एचपीएएस प्रारंभिक परीक्षा 2023 सीसैट (प्रश्नपत्र II) — उत्तर और व्याख्या सहित

व्याख्या

पहली श्रेणी x = 1 पर मूल्यांकित log(1 + x) के मानक मैकलॉरिन विस्तार की है: log(1 + x) = x - x²/2 + x³/3 - x⁴/4 + ...

x = 1 प्रतिस्थापित करने पर प्राप्त होता है: log 2 = 1 - ½ + ⅓ - ¼ + ...

दूसरी श्रेणी एक दूरबीन श्रेणी है, जहाँ प्रत्येक पद को आंशिक भिन्नों का उपयोग करके विघटित किया जा सकता है: 1/(n(n + 1)) = 1/n - 1/(n + 1)

इस श्रेणी के पदों को लिखने पर: 1/(2·3) + 1/(3·4) + 1/(4·5) + ... = (½ - ⅓) + (⅓ - ¼) + (¼ - ⅕) + ...

जैसे-जैसे श्रेणी आगे बढ़ती है, सभी मध्यवर्ती पद रद्द हो जाते हैं, केवल पहला पद बचता है: योग = ½

व्याख्या

मान लीजिए अब्दुल का निवेश x है। रमेश का निवेश x + 6,000 है और एंटनी का निवेश x + 3,000 है।

कुल निवेश ₹72,000 है, जिससे समीकरण बनता है: (x + 6,000) + x + (x + 3,000) = 72,000 3x + 9,000 = 72,000 3x = 63,000 x = 21,000

इससे व्यक्तिगत निवेश निर्धारित होते हैं: अब्दुल का निवेश = ₹21,000 रमेश का निवेश = ₹27,000 एंटनी का निवेश = ₹24,000

लाभ का बंटवारा अनुपात उनके निवेश के अनुपात के बराबर है: रमेश : अब्दुल : एंटनी = 27,000 : 21,000 : 24,000 = 9 : 7 : 8

अनुपात पदों का योग 9 + 7 + 8 = 24 है। कुल लाभ ₹8,640 में से, रमेश का हिस्सा है: (9 / 24) × 8,640 = 3,240

व्याख्या

परीक्षा के लिए आवश्यक उत्तीर्ण अंक शालिनी द्वारा प्राप्त अंकों और जितने अंकों से वह अनुत्तीर्ण हुई, उनका योग है।

उत्तीर्ण अंक = 150 + 30 = 180

चूंकि उत्तीर्ण अंक अधिकतम अंकों का 36% दर्शाते हैं, मान लीजिए अधिकतम अंक M हैं।

M का 36% = 180 (36 / 100) × M = 180 M = (180 × 100) / 36 M = 5 × 100 M = 500

व्याख्या

जब अर्जित लाभ हुई हानि के बराबर हो, तो क्रय मूल्य (CP), लाभ पर विक्रय मूल्य (SP₁) और हानि पर विक्रय मूल्य (SP₂) के बीच संबंध सूत्र द्वारा दिया जाता है:

CP = (SP₁ + SP₂)/2

दिए गए मानों को सूत्र में प्रतिस्थापित करने पर:

CP = (1666 + 1252)/2 CP = 2918/2 CP = 1459

व्याख्या

साधारण ब्याज के तहत किसी धनराशि को दोगुना होने के लिए, अर्जित ब्याज मूलधन (P) के बराबर होना चाहिए।

मानक साधारण ब्याज सूत्र का उपयोग करके: SI = (P × R × T) / 100

SI = P और T = 6 प्रतिस्थापित करने पर: P = (P × R × 6) / 100

दोनों पक्षों को P से विभाजित करने पर: 1 = 6R / 100

R के लिए हल करने पर: R = 100 / 6 = 50/3% प्रति वर्ष।

व्याख्या

n भुजाओं वाले एक बहुभुज में विकर्णों की संख्या का सूत्र n(n - 3)/2 है।

सूत्र में n = 12 रखने पर:

विकर्णों की संख्या = 12 × (12 - 3) / 2 विकर्णों की संख्या = 12 × 9 / 2 विकर्णों की संख्या = 6 × 9 = 54

वैकल्पिक रूप से, इसकी गणना किन्हीं दो शीर्षों को जोड़ने वाली खींची जा सकने वाली कुल रेखाओं की संख्या ज्ञात करके की जा सकती है, जो nC2 के रूप में संयोजन द्वारा दी जाती है, और फिर बहुभुज की n परिसीमाओं को घटाकर। 12 शीर्षों के लिए, कुल रेखाएँ 12 × 11 / 2 = 66 हैं। 12 भुजाओं को घटाने पर 66 - 12 = 54 विकर्ण प्राप्त होते हैं।

व्याख्या

मान लीजिए कि प्रारंभिक बिंदु एक कार्टेशियन तल पर मूल बिंदु (0, 0) पर है, जहाँ धनात्मक y-अक्ष उत्तर, ऋणात्मक y-अक्ष दक्षिण, धनात्मक x-अक्ष पूर्व और ऋणात्मक x-अक्ष पश्चिम को दर्शाता है।

रोहित (0, 0) पर दक्षिण की ओर मुख करके शुरू करता है। वह पश्चिम की ओर मुख करने के लिए दाएँ मुड़ता है और 20 मीटर चलता है, (-20, 0) पर पहुँचता है। वह उत्तर की ओर मुख करने के लिए दाएँ मुड़ता है और 10 मीटर चलता है, (-20, 10) पर पहुँचता है। वह पश्चिम की ओर मुख करने के लिए बाएँ मुड़ता है और 10 मीटर चलता है, (-30, 10) पर पहुँचता है। वह उत्तर की ओर मुख करने के लिए दाएँ मुड़ता है और 20 मीटर चलता है, (-30, 30) पर पहुँचता है। वह पूर्व की ओर मुख करने के लिए दाएँ मुड़ता है और 60 मीटर चलता है, (30, 30) पर पहुँचता है।

उसकी अंतिम स्थिति (30, 30) पर है। चूँकि x और y दोनों निर्देशांक धनात्मक हैं, वह प्रारंभिक बिंदु (0, 0) के सापेक्ष उत्तर-पूर्व दिशा में है।

व्याख्या

मान लीजिए 1 पुरुष द्वारा किया गया दैनिक कार्य M है और 1 लड़के द्वारा किया गया दैनिक कार्य B है।

दोनों स्थितियों में कुल कार्य समान है, जिससे संबंध प्राप्त होता है: 7 × (3M + 4B) = 10 × (2M + 3B)

इस समीकरण को हल करने पर: 21M + 28B = 20M + 30B M = 2B

इसका मतलब है कि 1 पुरुष की दक्षता 2 लड़कों की दक्षता के बराबर है।

अब, हम कुल कार्य को लड़कों के रूप में व्यक्त कर सकते हैं: कुल कार्य = 10 × (2M + 3B) कुल कार्य = 10 × (2 × 2B + 3B) कुल कार्य = 10 × 7B कुल कार्य = 70B

हमें 3 पुरुष और 8 लड़कों द्वारा उसी कार्य को पूरा करने में लगने वाले दिनों की संख्या ज्ञात करनी है। लड़कों के रूप में 3 पुरुष और 8 लड़कों की संयुक्त दक्षता है: 3M + 8B = 3 × 2B + 8B = 6B + 8B = 14B

आवश्यक दिनों की संख्या = कुल कार्य / संयुक्त दक्षता आवश्यक दिनों की संख्या = 70B / 14B = 5 दिन

व्याख्या

प्रत्येक कक्षा में छात्रों की सबसे बड़ी संभव समान संख्या (प्रति कक्षा छात्रों की संख्या) ज्ञात करने के लिए, ताकि प्रत्येक लड़के की कक्षा में उतने ही छात्र हों जितने प्रत्येक लड़की की कक्षा में, हमें लड़कों और लड़कियों की संख्या का महत्तम समापवर्तक (म.स.प.) ज्ञात करना होगा।

लड़कों की संख्या = 391 लड़कियों की संख्या = 323

हम दो संख्याओं के बीच का अंतर ज्ञात करके म.स.प. ज्ञात कर सकते हैं: 391 - 323 = 68

391 और 323 का म.स.प. उनके अंतर, 68 का भी एक गुणनखंड होना चाहिए। 68 के गुणनखंड 1, 2, 4, 17, 34 और 68 हैं।

चूंकि 391 और 323 दोनों विषम संख्याएँ हैं, इसलिए उनका म.स.प. भी एक विषम संख्या होनी चाहिए। विषम गुणनखंड 17 का परीक्षण करने पर: 391 ÷ 17 = 23 323 ÷ 17 = 19

चूंकि दोनों विभाजन पूर्णांक में परिणाम देते हैं, इसलिए 391 और 323 का म.स.प. 17 है। इस प्रकार, प्रत्येक समान कक्षा में छात्रों की संख्या 17 है।

व्याख्या

पहली घड़ी के दो लगातार टिक के बीच का समय अंतराल T₁ = 95/90 = 19/18 सेकंड है। दूसरी घड़ी के दो लगातार टिक के बीच का समय अंतराल T₂ = 323/315 सेकंड है।

दोनों घड़ियां उन समय अंतरालों पर एक साथ टिक करेंगी जो T₁ और T₂ के लघुत्तम समापवर्त्य (LCM) के गुणज हैं। दो भिन्नों का LCM, अंशों के LCM को हरों के महत्तम समापवर्तक (HCF) से विभाजित करके ज्ञात किया जाता है: LCM(T₁, T₂) = LCM(19, 323) / HCF(18, 315)

चूंकि 323 = 19 × 17 है, इसलिए 19 और 323 का LCM 323 है। चूंकि 18 = 9 × 2 और 315 = 9 × 35 है, इसलिए 18 और 315 का HCF 9 है। इसलिए, LCM(T₁, T₂) = 323/9 सेकंड।

इसका मतलब है कि दोनों घड़ियां हर 323/9 सेकंड में एक साथ टिक करती हैं। चूंकि वे एक साथ शुरू की गई थीं, वे पहली बार t = 0 सेकंड पर एक साथ टिक करती हैं।

पहले घंटे की कुल अवधि 3600 सेकंड है। प्रारंभिक शुरुआत के बाद वे कितनी बार एक साथ टिक करती हैं, यह 3600 को LCM से विभाजित करने का पूर्णांक भाग है: 3600 ÷ (323/9) = 32400 / 323 = 100.31

इस विभाजन का पूर्णांक भाग 100 है, जिसका अर्थ है कि वे प्रारंभिक शुरुआत के बाद 100 बार एक साथ टिक करती हैं। t = 0 सेकंड पर प्रारंभिक टिक को मिलाकर, पहले घंटे में वे कुल 100 + 1 = 101 बार एक साथ टिक करेंगी।

व्याख्या

शेषफल प्रमेय के अनुसार, जब एक बहुपद f(x) को x - a से विभाजित किया जाता है, तो शेषफल f(a) होता है। चूँकि दोनों बहुपद x - 4 से विभाजित होने पर समान शेषफल देते हैं, इसलिए x = 4 पर दोनों का मान समान होगा।

पहले बहुपद के लिए, f(x) = Px³ + 3x² - 3: f(4) = P(4)³ + 3(4)² - 3 = 64P + 48 - 3 = 64P + 45

दूसरे बहुपद के लिए, g(x) = 2x³ - 5x + P: g(4) = 2(4)³ - 5(4) + P = 128 - 20 + P = 108 + P

दोनों शेषफलों को बराबर करने पर: 64P + 45 = 108 + P 63P = 63 P = 1

व्याख्या

sec 10° को 1/cos 10° में बदलकर, व्यंजक बन जाता है: (cos 10° - √3 sin 10°) / (sin 10° cos 10°)

अंश को 2 से गुणा और भाग करके: 2 × (½ cos 10° - (√3/2) sin 10°)

त्रिकोणमितीय सर्वसमिका sin(A - B) = sin A cos B - cos A sin B का उपयोग करके, जहाँ sin 30° = ½ और cos 30° = √3/2 है, अंश सरल होकर बन जाता है: 2 × sin(30° - 10°) = 2 sin 20°

हर के लिए, द्वि-कोण सर्वसमिका sin 2θ = 2 sin θ cos θ का उपयोग करके: sin 10° cos 10° = ½ sin 20°

सरलीकृत अंश को सरलीकृत हर से विभाजित करने पर: (2 sin 20°) / (½ sin 20°) = 2 / ½ = 4

व्याख्या

मान लीजिए हेलीकॉप्टर जमीन से h ऊँचाई पर बिंदु H पर है। मान लीजिए P हेलीकॉप्टर के ठीक नीचे जमीन पर बिंदु है, इसलिए HP = h।

