एसएससी सीएचएसएल टियर 1 2016 मात्रात्मक अभिक्षमता प्रश्न — हल सहित

व्याख्या

चक्रवृद्धि ब्याज में, दूसरे वर्ष के अंत में राशि तीसरे वर्ष के लिए मूलधन के रूप में कार्य करती है। इसलिए, तीसरे वर्ष के अंत में प्राप्त ब्याज तीसरे वर्ष के अंत में राशि और दूसरे वर्ष के अंत में राशि के बीच का अंतर है।

ब्याज की दर (r) की गणना सूत्र का उपयोग करके की जाती है: r = ((A₃ - A₂) / A₂) × 100

दिया गया है: दूसरे वर्ष के अंत में राशि (A₂) = 30250 तीसरे वर्ष के अंत में राशि (A₃) = 33275

इन मानों को सूत्र में प्रतिस्थापित करने पर: r = ((33275 - 30250) / 30250) × 100 r = (3025 / 30250) × 100 r = 10%

व्याख्या

अंकित मूल्य (M), क्रय मूल्य (C), छूट दर (d), और लाभ दर (p) के बीच संबंध इस प्रकार दिया गया है: M × (1 - d/100) = C × (1 + p/100)

पहले मामले के लिए, 20% की छूट पर 43% का लाभ होता है: M × 0.80 = C × 1.43 M = (1.43 / 0.80) × C M = 1.7875 × C

दूसरे मामले में, जब छूट 28% है, तो नया विक्रय मूल्य (SP) है: SP = M × 0.72 SP = 1.7875 × C × 0.72 SP = 1.287 × C

यह लाभ का प्रतिनिधित्व करता है: (1.287 - 1) × 100% = 28.7%

व्याख्या

किलोमीटर प्रति घंटा (किमी/घंटा) से मीटर प्रति सेकंड (मी/से) में गति को परिवर्तित करने के लिए, मानक रूपांतरण कारक 5/18 है।

मी/से में गति = किमी/घंटा में गति × 5/18

दी गई 1440 किमी/घंटा की गति को प्रतिस्थापित करने पर:

गति = 1440 × 5/18 मी/से गति = 80 × 5 मी/से गति = 400 मी/से

इसका मतलब है कि मिसाइल एक सेकंड में 400 मीटर की दूरी तय करती है।

व्याख्या

अंकित मूल्य (MP), विक्रय मूल्य (SP), और छूट प्रतिशत (d%) के बीच संबंध है: SP = MP × (100 - d) / 100

13% छूट के लिए, विक्रय मूल्य रु 18000 है: 18000 = MP × (100 - 13) / 100 18000 = MP × 87 / 100 MP = 18000 × 100 / 87

27.5% छूट के लिए, नया विक्रय मूल्य है: नया SP = MP × (100 - 27.5) / 100 नया SP = MP × 72.5 / 100

MP का मान रखने पर: नया SP = (18000 × 100 / 87) × (72.5 / 100) नया SP = 18000 × 72.5 / 87 नया SP = 1305000 / 87 नया SP = 15000

व्याख्या

औसत बोनस ज्ञात करने के लिए, पहले प्रत्येक श्रेणी के सभी कर्मचारियों को दिए गए कुल बोनस की गणना करें और फिर उसे कर्मचारियों की कुल संख्या से विभाजित करें।

प्रबंधक श्रेणी के लिए, 3 कर्मचारी हैं, जिनमें से प्रत्येक का वार्षिक वेतन 54 लाख (₹5,400,000) है और बोनस दर 50% है। इससे प्रति प्रबंधक ₹2,700,000 का बोनस मिलता है, जो कुल ₹8,100,000 है।

कार्यकारी श्रेणी के लिए, 5 कर्मचारी हैं, जिनमें से प्रत्येक का वार्षिक वेतन 20 लाख (₹2,000,000) है और बोनस दर 20% है। प्रति कार्यकारी बोनस ₹400,000 है, जो कुल ₹2,000,000 है।

प्रशिक्षु श्रेणी के लिए, 3 कर्मचारी हैं, जिनमें से प्रत्येक का वार्षिक वेतन 2 लाख (₹200,000) है और बोनस दर 20% है। प्रति प्रशिक्षु बोनस ₹40,000 है, जो कुल ₹120,000 है।

सभी 11 कर्मचारियों (3 + 5 + 3) को भुगतान किया गया कुल बोनस ₹8,100,000 + ₹2,000,000 + ₹120,000 = ₹10,220,000 है।

कुल बोनस को कर्मचारियों की कुल संख्या से विभाजित करने पर औसत बोनस प्राप्त होता है: 10,220,000 ÷ 11 = 929090.91 रुपये, जो 929091 तक पूर्णांकित हो जाता है।

व्याख्या

सही वर्ष युग्म खोजने के लिए, हम प्रत्येक वर्ष के लिए तीनों कंपनियों (कंपनी A, कंपनी B, और कंपनी C) से निर्यात का योग ज्ञात करते हैं।

