आरआरबी एनटीपीसी सीबीटी 1 2021 Mathematics प्रश्न — हल सहित

व्याख्या

मान लीजिए कि अभीष्ट पूर्ण संख्या x है। दी गई शर्त के अनुसार: x का 60% > 6 (60 / 100) × x > 6 0.6 × x > 6 x > 6 / 0.6 x > 10

चूंकि x 10 से बड़ी एक पूर्ण संख्या होनी चाहिए, इसलिए 11 वह सबसे छोटी पूर्ण संख्या है जो इस शर्त को पूरा करती है।

व्याख्या

2 वर्षों की अवधि के लिए चक्रवृद्धि ब्याज और साधारण ब्याज के बीच का अंतर सूत्र D = P × (r / 100)² द्वारा दिया जाता है, जहाँ D अंतर है, P मूल राशि है, और r ब्याज की वार्षिक दर है।

D = 25 और r = 5 रखने पर: 25 = P × (5 / 100)² 25 = P × (1 / 20)² 25 = P / 400 P = 25 × 400 = 10,000

व्याख्या

प्रत्येक जोड़ी द्वारा एक दिन में किया गया कार्य है: (X + Y) का 1-दिन का कार्य = ⅓ (Y + Z) का 1-दिन का कार्य = ⅙ (X + Z) का 1-दिन का कार्य = ⅑

इन कार्य दरों को जोड़ने पर: 2(X + Y + Z) का 1-दिन का कार्य = ⅓ + ⅙ + ⅑ = (6 + 3 + 2)/18 = 11/18

3 से भाग देने पर तीनों का संयुक्त 1-दिन का कार्य दर प्राप्त होता है: (X + Y + Z) का 1-दिन का कार्य = 11/36

व्युत्क्रम लेने पर कार्य को एक साथ समाप्त करने में लगने वाला कुल समय प्राप्त होता है: समय = 36/11 दिन

व्याख्या

8 संख्याओं का योग = 8 × 37 = 296

जब एक संख्या को हटा दिया जाता है, तो 7 संख्याएँ शेष रहती हैं और नया माध्य 37 - 2 = 35 हो जाता है।

शेष 7 संख्याओं का योग = 7 × 35 = 245

हटाई गई संख्या = 8 संख्याओं का योग - 7 संख्याओं का योग = 296 - 245 = 51

व्याख्या

संख्या 786392 में: 8 का स्थानीय मान = 8 × 10000 = 80000 6 का स्थानीय मान = 6 × 1000 = 6000

अंतर = 80000 - 6000 = 74000

व्याख्या

विजेता दल पार्टी D है जिसके पास 54 वोट हैं। पार्टी C और अन्य के कुल संयुक्त वोट 29 + 21 = 50 वोट हैं। चूँकि 50, 54 से कम है, इस समूह के पास पार्टी D से कम वोट हैं और यह उसे हरा नहीं सकता।

व्याख्या

NOTA और अन्य के कुल संयुक्त वोट = 17 + 21 = 38 वोट।

इन 38 वोटों को समान रूप से विभाजित करने पर पार्टी B और पार्टी C में से प्रत्येक को 19 अतिरिक्त वोट मिलते हैं: पार्टी B = 37 + 19 = 56 वोट पार्टी C = 29 + 19 = 48 वोट

सभी पार्टियों में अद्यतन वोट गणना इस प्रकार होगी: पार्टी B = 56 वोट पार्टी D = 54 वोट पार्टी C = 48 वोट पार्टी F = 39 वोट

पार्टी B 56 वोटों से जीतती है। दूसरे स्थान पर पार्टी D 54 वोटों के साथ है।

जीत का अंतर = 56 - 54 = 2 वोट।

व्याख्या

x = 2 + √5 के लिए, 1/x का परिमेयकरण करने पर 1 / (√5 + 2) = (√5 - 2) / (5 - 4) = √5 - 2 प्राप्त होता है।

x में से 1/x घटाने पर: x - 1/x = (2 + √5) - (√5 - 2) = 4

घन लेने पर: (x - 1/x)³ = 4³ = 64

व्याख्या

दो संख्याओं के लघुत्तम समापवर्त्य (LCM) और महत्तम समापवर्तक (HCF) का गुणनफल स्वयं संख्याओं के गुणनफल के बराबर होता है: x × y = LCM × HCF = 28