मान लीजिए A और B विपरीत दिशाओं में दो क्रमागत मील के पत्थर हैं, जिसका अर्थ है कि उनके बीच की दूरी AB = 1 मील है। बिंदु P रेखा खंड AB पर स्थित है।

मील के पत्थरों A और B के अवनमन कोण क्रमशः x और y हैं, जो A और B से हेलीकॉप्टर के उन्नयन कोणों के बराबर हैं।

समकोण त्रिभुज HPA में: tan x = HP / AP = h / AP AP = h / tan x

समकोण त्रिभुज HPB में: tan y = HP / PB = h / PB PB = h / tan y

चूंकि A और B क्रमागत मील के पत्थर हैं, इसलिए कुल दूरी AB है: AP + PB = 1 h / tan x + h / tan y = 1 h (1 / tan x + 1 / tan y) = 1 h ((tan x + tan y) / (tan x tan y)) = 1 h = (tan x tan y) / (tan x + tan y)

व्याख्या

समकोण त्रिभुज की दो लंबवत भुजाएँ y और b मान लीजिए। त्रिभुज का क्षेत्रफल है: क्षेत्रफल = ½ × y × b = x b = 2x/y

पाइथागोरस प्रमेय का उपयोग करके कर्ण c की लंबाई की गणना की जाती है: c = √(y² + b²) c = √(y² + (2x/y)²) c = √(y² + 4x²/y²) c = √((y⁴ + 4x²)/y²) c = √(y⁴ + 4x²) / y

त्रिभुज के क्षेत्रफल को कर्ण c और समकोण शीर्ष से कर्ण तक की ऊंचाई h का उपयोग करके भी व्यक्त किया जा सकता है: क्षेत्रफल = ½ × c × h = x h = 2x / c

c के लिए व्यंजक को प्रतिस्थापित करने पर: h = 2x / (√(y⁴ + 4x²) / y) h = 2xy / √(y⁴ + 4x²)

व्याख्या

n भुजाओं वाले एक सम बहुभुज का आंतरिक कोण ((n - 2) × 180°) / n सूत्र का उपयोग करके गणना की जाती है।

दिया गया है कि आंतरिक कोण 135° है: ((n - 2) × 180) / n = 135 180n - 360 = 135n 45n = 360 n = 8

इस प्रकार, बहुभुज में 8 भुजाएँ हैं (एक अष्टभुज)।

n भुजाओं वाले बहुभुज में विकर्णों की संख्या n(n - 3) / 2 सूत्र का उपयोग करके गणना की जाती है।

n = 8 रखने पर: 8 × (8 - 3) / 2 = 8 × 5 / 2 = 20

व्याख्या

रेखाओं x + y - 4 = 0, x + 2y - 10 = 0, और y = 0 द्वारा निर्मित त्रिभुज का क्षेत्रफल ज्ञात करने के लिए, हम इन रेखाओं के प्रतिच्छेदन बिंदुओं को ज्ञात करके इसके तीन शीर्षों के निर्देशांक निर्धारित करते हैं।

सबसे पहले, x + y - 4 = 0 और x + 2y - 10 = 0 का प्रतिच्छेदन ज्ञात करना: दूसरी समीकरण से पहली समीकरण को घटाने पर: (x + 2y - 10) - (x + y - 4) = 0 y - 6 = 0 y = 6

y = 6 को पहली समीकरण में प्रतिस्थापित करने पर: x + 6 - 4 = 0 x = -2 इस प्रकार, पहला शीर्ष A(-2, 6) है।

दूसरा, x + y - 4 = 0 और y = 0 का प्रतिच्छेदन ज्ञात करना: y = 0 प्रतिस्थापित करने पर: x - 4 = 0 x = 4 इस प्रकार, दूसरा शीर्ष B(4, 0) है।

तीसरा, x + 2y - 10 = 0 और y = 0 का प्रतिच्छेदन ज्ञात करना: y = 0 प्रतिस्थापित करने पर: x - 10 = 0 x = 10 इस प्रकार, तीसरा शीर्ष C(10, 0) है।

चूंकि शीर्ष B(4, 0) और C(10, 0) रेखा y = 0 (x-अक्ष) पर स्थित हैं, त्रिभुज का आधार x-अक्ष के अनुदिश है। इस आधार की लंबाई है: आधार = 10 - 4 = 6 इकाई

त्रिभुज की ऊंचाई शीर्ष A(-2, 6) से आधार रेखा y = 0 तक की लंबवत दूरी है, जो शीर्ष A के y-निर्देशांक के अनुरूप है: ऊंचाई = 6 इकाई

त्रिभुज के क्षेत्रफल के मानक सूत्र का उपयोग करके: क्षेत्रफल = ½ × आधार × ऊंचाई क्षेत्रफल = ½ × 6 × 6 = 18 वर्ग इकाई

व्याख्या

x = √3/2 के लिए, हम पदों 1 + x और 1 - x को उनके वर्गमूल ज्ञात करने के लिए पुनः लिख सकते हैं: 1 + x = 1 + √3/2 = (2 + √3)/2 = (4 + 2√3)/4 = (√3 + 1)²/4 अतः, √(1+x) = (√3 + 1)/2

इसी प्रकार, 1 - x के लिए: 1 - x = 1 - √3/2 = (2 - √3)/2 = (4 - 2√3)/4 = (√3 - 1)²/4 अतः, √(1-x) = (√3 - 1)/2

अब, व्यंजक के पहले पद में इन मानों को प्रतिस्थापित करें: (1+x) / (1 + √(1+x)) = [(2 + √3)/2] / [1 + (√3 + 1)/2] = [(2 + √3)/2] / [(3 + √3)/2] = (2 + √3) / (3 + √3)

हर को (3 - √3) से अंश और हर को गुणा करके परिमेयकृत करें: = (2 + √3)(3 - √3) / ((3 + √3)(3 - √3)) = (6 - 2√3 + 3√3 - 3) / (9 - 3) = (3 + √3) / 6

व्यंजक के दूसरे पद में मानों को प्रतिस्थापित करें: (1-x) / (1 - √(1-x)) = [(2 - √3)/2] / [1 - (√3 - 1)/2] = [(2 - √3)/2] / [(3 - √3)/2] = (2 - √3) / (3 - √3)

हर को (3 + √3) से अंश और हर को गुणा करके परिमेयकृत करें: = (2 - √3)(3 + √3) / ((3 - √3)(3 + √3)) = (6 + 2√3 - 3√3 - 3) / (9 - 3) = (3 - √3) / 6

दो परिमेयकृत पदों को एक साथ जोड़ें: (3 + √3)/6 + (3 - √3)/6 = (3 + √3 + 3 - √3) / 6 = 6/6 = 1

व्याख्या

मान लीजिए 2ˣ = 3ʸ = 6⁻ᶻ = k।

इस संबंध से, हम 2, 3, और 6 को k के पदों में व्यक्त कर सकते हैं: 2 = k^(1/x) 3 = k^(1/y) 6 = k^(-1/z)

चूंकि हम जानते हैं कि 2 × 3 = 6, हम मानों को प्रतिस्थापित करते हैं: k^(1/x) × k^(1/y) = k^(-1/z)

घातांक के नियमों का उपयोग करके बाईं ओर घातों को जोड़ते हैं: k^(1/x + 1/y) = k^(-1/z)

दोनों पक्षों से घातों को बराबर करते हैं: 1/x + 1/y = -1/z

समीकरण को पुनर्व्यवस्थित करते हैं: 1/x + 1/y + 1/z = 0

व्याख्या

मान लीजिए A और B क्रमशः अशोक और बबूललाल के सच बोलने की घटनाओं को दर्शाते हैं।

अशोक के सच बोलने की प्रायिकता P(A) = 75% = 3/4 है। अशोक के झूठ बोलने की प्रायिकता P(A') = 1 - 3/4 = 1/4 है।

बबूललाल के सच बोलने की प्रायिकता P(B) = 80% = 4/5 है। बबूललाल के झूठ बोलने की प्रायिकता P(B') = 1 - 4/5 = 1/5 है।

जब एक सच बोलता है और दूसरा झूठ बोलता है तो वे एक ही तथ्य को बताते समय एक-दूसरे का खंडन करेंगे।

वांछित प्रायिकता = P(A) × P(B') + P(A') × P(B)

मानों को प्रतिस्थापित करने पर: वांछित प्रायिकता = (3/4 × 1/5) + (1/4 × 4/5) = 3/20 + 4/20 = 7/20

खंडन के मामलों का प्रतिशत = (7/20) × 100 = 35%

व्याख्या

माना f(x) = sin x (1 + cos x) है। फलन का अधिकतम मान ज्ञात करने के लिए, हम x के सापेक्ष इसका प्रथम अवकलज ज्ञात करते हैं और इसे शून्य के बराबर रखते हैं।

गुणन नियम का उपयोग करके, अवकलज है: f'(x) = cos x (1 + cos x) + sin x (-sin x) f'(x) = cos x + cos²x - sin²x सर्वसमिका sin²x = 1 - cos²x का उपयोग करके: f'(x) = cos x + cos²x - (1 - cos²x) f'(x) = 2 cos²x + cos x - 1

क्रांतिक बिंदु ज्ञात करने के लिए, f'(x) = 0 सेट करें: 2 cos²x + cos x - 1 = 0 (2 cos x - 1)(cos x + 1) = 0

इससे cos x = ½ या cos x = -1 प्राप्त होता है। विचारधीन अंतराल के लिए, cos x = ½ से x = π/3 प्राप्त होता है।

अधिकतम की जाँच करने के लिए, हम द्वितीय अवकलज ज्ञात करते हैं: f''(x) = -sin x - 4 sin x cos x = -sin x - 2 sin 2x

x = π/3 पर द्वितीय अवकलज का मूल्यांकन: f''(π/3) = -sin(π/3) - 2 sin(2π/3) = -√3/2 - √3 = -3√3/2

चूंकि f''(π/3) शून्य से कम है, फलन f(x) अपने स्थानीय अधिकतम मान को x = π/3 पर प्राप्त करता है।

व्याख्या

13 लोगों (9 पुरुषों और 4 महिलाओं) के समूह से 7 सदस्यों की समिति बनाने के कुल तरीकों की संख्या, बिना किसी प्रतिबंध के, संचय सूत्र ⁿCᵣ = n! / (r!(n - r)!) द्वारा दी जाती है:

कुल तरीके = ¹³C₇ = 1716

अधिकतम 3 महिलाएँ वाली समिति बनाने के तरीकों की संख्या ज्ञात करने के लिए, हम उन मामलों को घटा सकते हैं जिनमें समिति में 3 से अधिक महिलाएँ हों। चूँकि कुल 4 महिलाएँ हैं, इसलिए केवल एक प्रतिबंधित मामला जिसे बाहर करना है, वह है जब समिति में ठीक 4 महिलाएँ और 3 पुरुष हों।

4 में से 4 महिलाओं और 9 में से 3 पुरुषों का चयन करने के तरीकों की संख्या है:

वर्जित तरीके = ⁴C₄ × ⁹C₃ = 1 × 84 = 84

कुल तरीकों में से वर्जित तरीकों को घटाने पर:

वैध तरीकों की संख्या = 1716 - 84 = 1632

व्याख्या

समस्या के हल होने की प्रायिकता, किसी भी छात्र द्वारा समस्या हल न कर पाने की प्रायिकता का पूरक है।

मान लीजिए राम, श्याम और मोहन द्वारा समस्या हल करने की स्वतंत्र प्रायिकताएँ क्रमशः P(A) = 1/2, P(B) = 1/3, और P(C) = 1/4 हैं।

प्रत्येक छात्र द्वारा समस्या हल न कर पाने की प्रायिकता है: P(A') = 1 - 1/2 = 1/2 P(B') = 1 - 1/3 = 2/3 P(C') = 1 - 1/4 = 3/4

चूंकि उनके प्रयास स्वतंत्र घटनाएँ हैं, इसलिए किसी भी छात्र द्वारा समस्या हल न कर पाने की प्रायिकता है: P(कोई हल न करे) = P(A') × P(B') × P(C') = 1/2 × 2/3 × 3/4 = 1/4

समस्या के हल होने की प्रायिकता है: P(हल हो) = 1 - P(कोई हल न करे) = 1 - 1/4 = 3/4

व्याख्या

मूल चंद 1 घंटे (60 मिनट) में 4 चक्कर पूरे करता है। मूल चंद द्वारा एक पूरा चक्कर पूरा करने में लिया गया समय 60 ÷ 4 = 15 मिनट है। वह 15 मिनट के गुणकों पर शुरुआती बिंदु पर लौटता है, जो 15, 30, 45, 60, और इसी तरह आगे हैं।

