एसएससी सीएचएसएल टियर 1 2016 मात्रात्मक अभिक्षमता प्रश्न — हल सहित

व्याख्या

A(x₁, y₁), B(x₂, y₂), और C(x₃, y₃) शीर्षों वाले त्रिभुज ABC के केंद्रक G(x, y) की गणना निम्न सूत्र का उपयोग करके की जाती है:

x = (x₁ + x₂ + x₃)/3 y = (y₁ + y₂ + y₃)/3

यह देखते हुए कि केंद्रक G(-1, 2) है, और दो शीर्ष A(3, 0) और B(-1, -1) हैं, मान लीजिए कि शीर्ष C के निर्देशांक (x₃, y₃) हैं।

x-निर्देशांकों को केंद्रक सूत्र में प्रतिस्थापित करने पर:

-1 = (3 - 1 + x₃)/3 -3 = 2 + x₃ x₃ = -5

y-निर्देशांकों को केंद्रक सूत्र में प्रतिस्थापित करने पर:

2 = (0 - 1 + y₃)/3 6 = -1 + y₃ y₃ = 7

शीर्ष C के निर्देशांक (-5, 7) हैं।

व्याख्या

मिश्रण के नियम का उपयोग करके, 14% लाभ और 24% लाभ पर बेची गई मात्राओं का अनुपात उनकी व्यक्तिगत लाभ प्रतिशत की तुलना समग्र माध्य लाभ प्रतिशत से करके निकाला जाता है:

अनुपात = (24 - 18) : (18 - 14) = 6 : 4 = 3 : 2

यह अनुपात 14% लाभ पर बेचे गए गेहूं और 24% लाभ पर बेचे गए गेहूं के अनुपात को दर्शाता है।

चूंकि 1 क्विंटल 100 किलोग्राम के बराबर होता है, गेहूं की कुल मात्रा है: 13 क्विंटल = 13 × 100 = 1300 किग्रा

24% लाभ पर बेचे गए गेहूं की मात्रा कुल 5 भागों (3 + 2) में से 2 भागों के अनुरूप है: मात्रा = (2 / 5) × 1300 = 520 किग्रा

व्याख्या

एक सामान्य समांतर चतुर्भुज में, सम्मुख कोण एक दूसरे के बराबर होते हैं। वे संपूरक नहीं होते हैं, जिसका अर्थ है कि उनका योग 180° के बराबर नहीं होता है, जब तक कि समांतर चतुर्भुज एक आयत या वर्ग न हो जहाँ सभी कोण 90° हों। किसी भी समांतर चतुर्भुज में, यह क्रमागत या आसन्न कोण होते हैं जो संपूरक होते हैं, जिनका योग 180° होता है क्योंकि वे समानांतर रेखाओं के बीच के क्रमागत आंतरिक कोण होते हैं। चूँकि एक सामान्य समांतर चतुर्भुज के सम्मुख कोण संपूरक होने के बजाय बराबर होते हैं, इसलिए यह विवरण में फिट बैठता है।

व्याख्या

यह पता लगाने के लिए कि किस द्विघात समीकरण का मूल 5 है, हम समीकरण में x = 5 प्रतिस्थापित करते हैं और सत्यापित करते हैं कि क्या यह समीकरण को संतुष्ट करता है।

समीकरण x² - 7x + 10 = 0 के लिए, x = 5 प्रतिस्थापित करने पर:

5² - 7(5) + 10 = 25 - 35 + 10 = 0

चूंकि बायां पक्ष दाएं पक्ष के बराबर है, इसलिए 5 इस समीकरण का एक मूल है।

व्याख्या

औसत बोनस ज्ञात करने के लिए, सूत्र का प्रयोग करें:

औसत बोनस = कुल बोनस ÷ कर्मचारियों की कुल संख्या

सबसे पहले, कर्मचारियों की कुल संख्या ज्ञात करें: कुल कर्मचारी = 1 प्रबंधक + 8 कार्यकारी + 2 प्रशिक्षु = 11

इसके बाद, प्रत्येक कर्मचारी श्रेणी को भुगतान किए गए बोनस की गणना रुपये में करें (जहाँ 1 लाख = ₹100,000):

प्रबंधक बोनस: प्रति प्रबंधक बोनस = ₹36 लाख का 30% = 0.30 × ₹3,600,000 = ₹1,080,000 कुल प्रबंधक बोनस = 1 × ₹1,080,000 = ₹1,080,000

कार्यकारी बोनस: प्रति कार्यकारी बोनस = ₹12 लाख का 30% = 0.30 × ₹1,200,000 = ₹360,000 कुल कार्यकारी बोनस = 8 × ₹360,000 = ₹2,880,000

प्रशिक्षु बोनस: प्रति प्रशिक्षु बोनस = ₹4 लाख का 20% = 0.20 × ₹400,000 = ₹80,000 कुल प्रशिक्षु बोनस = 2 × ₹80,000 = ₹160,000

