एसएससी सीएचएसएल टियर 1 2016 मात्रात्मक अभिक्षमता प्रश्न — हल सहित

व्याख्या

सही उत्तर: D

द्विपद व्यंजक (7 - 4x) का वर्ग मानक बीजगणितीय सर्वसमिका का उपयोग करके गणना की जाती है:

(a - b)² = a² - 2ab + b²

सूत्र में a = 7 और b = 4x प्रतिस्थापित करने पर:

(7 - 4x)² = 7² - 2 × 7 × 4x + (4x)²

प्रत्येक पद की गणना करने पर:

7² = 49

2 × 7 × 4x = 56x

(4x)² = 16x²

इन पदों को मिलाने पर प्राप्त होता है:

49 - 56x + 16x²

x की घातों के अवरोही क्रम में पदों को पुनर्व्यवस्थित करने पर प्राप्त होता है:

16x² - 56x + 49

व्याख्या

साधारण ब्याज केवल मूलधन पर गणना की जाती है और प्रत्येक वर्ष के लिए स्थिर रहती है। दो वर्षों की अवधि के लिए, कुल साधारण ब्याज ₹ 3000 है, जिसका अर्थ है कि प्रत्येक व्यक्तिगत वर्ष के लिए साधारण ब्याज है: 3000 ÷ 2 = ₹ 1500

पहले वर्ष के लिए चक्रवृद्धि ब्याज साधारण ब्याज के बराबर होता है, जो कि ₹ 1500 है।

दो वर्षों के लिए कुल चक्रवृद्धि ब्याज ₹ 3225 है। दो वर्षों के लिए चक्रवृद्धि ब्याज और साधारण ब्याज के बीच का अंतर पहले वर्ष के ब्याज पर दूसरे वर्ष अर्जित ब्याज का प्रतिनिधित्व करता है। यह अंतर है: 3225 - 3000 = ₹ 225

इस प्रकार, ₹ 225 वह ब्याज है जो ₹ 1500 के पहले वर्ष के ब्याज पर एक वर्ष में अर्जित किया गया है। ब्याज दर R की गणना इस प्रकार की जाती है: R = (225 × 100) ÷ 1500 R = 225 ÷ 15 = 15 प्रतिशत

व्याख्या

मान लीजिए टोस्टर का अंकित मूल्य M है।

10% की छूट का मतलब है कि विक्रय मूल्य अंकित मूल्य का 90% है: 0.90 × M = 18000 M = 18000 / 0.90 = 20000

जब छूट 37.5% है, तो विक्रय मूल्य अंकित मूल्य का 100% - 37.5% = 62.5% है: विक्रय मूल्य = 20000 × 0.625 = 12500

व्याख्या

उत्तीर्ण अंक = 61 + 29 = 90

चूंकि उत्तीर्ण अंक अधिकतम अंकों का 24% दर्शाते हैं, हम लिख सकते हैं:

अधिकतम अंकों का 24% = 90

मान लीजिए M अधिकतम अंक हैं।

0.24 × M = 90

M = 90 / 0.24

M = 9000 / 24

M = 375

व्याख्या

x के मान ज्ञात करने के लिए, हम दो दी गई असमानताओं को हल करते हैं।

पहली असमानता: 7 + 3x ≥ 5 - x/2

पूरी असमानता को 2 से गुणा करने पर: 14 + 6x ≥ 10 - x

दोनों पक्षों में x जोड़ने पर: 14 + 7x ≥ 10

दोनों पक्षों से 14 घटाने पर: 7x ≥ -4 x ≥ -4/7 ≈ -0.57

दूसरी असमानता: 2x + 3 ≤ 5 - 2x

दोनों पक्षों में 2x जोड़ने पर: 4x + 3 ≤ 5

दोनों पक्षों से 3 घटाने पर: 4x ≤ 2 x ≤ ½ = 0.5

दोनों परिणामों को मिलाकर, हम x के लिए सीमा पाते हैं: -4/7 ≤ x ≤ ½

मान 0 इस अंतराल के भीतर आता है।

व्याख्या

दो संख्याओं a और b के लिए, उनका तृतीय समानुपाती c संबंध a : b = b : c द्वारा परिभाषित होता है, जिससे सूत्र प्राप्त होता है:

c = b² / a

दिए गए मान a = 9 और b = 15 को प्रतिस्थापित करने पर:

c = 15² / 9

c = 225 / 9

c = 25

व्याख्या

x² - Sx + P = 0 के रूप के द्विघात समीकरण के लिए, मूलों का योग S और मूलों का गुणनफल P होता है।

