एचपीएएस प्रारंभिक परीक्षा 2024 सीसैट (प्रश्नपत्र II) — उत्तर और व्याख्या सहित

व्याख्या

किसी भी ज्यामितीय आकृति के लिए जो एक आधार b पर स्थित है और दो समानांतर रेखाओं के बीच स्थित है, समानांतर रेखाओं के बीच की लंबवत दूरी उसकी ऊंचाई h को दर्शाती है। एक समांतर चतुर्भुज के क्षेत्रफल का सूत्र आधार × ऊंचाई होता है। चूँकि क्षेत्रफल A₁ वाला समांतर चतुर्भुज और क्षेत्रफल A₂ वाला समचतुर्भुज समान आधार b पर स्थित हैं और समान समानांतर रेखाओं के बीच स्थित हैं, इसलिए दोनों का आधार और ऊंचाई समान है। इसलिए, A₁ = b × h और A₂ = b × h, जिससे A₁ = A₂ प्राप्त होता है। एक त्रिभुज के क्षेत्रफल का सूत्र ½ × आधार × ऊंचाई होता है। चूँकि क्षेत्रफल A₃ वाला त्रिभुज समान आधार b पर स्थित है और समान समानांतर रेखाओं के बीच स्थित है, इसलिए इसका क्षेत्रफल A₃ = ½ × b × h है। इस समीकरण के दोनों पक्षों को 2 से गुणा करने पर 2A₃ = b × h प्राप्त होता है। इन व्यंजकों को बराबर करने पर संबंध A₁ = A₂ = 2A₃ प्राप्त होता है।

व्याख्या

एक त्रिभुज का क्षेत्रफल सूत्र द्वारा दिया जाता है: क्षेत्रफल = ½ × आधार × ऊँचाई

दिए गए त्रिभुज ABC के लिए, शीर्ष A और आधार BC पर किसी भी खंड द्वारा बनाए गए सभी उप-त्रिभुजों की A से BC तक की लंबवत ऊँचाई समान h होती है।

आधार BC पर n समदूरस्थ बिंदु A₁, A₂, ..., Aₙ इसे n + 1 समान लंबाई के खंडों में विभाजित करते हैं: BA₁, A₁A₂, A₂A₃, ..., AₙC। मान लीजिए इन समान खंडों में से प्रत्येक की लंबाई x है। इसलिए आधार BC की कुल लंबाई (n + 1)x है।

चूंकि खंड A₅A₆ इन समान खंडों में से एक है, इसकी लंबाई x है। त्रिभुज AA₅A₆ का क्षेत्रफल इस प्रकार दिया गया है: k = ½ × A₅A₆ × h = ½ × x × h

इस संबंध का उपयोग करते हुए, त्रिभुज ABC का क्षेत्रफल है: क्षेत्रफल(ABC) = ½ × BC × h = ½ × (n + 1)x × h = (n + 1) × (½ × x × h) = (n + 1)k

व्याख्या

पिंकी दाईं ओर से 21वें स्थान पर है। चूंकि रिंकी पिंकी के बाईं ओर 10वें स्थान पर है, इसलिए रिंकी का दाईं ओर से स्थान 21 + 10 = 31वां है।

मिंकी बाईं ओर से 17वें स्थान पर है और रिंकी के दाईं ओर चौथे स्थान पर है। इसका मतलब है कि रिंकी मिंकी के बाईं ओर चौथे स्थान पर है। इसलिए, रिंकी का बाईं ओर से स्थान 17 - 4 = 13वां है।

पंक्ति में लड़कियों की कुल संख्या ज्ञात करने के लिए, हम मानक स्थिति संबंध का उपयोग करते हैं: कुल = बाईं ओर से स्थान + दाईं ओर से स्थान - 1

रिंकी के स्थानों को सूत्र में प्रतिस्थापित करने पर: कुल = 13 + 31 - 1 = 43

व्याख्या

माना दिया गया फलन f(x) = sinᵐ x sin mx + cosᵐ x cos mx है।

f(x) का अधिकतम मान ज्ञात करने के लिए, हम कॉची-श्वार्ज़ असमानता लागू कर सकते हैं:

(sinᵐ x sin mx + cosᵐ x cos mx)² ≤ (sin²ᵐ x + cos²ᵐ x) (sin² mx + cos² mx)

चूंकि sin² mx + cos² mx = 1, यह सरल हो जाता है:

(sinᵐ x sin mx + cosᵐ x cos mx)² ≤ sin²ᵐ x + cos²ᵐ x

किसी भी पूर्णांक m ≥ 1 के लिए, हमारे पास 2m ≥ 2 है। चूंकि |sin x| ≤ 1 और |cos x| ≤ 1 है, इसलिए sin²ᵐ x ≤ sin² x और cos²ᵐ x ≤ cos² x है।

इस प्रकार, हमें प्राप्त होता है:

sin²ᵐ x + cos²ᵐ x ≤ sin² x + cos² x = 1

इसका तात्पर्य है:

(sinᵐ x sin mx + cosᵐ x cos mx)² ≤ 1

परिणामस्वरूप, फलन द्वारा प्राप्त किया जा सकने वाला निरपेक्ष अधिकतम मान 1 है।

आइए विकल्पों में दिए गए मानों पर फलन का मूल्यांकन करें:

x = π के लिए: f(π) = sinᵐ π sin mπ + cosᵐ π cos mπ f(π) = 0 + (-1)ᵐ cos mπ

यदि m एक सम पूर्णांक है, तो (-1)ᵐ = 1 और cos mπ = 1, जिससे f(π) = 1 प्राप्त होता है। यदि m एक विषम पूर्णांक है, तो (-1)ᵐ = -1 और cos mπ = -1, जिससे f(π) = (-1) × (-1) = 1 प्राप्त होता है।

इस प्रकार, किसी भी पूर्णांक m के लिए, फलन हमेशा x = π पर अपना अधिकतम मान 1 प्राप्त करता है।

अन्य विकल्पों के लिए x = π/4 पर मूल्यांकन करने पर प्राप्त होता है: m = 2 के लिए: f(π/4) = (1/√2)² sin(π/2) + (1/√2)² cos(π/2) = ½ m = 4 के लिए: f(π/4) = (1/√2)⁴ sin(π) + (1/√2)⁴ cos(π) = -¼ m = 6 के लिए: f(π/4) = (1/8) sin(3π/2) + (1/8) cos(3π/2) = -⅛

व्याख्या

संख्या श्रृंखला का पैटर्न 4 से विभाजन है। पहली संख्या से शुरू करते हुए:

24576 ÷ 4 = 6144 6144 ÷ 4 = 1536 1536 ÷ 4 = 384 384 ÷ 4 = 96 96 ÷ 4 = 24

इस पैटर्न के अनुसार, चौथी संख्या 386 के बजाय 384 होनी चाहिए, जिससे 386 श्रृंखला में गलत संख्या बन जाती है।

व्याख्या

सादृश्य एक खगोलीय पिंड और उसकी वैज्ञानिक वर्गीकरण को दर्शाता है। चंद्रमा पृथ्वी का एक प्राकृतिक उपग्रह है, जो उपग्रह को उसकी परिभाषित श्रेणी बनाता है। उसी संबंध का अनुसरण करते हुए, पृथ्वी को एक ग्रह के रूप में वर्गीकृत किया गया है।

व्याख्या

केंद्र की ओर मुख करके गोल मेज के चारों ओर बैठे सात लोगों की स्थिति निर्धारित करने के लिए, हम उनकी सापेक्ष स्थिति को चरण-दर-चरण स्थापित कर सकते हैं:

हरि को स्थिति 1 पर मान लें।

शर्तों के अनुसार, कीर्ति हरि के बाईं ओर दूसरे स्थान पर है, जो कीर्ति को स्थिति 3 पर रखता है।

चूंकि कीर्ति तुलसी और रवि की पड़ोसी है, इसलिए वे स्थिति 2 और 4 पर होने चाहिए। हमें दिया गया है कि हरि, तुलसी का पड़ोसी नहीं है, जिसका अर्थ है कि तुलसी स्थिति 2 पर नहीं हो सकती। इसलिए, तुलसी स्थिति 4 पर होनी चाहिए, और रवि स्थिति 2 पर होना चाहिए।

शेष तीन स्थान, 5, 6, और 7, राम, श्याम और मोहन द्वारा भरे जाने चाहिए। चूंकि राम, श्याम और मोहन दोनों का पड़ोसी है, राम को स्थिति 6 पर मध्य सीट पर कब्जा करना चाहिए, जबकि श्याम और मोहन स्थिति 5 और 7 पर कब्जा करते हैं।

चूंकि स्थिति 1 पर हरि, मोहन का पड़ोसी नहीं हो सकता, मोहन स्थिति 7 पर नहीं हो सकता। इस प्रकार, मोहन स्थिति 5 पर होना चाहिए, और श्याम स्थिति 7 पर होना चाहिए।

यह दक्षिणावर्त बैठने की व्यवस्था को पूरा करता है: हरि रवि कीर्ति तुलसी मोहन राम श्याम

इस गोल व्यवस्था में, श्याम (स्थिति 7 पर) सीधे राम (स्थिति 6 पर) और हरि (स्थिति 1 पर) के बीच में बैठता है।

व्याख्या

बैठने की व्यवस्था को हल करने के लिए, हम सात लोगों को एक गोल मेज के चारों ओर 1 से 7 तक दक्षिणावर्त दिशा में बैठा सकते हैं। यह मानते हुए कि सभी मेज के केंद्र की ओर देख रहे हैं, दक्षिणावर्त गति बाईं दिशा का प्रतिनिधित्व करती है, जबकि वामावर्त गति दाईं दिशा का प्रतिनिधित्व करती है।

सबसे पहले, हरि को स्थान 1 पर बैठाएं। चूंकि कीर्ति हरि के बाईं ओर दूसरे स्थान पर है, वह स्थान 3 पर बैठती है। चूंकि कीर्ति तुलसी और रवि की पड़ोसी है, वे कुछ क्रम में स्थान 2 और 4 पर होंगी।

दूसरे, राम, श्याम और मोहन का पड़ोसी है। इसके लिए राम को श्याम और मोहन के बीच बैठना होगा। केवल शेष तीन लगातार सीटें 5, 6 और 7 हैं, जिसका अर्थ है कि राम को स्थान 6 पर बैठना होगा, जबकि श्याम और मोहन स्थान 5 और 7 पर होंगे।

तीसरे, स्थान 1 पर हरि, मोहन या तुलसी के बगल में नहीं हो सकता। चूंकि स्थान 7, स्थान 1 के बगल में है, इसलिए इसे मोहन द्वारा नहीं भरा जा सकता है, जिसका अर्थ है कि श्याम स्थान 7 पर है और मोहन स्थान 5 पर है। इसी तरह, स्थान 2, स्थान 1 के बगल में है और इसे तुलसी द्वारा नहीं भरा जा सकता है, जिसका अर्थ है कि रवि स्थान 2 पर है और तुलसी स्थान 4 पर है।

इससे दक्षिणावर्त बैठने का क्रम प्राप्त होता है: हरि (1) - रवि (2) - कीर्ति (3) - तुलसी (4) - मोहन (5) - राम (6) - श्याम (7)

चूंकि दाहिने हाथ की ओर की गति वामावर्त दिशा के अनुरूप है, स्थान 3 पर कीर्ति के ठीक दाईं ओर बैठा व्यक्ति स्थान 2 पर रवि है। इसलिए, कीर्ति और रवि की जोड़ी में, दूसरा व्यक्ति (रवि) पहले व्यक्ति (कीर्ति) के ठीक दाईं ओर बैठा है।

व्याख्या

संख्याओं 4¹/³, 5¹/⁴, 2¹/², और 3¹/⁶ की तुलना करने के लिए, भिन्नात्मक घातों के हरों का लघुत्तम समापवर्त्य (LCM) ज्ञात करें। हर 3, 4, 2, और 6 हैं, और उनका LCM 12 है।

भिन्नात्मक घातांकों को समाप्त करने के लिए प्रत्येक संख्या को 12 की घात तक बढ़ाना: (4¹/³)¹² = 4⁴ = 256 (5¹/⁴)¹² = 5³ = 125 (2¹/²)¹² = 2⁶ = 64 (3¹/⁶)¹² = 3² = 9

इन पूर्णांक मानों की तुलना करने पर 256 > 125 > 64 > 9 प्राप्त होता है, जो सीधे 4¹/³ > 5¹/⁴ > 2¹/² > 3¹/⁶ के क्रम से मेल खाता है।

व्याख्या

मान लीजिए तीसरी संख्या 100 है।

पहली संख्या तीसरी संख्या का 20% है, जो कि 20 है। दूसरी संख्या तीसरी संख्या का 50% है, जो कि 50 है।

यह ज्ञात करने के लिए कि पहली संख्या दूसरी संख्या का कितना प्रतिशत है, प्रतिशत सूत्र का उपयोग करें:

प्रतिशत = (पहली संख्या / दूसरी संख्या) × 100%

मानों को प्रतिस्थापित करने पर:

प्रतिशत = (20 / 50) × 100% = (2/5) × 100% = 40%

व्याख्या

साधारण ब्याज का सूत्र है: SI = (P × R × T) / 100

जहाँ SI साधारण ब्याज है, P मूलधन है, R ब्याज की दर है, और T वर्षों में समय है।

प्रश्न के अनुसार, साधारण ब्याज मूलधन का 2/5 है: SI = 2/5 × P

ब्याज की दर R = 8% प्रति वर्ष है। इन मानों को सूत्र में रखने पर: 2/5 × P = (P × 8 × T) / 100