राम चंद 1 घंटे (60 मिनट) में 6 चक्कर पूरे करता है। राम चंद द्वारा एक पूरा चक्कर पूरा करने में लिया गया समय 60 ÷ 6 = 10 मिनट है। वह 10 मिनट के गुणकों पर शुरुआती बिंदु पर लौटता है, जो 10, 20, 30, 40, 50, 60, और इसी तरह आगे हैं।

उनकी यात्रा की दिशा चाहे जो भी हो, वे शुरुआती बिंदु पर तभी मिलेंगे जब दोनों ने पूर्ण चक्करों की एक पूर्णांक संख्या पूरी की हो। यह तब होता है जब उनके द्वारा एक चक्कर पूरा करने में लगने वाले समय का लघुत्तम समापवर्त्य (LCM) होता है।

LCM(15, 10) = 30 मिनट।

इस प्रकार, वे 30 मिनट के बाद पहली बार शुरुआती बिंदु पर मिलेंगे।

व्याख्या

ट्रेन द्वारा तय की गई दूरी को उसकी बढ़ती गति के आधार पर घंटे-दर-घंटे गणना की जा सकती है:

पहले घंटे में, ट्रेन 40 किमी/घंटा की गति से चलती है और 40 किमी की दूरी तय करती है।

दूसरे घंटे में, गति बढ़कर 50 किमी/घंटा हो जाती है, जिससे 50 किमी की दूरी तय होती है।

तीसरे घंटे में, गति बढ़कर 60 किमी/घंटा हो जाती है, जिससे 60 किमी की दूरी तय होती है।

पहले 3 घंटों में तय की गई कुल दूरी 40 + 50 + 60 = 150 किमी है।

तय की जाने वाली शेष दूरी 185 - 150 = 35 किमी है।

चौथे घंटे में, ट्रेन की गति 70 किमी/घंटा होगी। इस गति से शेष 35 किमी की दूरी तय करने के लिए आवश्यक समय है:

समय = 35 / 70 = ½ घंटा

पूरी 185 किमी की दूरी तय करने में लगा कुल समय 3 + ½ = 7/2 घंटे है।

व्याख्या

मान लीजिए धन की कुल राशि S है।

निखिल का दैनिक वेतन S/10 है और प्रवीण का दैनिक वेतन S/30 है।

जब दोनों को एक साथ भुगतान किया जाता है, तो उनका संयुक्त दैनिक वेतन है: S/10 + S/30 = (3S + S)/30 = 4S/30 = 2S/15

यह पता लगाने के लिए कि धन की राशि उन दोनों के लिए कितने दिनों के लिए पर्याप्त है, हम धन की कुल राशि को उनके संयुक्त दैनिक वेतन से विभाजित करते हैं: S ÷ (2S/15) = 15/2 दिन

व्याख्या

पृथ्वी अपनी धुरी पर 24 घंटे में 360° घूमती है। इससे घूर्णन की दर प्राप्त होती है:

360° ÷ 24 = 15° प्रति घंटा

चूंकि 1 घंटे में 60 मिनट होते हैं, प्रति मिनट घूर्णन दर है:

15° ÷ 60 = 0.25° प्रति मिनट

4 घंटे और 12 मिनट को पूरी तरह से मिनटों में बदलना:

4 घंटे × 60 मिनट/घंटा = 240 मिनट कुल समय = 240 + 12 = 252 मिनट

घूमे गए कुल कोण की गणना:

252 मिनट × 0.25° प्रति मिनट = 63°

व्याख्या

किसी भी त्रिभुज ABC में, माध्यिका AD त्रिभुज को बराबर क्षेत्रफल वाले दो त्रिभुजों में विभाजित करती है: क्षेत्रफल(△ABD) = क्षेत्रफल(△ACD) = ½ क्षेत्रफल(△ABC)

चूंकि E, माध्यिका AD पर एक बिंदु है, त्रिभुज ACE, त्रिभुज ACD के भीतर पूरी तरह से स्थित है या उसके साथ संपाती है। इस प्रकार, इसका क्षेत्रफल △ACD के क्षेत्रफल से सीमित है: क्षेत्रफल(△ACE) ≤ क्षेत्रफल(△ACD) = ½ क्षेत्रफल(△ABC)

चूंकि △ABC का क्षेत्रफल सख्ती से धनात्मक है, △ACE का क्षेत्रफल △ABC के क्षेत्रफल का अधिकतम आधा है। इसलिए, क्षेत्रफल(△ABC), क्षेत्रफल(△ACE) के बराबर नहीं हो सकता, जिससे कथन (I) गलत हो जाता है।

इसके अलावा, सर्वांगसम त्रिभुजों का क्षेत्रफल बराबर होना चाहिए। क्योंकि क्षेत्रफल(△ABC), क्षेत्रफल(△ACE) से सख्ती से बड़ा है, △ABC और △ACE किसी भी परिस्थिति में सर्वांगसम नहीं हो सकते। इस प्रकार, कथन (II) भी गलत है।

व्याख्या

दिया गया व्यंजक है: sin(π/9) × sin(2π/9) × sin(3π/9) × sin(4π/9)

संबंध π रेडियन = 180° का उपयोग करके कोणों को रेडियन से डिग्री में परिवर्तित करना: π/9 = 20° 2π/9 = 40° 3π/9 = 60° 4π/9 = 80°

इन मानों को प्रतिस्थापित करने पर, व्यंजक बन जाता है: sin(20°) × sin(40°) × sin(60°) × sin(80°)

चूंकि sin(60°) = √3/2 है, व्यंजक को इस प्रकार फिर से लिखा जा सकता है: sin(60°) × [sin(20°) × sin(40°) × sin(80°)]

मानक त्रिकोणमितीय सर्वसमिका का उपयोग करके: sin(θ) × sin(60° - θ) × sin(60° + θ) = ¼ sin(3θ)

θ = 20° को प्रतिस्थापित करने पर: sin(20°) × sin(40°) × sin(80°) = ¼ sin(60°) = ¼ × (√3/2) = √3/8

इस परिणाम को sin(60°) से गुणा करने पर: (√3/2) × (√3/8) = 3/16

व्याख्या

मान लीजिए O₁ और O₂ क्रमशः r₁ = 5 सेमी और r₂ = 3 सेमी त्रिज्या वाले दो वृत्तों के केंद्र हैं, इसलिए केंद्रों O₁O₂ के बीच की दूरी 4 सेमी है। मान लीजिए P और Q वे बिंदु हैं जहाँ दोनों वृत्त प्रतिच्छेद करते हैं।

त्रिभुज O₁PO₂ में, भुजाओं की लंबाई O₁P = 5 सेमी, O₂P = 3 सेमी, और O₁O₂ = 4 सेमी है। पाइथागोरस प्रमेय के विलोम को लागू करने पर:

O₂P² + O₁O₂² = 3² + 4² = 9 + 16 = 25 = 5² = O₁P²

चूंकि संबंध बना रहता है, त्रिभुज O₁PO₂ एक समकोण त्रिभुज है जिसका समकोण O₂ पर है। इसका मतलब है कि O₂P, केंद्रों की रेखा O₁O₂ पर लंबवत है।

केंद्रों की रेखा O₁O₂, उभयनिष्ठ जीवा PQ की हमेशा लंब समद्विभाजक होती है। चूंकि O₂P, O₁O₂ पर O₂ पर लंबवत है, उभयनिष्ठ जीवा PQ छोटे वृत्त के केंद्र O₂ से होकर गुजरनी चाहिए, जिसका अर्थ है कि O₂ , PQ का मध्य बिंदु है।

इसलिए उभयनिष्ठ जीवा PQ की लंबाई छोटे वृत्त की त्रिज्या की दोगुनी है:

PQ = 2 × O₂P = 2 × 3 = 6 सेमी

व्याख्या

मध्य-बिंदु प्रमेय के अनुसार, किसी भी त्रिभुज में, दो भुजाओं के मध्य-बिंदुओं को मिलाने वाला रेखाखंड तीसरी भुजा के समानांतर होता है और उसकी लंबाई का आधा होता है।

किसी भी यादृच्छिक चतुर्भुज ABCD के लिए, मान लीजिए P, Q, R, और S क्रमशः भुजाओं AB, BC, CD, और DA के मध्य-बिंदु हैं।

विकर्ण AC खींचने पर, हम त्रिभुज ABC और त्रिभुज ADC पर विचार करते हैं। त्रिभुज ABC में, P और Q, AB और BC के मध्य-बिंदु हैं, जिसका अर्थ है कि PQ, AC के समानांतर है और PQ = ½ AC। इसी प्रकार, त्रिभुज ADC में, S और R, AD और CD के मध्य-बिंदु हैं, जिसका अर्थ है कि SR, AC के समानांतर है और SR = ½ AC।

चूंकि PQ और SR दोनों AC के समानांतर हैं, वे एक दूसरे के समानांतर हैं (PQ || SR)। चूंकि PQ और SR दोनों ½ AC के बराबर हैं, वे लंबाई में बराबर हैं (PQ = SR)।

एक चतुर्भुज जिसकी विपरीत भुजाओं का एक युग्म समान और समानांतर दोनों हो, वह एक समांतर चतुर्भुज होता है। इसलिए, मध्य-बिंदुओं को मिलाने से बना चतुर्भुज PQRS हमेशा एक समांतर चतुर्भुज होता है, जिसे वारिग्नन का प्रमेय (Varignon's theorem) कहा जाता है।

व्याख्या

एक समबाहु त्रिभुज में, तीनों भुजाएँ लंबाई में बराबर होती हैं, और तीनों आंतरिक कोण 60° के बराबर होते हैं। इस पूर्ण समरूपता के कारण, किसी भी शीर्ष से विपरीत भुजा के मध्यबिंदु तक खींचा गया रेखाखंड (माध्यिका) उस भुजा पर लंब भी होता है (ऊंचाई)। परिणामस्वरूप, माध्यिकाएँ, ऊँचाइयाँ, कोण समद्विभाजक और भुजाओं के लंब समद्विभाजक समान रेखाखंड होते हैं। चूँकि केन्द्रक माध्यिकाओं का प्रतिच्छेदन बिंदु है और लम्बकेन्द्र ऊँचाइयों का प्रतिच्छेदन बिंदु है, वे एक समबाहु त्रिभुज में बिल्कुल एक ही बिंदु पर संपाती होने चाहिए। यही बिंदु त्रिभुज के अंतःकेन्द्र (incentre) और परिकेन्द्र (circumcentre) के रूप में भी कार्य करता है।

व्याख्या

सेवा का प्रमेय (Ceva's Theorem) कहता है कि किसी भी त्रिभुज ABC और त्रिभुज के अंदर एक बिंदु O के लिए, यदि सर्वांगसम रेखाएँ AD, BE, और CF, O पर समवर्ती हैं और क्रमशः विपरीत भुजाओं D, E, और F पर मिलती हैं, तो प्रत्येक भुजा पर खंडों के अनुपातों का गुणनफल 1 के बराबर होता है।

संबंध को इस प्रकार व्यक्त किया गया है: (BD/DC) × (CE/EA) × (AF/FB) = 1

इसे त्रिभुजों के क्षेत्रफल का उपयोग करके सिद्ध किया जा सकता है। चूँकि त्रिभुज ABD और ACD, BC पर A से समान ऊँचाई साझा करते हैं, उनके आधारों का अनुपात उनके क्षेत्रफलों के अनुपात के बराबर होता है: BD/DC = क्षेत्रफल(ΔABD)/क्षेत्रफल(ΔACD)

इसी प्रकार, त्रिभुजों OBD और OCD के लिए: BD/DC = क्षेत्रफल(ΔOBD)/क्षेत्रफल(ΔOCD)

अनुपात गुणों का उपयोग करके, हम मुख्य त्रिभुजों के संदर्भ में अनुपात ज्ञात करने के लिए इन क्षेत्रफलों को घटाते हैं: BD/DC = (क्षेत्रफल(ΔABD) - क्षेत्रफल(ΔOBD)) / (क्षेत्रफल(ΔACD) - क्षेत्रफल(ΔOCD)) = क्षेत्रफल(ΔABO)/क्षेत्रफल(ΔACO)

इसी विधि को अन्य भुजाओं पर लागू करके: CE/EA = क्षेत्रफल(ΔBCO)/क्षेत्रफल(ΔABO) AF/FB = क्षेत्रफल(ΔACO)/क्षेत्रफल(ΔBCO)