भुगतान किए गए समग्र कुल बोनस की गणना करें: कुल बोनस = ₹1,080,000 + ₹2,880,000 + ₹160,000 = ₹4,120,000

अब, प्रति कर्मचारी औसत बोनस की गणना करें: औसत बोनस = ₹4,120,000 ÷ 11 ≈ ₹374,545.45

व्याख्या

समान कुल निर्यात वाले वर्षों को खोजने के लिए, हम प्रत्येक वर्ष के लिए तीनों कंपनियों के निर्यात का योग ज्ञात करते हैं।

वर्ष 2011 के लिए, कुल निर्यात 5000 + 2000 + 2000 = 9000 लाख रुपये है।

वर्ष 2015 के लिए, कुल निर्यात 2000 + 2000 + 5000 = 9000 लाख रुपये है।

चूंकि वर्ष 2011 और 2015 दोनों के लिए कुल निर्यात 9000 लाख रुपये के बराबर है, इसलिए वर्षों के इस जोड़े में कुल निर्यात समान है।

व्याख्या

कुल निर्यात में कपास की प्रतिशत हिस्सेदारी ज्ञात करने के लिए, सबसे पहले दी गई तालिका से सभी निर्यातों का योग ज्ञात करें:

कुल निर्यात = 625 + 625 + 825 + 1000 + 825 = 3900 मिलियन अमेरिकी डॉलर कपास का निर्यात मूल्य 825 मिलियन अमेरिकी डॉलर है।

अब, प्रतिशत सूत्र का उपयोग करें:

कपास की प्रतिशत हिस्सेदारी = (कपास निर्यात / कुल निर्यात) × 100

मानों को सूत्र में प्रतिस्थापित करने पर:

कपास की प्रतिशत हिस्सेदारी = (825 / 3900) × 100 = 825 / 39 = 21.15% (लगभग)

व्याख्या

मान लीजिए मेहदी की दक्षता 1 इकाई/घंटा है।

चूंकि मेहदी को काम पूरा करने में 25 घंटे लगते हैं, इसलिए कुल काम है: कुल काम = दक्षता × समय = 1 × 25 = 25 इकाई

जान्हवी मेहदी से 50% अधिक कुशल है, जिसका अर्थ है कि जान्हवी की दक्षता है: 1 + 1 का 50% = 1.5 इकाई/घंटा

मेहदी और जान्हवी के एक साथ काम करने की संयुक्त दक्षता है: 1 + 1.5 = 2.5 इकाई/घंटा

उन दोनों द्वारा मिलकर काम पूरा करने में लगने वाला समय है: समय = कुल काम / संयुक्त दक्षता = 25 / 2.5 = 10 घंटे

व्याख्या

पहली असमानता को हल करने पर: x + 3 ≤ 4x + 4 3 - 4 ≤ 4x - x -1 ≤ 3x x ≥ -1/3

दूसरी असमानता को हल करने पर: 3(4 - x) - 4 ≥ 2x - 2 12 - 3x - 4 ≥ 2x - 2 8 - 3x ≥ 2x - 2 8 + 2 ≥ 2x + 3x 10 ≥ 5x x ≤ 2

दोनों असमानताओं को मिलाने पर सीमा प्राप्त होती है: -1/3 ≤ x ≤ 2

चूंकि 1 इस अंतराल में स्थित है, इसलिए यह x के लिए एक मान्य मान है।

व्याख्या

आधारभूत समानुपातिकता प्रमेय (Basic Proportionality Theorem) के अनुसार, एक त्रिभुज में, यदि एक रेखा एक भुजा के समानांतर खींची जाती है जो अन्य दो भुजाओं को प्रतिच्छेद करती है, तो वह दोनों भुजाओं को समान अनुपात में विभाजित करती है। चूँकि त्रिभुज DEF में GH, EF के समानांतर है, हमारे पास है:

DG/GE = DH/HF

बिंदु G, DE को 3:2 के अनुपात में विभाजित करता है, जिसका अर्थ है:

DG/GE = 3/2

हमें दिया गया है कि HF = 8 सेमी। इन मानों को अनुपात में प्रतिस्थापित करने पर:

3/2 = DH/8

DH के लिए हल करने पर:

DH = (3 × 8) / 2 = 12 सेमी

DF की कुल लंबाई DH और HF का योग है:

DF = DH + HF = 12 + 8 = 20 सेमी

व्याख्या

एकपदी 12a⁴b⁶, 18a⁶c², और 36a²b² के महत्तम समापवर्तक (GCD) ज्ञात करने के लिए, हम उनके संख्यात्मक गुणांकों का महत्तम समापवर्तक और प्रत्येक चर की न्यूनतम घात ज्ञात करते हैं जो तीनों पदों में उपस्थित है।

संख्यात्मक गुणांक 12, 18, और 36 का महत्तम समापवर्तक 6 है।

चर a के लिए, पदों में न्यूनतम घातांक min(4, 6, 2) = 2 है, जिससे a² प्राप्त होता है।