दोनों पक्षों को P से विभाजित करने पर: 2/5 = 8T / 100

दोनों पक्षों को 100 से गुणा करने पर: (2 × 100) / 5 = 8T 40 = 8T T = 5

व्याख्या

इस पहेली में गुणन चिह्न द्वारा दर्शाई गई गणितीय संक्रिया प्रत्येक व्यक्तिगत संख्या के अंकों का योग करके और फिर उन दो योगों को गुणा करके निर्धारित की जाती है।

पहले पद के लिए: 324 के अंकों का योग = 3 + 2 + 4 = 9 150 के अंकों का योग = 1 + 5 + 0 = 6 अंकों के योग का गुणनफल = 9 × 6 = 54

दूसरे पद के लिए: 251 के अंकों का योग = 2 + 5 + 1 = 8 402 के अंकों का योग = 4 + 0 + 2 = 6 अंकों के योग का गुणनफल = 8 × 6 = 48

तीसरे पद के लिए: 523 के अंकों का योग = 5 + 2 + 3 = 10 246 के अंकों का योग = 2 + 4 + 6 = 12 अंकों के योग का गुणनफल = 10 × 12 = 120

इस नियम को 651 × 345 पर लागू करने पर: 651 के अंकों का योग = 6 + 5 + 1 = 12 345 के अंकों का योग = 3 + 4 + 5 = 12 अंकों के योग का गुणनफल = 12 × 12 = 144

व्याख्या

क्रम MPON अन्य विकल्पों द्वारा साझा किए गए पैटर्न से विचलित होता है। इस समूह के एक मानक क्रम में, पहला और तीसरा अक्षर वर्णानुक्रम में लगातार होते हैं (+1), और दूसरा और चौथा अक्षर भी वर्णानुक्रम में लगातार होते हैं (+1)। इसके अतिरिक्त, पहला और चौथा अक्षर, साथ ही दूसरा और तीसरा अक्षर, वर्णमाला में विपरीत अक्षरों के जोड़े हैं जिनका स्थिति मानों का योग 27 होता है।

क्रम MPON में, जहाँ M = 13, P = 16, O = 15, और N = 14 है, पहला और तीसरा अक्षर (M और O) 2 से बढ़ते हैं, और दूसरा और चौथा अक्षर (P और N) 2 से घटते हैं। इसके अलावा, दूसरा और तीसरा अक्षर (P और O) वर्णानुक्रम में विपरीत नहीं हैं क्योंकि P का विपरीत K है, और O का विपरीत L है। इसलिए, यह क्रम विषम है।

व्याख्या

रात के दौरान, सूर्य के प्रकाश की अनुपस्थिति के कारण पेड़ों में प्रकाश संश्लेषण रुक जाता है, लेकिन श्वसन जारी रहता है। यह श्वसन प्रक्रिया ऑक्सीजन का उपभोग करती है और कार्बन डाइऑक्साइड (CO₂) छोड़ती है। रात में पेड़ के नीचे सोने से व्यक्ति अपने आसपास की हवा में CO₂ की उच्च सांद्रता के संपर्क में आता है, जिससे सांस लेने में कठिनाई हो सकती है और यह स्वास्थ्य के लिए हानिकारक है। इसलिए, कथन (II) दी गई सलाह के पीछे तार्किक और वैज्ञानिक रूप से मान्य कारण के रूप में कार्य करता है, जिससे यह निहित होता है।

व्याख्या

पांच व्यक्तियों की पढ़ने की स्थिति को पहले से आखिरी तक 1, 2, 3, 4 और 5 क्रमांकित करें।

पहला पाठक समाचार पत्र C को देता है, जिसका अर्थ है कि C दूसरे पाठक के रूप में स्थिति 2 पर है।

स्थिति 5 पर अंतिम पाठक A से समाचार पत्र लेता है, जिसका अर्थ है कि A चौथे पाठक के रूप में स्थिति 4 पर है।

इस स्तर पर, क्रम _ , C, _ , A, _ है।

चूंकि E न तो पहला और न ही अंतिम पाठक है, E के लिए एकमात्र उपलब्ध स्थिति 3 है।

क्रम _ , C, E, A, _ हो जाता है।

B और A के बीच दो पाठक हैं। चूंकि A स्थिति 4 पर है, B को स्थिति 1 पर होना चाहिए ताकि C और E उनके बीच दो पाठक हों।

क्रम अब B, C, E, A, _ है।

शेष व्यक्ति, D, पांचवां और अंतिम पाठक के रूप में स्थिति 5 पर होना चाहिए। यह क्रम B, C, E, A, D के रूप में पूरा होता है।

व्याख्या

दैनिक आय में शुद्ध प्रतिशत परिवर्तन, जो काम के घंटे और प्रति घंटा मजदूरी का गुणनफल है, की गणना क्रमिक प्रतिशत परिवर्तन सूत्र का उपयोग करके की जाती है:

शुद्ध प्रतिशत परिवर्तन = a + b + (a × b) / 100

यहाँ, काम के घंटों में वृद्धि (a) 20% है और प्रति घंटा मजदूरी में वृद्धि (b) 15% है।

इन मानों को सूत्र में प्रतिस्थापित करने पर:

शुद्ध प्रतिशत परिवर्तन = 20 + 15 + (20 × 15) / 100 शुद्ध प्रतिशत परिवर्तन = 35 + 300 / 100 शुद्ध प्रतिशत परिवर्तन = 35 + 3 = 38%

व्याख्या

कोड पैटर्न दस-अक्षर वाले शब्द को पांच-पांच अक्षरों के दो बराबर हिस्सों में विभाजित करता है।

शब्द के पहले आधे हिस्से, STABI, के अक्षरों को उलट कर IBATS बनाया जाता है, और फिर प्रत्येक अक्षर को एक स्थान आगे (+1) बढ़ाया जाता है: I → J B → C A → B T → U S → T इससे JCBUT प्राप्त होता है।

शब्द के दूसरे आधे हिस्से, LISED, के अक्षरों को उलट कर DESIL बनाया जाता है, और फिर प्रत्येक अक्षर को एक स्थान पीछे (-1) हटाया जाता है: D → C E → D S → R I → H L → K इससे CDRHK प्राप्त होता है।

दोनों हिस्सों को मिलाने पर JCBUTCDRHK प्राप्त होता है।

व्याख्या

1 जनवरी, 1991 मंगलवार को पड़ा और 1991 एक सामान्य वर्ष है। सप्ताह के दिन की प्रगति को ट्रैक करते हुए (+1 एक सामान्य वर्ष के लिए, +2 एक लीप वर्ष के लिए), अगला सामान्य वर्ष जो मंगलवार को शुरू होता है, वह 2002 है - लेकिन 2002 दिए गए विकल्पों में अनुपस्थित है। यह प्रश्न संभवतः प्रिंटिंग त्रुटि (2002 को 2003 के रूप में मुद्रित) के कारण दोषपूर्ण है। विकल्प B (2003) गणितीय रूप से सही उत्तर से ठीक एक वर्ष दूर है और उपलब्ध सबसे अच्छा विकल्प है।

व्याख्या

घड़ी की घंटे की सुई और मिनट की सुई के बीच का कोण θ निम्न सूत्र द्वारा दिया जाता है:

θ = |30H - (11/2)M|

जहाँ H घंटा है और M मिनट है।

H = 9 और M = 45 रखने पर:

θ = |30 × 9 - (11/2) × 45| θ = |270 - 247.5| θ = 22.5°

यह 22½° के बराबर है।

व्याख्या

औसत गति = कुल दूरी ÷ कुल समय

सबसे पहले, साइकिल चालक द्वारा तय की गई कुल दूरी की गणना की जाती है: कुल दूरी = 24 किमी + 36 किमी = 60 किमी

इसके बाद, यात्रा के प्रत्येक भाग के लिए लिया गया समय निर्धारित किया जाता है: पहले भाग के लिए समय = 24 किमी ÷ 16 किमी/घंटा = 1.5 घंटे दूसरे भाग के लिए समय = 36 किमी ÷ 15 किमी/घंटा = 2.4 घंटे

पूरी यात्रा के लिए कुल समय इन समयों का योग है: कुल समय = 1.5 घंटे + 2.4 घंटे = 3.9 घंटे

इन मानों का उपयोग करके, औसत गति है: औसत गति = 60 किमी ÷ 3.9 घंटे ≈ 15.38 किमी/घंटा

व्याख्या

n वर्षों के बाद जनसंख्या, जहाँ r% प्रति वर्ष चक्रवृद्धि वृद्धि दर है, निम्न सूत्र द्वारा दी जाती है:

A = P × (1 + r/100)ⁿ

यहाँ, A वर्तमान जनसंख्या है, P n वर्ष पूर्व की जनसंख्या है, r वार्षिक वृद्धि दर है, और n वर्षों में समय है। दिए गए मानों को प्रतिस्थापित करने पर:

10648 = P × (1 + 10/100)³ 10648 = P × (11/10)³ 10648 = P × (1331/1000) P = (10648 × 1000) / 1331 P = 8 × 1000 P = 8000

व्याख्या

मान लीजिए मतदाताओं की कुल संख्या 100x है।

शुरुआत में, मतदाताओं ने इस प्रकार वोट देने का वादा किया: बंसी से वादा किया = 100x का 40% = 40x पप्पू से वादा किया = 100x का 60% = 60x

चुनाव के दिन, कुछ मतदाताओं ने अपने वोट बदले: बंसी से पप्पू को वोट बदलने वाले मतदाता = 40x का 15% = 6x पप्पू से बंसी को वोट बदलने वाले मतदाता = 60x का 25% = 15x

अब, प्रत्येक उम्मीदवार द्वारा प्राप्त अंतिम वोटों की गणना करें: बंसी के लिए अंतिम वोट = 40x - 6x + 15x = 49x पप्पू के लिए अंतिम वोट = 60x - 15x + 6x = 51x

पप्पू और बंसी के बीच वोटों का अंतर है: 51x - 49x = 2x

चूंकि बंसी 2 वोटों से हार गया, हम समीकरण स्थापित करते हैं: 2x = 2 x = 1

मतदाताओं की कुल संख्या 100x = 100 × 1 = 100 है।

व्याख्या

माना एक मेज का विक्रय मूल्य S है।

27 मेजों का विक्रय मूल्य 27S है।

27 मेजों को बेचने पर प्राप्त लाभ 5 मेजों के विक्रय मूल्य के बराबर है, जो कि 5S है।

संबंध का उपयोग करते हुए: क्रय मूल्य = विक्रय मूल्य - लाभ

27 मेजों का क्रय मूल्य है: क्रय मूल्य = 27S - 5S = 22S

लाभ प्रतिशत की गणना इस प्रकार की जाती है: लाभ प्रतिशत = (लाभ / क्रय मूल्य) × 100 लाभ प्रतिशत = (5S / 22S) × 100 लाभ प्रतिशत = 500/22 % = 250/11 % = 22 8/11 %

व्याख्या

मान लीजिए S, SS, और US क्रमशः एक कुशल, एक अर्ध-कुशल और एक अकुशल श्रमिक के दैनिक कार्य उत्पादन को दर्शाते हैं।

चूंकि 5 कुशल श्रमिक 20 दिनों में घर बनाते हैं, इसलिए 1 कुशल श्रमिक का दैनिक कार्य है: S = 1 / (5 × 20) = 1/100

चूंकि 8 अर्ध-कुशल श्रमिक 25 दिनों में घर बनाते हैं, इसलिए 1 अर्ध-कुशल श्रमिक का दैनिक कार्य है: SS = 1 / (8 × 25) = 1/200

चूंकि 10 अकुशल श्रमिक 30 दिनों में घर बनाते हैं, इसलिए 1 अकुशल श्रमिक का दैनिक कार्य है: US = 1 / (10 × 30) = 1/300

2 कुशल, 6 अर्ध-कुशल और 5 अकुशल श्रमिकों की एक टीम की संयुक्त दैनिक कार्य दर है: संयुक्त दर = 2S + 6SS + 5US संयुक्त दर = 2/100 + 6/200 + 5/300 संयुक्त दर = 1/50 + 3/100 + 1/60

300 को सामान्य भाजक के रूप में उपयोग करते हुए: संयुक्त दर = (6 + 9 + 5) / 300 संयुक्त दर = 20/300 संयुक्त दर = 1/15

चूंकि टीम एक दिन में 1/15 काम पूरा करती है, इसलिए पूरे घर को बनाने के लिए आवश्यक दिनों की संख्या 15 है।

व्याख्या

मान लीजिए वस्तु का प्रारंभिक मूल्य 100 है।

30% की वृद्धि के बाद, मूल्य हो जाता है: 100 × (1 + 0.30) = 130

10% की पहली छूट लागू करने पर: 130 × (1 - 0.10) = 130 × 0.90 = 117

10% की दूसरी छूट लागू करने पर: 117 × (1 - 0.10) = 117 × 0.90 = 105.3

मूल्य 100 से अंतिम मूल्य 105.3 तक का शुद्ध परिवर्तन प्रतिशत वृद्धि को दर्शाता है: 105.3 - 100 = 5.3%

व्याख्या

मान लीजिए दो संख्याएँ 29a और 29b हैं, जहाँ a और b सह-अभाज्य पूर्णांक हैं। चूँकि दोनों संख्याएँ 29 से बड़ी हैं, इसलिए a और b दोनों 1 से बड़े होने चाहिए।

लघुत्तम समापवर्त्य (ल.स.प.), महत्तम समापवर्तक (म.स.प.) और सह-अभाज्य गुणनखंडों के बीच संबंध इस प्रकार दिया गया है: ल.स.प. = म.स.प. × a × b

सूत्र में दिए गए मानों को प्रतिस्थापित करने पर: 4147 = 29 × a × b a × b = 4147 / 29 a × b = 143

143 के गुणनखंड 1 और 143, या 11 और 13 हैं। चूँकि a और b दोनों 1 से बड़े हैं, हम चुनते हैं: a = 11 b = 13