इन तीन समीकरणों को एक साथ गुणा करने पर प्राप्त होता है: (BD/DC) × (CE/EA) × (AF/FB) = (क्षेत्रफल(ΔABO)/क्षेत्रफल(ΔACO)) × (क्षेत्रफल(ΔBCO)/क्षेत्रफल(ΔABO)) × (क्षेत्रफल(ΔACO)/क्षेत्रफल(ΔBCO)) = 1

व्याख्या

बंदर प्रत्येक घंटे की शुरुआत में 30 फीट चढ़ता है और घंटे के बाकी समय में 20 फीट नीचे खिसक जाता है। इसके परिणामस्वरूप प्रति पूर्ण घंटे में 10 फीट (30 - 20) की शुद्ध प्रगति होती है।

यह पता लगाने के लिए कि बंदर 120 फीट पर झंडे को पहली बार कब छुएगा, हम अंतिम चढ़ाई के 30 फीट को कुल ऊंचाई से घटा देते हैं क्योंकि एक बार बंदर शीर्ष पर पहुँच जाता है, तो वह नीचे नहीं खिसकता है।

सामान्य घंटेवार चक्रों के माध्यम से तय की जाने वाली ऊंचाई 120 - 30 = 90 फीट है।

चूंकि शुद्ध प्रगति प्रति घंटा 10 फीट है, 90 फीट तक पहुंचने के लिए आवश्यक समय 90 ÷ 10 = 9 घंटे है।

सुबह 8 बजे शुरू होकर, 9 घंटे बाद (शाम 5 बजे), बंदर 9 चक्र पूरे करता है और 90 फीट की ऊंचाई पर होता है।

ठीक शाम 5 बजे, जो 10वें घंटे की शुरुआत है, बंदर अपनी अगली 30 फीट की चढ़ाई करता है। यह उसे 120 फीट (90 + 30) तक ले जाता है, पहली बार झंडे को छूता है।

व्याख्या

कथन "tom kun sad" (कुत्ते भौंक रहे हैं) की तुलना "kun jo map" (कुत्ते और घोड़े) से करने पर, सामान्य कोड शब्द "kun" है और सामान्य शब्द "कुत्ते" है। इसका मतलब है कि "kun" "कुत्ते" को दर्शाता है।

कथन "tom kun sad" (कुत्ते भौंक रहे हैं) की तुलना "mut tom ko" (गधे पागल हैं) से करने पर, सामान्य कोड शब्द "tom" है और सामान्य शब्द "हैं" है। इसका मतलब है कि "tom" "हैं" को दर्शाता है।

पहले कथन "tom kun sad" में, चूँकि "kun" "कुत्ते" को दर्शाता है और "tom" "हैं" को दर्शाता है, शेष कोड "sad" को शेष शब्द "भौंकना" को दर्शाना चाहिए।

व्याख्या

संख्या श्रृंखला एक योग पैटर्न का अनुसरण करती है जहाँ तीसरा पद से शुरू होने वाला प्रत्येक पद दो पूर्ववर्ती पदों का योग है।

7 + 11 = 18 11 + 18 = 29 18 + 29 = 47

लुप्त पद ज्ञात करने के लिए, दो पूर्ववर्ती पदों को जोड़ें: 29 + 47 = 76

अनुक्रम में बाद के पदों के साथ सत्यापित करना: 47 + 76 = 123 76 + 123 = 199

व्याख्या

पहले जोड़े में स्थापित संबंध एक आदेशित प्राधिकारी और उनके द्वारा निर्देशित या निर्देशित व्यक्तियों के समूह का है। कप्तान एक नामित प्रमुख या अधिकारी होता है जो सैनिकों का आदेश देता है और नेतृत्व करता है। ठीक उसी तरह, एक नेता वह व्यक्ति होता है जो अनुयायियों के समूह का मार्गदर्शन, निर्देशन या आदेश देता है। यह निर्देशक से निर्देशित के अनुरूप संबंध को पूरा करता है।

व्याख्या

लोहा : छड़ जोड़ा विषम है क्योंकि संबंध कच्चे माल : उत्पाद के क्रम में लिखा गया है। लोहा वह सामग्री है जिसका उपयोग छड़ बनाने के लिए किया जाता है। यह उस पैटर्न को उलट देता है जहाँ तैयार उत्पाद को पहले सूचीबद्ध किया जाता है और जिस कच्चे माल से वह बना है उसे दूसरे स्थान पर सूचीबद्ध किया जाता है।

व्याख्या

पंक्ति में लड़कों की कुल संख्या तुषार की दोनों छोरों से स्थिति का उपयोग करके निकाली जाती है: कुल = (बाएं से स्थान) + (दाएं से स्थान) - 1 कुल = 13 + 11 - 1 = 23

फिर इस कुल का उपयोग करके राम की बाएं से स्थिति निर्धारित की जाती है: बाएं से स्थान = कुल - (दाएं से स्थान) + 1 बाएं से स्थान = 23 - 17 + 1 = 7

व्याख्या

छह मित्रों को केंद्र की ओर मुख करके एक वृत्ताकार व्यवस्था में रखने पर, किसी भी व्यक्ति की बाईं दिशा दक्षिणावर्त दिशा के अनुरूप होती है।

मान लीजिए D को स्थान 1 पर रखा गया है। चूँकि E, D के बाईं ओर है, E को दक्षिणावर्त दिशा में स्थान 2 पर रखा गया है।

F, E और A के बीच में बैठा है, जिसका अर्थ है कि F को स्थान 3 पर और A को स्थान 4 पर होना चाहिए।

C, A और B के बीच में बैठा है, जिससे C को स्थान 5 पर और B को स्थान 6 पर रखा गया है।

यह मित्रों का दक्षिणावर्त क्रम पूरा करता है: D, E, F, A, C, B। इस व्यवस्था को देखने पर, B के ठीक बाईं ओर (दक्षिणावर्त) बैठा व्यक्ति D है।

व्याख्या

छह मित्रों को केंद्र की ओर मुख करके एक वृत्ताकार व्यवस्था में रखने पर:

चूंकि E, D के बाईं ओर है, E को दक्षिणावर्त दिशा में D के बगल में स्थित किया गया है।

F, E और A के बीच में है, जिसका अर्थ है कि F को E के बगल में बैठना चाहिए, और A, F के बगल में बैठता है।

C, A और B के बीच में है, जिसका अर्थ है कि C, A के बगल में बैठता है, और B, C के बगल में बैठता है। यह B को D के बगल में रखता है, जिससे बंद वृत्त पूरा हो जाता है।

मित्रों का परिणामी दक्षिणावर्त क्रम D, E, F, A, C, B है।

वृत्त के केंद्र की ओर मुख करने वाले किसी भी व्यक्ति के लिए, उनका दाहिना हाथ वामावर्त दिशा के अनुरूप होता है। C से वामावर्त देखने पर, C के ठीक दाईं ओर बैठा व्यक्ति A है।

व्याख्या

केंद्र की ओर मुख करके बैठे छह लोगों की वृत्ताकार व्यवस्था में, किसी भी व्यक्ति के बाईं ओर तीसरा व्यक्ति हमेशा उसके ठीक सामने बैठा होता है। चूँकि E, D के बाईं ओर है, और F, E और A के बीच में बैठा है, A को D के सामने रखा जाना चाहिए। इसकी आगे पुष्टि की जाती है क्योंकि C, A और B के बीच में बैठता है, जो B को D के बगल में रखता है। इसलिए, वृत्त में विपरीत जोड़े D और A, E और C, और F और B हैं। इससे A, D के ठीक सामने बैठा व्यक्ति बन जाता है, जो D के बाईं ओर तीसरी स्थिति है।

व्याख्या

छह मित्रों को केंद्र की ओर मुख करके एक वृत्ताकार व्यवस्था में बिठाने पर, हम दिए गए सुरागों के आधार पर उनकी सटीक स्थिति निर्धारित कर सकते हैं। E, D के बाईं ओर है। F, E और A के बीच में है, जिसका अर्थ है कि उस दिशा में क्रम E, F, A है। C, A और B के बीच में है, जिसका अर्थ है कि क्रम A, C, B के रूप में जारी रहता है। इन स्थितियों को वृत्त के चारों ओर क्रम में मिलाने पर D, E, F, A, C, B का क्रम प्राप्त होता है। इस व्यवस्था में, B और C तुरंत एक-दूसरे के बगल में बैठे हैं। परिणामस्वरूप, B और C के बीच कोई नहीं बैठा है।

व्याख्या

विकल्प c पर दिए गए प्रतीकों के प्रतिस्थापन को लागू करना: 18 × 6 + 7 ÷ 5 - 2 = 16

नियमों के अनुसार: × का अर्थ है घटाव (-)

• का अर्थ है भाग (÷) ÷ का अर्थ है गुणा (×)

• का अर्थ है जोड़ (+)

इन प्रतीकों को व्यंजक में प्रतिस्थापित करना: 18 - 6 ÷ 7 × 5 + 2 = 16

BODMAS/PEMDAS संचालन क्रम को लागू करना: पहले, भाग किया जाता है: 6 ÷ 7 ≈ 0.86

अगला, गुणा किया जाता है: 0.86 × 5 ≈ 4.29

अंत में, जोड़ और घटाव बाएं से दाएं किए जाते हैं: 18 - 4.29 + 2 = 13.71 + 2 = 15.71

दशमलव मान 15.71 को निकटतम पूर्णांक में पूर्णांकित करने पर 16 प्राप्त होता है, जो समीकरण के दाहिने पक्ष से मेल खाता है।

व्याख्या

यह प्रश्न दोषपूर्ण है। ADHM:ZWSN जोड़ी पूरक-से-27 नियम (A+Z=D+W=H+S=M+N=27) का उपयोग करती है। इसे CFJO पर लागू करने पर XUQL (C+X=F+U=J+Q=O+L=27) प्राप्त होता है, जो विकल्पों में नहीं है। A–D में से, केवल YVRM (विकल्प A) और WTPK (विकल्प B) सही आंतरिक अंतराल संरचना (−3, −4, −5) को बनाए रखते हैं। WTPK (विकल्प B) को सर्वश्रेष्ठ विकल्प के रूप में चुना गया है क्योंकि कई प्रकाशित उत्तर कुंजियाँ इसका उल्लेख करती हैं और पूर्व समाधान ने इस विकल्प की पुष्टि की है; यह गणितीय रूप से सही XUQL से प्रत्येक अक्षर पर ठीक −1 से भिन्न है।

व्याख्या

कथन (I) निहित है क्योंकि बहु-संवेदी अधिगम कई इंद्रियों, जैसे दृष्टि और श्रवण, को संलग्न करता है, जो शैक्षिक प्रक्रिया को पारंपरिक एकल-माध्यम विधियों की तुलना में अधिक आकर्षक, स्मरणीय और प्रभावी बनाता है। यह सीधे बताता है कि इलेक्ट्रॉनिक मीडिया कक्षा शिक्षण में कैसे सुधार करता है।

कथन (II) निहित है क्योंकि टीवी के पाठ इलेक्ट्रॉनिक मीडिया का एक व्यावहारिक रूप हैं जो कक्षाओं में पढ़ाए जाने वाले पाठ्यक्रम को सुदृढ़ और बढ़ाने वाले एक शैक्षिक पूरक के रूप में कार्य करते हैं।

इसलिए, दोनों कथन मान्य कारण और सहायक संदर्भ प्रदान करते हैं जो बताते हैं कि इलेक्ट्रॉनिक मीडिया कक्षा शिक्षण में कैसे सुधार करता है।

व्याख्या

माना चार क्रमागत विषम संख्याएँ x - 3, x - 1, x + 1, और x + 3 हैं।

इन चार क्रमागत संख्याओं का औसत है: ((x - 3) + (x - 1) + (x + 1) + (x + 3)) / 4 = 4x / 4 = x

दिया गया है कि इन संख्याओं का औसत 54 है, तो: x = 54

इस प्रकार, चार क्रमागत विषम संख्याएँ हैं: पहली संख्या = 54 - 3 = 51 दूसरी संख्या = 54 - 1 = 53 तीसरी संख्या = 54 + 1 = 55 चौथी संख्या = 54 + 3 = 57

पहली और तीसरी संख्या का गुणनफल है: 51 × 55 = 2805

व्याख्या

अंधेरा स्वाभाविक रूप से भय की भावना को प्रेरित करता है या उसकी ओर ले जाता है। इसी तरह, किसी व्यक्ति या कार्य में ईमानदारी स्वाभाविक रूप से विश्वास को प्रेरित करती है और उसकी ओर ले जाती है। यह एक कारण-और-प्रभाव संबंध का प्रतिनिधित्व करता है जहाँ पहला पद विशेषता या स्थिति है और दूसरा पद परिणामी भावना या परिणाम है।