इसकी तुलना दिए गए समीकरण x² - 25x + 156 = 0 से करने पर: मूलों का योग (S) = 25 मूलों का गुणनफल (P) = 156

हम मध्य पद -25x को दो भागों में विभाजित करके मूल ज्ञात कर सकते हैं जिनका योग -25 हो और गुणनफल 156 हो। ये दो संख्याएँ -12 और -13 हैं।

x² - 12x - 13x + 156 = 0 x(x - 12) - 13(x - 12) = 0 (x - 12)(x - 13) = 0

इससे मूल प्राप्त होते हैं: x = 12 x = 13

व्याख्या

जब एक शंकु को पिघलाकर उसी त्रिज्या वाले बेलन में ढाला जाता है, तो आयतन संरक्षित रहता है।

बेलन का आयतन = शंकु का आयतन

π × r² × h_बेलन = ⅓ × π × r² × h_शंकु

चूंकि बेलन और शंकु दोनों के लिए त्रिज्या (r) समान है, हम दोनों पक्षों से π × r² को रद्द कर सकते हैं:

h_बेलन = ⅓ × h_शंकु

शंकु की दी गई ऊंचाई (h_शंकु = 9.6 सेमी) को प्रतिस्थापित करने पर:

h_बेलन = ⅓ × 9.6 = 3.2 सेमी

व्याख्या

इस समीकरण में पदों का विस्तार करने पर: 4x(x + 3) + 7 = 4x(x - 11) + 9 4x² + 12x + 7 = 4x² - 44x + 9

दोनों पक्षों से 4x² घटाने पर समीकरण सरल हो जाता है: 12x + 7 = -44x + 9 56x - 2 = 0

एक द्विघात समीकरण ax² + bx + c = 0 के रूप का होना चाहिए, जहाँ a ≠ 0। इस सरलीकृत समीकरण में, x² पद पूरी तरह से रद्द हो जाते हैं, जिससे एक प्रथम-डिग्री रैखिक समीकरण बचता है। चूँकि x² पद का गुणांक 0 है, यह एक द्विघात समीकरण नहीं है।

व्याख्या

मान लीजिए एक घड़ी का विक्रय मूल्य S है और एक घड़ी का क्रय मूल्य C है।

दी गई शर्त के अनुसार, 9 घड़ियाँ बेचने पर लाभ 4 घड़ियों के विक्रय मूल्य के बराबर है: 9S - 9C = 4S 5S = 9C

लाभ प्रतिशत का सूत्र है: लाभ प्रतिशत = (लाभ / कुल क्रय मूल्य) × 100

मान रखने पर: लाभ प्रतिशत = (4S / 9C) × 100 लाभ प्रतिशत = (4S / 5S) × 100 = (4/5) × 100 = 80%

व्याख्या

हमें रैखिक समीकरणों की प्रणाली दी गई है: 2x + 3y = 0 (समीकरण 1) 3x - 4y = 34 (समीकरण 2)

समीकरण 1 से, हम x को y के पदों में व्यक्त कर सकते हैं: 2x = -3y x = -3/2 y

इस x के मान को समीकरण 2 में प्रतिस्थापित करने पर: 3(-3/2 y) - 4y = 34 -9/2 y - 4y = 34 -17/2 y = 34 y = -4

अब, x ज्ञात करने के लिए y = -4 को वापस प्रतिस्थापित करने पर: x = -3/2 × (-4) = 6

x और y के मानों का उपयोग करके, हम आवश्यक व्यंजक की गणना करते हैं: x - y = 6 - (-4) = 6 + 4 = 10

