एसएससी सीएचएसएल टियर 1 2016 मात्रात्मक अभिक्षमता प्रश्न — हल सहित

व्याख्या

एक वृत्त का क्षेत्रफल सूत्र A = πr² द्वारा दिया जाता है, जहाँ r वृत्त की त्रिज्या है।

दिए गए क्षेत्रफल का उपयोग करके: (22/7) × r² = 616 r² = 616 × 7/22 r² = 28 × 7 r² = 196 r = 14 सेमी

वृत्त की परिधि सूत्र C = 2πr द्वारा दी जाती है। r का मान प्रतिस्थापित करने पर: C = 2 × (22/7) × 14 C = 2 × 22 × 2 C = 88 सेमी

व्याख्या

दिए गए बीजीय समीकरण का विस्तार और सरलीकरण करें:

3x - 8(2 - x) = -19

-8 को कोष्ठकों के अंदर के पदों पर वितरित करें:

3x - 16 + 8x = -19

x वाले समान पदों को मिलाएं:

11x - 16 = -19

x पद को अलग करने के लिए समीकरण के दोनों पक्षों में 16 जोड़ें:

11x = -19 + 16

11x = -3

x के लिए हल करने के लिए दोनों पक्षों को 11 से विभाजित करें:

x = -3/11

व्याख्या

द्विपद के वर्ग के लिए बीजगणितीय सर्वसमिका का उपयोग करके:

(x - y)² = x² + y² - 2xy

हम x² + y² को हल करने के लिए इस सूत्र को पुनर्व्यवस्थित कर सकते हैं:

x² + y² = (x - y)² + 2xy

दिए गए मानों x - y = 6 और xy = 40 को समीकरण में प्रतिस्थापित करने पर:

x² + y² = 6² + 2(40)

x² + y² = 36 + 80

x² + y² = 116

व्याख्या

मान लीजिए दो-अंकीय संख्या के दहाई और इकाई अंक क्रमशः x और y हैं। संख्या का मान 10x + y है।

अंकों का गुणनफल इस प्रकार दिया गया है: x × y = 27

जब संख्या में 54 जोड़ा जाता है, तो अंक आपस में बदल जाते हैं, जिससे प्राप्त होता है: (10x + y) + 54 = 10y + x 9y - 9x = 54 y - x = 6 y = x + 6

गुणनफल समीकरण में y = x + 6 को प्रतिस्थापित करने पर: x(x + 6) = 27 x² + 6x - 27 = 0 (x + 9)(x - 3) = 0

चूंकि x एक दो-अंकीय संख्या का अंक है, x एक धनात्मक पूर्णांक होना चाहिए, जिससे x = 3 प्राप्त होता है। y = x + 6 का उपयोग करके, हमें y = 3 + 6 = 9 प्राप्त होता है।

दो-अंकीय संख्या 10(3) + 9 = 39 है।

व्याख्या

दी गई संयुक्त असमानता को दो भागों में हल किया गया है:

पहला भाग: 2x - 3(2x - 2) > x - 1 2x - 6x + 6 > x - 1 -4x + 6 > x - 1 7 > 5x x < 7/5 x < 1.4

दूसरा भाग: x - 1 < 2 + 2x -1 - 2 < 2x - x -3 < x

दोनों भागों को मिलाने पर x की सीमा प्राप्त होती है: -3 < x < 1.4

मान -2 इस सीमा के भीतर आता है, जो असमानता की दोनों शर्तों को संतुष्ट करता है।

व्याख्या

अज्ञात संख्या को x मान लीजिए। समस्या के अनुसार:

x का 0.8% = 29

(0.8 / 100) × x = 29

8/1000 × x = 29

x = (29 × 1000) / 8

x = 29 × 125

x = 3625

व्याख्या

औसत बोनस की गणना सभी कर्मचारियों को दिए गए कुल बोनस को कर्मचारियों की कुल संख्या से विभाजित करके की जाती है।

सबसे पहले, प्रत्येक श्रेणी के लिए दिए गए कुल बोनस की गणना करें:

प्रबंधक: 3 कर्मचारी × ₹30,00,000 × 30% = ₹27,00,000 कार्यकारी: 8 कर्मचारी × ₹16,00,000 × 20% = ₹25,60,000 प्रशिक्षु: 4 कर्मचारी × ₹2,00,000 × 20% = ₹1,60,000