वर्ष 2011 के लिए: कुल निर्यात = 4000 + 2000 + 4000 = 10000 लाख रुपये।

वर्ष 2015 के लिए: कुल निर्यात = 2000 + 4000 + 4000 = 10000 लाख रुपये।

चूंकि वर्ष 2011 और 2015 दोनों के लिए कुल निर्यात 10000 लाख रुपये के बराबर है, इसलिए इस वर्ष युग्म में कुल निर्यात बराबर है।

व्याख्या

पिछले 5 वर्षों में कंपनी का कुल लाभ या हानि प्रत्येक वर्ष के लिए व्यक्तिगत मानों का बीजगणितीय योग है:

कुल = 15 + (-10) + 10 + 20 + (-5) कुल = 15 - 10 + 10 + 20 - 5 कुल = 30

चूंकि परिणामी योग धनात्मक है, इसलिए कंपनी ने 5 साल की अवधि में कुल ₹30 करोड़ का लाभ कमाया।

व्याख्या

स्टील द्वारा दर्शाए गए कुल निर्यात के प्रतिशत को ज्ञात करने के लिए, पहले सभी निर्यातों का योग ज्ञात करें: कुल निर्यात = 525 + 875 + 650 + 975 + 625 = 3650 मिलियन अमेरिकी डॉलर स्टील का निर्यात मूल्य 975 मिलियन अमेरिकी डॉलर है।

स्टील निर्यात के प्रतिशत का सूत्र है: स्टील का प्रतिशत = (स्टील निर्यात / कुल निर्यात) × 100

मानों को सूत्र में प्रतिस्थापित करने पर: स्टील का प्रतिशत = (975 / 3650) × 100 ≈ 26.71%

व्याख्या

30 दिनों के लिए दैनिक टिकटों की कुल लागत की गणना दैनिक टिकट लागत को दिनों की संख्या से गुणा करके की जाती है: 140 × 30 = 4200

मासिक पास की लागत ₹3276 है।

दैनिक टिकटों के बजाय मासिक पास खरीदने से मोहन द्वारा बचाई गई राशि है: 4200 - 3276 = 924

बचत प्रतिशत की गणना सूत्र का उपयोग करके की जाती है: बचत प्रतिशत = (बचाई गई राशि / दैनिक टिकटों की कुल लागत) × 100 बचत प्रतिशत = (924 / 4200) × 100 = 22%

व्याख्या

चूंकि रेखाखंड AB, रेखाखंड CD के समानांतर है और AD, BC को E पर प्रतिच्छेद करता है, एकांतर अंतः कोण BAE और CDE बराबर हैं, और शीर्षभिमुख कोण AEB और DEC भी बराबर हैं। इससे त्रिभुज ABE, त्रिभुज DCE के समरूप हो जाता है (ΔABE ~ ΔDCE)।

समरूप त्रिभुजों के लिए, संगत भुजाओं का अनुपात बराबर होता है: AE / DE = BE / CE

दिया गया है कि रेखाखंड BC की कुल लंबाई 15 सेमी है, यदि हम EC की लंबाई x मानते हैं, तो BE की लंबाई 15 - x होगी।

अनुपात में दिए गए मानों को प्रतिस्थापित करने पर: 10 / 15 = (15 - x) / x

बाईं ओर के भिन्न को सरल करने पर: 2 / 3 = (15 - x) / x

x के लिए हल करने हेतु वज्र गुणन करने पर: 2x = 3(15 - x) 2x = 45 - 3x 5x = 45 x = 9

EC की लंबाई 9 सेमी है।

व्याख्या

1 जनवरी को किए गए पहले जमा के लिए, ब्याज को दो छमाही अवधियों (n = 2) के लिए प्रति छमाही 5% की दर से चक्रवृद्धि किया जाता है। चक्रवृद्धि ब्याज सूत्र का उपयोग करके, संचित राशि A₁ है:

A₁ = P(1 + R/100)ⁿ A₁ = 8000 × (1 + 5/100)² A₁ = 8000 × (21/20)² A₁ = 8000 × 441/400 A₁ = 20 × 441 = रु 8820

1 जुलाई को किए गए दूसरे जमा के लिए, ब्याज को प्रति छमाही 5% की दर से एक छमाही अवधि (n = 1) के लिए चक्रवृद्धि किया जाता है। संचित राशि A₂ है:

A₂ = 8000 × (1 + 5/100)¹ A₂ = 8000 × 21/20 A₂ = 400 × 21 = रु 8400

वर्ष के अंत में कुल संचित राशि है: कुल राशि = A₁ + A₂ = 8820 + 8400 = रु 17220

ग्राहक द्वारा वर्ष के दौरान जमा की गई कुल मूल राशि है: कुल मूल राशि = 8000 + 8000 = रु 16000

ग्राहक द्वारा अर्जित ब्याज कुल संचित राशि और जमा की गई कुल मूल राशि के बीच का अंतर है: अर्जित ब्याज = कुल राशि - कुल मूल राशि अर्जित ब्याज = 17220 - 16000 = रु 1220

व्याख्या

मानक बीजगणितीय सर्वसमिका (a + b)² - (a - b)² = 4ab का उपयोग करके, हम दिए गए समीकरण के दाहिने पक्ष को a = 2x और b = y प्रतिस्थापित करके सरल बना सकते हैं:

(2x + y)² - (2x - y)² = 4 × 2x × y = 8xy

अब, इस परिणाम को समीकरण के बाएं पक्ष के बराबर रखते हुए:

16qxy = 8xy

दोनों पक्षों को xy से विभाजित करने पर:

16q = 8

q = 8/16 = 0.5

व्याख्या

15 और 35 दोनों से विभाज्य सबसे बड़ी चार अंकों की संख्या ज्ञात करने के लिए, हम पहले 15 और 35 का लघुत्तम समापवर्त्य (LCM) ज्ञात करते हैं।

15 का अभाज्य गुणनखंड 3 × 5 है, और 35 का 5 × 7 है। LCM(15, 35) = 3 × 5 × 7 = 105।

सबसे बड़ी चार अंकों की संख्या 9999 है। 9999 को 105 से विभाजित करने पर: 9999 ÷ 105 = 95 शेषफल 24 के साथ।

105 के सबसे बड़े गुणज को प्राप्त करने के लिए इस शेषफल को 9999 से घटाने पर: 9999 - 24 = 9975।

यह संख्या 15 और 35 दोनों से विभाज्य सबसे बड़ी चार अंकों की संख्या है।

व्याख्या

एक बिंदु दी गई रेखा पर स्थित होता है यदि उसके निर्देशांक रेखा के समीकरण को संतुष्ट करते हैं।

बिंदु (-2, 3) के निर्देशांकों को समीकरण 5x + 4y = 2 में प्रतिस्थापित करने पर:

5(-2) + 4(3) = -10 + 12 = 2

चूंकि बायां पक्ष दाएं पक्ष के बराबर है, बिंदु समीकरण को संतुष्ट करता है।

व्याख्या

एक अर्धगोले का कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल 3πr² सूत्र द्वारा दिया जाता है, जहाँ r अर्धगोले की त्रिज्या है।

यह देखते हुए कि कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल 1848 वर्ग सेमी है, हम समीकरण स्थापित कर सकते हैं:

3 × (22/7) × r² = 1848

(66/7) × r² = 1848

r² = (1848 × 7) / 66

r² = 28 × 7

r² = 196

r = √196

r = 14 सेमी

व्याख्या

सही उत्तर: D

चूंकि PQ, BC के समानांतर है, त्रिभुज APQ, त्रिभुज ABC के समरूप है। समरूप त्रिभुजों के लिए, उनके क्षेत्रफलों का अनुपात उनकी संगत भुजाओं के अनुपात के वर्ग के बराबर होता है।

क्षेत्रफल(APQ) / क्षेत्रफल(ABC) = (AP / AB)²

क्षेत्रफलों का दिया गया अनुपात रखने पर:

(AP / AB)² = 9/16

दोनों पक्षों का वर्गमूल लेने पर:

AP / AB = 3/4

चूंकि भुजा AB, AP और PB खंडों से बनी है, हमारे पास AB = AP + PB है। इसे अनुपात में रखने पर:

AP / (AP + PB) = 3/4

AP और PB के बीच संबंध को हल करने के लिए तिरछा गुणा करने पर:

4 × AP = 3 × (AP + PB)

4 × AP = 3 × AP + 3 × PB

AP = 3 × PB

AP / PB = 3/1

व्याख्या

ax² + bx + c = 0 के मानक द्विघात समीकरण के लिए, मूलों का योग संबंध द्वारा दिया जाता है: मूलों का योग = -b/a

समीकरण x² - 7x + 10 = 0 के लिए, गुणांक a = 1, b = -7, और c = 10 हैं। इन मानों को सूत्र में प्रतिस्थापित करने पर: मूलों का योग = -(-7)/1 = 7

वैकल्पिक रूप से, द्विघात व्यंजक का गुणनखंड करके समीकरण के मूल ज्ञात किए जा सकते हैं: x² - 7x + 10 = 0 x² - 5x - 2x + 10 = 0 x(x - 5) - 2(x - 5) = 0 (x - 5)(x - 2) = 0

इससे मूल x = 5 और x = 2 प्राप्त होते हैं। इन मूलों को एक साथ जोड़ने पर: 5 + 2 = 7

व्याख्या

हम एक मानक कोण, उदाहरण के लिए, A = 45° प्रतिस्थापित करके इसे शीघ्रता से हल कर सकते हैं।

A = 45° को व्यंजक में प्रतिस्थापित करने पर: (cosec 45° - sin 45°)(sec 45° - cos 45°)(tan 45° + cot 45°)

मानक त्रिकोणमितीय मानों का उपयोग करके: cosec 45° = √2 sin 45° = 1/√2 sec 45° = √2 cos 45° = 1/√2 tan 45° = 1 cot 45° = 1

व्यंजक बन जाता है: (√2 - 1/√2)(√2 - 1/√2)(1 + 1) = (1/√2) × (1/√2) × 2 = ½ × 2 = 1