दो संख्याएँ हैं: 29 × 11 = 319 29 × 13 = 377

इन दो संख्याओं का योग है: 319 + 377 = 696

व्याख्या

मान लीजिए चार संख्याएँ x₁, x₂, x₃, और x₄ हैं।

पहली तीन संख्याओं का औसत चौथी संख्या का तिगुना है: (x₁ + x₂ + x₃) / 3 = 3x₄ x₁ + x₂ + x₃ = 9x₄

चारों संख्याओं का औसत 5 है: (x₁ + x₂ + x₃ + x₄) / 4 = 5 x₁ + x₂ + x₃ + x₄ = 20

पहले समीकरण को दूसरे में प्रतिस्थापित करने पर: 9x₄ + x₄ = 20 10x₄ = 20 x₄ = 2

व्याख्या

परिवार के सदस्यों की कुल संख्या की गणना करने के लिए, हम सभी पीढ़ियों के सदस्यों को जोड़ते हैं। सबसे पहले, परिवार का मुखिया 1 पुरुष है। दूसरे, मुखिया के 4 बेटे हैं, जो गिनती में 4 पुरुष जोड़ते हैं। तीसरे, इन 4 बेटों में से प्रत्येक के अपने 3 बेटे हैं, जो एक और 4 × 3 = 12 पुरुष का योगदान करते हैं। इन मानों को जोड़ने पर सदस्यों की कुल संख्या 1 + 4 + 12 = 17 होती है।

व्याख्या

व्यंजक P ÷ R + S + Q को दी गई परिभाषाओं का उपयोग करके बाएं से दाएं डिकोड किया गया है:

P ÷ R का अर्थ है P, R की पुत्री है। इसका तात्पर्य है कि P महिला है।

R + S का अर्थ है R, S का पिता है। चूँकि P और S दोनों R के बच्चे हैं, वे भाई-बहन हैं। चूँकि P महिला है, P, S की बहन है।

S + Q का अर्थ है S, Q का पिता है।

चूँकि S, Q का पिता है और P, S की बहन है, P, Q के पिता की बहन है। इसलिए, P, Q की मौसी है।

व्याख्या

दिए गए परिभाषाओं का उपयोग करके व्यंजक P × R ÷ Q को चरण दर चरण समझा जा सकता है। सबसे पहले, P × R इंगित करता है कि P, R का भाई है, जिसका अर्थ है कि P पुरुष है। दूसरे, R ÷ Q इंगित करता है कि R, Q की पुत्री है। चूँकि P, R का भाई है और R, Q की पुत्री है, P और R भाई-बहन हैं जिनके माता-पिता Q हैं। चूँकि P पुरुष है, P को Q का पुत्र होना चाहिए।

व्याख्या

संबंध को व्यंजक P - R + Q द्वारा दर्शाया गया है।

दी गई परिभाषाओं से, P - R का अर्थ है P, R की पत्नी है। इससे यह स्थापित होता है कि P महिला है और R उसका पति है।

इसके अतिरिक्त, R + Q का अर्थ है R, Q का पिता है।

चूंकि R, Q का पिता है और P का विवाह R से हुआ है, इसलिए P, Q की माँ है।

व्याख्या

दिया गया व्यंजक P × R - Q है।

दिए गए कोड का उपयोग करके: P × R का अर्थ है P, R का भाई है, जिसका अर्थ है P एक पुरुष है। R - Q का अर्थ है R, Q की पत्नी है, जिसका अर्थ है R एक महिला है और Q उसका पति (पुरुष) है।

चूंकि P, Q की पत्नी R का भाई है, P, Q का साला है।

व्याख्या

घनाभ को 72 घनों (64 छोटे घन 1 इकाई भुजा वाले और 8 बड़े घन 2 इकाई भुजा वाले) में विभाजित करने के लिए, ठोस घनाभ के आयाम 4 × 4 × 8 होने चाहिए, जिससे कुल आयतन 128 इकाई हो: 64 × 1³ + 8 × 2³ = 64 + 64 = 128

2 × 2 × 2 भुजा वाले 8 बड़े घन घनाभ के मध्य भाग में स्थित हैं, जो z = 2 से z = 6 तक फैले हुए हैं। 1 × 1 × 1 भुजा वाले 64 छोटे घन दोनों सिरों पर स्थित हैं, z = 0 से z = 2 तक (32 घन) और z = 6 से z = 8 तक (32 घन)।

यह शर्त पूरी करने के लिए कि किसी भी बड़े घन की सतह काली न हो, सिरों पर (z = 0 और z = 8) 4 × 4 आकार के दो विपरीत फलकों को काला रंगा जाना चाहिए। चूंकि बड़े घन मध्य क्षेत्र (z = 2 से z = 6) में स्थित हैं, वे कभी भी काले फलकों को नहीं छूते हैं।

शेष चार 4 × 8 आकार के फलकों को विपरीत युग्मों में लाल और हरा रंगा गया है। मान लीजिए x = 0 और x = 4 पर दो विपरीत फलकों को लाल रंगा गया है।

कम से कम एक लाल सतह वाले घनों की संख्या ज्ञात करने के लिए, हम उन घनों की गणना करते हैं जो या तो x = 0 या x = 4 को छूते हैं।

मध्य भाग में 8 बड़े घनों के लिए, x-अक्ष के अनुदिश चौड़ाई 4 है। चूंकि प्रत्येक बड़े घन की भुजा की लंबाई 2 है, इसलिए x-दिशा में केवल 2 घन हैं। इस प्रकार, सभी 8 बड़े घन या तो x = 0 या x = 4 फलक को छूते हैं। इससे 8 घन प्राप्त होते हैं।

प्रत्येक सिरे पर छोटे घनों के लिए, प्रत्येक 4 × 4 × 2 खंड में घनों की कुल संख्या 32 है। जो घन लाल फलकों को नहीं छूते हैं, वे आंतरिक स्तंभों (x ∈ [1, 3]) में स्थित हैं। प्रत्येक खंड में, 2 (x के अनुदिश) × 4 (y के अनुदिश) × 2 (z के अनुदिश) = 16 ऐसे आंतरिक घन हैं। परिणामस्वरूप, प्रत्येक सिरे वाले खंड में लाल फलकों को छूने वाले छोटे घनों की संख्या 32 - 16 = 16 है। इससे 16 + 16 = 32 घन प्राप्त होते हैं।

इन सबको जोड़ने पर, कम से कम एक लाल सतह वाले घनों की कुल संख्या 8 + 32 = 40 है।

व्याख्या

केवल एक फलक रंगे हुए घनों की संख्या ज्ञात करने के लिए, हम पहले घनाभ के आयामों का निर्धारण करते हैं।

मान लीजिए छोटे घन की भुजा s है और बड़े घन की भुजा 2s है। छोटे घन का आयतन s³ है और बड़े घन का आयतन 8s³ है।

घनाभ को 64 छोटे घनों और 8 बड़े घनों में काटा गया है। s³ के पदों में कुल आयतन है: कुल आयतन = 64 × 1s³ + 8 × 8s³ = 128s³

चूंकि घनाभ को इन घनों में काटा गया है, इसके आयामों का गुणनफल 128 होना चाहिए। चूंकि हमें 2s भुजा वाले बड़े घनों को फिट करना है, आयाम सम होने चाहिए। इसे संतुष्ट करने वाले एकमात्र पूर्णांक आयाम 4 × 4 × 8 हैं।

घनाभ को इस प्रकार रंगा गया है: 4 × 4 आकार के दो विपरीत फलकों को काला रंगा गया है। 4 × 8 आकार के दो विपरीत फलकों को लाल रंगा गया है। 4 × 8 आकार के दो विपरीत फलकों को हरा रंगा गया है।

चूंकि 8 बड़े घनों की कोई भी सतह काली नहीं हो सकती है, वे 4 × 4 आकार के काले फलकों को नहीं छू सकते हैं। इस प्रकार, काले फलक 8 की लंबाई के सिरों पर (x = 0 और x = 8 पर) होने चाहिए।

8 बड़े घन (प्रत्येक 2 × 2 × 2 आकार के) कुल 4 × 4 × 4 आकार का 2 × 2 × 2 ब्लॉक बनाते हैं। यह ब्लॉक घनाभ के मध्य में (x = 2 से x = 6 तक) पूरी तरह से फिट बैठता है, जो उन्हें x = 0 और x = 8 पर काले फलकों को छूने से रोकता है। यह प्रत्येक सिरे पर छोटे घनों की दो परतें छोड़ता है (x = 0 से 2 तक, और x = 6 से 8 तक)।

अब, हम केवल एक फलक रंगे हुए घनों की गणना करते हैं:

केवल काले घन: काले फलक x = 0 और x = 8 पर हैं, प्रत्येक 4 × 4 आकार के। इन फलकों पर जो घन किसी अन्य फलक को नहीं छूते हैं, वे 2 × 2 मध्य भाग में 4 केंद्रीय घन हैं। चूंकि 2 काले फलक हैं, हमारे पास हैं: 2 × 4 = 8 केवल काले घन।

केवल लाल घन: लाल फलक y = 0 और y = 4 पर हैं, प्रत्येक 4 × 8 आकार के (x और z के साथ)। y = 0 पर लाल फलक के लिए: x ∈ [0, 1] और x ∈ [7, 8] पर स्तंभ काले फलकों को छूते हैं। z ∈ [0, 1] और z ∈ [3, 4] पर पंक्तियाँ हरे फलकों को छूती हैं। मध्य क्षेत्र x ∈ [2, 6] में बड़े घन शामिल हैं, जो z = 0 या z = 4 पर हरे फलकों को छूते हैं, इसलिए बड़े घनों में से किसी का भी केवल एक फलक रंगा हुआ नहीं है। केवल एक फलक रंगे हुए शेष छोटे घन x ∈ [1, 2] और x ∈ [6, 7] के स्तंभों में, z ∈ [1, 3] पंक्तियों के भीतर हैं। यह 2 × 2 घनों के 2 स्तंभ देता है, जो 4 घन हैं। 2 लाल फलकों के साथ, हमारे पास हैं: 2 × 4 = 8 केवल लाल घन।

केवल हरे घन: लाल फलकों के साथ समरूपता से, 4 × 8 आकार के 2 हरे फलकों में से प्रत्येक में केवल एक फलक रंगा हुआ 4 छोटे घन होते हैं। इससे मिलता है: 2 × 4 = 8 केवल हरे घन।

इन गणनाओं को जोड़ने पर केवल एक फलक रंगे हुए घनों की कुल संख्या प्राप्त होती है: 8 + 8 + 8 = 24

व्याख्या

ठोस घनाभ (आयाम 4 × 4 × 8) को 4 × 4 × 4 आकार के दो हिस्सों में विभाजित किया गया है: एक हिस्से को 2 × 2 × 2 आकार के 8 बड़े घनों में काटा गया है। दूसरे हिस्से को 1 × 1 × 1 आकार के 64 छोटे घनों में काटा गया है।

तीन फलक रंगे हुए घन केवल मूल घनाभ के कोनों पर ही स्थित हो सकते हैं, क्योंकि केवल कोनों की स्थिति में ही तीन फलक बाहरी हिस्से के संपर्क में होते हैं।

चूंकि एक घनाभ में ठीक 8 कोने होते हैं: इनमें से 4 कोने घनाभ के एक सिरे पर बड़े घनों द्वारा अधिग्रहित होते हैं। 4 कोने विपरीत सिरे पर छोटे घनों द्वारा अधिग्रहित होते हैं।

इस प्रकार, ठीक 4 + 4 = 8 घन ऐसे हैं जिनके तीन फलक रंगे हुए हैं।

व्याख्या

बिना रंगे घनों की संख्या निर्धारित करने के लिए, हम पहले ठोस घनाभ के आयाम ज्ञात करते हैं। मान लीजिए कि 64 छोटे घनों में से प्रत्येक की भुजा की लंबाई 1 इकाई (आयतन = 1 घन इकाई) है, और 8 बड़े घनों में से प्रत्येक की भुजा की लंबाई 2 इकाई (आयतन = 2³ = 8 घन इकाई) है।

सभी कटे हुए घनों के आयतन का योग घनाभ का कुल आयतन है: कुल आयतन = (64 × 1) + (8 × 8) = 64 + 64 = 128 घन इकाई।

दी गई शर्तों के तहत दोनों प्रकार के घनों को समायोजित करने के लिए, घनाभ के आयाम 4 × 4 × 8 होने चाहिए। मान लीजिए कि X-अक्ष के अनुदिश घनाभ की लंबाई 8 इकाई है, Y-अक्ष के अनुदिश चौड़ाई 4 इकाई है, और Z-अक्ष के अनुदिश ऊंचाई 4 इकाई है।

X-अक्ष के दो सिरों पर विपरीत फलक (x = 0 और x = 8 पर, प्रत्येक का आकार 4 × 4) काले रंग के हैं। Y और Z अक्षों के अनुदिश अन्य चार फलक (y = 0, y = 4, z = 0, और z = 4 पर, प्रत्येक का आकार 4 × 8) लाल और हरे रंग के हैं।

चूंकि 8 बड़े घनों की कोई भी सतह काली नहीं हो सकती है, इसलिए उन्हें x = 0 और x = 8 पर दो बाहरी काली सतहों को नहीं छूना चाहिए। इसका मतलब है कि वे घनाभ के मध्य क्षेत्र में x = 2 से x = 6 तक पैक किए गए हैं (जो 2 × 2 × 2 = 8 बड़े घनों वाले 4 × 4 × 4 स्थान बनाते हैं)।