कुल भुगतान किया गया बोनस = 27,00,000 + 25,60,000 + 1,60,000 = ₹54,20,000

कर्मचारियों की कुल संख्या = 3 + 8 + 4 = 15

औसत बोनस = 54,20,000 ÷ 15 = ₹3,61,333.33

व्याख्या

उन वर्षों के जोड़े को खोजने के लिए जिनके लिए तीनों कंपनियों से कुल निर्यात एक समान है, हम प्रत्येक वर्ष के लिए निर्यात का योग ज्ञात करते हैं।

वर्ष 2011 के लिए: कुल निर्यात = कंपनी A + कंपनी B + कंपनी C कुल निर्यात = 3000 + 1000 + 4000 = 8000 लाख रुपये

वर्ष 2012 के लिए: कुल निर्यात = कंपनी A + कंपनी B + कंपनी C कुल निर्यात = 5000 + 1000 + 2000 = 8000 लाख रुपये

दोनों 2011 और 2012 में 8000 लाख रुपये का समान कुल निर्यात मूल्य है।

व्याख्या

कंपनी का 5 वर्षों में कुल लाभ या हानि प्रत्येक व्यक्तिगत वर्ष के लाभ या हानि का योग करके गणना की जाती है।

कुल लाभ या हानि = (-10) + 5 + 10 + (-15) + (-5) = -15 करोड़

चूंकि परिणामी योग ऋणात्मक है, यह पांच साल की अवधि में 15 करोड़ रुपये की शुद्ध हानि को इंगित करता है।

व्याख्या

कुल निर्यात के सापेक्ष आभूषण निर्यात का प्रतिशत ज्ञात करने के लिए, प्रतिशत सूत्र का उपयोग किया जाता है:

प्रतिशत = (आभूषण का मूल्य / कुल निर्यात) × 100

सबसे पहले, तालिका से व्यक्तिगत मूल्यों को जोड़कर 2015 में भारत के निर्यात का कुल मूल्य ज्ञात करें: कुल निर्यात = 675 + 500 + 525 + 575 + 725 = 3000 मिलियन अमेरिकी डॉलर

इसके बाद, आभूषण निर्यात का प्रतिशत ज्ञात करें: आभूषण का प्रतिशत = (675 / 3000) × 100 = 22.5 प्रतिशत

व्याख्या

त्रिकोणमितीय फलन sin(-θ) = -sin(θ) को संतुष्ट करता है। इस गुण का उपयोग करके: sin(-5π/3) = -sin(5π/3)

कोण 5π/3 चौथे चतुर्थांश में स्थित है और इसे 2π - π/3 के रूप में लिखा जा सकता है। sin(2π - θ) = -sin(θ) सर्वसमिका का उपयोग करके, हमें प्राप्त होता है: sin(5π/3) = sin(2π - π/3) = -sin(π/3)

इस मान को पहले समीकरण में वापस प्रतिस्थापित करने पर: sin(-5π/3) = -(-sin(π/3)) = sin(π/3)

चूंकि sin(π/3) का मानक त्रिकोणमितीय मान √3/2 है, इसलिए x का मान √3/2 है।

व्याख्या

दो कोणों A और B के योग के स्पर्शज्या (tangent) के लिए मानक त्रिकोणमितीय सर्वसमिका है:

tan(A + B) = (tan A + tan B) / (1 - tan A tan B)

इस सर्वसमिका की तुलना दिए गए समीकरण से करने पर:

x = (tan A + tan B) / (1 - tan A tan B)

यह सीधे तौर पर अनुसरण करता है कि x, tan(A + B) के बराबर है।

व्याख्या

मानक त्रिकोणमितीय सर्वसमिका का प्रयोग करके: cosec²A - cot²A = 1

हम समीकरण के बाईं ओर को वर्गों के अंतर के रूप में गुणनखंडित कर सकते हैं: (cosecA - cotA)(cosecA + cotA) = 1

दोनों पक्षों को (cosecA - cotA) से विभाजित करने पर प्राप्त होता है: cosecA + cotA = 1/(cosecA - cotA)

चूंकि हमें दिया गया है कि x = 1/(cosecA - cotA), इसे समीकरण में प्रतिस्थापित करने पर प्राप्त होता है: x = cosecA + cotA

व्याख्या

लाभ या हानि प्रतिशत ज्ञात करने के लिए, संतरों की एक सामान्य मात्रा के लिए क्रय मूल्य और विक्रय मूल्य की गणना की जा सकती है। 5 और 2 के लघुत्तम समापवर्त्य (LCM) को लेते हुए, हम मान सकते हैं कि विक्रेता 10 संतरे खरीदता और बेचता है।