वैकल्पिक रूप से, मौलिक सर्वसमिकाओं का उपयोग करके, हम प्रत्येक पद को सरल बना सकते हैं: cosec A - sin A = 1/sin A - sin A = (1 - sin² A)/sin A = cos² A/sin A sec A - cos A = 1/cos A - cos A = (1 - cos² A)/cos A = sin² A/cos A tan A + cot A = sin A/cos A + cos A/sin A = (sin² A + cos² A)/(sin A cos A) = 1/(sin A cos A)

तीन सरल पदों को गुणा करने पर: (cos² A/sin A) × (sin² A/cos A) × (1/(sin A cos A)) = (sin² A cos² A) / (sin² A cos² A) = 1

व्याख्या

दो संख्याओं x और y का मध्य समानुपात √(x × y) = 6 द्वारा दिया जाता है। दोनों पक्षों का वर्ग करने पर संबंध प्राप्त होता है: x × y = 36

x और y का तृतीय समानुपात 48 है, जिसका अर्थ है कि x : y = y : 48। इसे इस प्रकार लिखा जा सकता है: y² = 48x x = y² / 48

x के इस व्यंजक को मध्य समानुपात समीकरण में प्रतिस्थापित करने पर: (y² / 48) × y = 36 y³ = 36 × 48 y³ = 1728 y = 12

समीकरण x × y = 36 में y = 12 का उपयोग करने पर x = 3 प्राप्त होता है।

व्याख्या

तीनों प्रभागों के विद्यार्थियों के अंकों का माध्य भारित माध्य सूत्र का उपयोग करके ज्ञात किया जा सकता है:

भारित माध्य = (n₁x₁ + n₂x₂ + n₃x₃) / (n₁ + n₂ + n₃)

यहाँ, प्रभाग A, B और C में विद्यार्थियों की संख्या क्रमशः n₁ = 55, n₂ = 45 और n₃ = 40 है। उनके संगत माध्य अंक क्रमशः x₁ = 55, x₂ = 51 और x₃ = 49 हैं।

इन मानों को सूत्र में प्रतिस्थापित करने पर:

भारित माध्य = (55 × 55 + 45 × 51 + 40 × 49) / (55 + 45 + 40)

भारित माध्य = (3025 + 2295 + 1960) / 140

भारित माध्य = 7280 / 140

भारित माध्य = 52

व्याख्या

कोसाइन के लिए द्वि-कोण सूत्र है: cos(2θ) = 2 cos²(θ) - 1

cos²(θ) को व्यक्त करने के लिए पदों को पुनर्व्यवस्थित करने पर, हमें प्राप्त होता है: 2 cos²(θ) = 1 + cos(2θ) cos²(θ) = (1 + cos(2θ))/2

समीकरण में θ = A/2 प्रतिस्थापित करने पर प्राप्त होता है: cos²(A/2) = (1 + cos(A))/2

व्याख्या

मान लीजिए समचतुर्भुज के दो विकर्ण d₁ और d₂ हैं। हमें दिया गया है कि एक विकर्ण दूसरे का आधा है, इसलिए d₁ = ½ d₂।

समचतुर्भुज के विकर्ण एक दूसरे को समकोण पर समद्विभाजित करते हैं, जो समचतुर्भुज (a) की भुजा को उसके विकर्णों से सूत्र द्वारा संबंधित करता है: a² = (d₁/2)² + (d₂/2)²

a = 10 और d₂ = 2d₁ को सूत्र में प्रतिस्थापित करने पर: 10² = (d₁/2)² + (2d₁/2)² 100 = d₁²/4 + d₁² 100 = 5d₁²/4 d₁² = 80 d₁ = √80 = 4√5 सेमी

d₁ का उपयोग करके d₂ ज्ञात करने पर: d₂ = 2d₁ = 8√5 सेमी

समचतुर्भुज का क्षेत्रफल सूत्र द्वारा दिया जाता है: क्षेत्रफल = ½ × d₁ × d₂ क्षेत्रफल = ½ × 4√5 × 8√5 क्षेत्रफल = ½ × 32 × 5 = 80 वर्ग सेमी

व्याख्या

दो लोगों द्वारा मिलकर किसी कार्य को पूरा करने में लगने वाले समय की गणना सूत्र का उपयोग करके की जा सकती है: संयुक्त समय = (a × b) / (a + b)

दिए गए मानों को प्रतिस्थापित करने पर: संयुक्त समय = (24 × 12) / (24 + 12) = 288 / 36 = 8 दिन

चूंकि उन्हें केवल 50% कार्य पूरा करने की आवश्यकता है, इसलिए आवश्यक समय कुल समय का आधा होगा: 50% कार्य के लिए समय = 8 / 2 = 4 दिन

व्याख्या

16 क्विंटल चावल का कुल क्रय मूल्य (CP) = ₹1,280 वांछित लाभ = 23% आवश्यक कुल विक्रय मूल्य (SP) = CP × (1 + लाभ%) = 1280 × 1.23 = ₹1,574.4

चूंकि परिवहन में 18% चावल नष्ट हो जाता है, बिक्री के लिए बचा चावल की मात्रा = 16 × (1 - 0.18) = 16 × 0.82 = 13.12 क्विंटल

प्रति क्विंटल विक्रय दर = कुल SP / शेष मात्रा = 1574.4 / 13.12 = ₹120 प्रति क्विंटल

