एसएससी सीएचएसएल टियर 1 2016 मात्रात्मक अभिक्षमता प्रश्न — हल सहित

व्याख्या

चक्रवृद्धि ब्याज का सूत्र है: A = P × (1 + R/100)ⁿ

दिए गए मानों को प्रतिस्थापित करने पर, जहाँ राशि A = 73205, मूलधन P = 50000, और समय n = 2 वर्ष है: 73205 = 50000 × (1 + R/100)²

दोनों पक्षों को 50000 से विभाजित करने पर: (1 + R/100)² = 73205 / 50000 (1 + R/100)² = 14641 / 10000

दोनों पक्षों का वर्गमूल लेने पर: 1 + R/100 = √(14641 / 10000) 1 + R/100 = 121 / 100 1 + R/100 = 1.21 R/100 = 0.21 R = 21%

व्याख्या

मान लीजिए 1 रुपया, 50 पैसे और 10 पैसे के सिक्कों की संख्या क्रमशः 6x, 3x और 2x है।

इन सिक्कों का रुपये में मान है: 1 रुपये के सिक्कों का मान = 6x × 1 = 6x रुपये 50 पैसे के सिक्कों का मान = 3x × 0.5 = 1.5x रुपये 10 पैसे के सिक्कों का मान = 2x × 0.1 = 0.2x रुपये

थैले में सभी सिक्कों का कुल मान है: 6x + 1.5x + 0.2x = 30.8 7.7x = 30.8 x = 30.8 ÷ 7.7 = 4

50 पैसे के सिक्कों की संख्या 3x है: 3 × 4 = 12

व्याख्या

किसी बिंदु (x, y) का x-अक्ष में प्रतिबिंब सूत्र (x, -y) द्वारा दिया जाता है। इस प्रतिबिंब के तहत, y-अक्ष से क्षैतिज दूरी अपरिवर्तित रहती है, जबकि ऊर्ध्वाधर स्थिति x-अक्ष के पार प्रतिबिंबित होती है।

बिंदु (-3, 6) के लिए, सूत्र में x = -3 और y = 6 का मान रखने पर प्रतिबिंबित निर्देशांक (-3, -6) प्राप्त होते हैं।

व्याख्या

घातांकों के नियमों का उपयोग करते हुए जहाँ yᵐ × yⁿ = y⁽m+n) और yᵐ / yⁿ = y⁽m-n) होता है, प्रत्येक चर के लिए पदों को समूहित करके व्यंजक को सरल बनाया जा सकता है।

a के लिए: (a⁴ × a³) / a² = a⁽4 + 3 - 2) = a⁵

b के लिए: (b³ × b⁴) / b⁴ = b⁽3 + 4 - 4) = b³

x के लिए: x² × x³ = x⁽2 + 3) = x⁵

z के लिए: (z³ × z²) / z³ = z⁽3 + 2 - 3) = z²

सभी सरलीकृत पदों को मिलाने पर b³x⁵a⁵z² प्राप्त होता है।

व्याख्या

मान लीजिए दो छात्रों द्वारा प्राप्त अंक x और x - 13 हैं।

उनके अंकों का योग है: x + (x - 13) = 2x - 13

दी गई शर्त के अनुसार, अधिक अंक उनके अंकों के योग का 76% है: x = 0.76 × (2x - 13) x = 1.52x - 9.88 1.52x - x = 9.88 0.52x = 9.88 x = 9.88 ÷ 0.52 x = 19

दूसरे छात्र के अंक हैं: 19 - 13 = 6

इस प्रकार, दो छात्रों द्वारा प्राप्त अंक 19 और 6 हैं।

व्याख्या

1039 में वह न्यूनतम संख्या ज्ञात करने के लिए जिसे जोड़ने पर वह 29 से पूर्णतः विभाज्य हो जाए, 1039 को 29 से विभाजित करके शेषफल ज्ञात करें।

1039 = 29 × 35 + 24

यहाँ, शेषफल 24 है।

भाजक में जोड़ी जाने वाली न्यूनतम संख्या निम्न सूत्र द्वारा दी जाती है: आवश्यक संख्या = भाजक - शेषफल

मानों को प्रतिस्थापित करने पर: आवश्यक संख्या = 29 - 24 = 5

वैकल्पिक रूप से, 1039 से ठीक बड़ी 29 की अगली गुणज है: 29 × 36 = 1044

इस गुणज में से मूल संख्या घटाने पर जोड़ी जाने वाली आवश्यक मान प्राप्त होती है: 1044 - 1039 = 5