क्योंकि इन 8 बड़े घनों में से प्रत्येक की भुजा की लंबाई 2 इकाई है और घनाभ की कुल चौड़ाई और ऊंचाई दोनों 4 इकाई हैं, प्रत्येक बड़ा घन या तो y = 0 या y = 4 (लाल रंग) और z = 0 या z = 4 (हरा रंग) पर बाहरी सीमा को छूता होगा। परिणामस्वरूप, सभी 8 बड़े घनों की कम से कम कुछ सतहें रंगीन हैं, जिसका अर्थ है कि 0 बड़े घन पूरी तरह से बिना रंगे हैं।

शेष 64 छोटे घन 4 × 4 × 2 के दो बाहरी अंतिम क्षेत्रों में स्थित हैं (एक x ∈ [0, 2] पर और दूसरा x ∈ [6, 8] पर)।

1 × 1 × 1 आकार के एक छोटे घन की कोई रंगीन सतह न हो, इसके लिए उसे घनाभ के किसी भी बाहरी फलक को नहीं छूना चाहिए: पहले अंतिम क्षेत्र में (x ∈ [0, 2]), बिना रंगे छोटे घनों में होना चाहिए: x-निर्देशांक [1, 2] की सीमा में (1 परत, x = 0 पर काली सतह से बचने के लिए) y-निर्देशांक [1, 3] की सीमा में (2 परतें, y = 0 और y = 4 पर लाल सतहों से बचने के लिए) z-निर्देशांक [1, 3] की सीमा में (2 परतें, z = 0 और z = 4 पर हरी सतहों से बचने के लिए)

इससे पहले अंतिम क्षेत्र में 1 × 2 × 2 = 4 बिना रंगे छोटे घन प्राप्त होते हैं।

समरूपता से, दूसरे अंतिम क्षेत्र में (x ∈ [6, 8]), बिना रंगे छोटे घनों में होना चाहिए: x-निर्देशांक [6, 7] की सीमा में (1 परत, x = 8 पर काली सतह से बचने के लिए) y-निर्देशांक [1, 3] की सीमा में (2 परतें) z-निर्देशांक [1, 3] की सीमा में (2 परतें)

इससे दूसरे अंतिम क्षेत्र में 1 × 2 × 2 = 4 बिना रंगे छोटे घन प्राप्त होते हैं।

इन सबको जोड़ने पर, किसी भी सतह पर कोई रंग न होने वाले घनों की कुल संख्या 4 + 4 = 8 है।

व्याख्या

ठोस घनाभ के आयाम 4 × 4 × 8 हैं, जिसे 1 × 1 × 1 आकार के इकाई स्थानों के ग्रिड के रूप में दर्शाया जा सकता है।

फलकों पर रंग इस प्रकार असाइन किए गए हैं: 4 × 4 आयामों वाले दो विपरीत अंतिम फलकों (z = 0 और z = 8 पर) को काला रंगा गया है। 4 × 8 आयामों वाले दो विपरीत पार्श्व फलकों (x = 0 और x = 4 पर) को लाल रंगा गया है। शेष 4 × 8 आयामों वाले दो विपरीत पार्श्व फलकों (y = 0 और y = 4 पर) को हरा रंगा गया है।

कुल 72 घन प्राप्त करने के लिए, जिसमें 1 × 1 × 1 आकार के 64 छोटे घन और 2 × 2 × 2 आकार के 8 बड़े घन शामिल हैं: घनाभ का मध्य भाग (z = 2 से z = 6 तक, 4 × 4 × 4 आयामों का) 2 × 2 × 2 आकार के 8 बड़े घनों में काटा जाता है। यह इस शर्त को पूरा करता है कि कोई भी बड़ा घन z = 0 और z = 8 पर काले फलकों को नहीं छूता है। दो अंतिम भाग (z = 0 से 2 तक, और z = 6 से 8 तक, प्रत्येक 4 × 4 × 2 आयामों का) छोटे इकाई घनों में काटे जाते हैं, जिससे प्रत्येक सिरे पर 32 छोटे घन प्राप्त होते हैं, जो कुल 64 छोटे घन बनाते हैं।

कम से कम एक सतह हरे रंग वाले घनों की संख्या ज्ञात करने के लिए, हम y = 0 और y = 4 पर हरे फलकों को छूने वाले घनों की गणना करते हैं:

छोटे घनों के लिए: 4 × 4 × 2 आयामों के प्रत्येक दो अंतिम भागों में: हरे फलक y = 0 को छूने वाली छोटी घनों की परत में 4 (x के अनुदिश) × 2 (z के अनुदिश) = 8 घन शामिल हैं। हरे फलक y = 4 को छूने वाली छोटी घनों की परत में भी 4 (x के अनुदिश) × 2 (z के अनुदिश) = 8 घन शामिल हैं। चूंकि y-आयाम 4 इकाई है और छोटे घनों की भुजा की लंबाई 1 है, ये दो परतें ओवरलैप नहीं करती हैं। इस प्रकार, प्रत्येक अंतिम भाग में हरे फलक को छूने वाले 8 + 8 = 16 छोटे घन होते हैं। दोनों अंतिम भागों के लिए संयुक्त रूप से, 16 + 16 = 32 छोटे घन हैं।

बड़े घनों के लिए: 4 × 4 × 4 आयामों के मध्य भाग में: 8 बड़े घन 2 × 2 × 2 ग्रिड में व्यवस्थित हैं। y-अक्ष के अनुदिश, 2 भुजा वाले ठीक 2 बड़े घन हैं, जो y = 0 से 2 और y = 2 से 4 तक स्थित हैं। इसका मतलब है कि प्रत्येक बड़ा घन या तो y = 0 को छूने वाली परत में या y = 4 को छूने वाली परत में स्थित है। परिणामस्वरूप, सभी 8 बड़े घन एक हरे फलक को छूते हैं।

इन सबको जोड़ने पर, कम से कम एक सतह हरे रंग वाले घनों की कुल संख्या 32 छोटे घन + 8 बड़े घन = 40 है।

व्याख्या

मूल घनाभ में, लाल फलक एक-दूसरे के विपरीत हैं, और हरे फलक एक-दूसरे के विपरीत हैं। इसका मतलब है कि घनाभ के लाल और हरे फलक एक-दूसरे के लंबवत हैं।

घनाभ को काटने से प्राप्त कोई भी घन घनाभ के बाहरी फलकों के समानांतर अपने फलकों को रखेगा। परिणामस्वरूप, यदि किसी व्यक्तिगत घन में लाल-रंग की सतह और हरे-रंग की सतह दोनों हैं, तो ये दो सतहें एक-दूसरे के लंबवत (आसन्न) होनी चाहिए, एक किनारे को साझा करते हुए।

चूंकि किसी भी कटे हुए घन पर लाल और हरे रंग की सतहें केवल आसन्न हो सकती हैं, इसलिए किसी भी घन के लिए एक-दूसरे के विपरीत लाल सतह और हरे रंग की सतह होना ज्यामितीय रूप से असंभव है। इसलिए, ऐसे घनों की संख्या 0 है।

व्याख्या

घनों की संख्या ज्ञात करने के लिए, हम पहले घनाभ के आयामों और कटाई की व्यवस्था का निर्धारण करते हैं।

घनाभ को कुल 72 घनों में काटा जाता है: 64 छोटे घन जिनकी भुजा 1 इकाई है (कुल आयतन = 64 × 1³ = 64 घन इकाई) 8 बड़े घन जिनकी भुजा 2 इकाई है (कुल आयतन = 8 × 2³ = 64 घन इकाई)

घनाभ का कुल आयतन 64 + 64 = 128 घन इकाई है। चूंकि छोटे घन 4 × 4 × 4 ब्लॉक बनाते हैं और बड़े घन एक अन्य 4 × 4 × 4 ब्लॉक बनाते हैं, इसलिए ठोस घनाभ के आयाम 4 × 4 × 8 हैं।

हमें दिया गया है कि बड़े घनों की कोई भी सतह काली नहीं होनी चाहिए। चूंकि विपरीत फलकों को एक ही रंग से रंगा गया है, इसलिए दो विपरीत 4 × 4 सिरे वाले फलक (z = 0 और z = 8 पर) काले रंग के होने चाहिए।

यह सुनिश्चित करने के लिए कि बड़े घन इन काली सतहों को न छुएं: 8 बड़े घन (प्रत्येक की भुजा 2) घनाभ के मध्य भाग में रखे जाते हैं (z-निर्देशांक 2 से 6 तक)। 64 छोटे घन दो सिरों पर रखे जाते हैं (32 घन z = 0 से 2 तक, और 32 घन z = 6 से 8 तक)। शेष चार विपरीत 4 × 8 पार्श्व फलकों को क्रमशः लाल और हरा रंगा गया है।

लाल और हरे रंग की आसन्न सतहों वाले घन (और कोई अन्य रंगीन सतह नहीं) घनाभ के 4 लंबे किनारों (प्रत्येक की लंबाई 8) के साथ स्थित होने चाहिए, जहाँ लाल और हरे फलक मिलते हैं।

इन 4 लंबे किनारों में से प्रत्येक के साथ: z ∈ [0, 1] और z ∈ [7, 8] पर छोटे घन काली सिरे वाली सतहों को छूते हैं और इसलिए उन पर 3 फलक रंगे हुए होते हैं (लाल, हरा, काला)। z ∈ [1, 2] और z ∈ [6, 7] पर छोटे घन केवल लाल और हरे फलकों को छूते हैं, इसलिए उन पर ठीक 2 फलक रंगे हुए होते हैं। यह प्रति किनारे 2 छोटे घन देता है। मध्य भाग में दोनों बड़े घन (z ∈ [2, 4] और z ∈ [4, 6]) केवल लाल और हरे पार्श्व फलकों को छूते हैं, जिसका अर्थ है कि उन पर ठीक 2 फलक रंगे हुए हैं। यह प्रति किनारे 2 बड़े घन देता है।

इस प्रकार, 4 लंबे किनारों में से प्रत्येक के साथ, ठीक लाल और हरे रंग की सतहों वाले 2 छोटे घन और 2 बड़े घन हैं।

ऐसे घनों की कुल संख्या = 4 किनारे × (2 छोटे घन + 2 बड़े घन) = 16 घन।

व्याख्या

शंकु का आयतन सूत्र V = ⅓ π r² h द्वारा दिया जाता है, जहाँ r आधार की त्रिज्या है और h ऊँचाई है।

मान लीजिए मूल शंकु की त्रिज्या और ऊँचाई क्रमशः r और h हैं। इसका आयतन V₁ = ⅓ π r² h है।

नए शंकु के लिए, त्रिज्या दोगुनी होकर 2r हो जाती है और ऊँचाई h ही रहती है। इसका आयतन V₂ = ⅓ π (2r)² h = 4/3 π r² h है।

नए शंकु और मूल शंकु के आयतन का अनुपात V₂ : V₁ = (4/3 π r² h) / (⅓ π r² h) = 4 : 1 है।

व्याख्या

समुच्चय सिद्धांत के सिद्धांत का उपयोग करते हुए, दो विषयों में से कम से कम एक में उत्तीर्ण होने वाले छात्रों का प्रतिशत सूत्र द्वारा दिया जाता है:

P(M ∪ P) = P(M) + P(P) - P(M ∩ P)

जहाँ P(M) गणित में उत्तीर्ण होने वाले छात्रों का प्रतिशत दर्शाता है, P(P) भौतिकी में उत्तीर्ण होने वाले छात्रों का प्रतिशत है, और P(M ∩ P) दोनों में उत्तीर्ण होने वाले छात्रों का प्रतिशत है।

दिए गए मानों को प्रतिस्थापित करने पर:

P(M ∪ P) = 65 + 48 - 30 P(M ∪ P) = 83%

इसका मतलब है कि 83% छात्र कम से कम एक विषय में उत्तीर्ण हुए। दोनों विषयों में अनुत्तीर्ण होने वाले छात्रों का प्रतिशत पूरक है:

100% - 83% = 17%

व्याख्या

चीनी पर कुल व्यय उसकी कीमत और खपत का गुणनफल है: व्यय = कीमत × खपत।

जब किसी वस्तु की कीमत में r% की वृद्धि होती है, तो कुल व्यय को अपरिवर्तित रखने के लिए खपत में आवश्यक प्रतिशत कमी सीधे सूत्र द्वारा दी जाती है:

खपत में कमी % = [r / (100 + r)] × 100 %

सूत्र में r = 25 रखने पर:

खपत में कमी % = [25 / (100 + 25)] × 100 % खपत में कमी % = [25 / 125] × 100 % खपत में कमी % = 1/5 × 100 % = 20 %

व्याख्या

श्रेणी S₁ प्रत्यावर्ती हार्मोनिक श्रेणी है, जिसका मूल्यांकन log(1 + x) के लिए मैकलॉरिन श्रेणी विस्तार का उपयोग करके किया जा सकता है:

log(1 + x) = x - x²/2 + x³/3 - x⁴/4 + ...

इस सूत्र में x = 1 प्रतिस्थापित करने पर प्राप्त होता है:

log(2) = 1 - 1/2 + 1/3 - 1/4 + ...

चूंकि यह श्रेणी प्रत्यावर्ती श्रेणी परीक्षण द्वारा सशर्त रूप से अभिसारी है, इसलिए योग S₁ का अभिसरण log 2 होता है।

श्रेणी S₂ मानक हार्मोनिक श्रेणी है:

S₂ = 1 + 1/2 + 1/3 + 1/4 + ...