व्याख्या

मान लीजिए राजधानी ट्रेन की गति R किमी/घंटा है और एक्सप्रेस ट्रेन की गति E किमी/घंटा है।

780 किमी की दूरी के लिए समय = दूरी / गति संबंध का उपयोग करके: राजधानी द्वारा लिया गया समय 780/R घंटे है। एक्सप्रेस ट्रेन द्वारा लिया गया प्रारंभिक समय 780/E घंटे है।

पहली शर्त के अनुसार: 780/E = 780/R + 8 --- (समीकरण 1)

दूसरी शर्त के अनुसार, जब एक्सप्रेस ट्रेन की गति दोगुनी कर दी जाती है: 780/2E = 780/R - 6 --- (समीकरण 2)

समीकरण 1 से 780/E का मान समीकरण 2 में प्रतिस्थापित करने पर: ½ × (780/R + 8) = 780/R - 6 390/R + 4 = 780/R - 6 4 + 6 = 780/R - 390/R 10 = 390/R R = 390/10 = 39

व्याख्या

त्रिकोणमितीय सर्वसमिका cot(-θ) = -cot(θ) का प्रयोग करके, हमारे पास है: cot(-11π/6) = -cot(11π/6)

हम कोण 11π/6 को 2π - π/6 के रूप में व्यक्त कर सकते हैं। आवर्ती गुण cot(2π - θ) = -cot(θ) का प्रयोग करके, हमें प्राप्त होता है: cot(11π/6) = cot(2π - π/6) = -cot(π/6)

इसे हमारे समीकरण में वापस प्रतिस्थापित करने पर: cot(-11π/6) = -(-cot(π/6)) = cot(π/6)

चूंकि cot(π/6) का मानक त्रिकोणमितीय मान √3 है, हम पाते हैं: cot(-11π/6) = √3

व्याख्या

पहली असमानता: 5x + 2 > 3x + 1 दोनों पक्षों से 3x और 2 घटाने पर: 2x > -1 x > -½

दूसरी असमानता: 4(x - 4) - 2 ≤ 3x - 1 पदों का विस्तार करने पर: 4x - 16 - 2 ≤ 3x - 1 4x - 18 ≤ 3x - 1 दोनों पक्षों से 3x घटाने और 18 जोड़ने पर: x ≤ 17

दोनों असमानताओं को मिलाने पर: -½ < x ≤ 17

मान 16 इस अंतराल को संतुष्ट करता है क्योंकि -½ < 16 ≤ 17।

व्याख्या

उन दो व्यंजकों के बराबर होने के लिए x का मान ज्ञात करने के लिए, उन्हें एक-दूसरे के बराबर सेट करें:

5x + 3 = 7x - 3

दोनों पक्षों से 5x घटाने पर:

3 = 2x - 3

दोनों पक्षों में 3 जोड़ने पर:

6 = 2x

दोनों पक्षों को 2 से विभाजित करने पर:

x = 3

व्याख्या

मान लीजिए संख्या 5 और 8 के हरों का लघुत्तम समापवर्त्य (LCM) है, जो कि 40 है।

सही मान 40 × 8/5 = 64 है।

गलत मान 40 × 5/8 = 25 है।

त्रुटि सही मान और गलत मान के बीच का अंतर है, जो कि 64 - 25 = 39 है।

प्रतिशत त्रुटि की गणना सूत्र का उपयोग करके की जाती है: प्रतिशत त्रुटि = (त्रुटि / सही मान) × 100

मानों को प्रतिस्थापित करने पर: प्रतिशत त्रुटि = (39 / 64) × 100 = 60.9375%

इस मान को दो दशमलव स्थानों तक पूर्णांकित करने पर 60.94% प्राप्त होता है।

व्याख्या

कुल स्टॉक का मूल्य प्रत्येक वस्तु प्रकार की मात्रा और औसत लागत के गुणनफलों को जोड़कर निकाला जाता है:

मोबाइल फोन: 59 × 15000 = 885000 रुपये कैमरा: 72 × 16000 = 1152000 रुपये टीवी: 77 × 36000 = 2772000 रुपये रेफ्रिजरेटर: 100 × 28000 = 2800000 रुपये एसी: 98 × 23000 = 2254000 रुपये

कुल मूल्य = 885000 + 1152000 + 2772000 + 2800000 + 2254000 = 9863000 रुपये

इस मूल्य को लाख रुपये में बदलने के लिए, 100000 से विभाजित करें:

9863000 ÷ 100000 = 98.63 लाख रुपये

व्याख्या

मान लीजिए I₂₀₁₂ और E₂₀₁₂ क्रमशः 2012 में आयात और निर्यात हैं, और I₂₀₁₃ और E₂₀₁₃ क्रमशः 2013 में आयात और निर्यात हैं।

तालिका से, 2012 में आयात और निर्यात का अनुपात 1.1 है। I₂₀₁₂ / E₂₀₁₂ = 1.1 चूंकि 2012 में आयात (I₂₀₁₂) 900 करोड़ है: E₂₀₁₂ = 900 / 1.1 = 818.18 करोड़