व्याख्या

मान लीजिए कि वस्तु का अंकित मूल्य (MP) और क्रय मूल्य (CP) है।

अंकित मूल्य, क्रय मूल्य, विक्रय मूल्य, छूट और हानि के बीच संबंध है: विक्रय मूल्य = अंकित मूल्य × (1 - छूट प्रतिशत) विक्रय मूल्य = क्रय मूल्य × (1 - हानि प्रतिशत)

जब 4% की छूट दी जाती है, तो व्यापारी को 10% की हानि होती है: SP₁ = 0.96 × MP = 0.90 × CP CP = (0.96 / 0.90) × MP = (16/15) × MP

जब 20% की छूट दी जाती है, तो नया विक्रय मूल्य SP₂ है: SP₂ = 0.80 × MP = (4/5) × MP

शुद्ध हानि CP और SP₂ के बीच का अंतर है: CP - SP₂ = (16/15) × MP - (4/5) × MP CP - SP₂ = (16/15 - 12/15) × MP = (4/15) × MP

हानि प्रतिशत निम्न सूत्र द्वारा दिया जाता है: हानि% = (हानि / CP) × 100 हानि% = ((4/15) × MP / ((16/15) × MP)) × 100 हानि% = (4 / 16) × 100 = 25%

व्याख्या

दो कोण संपूरक होते हैं यदि उनका योग 180° हो। मान लीजिए कि आवश्यक कोण का माप x है। इसलिए, इसका संपूरक कोण 180° - x है।

दी गई शर्त बताती है कि कोण अपने संपूरक कोण से 30° छोटा है: (180° - x) - x = 30°

इस समीकरण को सरल बनाने पर: 180° - 2x = 30° 2x = 150° x = 75°

इससे कोण का माप 75° प्राप्त होता है।

व्याख्या

माना वर्ग की भुजा s = 14 सेमी है।

जब एक वर्ग को एक वृत्त में अंतर्निहित किया जाता है, तो वर्ग का विकर्ण वृत्त के व्यास के बराबर होता है।

वर्ग का विकर्ण सूत्र द्वारा दिया जाता है: d = s√2

s = 14 रखने पर: d = 14√2 सेमी

इस प्रकार, वृत्त का व्यास 14√2 सेमी है। वृत्त की त्रिज्या r व्यास की आधी होती है: r = 7√2 सेमी

वृत्त का क्षेत्रफल द्वारा दिया जाता है: क्षेत्रफल = πr² क्षेत्रफल = π × (7√2)² क्षेत्रफल = π × 98 क्षेत्रफल = 98π वर्ग सेमी

व्याख्या

खोखले अर्धगोले कटोरे की आंतरिक त्रिज्या r = 7 सेमी है, और मोटाई t = 1 सेमी है। इस प्रकार, बाहरी त्रिज्या R = r + t = 7 + 1 = 8 सेमी है।

एक खोखले अर्धगोले कटोरे का कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल बाहरी वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल, आंतरिक वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल और शीर्ष पर वृत्ताकार रिम के क्षेत्रफल से मिलकर बनता है।

बाहरी वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल = 2πR² आंतरिक वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल = 2πr² वृत्ताकार रिम का क्षेत्रफल = π(R² - r²)

इन घटकों को जोड़ने पर कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल का सूत्र प्राप्त होता है: कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल = 2πR² + 2πr² + π(R² - r²) कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल = π(3R² + r²)

दिए गए मानों को सूत्र में प्रतिस्थापित करने पर: कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल = (22/7) × (3 × 8² + 7²) कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल = (22/7) × (3 × 64 + 49) कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल = (22/7) × (192 + 49) कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल = (22/7) × 241 कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल = 5302/7 कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल ≈ 757.43 वर्ग सेमी

व्याख्या

वजन से ऊंचाई का अनुपात वजन (किलोग्राम में) को ऊंचाई (मीटर में) से विभाजित करके निकाला जाता है। अनन्या के लिए, यह अनुपात 59 को 1.63 से विभाजित करने पर लगभग 36.20 के बराबर होता है। यह तालिका में सूचीबद्ध सभी व्यक्तियों में सबसे कम मान का प्रतिनिधित्व करता है, क्योंकि अन्य गणना किए गए अनुपात 38.51, 39.76 और 42.86 हैं।

व्याख्या

प्रति घर बच्चों की औसत संख्या भारित माध्य सूत्र का उपयोग करके निकाली जाती है:

औसत = (बच्चों की संख्या × घरों की संख्या का योग) / (घरों की कुल संख्या)