व्याख्या

मान लीजिए वर्ग की भुजा a है। भुजा की लंबाई a वाले वर्ग का विकर्ण सूत्र d = a√2 द्वारा दिया जाता है।

यह देखते हुए कि विकर्ण 14√2 सेमी है, हम समीकरण स्थापित करते हैं: a√2 = 14√2 a = 14 सेमी

एक वर्ग के अंदर अंतर्निहित वृत्त के लिए, वृत्त का व्यास वर्ग की भुजा की लंबाई के बराबर होता है। इसलिए, वृत्त की त्रिज्या r वर्ग की भुजा की लंबाई का आधा होती है: r = a/2 = 14/2 = 7 सेमी

वृत्त का क्षेत्रफल सूत्र πr² द्वारा दिया जाता है। π = 22/7 का मान प्रयोग करते हुए: क्षेत्रफल = (22/7) × 7² = (22/7) × 49 = 22 × 7 = 154 वर्ग सेमी

व्याख्या

चूंकि त्रिभुज PQR में ST, QR के समानांतर है, संगत कोण ∠PST और ∠PQR बराबर हैं, और ∠PTS और ∠PRQ बराबर हैं। इसलिए, कोण-कोण (AA) समरूपता से, त्रिभुज PST, त्रिभुज PQR के समरूप है।

बिंदु S, भुजा PQ को आंतरिक रूप से 4:1 के अनुपात में विभाजित करता है, जिसका अर्थ है PS:SQ = 4:1। कुल लंबाई PQ, PS + SQ द्वारा दर्शायी जाती है। छोटे त्रिभुज की भुजा PS और बड़े त्रिभुज की भुजा PQ का अनुपात है:

PS/PQ = PS / (PS + SQ) = 4 / (4 + 1) = 4/5

समरूप त्रिभुजों के लिए, संगत भुजाओं का अनुपात बराबर होता है:

ST/QR = PS/PQ

समीकरण में QR = 15 सेमी का दिया गया मान रखने पर:

ST/15 = 4/5

ST = (4/5) × 15 = 12 सेमी

व्याख्या

x का मान ज्ञात करने के लिए, हम एक सामान्य हर (common denominator) लेकर दिए गए बीजीय व्यंजक को सरल कर सकते हैं: x = 1/(1 + cosA) + 1/(1 - cosA) x = ((1 - cosA) + (1 + cosA)) / ((1 + cosA)(1 - cosA))

अंश (numerator) को सरल करके और हर (denominator) में पदों को (a - b)(a + b) = a² - b² सर्वसमिका का उपयोग करके गुणा करके, हमें प्राप्त होता है: x = 2 / (1 - cos²A)

मूल त्रिकोणमितीय सर्वसमिका sin²A + cos²A = 1 का उपयोग करके, हम 1 - cos²A को sin²A से प्रतिस्थापित कर सकते हैं: x = 2 / sin²A

चूंकि cosecA = 1/sinA, व्यंजक बन जाता है: x = 2cosec²A

व्याख्या

मान लीजिए तीन संख्याएँ a, b और c हैं।

तीन संख्याओं का औसत 64 है, जिसका अर्थ है कि उनका योग है: a + b + c = 3 × 64 = 192

पहली संख्या, a, अन्य दो संख्याओं, b और c के योग का 1/3 गुना है: a = (b + c) / 3 b + c = 3a

योग समीकरण में b + c का मान रखने पर: a + 3a = 192 4a = 192 a = 192 / 4 = 48

व्याख्या

मानक त्रिकोणमितीय मान हैं: cos 45° = 1/√2 sec 30° = 2/√3

इन मानों को दिए गए समीकरण में प्रतिस्थापित करने पर: x = cos 45° - sec 30° x = 1/√2 - 2/√3

सामान्य हर के रूप में √2 × √3 = √6 लेने पर: x = (1 × √3 - 2 × √2) / √6 x = (√3 - 2√2)/√6

व्याख्या

अजित और बद्रीनाथ की क्षमता का अनुपात 2 : 1 है। चूँकि क्षमता किसी कार्य को पूरा करने में लगने वाले समय के व्युत्क्रमानुपाती होती है, इसलिए अजित और बद्रीनाथ द्वारा लिया गया समय का अनुपात 1 : 2 है।