दो संख्याओं के बीच का अंतर इस प्रकार दिया गया है: x - y = 3

बीजगणितीय सर्वसमिका (x + y)² = (x - y)² + 4xy का उपयोग करके: (x + y)² = 3² + 4 × 28 = 9 + 112 = 121 x + y = 11

रैखिक समीकरणों x + y = 11 और x - y = 3 को हल करने पर x = (11 + 3) / 2 = 7 और y = (11 - 3) / 2 = 4 प्राप्त होता है।

व्याख्या

प्रायिकता के योग प्रमेय द्वारा: P(A ∩ B) = P(A) + P(B) - P(A ∪ B)

दिए गए मानों को प्रतिस्थापित करने पर: P(A ∩ B) = 1/3 + 1/4 - 1/2 = 7/12 - 6/12 = 1/12

सप्रतिबंध प्रायिकता की परिभाषा द्वारा: P(A/B) = P(A ∩ B) / P(B)

गणना किए गए मानों को प्रतिस्थापित करने पर: P(A/B) = (1/12) / (1/4) = 4/12 = 1/3

व्याख्या

BODMAS नियम का प्रयोग करके, व्यंजक को चरण दर चरण सरल करें:

सबसे पहले, आंतरिक कोष्ठक के पदों का मूल्यांकन करें: 25 ÷ (1/5) = 25 × 5 = 125 14 × 8 = 112

इन मानों को घटाने पर वर्ग कोष्ठक के अंदर का पद प्राप्त होता है: 125 - 112 = 13

अगला, कोष्ठक के बाहर गुणा करें: 9 × 4 = 36

इन मानों को मुख्य व्यंजक में वापस प्रतिस्थापित करें: 12 + 13 - 36 = 25 - 36 = -11

व्याख्या

वांछित सबसे छोटी संख्या N, N = LCM(18, 21, 25, 39) + 3 द्वारा दी जाती है।

अभाज्य गुणनखंडन ज्ञात करना: 18 = 2 × 3² 21 = 3 × 7 25 = 5² 39 = 3 × 13

LCM(18, 21, 25, 39) = 2¹ × 3² × 5² × 7¹ × 13¹ = 2 × 9 × 25 × 7 × 13 = 40950

इस प्रकार, N = 40950 + 3 = 40953

N के अंकों का योग = 4 + 0 + 9 + 5 + 3 = 21

व्याख्या

टुकड़ों की संख्या = floor(कुल लंबाई ÷ प्रत्येक टुकड़े की लंबाई)

टुकड़ों की संख्या = floor(658 ÷ 34.6) = floor(6580 ÷ 346) = 19.017

चूंकि 34.6 × 19 = 657.4 सेमी ≤ 658 सेमी, छड़ से 0.6 सेमी शेष के साथ 19 पूर्ण टुकड़े काटे जा सकते हैं।

व्याख्या

बीजगणितीय सर्वसमिका (x + y)² = x² + y² + 2xy का प्रयोग करके:

x + y = 9 और xy = 18 को प्रतिस्थापित करने पर: 9² = x² + y² + 2(18) 81 = x² + y² + 36 x² + y² = 81 - 36 = 45

व्याख्या

घातांक नियमों का उपयोग करके, समीकरण के दोनों पक्षों को आधार 5 के साथ पुनः लिखें:

√(5ⁿ) = 625 5⁽n/2) = 5⁴

चूंकि आधार समान हैं, इसलिए घातांकों को बराबर करें: n/2 = 4 n = 8

व्याख्या

समीकरण √(1 + x/121) = 12/11 के दोनों पक्षों का वर्ग करने पर:

1 + x/121 = (12/11)² 1 + x/121 = 144/121

दोनों पक्षों से 1 घटाने पर: x/121 = 144/121 - 1 x/121 = (144 - 121) / 121 x/121 = 23/121

दोनों पक्षों को 121 से गुणा करने पर x = 23 प्राप्त होता है।

वैकल्पिक रूप से, √(1 + x/a²) = (a + 1)/a के रूप के समीकरणों के लिए, x का मान सीधे (a + 1)² - a² = 12² - 11² = 144 - 121 = 23 द्वारा दिया जाता है।

व्याख्या

वृत्त की परिधि = 2πr समबाहु त्रिभुज का परिमाप = 3 × भुजा

दिया गया है त्रिज्या (r) = 21 सेमी: परिधि = 2 × (22/7) × 21 = 132 सेमी

त्रिभुज के परिमाप को परिधि के बराबर करने पर: 3 × भुजा = 132 भुजा = 132 / 3 = 44 सेमी

व्याख्या

चूंकि दोनों लड़के मिलने तक समान अवधि के लिए यात्रा करते हैं, इसलिए उनकी गति का अनुपात तय की गई दूरी के अनुपात के बराबर होता है।

ऋषि द्वारा तय की गई दूरी = 95 - 25 = 70 किमी वामसी द्वारा तय की गई दूरी = 95 + 25 = 120 किमी

ऋषि की गति का वामसी की गति से अनुपात = 70 : 120 = 7 : 12

गति अनुपात इकाइयों में अंतर = 12 - 7 = 5 इकाइयाँ दी गई गति का अंतर = 5 किमी/घंटा

चूंकि 5 इकाइयाँ = 5 किमी/घंटा, इसलिए 1 इकाई = 1 किमी/घंटा। ऋषि की गति = 7 × 1 = 7 किमी/घंटा।

व्याख्या

मान लीजिए संख्या x है।

प्रश्न के अनुसार: x का 70% - x का 45% = 15 x का 25% = 15 (25/100) × x = 15 x = (15 × 100) / 25 = 60

व्याख्या

साधारण ब्याज के लिए, जब कोई मूलधन T वर्षों में दोगुना हो जाता है, तो अर्जित ब्याज मूलधन के बराबर होता है। ब्याज की वार्षिक दर सूत्र R = 100 / T % द्वारा दी जाती है।

T = 8 वर्ष रखने पर: R = 100 / 8 = 12.5% = 12½%

व्याख्या

मानक कार्य सूत्र का उपयोग करके: B द्वारा अकेले लिया गया समय = (A द्वारा लिया गया समय × A और B द्वारा एक साथ लिया गया समय) / (A द्वारा लिया गया समय - A और B द्वारा एक साथ लिया गया समय)

दिए गए मानों को प्रतिस्थापित करने पर: B द्वारा अकेले लिया गया समय = (24 × 16) / (24 - 16) = 384 / 8 = 48 दिन।

व्याख्या

समीकरण x² + 25y² = 10xy को पुनर्व्यवस्थित करने पर प्राप्त होता है: x² - 10xy + 25y² = 0

बीजगणितीय सर्वसमिका (a - b)² = a² - 2ab + b² का उपयोग करने पर, यह सरल हो जाता है: (x - 5y)² = 0

दोनों पक्षों का वर्गमूल लेने पर: x - 5y = 0 x = 5y

दोनों पक्षों को y से विभाजित करने पर प्राप्त होता है: x / y = 5 / 1, जिसे अनुपात के रूप में व्यक्त करने पर x : y = 5 : 1 प्राप्त होता है।

व्याख्या

जब दो वस्तुएँ समान विक्रय मूल्य पर बेची जाती हैं, एक को x% लाभ पर और दूसरी को x% हानि पर, तो कुल सौदे में हमेशा हानि होती है, जो इस प्रकार दी जाती है:

शुद्ध हानि % = (x / 10)² %

x = 9 रखने पर:

शुद्ध हानि % = (9 / 10)² % = (81 / 100) % = 0.81% हानि

व्याख्या

मान लीजिए दो संख्याएँ 5x और 4x हैं, जहाँ x उनका महत्तम समापवर्तक (HCF) है।

चूँकि 5 और 4 सह-अभाज्य हैं, 5x और 4x का लघुत्तम समापवर्त्य (LCM) है: LCM = 5 × 4 × x = 20x

दिया गया है कि LCM 120 है: 20x = 120 x = 6

x = 6 को संख्याओं के व्यंजकों में प्रतिस्थापित करने पर: पहली संख्या = 5 × 6 = 30 दूसरी संख्या = 4 × 6 = 24

व्याख्या

बिंदुओं (0, 2) और (1, -3) से गुजरने वाली सीधी रेखा का ढलान m है: m = (-3 - 2) / (1 - 0) = -5

ढलान-अंतःखंड रूप y = mx + c का उपयोग करते हुए, जहाँ y-अंतःखंड c = 2 है क्योंकि रेखा (0, 2) से गुजरती है: y = -5x + 2

सभी पदों को एक तरफ ले जाने पर प्राप्त होता है: 5x + y - 2 = 0

व्याख्या

साधारण ब्याज के तहत किसी धनराशि को दोगुना होने के लिए, अर्जित ब्याज मूलधन के बराबर होना चाहिए (SI = P)।

साधारण ब्याज सूत्र का उपयोग करते हुए, SI = (P × R × T) / 100:

P = (P × 6.25 × T) / 100

1 = (6.25 × T) / 100

T = 100 / 6.25 = 16 वर्ष

व्याख्या

धनात्मक दशमलव संख्याओं को एक साथ जोड़ने पर: 42.425 + 6.526 + 0.098 = 49.049

योग से 15.31 घटाने पर: 49.049 - 15.310 = 33.739

व्याख्या

दो बिंदुओं (x₁, y₁) और (x₂, y₂) के बीच की दूरी सूत्र द्वारा, d = √((x₂ - x₁)² + (y₂ - y₁)²).

दिए गए बिंदु (x, 7) और (1, 15) हैं जिनकी दूरी d = 10 है: 10² = (x - 1)² + (15 - 7)² 100 = (x - 1)² + 64 (x - 1)² = 36 x - 1 = ±6

x के लिए हल करने पर: x = 1 + 6 = 7 x = 1 - 6 = -5

व्याख्या

s भुजा वाले वर्ग का क्षेत्रफल A = s² होता है, और उसका परिमाप P = 4s होता है। दो वर्गों के परिमापों का अनुपात उनकी भुजाओं की लंबाई के अनुपात के बराबर होता है, जो उनके क्षेत्रफलों के अनुपात का वर्गमूल होता है:

P₁ / P₂ = s₁ / s₂ = √(A₁ / A₂) = √(169 / 196) = 13 / 14।

व्याख्या

मूल त्रिकोणमितीय सर्वसमिका cot θ = 1 / tan θ का प्रयोग करके, दिए गए समीकरण 3 cot θ = tan θ को इस प्रकार पुनः लिखा जा सकता है:

3 / tan θ = tan θ tan² θ = 3 tan θ = ±√3

मानक सीमा में मुख्य मान लेने पर tan θ = √3 प्राप्त होता है, जिससे θ = π/3 मिलता है।

व्याख्या

माना विक्रय मूल्य (SP) = 100 तब क्रय मूल्य (CP) = SP का 92% = 92

लाभ = SP - CP = 100 - 92 = 8

प्रतिशत लाभ = (लाभ / CP) × 100 = (8 / 92) × 100 = (2 / 23) × 100 = 200 / 23 % ≈ 8.70%

व्याख्या

वर्ष 1 के बाद राशि = (64,000 × 1.25) - 3,200 = 80,000 - 3,200 = 76,800

वर्ष 2 के बाद राशि = (76,800 × 1.25) - 3,200 = 96,000 - 3,200 = 92,800

वर्ष 3 के बाद राशि = (92,800 × 1.25) - 3,200 = 1,16,000 - 3,200 = 1,12,800

व्याख्या

कार्तीय निर्देशांक तल में एक बिंदु (x, y) x-अक्ष पर तभी स्थित होता है जब उसका y-निर्देशांक शून्य (y = 0) हो। बिंदु (2, 0) के लिए, y-निर्देशांक 0 है, इसलिए यह मूल बिंदु से धनात्मक x-दिशा में 2 इकाई की दूरी पर सीधे x-अक्ष पर स्थित है।