समाकलन परीक्षण का उपयोग करके, हम इस श्रेणी की तुलना 1 से अनंत तक 1/x के समाकलन से कर सकते हैं। चूंकि यह समाकलन अनंत तक अपसरित होता है, इसलिए हार्मोनिक श्रेणी भी अपसरित होती है। परिणामस्वरूप, योग S₂ का परिमित वास्तविक संख्या के रूप में अस्तित्व नहीं है।

व्याख्या

सप्ताह के सात दिनों (सोमवार से रविवार) में व्याख्यानों की अनुसूची निर्धारित करने के लिए, हम दिए गए शर्तों का चरण-दर-चरण विश्लेषण कर सकते हैं:

हमारे पास 6 व्याख्यान (संगठनात्मक व्यवहार, मनोविज्ञान, सांख्यिकी, कंप्यूटर विज्ञान, अनुसंधान विधियाँ, अर्थशास्त्र) और 1 छुट्टी का दिन है। छुट्टी का दिन अर्थशास्त्र से ठीक पहले निर्धारित है, जो (छुट्टी का दिन, अर्थशास्त्र) का एक लगातार ब्लॉक बनाता है। चूंकि सोमवार छुट्टी का दिन नहीं हो सकता है, यह ब्लॉक सप्ताह में बाद में होना चाहिए। मनोविज्ञान संगठनात्मक व्यवहार के तुरंत बाद निर्धारित है, जो (संगठनात्मक व्यवहार, मनोविज्ञान) का एक और लगातार ब्लॉक बनाता है। सांख्यिकी और अनुसंधान विधियों के बीच एक दिन का अंतराल है, जिसका अर्थ है कि वे ठीक एक दिन से अलग हैं। सांख्यिकी शुक्रवार को निर्धारित नहीं की जा सकती है, और कंप्यूटर विज्ञान मंगलवार या शनिवार को निर्धारित नहीं किया जा सकता है।

इन बाधाओं को संरेखित करके, हमें निम्नलिखित अद्वितीय साप्ताहिक अनुसूची मिलती है:

सोमवार: संगठनात्मक व्यवहार मंगलवार: मनोविज्ञान बुधवार: सांख्यिकी गुरुवार: कंप्यूटर विज्ञान शुक्रवार: अनुसंधान विधियाँ शनिवार: छुट्टी का दिन रविवार: अर्थशास्त्र

यह व्यवस्था सभी दी गई शर्तों को पूरा करती है: कंप्यूटर विज्ञान गुरुवार को है, मंगलवार और शनिवार से बच रहा है। सांख्यिकी बुधवार को है, शुक्रवार से बच रही है। सांख्यिकी (बुधवार) और अनुसंधान विधियों (शुक्रवार) के बीच का अंतराल ठीक एक दिन (गुरुवार) है। छुट्टी का दिन शनिवार है, जो रविवार को अर्थशास्त्र से ठीक पहले है, और सोमवार एक व्याख्यान का दिन है।

नतीजतन, सप्ताह में अंतिम निर्धारित व्याख्यान रविवार को अर्थशास्त्र है।

व्याख्या

समय-सारणी ज्ञात करने के लिए, हम सोमवार से रविवार तक 7 दिनों के लिए बाधाओं का चरण-दर-चरण विश्लेषण करते हैं:

मनोविज्ञान संगठनात्मक व्यवहार के तुरंत बाद है, जो एक लगातार ब्लॉक (संगठनात्मक व्यवहार, मनोविज्ञान) बनाता है। अर्थशास्त्र से एक दिन पहले छुट्टी का दिन है, जो एक और लगातार ब्लॉक (छुट्टी का दिन, अर्थशास्त्र) बनाता है। चूंकि सोमवार छुट्टी का दिन नहीं है, इसलिए छुट्टी का दिन केवल मंगलवार से शनिवार तक हो सकता है। सांख्यिकी और अनुसंधान विधियों के बीच एक दिन का अंतराल है (दिन d और d+2)। चूंकि सांख्यिकी शुक्रवार को नहीं हो सकती है, आइए सांख्यिकी को बुधवार को रखें और अनुसंधान विधियों को शुक्रवार को रखें।

अब हम शेष घटनाओं को रखते हैं: बुधवार और शुक्रवार के भरे होने के साथ, शेष खुले दिन सोमवार, मंगलवार, गुरुवार, शनिवार और रविवार हैं। चूंकि कंप्यूटर विज्ञान मंगलवार या शनिवार को निर्धारित नहीं किया जा सकता है, और हमें लगातार ब्लॉक (संगठनात्मक व्यवहार, मनोविज्ञान) को फिट करने की आवश्यकता है, उन्हें क्रमशः सोमवार और मंगलवार पर कब्जा करना चाहिए। इससे गुरुवार, शनिवार और रविवार बचते हैं। कंप्यूटर विज्ञान गुरुवार को निर्धारित है। लगातार ब्लॉक (छुट्टी का दिन, अर्थशास्त्र) को शनिवार और रविवार पर कब्जा करना चाहिए, जिससे शनिवार छुट्टी का दिन और रविवार अर्थशास्त्र का दिन बन जाए।

यह अद्वितीय, सुसंगत साप्ताहिक अनुसूची देता है: सोमवार: संगठनात्मक व्यवहार मंगलवार: मनोविज्ञान बुधवार: सांख्यिकी गुरुवार: कंप्यूटर विज्ञान शुक्रवार: अनुसंधान विधियाँ शनिवार: छुट्टी का दिन रविवार: अर्थशास्त्र

इसलिए, शुक्रवार को अनुसंधान विधियाँ निर्धारित हैं।

व्याख्या

अर्थशास्त्र और मनोविज्ञान के बीच निर्धारित व्याख्यानों की संख्या ज्ञात करने के लिए, हम दी गई शर्तों का उपयोग करके सोमवार से रविवार तक दैनिक कार्यक्रम का निर्माण कर सकते हैं:

मनोविज्ञान संगठनात्मक व्यवहार के तुरंत बाद निर्धारित है। अर्थशास्त्र से एक दिन पहले छुट्टी का दिन है (कोई व्याख्यान नहीं), और सोमवार छुट्टी का दिन नहीं है। सांख्यिकी शुक्रवार को नहीं है, और सांख्यिकी और अनुसंधान विधियों के बीच एक दिन का अंतर है। कंप्यूटर विज्ञान मंगलवार या शनिवार को निर्धारित नहीं है।

शर्तों को क्रमिक रूप से व्यवस्थित करके, सप्ताह के लिए अद्वितीय दैनिक कार्यक्रम है:

सोमवार: संगठनात्मक व्यवहार (व्याख्यान 1) मंगलवार: मनोविज्ञान (व्याख्यान 2) बुधवार: सांख्यिकी (व्याख्यान 3) गुरुवार: कंप्यूटर विज्ञान (व्याख्यान 4) शुक्रवार: अनुसंधान विधियाँ (व्याख्यान 5) शनिवार: छुट्टी का दिन (कोई व्याख्यान नहीं) रविवार: अर्थशास्त्र (व्याख्यान 6)

शर्तों के विरुद्ध इस कार्यक्रम का मूल्यांकन करने से सभी नियम संतुष्ट होते हैं: मनोविज्ञान संगठनात्मक व्यवहार का तुरंत अनुसरण करता है; कंप्यूटर विज्ञान गुरुवार को है (मंगलवार या शनिवार को नहीं); सांख्यिकी बुधवार को है (शुक्रवार को नहीं); सांख्यिकी और अनुसंधान विधियों के बीच एक दिन का अंतर (गुरुवार) है; और छुट्टी का दिन (शनिवार) अर्थशास्त्र (रविवार) से ठीक पहले है।

मंगलवार (मनोविज्ञान) और रविवार (अर्थशास्त्र) के बीच के दिन बुधवार, गुरुवार, शुक्रवार और शनिवार हैं। इन दिनों के बीच, निर्धारित व्याख्यान सांख्यिकी (बुधवार), कंप्यूटर विज्ञान (गुरुवार), और अनुसंधान विधियाँ (शुक्रवार) हैं, जबकि शनिवार एक छुट्टी का दिन है जिसमें कोई व्याख्यान नहीं है।

इसलिए, अर्थशास्त्र और मनोविज्ञान के बीच ठीक 3 व्याख्यान निर्धारित हैं।

व्याख्या

कार्यक्रम का पता लगाने के लिए, आइए बाधाओं का चरण-दर-चरण विश्लेषण करें:

हमारे पास सोमवार से रविवार तक सात दिन हैं, जिनमें छह व्याख्यान और एक अवकाश का दिन है।

संगठनात्मक व्यवहार के तुरंत बाद मनोविज्ञान होना चाहिए। यह दो लगातार दिनों का एक ब्लॉक बनाता है: संगठनात्मक व्यवहार के बाद मनोविज्ञान।

अर्थशास्त्र से एक दिन पहले अवकाश का दिन है। यह एक और ब्लॉक बनाता है: अवकाश का दिन, उसके बाद अर्थशास्त्र। चूंकि सोमवार अवकाश का दिन नहीं है, यह ब्लॉक सोमवार से शुरू नहीं हो सकता।

सांख्यिकी और अनुसंधान विधियों के बीच एक दिन का अंतर है, और सांख्यिकी शुक्रवार को नहीं हो सकती।

कंप्यूटर विज्ञान मंगलवार या शनिवार को नहीं हो सकता।

यदि हम शनिवार को अवकाश का दिन और रविवार को अर्थशास्त्र रखते हैं, तो शेष दिन सोमवार, मंगलवार, बुधवार, गुरुवार और शुक्रवार हैं।

हम संगठनात्मक व्यवहार और मनोविज्ञान ब्लॉक को क्रमशः सोमवार और मंगलवार को रख सकते हैं।

इसमें बुधवार, गुरुवार और शुक्रवार बचते हैं। चूंकि सांख्यिकी और अनुसंधान विधियों के बीच एक दिन का अंतर होना चाहिए, इसलिए उन्हें बुधवार और शुक्रवार को रखना होगा। चूंकि सांख्यिकी शुक्रवार को निर्धारित नहीं की जा सकती है, इसलिए सांख्यिकी बुधवार को और अनुसंधान विधियाँ शुक्रवार को होनी चाहिए।

कंप्यूटर विज्ञान के लिए एकमात्र शेष दिन गुरुवार है। यह कंप्यूटर विज्ञान मंगलवार या शनिवार को नहीं होने की शर्त सहित सभी शर्तों को पूरी तरह से संतुष्ट करता है। इस प्रकार, कंप्यूटर विज्ञान गुरुवार को निर्धारित है।

व्याख्या

प्रस्तुत गद्यांश के अनुसार, अंतर्राष्ट्रीय प्रतिस्पर्धा औद्योगिक रूप से समृद्ध देशों में प्रत्येक कंपनी या फर्म को अनेक विभिन्न किस्मों और शैलियों के बजाय, एक या अधिकतम कुछ किस्मों और शैलियों का ही उत्पादन करने के लिए मजबूर करती है। उत्पादित किस्मों में यह सीमा अंतर्राष्ट्रीय प्रतिस्पर्धा का प्रत्यक्ष प्रभाव है, जो इकाई लागत को कम रखने और पैमाने की अर्थव्यवस्थाओं को प्राप्त करने के लिए आवश्यक है।

व्याख्या

उत्पाद की कम कीमतें सीधे उपभोक्ताओं की वास्तविक आय या क्रय शक्ति में वृद्धि में तब्दील होती हैं। जब पैमाने की अर्थव्यवस्थाओं के कारण विभेदित वस्तुओं की कीमतें कम हो जाती हैं, तो उपभोक्ता समान मात्रा में धन से अधिक मात्रा और विविधता की वस्तुएं खरीद पाते हैं, जिससे उनकी समग्र क्रय शक्ति और कल्याण में वृद्धि होती है।

व्याख्या

गद्यांश के अनुसार, अधिक विशिष्ट और प्रभावी मशीनरी (विशेषीकृत मशीनरी) का विकास और उपयोग इकाई लागत को कम रखने के लिए कुछ किस्मों पर ध्यान केंद्रित करके प्राप्त किया जाता है। यह विशेषज्ञता अंतर्राष्ट्रीय व्यापार को सक्षम बनाती है जहाँ राष्ट्र एक ही उत्पाद की विभिन्न किस्मों का आदान-प्रदान करते हैं। परिणामस्वरूप, यह प्रक्रिया उपभोक्ताओं के लिए उपलब्ध विकल्पों की एक विस्तृत श्रृंखला और खरीदे जा सकने वाले सामानों की विविधता में उल्लेखनीय वृद्धि की ओर ले जाती है।

व्याख्या

गद्यांश के अनुसार, जब 1958 में यूरोपीय संघ के सदस्यों के बीच व्यापार के प्रवाह पर टैरिफ और अन्य बाधाओं को हटा दिया गया, तो तत्काल परिणाम यह हुआ कि व्यापार की मात्रा में वृद्धि हुई। यह सीधे तौर पर दर्शाता है कि व्यापार बाधाओं को दूर करने से सदस्य राज्यों के बीच व्यापार की मात्रा में वृद्धि हुई।

व्याख्या

शब्द 'noticeable' का अर्थ है कुछ ऐसा जो आसानी से देखा, अवलोकन किया या पता लगाया जा सके, जिससे यह स्पष्ट या प्रत्यक्ष हो जाए। शब्द 'perceptible' का भी यही अर्थ है, क्योंकि यह उस चीज़ का वर्णन करता है जिसे इंद्रियों या मन द्वारा महसूस किया जा सके, देखा जा सके या पहचाना जा सके। इसलिए, 'perceptible' 'noticeable' का पर्यायवाची है।

व्याख्या

अव्यक्त संचार का तात्पर्य स्पष्ट या बोले गए शब्दों का उपयोग किए बिना संदेशों, भावनाओं और इरादों के प्रसारण से है। शारीरिक हाव-भाव, जिसमें हाव-भाव, मुद्रा, चेहरे के भाव और आँखों की गति शामिल है, अशाब्दिक संचार का एक प्राथमिक रूप है। क्योंकि ये शारीरिक संकेत अप्रत्यक्ष रूप से अंतर्निहित अर्थों, दृष्टिकोणों और भावनात्मक स्थितियों को व्यक्त करते हैं, इसलिए उन्हें प्रत्यक्ष मौखिक अभिव्यक्ति के बजाय संदर्भ के आधार पर व्याख्या की आवश्यकता होती है, जिससे शारीरिक हाव-भाव मौलिक रूप से अव्यक्त हो जाते हैं।