मान लीजिए अजित द्वारा कार्य पूरा करने में लिया गया समय x दिन है। इसका मतलब है कि बद्रीनाथ 2x दिन लेता है।

प्रश्न के अनुसार, अजित बद्रीनाथ की तुलना में 30 दिन कम में काम पूरा करता है: 2x - x = 30 x = 30

इसलिए, अजित को व्यक्तिगत रूप से काम पूरा करने में 30 दिन लगते हैं और बद्रीनाथ को 60 दिन लगते हैं।

साथ मिलकर काम करते हुए, लगने वाला समय है: (अजित द्वारा लिया गया समय × बद्रीनाथ द्वारा लिया गया समय) / (अजित द्वारा लिया गया समय + बद्रीनाथ द्वारा लिया गया समय) = (30 × 60) / (30 + 60) = 1800 / 90 = 20 दिन

व्याख्या

त्रिकोणमितीय व्यंजक cosecA - cotA को फलन को साइन और कोसाइन के पदों में लिखकर सरल बनाया जा सकता है:

cosecA - cotA = 1/sinA - cosA/sinA = (1 - cos A)/sin A

इस व्यंजक का व्युत्क्रम लेने पर प्राप्त होता है:

1/(cosecA - cotA) = sin A / (1 - cos A)

अर्ध-कोण त्रिकोणमितीय सर्वसमिकाओं का उपयोग करके, हम जानते हैं कि:

sin A = 2 sin(A/2) cos(A/2) 1 - cos A = 2 sin²(A/2)

इन सर्वसमिकाओं को व्यंजक में प्रतिस्थापित करने पर:

1/(cosecA - cotA) = [2 sin(A/2) cos(A/2)] / [2 sin²(A/2)]

अंश और हर से उभयनिष्ठ पद 2 और sin(A/2) को रद्द करके भिन्न को सरल बनाने पर:

1/(cosecA - cotA) = cos(A/2) / sin(A/2) = cot(A/2)

चूंकि cot(A/2) = x है, इसलिए x = 1/(cosecA - cotA) है।

व्याख्या

किसी वर्ग का क्षेत्रफल उसके विकर्ण d के पदों में सूत्र द्वारा दिया जाता है:

क्षेत्रफल = ½ × d²

दिए गए विकर्ण की लंबाई d = 10 सेमी को सूत्र में प्रतिस्थापित करने पर:

क्षेत्रफल = ½ × 10² क्षेत्रफल = ½ × 100 क्षेत्रफल = 50 वर्ग सेमी

व्याख्या

जब कोई वस्तु दो अलग-अलग गति, v₁ और v₂, से समान दूरी तय करती है, तो पूरी यात्रा के लिए औसत गति दो गतियों के हरात्मक माध्य (harmonic mean) द्वारा दी जाती है:

औसत गति = 2v₁v₂ / (v₁ + v₂)

दिया गया है: जाने की गति (v₁) = 32 किमी/घंटा वापस आने की गति (v₂) = 68 किमी/घंटा

इन मानों को सूत्र में प्रतिस्थापित करने पर:

औसत गति = (2 × 32 × 68) / (32 + 68) औसत गति = 4352 / 100 औसत गति = 43.52 किमी/घंटा

व्याख्या

दी गई रेखा का समीकरण 3x - 6y = 4 है।

ढलान ज्ञात करने के लिए, हम इस समीकरण को मानक ढलान-अवरोधन रूप, y = mx + c में बदलते हैं, जहाँ m रेखा के ढलान को दर्शाता है:

6y = 3x - 4

पूरे समीकरण को 6 से विभाजित करने पर:

y = (3/6)x - 4/6

y = ½x - ⅔

इसकी तुलना y = mx + c से करने पर, दी गई रेखा का ढलान m ½ है।

चूंकि समानांतर रेखाओं के ढलान समान होते हैं, इसलिए रेखा 3x - 6y = 4 के समानांतर किसी भी रेखा का ढलान भी ½ होगा।