2012 और 2013 में कुल निर्यात एक साथ 2800 करोड़ है: E₂₀₁₂ + E₂₀₁₃ = 2800 E₂₀₁₃ = 2800 - 818.18 = 1981.82 करोड़

तालिका से, 2013 में आयात और निर्यात का अनुपात 0.7 है। I₂₀₁₃ / E₂₀₁₃ = 0.7 I₂₀₁₃ = 0.7 × E₂₀₁₃ I₂₀₁₃ = 0.7 × 1981.82 = 1387.27 करोड़

निकटतम पूर्णांक तक पूर्णांकित करने पर, 2013 में आयात रु. 1387 करोड़ था।

व्याख्या

दी गई तालिका के अनुसार, बच्चे की ऊंचाई 9वें जन्मदिन पर 130 सेमी मापी गई थी, और 15वें जन्मदिन पर 170 सेमी मापी गई थी।

ऊंचाई में वृद्धि की गणना 15वें जन्मदिन की ऊंचाई में से 9वें जन्मदिन की ऊंचाई घटाकर की जाती है:

ऊंचाई में वृद्धि = 15वें जन्मदिन पर ऊंचाई - 9वें जन्मदिन पर ऊंचाई ऊंचाई में वृद्धि = 170 सेमी - 130 सेमी = 40 सेमी

व्याख्या

रात 10:00 बजे से सुबह 6:00 बजे के बीच की कुल समयावधि 8 घंटे है।

तालिका में दिए गए मान निद्रा चक्र के प्रतिशत वितरण को दर्शाते हैं, क्योंकि उनका योग 100 (20 + 20 + 5 + 15 + 40 = 100%) है।

गहन निद्रा (20%) या अत्यंत हल्की निद्रा (15%) में बिताए गए समय का संयुक्त प्रतिशत है: 20% + 15% = 35%

इन अवस्थाओं में बिताई गई वास्तविक समयावधि ज्ञात करने के लिए, कुल 8 घंटे का 35% परिकलित करें: समयावधि = 8 घंटे का 35% = 0.35 × 8 = 2.8 घंटे

व्याख्या

दादीजी की केक बनाने की दर 30 ÷ 6 = 5 केक प्रति घंटा है।

दादीजी और काकीजी की केक बनाने की संयुक्त दर 150 ÷ 15 = 10 केक प्रति घंटा है।

दादीजी की दर को संयुक्त दर से घटाने पर काकीजी की केक बनाने की दर प्राप्त होती है: 10 - 5 = 5 केक प्रति घंटा।

इसलिए, 25 घंटे में, काकीजी 5 × 25 = 125 केक बना सकती हैं।

व्याख्या

दो क्रमागत छूटों a% और b% के लिए क्रमिक प्रतिशत सूत्र लागू करके, प्रभावी छूट इस प्रकार दी जाती है:

प्रभावी छूट = a + b - (a × b) / 100

यहाँ, पहली छूट a = 10% है और कैशबैक छूट b = 4% है। इन मानों को सूत्र में रखने पर:

प्रभावी छूट = 10 + 4 - (10 × 4) / 100 प्रभावी छूट = 14 - 40 / 100 प्रभावी छूट = 14 - 0.4 प्रभावी छूट = 13.6%

वैकल्पिक रूप से, मान लीजिए वस्तु का प्रारंभिक मूल्य 100 है। 10% की छूट से मूल्य 90 हो जाता है। इस 90 के लेन-देन राशि पर 4% कैशबैक लागू करने पर 90 का 4% यानी 3.6 का लाभ होता है। ग्राहक द्वारा भुगतान की गई प्रभावी कीमत 90 - 3.6 = 86.4 है। इसलिए, प्राप्त कुल छूट 100 - 86.4 = 13.6 है, जो 13.6% की प्रभावी छूट के अनुरूप है।

व्याख्या

27a³b², 36a²b³, और 54a²b² के बीजीय व्यंजकों का सार्व गुणनखंड ज्ञात करने के लिए, हम संख्यात्मक गुणांकों और चर दोनों के महत्तम समापवर्तक (GCD) ज्ञात करते हैं।

सबसे पहले, हम संख्यात्मक गुणांकों 27, 36, और 54 का महत्तम समापवर्तक ज्ञात करते हैं। अभाज्य गुणनखंडन हैं: 27 = 3³ 36 = 2² × 3² 54 = 2 × 3³

संख्यात्मक गुणांकों में महत्तम समापवर्तक 3² = 9 है।

अगला, चर भाग के लिए, हम प्रत्येक सामान्य चर की निम्नतम घात का चयन करते हैं: चर a के लिए, पदों में a³, a², और a² शामिल हैं, जिससे निम्नतम घात a² बनती है। चर b के लिए, पदों में b², b³, और b² शामिल हैं, जिससे निम्नतम घात b² बनती है।

संख्यात्मक सार्व गुणनखंड को चर सार्व गुणनखंडों से गुणा करने पर 9a²b² प्राप्त होता है।