10 संतरों का क्रय मूल्य = (6 रुपये / 5) × 10 = 12 रुपये

10 संतरों का विक्रय मूल्य = (3 रुपये / 2) × 10 = 15 रुपये

चूंकि विक्रय मूल्य क्रय मूल्य से अधिक है, विक्रेता को लाभ होता है।

लाभ = विक्रय मूल्य - क्रय मूल्य = 15 - 12 = 3 रुपये

लाभ प्रतिशत = (लाभ / क्रय मूल्य) × 100% = (3 / 12) × 100% = 25%

व्याख्या

2 वर्षों की अवधि के लिए वार्षिक ब्याज दर r% पर एक मूल राशि (P) पर वार्षिक रूप से चक्रवृद्धि ब्याज (चक्रवृद्धि ब्याज) और साधारण ब्याज के बीच का अंतर (D) निम्न सूत्र द्वारा दिया जाता है:

D = P × (r / 100)²

यह देखते हुए कि अंतर रु 320 है और ब्याज दर 16% प्रति वर्ष है, हम इन मानों को सूत्र में रखते हैं:

320 = P × (16 / 100)²

320 = P × (256 / 10000)

P = (320 × 10000) / 256

P = (5 × 10000) / 4

P = 5 × 2500

P = 12500

व्याख्या

मान लीजिए पहली संख्या x है और अन्य चार संख्याओं का योग S है।

चूंकि पाँच संख्याओं का औसत 76 है, उनका कुल योग है: 5 × 76 = 380

पहली संख्या अन्य चार संख्याओं के योग का 3/7 गुना है: x = 3/7 × S S = 7/3 × x

सभी पाँच संख्याओं का कुल योग है: x + S = 380

समीकरण में S का मान रखने पर: x + 7/3 × x = 380 10/3 × x = 380 x = (380 × 3) / 10 x = 114

व्याख्या

बिंदु (x₁, y₁) से गुजरने वाली और ढलान m वाली रेखा का समीकरण बिंदु-ढलान रूप द्वारा दिया जाता है: y - y₁ = m(x - x₁)

रेखा का ढलान m, धनात्मक x-अक्ष के साथ इसके द्वारा बनाए गए कोण θ के स्पर्शज्या (tangent) द्वारा परिभाषित किया जाता है: m = tan(θ) m = tan(-45°) = -1

बिंदु (2, -3) और ढलान m = -1 को समीकरण में प्रतिस्थापित करने पर: y - (-3) = -1(x - 2) y + 3 = -x + 2 x + y = -1

व्याख्या

पहली असमानता को हल करने पर: 2(3x - 2) < 6 - 3x 6x - 4 < 6 - 3x 9x < 10 x < 10/9

दूसरी असमानता को हल करने पर: 6x + 2(6 - x) > 2x - 2 6x + 12 - 2x > 2x - 2 4x + 12 > 2x - 2 2x > -14 x > -7

दोनों परिणामों को मिलाने पर हल अंतराल प्राप्त होता है: -7 < x < 10/9

चूंकि 10/9 लगभग 1.11 है, इसलिए मान -5 ही एकमात्र मान है जो इस सीमा के भीतर आता है, जो दोनों शर्तों को पूरा करता है।

व्याख्या

दिया गया समीकरण है: (36 - 16x) - (4x - 8) = 4

पदों का विस्तार करने और कोष्ठकों को हटाने पर: 36 - 16x - 4x + 8 = 4

स्थिरांक पदों और चर पदों को संयोजित करने पर: 44 - 20x = 4

दोनों पक्षों से 44 घटाने पर: -20x = 4 - 44 -20x = -40

दोनों पक्षों को -20 से विभाजित करने पर: x = -40 / -20 x = 2

व्याख्या

प्रभावी छूट की गणना सीधे भारित औसत सूत्र का उपयोग करके की जा सकती है:

प्रभावी छूट = (d₁ × n₁ + d₂ × n₂) / (n₁ + n₂)

यहाँ, n₁ = 4 वस्तुएँ जिनकी छूट d₁ = 24% है, और n₂ = 1 वस्तु जिसकी छूट d₂ = 6% है।

इन मानों को सूत्र में प्रतिस्थापित करने पर:

प्रभावी छूट = (24 × 4 + 6 × 1) / (4 + 1)

प्रभावी छूट = (96 + 6) / 5

प्रभावी छूट = 102 / 5 = 20.4%

व्याख्या

एक समकोण त्रिभुज में, किसी कोण θ के सम्मुख भुजा और कर्ण h (जो 90° कोण के सम्मुख भुजा है) के बीच संबंध इस प्रकार दिया गया है: sin(θ) = सम्मुख / कर्ण