सबसे पहले, घरों की कुल संख्या की गणना करें: कुल घर = 5 + 14 + 10 + 3 = 32

इसके बाद, सभी घरों में बच्चों की कुल संख्या की गणना करें: कुल बच्चे = (0 × 5) + (1 × 14) + (2 × 10) + (3 × 3) = 0 + 14 + 20 + 9 = 43

अब, बच्चों की कुल संख्या को घरों की कुल संख्या से विभाजित करें: औसत = 43 / 32 = 1.34375

दो दशमलव स्थानों तक पूर्णांकित करने पर 1.34 प्राप्त होता है।

व्याख्या

कंपनी द्वारा जारी किए गए शेयरों की कुल संख्या 6,00,000 है।

एजाज के पास शुरू में कंपनी में 45% हिस्सेदारी है। एजाज द्वारा शुरू में रखे गए शेयरों की संख्या की गणना इस प्रकार की जाती है: प्रारंभिक शेयर = 6,00,000 का 45% = 0.45 × 6,00,000 = 2,70,000 शेयर

जब चिनमय अपने 15,000 शेयर एजाज को बेचता है, तो एजाज के पास शेयरों की नई कुल संख्या बन जाती है: कुल शेयर = 2,70,000 + 15,000 = 2,85,000 शेयर

व्याख्या

मान लीजिए मशीन का क्रय मूल्य CP है।

₹51 लाख में मशीन बेचने पर हुई हानि इस प्रकार दी गई है: हानि = CP - 51

₹60 लाख में मशीन बेचने पर प्राप्त लाभ इस प्रकार दिया गया है: लाभ = 60 - CP

दी गई शर्त के अनुसार, लाभ पहले की हानि का 8 गुना है: लाभ = 8 × हानि 60 - CP = 8 × (CP - 51) 60 - CP = 8CP - 408 9CP = 468 CP = 52 लाख

व्याख्या

A 50 दिनों में 75% (या 3/4) कार्य पूरा करता है। A का 1 दिन का कार्य = (3/4) / 50 = कुल कार्य का 3/200।

शेष कार्य कुल कार्य का 25% (या 1/4) है, जिसे A और B मिलकर 10 दिनों में पूरा करते हैं। उनके 1 दिन का संयुक्त कार्य = (1/4) / 10 = कुल कार्य का 1/40।

B की कार्य दर ज्ञात करने के लिए: B का 1 दिन का कार्य = संयुक्त 1 दिन का कार्य - A का 1 दिन का कार्य B का 1 दिन का कार्य = 1/40 - 3/200 B का 1 दिन का कार्य = (5 - 3) / 200 = 2/200 = कुल कार्य का 1/100।

चूंकि B एक दिन में 1/100 कार्य पूरा करता है, इसलिए B अकेले पूरे कार्य को पूरा करने में 100 दिन लेगा।

व्याख्या

हम बहुपद 48x³ - 8x² - 93x - 45 के सही गुणनखंडों को व्यंजक (4x + 3)(4x + 3)(3x - 5) का विस्तार करके ज्ञात कर सकते हैं।

सबसे पहले, पद (4x + 3) का वर्ग करें: (4x + 3)² = 16x² + 24x + 9

इसके बाद, इस परिणाम को (3x - 5) से गुणा करें: (16x² + 24x + 9)(3x - 5) = 16x²(3x - 5) + 24x(3x - 5) + 9(3x - 5) = 48x³ - 80x² + 72x² - 120x + 27x - 45 = 48x³ - 8x² - 93x - 45

यह दिए गए बहुपद के समान है, जो पुष्टि करता है कि (4x + 3)(4x + 3)(3x - 5) इसके गुणनखंड हैं।

व्याख्या

दो संख्याओं x और y का मध्य समानुपात निम्न सूत्र द्वारा दिया जाता है: √(xy) = 8

दोनों पक्षों का वर्ग करने पर: xy = 64 x = 64/y

x और y का तृतीय समानुपात निम्न सूत्र द्वारा दिया जाता है: y²/x = 512 y² = 512x

x का मान तृतीय समानुपात समीकरण में प्रतिस्थापित करने पर: y² = 512 × (64/y) y³ = 32768 y = 32

y का मान वापस x ज्ञात करने के लिए प्रतिस्थापित करने पर: x = 64/32 x = 2

इससे x और y के मान 2 और 32 प्राप्त होते हैं।

व्याख्या

2 वर्षों की अवधि के लिए चक्रवृद्धि ब्याज और साधारण ब्याज के बीच का अंतर निम्न सूत्र द्वारा दिया जाता है:

अंतर = P × (R / 100)²

जहाँ P मूल राशि है और R प्रति वर्ष ब्याज की दर है।

सूत्र में दिए गए मानों को प्रतिस्थापित करने पर:

72 = P × (12 / 100)²

72 = P × 144 / 10000

P = (72 × 10000) / 144

P = 720000 / 144

P = 5000

व्याख्या

शिवशंकर, गोपेश और रीना का कुल वजन = 97 × 3 = 291 किलोग्राम

शिवशंकर और गोपेश का कुल वजन = 93 × 2 = 186 किलोग्राम

गोपेश और रीना का कुल वजन = 82 × 2 = 164 किलोग्राम

दोनों युग्मों के वजन को जोड़ने पर: शिवशंकर + 2 × गोपेश + रीना = 186 + 164 = 350 किलोग्राम

इस योग से तीनों व्यक्तियों के कुल वजन को घटाने पर गोपेश का वजन प्राप्त होता है: गोपेश का वजन = 350 - 291 = 59 किलोग्राम

व्याख्या

मूल त्रिकोणमितीय सर्वसमिका cosecant और cotangent को संबंधित करती है: cosec²A - cot²A = 1

इसे इस प्रकार पुनः लिखा जा सकता है: cosec²A = 1 + cot²A cosec²A - 1 = cot²A

दिया गया व्यंजक है: x = cosec⁴A - cosec²A

cosec²A को बाहर निकालकर: x = cosec²A (cosec²A - 1)

इस गुणनखंडित समीकरण में त्रिकोणमितीय सर्वसमिकाओं को प्रतिस्थापित करने पर: x = (1 + cot²A) (cot²A) x = cot²A + cot⁴A x = cot⁴A + cot²A

व्याख्या

n भुजाओं वाले एक सम बहुभुज के प्रत्येक आंतरिक कोण का माप ज्ञात करने का सूत्र है ((n - 2) × 180°) / n।

एक सम अष्टभुज के लिए, भुजाओं की संख्या n = 8 है। इस मान को सूत्र में रखने पर:

((8 - 2) × 180°) / 8 = (6 × 180°) / 8 = 1080° / 8 = 135°

वैकल्पिक रूप से, किसी भी बहुभुज के बाह्य कोणों का योग हमेशा 360° होता है। चूँकि एक सम अष्टभुज में 8 बराबर बाह्य कोण होते हैं, प्रत्येक बाह्य कोण का माप 360° / 8 = 45° होता है। चूँकि किसी भी शीर्ष पर आंतरिक और बाह्य कोण एक रैखिक युग्म बनाते हैं, प्रत्येक आंतरिक कोण का माप 180° - 45° = 135° होता है।

व्याख्या

संयुक्त असमानता को दो भागों में विभाजित करके हल किया जा सकता है।

सबसे पहले, बाईं ओर की असमानता को हल करें: 4(2x - 4) - 2 > 3x - 1 8x - 16 - 2 > 3x - 1 8x - 18 > 3x - 1 5x > 17 x > 17/5 x > 3.4

अगला, दाईं ओर की असमानता को हल करें: 3x - 1 ≥ 4x - 7 -x ≥ -6 x ≤ 6

दोनों असमानताओं को मिलाने पर सीमा प्राप्त होती है: 3.4 < x ≤ 6

पूर्णांक 6 इस सीमा के भीतर स्थित है और असमानता के दोनों भागों को संतुष्ट करता है।

व्याख्या

छेदन-छेदन शक्ति प्रमेय (Secant-Secant Power Theorem) के अनुसार, जब किसी वृत्त की दो जीवाएँ PQ और RS बाह्य बिंदु T पर प्रतिच्छेद करने के लिए बढ़ाई जाती हैं, तो बाह्य बिंदु से वृत्त तक के छेदन खंडों की लंबाई का गुणनफल दोनों छेदन रेखाओं के लिए बराबर होता है। इससे संबंध प्राप्त होता है:

PT × QT = RT × ST

दिए गए मानों को प्रतिस्थापित करने पर, जहाँ QT = 9 सेमी, RT = 18 सेमी, और ST = 6 सेमी:

PT × 9 = 18 × 6

PT × 9 = 108

PT = 108 / 9

PT = 12 सेमी

व्याख्या

ऋणात्मक कोणों के लिए त्रिकोणमितीय सर्वसमिका का उपयोग करते हुए, tan(-θ) = -tan(θ)। θ = 240° रखने पर:

tan(-240°) = -tan(240°)