चूंकि चर b और c तीनों पदों में उपस्थित नहीं हैं, उनकी न्यूनतम घात 0 है, जिससे b⁰ = 1 और c⁰ = 1 प्राप्त होता है।

इन घटकों को एक साथ गुणा करने पर महत्तम समापवर्तक प्राप्त होता है:

6 × a² × 1 × 1 = 6a²

व्याख्या

एक अर्धगोले का कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल (TSA) सूत्र 3πr² द्वारा दिया जाता है, जहाँ r त्रिज्या है। अर्धगोले का वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल (CSA) सूत्र 2πr² द्वारा दिया जाता है।

यह दिया गया है कि कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल 462 वर्ग सेमी है: 3πr² = 462

दोनों पक्षों को 3 से विभाजित करने पर: πr² = 154

इस मान का उपयोग करके, हम वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल की गणना करते हैं: CSA = 2πr² = 2 × 154 = 308 वर्ग सेमी

व्याख्या

अनुक्रम में अतिव्यापी पदों के लिए मानक संबंध का उपयोग करें। मान लीजिए S_total 11 वर्षों का कुल राजस्व है, S_first6 पहले 6 वर्षों का योग है, और S_last6 अंतिम 6 वर्षों का योग है।

S_total = 11 × 69 = 759 लाख S_first6 = 6 × 64 = 384 लाख S_last6 = 6 × 76 = 456 लाख

6वें वर्ष का राजस्व दो बार गिना जाता है, एक बार पहले 6 वर्षों में और एक बार अंतिम 6 वर्षों में। 6वें वर्ष का राजस्व इस प्रकार दिया गया है:

6वें वर्ष का राजस्व = S_first6 + S_last6 - S_total 6वें वर्ष का राजस्व = 384 + 456 - 759 6वें वर्ष का राजस्व = 840 - 759 = 81 लाख

व्याख्या

60° के आंतरिक कोण वाला एक समचतुर्भुज अपने छोटे विकर्ण द्वारा दो सर्वांगसम समबाहु त्रिभुजों में विभाजित होता है। चूँकि छोटे विकर्ण की लंबाई 8 सेमी है, समचतुर्भुज की भुजा की लंबाई भी 8 सेमी है।

भुजा की लंबाई a वाले समबाहु त्रिभुज का क्षेत्रफल इस प्रकार दिया जाता है: क्षेत्रफल = (√3/4) × a²

चूँकि समचतुर्भुज में ऐसे दो समबाहु त्रिभुज होते हैं, इसका कुल क्षेत्रफल है: क्षेत्रफल = 2 × (√3/4) × a² = (√3/2) × a²

भुजा की लंबाई a = 8 सेमी रखने पर: क्षेत्रफल = (√3/2) × 8² = (√3/2) × 64 = 32√3 वर्ग सेमी

व्याख्या

अंकित मूल्य (MP), क्रय मूल्य (CP), छूट प्रतिशत (D), और लाभ प्रतिशत (P) के बीच संबंध सूत्र द्वारा दिया गया है:

MP / CP = (100 + P) / (100 - D)

पहले मामले में, छूट 20% है और लाभ 34% है। इन मानों को सूत्र में प्रतिस्थापित करने पर:

MP / CP = (100 + 34) / (100 - 20) = 134 / 80 = 1.675

दूसरे मामले में, छूट 15% है। मान लीजिए नया लाभ प्रतिशत P है। संबंध का उपयोग करके:

MP / CP = (100 + P) / (100 - 15)

1.675 = (100 + P) / 85

100 + P = 1.675 × 85

100 + P = 142.375

P = 142.375 - 100 = 42.375%

व्याख्या

मान लीजिए वस्तु का मूल मूल्य 100 है।

7% की कमी के बाद, वस्तु का नया मूल्य हो जाता है: 100 - 7 = 93

मूल्य को इसके मूल मूल्य 100 पर बहाल करने के लिए, नए मूल्य पर 7 की वृद्धि की आवश्यकता है।

आवश्यक प्रतिशत वृद्धि की गणना इस प्रकार की जाती है: प्रतिशत वृद्धि = (वृद्धि / नया मूल्य) × 100 प्रतिशत वृद्धि = (7 / 93) × 100 = 700/93 ≈ 7.53%

व्याख्या

मान लीजिए 1 रुपये, 50 पैसे और 10 पैसे के सिक्कों की संख्या क्रमशः 3x, 2x और 3x है। चूँकि 50 पैसे = 0.50 रुपये और 10 पैसे = 0.10 रुपये हैं, तो कुल मूल्य का समीकरण है:

3x × 1.00 + 2x × 0.50 + 3x × 0.10 = 12.90

इस व्यंजक को सरल करने पर:

3x + 1x + 0.3x = 12.90 4.3x = 12.90 x = 3

थैले में 50 पैसे के सिक्कों की संख्या 2x है, जो 2 × 3 = 6 के बराबर है।

व्याख्या

मानक द्विघात समीकरण ax² + bx + c = 0 के रूप के लिए, मूलों का योग सूत्र द्वारा दिया जाता है: मूलों का योग = -b/a