θ = 60° और सम्मुख = 6√3 रखने पर: sin(60°) = 6√3 / h

sin(60°) = √3/2 का मान प्रयोग करने पर: √3/2 = 6√3 / h

h के लिए हल करने पर: h = (6√3 × 2) / √3 h = 12 सेमी

व्याख्या

त्रिकोणमितीय सर्वसमिका cot(180° + θ) = cot θ का उपयोग करके, हम cot 210° का मान 210° को 180° + 30° के रूप में लिखकर ज्ञात कर सकते हैं। चूँकि 210° तीसरे चतुर्थांश में स्थित है जहाँ कोटैंजेंट फलन धनात्मक होता है:

cot 210° = cot(180° + 30°) = cot 30° = √3

व्याख्या

बीजगणितीय सर्वसमिका (a - b)(a + b) = a² - b² का प्रयोग करके, 200000 के संबंध में दो संख्याओं को व्यक्त करके गुणन को सरल बनाया जा सकता है:

199994 × 200006 = (200000 - 6) × (200000 + 6)

सूत्र लागू करने पर:

(200000)² - 6² = 40000000000 - 36 = 39999999964

व्याख्या

किलोमीटर प्रति घंटा (किमी/घंटा) से मीटर प्रति सेकंड (मी/से) में गति को बदलने के लिए, हम गति को 5/18 के रूपांतरण कारक से गुणा करते हैं।

इस संबंध का उपयोग करके: मी/से में गति = किमी/घंटा में गति × 5/18

दी गई 1260 किमी/घंटा की गति को प्रतिस्थापित करते हुए: गति = 1260 × 5/18 गति = 70 × 5 गति = 350 मी/से

व्याख्या

दो कोणों के योग के कोटिज्या के लिए त्रिकोणमितीय सर्वसमिका, cot(A + B), को ज्या और कोज्या के योग सूत्रों का उपयोग करके प्राप्त किया जाता है:

cot(A + B) = cos(A + B) / sin(A + B)

cos(A + B) और sin(A + B) के विस्तार का उपयोग करके:

cot(A + B) = (cos A cos B - sin A sin B) / (sin A cos B + cos A sin B)

पदों को कोटिज्या में बदलने के लिए अंश और हर दोनों को (sin A sin B) से विभाजित करके:

अंश: (cos A cos B) / (sin A sin B) - (sin A sin B) / (sin A sin B) = cot A cot B - 1

हर: (sin A cos B) / (sin A sin B) + (cos A sin B) / (sin A sin B) = cot B + cot A

यह संबंध सीधे सरल हो जाता है:

cot(A + B) = (cot A cot B - 1) / (cot B + cot A)

व्याख्या

विक्रय मूल्य (SP), क्रय मूल्य (CP), और हानि प्रतिशत के बीच संबंध इस प्रकार दिया गया है: CP = SP / (1 - हानि%)

माना प्रारंभिक विक्रय मूल्य SP₁ = ₹1250 है और हानि प्रतिशत 7% है। CP = 1250 / (1 - 0.07) = 1250 / 0.93

नया विक्रय मूल्य SP₂ = ₹1375 है। नया लाभ या हानि ज्ञात करने के लिए, नए विक्रय मूल्य और क्रय मूल्य के अनुपात की गणना करें: SP₂ / CP = SP₂ / (SP₁ / 0.93) = (SP₂ / SP₁) × 0.93

दो विक्रय मूल्यों के अनुपात को सरल बनाना: SP₂ / SP₁ = 1375 / 1250 = 1.1

SP₂ / CP ज्ञात करने के लिए इसे वापस प्रतिस्थापित करना: SP₂ / CP = 1.1 × 0.93 = 1.023

चूंकि अनुपात SP₂ / CP 1 से अधिक है, इसलिए लाभ है। लाभ% = (1.023 - 1) × 100% = 2.3% लाभ

व्याख्या

बेलन का आयतन V = πr²h सूत्र का उपयोग करके ज्ञात किया जाता है, जहाँ V आयतन है, r आधार की त्रिज्या है, और h बेलन की ऊँचाई है।

दिए गए मानों को सूत्र में प्रतिस्थापित करने पर: 3850 = (22/7) × r² × 25

r² को हल करने के लिए समीकरण को पुनर्व्यवस्थित करने पर: r² = (3850 × 7) / (22 × 25) r² = 26950 / 550 r² = 49