व्याख्या

कक्षा में लड़कों की संख्या 56 - 33 = 23 है।

लड़कियों और लड़कों की संख्या का अनुपात 33 : 23 है।

मान लीजिए लड़कों का औसत वज़न B है।

मिश्रण विधि का उपयोग करके: (B - 52.75) / (52.75 - 47) = 33 / 23 (B - 52.75) / 5.75 = 33 / 23

चूंकि 5.75, 23/4 के बराबर है: (B - 52.75) / (23/4) = 33 / 23 4 × (B - 52.75) = 33 B - 52.75 = 8.25 B = 61

व्याख्या

माना मालगाड़ी की गति v किमी/घंटा है।

मालगाड़ी दूसरी ट्रेन से 6 घंटे पहले स्टेशन से गुजरती है, जिसका अर्थ है कि उसे 6 घंटे की बढ़त है। दूसरी ट्रेन को मालगाड़ी को ओवरटेक करने में 10 घंटे लगते हैं।

इस पूरी अवधि के दौरान, मालगाड़ी कुल 16 घंटे (6 घंटे की बढ़त और पीछा करने के 10 घंटे) तक चलती है। दूसरी ट्रेन 56 किमी/घंटा की गति से 10 घंटे तक चलती है।

चूंकि दोनों ट्रेनें स्टेशन से उस बिंदु तक समान दूरी तय करती हैं जहां ओवरटेक होता है, हम उनकी दूरियों को बराबर कर सकते हैं: v × 16 = 56 × 10 16v = 560 v = 560 / 16 v = 35 किमी/घंटा

व्याख्या

बीजगणितीय सर्वसमिका (a + b)(a - b) = a² - b² का उपयोग करके, दिया गया व्यंजक सीधे सरल हो जाता है:

(cosecA + sinA)(cosecA - sinA) = cosec²A - sin²A

मौलिक त्रिकोणमितीय सर्वसमिका cosec²A = 1 + cot²A और sin²A = 1 - cos²A का उपयोग करके, हम इन संबंधों को व्यंजक में प्रतिस्थापित करते हैं:

cosec²A - sin²A = (1 + cot²A) - (1 - cos²A)

पदों का विस्तार करने पर:

1 + cot²A - 1 + cos²A = cot²A + cos²A

व्याख्या

चक्रवृद्धि ब्याज सूत्र का उपयोग करके: A = P(1 + r/100)ⁿ

दिए गए मानों राशि (A = 11881), मूलधन (P = 10000), और समय (n = 2) को प्रतिस्थापित करने पर: 11881 = 10000(1 + r/100)²

दोनों पक्षों को 10000 से विभाजित करने पर: 11881/10000 = (1 + r/100)²

दोनों पक्षों का वर्गमूल लेने पर: 109/100 = 1 + r/100 1.09 = 1 + r/100 r/100 = 0.09 r = 9

व्याख्या

कोण समद्विभाजक प्रमेय के अनुसार, एक त्रिभुज में किसी कोण का कोण समद्विभाजक विपरीत भुजा को दो खंडों में विभाजित करता है जो आसन्न भुजाओं के समानुपाती होते हैं।

Δ ABC में, चूँकि AE, ∠A का कोण समद्विभाजक है, हमारे पास है:

AB / AC = BE / EC

सूत्र में दिए गए मानों को प्रतिस्थापित करने पर:

12 / AC = 9 / 6

12 / AC = 3 / 2

AC = (12 × 2) / 3

AC = 8 सेमी

व्याख्या

कोण 225° तीसरे चतुर्थांश में स्थित है, जहाँ कोसाइन फलन ऋणात्मक होता है। त्रिकोणमितीय सर्वसमिका cos(180° + θ) = -cos θ का उपयोग करके, हम cos 225° को cos(180° + 45°) = -cos 45° के रूप में व्यक्त कर सकते हैं। चूँकि cos 45° का मान 1/√2 है, इसलिए cos 225° का मान -1/√2 है।

व्याख्या

पहली असमानता को हल करने पर: 5 - x < 1 + 5x 5 - 1 < 5x + x 4 < 6x x > 4/6 x > 2/3

दूसरी असमानता को हल करने पर: 2x + 3(5 - 2x) ≥ 2 - 3x 2x + 15 - 6x ≥ 2 - 3x -4x + 15 ≥ 2 - 3x 15 - 2 ≥ 4x - 3x 13 ≥ x x ≤ 13

दोनों परिणामों को मिलाने पर सीमा प्राप्त होती है: 2/3 < x ≤ 13

मान 1 दोनों असमानताओं को संतुष्ट करता है क्योंकि 2/3 < 1 ≤ 13।

व्याख्या

दो कोणों के अंतर के कोटिज्या (cotangent) के लिए त्रिकोणमितीय सर्वसमिका, cot(A - B), को ज्या (sine) और कोज्या (cosine) की मूल परिभाषाओं का उपयोग करके प्राप्त किया जाता है:

cot(A - B) = cos(A - B) / sin(A - B)

कोज्या और ज्या के अंतर की सर्वसमिकाओं का उपयोग करके:

cos(A - B) = cos A cos B + sin A sin B sin(A - B) = sin A cos B - cos A sin B

इन विस्तारों को भिन्न में प्रतिस्थापित करने पर:

cot(A - B) = (cos A cos B + sin A sin B) / (sin A cos B - cos A sin B)