समीकरण x² - 11x + 18 = 0 के लिए, हम गुणांकों की पहचान करते हैं: a = 1 b = -11 c = 18

इन मानों को सूत्र में प्रतिस्थापित करने पर: मूलों का योग = -(-11)/1 = 11

व्याख्या

मूल त्रिकोणमितीय सर्वसमिका बताती है: sec²A - tan²A = 1

बीजगणितीय वर्गों के अंतर सूत्र, a² - b² = (a - b)(a + b) का उपयोग करके, हम इस सर्वसमिका को इस प्रकार गुणनखंडित कर सकते हैं: (secA - tanA)(secA + tanA) = 1

दोनों पक्षों को (secA + tanA) से विभाजित करने पर प्राप्त होता है: 1/(secA + tanA) = secA - tanA

व्याख्या

अर्ध-कोण त्रिकोणमितीय सर्वसमिका का उपयोग करके, tan(A/2) को इस प्रकार व्यक्त किया जा सकता है:

tan(A/2) = sin(A/2) / cos(A/2)

अंश और हर दोनों को 2 sin(A/2) से गुणा करने पर प्राप्त होता है:

tan(A/2) = (2 sin²(A/2)) / (2 sin(A/2) cos(A/2))

मानक त्रिकोणमितीय सर्वसमिकाओं का उपयोग करके, हम 2 sin²(A/2) = 1 - cosA और 2 sin(A/2) cos(A/2) = sinA प्रतिस्थापित करते हैं:

tan(A/2) = (1 - cosA) / sinA

भिन्न को विभाजित करने पर प्राप्त होता है:

tan(A/2) = 1/sinA - cosA/sinA

चूंकि sinA का व्युत्क्रम cosecA है और अनुपात cosA/sinA, cotA है, हमें प्राप्त होता है:

tan(A/2) = cosecA - cotA

व्याख्या

वर्गों के अंतर की सर्वसमिका, a² - b² = (a - b)(a + b) का उपयोग करके, समीकरण के दाईं ओर के व्यंजक को सीधे सरल किया जा सकता है:

19² - 11² = (19 - 11)(19 + 11) = 8 × 30 = 240

इस मान को मूल समीकरण में प्रतिस्थापित करने पर:

12x = 240

दोनों पक्षों को 12 से विभाजित करने पर: x = 240 / 12 = 20

व्याख्या

सेकेंट फलन एक सम फलन है, जो सर्वसमिका sec(-θ) = sec(θ) को संतुष्ट करता है। दिए गए व्यंजक पर इसे लागू करने पर:

sec(-2π/3) = sec(2π/3)

सेकेंट फलन कोसाइन फलन का व्युत्क्रम होता है:

sec(2π/3) = 1 / cos(2π/3)

त्रिकोणमितीय सर्वसमिका cos(π - θ) = -cos(θ) का उपयोग करके, हम cos(2π/3) का मान ज्ञात कर सकते हैं:

cos(2π/3) = cos(π - π/3) = -cos(π/3)

चूंकि cos(π/3) का मानक त्रिकोणमितीय मान ½ है, हमें प्राप्त होता है:

cos(2π/3) = -½

इसे व्युत्क्रम संबंध में वापस प्रतिस्थापित करने पर:

sec(-2π/3) = 1 / (-½) = -2

व्याख्या

दिए गए समीकरण को इस प्रकार लिखा जा सकता है: (1/4 × x) - (4/5 × 6/7) = -9/7

सबसे पहले, दूसरे पद में भिन्नों का गुणनफल ज्ञात करें: 4/5 × 6/7 = 24/35

इस मान को समीकरण में वापस प्रतिस्थापित करें: x/4 - 24/35 = -9/7

x वाले पद को अलग करने के लिए समीकरण के दोनों पक्षों में 24/35 जोड़ें: x/4 = 24/35 - 9/7

भिन्न -9/7 को 35 के हर वाली भिन्न में बदलने के लिए उसके अंश और हर दोनों को 5 से गुणा करें: -9/7 = -45/35

अब, दाईं ओर के पदों को संयोजित करें: x/4 = 24/35 - 45/35 x/4 = -21/35

भिन्न -21/35 को उसके उभयनिष्ठ गुणनखंड 7 से अंश और हर दोनों को विभाजित करके सरल करें: x/4 = -3/5

x का मान ज्ञात करने के लिए दोनों पक्षों को 4 से गुणा करें: x = -12/5 x = -2.4

व्याख्या

औसत गति की गणना कुल दूरी को कुल समय से विभाजित करके की जाती है।

औसत गति किमी/घंटा में = 333 किमी / 2 घंटे = 166.5 किमी/घंटा

गति को किलोमीटर प्रति घंटा (किमी/घंटा) से मीटर प्रति सेकंड (मी/से) में बदलने के लिए, हम किमी/घंटा में गति को 5/18 के रूपांतरण कारक से गुणा करते हैं।