दोनों पक्षों का वर्गमूल लेने पर: r = √49 r = 7 सेमी

व्याख्या

परिभाषा के अनुसार, tan A = sin A / cos A। इसे दिए गए व्यंजक में प्रतिस्थापित करने पर: x = tan² A - sin² A x = (sin² A / cos² A) - sin² A

दोनों पदों से sin² A को गुणनखंडित करने पर: x = sin² A (1 / cos² A - 1)

चूंकि 1 / cos² A = sec² A, व्यंजक सरल हो जाता है: x = sin² A (sec² A - 1)

मौलिक त्रिकोणमितीय सर्वसमिका sec² A - 1 = tan² A का उपयोग करने पर: x = sin² A tan² A

गुणनखंडों को पुनर्व्यवस्थित करने पर: x = tan² A sin² A

व्याख्या

मान लीजिए सागर की दक्षता 1 इकाई/दिन है। चूँकि सागर को अकेले काम पूरा करने में 18 दिन लगते हैं, तो कुल काम 18 इकाई है। मधुर, सागर से 2 गुना तेजी से काम करता है, जिसका अर्थ है कि मधुर की दक्षता 2 इकाई/दिन है। साथ मिलकर काम करने पर उनकी संयुक्त दक्षता 1 + 2 = 3 इकाई/दिन है। इसलिए, उन दोनों को मिलकर काम खत्म करने में लगने वाला समय 18 / 3 = 6 दिन है।

व्याख्या

मूल बस किराए और बढ़े हुए बस किराए का अनुपात 11 : 18 दिया गया है। इसका मतलब है कि यदि मूल किराए को 11 इकाई के रूप में दर्शाया जाता है, तो नया किराया 18 इकाई के रूप में दर्शाया जाता है।

किराए में वृद्धि नए किराए और मूल किराए के बीच के अंतर के अनुरूप है: किराए में वृद्धि = 18 इकाई - 11 इकाई = 7 इकाई

मूल किराया ₹550 दिया गया है। इसलिए, 11 इकाई = ₹550 1 इकाई का मान = 550 / 11 = ₹50

किराए में वृद्धि ज्ञात करने के लिए: किराए में वृद्धि = 7 इकाई = 7 × 50 = ₹350

व्याख्या

किसी भी उत्तल बहुफलक (convex polyhedron) के लिए यूलर का सूत्र फलकों (F), शीर्षों (V) और किनारों (E) की संख्या को इस प्रकार संबंधित करता है:

F + V - E = 2

एक नियमित द्वादशफलक (regular dodecahedron) में 12 पंचकोणीय फलक होते हैं, जिसका अर्थ है F = 12। किनारों की संख्या E = 30 दी गई है।

इन मानों को यूलर के सूत्र में प्रतिस्थापित करने पर:

12 + V - 30 = 2

V - 18 = 2

V = 20

व्याख्या

द्विपद के वर्ग के लिए बीजगणितीय सर्वसमिका का उपयोग करके:

(x + y)² = x² + y² + 2xy

दिए गए मान x² + y² = 100 और xy = 22 को सूत्र में प्रतिस्थापित करें:

(x + y)² = 100 + 2 × 22 (x + y)² = 100 + 44 (x + y)² = 144

दोनों पक्षों का वर्गमूल लेने पर:

x + y = √144 = 12

व्याख्या

एक द्विघात समीकरण ax² + bx + c = 0 के मूल समान होते हैं जब उसका विविक्तकर, D = b² - 4ac, शून्य के बराबर होता है।

समीकरण 4x² + 8x + 4 = 0 के लिए, गुणांक a = 4, b = 8, और c = 4 हैं।

विविक्तकर की गणना: D = 8² - 4 × 4 × 4 D = 64 - 64 D = 0

चूंकि विविक्तकर शून्य है, समीकरण के वास्तविक और समान मूल हैं। वैकल्पिक रूप से, समीकरण का गुणनखंड करने पर 4(x² + 2x + 1) = 4(x + 1)² = 0 प्राप्त होता है, जिससे x = -1 के दो समान मूल मिलते हैं।

व्याख्या

विभाजन सूत्र के अनुसार, यदि कोई बिंदु P, A(x₁, y₁) और B(x₂, y₂) को मिलाने वाले रेखाखंड को आंतरिक रूप से m:n के अनुपात में विभाजित करता है, तो P के निर्देशांक इस प्रकार दिए जाते हैं: P_x = (m × x₂ + n × x₁) / (m + n) P_y = (m × y₂ + n × y₁) / (m + n)