व्याख्या

यह ज्ञात करने के लिए कि 15 अगस्त को सप्ताह का कौन सा दिन होगा, जब एक अधिवर्ष में 26 जनवरी को शुक्रवार है, हम इन दो तिथियों के बीच दिनों की कुल संख्या की गणना करते हैं और विषम दिनों की संख्या ज्ञात करते हैं।

27 जनवरी से 15 अगस्त तक के दिनों की संख्या इस प्रकार है: जनवरी में शेष दिन: 31 - 26 = 5 दिन फरवरी में दिन (अधिवर्ष): 29 दिन (29 mod 7 = 1 विषम दिन) मार्च में दिन: 31 दिन (31 mod 7 = 3 विषम दिन) अप्रैल में दिन: 30 दिन (30 mod 7 = 2 विषम दिन) मई में दिन: 31 दिन (31 mod 7 = 3 विषम दिन) जून में दिन: 30 दिन (30 mod 7 = 2 विषम दिन) जुलाई में दिन: 31 दिन (31 mod 7 = 3 विषम दिन) अगस्त में दिन: 15 दिन (15 mod 7 = 1 विषम दिन)

सभी विषम दिनों का योग = 5 + 1 + 3 + 2 + 3 + 2 + 3 + 1 = 20 विषम दिन।

कुल विषम दिनों को 7 से विभाजित करने पर: 20 ÷ 7 = 2 सप्ताह और 6 विषम दिन।

शुक्रवार में 6 दिन जोड़ने पर गुरुवार आता है।

व्याख्या

n × n ग्रिड में वर्गों की कुल संख्या सूत्र द्वारा दी जाती है:

S = n(n + 1)(2n + 1)/6

एक मानक शतरंज की बिसात 8 × 8 ग्रिड होती है, इसलिए हम सूत्र में n = 8 प्रतिस्थापित करते हैं:

S = 8 × (8 + 1) × (2 × 8 + 1) / 6 S = 8 × 9 × 17 / 6 S = 72 × 17 / 6 S = 12 × 17 S = 204

व्याख्या

घड़ी का डायल 360° का एक वृत्त है। चूँकि मिनट की सूई 60 मिनट में 360° का एक पूरा चक्कर लगाती है, इसलिए 1 मिनट में मिनट की सूई द्वारा तय किया गया कोण 360° ÷ 60 = 6° है।

इसलिए, 7 मिनट में, मिनट की सूई 7 × 6° = 42° के कोण से घूमेगी।

व्याख्या

मान लीजिए प्रत्येक पात्र की क्षमता 1 इकाई है।

पहले पात्र में पानी की मात्रा 1/2 है, दूसरे पात्र में 1/3 है, और तीसरे पात्र में 0 है।

तीनों पात्रों में पानी का कुल आयतन 1/2 + 1/3 + 0 = 5/6 है।

इस कुल पानी के आयतन को तीनों पात्रों में समान रूप से विभाजित करने पर पात्र की क्षमता का (5/6) ÷ 3 = 5/18 भाग प्राप्त होता है।

व्याख्या

मान लीजिए आयताकार हॉल की लंबाई L और उसकी चौड़ाई W है।

हमें दिया गया है कि W = ¾ L।

आयताकार हॉल का क्षेत्रफल सूत्र Area = L × W द्वारा दिया जाता है। दिए गए मानों को प्रतिस्थापित करने पर:

L × (¾ L) = 300

¾ L² = 300

L² = (300 × 4) / 3

L² = 400

L = 20 मीटर

अब, हम W = ¾ L का उपयोग करके चौड़ाई की गणना करते हैं:

W = ¾ × 20 = 15 मीटर

हॉल की लंबाई और चौड़ाई के बीच का अंतर है:

L - W = 20 - 15 = 5 मीटर

व्याख्या

मान लीजिए x और y क्रमशः अजय और उदय के आगमन समय का प्रतिनिधित्व करते हैं, जिन्हें दोपहर 1:00 बजे के बाद मिनटों में मापा जाता है। चूंकि वे दोनों दोपहर 1:00 बजे और 2:00 बजे के बीच पहुंचते हैं, इसलिए 0 ≤ x ≤ 60 और 0 ≤ y ≤ 60 है।

इस नमूना स्थान को कार्तीय तल पर 60 की भुजा वाले वर्ग द्वारा ज्यामितीय रूप से दर्शाया जा सकता है। नमूना स्थान का कुल क्षेत्रफल = 60 × 60 = 3600

उनके मिलने के लिए, उनके आगमन समय का अंतर अधिकतम 15 मिनट होना चाहिए: |x - y| ≤ 15

यह अनुकूल क्षेत्र वर्ग के कोनों पर दो प्रतिकूल समकोण त्रिभुजों के क्षेत्रफल को कुल वर्ग क्षेत्रफल से घटाकर प्राप्त किया जाता है, जो रेखाओं y ≤ x + 15 और y ≥ x - 15 द्वारा घिरा हुआ है।

इन दो कोणीय त्रिभुजों में से प्रत्येक की लंबवत भुजाओं की लंबाई 60 - 15 = 45 है। एक त्रिभुज का क्षेत्रफल = ½ × 45 × 45 = 1012.5 दोनों त्रिभुजों का कुल क्षेत्रफल = 2 × 1012.5 = 2025

अनुकूल क्षेत्र का क्षेत्रफल = कुल क्षेत्रफल - दोनों त्रिभुजों का क्षेत्रफल अनुकूल क्षेत्र का क्षेत्रफल = 3600 - 2025 = 1575

उनके मिलने की प्रायिकता अनुकूल क्षेत्रफल और कुल क्षेत्रफल का अनुपात है: प्रायिकता = 1575 / 3600 = 7/16

व्याख्या

मान लीजिए वस्तु का अंकित मूल्य M है।

d₁% और d₂% की क्रमिक छूट के बाद विक्रय मूल्य (SP) और अंकित मूल्य के बीच संबंध सूत्र द्वारा दिया गया है:

SP = M × (1 - d₁/100) × (1 - d₂/100)

सूत्र में SP = 216, d₁ = 10, और d₂ = 20 के दिए गए मानों को प्रतिस्थापित करने पर:

216 = M × (1 - 10/100) × (1 - 20/100) 216 = M × 0.9 × 0.8 216 = M × 0.72 M = 216 / 0.72 M = 300

व्याख्या

n-भुजाओं वाले बहुभुज के विकर्णों की संख्या d का सूत्र d = n(n - 3)/2 द्वारा दिया जाता है।

प्रश्न के अनुसार, विकर्णों की संख्या भुजाओं की संख्या से 50% अधिक है: d = n + 0.5n = 1.5n = 3n/2

विकर्णों की संख्या के लिए दोनों व्यंजकों को बराबर करने पर: n(n - 3)/2 = 3n/2

चूंकि n एक बहुभुज की भुजाओं की संख्या है और शून्य से अधिक होनी चाहिए, इसलिए दोनों पक्षों को n/2 से विभाजित करने पर प्राप्त होता है: n - 3 = 3 n = 6

6 भुजाओं वाले बहुभुज को षट्भुज कहते हैं।

व्याख्या

अंकगणितीय संक्रिया ऑक्टल (आधार-8) संख्या प्रणाली में की जाती है।

आधार-8 जोड़ में: 137₈ + 276₈ इकाई स्थान के लिए: 7 + 6 = दशमलव में 13, जो ऑक्टल में 15 है (5 लिखें और 1 हासिल ले जाएं)। दहाई स्थान के लिए: 3 + 7 + 1 (हासिल) = दशमलव में 11, जो ऑक्टल में 13 है (3 लिखें और 1 हासिल ले जाएं)। सैकड़ा स्थान के लिए: 1 + 2 + 1 (हासिल) = दशमलव में 4, जो ऑक्टल में 4 है। इससे योग 435 प्राप्त होता है।

731 + 672 पर समान आधार-8 जोड़ लागू करने पर: 731₈ + 672₈ इकाई स्थान के लिए: 1 + 2 = ऑक्टल में 3 (3 लिखें)। दहाई स्थान के लिए: 3 + 7 = दशमलव में 10, जो ऑक्टल में 12 है (2 लिखें और 1 हासिल ले जाएं)। सैकड़ा स्थान के लिए: 7 + 6 + 1 (हासिल) = दशमलव में 14, जो ऑक्टल में 16 है (16 लिखें)। इससे योग 1623 प्राप्त होता है।

व्याख्या

जब किसी मात्रा को क्रमिक रूप से x% बढ़ाया जाता है और फिर x% घटाया जाता है, तो शुद्ध प्रतिशत परिवर्तन हमेशा सूत्र द्वारा दी गई कमी होती है:

शुद्ध परिवर्तन % = -x²/100

सूत्र में x = 10 रखने पर:

शुद्ध परिवर्तन % = -(10)²/100 = -100/100 = -1%

ऋणात्मक चिह्न कमी को इंगित करता है, जिससे पता चलता है कि संख्या 1% घट जाती है।

व्याख्या

मिश्रधातु का प्रारंभिक द्रव्यमान 200 ग्राम है और जस्ता तथा तांबे का अनुपात 5 : 3 है।

जस्ता का द्रव्यमान 200 × 5/8 = 125 ग्राम है। तांबा का द्रव्यमान 200 × 3/8 = 75 ग्राम है।

माना कि मिलाए जाने वाले तांबे का द्रव्यमान x ग्राम है। चूंकि केवल तांबा मिलाया जा रहा है, जस्ता का द्रव्यमान 125 ग्राम पर स्थिर रहता है। जस्ता और तांबे का नया अनुपात 3 : 5 है।

125 / (75 + x) = 3 / 5

पदों को तिरछा गुणा करने पर: 125 × 5 = 3 × (75 + x) 625 = 225 + 3x 3x = 400 x = 400/3 = 133 ⅓ ग्राम

व्याख्या

आइए हम सिक्कों के बीच संबंध को महंगा होने के संदर्भ में दर्शाते हैं, क्योंकि कथन स्थापित करता है कि भारी सिक्के अधिक महंगे होते हैं।

सबसे पहले, राम, रमेश और मोहन के संबंध में कथनों का विश्लेषण करते हैं: राम का सिक्का मोहन के सिक्के से भारी है, जिसका अर्थ है राम > मोहन। राम का सिक्का रमेश के सिक्के से अधिक महंगा है, जिसका अर्थ है राम > रमेश। रमेश का सिक्का मोहन के सिक्के से अधिक महंगा है, जिसका अर्थ है रमेश > मोहन।

इन तीन संबंधों को मिलाकर, हमें निम्नलिखित क्रम मिलता है: राम > रमेश > मोहन

यह श्रृंखला स्थापित करती है कि इस समूह में राम के पास सबसे महंगा सिक्का है।

इसके अतिरिक्त, हमें दिया गया है: नरेश का सिक्का योगेश के सिक्के से अधिक महंगा है (नरेश > योगेश)।

तुलनात्मक समूहों में, राम सबसे बड़े तुलनात्मक अनुक्रम के शीर्ष पर स्थित है, जिससे राम सही विकल्प बनता है।

व्याख्या

व्यंजक A @ B + C * D - E ÷ F में A, F से किस प्रकार संबंधित है, यह निर्धारित करने के लिए प्रतीकों को चरण-दर-चरण डिकोड किया जाता है:

A @ B का अर्थ है A, B की पुत्री है। इससे स्थापित होता है कि A महिला है।

B + C का अर्थ है B, C का पिता है। चूंकि A, B की पुत्री है, A और C भाई-बहन हैं।

C * D का अर्थ है C, D का भाई है। चूंकि B पहले से ही C का पिता स्थापित हो चुका है, D, C की माता होनी चाहिए और B की पत्नी होनी चाहिए।

D - E का अर्थ है D, E की माता है।

E ÷ F का अर्थ है E, F की बहन है।

यह क्रम दर्शाता है कि A, C, E और F सभी भाई-बहन हैं, जिनके पिता B और माता D हैं। चूंकि A इस परिवार की एक महिला संतान है, A, F की बहन है।

व्याख्या

संबंध निर्धारित करने के लिए, हम दिए गए परिभाषाओं का उपयोग करके व्यंजक A + B + C × D + E @ F को चरण-दर-चरण समझ सकते हैं:

A + B: A, B का पिता है। B + C: B, C का पिता है। C × D: C, D का भाई है। चूँकि B, C का पिता है, B, D का भी पिता है। D + E: D, E का पिता है। E @ F: E, F की पुत्री है।

चरण 4 और 5 से, D, E का पिता है और E, F की पुत्री है। इसका तात्पर्य है कि D और F एक विवाहित जोड़ा हैं जहाँ D पति है और F पत्नी है।