औसत गति मी/से में = 166.5 × 5/18 = 832.5 / 18 = 46.25 मी/से

व्याख्या

मान लीजिए वस्तु का अंकित मूल्य ₹100 है। 10% की छूट से वस्तु का मूल्य 100 - 10 = ₹90 हो जाता है।

ग्राहक को इस रियायती मूल्य पर 20% कैशबैक मिलता है। कैशबैक राशि 90 का 20% है, जो ₹18 के बराबर है।

ग्राहक द्वारा भुगतान की गई अंतिम प्रभावी कीमत 90 - 18 = ₹72 है।

कुल प्रभावी छूट मूल अंकित मूल्य और भुगतान की गई अंतिम कीमत के बीच का अंतर है, जो 100 - 72 = 28% है।

वैकल्पिक रूप से, क्रमिक छूट सूत्र का उपयोग करके: प्रभावी छूट = d₁ + d₂ - (d₁ × d₂)/100 प्रभावी छूट = 10 + 20 - (10 × 20)/100 = 30 - 2 = 28%

व्याख्या

किन्हीं भी दो समरूप त्रिभुजों के लिए, उनके परिमापों का अनुपात उनकी संगत भुजाओं की लंबाई के अनुपात के बराबर होता है।

परिमाप(ΔABC) ÷ परिमाप(ΔDEF) = AB ÷ DE

दिए गए मानों को प्रतिस्थापित करने पर:

अनुपात = 10 ÷ 6 = 5 ÷ 3

यह परिमापों का अनुपात 5:3 देता है।

व्याख्या

चक्रवृद्धि ब्याज की राशि का सूत्र A = P(1 + r)ⁿ है, जहाँ P मूलधन है, r प्रति अवधि ब्याज दर है, और n अवधियों की संख्या है।

यहाँ, ब्याज दर r = 20% = 0.20 प्रति छमाही है।

1 जनवरी को जमा किए गए ₹7600 की पहली जमा राशि के लिए, 31 दिसंबर तक दो छमाही (n = 2) के लिए ब्याज चक्रवृद्धि होता है: A₁ = 7600 × (1 + 0.20)² = 7600 × 1.44 = ₹10944

1 जुलाई को जमा किए गए ₹7600 की दूसरी जमा राशि के लिए, 31 दिसंबर तक एक छमाही (n = 1) के लिए ब्याज चक्रवृद्धि होता है: A₂ = 7600 × (1 + 0.20)¹ = 7600 × 1.20 = ₹9120

वर्ष के अंत में कुल संचित राशि है: कुल राशि = A₁ + A₂ = 10944 + 9120 = ₹20064

वर्ष के दौरान जमा की गई कुल मूलधन है: कुल मूलधन = 7600 + 7600 = ₹15200

ग्राहक द्वारा अर्जित कुल ब्याज, कुल संचित राशि और जमा किए गए कुल मूलधन के बीच का अंतर है: अर्जित ब्याज = 20064 - 15200 = ₹4864

व्याख्या

यह पता लगाने के लिए कि कोई रेखा Y-अक्ष को किस बिंदु पर काटती है, x-निर्देशांक को 0 पर सेट करें।

दिए गए समीकरण 3x + 2y = -12 में x = 0 प्रतिस्थापित करने पर:

3(0) + 2y = -12

2y = -12

y = -6

यह Y-अवरोधन के निर्देशांक (0, -6) देता है।

व्याख्या

स्टॉक का कुल मूल्य प्रत्येक वस्तु के लिए मात्रा और औसत लागत के गुणनफलों को जोड़कर निकाला जाता है।

मोबाइल फोन का मूल्य = 29 × 18000 = 5,22,000 कैमरा का मूल्य = 22 × 6000 = 1,32,000 टीवी का मूल्य = 63 × 51000 = 32,13,000 रेफ्रिजरेटर का मूल्य = 45 × 49000 = 22,05,000 एसी का मूल्य = 27 × 25000 = 6,75,000

कुल स्टॉक मूल्य = 5,22,000 + 1,32,000 + 32,13,000 + 22,05,000 + 6,75,000 = 67,47,000

कुल मूल्य को रुपये से लाख रुपये में बदलने के लिए, 1,00,000 से भाग दें: 67,47,000 ÷ 1,00,000 = 67.47 लाख

व्याख्या

वर्ष 2012 के लिए, आयात और निर्यात का अनुपात 1.4 है। चूँकि 2012 में आयात ₹600 करोड़ था, इसलिए 2012 में निर्यात है: 2012 में निर्यात = 600 ÷ 1.4 = 3000/7 करोड़

2012 और 2013 में संयुक्त निर्यात ₹2400 करोड़ है। इससे 2013 में निर्यात प्राप्त होता है: 2013 में निर्यात = 2400 - 3000/7 = 13800/7 करोड़

वर्ष 2013 के लिए, आयात और निर्यात का अनुपात 0.7 है। 2013 में आयात है: 2013 में आयात = 0.7 × (13800/7) = (7/10) × (13800/7) = 1380 करोड़

