × 6.1) = 1