व्याख्या

अशाब्दिक संचार में शारीरिक हाव-भाव, चेहरे के भाव, हाव-भाव, मुद्रा, आँखों का संपर्क और आवाज़ के लहज़े के माध्यम से जानकारी देना शामिल है। यह अधिकतर असंरचित होता है क्योंकि इसमें नियमों, वाक्य-विन्यास और संगठित व्याकरण की एक औपचारिक प्रणाली का अभाव होता है, जो मौखिक भाषा में मानक हैं। इसके बजाय, ये संकेत सहज, अत्यधिक प्रासंगिक और व्यक्तिगत भावनात्मक स्थितियों और सांस्कृतिक पृष्ठभूमि से गहराई से जुड़े होते हैं, जो उन्हें तरल और अनौपचारिक बनाते हैं।

व्याख्या

समानांतर संचार एक ऐसी विधि को संदर्भित करता है जहाँ कई डेटा सिग्नल या पैकेट एक साथ विभिन्न चैनलों या पथों पर प्रेषित किए जाते हैं। इंटरनेट चैटिंग के संदर्भ में, उपयोगकर्ता वास्तविक समय में संवाद करते हैं, और नेटवर्क प्रणाली समानांतर पथों में कई डेटा स्ट्रीम (जैसे टेक्स्ट, मीडिया और नेटवर्क प्रोटोकॉल डेटा) के एक साथ, समवर्ती संचरण की सुविधा प्रदान करती है। यह कई प्रतिभागियों के बीच क्रमिक देरी के बिना तत्काल, बहुआयामी आदान-प्रदान और समानांतर सक्रिय सत्रों को सक्षम बनाता है।

व्याख्या

संचार बाधाएँ वे बाधाएँ हैं जो संदेशों के प्रभावी प्रसारण और प्राप्ति को विकृत करती हैं या रोकती हैं। भौतिक शोर, जैसे कि तेज बाहरी पर्यावरणीय ध्वनियाँ या खराब ध्वनिकी, सीधे संदेश के भौतिक प्रसारण में हस्तक्षेप करता है। मनोवैज्ञानिक शोर, जिसमें भावनात्मक तनाव, व्यक्तिगत पूर्वाग्रह, चिंता या पूर्व-कब्जा जैसे आंतरिक संज्ञानात्मक विकर्षण शामिल हैं, प्रेषक या प्राप्तकर्ता में से किसी एक द्वारा संदेश की वस्तुनिष्ठ समझ को बाधित करता है। साथ में, ये शोर के रूप संचार के सुचारू प्रवाह को बाधित करने वाली महत्वपूर्ण बाहरी और आंतरिक बाधाओं का प्रतिनिधित्व करते हैं।

व्याख्या

संचार में, संदर्भ उस भौतिक, सामाजिक, सांस्कृतिक, मनोवैज्ञानिक और सामयिक वातावरण को संदर्भित करता है जिसमें एक संदेश का आदान-प्रदान किया जाता है। यह संदर्भ का ढाँचा, पृष्ठभूमि और प्रेषक और प्राप्तकर्ता के बीच संबंध स्थापित करता है, जो सीधे तौर पर यह निर्देशित करता है कि संदेश को कैसे डीकोड और समझा जाता है। संदर्भ के बिना, संदेश का अर्थ आसानी से गलत समझा जा सकता है, क्योंकि समान मौखिक या गैर-मौखिक संकेतों का विभिन्न परिस्थितियों में पूरी तरह से अलग-अलग अर्थ हो सकता है।

व्याख्या

शब्द गलत वर्तनी वाला है क्योंकि सही वर्तनी piety है, जहाँ अक्षर i, अक्षर e से पहले आता है। Piety का अर्थ है धार्मिक, श्रद्धामय या भक्त होने का गुण। विकल्प में वर्तनी इन दो अक्षरों को peity के रूप में गलत तरीके से उलट देती है।

व्याख्या

ग्रेगेरियस (Gregarious) शब्द ऐसे व्यक्ति का वर्णन करता है जो कंपनी पसंद करता है, अत्यधिक मिलनसार होता है, और दूसरों से घिरा रहना पसंद करता है। एकांतप्रिय (reclusive) शब्द ऐसे व्यक्ति का वर्णन करता है जो अन्य लोगों की संगति से बचता है, एकांत या अलगाव में रहना पसंद करता है। चूंकि ये दोनों शब्द सामाजिक संपर्क के संबंध में सीधे विपरीत व्यवहारिक प्राथमिकताओं का प्रतिनिधित्व करते हैं, इसलिए एकांतप्रिय, ग्रेगेरियस का सटीक विलोम है।

व्याख्या

Tremulous शब्द एक विशेषण है जिसका उपयोग किसी ऐसे व्यक्ति या वस्तु का वर्णन करने के लिए किया जाता है जो काँप रहा हो, थरथरा रहा हो, या अस्थिर हो, अक्सर घबराहट, भय या शारीरिक कमजोरी के कारण। इस शब्द का विलोम 'steady' है, जिसका अर्थ है दृढ़, स्थिर, संतुलित और काँपने या हिलने-डुलने से मुक्त।

व्याख्या

पेटेंट एक सरकारी एजेंसी द्वारा आविष्कारक को दिया गया एक आधिकारिक कानूनी अधिकार है, जो उन्हें एक निश्चित अवधि के लिए अपने अनूठे आविष्कार के निर्माण, उपयोग और बिक्री का एकमात्र अधिकार देता है। यह विशेष अधिकार प्रतिस्पर्धियों को पेटेंट धारक की सहमति के बिना पेटेंट आविष्कार की नकल करने, बनाने या आयात करने से रोकता है, जिससे आविष्कारक की बौद्धिक संपदा और नवाचार की रक्षा और पुरस्कार मिलता है।

व्याख्या

सुखवादी वह व्यक्ति होता है जिसका जीवन सुख और आत्म-संतुष्टि की खोज के लिए समर्पित होता है। यह शब्द ग्रीक शब्द 'हेडोन' से उत्पन्न हुआ है, जिसका सीधा अर्थ सुख है। दार्शनिक और सामान्य दोनों उपयोगों में, सुखवादी का मानना ​​है कि सुख सर्वोच्च भलाई है और मानव जीवन का प्राथमिक लक्ष्य है, जिससे वे लगातार आनंददायक अनुभवों की तलाश करते हैं और दर्द से बचते हैं।

व्याख्या

"किसी का नमक खाना" मुहावरे की उत्पत्ति नमक के ऐतिहासिक मूल्य से हुई है, जो एक कीमती वस्तु के रूप में आतिथ्य, मित्रता और वफादारी का प्रतीक है। किसी का नमक चखना उनकी मेहमाननवाजी स्वीकार करने और उनके मेहमान बनने का प्रतीक है। इसलिए, यह वाक्यांश किसी का मेहमान बनने के अर्थ को सर्वोत्तम रूप से व्यक्त करता है।

व्याख्या

मुहावरे 'bury the hatchet' का अर्थ है झगड़ा या संघर्ष समाप्त करना और किसी के साथ शांति स्थापित करना। इसकी उत्पत्ति एक मूल अमेरिकी प्रथा से हुई है जिसमें युद्धरत जनजातियों के मुखिया सचमुच अपने हथियार - विशेष रूप से कुल्हाड़ियों - को शाब्दिक रूप से दफन कर देते थे, जो शत्रुता की समाप्ति और उनके बीच शांतिपूर्ण संबंधों की स्थापना का प्रतीक एक औपचारिक संकेत था। दिए गए विकल्पों में से, केवल विकल्प D ('to make peace') इस अर्थ को सही ढंग से दर्शाता है। विकल्प A ('to maintain a secret'), B ('to bury the treasure'), और C ('to bury the bucket') सभी वाक्यांश के मुहावरेदार अर्थ से असंबंधित हैं।

व्याख्या

मुहावरे "किक अप ए रो" का अर्थ है शोरगुल मचाना, जोर-जोर से शिकायत करना, या किसी चीज़ के बारे में एक बड़ा हंगामा खड़ा करना। इस संदर्भ में, इसका मतलब है कि पुलिस ने स्थिति को लेकर काफी हलचल मचाई या बहुत हंगामा किया।

व्याख्या

मुहावरे "हिमशैल का एक छोटा सा हिस्सा" (tip of the iceberg) का तात्पर्य किसी बड़ी, छिपी हुई स्थिति या समस्या के एक छोटे, बोधगम्य हिस्से से है। यह रूपक हिमशैल की भौतिक प्रकृति से आता है, जहाँ कुल द्रव्यमान का केवल एक छोटा सा अंश ही जल रेखा के ऊपर दिखाई देता है, जबकि विशालकाय भाग डूबा हुआ और अदृश्य रहता है। इस संदर्भ में, तकनीकी खराबी नई परियोजना का सामना कर रही चुनौतियों के एक बड़े और अधिक जटिल समूह का केवल एक मामूली, दिखाई देने वाला लक्षण है।

व्याख्या

मुहावरे "by fits and starts" (रुक-रुक कर) का तात्पर्य किसी ऐसी गतिविधि से है जो अनियमित रूप से की जाती है, जिसमें गतिविधि की अचानक, संक्षिप्त अवधियों के बाद निष्क्रियता या रुकने के अंतराल होते हैं। क्योंकि काम में एक स्थिर, निरंतर या समान गति का अभाव होता है, इसलिए यह असंगत रूप से किया जाता है।

व्याख्या

साझेदारी में लाभ प्रत्येक साझेदार की पूंजी को उसके निवेश की अवधि से गुणा करके (अर्थात, 'पूंजी-माह' या समतुल्य निवेश) के अनुपात में साझा किया जाता है।

तीनों साझेदार पहले 3 महीनों के लिए प्रत्येक 16,000 रुपये का निवेश करते हैं। 3 महीने बाद:

• राम 2,000 रुपये निकालता है, इसलिए उसकी पूंजी शेष 9 महीनों के लिए 14,000 रुपये हो जाती है।
• मोहन 4,000 रुपये निकालता है, इसलिए उसकी पूंजी शेष 9 महीनों के लिए 12,000 रुपये हो जाती है।
• सोहन 8,000 रुपये और निवेश करता है, इसलिए उसकी पूंजी शेष 9 महीनों के लिए 24,000 रुपये हो जाती है।

समकक्ष निवेश (पूंजी × माह): राम = (16,000 × 3) + (14,000 × 9) = 48,000 + 126,000 = 1,74,000 मोहन = (16,000 × 3) + (12,000 × 9) = 48,000 + 108,000 = 1,56,000 सोहन = (16,000 × 3) + (24,000 × 9) = 48,000 + 2,16,000 = 2,64,000

लाभ-साझाकरण अनुपात: राम : मोहन : सोहन = 1,74,000 : 1,56,000 : 2,64,000 = 174 : 156 : 264 = 29 : 26 : 44 (प्रत्येक को 6 से विभाजित करने पर)

अनुपात भागों का योग = 29 + 26 + 44 = 99

राम का लाभ का हिस्सा = (29 / 99) × 41,580 = 29 × 420 = 12,180 रुपये

सही उत्तर विकल्प बी है।

व्याख्या

मान लीजिए रामचंदानी का वेतन S है।

शुरुआत में तय किया गया दान वेतन का 16% है, जो कि है: तय दान = 0.16S

रु. 4,320 का वास्तविक दान तय किए गए दान का तीन-पांचवां है: 4,320 = (3/5) × 0.16S

इसे सरल बनाने के लिए भिन्न के रूप में व्यक्त करना: 4,320 = (3/5) × (16/100) × S 4,320 = (48/500) × S

S के लिए हल करना: S = (4,320 × 500) / 48 S = 90 × 500 S = 45,000

व्याख्या

मिश्रण का विक्रय मूल्य रु. 18 प्रति लीटर है, और लाभ 25 प्रतिशत है।

मिश्रण का क्रय मूल्य = विक्रय मूल्य ÷ (1 + लाभ प्रतिशत) मिश्रण का क्रय मूल्य = 18 ÷ 1.25 = 18 × 4/5 = रु. 14.4 प्रति लीटर

मिश्रण के नियम का उपयोग करते हुए, जहाँ शुद्ध दूध का क्रय मूल्य रु. 20 प्रति लीटर है और पानी का क्रय मूल्य रु. 0 प्रति लीटर है:

दूध और पानी का अनुपात = (औसत क्रय मूल्य - पानी का मूल्य) : (दूध का मूल्य - औसत क्रय मूल्य) दूध और पानी का अनुपात = (14.4 - 0) : (20 - 14.4) दूध और पानी का अनुपात = 14.4 : 5.6

दोनों पक्षों को 10 से गुणा करने पर 144 : 56 प्राप्त होता है। दोनों पदों को 8 से विभाजित करने पर अनुपात 18 : 7 हो जाता है।

व्याख्या

दो वर्षों के लिए वार्षिक ब्याज दर (R%) पर मूलधन (P) पर चक्रवृद्धि ब्याज और साधारण ब्याज के बीच का अंतर (D) निम्न सूत्र द्वारा दिया जाता है:

D = P × (R/100)²

दिए गए मानों को प्रतिस्थापित करने पर, जहाँ D = 10 और R = 5:

10 = P × (5/100)²

10 = P × (1/20)²

10 = P × (1/400)

P = 10 × 400

P = 4000

व्याख्या

मान लीजिए प्रारंभिक बिंदु मूल बिंदु (0, 0) है, जहाँ धनात्मक x-अक्ष पूर्व को और धनात्मक y-अक्ष उत्तर को दर्शाता है।