कोण 240° तीसरे चतुर्थांश में स्थित है, जहाँ स्पर्शज्या (tangent) फलन धनात्मक होता है। 240° को 180° + 60° के रूप में व्यक्त करने और सर्वसमिका tan(180° + θ) = tan(θ) का उपयोग करने पर:

tan(240°) = tan(180° + 60°) = tan(60°)

tan(60°) का मानक मान √3 है, जिससे प्राप्त होता है:

tan(240°) = √3

इसे पहली समीकरण में वापस रखने पर:

tan(-240°) = -√3

व्याख्या

संबंध दूरी = गति × समय का उपयोग करते हुए, यात्रा के पहले भाग में तय की गई दूरी 49 किमी/घंटा × 5 घंटे = 245 किमी है।

इस दूरी को कुल दूरी 368 किमी से घटाने पर शेष दूरी 368 किमी - 245 किमी = 123 किमी प्राप्त होती है।

शेष 3 घंटों के लिए गति की गणना शेष दूरी को शेष समय से विभाजित करके की जाती है, जो कि 123 किमी / 3 घंटे = 41 किमी/घंटा है।

व्याख्या

दोनों सिरों पर खुले एक खोखले बेलन का कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल बाहरी वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल, आंतरिक वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल और दो वलयाकार आधारों के क्षेत्रफल से मिलकर बनता है।

कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल (TSA) का सूत्र है: TSA = 2πRh + 2πrh + 2π(R² - r²)

इस सूत्र को सरल किया जा सकता है: TSA = 2π(R + r)(h + R - r)

दिए गए मान हैं: लंबाई (h) = 22 सेमी बाह्य त्रिज्या (R) = 7 सेमी मोटाई = 1 सेमी आंतरिक त्रिज्या (r) = बाह्य त्रिज्या - मोटाई = 7 - 1 = 6 सेमी

इन मानों को सरल सूत्र में प्रतिस्थापित करने पर: TSA = 2 × (22/7) × (7 + 6) × (22 + 7 - 6) TSA = 2 × (22/7) × 13 × 23 TSA = 13156 / 7 TSA ≈ 1879.43 वर्ग सेमी

व्याख्या

दो बिंदुओं (x₁, y₁) और (x₂, y₂) के बीच की दूरी दूरी सूत्र द्वारा दी जाती है:

d = √((x₂ - x₁)² + (y₂ - y₁)²)

दिए गए बिंदुओं (4, 7) और (-1, -5) के निर्देशांकों को सूत्र में प्रतिस्थापित करने पर:

d = √((-1 - 4)² + (-5 - 7)²)

d = √((-5)² + (-12)²)

d = √(25 + 144)

d = √169

d = 13 इकाई

व्याख्या

समान अंकित मूल्य पर विक्रय मूल्य और उनकी संगत छूट प्रतिशत के बीच संबंध अनुपात सूत्र का उपयोग करके स्थापित किया जा सकता है:

SP₂ / SP₁ = (100 - d₂) / (100 - d₁)

यहाँ, SP₁ रु 26000 का प्रारंभिक विक्रय मूल्य है, d₁ 22% की प्रारंभिक छूट है, d₂ 40% की नई छूट है, और SP₂ नया विक्रय मूल्य है।

सूत्र में मानों को प्रतिस्थापित करने पर:

SP₂ / 26000 = (100 - 40) / (100 - 22)

SP₂ / 26000 = 60 / 78

60/78 भिन्न को अंश और हर को 6 से विभाजित करके सरल बनाने पर:

SP₂ / 26000 = 10 / 13

SP₂ के लिए हल करने पर:

SP₂ = 26000 × (10 / 13)

SP₂ = 2000 × 10

SP₂ = 20000

व्याख्या

मान लीजिए अभीष्ट संख्या x है।

प्रतिशत सूत्र के अनुसार, हमारे पास है: x का 0.4% = 26

प्रतिशत को भिन्न के रूप में लिखना: (0.4 / 100) × x = 26

दोनों पक्षों को 100 से गुणा करना: 0.4 × x = 2600

दोनों पक्षों को 0.4 से विभाजित करना: x = 2600 / 0.4 x = 26000 / 4 x = 6500

व्याख्या

20 के दो भाग x और 20 - x मान लीजिए।

दी गई शर्त के अनुसार, इन दो भागों के वर्गों का योग 232 है: x² + (20 - x)² = 232

समीकरण का विस्तार करने पर: x² + 400 - 40x + x² = 232 2x² - 40x + 168 = 0

पूरे समीकरण को 2 से विभाजित करने पर: x² - 20x + 84 = 0

द्विघात समीकरण का गुणनखंड करने पर: x² - 14x - 6x + 84 = 0 x(x - 14) - 6(x - 14) = 0 (x - 14)(x - 6) = 0