बिंदुओं A(x, 0), B(0, y), अनुपात m:n = 2:5, और P(5, -2) के निर्देशांकों को प्रतिस्थापित करने पर: 5 = (2 × 0 + 5 × x) / (2 + 5) 5 = 5x / 7 5x = 35 x = 7

इसी प्रकार, y-निर्देशांक के लिए: -2 = (2 × y + 5 × 0) / (2 + 5) -2 = 2y / 7 2y = -14 y = -7

व्याख्या

मान लीजिए दो छात्रों द्वारा प्राप्त अंक x और y हैं, जहाँ x, y से अधिक है।

दी गई जानकारी के आधार पर, उनके अंकों का अंतर 20 है: x - y = 20

और अधिक अंक उनके अंकों के योग का 55% है: x = 0.55 × (x + y)

इस समीकरण में x = y + 20 रखने पर: y + 20 = 0.55 × (2y + 20) y + 20 = 1.1y + 11 0.1y = 9 y = 90

x के लिए हल करने के लिए पहले संबंध का उपयोग करना: x = 90 + 20 = 110

व्याख्या

औसत बोनस ज्ञात करने के लिए, सबसे पहले प्रत्येक श्रेणी के कर्मचारियों को दिए गए कुल बोनस की गणना करें:

प्रबंधकों के लिए: प्रबंधकों की संख्या = 3 प्रति प्रबंधक वार्षिक वेतन = ₹54,00,000 प्रति प्रबंधक बोनस = ₹54,00,000 का 60% = ₹32,40,000 प्रबंधकों के लिए कुल बोनस = 3 × ₹32,40,000 = ₹97,20,000

कार्यकारियों के लिए: कार्यकारियों की संख्या = 6 प्रति कार्यकारी वार्षिक वेतन = ₹16,00,000 प्रति कार्यकारी बोनस = ₹16,00,000 का 20% = ₹3,20,000 कार्यकारियों के लिए कुल बोनस = 6 × ₹3,20,000 = ₹19,20,000

प्रशिक्षुओं के लिए: प्रशिक्षुओं की संख्या = 1 प्रति प्रशिक्षु वार्षिक वेतन = ₹2,00,000 प्रति प्रशिक्षु बोनस = ₹2,00,000 का 20% = ₹40,000 प्रशिक्षुओं के लिए कुल बोनस = 1 × ₹40,000 = ₹40,000

अब, समग्र मानों की गणना करें: कुल बोनस = ₹97,20,000 + ₹19,20,000 + ₹40,000 = ₹1,16,80,000 कर्मचारियों की कुल संख्या = 3 + 6 + 1 = 10

प्रति कर्मचारी औसत बोनस = कुल बोनस ÷ कर्मचारियों की कुल संख्या औसत बोनस = ₹1,16,80,000 ÷ 10 = ₹11,68,000

व्याख्या

सही युग्म ज्ञात करने के लिए, हम वर्ष 2012 और 2014 के लिए तीनों कंपनियों के निर्यात का योग ज्ञात करते हैं।

2012 में कुल निर्यात = 2000 + 1000 + 5000 = 8000 लाख रुपये।

2014 में कुल निर्यात = 3000 + 1000 + 4000 = 8000 लाख रुपये।

चूंकि 2012 और 2014 दोनों में कुल निर्यात 8000 लाख रुपये के बराबर है, इसलिए इस वर्ष युग्म में कुल निर्यात बराबर है।

व्याख्या

5 वर्षों में कंपनी के कुल लाभ या हानि का पता लगाने के लिए, हम प्रत्येक वर्ष के लाभ और हानि का योग ज्ञात करते हैं:

कुल लाभ या हानि = 2011 में लाभ/हानि + 2012 में लाभ/हानि + 2013 में लाभ/हानि + 2014 में लाभ/हानि + 2015 में लाभ/हानि

दिए गए मानों को प्रतिस्थापित करने पर:

कुल = (-10) + (-20) + (-5) + 20 + 25

कुल = -35 + 45

कुल = 10

10 का धनात्मक परिणाम 5 साल की अवधि में 10 करोड़ रुपये के शुद्ध लाभ को दर्शाता है।

व्याख्या

निर्यात का कुल मूल्य सभी श्रेणियों के मूल्यों को जोड़कर गणना की जाती है: कुल निर्यात = 500 + 825 + 550 + 850 + 750 = 3475 मिलियन अमेरिकी डॉलर सॉफ्टवेयर निर्यात का मूल्य 825 मिलियन अमेरिकी डॉलर है।