पहले, अपने दाएं (पूर्व) मुड़कर, वह 25 मीटर चलता है, (25, 0) पर पहुँचता है। दूसरे, अपने बाएं (उत्तर) मुड़कर, वह 30 मीटर चलता है, (25, 30) पर पहुँचता है। तीसरे, अपने दाएं (पूर्व) मुड़कर, वह 25 मीटर चलता है, (50, 30) पर पहुँचता है। चौथे, अपने दाएं (दक्षिण) मुड़कर, वह 55 मीटर चलता है, (50, -25) पर पहुँचता है। पांचवें, अपने दाएं (पश्चिम) मुड़कर, वह 40 मीटर चलता है, (10, -25) पर पहुँचता है।

उसकी अंतिम स्थिति में एक धनात्मक पूर्व निर्देशांक (10 मीटर पूर्व) और एक ऋणात्मक उत्तर निर्देशांक (25 मीटर दक्षिण) है, जिसका अर्थ है कि वह अपने प्रारंभिक बिंदु के सापेक्ष दक्षिण-पूर्व दिशा में है।

व्याख्या

बल्बों (B), दिनों (D), घंटों (H) और लागत (C) के बीच संबंध श्रृंखला नियम सूत्र द्वारा दिया गया है:

(B₁ × D₁ × H₁) / C₁ = (B₂ × D₂ × H₂) / C₂

सूत्र में दिए गए मानों को प्रतिस्थापित करें:

B₁ = 200 D₁ = 6 H₁ = 4 C₁ = 40

B₂ = x D₂ = 15 H₂ = 3 C₂ = 48

(200 × 6 × 4) / 40 = (x × 15 × 3) / 48

समीकरण के बाएं पक्ष को सरल करें:

(200 × 24) / 40 = 5 × 24 = 120

अब इसे दाएं पक्ष के बराबर करें:

120 = (x × 45) / 48

x के लिए हल करें:

120 = 15x / 16

15x = 120 × 16

x = (120 × 16) / 15

x = 8 × 16

x = 128

व्याख्या

एक समतल में n बिंदुओं का उपयोग करके बनाए जा सकने वाले त्रिभुजों की संख्या जहाँ m बिंदु संरेख हैं, सूत्र nC₃ - mC₃ द्वारा दी जाती है। यह किसी भी तीन बिंदुओं को चुनने के कुल संयोजनों को घटाकर उन अमान्य संयोजनों को दर्शाता है जो एक ही सीधी रेखा पर स्थित तीन बिंदुओं को चुनते हैं।

दिए गए मान n = 11 और m = 5 को प्रतिस्थापित करने पर:

11C₃ - 5C₃

संयोजनों की गणना: 11C₃ = (11 × 10 × 9) / (3 × 2 × 1) = 165 5C₃ = (5 × 4 × 3) / (3 × 2 × 1) = 10

संरेख संयोजनों को घटाने पर: 165 - 10 = 155

इससे 155 त्रिभुज प्राप्त होते हैं।

व्याख्या

मान लीजिए मूल तीन अंकों की संख्या को 100a + 10b + c के रूप में दर्शाया गया है, जहाँ a सैकड़ा का अंक है, b दहाई का अंक है, और c इकाई का अंक है।

जब अंतिम दो अंकों को आपस में बदल दिया जाता है, तो नई संख्या को 100a + 10c + b के रूप में दर्शाया जाता है।

दी गई शर्त के अनुसार, नई संख्या मूल संख्या से 54 अधिक है: (100a + 10c + b) - (100a + 10b + c) = 54

पदों को घटाने पर: 9c - 9b = 54

9 को उभयनिष्ठ लेने पर: 9(c - b) = 54

दोनों पक्षों को 9 से विभाजित करने पर अंतिम दो अंकों के बीच का अंतर प्राप्त होता है: c - b = 6

व्याख्या

दिया गया है: a² + 1/a² = 98, जहाँ a > 0 है।

चरण 1 – (a + 1/a) का मान ज्ञात करें। बीजगणितीय सर्वसमिका (a + 1/a)² = a² + 1/a² + 2 का प्रयोग करके: (a + 1/a)² = 98 + 2 = 100 चूंकि a > 0 है, धनात्मक वर्गमूल लेने पर: a + 1/a = 10

चरण 2 – a³ + 1/a³ का मान ज्ञात करें। सर्वसमिका a³ + 1/a³ = (a + 1/a)³ − 3(a + 1/a) का प्रयोग करके: a³ + 1/a³ = 10³ − 3 × 10 = 1000 − 30 = 970

सही उत्तर विकल्प D (970) है।

व्याख्या

व्यंजक का मान ज्ञात करने के लिए, हम प्रत्येक पद के अंश और हर को क्रमशः x, y और z से गुणा कर सकते हैं:

1/(x+1) = x / (x² + x)

हर में दिए गए संबंध x² = y + z को प्रतिस्थापित करें: 1/(x+1) = x / (x + y + z)

इसी प्रकार, अन्य दो पदों के लिए: 1/(y+1) = y / (y² + y) = y / (x + y + z) 1/(z+1) = z / (z² + z) = z / (x + y + z)

इन तीन व्यंजकों को एक साथ जोड़ने पर: 1/(x+1) + 1/(y+1) + 1/(z+1) = x / (x + y + z) + y / (x + y + z) + z / (x + y + z) = (x + y + z) / (x + y + z) = 1

वैकल्पिक रूप से, समरूपता से, हम मान सकते हैं कि x = y = z। इसे पहले समीकरण में प्रतिस्थापित करने पर x² = 2x प्राप्त होता है, जिससे x = 2 प्राप्त होता है। आवश्यक व्यंजक में x = y = z = 2 को प्रतिस्थापित करने पर प्राप्त होता है: 1/3 + 1/3 + 1/3 = 1

व्याख्या

दिया गया व्यंजक cos 0° + cos 1° + cos 2° + ... + cos 179° है।

त्रिकोणमितीय सर्वसमिका cos(180° - x) = -cos x का उपयोग करके, हम cos 1° से cos 179° तक के पदों को इस प्रकार जोड़ सकते हैं:

cos 179° = -cos 1° cos 178° = -cos 2° और इसी तरह, cos 91° = -cos 89° तक

इस जोड़े से प्राप्त होता है: cos 1° + cos 179° = 0 cos 2° + cos 178° = 0 और इसी तरह, cos 89° + cos 91° = 0 तक

पद cos 0° और cos 90° अकेले रह जाते हैं। चूँकि cos 0° = 1 और cos 90° = 0 है, इसलिए कुल योग है:

cos 0° + (cos 1° + cos 179°) + (cos 2° + cos 178°) + ... + (cos 89° + cos 91°) + cos 90° = 1 + 0 + 0 + ... + 0 + 0 = 1

व्याख्या

मान लीजिए वृक्ष की ऊँचाई h है। जब सूर्य का उन्नयन कोण 60° होता है, तो छाया की लंबाई x होती है। जब उन्नयन कोण 30° होता है, तो छाया की लंबाई x + 5 होती है।

दोनों उन्नयनों के लिए त्रिकोणमितीय स्पर्शज्या (tangent) फलन का उपयोग करते हुए: tan 60° = h / x x = h / √3

tan 30° = h / (x + 5) x + 5 = h√3

दूसरे समीकरण में पहले समीकरण से x का मान प्रतिस्थापित करने पर: h / √3 + 5 = h√3 5 = h√3 - h / √3 5 = h(√3 - 1 / √3) 5 = h(3 - 1) / √3 5 = 2h / √3 h = 5√3/2

व्याख्या

समकोण त्रिभुज AEB में, पाइथागोरस प्रमेय लागू करने पर: AB² = AE² + BE²

चूंकि D, BC का मध्यबिंदु है, हमारे पास है: BD = BC/2

चूंकि AC > AB है, शीर्षलंब AE, C की तुलना में B के अधिक निकट स्थित है, जिसका अर्थ है कि E, B और D के बीच स्थित है। इसलिए, लंबाई BE को इस प्रकार लिखा जा सकता है: BE = BD - ED = BC/2 - ED

समकोण त्रिभुज AED में, पाइथागोरस प्रमेय लागू करने पर प्राप्त होता है: AE² = AD² - ED²

AE² और BE के लिए व्यंजकों को AB² के समीकरण में प्रतिस्थापित करने पर: AB² = (AD² - ED²) + (BC/2 - ED)² AB² = AD² - ED² + BC²/4 + ED² - 2 × (BC/2) × ED AB² = AD² - BC.ED + ¼ BC²

व्याख्या

मान लीजिए वृत्त का केंद्र मूल बिंदु O(0,0) पर है। चूँकि दोनों जीवाएँ एक-दूसरे के लंबवत हैं, हम उन्हें निर्देशांक अक्षों के समानांतर संरेखित कर सकते हैं।

मान लीजिए 2a लंबाई की जीवा x-अक्ष के समानांतर है और 2b लंबाई की जीवा y-अक्ष के समानांतर है। उनके प्रतिच्छेदन बिंदु P के निर्देशांक (x, y) हैं।

केंद्र O से प्रतिच्छेदन बिंदु P की दूरी c दी गई है। इसलिए: x² + y² = c²

पहली जीवा (लंबाई 2a) से केंद्र O की लंबवत दूरी y का निरपेक्ष मान है। त्रिज्या R, जीवा की आधी लंबाई a, और केंद्र से लंबवत दूरी से बने समकोण त्रिभुज पर पाइथागोरस प्रमेय का उपयोग करके: R² = a² + y²

इसी प्रकार, दूसरी जीवा (लंबाई 2b) से केंद्र O की लंबवत दूरी x का निरपेक्ष मान है। यह संबंध देता है: R² = b² + x²

इन दोनों समीकरणों को जोड़ने पर: 2R² = a² + b² + x² + y²

x² + y² = c² को समीकरण में प्रतिस्थापित करने पर: 2R² = a² + b² + c²

दोनों पक्षों को 2 से विभाजित करने और वर्गमूल लेने पर: R = √((a² + b² + c²)/2)

व्याख्या

क्षेत्र की सीमाएँ y = |x| - 1 और y = 1 - |x| द्वारा परिभाषित हैं। उनके प्रतिच्छेदन बिंदुओं को खोजने पर |x| - 1 = 1 - |x| प्राप्त होता है, जो 2|x| = 2, या |x| = 1 को सरल करता है। इससे x-अक्ष पर प्रतिच्छेदन बिंदु (1, 0) और (-1, 0) प्राप्त होते हैं।

x = 0 पर समीकरणों का मूल्यांकन करने पर y-अक्ष पर शीर्ष (0, 1) और (0, -1) प्राप्त होते हैं।

इन बिंदुओं को आलेखित करने पर पता चलता है कि परिबद्ध क्षेत्र एक वर्ग है जिसके शीर्ष (1, 0), (0, 1), (-1, 0), और (0, -1) हैं। इस वर्ग के विकर्ण निर्देशांक अक्षों के साथ स्थित हैं, जिसमें क्षैतिज विकर्ण d₁ -1 से 1 तक (लंबाई 2) और ऊर्ध्वाधर विकर्ण d₂ -1 से 1 तक (लंबाई 2) तक फैला हुआ है।

लंबवत विकर्णों वाले चतुर्भुज के क्षेत्रफल के सूत्र का उपयोग करके:

क्षेत्रफल = ½ × d₁ × d₂

विकर्णों की लंबाई को प्रतिस्थापित करने पर:

क्षेत्रफल = ½ × 2 × 2 = 2

व्याख्या

√n + 1/√n का मान ज्ञात करने के लिए, पहले n को एक पूर्ण वर्ग के रूप में व्यक्त करें: n = 7 + 4√3 = 4 + 3 + 2 × 2 × √3 = 2² + (√3)² + 2 × 2 × √3 = (2 + √3)²

दोनों पक्षों का वर्गमूल लेने पर: √n = 2 + √3

अब, हर का परिमेयकरण करके व्युत्क्रम 1/√n की गणना करें: 1/√n = 1 / (2 + √3) = (2 - √3) / ((2 + √3)(2 - √3)) = (2 - √3) / (4 - 3) = 2 - √3

इन मानों को आवश्यक व्यंजक में प्रतिस्थापित करें: √n + 1/√n = (2 + √3) + (2 - √3) = 4

व्याख्या

मान लीजिए त्रिज्या r और ऊँचाई h वाले बेलन को त्रिज्या a वाले गोले में अंकित किया गया है। बेलन के आयामों और गोले के बीच संबंध, बेलन की त्रिज्या, उसकी आधी ऊँचाई और गोले की त्रिज्या से बनने वाले समकोण त्रिभुज से प्राप्त होता है:

r² + (h/2)² = a² r² = a² - h²/4

बेलन का आयतन V निम्न द्वारा दिया जाता है: V = π r² h

r² के व्यंजक को आयतन सूत्र में प्रतिस्थापित करने पर: V = π (a² - h²/4) h V = π (a² h - h³/4)

आयतन को अधिकतम करने वाली ऊँचाई ज्ञात करने के लिए, V को h के सापेक्ष अवकलित करें और अवकलज को शून्य के बराबर सेट करें: dV/dh = π (a² - 3h²/4) = 0 a² - 3h²/4 = 0 3h²/4 = a² h² = 4a²/3 h = 2a/√3

दूसरा अवकलज लेने पर: d²V/dh² = -3π h / 2

चूंकि h धनात्मक है, दूसरा अवकलज ऋणात्मक है, जो पुष्टि करता है कि आयतन तब अधिकतम होता है जब ऊँचाई 2a/√3 होती है।

व्याख्या

एक सामान्य वर्ष में 365 दिन होते हैं। 365 को 7 से विभाजित करने पर 52 सप्ताह और 1 दिन शेष बचता है (365 = 52 × 7 + 1)।