व्याख्या

7वें जन्मदिन से 11वें जन्मदिन तक ऊंचाई में वृद्धि ज्ञात करने के लिए, डेटा तालिका से दोनों आयु में दर्ज ऊंचाई की पहचान करें। 7 साल की उम्र में बच्चे की ऊंचाई 125 सेमी है, और 11 साल की उम्र में ऊंचाई 160 सेमी है।

ऊंचाई में वृद्धि इन दो मानों के बीच का अंतर है:

160 सेमी - 125 सेमी = 35 सेमी

11 साल की उम्र में ऊंचाई से 7 साल की उम्र में ऊंचाई घटाने पर 35 सेमी की वृद्धि प्राप्त होती है।

व्याख्या

रात 10 बजे से सुबह 6 बजे के बीच कुल समय अवधि 8 घंटे है।

दी गई तालिका से, हल्की नींद में बिताया गया समय का प्रतिशत 10% है और अत्यंत हल्की नींद में बिताया गया समय का प्रतिशत 5% है।

हल्की नींद या अत्यंत हल्की नींद में बिताए गए समय का संयुक्त प्रतिशत 10% + 5% = 15% है।

वास्तविक अवधि ज्ञात करने के लिए, कुल 8 घंटे का 15% की गणना करें:

अवधि = 8 × 0.15 = 1.2 घंटे

व्याख्या

वर्गों के अंतर के लिए बीजगणितीय सर्वसमिका, a² - b² = (a - b)(a + b) का उपयोग करके, समीकरण के दाहिने पक्ष को सीधे सरल बनाया जा सकता है।

4x² = 15² - 9² 4x² = (15 - 9)(15 + 9) 4x² = 6 × 24 4x² = 144

समीकरण के दोनों पक्षों को 4 से विभाजित करने पर:

x² = 36

दोनों पक्षों का वर्गमूल लेने पर:

x = 6

व्याख्या

दूसरे समीकरण, 2x - y = 9, में से पहले समीकरण, 2x - 5y = 5, को घटाने पर x समाप्त हो जाता है:

(2x - y) - (2x - 5y) = 9 - 5 4y = 4 y = 1

y = 1 को दूसरे समीकरण में प्रतिस्थापित करने पर:

2x - 1 = 9 2x = 10 x = 5

इन मानों का उपयोग करके, व्यंजक x - y है:

5 - 1 = 4

व्याख्या

ऋणात्मक कोणों के त्रिकोणमितीय गुण का उपयोग करते हुए, cosec(-θ) = -cosec(θ)। इससे प्राप्त होता है:

cosec(-7π/6) = -cosec(7π/6)

हम कोण 7π/6 को π + π/6 के रूप में पुनः लिख सकते हैं। सर्वसमिका cosec(π + θ) = -cosec(θ) का उपयोग करते हुए क्योंकि तीसरे चतुर्थांश में cosecant फलन ऋणात्मक होता है, हमारे पास है:

cosec(7π/6) = cosec(π + π/6) = -cosec(π/6)

इस मान को मूल व्यंजक में प्रतिस्थापित करने पर:

cosec(-7π/6) = -[-cosec(π/6)] = cosec(π/6)

चूंकि sin(π/6) = ½ है, इसका व्युत्क्रम cosec(π/6) 2 के बराबर है।

व्याख्या

एक सामान्य समलंब चतुर्भुज में, विपरीत भुजाओं का केवल एक जोड़ा समानांतर होता है, और गैर-समानांतर भुजाओं की लंबाई असमान होती है। समरूपता की इस कमी के कारण, किसी भी विकर्ण को खींचने से चतुर्भुज दो सर्वांगसम त्रिभुजों में विभाजित नहीं होता है। जब दोनों विकर्ण खींचे जाते हैं, तो वे समलंब चतुर्भुज को चार छोटे त्रिभुजों में विभाजित करने के लिए प्रतिच्छेद करते हैं। समानांतर आधारों से सटे दो त्रिभुज समान होते हैं लेकिन सर्वांगसम नहीं होते क्योंकि उनकी संगत भुजाओं की लंबाई अलग-अलग होती है। गैर-समानांतर भुजाओं से सटे अन्य दो त्रिभुजों के क्षेत्रफल बराबर होते हैं लेकिन सर्वांगसम नहीं होते। परिणामस्वरूप, एक समलंब चतुर्भुज के विकर्ण कम से कम दो सर्वांगसम त्रिभुज नहीं बनाते हैं।

व्याख्या

चूंकि रेखाखंड PQ भुजा BC के समानांतर है, इसलिए त्रिभुज APQ, त्रिभुज ABC के समरूप है।

संगत भुजाओं का अनुपात है: AP/AB = AP / (AP + PB)

AP:PB = 1:4 के अनुपात का उपयोग करके, हमें प्राप्त होता है: AP/AB = 1 / (1 + 4) = 1/5