व्याख्या

माना मालगाड़ी की गति v किमी/घंटा है।

जब दूसरी ट्रेन स्टेशन से गुजरती है, तो मालगाड़ी पहले ही 5 घंटे यात्रा कर चुकी होती है। दूसरी ट्रेन को मालगाड़ी को ओवरटेक करने में फिर 9 घंटे लगते हैं। इसका मतलब है कि मालगाड़ी स्टेशन से उस बिंदु तक जहां उसे ओवरटेक किया जाता है, कुल 14 घंटे (5 + 9) तक यात्रा करती है।

चूंकि दोनों ट्रेनें स्टेशन से ओवरटेकिंग बिंदु तक समान दूरी तय करती हैं, इसलिए दूरी = गति × समय के संबंध का उपयोग करके उनकी दूरियों को बराबर किया जा सकता है।

70 किमी/घंटा की गति से 9 घंटे में दूसरी ट्रेन द्वारा तय की गई दूरी है: 70 × 9 = 630 किमी

मालगाड़ी 14 घंटे में 630 किमी की यही दूरी तय करती है: 14 × v = 630 v = 630 / 14 v = 45 किमी/घंटा

व्याख्या

वजन से ऊंचाई का अनुपात प्रत्येक व्यक्ति के वजन को उसकी ऊंचाई से विभाजित करके निर्धारित किया जाता है।

आरोही के लिए, वजन से ऊंचाई का अनुपात 55 ÷ 1.61 ≈ 34.16 है।

आरती के लिए, अनुपात 68 ÷ 1.65 ≈ 41.21 है।

आरुषि के लिए, अनुपात 71 ÷ 1.68 ≈ 42.26 है।

आशा के लिए, अनुपात 59 ÷ 1.56 ≈ 37.82 है।

इन अनुपातों की तुलना करने पर, आरोही का मान 34.16 सबसे छोटा है, जो सबसे कम वजन से ऊंचाई का अनुपात है।

व्याख्या

कंपनी का सबसे कम प्रतिशत लाभ 10% है, जो वर्ष 2013 में हुआ था।

राजस्व, व्यय और लाभ प्रतिशत के बीच संबंध सूत्र द्वारा दिया गया है:

राजस्व = व्यय × (1 + % लाभ / 100)

यह देखते हुए कि सबसे कम प्रतिशत लाभ वाले वर्ष में व्यय 275 करोड़ रुपये है और प्रतिशत लाभ 10% है:

राजस्व = 275 × (1 + 10 / 100) राजस्व = 275 × 1.1 राजस्व = 302.5 करोड़

व्याख्या

प्रति घर बच्चों की औसत संख्या भारित माध्य के सूत्र का उपयोग करके निकाली जाती है:

औसत = ∑(f_i × x_i) / ∑(f_i)

जहाँ x_i बच्चों की संख्या को दर्शाता है और f_i घरों की संख्या (आवृत्ति) को दर्शाता है।

सबसे पहले, समाज में बच्चों की कुल संख्या की गणना करें: कुल बच्चे = (0 × 4) + (1 × 13) + (2 × 10) + (3 × 5) = 0 + 13 + 20 + 15 = 48

इसके बाद, घरों की कुल संख्या की गणना करें: कुल घर = 4 + 13 + 10 + 5 = 32

औसत ज्ञात करने के लिए बच्चों की कुल संख्या को घरों की कुल संख्या से विभाजित करें: औसत = 48 / 32 = 1.5

व्याख्या

कंपनी ने कुल छह लाख शेयर जारी किए हैं, जो 6,00,000 शेयरों के बराबर है।

डेटा तालिका के अनुसार, एजाज की कंपनी में 35% हिस्सेदारी है।

एजाज द्वारा रखे गए शेयरों की प्रारंभिक संख्या की गणना इस प्रकार की जाती है: 6,00,000 का 35% = (35/100) × 6,00,000 = 2,10,000 शेयर

जब बासु अपने 15,000 शेयर एजाज को बेचता है, तो ये शेयर सीधे एजाज की मौजूदा हिस्सेदारी में जुड़ जाते हैं।