52 पूर्ण सप्ताह यह सुनिश्चित करते हैं कि वर्ष में ठीक 52 रविवार होंगे। 53वें रविवार की उपस्थिति पूरी तरह से शेष एक दिन पर निर्भर करती है।

यह शेष दिन सप्ताह के सात दिनों में से कोई भी हो सकता है: सोमवार, मंगलवार, बुधवार, गुरुवार, शुक्रवार, शनिवार या रविवार। इन सात परिणामों में से प्रत्येक समान रूप से संभावित है।

वर्ष में 53 रविवार होने के लिए, यह शेष दिन रविवार होना चाहिए। इसलिए, 7 संभावित परिणामों में से केवल 1 अनुकूल परिणाम है, जो 1/7 की प्रायिकता देता है।

व्याख्या

जब दो वस्तुएँ एक ही दिशा में चलती हैं, तो तेज वस्तु की धीमी वस्तु के सापेक्ष सापेक्ष गति उनकी व्यक्तिगत गतियों का अंतर होती है।

व्यक्ति के सापेक्ष ट्रेन की सापेक्ष गति = 55 किमी/घंटा - 10 किमी/घंटा = 45 किमी/घंटा

मीटर प्रति सेकंड में परिवर्तित करना (5/18 से गुणा करें): सापेक्ष गति = 45 × (5/18) = 12.5 मी/से

व्यक्ति को पूरी तरह से पार करने के लिए, ट्रेन को व्यक्ति के सापेक्ष अपनी लंबाई (150 मीटर) के बराबर दूरी तय करनी होगी।

समय = दूरी / सापेक्ष गति समय = 150 / 12.5 = 12 सेकंड

सही उत्तर विकल्प B (12 सेकंड) है।

व्याख्या

8 पुरुषों और 5 महिलाओं में से 5 सदस्यों की एक समिति का गठन करने के लिए, जिसमें कम से कम 3 महिलाएं शामिल हों, हम निम्नलिखित परस्पर अपवर्जी मामलों पर विचार करते हैं:

मामला 1: समिति में ठीक 3 महिलाएं और 2 पुरुष हों। 5 में से 3 महिलाओं को चुनने के तरीकों की संख्या ⁵C₃ है, और 8 में से 2 पुरुषों को चुनने के तरीकों की संख्या ⁸C₂ है। ⁵C₃ × ⁸C₂ = (5 × 4 / 2) × (8 × 7 / 2) = 10 × 28 = 280 तरीके।

मामला 2: समिति में ठीक 4 महिलाएं और 1 पुरुष हों। 5 में से 4 महिलाओं को चुनने के तरीकों की संख्या ⁵C₄ है, और 8 में से 1 पुरुष को चुनने के तरीकों की संख्या ⁸C₁ है। ⁵C₄ × ⁸C₁ = 5 × 8 = 40 तरीके।

मामला 3: समिति में ठीक 5 महिलाएं और 0 पुरुष हों। 5 में से 5 महिलाओं को चुनने के तरीकों की संख्या ⁵C₅ है, और 8 में से 0 पुरुषों को चुनने के तरीकों की संख्या ⁸C₀ है। ⁵C₅ × ⁸C₀ = 1 × 1 = 1 तरीका।

सभी तीन मामलों से तरीकों को जोड़ने पर तरीकों की कुल संख्या प्राप्त होती है: कुल तरीके = 280 + 40 + 1 = 321 तरीके।

व्याख्या

हम 1 में से दोनों के अनुत्तीर्ण होने की प्रायिकता घटाकर कम से कम एक के परीक्षा उत्तीर्ण करने की प्रायिकता ज्ञात कर सकते हैं।

लड़के के परीक्षा में अनुत्तीर्ण होने की प्रायिकता है: P(B') = 1 - 3/5 = 2/5

लड़की के परीक्षा में अनुत्तीर्ण होने की प्रायिकता है: P(G') = 1 - 2/5 = 3/5

चूंकि ये स्वतंत्र घटनाएँ हैं, इसलिए दोनों के अनुत्तीर्ण होने की प्रायिकता है: P(दोनों अनुत्तीर्ण) = P(B') × P(G') = 2/5 × 3/5 = 6/25

इस प्रकार, कम से कम एक के परीक्षा उत्तीर्ण करने की प्रायिकता है: P(कम से कम एक उत्तीर्ण) = 1 - P(दोनों अनुत्तीर्ण) = 1 - 6/25 = 19/25

व्याख्या

A द्वारा एक पूरा चक्कर लगाने में लिया गया समय दूरी बटा गति है, जो कि 9/5 घंटे है।

B द्वारा एक पूरा चक्कर लगाने में लिया गया समय 9/2 घंटे है।

वह समय ज्ञात करने के लिए जब A और B दोनों पहली बार शुरुआती बिंदु पर मिलेंगे, हम उनके द्वारा एक चक्कर पूरा करने में लिए गए समय का लघुत्तम समापवर्त्य (LCM) निकालते हैं।

भिन्नों का LCM अंशों के LCM को हरों के महत्तम समापवर्तक (HCF) से विभाजित करके निकाला जाता है।

9/5 और 9/2 का LCM = LCM(9, 9) / HCF(5, 2)

LCM(9, 9) = 9 HCF(5, 2) = 1

LCM(9/5, 9/2) = 9/1 = 9 घंटे।

व्याख्या

यह प्रश्न जैसा बताया गया है, वैसा ही दोषपूर्ण है। यहाँ विस्तृत गणना दी गई है:

दो ट्रेनें एक ही दिशा में चल रही हैं, इसलिए उनकी सापेक्ष गति उनकी गतियों का अंतर है: सापेक्ष गति = 45 - 35 = 10 किमी/घंटा = 10 × (5/18) = 25/9 मी/सेकंड

तेज गति वाली ट्रेन के लिए धीमी गति वाली समान लंबाई L की ट्रेन को पूरी तरह से पार करने के लिए, धीमी गति वाली ट्रेन के सापेक्ष तय की गई दूरी = L + L = 2L है।

समय = दूरी / गति का उपयोग करके: 27 = 2L / (25/9) 2L = 27 × 25/9 = 75 मीटर L = 37.5 मीटर

37.5 मीटर की लंबाई चार विकल्पों (350 मीटर, 300 मीटर, 250 मीटर, 200 मीटर) में से किसी में भी नहीं है। इसलिए प्रश्न दोषपूर्ण है - या तो समय (27 सेकंड) या गति गलत छपी हुई है।

दिए गए विकल्पों में से, विकल्प B (300 मीटर) एक सुसंगत (हालांकि स्थितिजन्य रूप से लागू न होने वाले) सूत्र द्वारा प्राप्त निकटतम परिणाम है: यदि ट्रेनें विपरीत दिशाओं में चल रही होतीं, तो सापेक्ष गति 45 + 35 = 80 किमी/घंटा = 200/9 मी/सेकंड होती, और 2L = (200/9) × 27 = 600 मीटर, जिससे L = 300 मीटर होता। ऐसा प्रतीत होता है कि प्रश्न निर्माताओं का इरादा यही गणना थी, जिससे यह सुझाव मिलता है कि दिशात्मक स्थिति ('समान दिशा') गलत छपी हो सकती है। इसलिए विकल्प B (300 मीटर) को सर्वोत्तम उपलब्ध उत्तर के रूप में चुना गया है।

व्याख्या

किया गया कुल कार्य पुरुषों की संख्या और लिए गए दिनों की संख्या का गुणनफल होता है। इसे मानक संबंध द्वारा व्यक्त किया जाता है: M₁ × D₁ = M₂ × D₂

माना पुरुषों की मूल संख्या M है। प्रारंभिक दिन D₁ = 90 दिन पुरुषों की नई संख्या M₂ = M - 8 नए दिन D₂ = 90 + 10 = 100 दिन

इन मानों को सूत्र में प्रतिस्थापित करने पर: M × 90 = (M - 8) × 100 90M = 100M - 800 10M = 800 M = 80

व्याख्या

एक समबाहु त्रिभुज में, माध्यिकाएँ, आंतरिक कोण समद्विभाजक, लम्ब समद्विभाजक और शीर्षलम्ब सभी समान रेखाखंड होते हैं। क्योंकि ये रेखाखंड समान होते हैं, उनके संगमन बिंदु - केन्द्रक, अंतःकेन्द्र, परिकेन्द्र और लम्बकेन्द्र - एक ही बिंदु पर संपाती होने चाहिए। यह कथन I को सही बनाता है।

एक अधिक कोण त्रिभुज में, परिकेन्द्र और लम्बकेन्द्र हमेशा त्रिभुज के बाहर स्थित होते हैं। परिकेन्द्र अधिक कोण के विपरीत बाहरी क्षेत्र में स्थित होता है, जबकि लम्बकेन्द्र अधिक कोण के शीर्ष के पीछे बाहरी क्षेत्र में स्थित होता है। यह कथन II को गलत बनाता है।

व्याख्या

समरूप त्रिभुजों के क्षेत्रफल प्रमेय के अनुसार, दो समरूप त्रिभुजों के क्षेत्रफलों का अनुपात उनकी संगत भुजाओं के अनुपात के वर्ग के बराबर होता है।

यदि दो समरूप त्रिभुजों की संगत भुजाओं का अनुपात 9 : 4 है, तो उनके क्षेत्रफलों का अनुपात है:

(9 / 4)² = 9² / 4² = 81 / 16

इससे उनके क्षेत्रफलों का अनुपात 81 : 16 प्राप्त होता है।

व्याख्या

त्रिकोणमितीय सर्वसमिका cot θ - tan θ = cos θ / sin θ - sin θ / cos θ = (cos² θ - sin² θ) / (sin θ cos θ) = cos 2θ / (½ sin 2θ) = 2 cot 2θ का उपयोग करके।

इसे इस प्रकार पुनः लिखा जा सकता है: tan θ = cot θ - 2 cot 2θ

दी गई व्यंजक के प्रत्येक पद पर इस सर्वसमिका को लागू करने पर: tan x = cot x - 2 cot 2x 2 tan 2x = 2(cot 2x - 2 cot 4x) = 2 cot 2x - 4 cot 4x 4 tan 4x = 4(cot 4x - 2 cot 8x) = 4 cot 4x - 8 cot 8x

इनको मूल व्यंजक में प्रतिस्थापित करने पर: tan x + 2 tan 2x + 4 tan 4x + 8 cot 8x = (cot x - 2 cot 2x) + (2 cot 2x - 4 cot 4x) + (4 cot 4x - 8 cot 8x) + 8 cot 8x

पद एक दूरबीन (telescoping) तरीके से रद्द हो जाते हैं: -2 cot 2x, 2 cot 2x से रद्द हो जाता है, -4 cot 4x, 4 cot 4x से रद्द हो जाता है, और -8 cot 8x, 8 cot 8x से रद्द हो जाता है।

इससे केवल cot x बचता है।

व्याख्या

समीकरण 5 cos x + 12 sin x = 13 से cosec x का मान ज्ञात करने के लिए, हम पूरे समीकरण को 13 से विभाजित कर सकते हैं:

(5/13) cos x + (12/13) sin x = 1

चूंकि (5/13)² + (12/13)² = 25/169 + 144/169 = 169/169 = 1, हम एक कोण θ को इस प्रकार परिभाषित कर सकते हैं कि cos θ = 5/13 और sin θ = 12/13।

इन मानों को समीकरण में प्रतिस्थापित करने पर:

cos θ cos x + sin θ sin x = 1

अंतर के कोसाइन के लिए त्रिकोणमितीय सर्वसमिका का उपयोग करके, यह सरल हो जाता है:

cos(x - θ) = 1

यह समीकरण तब संतुष्ट होता है जब x - θ = 2kπ किसी भी पूर्णांक k के लिए, जिसका अर्थ है x = θ + 2kπ। इसलिए, साइन मान समान रहता है:

sin x = sin θ = 12/13

चूंकि cosec x, sin x का व्युत्क्रम है, हमें प्राप्त होता है:

cosec x = 1 / sin x = 13/12

व्याख्या

चाप लंबाई सूत्र चाप लंबाई (s), त्रिज्या (r), और केंद्रीय कोण (रेडियन में θ) को संबंधित करता है: s = r × θ ⟹ r = s / θ

दिया गया है: चाप लंबाई s = 40 मीटर दिशा परिवर्तन θ = 25°

θ को रेडियन में बदलें: θ = 25 × (π / 180) = 25π / 180 = 5π / 36 रेडियन

सूत्र में प्रतिस्थापित करें: r = 40 / (5π / 36) r = 40 × 36 / (5π) r = 1440 / (5π) r = 288 / π

मानक सन्निकटन π = 22/7 का उपयोग करके: r = 288 × 7 / 22 r = 2016 / 22 r ≈ 91.636 मीटर ≈ 91.64 मीटर

सही उत्तर विकल्प A (91.64 मीटर) है।

व्याख्या

त्रिज्या r₁ और r₂ वाले दो वृत्तों की सीधी उभयनिष्ठ स्पर्शरेखा L की लंबाई सूत्र L = √(d² - (r₁ - r₂)²), द्वारा दी जाती है, जहाँ d दो वृत्तों के केंद्रों के बीच की दूरी है।

जब दो वृत्त एक-दूसरे को बाह्य रूप से स्पर्श करते हैं, तो उनके केंद्रों के बीच की दूरी d उनकी त्रिज्याओं के योग के बराबर होती है, d = r₁ + r₂।

इसे सूत्र में प्रतिस्थापित करने पर: L = √((r₁ + r₂)² - (r₁ - r₂)²)

बीजगणितीय सर्वसमिका (a + b)² - (a - b)² = 4ab का उपयोग करके, समीकरण सरल हो जाता है: L = √(4r₁r₂) L = 2√(r₁r₂)