दो समरूप त्रिभुजों के क्षेत्रफलों का अनुपात उनकी संगत भुजाओं के अनुपात का वर्ग होता है: Area(Δ APQ) / Area(Δ ABC) = (AP/AB)² = (1/5)² = 1/25

यह देखते हुए कि Δ APQ का क्षेत्रफल 4 वर्ग सेमी है, हम Δ ABC का क्षेत्रफल ज्ञात कर सकते हैं: Area(Δ ABC) = 25 × Area(Δ APQ) = 25 × 4 = 100 वर्ग सेमी

समलंब चतुर्भुज PQCB का क्षेत्रफल Δ APQ के क्षेत्रफल को Δ ABC के कुल क्षेत्रफल से घटाकर प्राप्त किया जाता है: Area(trapezium PQCB) = Area(Δ ABC) - Area(Δ APQ) = 100 - 4 = 96 वर्ग सेमी

व्याख्या

x की सीमा ज्ञात करने के लिए, हम असमानताओं की प्रणाली को हल करते हैं।

पहली असमानता से: 2x - 4 ≤ 2 - x/3 भिन्न को हटाने के लिए पूरे समीकरण को 3 से गुणा करने पर: 6x - 12 ≤ 6 - x 7x ≤ 18 x ≤ 18/7

दूसरी असमानता से: 2(2x + 5) > 3x - 5 4x + 10 > 3x - 5 x > -15

इन दोनों परिणामों को मिलाकर, हमें अंतराल प्राप्त होता है: -15 < x ≤ 18/7

मान -14 इस संयुक्त असमानता को संतुष्ट करता है क्योंकि यह -15 से सख्ती से बड़ा है और 18/7 से कम या उसके बराबर है।

व्याख्या

पेंट की जानी बाकी बाड़ का अंश सूत्र द्वारा दिया गया है: शेष अंश = 1 - (काम किया गया समय / आवश्यक कुल समय)

दिए गए मानों को प्रतिस्थापित करने पर: शेष अंश = 1 - 6/24 = 1 - ¼ = ¾ = 0.75

व्याख्या

दिए गए गणितीय कथन को बीजगणितीय समीकरण के रूप में लिखा जा सकता है:

x/6 - (7/2 × 3/7) = -7/4

सबसे पहले, कोष्ठक के अंदर गुणन को सरल करें:

7/2 × 3/7 = 3/2

अब, इस मान को समीकरण में वापस प्रतिस्थापित करें:

x/6 - 3/2 = -7/4

x वाले पद को अलग करने के लिए समीकरण के दोनों पक्षों में 3/2 जोड़ें:

x/6 = 3/2 - 7/4

दाईं ओर के भिन्नों को घटाने के लिए एक सामान्य भाजक ज्ञात करें:

x/6 = 6/4 - 7/4

x/6 = -1/4

x के लिए हल करने के लिए दोनों पक्षों को 6 से गुणा करें:

x = -6/4

x = -1.5

व्याख्या

दो संख्याओं x और y का मध्य समानुपात √(xy) सूत्र द्वारा दिया जाता है। दिया गया है: √(xy) = 9 xy = 81 x = 81/y

x और y का तृतीय समानुपात y²/x सूत्र द्वारा दिया जाता है। दिया गया है: y²/x = 243 y² = 243x

तृतीय समानुपात समीकरण में x का मान रखने पर: y² = 243 × (81/y) y³ = 243 × 81 y³ = 3⁵ × 3⁴ y³ = 3⁹ y = 3³ = 27

y का मान ज्ञात करके x ज्ञात करना: x = 81 / 27 = 3

x और y के मान 3 और 27 हैं।

व्याख्या

यदि बिजली बिल पर छूट 21% है, तो भुगतान की जाने वाली बिल का प्रतिशत है: 100% - 21% = 79%

मान लीजिए मूल बिल राशि x है। संबंध है: x का 79% = 1817 0.79 × x = 1817 x = 1817 / 0.79 x = 2300

व्याख्या

सात वर्षों के राजस्व को R₁ से R₇ तक दर्शाया गया है।

सभी 7 वर्षों के राजस्व का योग है: 7 × 79 = 553 लाख

पहले 4 वर्षों के राजस्व का योग है: 4 × 74 = 296 लाख

अंतिम 4 वर्षों के राजस्व का योग है: 4 × 86 = 344 लाख

पहले 4 वर्षों और अंतिम 4 वर्षों के योग को जोड़ने पर सभी 7 वर्षों का कुल योग प्राप्त होता है जिसमें चौथे वर्ष को दो बार गिना जाता है। इस कुल योग में से सभी 7 वर्षों के योग को घटाने पर चौथे वर्ष का राजस्व प्राप्त होता है: (296 + 344) - 553 = 640 - 553 = 87 लाख

व्याख्या

सूखे मेवों का क्रय मूल्य निम्नलिखित संबंध का उपयोग करके गणना की जाती है:

क्रय मूल्य = विक्रय मूल्य × 100 / (100 - हानि%)