चूँकि B, D का पिता है, और F का विवाह D से हुआ है, B, F का ससुर है। सरल रिश्तेदारी शब्दों में, B (D का पिता) F के लिए पिता तुल्य (ससुर) की भूमिका निभाता है।

व्याख्या

व्यंजक में प्रतीकों को डीकोड करके: A @ B का अर्थ है A, B की पुत्री है। B × C का अर्थ है B, C का भाई है। C + D का अर्थ है C, D का पिता है। D × E का अर्थ है D, E का भाई है। E @ F का अर्थ है E, F की पुत्री है।

खंड C + D × E @ F से, C, D का पिता है, D, E का भाई है, और E, F की पुत्री है। इससे पता चलता है कि D और E भाई-बहन हैं जिनके पिता C हैं और माता F हैं। इसलिए, C और F विवाहित हैं।

खंड A @ B × C से, B, C का भाई है, और A, B की पुत्री है। चूँकि C, A के पिता B का भाई है, C, A का पैतृक चाचा है। चूँकि F का विवाह C से हुआ है, F, A के पैतृक चाचा की पत्नी है। इस प्रकार, F, A की चाची है।

व्याख्या

यह प्रश्न त्रुटिपूर्ण है। श्रृंखला का विश्लेषण: A+B → A, B का पिता है; B×C → B, C का भाई है (इसलिए A, C का भी पिता है); C+D → C, D का पिता है; D*E → D, E का पुत्र है, जिसका अर्थ है E, D की माँ है (C से विवाहित); E@F → E, F की पुत्री है, जिसका अर्थ है F, E का अभिभावक है। इसलिए A (D का पैतृक दादा) और F (E के माध्यम से D का मातृ अभिभावक) सह-दादा-दादी हैं - एक ऐसा संबंध जो विकल्पों में नहीं है। चारों विकल्पों में से, पिता (B) को सबसे कम गलत विकल्प के रूप में चुना गया है क्योंकि A श्रृंखला में एक वरिष्ठ पूर्वज/पितृसत्तात्मक भूमिका निभाता है; कोई भी विकल्प वास्तविक संबंध का सटीक वर्णन नहीं करता है।

व्याख्या

व्यंजक से चरण-दर-चरण पारिवारिक वृक्ष का विश्लेषण करके: A * B का अर्थ है A, B का पुत्र है। B × C का अर्थ है B, C का भाई है। C ÷ D का अर्थ है C, D की बहन है। D × E का अर्थ है D, E का भाई है। E - F का अर्थ है E, F की माता है।

इससे पता चलता है कि B, C, D और E भाई-बहन हैं। B एक पुरुष भाई है और A का पिता है। E एक महिला बहन है और F की माता है। चूँकि A और F के माता-पिता भाई-बहन हैं, F और A चचेरे/ममेरे/फुफेरे भाई-बहन हैं। इस प्रकार, F, A का चचेरा/ममेरा/फुफेरा भाई/बहन है।

व्याख्या

जब एक ठोस रंगे हुए घन को छोटे बराबर आकार के घनों में काटा जाता है, तो तीन सतहों पर रंग लगे छोटे घन हमेशा मूल बड़े घन के कोनों पर स्थित होते हैं। चूँकि किसी भी मानक घन में ठीक 8 कोने होते हैं, इसलिए छोटे घनों की कुल संख्या के बावजूद, हमेशा 8 ऐसे घन होंगे जिनकी तीन सतहों पर रंग लगा होगा।

व्याख्या

जब एक ठोस घन की सभी सतहों को लाल रंग से रंगा जाता है और फिर घन को 64 बराबर छोटे घनों में काटा जाता है, तो हम पहले मूल घन की भुजा की लंबाई n ज्ञात करते हैं: n³ = 64, इसलिए n = ∛64 = 4। मूल घन की प्रत्येक भुजा को इसलिए 4 बराबर भागों में विभाजित किया गया है।

पूरी तरह से अंदर के छोटे घन जिनकी कोई भी सतह रंगीन नहीं है, वे बड़े घन के अंदर पूरी तरह से घिरे हुए हैं - वे कभी भी किसी बाहरी फलक को नहीं छूते हैं। ये आंतरिक घन भुजा (n − 2) के एक छोटे घन का निर्माण करते हैं: हर दिशा में प्रत्येक तरफ से एक परत हटाने पर प्रति भुजा (4 − 2) = 2 इकाई मिलती है।

बिना रंगीन घनों की संख्या = (n − 2)³ = (4 − 2)³ = 2³ = 8।

इसलिए उत्तर 8 है, जो विकल्प B है।

व्याख्या

एक बड़े ठोस घन को 64 बराबर छोटे घनों में काटा जाता है, जिसका अर्थ है कि बड़ा घन 1 इकाई प्रत्येक की भुजा लंबाई वाले 4 × 4 × 4 छोटे घनों में विभाजित है। किसी छोटे घन की दो विपरीत सतहों के लाल रंग से रंगे होने के लिए, उन दोनों विपरीत सतहों को मूल बड़े घन के बाहरी फलकों पर स्थित होना चाहिए।

4 × 4 × 4 ग्रिड में, बड़े घन के विपरीत फलक 4 इकाइयों से अलग होते हैं। हालाँकि, किसी भी व्यक्तिगत 1 × 1 × 1 छोटे घन के विपरीत फलक केवल 1 इकाई से अलग होते हैं। चूँकि एक एकल छोटा घन दो विपरीत बाहरी फलकों को एक साथ छूने के लिए बड़े घन की पूरी चौड़ाई को पार नहीं कर सकता है, इसलिए किसी भी छोटे घन की दो विपरीत सतहों का लाल रंग से रंगा होना ज्यामितीय रूप से असंभव है। परिणामस्वरूप, ऐसे घनों की संख्या 0 है।

व्याख्या

जब एक ठोस घन को छोटे समान घनों में विभाजित किया जाता है, तो प्रत्येक किनारे के साथ विभाजन की संख्या, n, छोटे घनों की कुल संख्या से ज्ञात की जाती है। यहाँ, n = ∛64 = 4।

ठीक एक सतह रंगीन वाले छोटे घन मुख्य घन के फलकों पर स्थित होते हैं, किनारों और कोनों को छोड़कर। चूँकि एक घन के 6 फलक होते हैं, इन घनों की संख्या ज्ञात करने का सूत्र है:

6 × (n - 2)²

n = 4 को इस संबंध में प्रतिस्थापित करने पर:

6 × (4 - 2)² = 6 × 2² = 6 × 4 = 24

व्याख्या

छोटे घनों की कुल संख्या 64 है, जिसका अर्थ है कि बड़े घन के प्रत्येक किनारे पर विभाजन की संख्या, n, 64 का घनमूल है, जो 4 के बराबर है।

जिन छोटे घनों में ठीक दो आसन्न सतहें लाल रंग से रंगी हुई हैं और शेष सतहों पर कोई रंग नहीं है, वे बड़े घन के किनारों पर स्थित होते हैं, कोनों वाले घनों को छोड़कर। एक घन में 12 किनारे होते हैं, और प्रत्येक किनारे पर दो सतहों से रंगे हुए ऐसे घनों की संख्या n - 2 द्वारा दी जाती है।

मानक सूत्र का उपयोग करके, ठीक दो रंगीन सतहों वाले घनों की कुल संख्या 12 × (n - 2) है। इस सूत्र में n = 4 रखने पर 12 × (4 - 2) = 12 × 2 = 24 प्राप्त होता है। इन 24 घनों में ठीक दो आसन्न लाल सतहें और चार बिना रंग वाली सतहें होती हैं।

व्याख्या

प्रति वस्तु घटी हुई कीमत की गणना निम्न सूत्र का उपयोग करके की जाती है: घटी हुई कीमत = (राशि × कमी प्रतिशत) ÷ (100 × अतिरिक्त खरीदी गई मात्रा)

दिया गया है: राशि = रु. 40 कमी प्रतिशत = 20% अतिरिक्त मात्रा = 20 संतरे

सूत्र में मानों को प्रतिस्थापित करने पर: घटी हुई कीमत = (40 × 20) ÷ (100 × 20) = 40/100 = रु. 0.40

रुपयों को पैसे में परिवर्तित करना: 0.40 × 100 = 40 पैसे

व्याख्या

एक वर्ग और एक समबाहु त्रिभुज के मानक क्षेत्रफल सूत्रों का उपयोग करके, मान लीजिए उभयनिष्ठ आधार जो दोनों आकृतियों की भुजा बनाता है, 'a' है।

वर्ग का क्षेत्रफल इस प्रकार दिया गया है: वर्ग का क्षेत्रफल = a²

समबाहु त्रिभुज का क्षेत्रफल इस प्रकार दिया गया है: त्रिभुज का क्षेत्रफल = (√3/4) × a²

वर्ग के क्षेत्रफल का समबाहु त्रिभुज के क्षेत्रफल से अनुपात है: अनुपात = a² : (√3/4) × a² अनुपात = 1 : √3/4 अनुपात = 4 : √3

व्याख्या

मान लीजिए दो संख्याएँ x और y हैं।

संख्याओं का योग x + y = 12 है, और संख्याओं का गुणनफल xy = 35 है।

उनके व्युत्क्रमों का योग बीजगणितीय संबंध द्वारा दिया गया है: 1/x + 1/y = (x + y) / xy

संबंध में योग और गुणनफल के दिए गए मानों को प्रतिस्थापित करना: 1/x + 1/y = 12/35

व्याख्या

शुद्ध आय में कमी, भुगतान किए गए आयकर में वृद्धि के ठीक बराबर है। माना प्रारंभिक आयकर T है और प्रारंभिक शुद्ध आय N है।

दी गई शर्त के अनुसार: T का 19% = N का 1% 19/100 × T = 1/100 × N 19 × T = 1 × N N / T = 19 / 1

इसका मतलब है कि यदि भुगतान किया गया कर 1 इकाई है, तो शुद्ध आय 19 इकाई है।

सकल आय, शुद्ध आय और आयकर का योग है: सकल आय = शुद्ध आय + कर = 19 + 1 = 20 इकाई

आयकर की दर, कर और सकल आय का अनुपात है, जिसे प्रतिशत के रूप में व्यक्त किया गया है: आयकर की दर = (कर / सकल आय) × 100% आयकर की दर = (1 / 20) × 100% = 5%

व्याख्या

मान लीजिए कक्षा में बेंचों की संख्या 'b' है।

दूसरी शर्त के अनुसार, यदि एक बेंच पर 7 छात्र बैठते हैं, तो 5 छात्रों के लिए जगह बच जाती है। इसका मतलब है कि छात्रों की कुल संख्या S, निम्न द्वारा दी गई है: S = 7b - 5

पहली शर्त के अनुसार, यदि एक बेंच पर 6 छात्र बैठते हैं, तो उन सभी को समायोजित करने के लिए, एक और बेंच की आवश्यकता होती है। इसका तात्पर्य है कि 6 छात्रों की क्षमता वाली 'b' बेंचों पर कुछ छात्र खड़े रह जाते हैं, और ठीक एक और बेंच जोड़ने पर सभी शेष छात्र समायोजित हो जाते हैं। यह मानते हुए कि यह अतिरिक्त बेंच पूरी तरह से भरी हुई है: S = 6b + 6

दोनों व्यंजकों को बराबर करने पर: 7b - 5 = 6b + 6 b = 11

b का मान रखने पर: S = 7 × 11 - 5 = 72

व्याख्या

दी गई शर्तों का चरण-दर-चरण विश्लेषण करके, सप्ताह के लिए अनुसूची इस प्रकार निर्धारित की जा सकती है:

रसायन विज्ञान गुरुवार को निर्धारित है।

चूंकि रसायन विज्ञान और बॉटनी के बीच केवल एक व्याख्यान आयोजित किया जाता है, बॉटनी या तो मंगलवार या शनिवार को निर्धारित होनी चाहिए।

यदि बॉटनी मंगलवार को निर्धारित है: रसायन विज्ञान गुरुवार को है, और बॉटनी मंगलवार को है। अंग्रेजी जूलॉजी के तुरंत बाद निर्धारित है। चूंकि अंग्रेजी मंगलवार या शनिवार को निर्धारित नहीं की जा सकती है, जूलॉजी शनिवार को और अंग्रेजी रविवार को निर्धारित होनी चाहिए। चूंकि गणित और जूलॉजी (शनिवार) के बीच दो व्याख्यान निर्धारित हैं, गणित बुधवार को निर्धारित होना चाहिए। शेष दो विषयों, सांख्यिकी और भौतिकी के लिए सोमवार और शुक्रवार बचते हैं। चूंकि सांख्यिकी सोमवार या रविवार को निर्धारित नहीं की जा सकती है, सांख्यिकी शुक्रवार को निर्धारित होनी चाहिए। यह सोमवार को भौतिकी के लिए छोड़ देता है।