यह पता लगाने के लिए कि सॉफ्टवेयर निर्यात कुल निर्यात का कितना प्रतिशत है, निम्नलिखित सूत्र का उपयोग किया जाता है: प्रतिशत = (सॉफ्टवेयर निर्यात / कुल निर्यात) × 100 प्रतिशत = (825 / 3475) × 100 ≈ 23.74%

व्याख्या

24a²b² को 6b² से विभाजित करने के लिए, हम संख्यात्मक गुणांकों और बीजगणितीय पदों को अलग-अलग विभाजित करते हैं:

(24a²b²) / (6b²) = (24 / 6) × a² × (b² / b²)

मानों की गणना करने पर:

24 / 6 = 4 b² / b² = 1

इन मानों को वापस व्यंजक में प्रतिस्थापित करने पर:

4 × a² × 1 = 4a²

व्याख्या

मान लीजिए एक्सप्रेस ट्रेन की गति E है और राजधानी की गति R है। मान लीजिए राजधानी को 612 किमी की यात्रा करने में t घंटे लगते हैं।

शुरुआत में, एक्सप्रेस ट्रेन को राजधानी से 9 घंटे अधिक लगते हैं, इसलिए उसका समय t + 9 घंटे है।

जब एक्सप्रेस ट्रेन की गति दोगुनी कर दी जाती है, तो उसकी यात्रा का समय आधा हो जाता है, जो (t + 9)/2 घंटे हो जाता है। इस दोगुनी गति पर, उसे राजधानी से 3 घंटे कम लगते हैं:

(t + 9)/2 = t - 3

t + 9 = 2t - 6

t = 15

इस प्रकार, राजधानी को 612 किमी की दूरी तय करने में 15 घंटे लगते हैं।

राजधानी की गति है:

गति = दूरी / समय = 612 / 15 = 40.8 किमी/ घंटा

व्याख्या

हम मानक त्रिकोणमितीय सर्वसमिका का उपयोग करते हैं: cosec²A - 1 = cot²A

इसे दिए गए व्यंजक में प्रतिस्थापित करने पर: x = 1 / √(cosec²A - 1) x = 1 / √cot²A x = 1 / cotA

व्युत्क्रम सर्वसमिका 1 / cotA = tanA का उपयोग करने पर, हमें प्राप्त होता है: x = tanA

व्याख्या

प्रदीप 14 दिनों में काम का 1/4 भाग पूरा करता है। इसलिए, प्रदीप द्वारा अकेले पूरा काम करने में लिया गया समय 14 × 4 = 56 दिन है।

काम का शेष भाग 1 - 1/4 = 3/4 है। साकिब इस शेष 3/4 काम को 56 दिनों में पूरा करता है। इस प्रकार, साकिब द्वारा अकेले पूरा काम करने में लिया गया समय 56 × 4/3 = 224/3 दिन है।

एक दिन में, प्रदीप काम का 1/56 भाग करता है, और साकिब काम का 3/224 भाग करता है।

एक दिन में उनका संयुक्त कार्य 1/56 + 3/224 = (4 + 3)/224 = 7/224 है।

काम को एक साथ पूरा करने में उन्हें लगने वाले दिनों की संख्या उनके संयुक्त दैनिक कार्य का व्युत्क्रम है, जो कि 224/7 = 32 दिन है।

व्याख्या

cosec 3π/4 का मान ज्ञात करने के लिए, हम व्युत्क्रम संबंध cosec θ = 1/sin θ का उपयोग करते हैं।

कोण 3π/4 दूसरे चतुर्थांश में स्थित है, जहाँ साइन फलन धनात्मक होता है। हम कोण को इस प्रकार व्यक्त कर सकते हैं: sin(3π/4) = sin(π - π/4) = sin(π/4)

चूंकि sin π/4 = 1/√2 है, इसलिए हमारे पास है: cosec 3π/4 = 1/sin(3π/4) = 1/(1/√2) = √2

व्याख्या

मान लीजिए दो क्रमागत प्राकृत संख्याएँ x और x + 1 हैं।

उनके वर्गों का योग इस प्रकार दिया गया है: x² + (x + 1)² = 145

इस द्विघात समीकरण का विस्तार और सरलीकरण करने पर: x² + x² + 2x + 1 = 145 2x² + 2x - 144 = 0

पूरे समीकरण को 2 से विभाजित करने पर: x² + x - 72 = 0

द्विघात समीकरण का गुणनखंड करने पर: (x + 9)(x - 8) = 0

इससे x = 8 या x = -9 प्राप्त होता है। चूँकि प्रश्न में प्राकृत संख्याओं का उल्लेख है, x धनात्मक होना चाहिए, इसलिए x = 8।