दिए गए मानों को प्रतिस्थापित करने पर:

क्रय मूल्य = 1210 × 100 / (100 - 12) = 1210 × 100 / 88 = 1375

अतः, क्रय मूल्य ₹1375 प्रति किलोग्राम है।

यदि सूखे मेवों को ₹1331 प्रति किलोग्राम के नए विक्रय मूल्य पर बेचा जाता है, तो होने वाली हानि है:

हानि = क्रय मूल्य - नया विक्रय मूल्य = 1375 - 1331 = 44

हानि प्रतिशत है:

हानि% = (हानि / क्रय मूल्य) × 100 = (44 / 1375) × 100 = 3.2%

व्याख्या

छूट प्रतिशत का सूत्र है: छूट % = (अंकित मूल्य - विक्रय मूल्य) / अंकित मूल्य × 100

दिए गए मानों को सूत्र में रखने पर: अंकित मूल्य = ₹ 2000 विक्रय मूल्य = ₹ 1600

छूट % = (2000 - 1600) / 2000 × 100 छूट % = 400 / 2000 × 100 छूट % = 1/5 × 100 छूट % = 20%

व्याख्या

मानक त्रिकोणमितीय सर्वसमिका का प्रयोग करके: cosec²A - cot²A = 1

बीजगणितीय वर्ग अंतर सूत्र, a² - b² = (a - b)(a + b) को लागू करने पर, व्यंजक बन जाता है: (cosecA - cotA)(cosecA + cotA) = 1

इस सर्वसमिका में दिए गए संबंध cosecA + cotA = x को प्रतिस्थापित करने पर: (cosecA - cotA) × x = 1

x को हल करने के लिए समीकरण को पुनर्व्यवस्थित करने पर: x = 1/(cosecA - cotA)

व्याख्या

साधारण ब्याज के सूत्र का उपयोग करके, SI = P × R × T / 100, जहाँ P मूलधन है, R प्रति वर्ष ब्याज की दर है, और T वर्षों में अवधि है:

कुल ब्याज = जाबिर से प्राप्त SI + कबीर से प्राप्त SI

समीकरण में दिए गए मानों को प्रतिस्थापित करें: 1422 = (10800 × R × 3 / 100) + (7500 × R × 2 / 100) 1422 = 324R + 150R 1422 = 474R R = 1422 / 474 R = 3

प्रति वर्ष ब्याज की दर 3% है।

व्याख्या

मानक त्रिकोणमितीय परिभाषाओं का उपयोग करके: tan A = sin A / cos A sec A = 1 / cos A

इन व्यंजकों को विकल्प A में प्रतिस्थापित करने पर: tan A / (1 + sec A) = (sin A / cos A) / (1 + 1 / cos A) = (sin A / cos A) / ((cos A + 1) / cos A) = sin A / (1 + cos A)

अर्ध-कोण त्रिकोणमितीय सूत्रों को लागू करने पर: sin A = 2 sin(A/2) cos(A/2) 1 + cos A = 2 cos²(A/2)

इन अर्ध-कोण सूत्रों को प्रतिस्थापित करने पर: sin A / (1 + cos A) = 2 sin(A/2) cos(A/2) / 2 cos²(A/2) = sin(A/2) / cos(A/2) = tan(A/2)

व्याख्या

थेल्स प्रमेय (आधारभूत समानुपातिकता प्रमेय) के अनुसार, चूँकि ΔPQR में ST, QR के समानांतर है, रेखा ST भुजाओं PQ और PR को समान अनुपात में विभाजित करती है:

PS / SQ = PT / TR

PR की कुल लंबाई PT + TR = 12.5 सेमी है, जिसका अर्थ है PT = 12.5 - TR।

अनुपात में दिए गए मानों को प्रतिस्थापित करने पर:

6 / 9 = (12.5 - TR) / TR

6 / 9 को 2 / 3 के रूप में सरल करने पर:

2 / 3 = (12.5 - TR) / TR

TR के लिए हल करने हेतु वज्र गुणन करने पर:

2 × TR = 3 × (12.5 - TR) 2 × TR = 37.5 - 3 × TR 5 × TR = 37.5 TR = 37.5 / 5 TR = 7.5 सेमी

व्याख्या

एक बड़ी गेंद से बनाई जा सकने वाली छोटी गेंदों की संख्या, बड़ी गेंद के आयतन को एक छोटी गेंद के आयतन से विभाजित करके प्राप्त की जाती है।

गोले का आयतन = 4/3 π r³

बड़ी गेंद के लिए: त्रिज्या (R) = व्यास / 2 = 16 / 2 = 8 सेमी

छोटी गेंद के लिए: त्रिज्या (r) = 2 सेमी

छोटी गेंदों की संख्या (n) = बड़ी गेंद का आयतन / छोटी गेंद का आयतन n = (4/3 π R³) / (4/3 π r³) n = R³ / r³ n = (R / r)³ n = (8 / 2)³ n = 4³ n = 64