यदि बॉटनी शनिवार को निर्धारित है, तो शेष शर्तों को पूरा नहीं किया जा सकता है क्योंकि सांख्यिकी या तो सोमवार या रविवार को मजबूर हो जाएगी, जो दिए गए नियमों का उल्लंघन करती है।

इस प्रकार, भौतिकी सोमवार को निर्धारित है।

व्याख्या

दी गई शर्तों का विश्लेषण करके हम सोमवार से रविवार तक सप्ताह के सात दिनों के लिए अनुसूची निर्धारित कर सकते हैं:

रसायन विज्ञान गुरुवार को पढ़ाया जाता है।

चूंकि रसायन विज्ञान और वनस्पति विज्ञान के बीच केवल एक व्याख्यान आयोजित किया जाता है, इसलिए वनस्पति विज्ञान या तो मंगलवार या शनिवार को पढ़ाया जाना चाहिए।

अंग्रेजी जंतु विज्ञान के ठीक अगले दिन पढ़ाई जाती है, और अंग्रेजी मंगलवार या शनिवार को नहीं पढ़ाई जाती है।

गणित और जंतु विज्ञान के बीच दो व्याख्यान निर्धारित हैं। सांख्यिकी सोमवार या रविवार को नहीं पढ़ाई जाती है।

आइए उस मामले का परीक्षण करें जहां वनस्पति विज्ञान मंगलवार को पढ़ाया जाता है: यदि वनस्पति विज्ञान मंगलवार को है, और रसायन विज्ञान गुरुवार को है, तो जंतु विज्ञान-अंग्रेजी का लगातार जोड़ा रखा जाना चाहिए। चूंकि अंग्रेजी मंगलवार या शनिवार को नहीं हो सकती है, और रसायन विज्ञान गुरुवार को है, इसलिए जंतु विज्ञान और अंग्रेजी के लिए एकमात्र वैध लगातार नियुक्ति क्रमशः शनिवार और रविवार है। तो, जंतु विज्ञान शनिवार को है और अंग्रेजी रविवार को है। शनिवार को जंतु विज्ञान के साथ, गणित को बुधवार को निर्धारित किया जाना चाहिए ताकि गणित और जंतु विज्ञान के बीच ठीक दो व्याख्यान (गुरुवार और शुक्रवार) हों। अब, शेष दिन सोमवार और शुक्रवार हैं, और शेष विषय सांख्यिकी और भौतिकी हैं। चूंकि सांख्यिकी सोमवार को नहीं पढ़ाई जा सकती है, इसलिए सांख्यिकी शुक्रवार को पढ़ाई जानी चाहिए, जिससे भौतिकी सोमवार के लिए रह जाती है।

यह पूर्ण और सुसंगत अनुसूची देता है: सोमवार: भौतिकी मंगलवार: वनस्पति विज्ञान बुधवार: गणित गुरुवार: रसायन विज्ञान शुक्रवार: सांख्यिकी शनिवार: जंतु विज्ञान रविवार: अंग्रेजी

वनस्पति विज्ञान (मंगलवार) और जंतु विज्ञान (शनिवार) के बीच पढ़ाए जाने वाले विषय गणित (बुधवार), रसायन विज्ञान (गुरुवार), और सांख्यिकी (शुक्रवार) हैं। इसलिए, वनस्पति विज्ञान और जंतु विज्ञान के बीच पढ़ाए जाने वाले विषयों की संख्या 3 है।

व्याख्या

सात विषयों (गणित, जंतु विज्ञान, पादप विज्ञान, रसायन विज्ञान, भौतिकी, अंग्रेजी, सांख्यिकी) को सोमवार से रविवार तक, प्रतिदिन एक विषय के अनुसार पढ़ाया जाता है। दी गई बाधाओं को चरण दर चरण लागू करने पर:

चरण 1 - निश्चित स्थान: रसायन विज्ञान = गुरुवार।

चरण 2 - पादप विज्ञान का स्थान: 'रसायन विज्ञान और पादप विज्ञान के बीच केवल एक व्याख्यान होता है' का अर्थ है कि उनके बीच ठीक एक दिन का अंतर है। रसायन विज्ञान गुरुवार (चौथा दिन) को है, इसलिए पादप विज्ञान मंगलवार (दूसरा दिन) या शनिवार (छठा दिन) को होना चाहिए।

चरण 3 - जंतु विज्ञान-अंग्रेजी ब्लॉक: जंतु विज्ञान पढ़ाए जाने वाले दिन के ठीक अगले दिन अंग्रेजी पढ़ाई जाती है, और अंग्रेजी ≠ मंगलवार और अंग्रेजी ≠ शनिवार।

पादप विज्ञान = शनिवार का परीक्षण: जंतु विज्ञान-अंग्रेजी की शेष जोड़ी जो अंग्रेजी के लिए मंगलवार और शनिवार से बचती है, उसके लिए रविवार को जंतु विज्ञान और सोमवार को अंग्रेजी की आवश्यकता होगी। लेकिन फिर 'गणित और जंतु विज्ञान (रविवार = सातवां दिन) के बीच दो व्याख्यान' के लिए गुरुवार (चौथा दिन) को गणित की आवश्यकता होगी, जो पहले से ही रसायन विज्ञान द्वारा लिया गया है। यह मामला विफल हो जाता है।

पादप विज्ञान = मंगलवार का परीक्षण: जंतु विज्ञान-अंग्रेजी के लिए शेष दिन (अंग्रेजी = जंतु विज्ञान + 1, अंग्रेजी ≠ मंगल, ≠ शनि):

• एकमात्र मान्य जोड़ी जंतु विज्ञान = शनिवार, अंग्रेजी = रविवार है।

चरण 4 - गणित का स्थान: 'गणित और जंतु विज्ञान (शनिवार = छठा दिन) के बीच दो व्याख्यान निर्धारित हैं।' उनके बीच ठीक दो दिन का अंतर है, इसलिए गणित = तीसरा दिन = बुधवार।

चरण 5 - शेष विषय: भौतिकी और सांख्यिकी सोमवार और शुक्रवार को भरे जाते हैं। 'सांख्यिकी ≠ सोमवार और ≠ रविवार', इसलिए सांख्यिकी = शुक्रवार और भौतिकी = सोमवार।

अंतिम समय सारणी: सोमवार = भौतिकी मंगलवार = पादप विज्ञान बुधवार = गणित गुरुवार = रसायन विज्ञान शुक्रवार = सांख्यिकी शनिवार = जंतु विज्ञान रविवार = अंग्रेजी

शनिवार को पढ़ाया जाने वाला विषय जंतु विज्ञान है, जो विकल्प D है।

व्याख्या

दी गई शर्तों के आधार पर, व्याख्यानों का कार्यक्रम विशिष्ट रूप से इस प्रकार निर्धारित किया जा सकता है:

रसायन विज्ञान गुरुवार को निर्धारित है।

चूंकि रसायन विज्ञान और वनस्पति विज्ञान के बीच केवल एक व्याख्यान आयोजित किया जाता है, इसलिए वनस्पति विज्ञान या तो मंगलवार या शनिवार को निर्धारित होना चाहिए।

जंतु विज्ञान के ठीक बाद अंग्रेजी पढ़ाई जाती है, जिसका अर्थ है कि जंतु विज्ञान और अंग्रेजी एक लगातार जोड़ी बनाते हैं। चूंकि अंग्रेजी मंगलवार या शनिवार को नहीं पढ़ाई जा सकती है, और रसायन विज्ञान गुरुवार को है, इस जोड़ी के लिए एकमात्र मान्य स्थान शनिवार को जंतु विज्ञान और रविवार को अंग्रेजी है। यह वनस्पति विज्ञान को मंगलवार को रखता है।

गणित और जंतु विज्ञान के बीच दो व्याख्यान निर्धारित हैं। चूंकि जंतु विज्ञान शनिवार को है, गणित बुधवार को निर्धारित होना चाहिए।

शेष दिन सोमवार और शुक्रवार हैं, और शेष विषय सांख्यिकी और भौतिकी हैं। चूंकि सांख्यिकी सोमवार या रविवार को नहीं पढ़ाई जा सकती है, इसलिए इसे शुक्रवार को निर्धारित किया जाना चाहिए, जिससे भौतिकी सोमवार के लिए रह जाती है।

इस प्रकार, अंतिम कार्यक्रम इस प्रकार है: सोमवार: भौतिकी मंगलवार: वनस्पति विज्ञान बुधवार: गणित गुरुवार: रसायन विज्ञान शुक्रवार: सांख्यिकी शनिवार: जंतु विज्ञान रविवार: अंग्रेजी

व्याख्या

गद्यांश के पहले वाक्य के अनुसार, सफल नेतृत्व पर किए गए शोध का एक प्रमुख निष्कर्ष यह है कि सम्मान हमेशा एक दो-तरफ़ा मार्ग होता है। इस अवधारणा का अर्थ है कि दूसरों से सम्मान प्राप्त करने के लिए, व्यक्ति को उनके साथ सम्मानपूर्वक व्यवहार करना चाहिए, जिसका अर्थ है कि सम्मान सम्मान से उत्पन्न होता है।

व्याख्या

गद्यांश स्पष्ट रूप से बताता है कि यदि किसी प्रबंधक का सम्मान किया जाता है, तो उसकी निवारक रखरखाव रणनीति को समस्याओं को हल करने के एक ईमानदार प्रयास के रूप में स्वीकार किया जाएगा। इसलिए, रणनीति को समस्याओं को हल करने के प्रयास के रूप में देखा जाता है।

व्याख्या

गद्यांश इस बात पर जोर देता है कि सफल नेतृत्व में सम्मान एक दो-तरफ़ा रास्ता है, जहाँ दूसरों के साथ मित्रता और विनम्रता से पेश आने से बदले में सम्मान मिलता है। एक नेता और उनकी टीम के बीच यह आपसी आदान-प्रदान और प्रतिक्रिया सीधे पारस्परिकता की अवधारणा को परिभाषित करती है।

व्याख्या

गद्यांश के अनुसार, मित्रता एक आवश्यक तत्व है जो प्रबंधकीय सफलता को बढ़ाता है लेकिन मुख्य प्रबंधन जिम्मेदारियों को प्रतिस्थापित नहीं करता है। लेखक स्पष्ट रूप से इस विश्वास से गुमराह न होने की चेतावनी देता है कि मित्रता खराब प्रबंधन को प्रतिस्थापित या ठीक कर देगी, जो विकल्प A और B को खारिज करता है। इसके बजाय, लेखक कहता है कि जो प्रबंधक मित्रतापूर्ण तरीके से प्रभावी ढंग से हस्तक्षेप करते हैं, वे उन लोगों की तुलना में हमेशा अधिक प्रभावी होते हैं जो गैर-मित्रतापूर्ण तरीके से ऐसा करते हैं। इसलिए, प्रबंधन के संदर्भ में, मित्रता प्रदर्शन को बढ़ाकर और आपसी सम्मान को बढ़ावा देकर प्रबंधन को अधिक प्रभावी बनाने का एक साधन है।

व्याख्या

गद्यांश इस बात पर जोर देता है कि मित्रता, जिसमें दूसरों के साथ विनम्रता से पेश आना और उनमें रुचि दिखाना शामिल है, आपसी सम्मान प्रदर्शित करने का एक मौलिक तरीका है। यह बताता है कि जब प्रबंधक प्रभावी प्रबंधन को मिलनसार दृष्टिकोण के साथ जोड़ते हैं, तो वे काफी अधिक प्रभावी हो जाते हैं, अपनी रणनीतियों को स्वीकार करवाते हैं, और समग्र रूप से बेहतर कार्य प्रदर्शन बनाए रखते हैं। यह इस बात पर प्रकाश डालता है कि मित्रता सीधे तौर पर किसी संगठन के भीतर कार्य नीति, वातावरण और उत्पादकता को कैसे बढ़ाती और सुधारती है।

व्याख्या

एक मानक संचार प्रणाली में, सूचना हस्तांतरण की प्रक्रिया के लिए तीन आवश्यक घटक होते हैं: एक प्रेषक, एक प्रसारण चैनल और एक प्राप्तकर्ता। प्रेषक उस स्रोत के रूप में कार्य करता है जो संदेश को भेजने से पहले उसे एक विशिष्ट भाषा या संकेत कोड में एन्कोड करता है। प्राप्तकर्ता द्वारा संदेश को सफलतापूर्वक डीकोड और समझने के लिए, प्रेषक और प्राप्तकर्ता दोनों को एक सामान्य भाषा कोड साझा करना चाहिए। इस साझा कोड के बिना, प्रेषित संकेतों को सार्थक जानकारी में वापस अनुवादित नहीं किया जा सकता है, जिससे संचार असंभव हो जाता है।