व्याख्या

यह पता लगाने के लिए कि किस विद्यालय में अधिकतम खेलों के लिए सर्वाधिक संख्या में प्रतिभागी हैं, प्रत्येक व्यक्तिगत खेल के लिए सभी विद्यालयों में प्रतिभागियों की संख्या की तुलना करें:

बैडमिंटन: विद्यालय D में सर्वाधिक (78) टेबल टेनिस: विद्यालय B में सर्वाधिक (40) फुटबॉल: विद्यालय B में सर्वाधिक (22) बास्केटबॉल: विद्यालय B में सर्वाधिक (13) क्रिकेट: विद्यालय B में सर्वाधिक (121)

विद्यालय B, 5 में से 4 खेलों (टेबल टेनिस, फुटबॉल, बास्केटबॉल और क्रिकेट) में अग्रणी है, जो इसे अधिकतम संख्या में खेलों में सर्वाधिक प्रतिभागियों वाला विद्यालय बनाता है।

व्याख्या

मान = पैमाना × ऊंचाई

दिया गया पैमाना = 20 इकाई प्रति सेमी और ऊंचाई = 4.7 सेमी:

मान = 20 × 4.7 = 94 इकाई

व्याख्या

पहले गैर-शून्य अंकों को गुणा करें: 4 × 4 × 4 = 64.

अगला, तीन गुणनखंडों में दशमलव स्थानों की कुल संख्या गिनें: 0.4 में 1 दशमलव स्थान है 0.04 में 2 दशमलव स्थान हैं 0.004 में 3 दशमलव स्थान हैं

कुल दशमलव स्थान = 1 + 2 + 3 = 6 दशमलव स्थान।

64 से दशमलव बिंदु को 6 स्थान बाईं ओर खिसकाने पर 0.000064 प्राप्त होता है।

व्याख्या

सेकेंट फलन 360° की आवर्तता के साथ आवर्ती होता है। 2100° को 360° से विभाजित करने पर भागफल 5 और शेषफल 300° प्राप्त होता है:

2100° = 5 × 360° + 300°

इसलिए, sec(2100°) = sec(300°)।

चूँकि 300° चतुर्थ चतुर्थांश में है, जहाँ सेकेंट फलन धनात्मक होता है:

sec(300°) = sec(360° - 60°) = sec(60°) = 1 / cos(60°) = 1 / (½) = 2

व्याख्या

प्रत्येक पद को वर्गमूल लेकर सरल करें:

√(225 / 729) = 15 / 27 = 5 / 9

√(25 / 144) = 5 / 12

√(16 / 81) = 4 / 9

इन मानों को व्यंजक में वापस प्रतिस्थापित करें:

(5 / 9) - (5 / 12) - (4 / 9)

समान हर वाले पदों को समूहित करें:

(5 / 9 - 4 / 9) - (5 / 12) = (1 / 9) - (5 / 12)

9 और 12 का लघुत्तम समापवर्त्य (LCM) लें, जो कि 36 है:

(4 - 15) / 36 = -11 / 36

व्याख्या

कुल ड्रेस सामग्री ज्ञात करने के लिए, दोनों बेटियों के लिए खरीदी गई लंबाइयों को जोड़ें:

कुल सामग्री = 6.35 मीटर + 5.65 मीटर = 12.00 मीटर = 12 मीटर

व्याख्या

चूंकि a/b = 4/3 है, इसलिए दिए गए व्यंजक में सीधे a = 4 और b = 3 प्रतिस्थापित करें:

अंश: 6a + 2b = 6(4) + 2(3) = 24 + 6 = 30 हर: 4a - 2b = 4(4) - 2(3) = 16 - 6 = 10

मान = 30 / 10 = 3

व्याख्या

बीजगणितीय सर्वसमिका (a + b)(a - b) = a² - b² का प्रयोग करके:

यहाँ, a = √5 और b = √11 है।

(√5 + √11)(√5 - √11) = (√5)² - (√11)² = 5 - 11 = -6

व्याख्या

लिया गया समय = 1 घंटा + 40/60 घंटा + 48/3600 घंटा = 1 + 2/3 + 1/75 = 42/25 घंटा।

कम की गई गति = दूरी / समय = 42 / (42/25) = 25 किमी/घंटा।

चूंकि कम की गई गति = (5/7) × वास्तविक गति: वास्तविक गति = 25 × (7/5) = 35 किमी/घंटा।

व्याख्या

दो धनात्मक संख्याओं a और b के बीच मध्य समानुपाती का सूत्र √(a × b) है।

a = 169 और b = 121 रखने पर: मध्य समानुपाती = √(169 × 121) = √169 × √121 = 13 × 11 = 143

व्याख्या

द्वि-कोण सर्वसमिका का प्रयोग करके: 2 sin α cos α = sin 2α

α = 30° प्रतिस्थापित करने पर: 2 sin 30° cos 30° = sin(2 × 30°) = sin 60° = √3/2

वैकल्पिक रूप से, सीधे मान प्रतिस्थापित करने पर: 2 sin 30° cos 30° = 2 × ½ × (√3/2) = √3/2

व्याख्या

प्रतिशत संबंध का उपयोग करके: 50% × x = 25% × y ½ × x = ¼ × y x / y = ¼ / ½ = 1 / 2

अतः, x : y = 1 : 2।

व्याख्या

दिए गए व्यंजक का मान ज्ञात करने के लिए:

अंश = (5 × 1.6) - (2 × 1.4) = 8.0 - 2.8 = 5.2

हर = 1.3

अंश को हर से विभाजित करने पर: 5.2 ÷ 1.3 = 4

व्याख्या

साधारण ब्याज के तहत किसी धनराशि को दोगुना होने के लिए, अर्जित ब्याज (SI) मूलधन (P) के बराबर होना चाहिए।

साधारण ब्याज के लिए समय सूत्र का उपयोग करते हुए, T = (SI × 100) / (P × R): T = (100 / 18) = 50 / 9 = 5 5/9 वर्ष

वर्ष के 5/9 को महीनों में परिवर्तित करना: (5 / 9) × 12 = 20 / 3 = 6.67 महीने, जो लगभग 7 महीने होता है।

व्याख्या

प्रतिशत संबंध का उपयोग करके: (x / 100) × 160 = 8

x के लिए हल करना: x = (8 × 100) / 160 x = 800 / 160 x = 5

व्याख्या

मान लीजिए मूल अनुपात 2 : 3 है और नया अनुपात 3 : 4 है।

चूंकि दोनों संख्याओं में समान मात्रा (20) की वृद्धि की जाती है, इसलिए दोनों संख्याओं के लिए अनुपात इकाइयों में परिवर्तन (3 - 2) = (4 - 3) = 1 इकाई है।

1 इकाई = 20

इसलिए, मूल संख्याएँ हैं: पहली संख्या = 2 × 20 = 40 दूसरी संख्या = 3 × 20 = 60

व्याख्या

वर्ग का क्षेत्रफल = भुजा² = 8² = 64 सेमी²।

चूंकि आयत का क्षेत्रफल वर्ग के क्षेत्रफल के बराबर है, इसलिए आयत का क्षेत्रफल भी 64 सेमी² है।

मान लीजिए आयत की चौड़ाई x सेमी है और इसकी लंबाई 4x सेमी है। क्षेत्रफल = लंबाई × चौड़ाई = 4x × x = 4x² = 64 x² = 16 x = 4 सेमी

लंबाई = 16 सेमी और चौड़ाई = 4 सेमी। आयत की परिधि = 2 × (लंबाई + चौड़ाई) = 2 × (16 + 4) = 40 सेमी।