इस संबंध को कोटिज्याओं के पदों में व्यक्त करने के लिए, अंश (numerator) और हर (denominator) दोनों को (sin A sin B) से विभाजित किया जाता है:

अंश: (cos A cos B) / (sin A sin B) + (sin A sin B) / (sin A sin B) = cot A cot B + 1

हर: (sin A cos B) / (sin A sin B) - (cos A sin B) / (sin A sin B) = cot B - cot A

इन भागों को मिलाने पर प्राप्त होता है:

cot(A - B) = (cot A cot B + 1) / (cot B - cot A)

व्याख्या

मान लीजिए दो छात्रों द्वारा प्राप्त अंक x और y हैं, जहाँ x उच्च अंक है।

दी गई शर्तों के अनुसार, उनके अंकों में अंतर 23 है: x - y = 23

उच्च अंक, x, उनके अंकों के योग का 60% है: x = 0.60(x + y)

दूसरे समीकरण में y = x - 23 का मान रखने पर: x = 0.60(x + x - 23) x = 0.60(2x - 23) x = 1.2x - 13.8

x के लिए हल करने हेतु पदों को पुनर्व्यवस्थित करने पर: 1.2x - x = 13.8 0.2x = 13.8 x = 13.8 / 0.2 x = 69

y ज्ञात करने के लिए x का मान उपयोग करने पर: y = 69 - 23 y = 46

छात्रों द्वारा प्राप्त अंक 69 और 46 हैं।

व्याख्या

माना x = 7/6 और y = 1/9। x और y के व्युत्क्रमों के योग का व्युत्क्रम सूत्र 1 / (1/x + 1/y) द्वारा दिया गया है।

सबसे पहले, दी गई संख्याओं के व्युत्क्रम ज्ञात करें: 1/x = 6/7 1/y = 9

अगला, इन व्युत्क्रमों का योग ज्ञात करें: 1/x + 1/y = 6/7 + 9 = 6/7 + 63/7 = 69/7

अंत में, इस योग का व्युत्क्रम लें: 1 / (69/7) = 7/69

व्याख्या

कुल लाभ ₹277200 को अब्दुल्ला, भानुदास और चकोर के बीच 3:6:2 के अनुपात में बाँटा गया है।

अनुपात के पदों का योग = 3 + 6 + 2 = 11

चकोर का हिस्सा कुल 11 भागों में से 2 भागों के बराबर है।

चकोर का हिस्सा = (2 / 11) × 277200 = 2 × 25200 = 50400

व्याख्या

द्विपद के वर्ग के लिए बीजगणितीय सर्वसमिका का उपयोग करके:

(x + y)² = x² + y² + 2xy

दिए गए मानों x² + y² = 45 और xy = 18 को समीकरण में प्रतिस्थापित करने पर:

(x + y)² = 45 + 2(18) (x + y)² = 45 + 36 (x + y)² = 81

दोनों पक्षों का वर्गमूल लेने पर प्राप्त होता है:

x + y = 9

व्याख्या

दो बिंदुओं (x₁, y₁) और (x₂, y₂) से होकर गुजरने वाली रेखा का समीकरण सूत्र द्वारा दिया जाता है:

y - y₁ = ((y₂ - y₁) / (x₂ - x₁)) × (x - x₁)

दिए गए बिंदुओं (-1, 2) और (4, -3) को प्रतिस्थापित करने पर:

y - 2 = ((-3 - 2) / (4 - (-1))) × (x - (-1))

y - 2 = (-5 / 5) × (x + 1)

y - 2 = -1 × (x + 1)

y - 2 = -x - 1

पदों को पुनर्व्यवस्थित करने पर प्राप्त होता है:

x + y = 1

व्याख्या

एक लम्ब वृत्तीय शंकु के वक्र पृष्ठ का क्षेत्रफल निम्न सूत्र द्वारा दिया जाता है: वक्र पृष्ठ का क्षेत्रफल = π × r × l

जहाँ r आधार की त्रिज्या है और l तिर्यक ऊँचाई है।

दिया गया है: वक्र पृष्ठ का क्षेत्रफल = 2310 वर्ग सेमी तिर्यक ऊँचाई (l) = 35 सेमी π = 22/7

त्रिज्या (r) ज्ञात करने के लिए इन मानों को प्रतिस्थापित करने पर: 2310 = (22/7) × r × 35 2310 = 110 × r r = 21 सेमी

शंकु का कुल पृष्ठ क्षेत्रफल उसके वक्र पृष्ठ के क्षेत्रफल और उसके वृत्ताकार आधार के क्षेत्रफल का योग होता है: कुल पृष्ठ क्षेत्रफल = वक्र पृष्ठ का क्षेत्रफल + π × r²

मानों को प्रतिस्थापित करने पर: कुल पृष्ठ क्षेत्रफल = 2310 + (22/7) × 21 × 21 कुल पृष्ठ क्षेत्रफल = 2310 + 22 × 3 × 21 कुल पृष्ठ क्षेत्रफल = 2310 + 1386 कुल पृष्ठ क्षेत्रफल = 3696 वर्ग सेमी