व्याख्या

अपने आप से संचार, जिसे व्यापक रूप से अंतर्वैयक्तिक संचार के रूप में जाना जाता है, संज्ञानात्मक प्रक्रिया का प्रतिनिधित्व करता है जहाँ एक व्यक्ति संदेशों के प्रेषक और प्राप्तकर्ता दोनों के रूप में कार्य करता है। सोचने, प्रतिबिंबित करने, विश्लेषण करने और आत्म-वार्ता की यह आंतरिक प्रक्रिया किसी व्यक्ति के मन के भीतर एक निरंतर संज्ञानात्मक आदान-प्रदान का गठन करती है, जिसे आंतरिक संवाद के रूप में परिभाषित किया गया है।

व्याख्या

आइस-ब्रेकर एक स्वागत योग्य तकनीक, कथन या गतिविधि है जिसका उपयोग प्रस्तुति की शुरुआत में तनाव को कम करने और दर्शकों के साथ तालमेल बिठाने के लिए किया जाता है। यह श्रोताओं का ध्यान आकर्षित करने, एक आरामदायक और संवादात्मक वातावरण स्थापित करने और दर्शकों को विषय से जुड़ने के लिए तैयार करने में मदद करता है। आइस-ब्रेकर के साथ शुरुआत करके, एक अच्छा संचारक सफलतापूर्वक बाधाओं को तोड़ता है और तत्काल संबंध बनाता है, जिससे संदेश की अधिक प्रभावी प्रस्तुति और ग्रहणशीलता संभव होती है।

व्याख्या

शहरों में, तीव्र और व्यापक सांस्कृतिक संचार का प्राथमिक चालक मल्टीमीडिया है - जिसमें डिजिटल मीडिया प्लेटफॉर्म, टेलीविजन, सोशल नेटवर्किंग सेवाएं, इंटरनेट और मोबाइल संचार शामिल हैं। शहरी क्षेत्रों में तकनीकी अवसंरचना और उच्च कनेक्टिविटी घनत्व है जो इन चैनलों को बड़े पैमाने पर आबादी में लगभग तुरंत सांस्कृतिक तत्वों, प्रवृत्तियों और मूल्यों को प्रसारित करने की अनुमति देता है।

(A) कम शारीरिक श्रम सीधे सांस्कृतिक संचार को तेज नहीं करता है। (B) गपशप एक अनौपचारिक और धीमी गति का माध्यम है जो छोटे सामाजिक नेटवर्क तक सीमित है। (D) अधिक कार्यभार वास्तव में सांस्कृतिक आदान-प्रदान के लिए उपलब्ध समय को कम करता है।

मल्टीमीडिया (विकल्प C) शहरी निवासियों के लाखों लोगों तक सांस्कृतिक सामग्री के तीव्र, एक साथ प्रसारण को सक्षम बनाता है, जिससे यह शहरों में त्वरित सांस्कृतिक संचार के लिए सबसे अधिक जिम्मेदार कारक बन जाता है।

व्याख्या

संगठनात्मक संचार में, 'ग्रेपवाइन' शब्द का प्रयोग अनौपचारिक संचार का वर्णन करने के लिए किया जाता है। यह माध्यम कर्मचारियों के बीच सामाजिक संबंधों और व्यक्तिगत बातचीत से स्वतः उत्पन्न होता है, न कि किसी आधिकारिक रूप से नामित मार्गों या पदानुक्रमों के माध्यम से। चूँकि यह एक निर्धारित संरचना का पालन नहीं करता है, सूचना सभी दिशाओं में अत्यंत तेज़ी से यात्रा करती है, जिससे कर्मचारियों को समाचार साझा करने, संबंध बनाने और चिंताओं को व्यक्त करने की अनुमति मिलती है जो औपचारिक माध्यमों से आसानी से संप्रेषित नहीं हो सकती हैं।

व्याख्या

सहायक क्रिया 'can' के बाद हमेशा मुख्य क्रिया का मूल रूप (base form) या बेयर इनफिनिटिव (bare infinitive) आता है। भविष्य की घटना, जैसे मौसम, की भविष्यवाणी या अनुमान लगाने का अर्थ रखने वाली मूल क्रिया की सही वर्तनी 'forecast' है। 'can' के बाद मूल रूप का प्रयोग अंग्रेजी व्याकरण का एक मौलिक नियम है।

व्याख्या

Preposition 'against' का प्रयोग किसी भौतिक सतह के संपर्क, समर्थन या दबाव को इंगित करने के लिए किया जाता है। जब कोई व्यक्ति या वस्तु झुकने की स्थिति में होती है, तो वे भौतिक समर्थन के लिए दीवार जैसी ऊर्ध्वाधर सतह पर निर्भर करते हैं, जिससे वाक्य को पूरा करने के लिए 'against' सही preposition बन जाता है।

व्याख्या

प्रश्न में ऐसे व्यक्ति की परिभाषा दी गई है जो अचानक निम्न पद से धन और महत्व पर पहुंचा हो। 'अपस्टार्ट' (विकल्प D) शब्द इस परिभाषा से बिल्कुल मेल खाता है।

'अपस्टार्ट' एक संज्ञा है जिसका अर्थ है कोई ऐसा व्यक्ति जो तेजी से और अप्रत्याशित रूप से एक विनम्र या निम्न सामाजिक या आर्थिक स्थिति से धन, शक्ति, या सामाजिक प्रमुखता की स्थिति में आ गया हो - अक्सर यह तात्पर्य होता है कि व्यक्ति अपनी नई स्थिति में अहंकारपूर्ण या ढीठ व्यवहार करता है।

अन्य विकल्प उपयुक्त नहीं हैं: (A) आउटस्मार्ट (Outsmart) - एक क्रिया जिसका अर्थ है किसी को अधिक चतुर बनकर हराना; यह सामाजिक उत्थान का वर्णन करने वाली संज्ञा नहीं है। (B) किकस्टार्ट (Kickstart) - किसी चीज को ऊर्जा के अचानक विस्फोट के साथ शुरू करना; व्यक्ति का वर्णन करने के लिए उपयोग नहीं किया जाता है। (C) जंपस्टार्ट (Jumpstart) - किसी चीज को बढ़ावा देना या तेजी से शुरू करना; किसी व्यक्ति के सामाजिक पद में वृद्धि का वर्णन करने के लिए उपयोग नहीं किया जाता है।

इसलिए, सही उत्तर अपस्टार्ट, विकल्प D है।

व्याख्या

वाक्य में विशेषण 'tasty' की superlative degree की आवश्यकता है क्योंकि यह एक विशिष्ट पास्ता की तुलना वक्ता द्वारा अपने पूरे जीवन में खाए गए पास्ता के सभी अन्य उदाहरणों से कर रहा है। 'y' में समाप्त होने वाले दो-अक्षर वाले विशेषणों के लिए, superlative का निर्माण 'y' को 'i' में बदलकर और प्रत्यय 'est' जोड़कर किया जाता है, जिससे 'tastiest' बनता है। रिक्त स्थान से पहले definite article 'the' की उपस्थिति भी यह दर्शाती है कि वाक्य को व्याकरणिक रूप से पूरा करने के लिए superlative form की आवश्यकता है।

व्याख्या

विषय "मेरा मित्र और उसके पिता" एक संयुक्त बहुवचन विषय है क्योंकि यह "और" संयोजक से जुड़े दो अलग-अलग व्यक्तियों को संदर्भित करता है। आवृत्ति क्रियाविशेषण "अक्सर" का प्रयोग एक आदतन क्रिया को इंगित करता है, जिसे सामान्य वर्तमान काल का उपयोग करके व्यक्त किया जाता है। सामान्य वर्तमान काल में, बहुवचन विषयों के लिए क्रिया का मूल रूप, जो "जाना" है, आवश्यक होता है।

व्याख्या

भ्रातृहत्या (Fratricide) अपने भाई को मारने का कार्य है। यह शब्द लैटिन शब्दों 'frater' (भाई) और 'caedere' (मारना या काटना) से उत्पन्न हुआ है। फोरेंसिक, कानूनी और साहित्यिक संदर्भों में, जब कोई व्यक्ति अपने भाई की मृत्यु के लिए जिम्मेदार होता है तो इस विशिष्ट शब्द का प्रयोग किया जाता है।

व्याख्या

वाक्य को वर्तमान पूर्ण निरंतर काल (present perfect continuous tense) की आवश्यकता है ताकि उस गतिविधि का वर्णन किया जा सके जो अतीत में (सुबह से) शुरू हुई और वर्तमान स्थिति (थका हुआ होना) पर सीधा, दृश्य प्रभाव डालती है। भारतीय परीक्षाओं में मानक ब्रिटिश अंग्रेजी का पालन किया जाता है, जिसमें क्रिया रूप (practise/practising) के लिए 's' वर्तनी का उपयोग किया जाता है, जबकि 'c' वर्तनी संज्ञा रूप (practice) के लिए आरक्षित है। इसलिए, वाक्य को पूरा करने के लिए सही क्रिया रूप 'have been practising' है।

व्याख्या

समय वाक्यांश "since morning" (सवेरे से) एक ऐसी क्रिया को इंगित करता है जो अतीत में शुरू हुई और अभी भी वर्तमान में जारी है। इस व्याकरणिक संदर्भ में वर्तमान पूर्ण निरंतर काल (present perfect continuous tense) का उपयोग आवश्यक है, जिसकी संरचना कर्ता + have/has + been + क्रिया-ing होती है। चूँकि कर्ता "They" (वे) बहुवचन है, यह सहायक क्रिया "have" लेता है, जिससे "have been waiting" (प्रतीक्षा करते आ रहे हैं) वाक्य को पूरा करने के लिए सही निर्माण बनता है।

व्याख्या

वाक्य 'अजय खाना बनाता है, बर्तन धोता है, अपना गृहकार्य करता है और ___' तीसरे पुरुष एकवचन कर्ता (अजय) द्वारा की जाने वाली आदतन क्रियाओं की एक श्रृंखला को सूचीबद्ध करता है। तीन पूर्ववर्ती क्रियाएँ - बनाता है (cooks), धोता है (washes), करता है (does) - सभी सामान्य वर्तमान काल (simple present tense) में हैं।

व्याकरणिक समानांतरता (grammatical parallelism) की आवश्यकता है कि एक समन्वित श्रृंखला (coordinated series) में सभी क्रियाएँ समान रूप साझा करें। इसलिए अंतिम क्रिया भी सामान्य वर्तमान काल में होनी चाहिए और एकवचन कर्ता के साथ मेल खानी चाहिए।

(A) 'आराम करने से' (relaxing than) — गलत: 'relaxing' एक वर्तमान कृदंत (present participle) है, जो समानांतर नहीं है; 'than' एक तुलनात्मक संयोजक (comparison conjunction) है और यहाँ फिट नहीं बैठता है। (B) 'आराम करने से' (than relaxing) — गलत: (A) के समान समस्याएँ, और 'than' अनुपयुक्त है। (C) 'फिर आराम करता है' (then relaxes) — सही: 'then' क्रम दर्शाने वाला एक क्रियाविशेषण (adverb) है; 'relaxes' सामान्य वर्तमान काल, एकवचन है, जो बनाता है/धोता है/करता है के समानांतर है। (D) 'फिर आराम कर रहा है' (then is relaxing) — गलत: 'is relaxing' वर्तमान निरंतर काल (present continuous tense) है, जो सामान्य वर्तमान काल की क्रियाओं के साथ समानांतरता को तोड़ता है।

सही पूर्णता 'फिर आराम करता है', विकल्प C है।

व्याख्या

वाक्य में भूतकाल की किसी अन्य क्रिया से पहले पूरी हुई क्रिया को इंगित करने के लिए पूर्ण भूतकाल (past perfect tense) की आवश्यकता होती है। मुख्य उपवाक्य में क्रिया 'relaxed' का प्रयोग किया गया है, जो पढ़ने के लिए बैठने की क्रिया का वर्णन करता है। चूंकि प्रतियोगिता में पुस्तक जीतना, उसे पढ़ने के लिए आराम करने की क्रिया से पहले हुआ था, इसलिए घटनाओं के सही कालानुक्रमिक क्रम को स्थापित करने के लिए पूर्ण भूतकाल 'had won' का प्रयोग किया गया है।