इससे x = 14 या x = 6 प्राप्त होता है।

व्याख्या

बिंदुओं (5, -3) और (0, 2) को मिलाने वाले रेखाखंड का मध्यबिंदु मध्यबिंदु सूत्र का उपयोग करके ज्ञात किया जाता है: M = ((5 + 0)/2, (-3 + 2)/2) = (5/2, -1/2)

दो बिंदुओं को मिलाने वाले रेखाखंड की प्रवणता है: m = (2 - (-3)) / (0 - 5) = 5 / -5 = -1

लम्ब समद्विभाजक की प्रवणता इस प्रवणता का ऋणात्मक व्युत्क्रम होती है: m' = -1 / m = -1 / -1 = 1

मध्यबिंदु (5/2, -1/2) और प्रवणता 1 के साथ बिंदु-प्रवणता रूप का उपयोग करके: y - (-1/2) = 1 × (x - 5/2) y + ½ = x - 5/2

पदों को पुनर्व्यवस्थित करने पर: x - y = 3

व्याख्या

वजन से ऊंचाई का अनुपात किलोग्राम में वजन को मीटर में ऊंचाई से विभाजित करके निकाला जाता है। अर्पिता के लिए, यह अनुपात 57 ÷ 1.56 है, जो लगभग 36.54 के बराबर है। अन्य व्यक्तियों की तुलना में, अर्चिता का अनुपात 67 ÷ 1.63 ≈ 41.10 है, अर्पणा का अनुपात 67 ÷ 1.51 ≈ 44.37 है, और अरुंधति का अनुपात 73 ÷ 1.59 ≈ 45.91 है। अर्पिता का अनुपात स्पष्ट रूप से सबसे कम है।

व्याख्या

प्रति घर बच्चों की औसत संख्या की गणना निम्न सूत्र का उपयोग करके की जाती है: औसत = बच्चों की कुल संख्या ÷ घरों की कुल संख्या

घरों की कुल संख्या है: 7 + 11 + 15 + 5 = 38

सभी घरों में बच्चों की कुल संख्या है: (7 × 0) + (11 × 1) + (15 × 2) + (5 × 3) = 0 + 11 + 30 + 15 = 56

सूत्र लागू करने पर: औसत = 56 ÷ 38 ≈ 1.47

व्याख्या

कंपनी द्वारा जारी किए गए शेयरों की कुल संख्या 6 लाख है, जो 600,000 शेयरों के बराबर है।

धीरज के पास शुरू में इन कुल शेयरों का 15% हिस्सा है।

धीरज द्वारा धारित प्रारंभिक शेयर = 600,000 का 15% = (15/100) × 600,000 = 90,000 शेयर

जब चिनमय अपने 15,000 शेयर धीरज को बेचता है, तो धीरज को ये शेयर मिलते हैं, जिससे उसकी कुल शेयरधारिता बढ़ जाती है।

धीरज द्वारा धारित शेयरों की नई संख्या = 90,000 + 15,000 = 105,000 शेयर

व्याख्या

मानक बीजगणितीय सर्वसमिका का प्रयोग करके: (x + y)² = x² + y² + 2xy

समीकरण में x² + y² = 113 और xy = 56 के दिए गए मानों को प्रतिस्थापित करें: (x + y)² = 113 + 2(56) (x + y)² = 113 + 112 (x + y)² = 225

दोनों पक्षों का वर्गमूल लेने पर प्राप्त होता है: x + y = √225 x + y = 15

व्याख्या

यदि mA = nB = pC है, तो A : B : C का अनुपात व्युत्क्रम अनुपात 1/m : 1/n : 1/p द्वारा दिया जाता है।

संबंध 3A = 7B = 13C के लिए, A : B : C का अनुपात है: A : B : C = 1/3 : 1/7 : 1/13

हरों के गुणनफल (3 × 7 × 13 = 273) से प्रत्येक पद को गुणा करने पर अनुपात सरल हो जाता है: A : B : C = (7 × 13) : (3 × 13) : (3 × 7) A : B : C = 91 : 39 : 21

व्याख्या

कोई संख्या r द्विघात समीकरण का मूल होती है यदि x = r को समीकरण में प्रतिस्थापित करने पर वह शून्य मान देकर उसे संतुष्ट करती है।

समीकरण x² - 7x + 12 = 0 में x = 3 प्रतिस्थापित करने पर:

3² - 7(3) + 12 = 9 - 21 + 12 = 21 - 21 = 0

चूंकि समीकरण संतुष्ट होता है, इसलिए 3 इस समीकरण का एक मूल है।

व्याख्या

अमर और बादल की दक्षता का अनुपात 2 : 1 है। चूँकि दक्षता और लिया गया समय व्युत्क्रमानुपाती होते हैं, इसलिए अमर और बादल द्वारा काम पूरा करने में लिए गए समय का अनुपात 1 : 2 है।

मान लीजिए अमर द्वारा लिया गया समय x दिन है और बादल द्वारा लिया गया समय 2x दिन है। उनके द्वारा लिए गए समय का अंतर 15 दिन दिया गया है: 2x - x = 15 x = 15

इस प्रकार, अमर को काम पूरा करने में 15 दिन लगते हैं और बादल को 30 दिन लगते हैं।

संयुक्त कार्य सूत्र का उपयोग करके, दोनों के एक साथ काम करने में लगने वाला समय है: समय = (a × b) / (a + b) समय = (15 × 30) / (15 + 30) = 450 / 45 = 10 दिन

व्याख्या

किसी रेखा के समीकरण का अंतःखंड रूप x/a + y/b = 1 होता है, जहाँ a x-अंतःखंड है और b y-अंतःखंड है।

दिया गया है: a = 3/4 b = -2/3

इन मानों को अंतःखंड रूप में प्रतिस्थापित करने पर: x / (3/4) + y / (-2/3) = 1

भिन्नों को सरल करने पर: 4x/3 - 3y/2 = 1

भिन्नों को हटाने के लिए हर 3 और 2 के लघुत्तम समापवर्त्य, जो कि 6 है, से पूरे समीकरण को गुणा करने पर: 6 × (4x/3) - 6 × (3y/2) = 6 × 1 8x - 9y = 6

व्याख्या

स्पर्शज्या (tangent) के लिए त्रिक कोण सूत्र (triple angle formula) को संयुक्त कोण पहचान (compound angle identity) का उपयोग करके प्राप्त किया जाता है:

tan(x + y) = (tan x + tan y) / (1 - tan x tan y)

3A को 2A + A के रूप में व्यक्त करके, हम इस पहचान को लागू करते हैं:

tan 3A = (tan 2A + tan A) / (1 - tan 2A tan A)

द्वि-कोण सूत्र (double angle identity), tan 2A = 2tan A / (1 - tan²A) का उपयोग करके, और इसे समीकरण में प्रतिस्थापित करके:

tan 3A = (2tan A / (1 - tan²A) + tan A) / (1 - (2tan A / (1 - tan²A)) × tan A)

सरल बनाने के लिए, हम अंश (numerator) और हर (denominator) दोनों को (1 - tan²A) से गुणा करते हैं:

tan 3A = (2tan A + tan A(1 - tan²A)) / (1 - tan²A - 2tan²A)

विस्तार करने और समान पदों को संयोजित करने पर प्राप्त होता है:

tan 3A = (2tan A + tan A - tan³A) / (1 - 3tan²A)

tan 3A = (3tan A - tan³A) / (1 - 3tan²A)

व्याख्या

माना कि अभीष्ट कोण x है।

दो कोण पूरक कहलाते हैं यदि उनका योग 90° हो। इसलिए, कोण का पूरक 90° - x है।

दी गई शर्त के अनुसार, कोण अपने पूरक से 20° अधिक है:

x - (90° - x) = 20°

2x - 90° = 20°

2x = 110°

x = 55°

व्याख्या

अर्धगोले का आयतन V = (2/3) × π × r³ सूत्र द्वारा दिया जाता है, जहाँ r अर्धगोले की त्रिज्या है।

दिए गए मानों r = 21 सेमी और π = 22/7 को सूत्र में प्रतिस्थापित करने पर: V = (2/3) × (22/7) × 21 × 21 × 21 V = 2 × 22 × 21 × 21 V = 44 × 441 V = 19404 घन सेमी

व्याख्या

दिए गए त्रिकोणमितीय व्यंजक को sin²A और cos²A के पदों में लिखकर सरल किया जा सकता है:

cot²A - cos²A = (cos²A / sin²A) - cos²A

cos²A को कॉमन लेने पर:

= cos²A (1 / sin²A - 1)

व्युत्क्रम सर्वसमिका cosec²A = 1 / sin²A का प्रयोग करने पर:

= cos²A (cosec²A - 1)

मानक त्रिकोणमितीय सर्वसमिका cosec²A - 1 = cot²A का प्रयोग करने पर:

= cos²A cot²A

= cot²A cos²A

व्याख्या

एक समकोण त्रिभुज में, समकोण के सम्मुख भुजा कर्ण होती है। कोण θ के सम्मुख भुजा और कर्ण के बीच संबंध त्रिकोणमितीय अनुपात द्वारा दिया जाता है:

sin θ = सम्मुख / कर्ण

यहाँ, कोण θ 30° है और कर्ण की लंबाई 6 सेमी है। इन मानों को सूत्र में रखने पर:

sin 30° = सम्मुख / 6

चूंकि sin 30° = ½ है, समीकरण बन जाता है:

½ = सम्मुख / 6

सम्मुख = 6 × ½ = 3 सेमी

व्याख्या

x के संभावित मान ज्ञात करने के लिए, हम दो दी गई असमानताओं को अलग-अलग हल करते हैं।

पहली असमानता के लिए: 2x + 5 > 2 + 3x दोनों पक्षों से 2x घटाने पर: 5 > 2 + x दोनों पक्षों से 2 घटाने पर: x < 3

दूसरी असमानता के लिए: 2x - 3 ≤ 4x - 5 दोनों पक्षों से 2x घटाने पर: -3 ≤ 2x - 5 दोनों पक्षों में 5 जोड़ने पर: 2 ≤ 2x 2 से भाग देने पर: x ≥ 1

दोनों असमानताओं को मिलाने पर, x के लिए सीमा है: 1 ≤ x < 3

चूंकि 2 अंतराल [1, 3) के भीतर स्थित है, यह दोनों असमानताओं को संतुष्ट करता है।

व्याख्या

किसी वृत्त का क्षेत्रफल सूत्र A = πr² द्वारा दिया जाता है, जहाँ r त्रिज्या है। जब किसी चर के वर्ग पर निर्भर मात्रा में x% की वृद्धि होती है, तो मात्रा में समग्र प्रतिशत वृद्धि उत्तरोत्तर प्रतिशत सूत्र द्वारा दी जाती है:

प्रतिशत वृद्धि = 2x + (x² / 100)

दिया गया है कि त्रिज्या में x = 14% की वृद्धि होती है:

प्रतिशत वृद्धि = 2(14) + (14² / 100) प्रतिशत वृद्धि = 28 + (196 / 100) प्रतिशत वृद्धि = 28 + 1.96 = 29.96%

व्याख्या

दूसरे चतुर्थांश में कोणों के लिए त्रिकोणमितीय सर्वसमिका का उपयोग करते हुए, tan(180° - θ) = -tan θ।

θ = 30° प्रतिस्थापित करने पर: tan 150° = tan(180° - 30°) = -tan 30°

चूंकि tan 30° का मानक त्रिकोणमितीय मान 1/√3 है, हमें प्राप्त होता है: tan 150° = -1/√3

व्याख्या

मान लीजिए कि आवर्ती दशमलव को x = 0.151515... के रूप में दर्शाया गया है।

चूंकि दशमलव पैटर्न में दो दोहराए जाने वाले अंक हैं, इसलिए दोनों पक्षों को 100 से गुणा करें: 100x = 15.151515...

अब, दूसरे समीकरण से पहले समीकरण को घटाएं: 100x - x = 15.151515... - 0.151515... 99x = 15 x = 15/99

अंश और हर दोनों को उनके सबसे बड़े सामान्य भाजक, जो कि 3 है, से विभाजित करके भिन्न को सरल बनाने पर प्राप्त होता है: x = 5/33

व्याख्या

माना तीन संख्याएँ x, y और z हैं।

दी गई शर्तों के अनुसार, पहली संख्या x दूसरी संख्या y की दोगुनी और तीसरी संख्या z की तिगुनी है: x = 2y → y = x/2 x = 3z → z = x/3

तीन संख्याओं का औसत 429 है: (x + y + z) / 3 = 429 x + y + z = 1287

x के पदों में y और z का मान रखने पर: x + x/2 + x/3 = 1287 (6x + 3x + 2x) / 6 = 1287 11x / 6 = 1287 x = (1287 × 6) / 11 x = 117 × 6 x = 702

तीसरी संख्या z है: z = x/3 = 702 / 3 = 234

पहली और तीसरी संख्या के बीच का अंतर है: x - z = 702 - 234 = 468

व्याख्या

(x + 1)³ का संख्यात्मक मान ज्ञात करने के लिए, हम पहले x के लिए दिए गए रैखिक समीकरण को हल करते हैं:

8x - 4 = 3x + 6

समीकरण के दोनों पक्षों से 3x घटाने पर:

5x - 4 = 6

दोनों पक्षों में 4 जोड़ने पर:

5x = 10

5 से भाग देने पर प्राप्त होता है:

x = 2

x का मान (x + 1)³ व्यंजक में रखने पर:

(2 + 1)³ = 3³ = 27