क्रमागत प्राकृत संख्याएँ 8 और 9 हैं। इसकी पुष्टि उनके वर्गों के योग की जाँच करके की जाती है: 8² + 9² = 64 + 81 = 145।

व्याख्या

हम उभयनिष्ठ हर लेकर दिए गए त्रिकोणमितीय व्यंजक को सरल करते हैं:

[sin A / (1 + cos A)] + [(1 + cos A) / sin A]

= [sin² A + (1 + cos A)²] / [sin A (1 + cos A)]

अंश का विस्तार करने पर:

= [sin² A + 1 + 2 cos A + cos² A] / [sin A (1 + cos A)]

चूंकि sin² A + cos² A = 1 है, हम इसे सरल करने के लिए प्रतिस्थापित कर सकते हैं:

= [1 + 1 + 2 cos A] / [sin A (1 + cos A)]

= [2 + 2 cos A] / [sin A (1 + cos A)]

= 2(1 + cos A) / [sin A (1 + cos A)]

अंश और हर दोनों से उभयनिष्ठ पद (1 + cos A) को रद्द करने पर प्राप्त होता है:

= 2 / sin A

= 2 cosec A

व्याख्या

किसी भी दो अंकों की संख्या को उसके अंकों के स्थानीय मान के रूप में व्यक्त किया जा सकता है: संख्या = 10 × (दहाई के स्थान पर अंक) + (इकाई के स्थान पर अंक)

दिया गया है कि दहाई के स्थान पर अंक 8 है और इकाई के स्थान पर अंक z है, इन मानों को सूत्र में प्रतिस्थापित करने पर प्राप्त होता है: संख्या = 10 × 8 + z = 80 + z

व्याख्या

मान लीजिए एक घड़ी का विक्रय मूल्य SP और एक घड़ी का क्रय मूल्य CP है।

दी गई शर्त के अनुसार, 17 घड़ियों पर लाभ 7 घड़ियों के विक्रय मूल्य के बराबर है।

17 घड़ियों पर लाभ = 17 घड़ियों का विक्रय मूल्य - 17 घड़ियों का क्रय मूल्य 7 × SP = 17 × SP - 17 × CP 17 × CP = 17 × SP - 7 × SP 17 × CP = 10 × SP CP / SP = 10 / 17

यह एक घड़ी के क्रय मूल्य का उसके विक्रय मूल्य से अनुपात 10 से 17 देता है। इस प्रकार, 10 के क्रय मूल्य पर, अर्जित लाभ 17 - 10 = 7 है।

लाभ प्रतिशत = (लाभ / क्रय मूल्य) × 100 लाभ प्रतिशत = (7 / 10) × 100 = 70%

व्याख्या

तीनों प्रभागों का संयुक्त माध्य भारित माध्य सूत्र का उपयोग करके गणना की जाती है:

भारित माध्य = (n₁x̄₁ + n₂x̄₂ + n₃x̄₃) / (n₁ + n₂ + n₃)

प्रभाग-A के लिए, n₁ = 30 और x̄₁ = 67। प्रभाग-B के लिए, n₂ = 55 और x̄₂ = 63। प्रभाग-C के लिए, n₃ = 40 और x̄₃ = 61।

इन मानों को प्रतिस्थापित करने पर:

भारित माध्य = (30 × 67 + 55 × 63 + 40 × 61) / (30 + 55 + 40) भारित माध्य = (2010 + 3465 + 2440) / 125 भारित माध्य = 7915 / 125 भारित माध्य = 63.32

व्याख्या

एक समांतर चतुर्भुज ABCD में, सम्मुख भुजाएँ समानांतर होती हैं। इसका मतलब है कि भुजा AD, भुजा BC के समानांतर है, और परिणामस्वरूप, रेखा AD की ढाल रेखा BC की ढाल के बराबर है।

बिंदुओं B(-2, 3) और C(-1, 4) से गुजरने वाली रेखा की ढाल m की गणना ढाल सूत्र का उपयोग करके की जाती है: m = (y₂ - y₁) / (x₂ - x₁) m = (4 - 3) / (-1 - (-2)) = 1 / 1 = 1

चूंकि AD, BC के समानांतर है, रेखा AD की ढाल भी 1 है।

बिंदु-ढाल रूप का उपयोग करके, बिंदु A(5, 0) से गुजरने वाली रेखा AD का समीकरण है: y - y₁ = m(x - x₁) y - 0 = 1(x - 5) y = x - 5