एजाज द्वारा रखे गए शेयरों की नई कुल संख्या है: 2,10,000 + 15,000 = 2,25,000 शेयर

व्याख्या

चूंकि प्रत्येक वस्तु का अंकित मूल्य समान है, इसलिए व्यक्तिगत छूटों के भारित औसत का उपयोग करके प्रभावी छूट की सीधे गणना की जा सकती है।

राबिया 5 वस्तुएँ खरीदती है, जिन्हें 33% छूट पर 4 वस्तुओं और 22% छूट पर 1 वस्तु के रूप में समूहीकृत किया गया है।

प्रभावी छूट प्रतिशत = (4 वस्तुओं पर छूट दर × 4 + 1 वस्तु पर छूट दर × 1) ÷ वस्तुओं की कुल संख्या

मानों को प्रतिस्थापित करने पर:

प्रभावी छूट प्रतिशत = (33 × 4 + 22 × 1) ÷ (4 + 1) = (132 + 22) ÷ 5 = 154 ÷ 5 = 30.8%

व्याख्या

मान लीजिए दो संख्याएँ a और b हैं।

a और b का माध्य समानुपात निम्न सूत्र द्वारा दिया जाता है: √(ab) = 8

दोनों पक्षों का वर्ग करने पर: ab = 64 a = 64/b

a और b का तृतीय समानुपात निम्न सूत्र द्वारा दिया जाता है: b²/a = 64

a के मान को तृतीय समानुपात सूत्र में प्रतिस्थापित करने पर: b² / (64/b) = 64 b³ / 64 = 64 b³ = 4096 b = 16

b = 16 को a के समीकरण में वापस प्रतिस्थापित करने पर: a = 64 / 16 a = 4

इस प्रकार, दो संख्याएँ 4 और 16 हैं।

व्याख्या

मान लीजिए बलदेव को काम पूरा करने में x दिन लगते हैं। चूँकि आकाश बलदेव से 3 गुना अच्छा कारीगर है, इसलिए आकाश को वही काम पूरा करने में x/3 दिन लगते हैं।

यह देखते हुए कि आकाश बलदेव की तुलना में 40 दिन कम में काम पूरा करता है: x - x/3 = 40 2x/3 = 40 x = 60

इस प्रकार, बलदेव को काम पूरा करने में 60 दिन लगते हैं, और आकाश को 20 दिन लगते हैं।

जब वे एक साथ काम करते हैं तो लगने वाले समय का पता लगाने के लिए, हम संयुक्त कार्य के सूत्र का उपयोग करते हैं: संयुक्त समय = (आकाश द्वारा लिया गया समय × बलदेव द्वारा लिया गया समय) / (आकाश द्वारा लिया गया समय + बलदेव द्वारा लिया गया समय) संयुक्त समय = (20 × 60) / (20 + 60) = 1200 / 80 = 15 दिन।

व्याख्या

चक्रवृद्धि ब्याज का सूत्र है: A = P(1 + R/100)ⁿ

यहाँ, राशि (A) 23328 रुपये है, मूलधन (P) 20000 रुपये है, और समय (n) 2 वर्ष है। इन मानों को सूत्र में प्रतिस्थापित करने पर: 23328 = 20000(1 + R/100)²

अनुपात को सरल बनाने के लिए दोनों पक्षों को 20000 से विभाजित करें: 23328 / 20000 = (1 + R/100)² 11664 / 10000 = (1 + R/100)²

दोनों पक्षों का वर्गमूल लेने पर: √(11664 / 10000) = 1 + R/100 108 / 100 = 1 + R/100 1.08 = 1 + R/100 R / 100 = 0.08 R = 8

व्याख्या

समरूप त्रिभुजों के गुणधर्म के अनुसार, दो समरूप त्रिभुजों के क्षेत्रफलों का अनुपात उनकी संगत भुजाओं के अनुपात के वर्ग के बराबर होता है। इस संबंध को इस प्रकार व्यक्त किया जाता है:

क्षेत्रफल(ΔABC) / क्षेत्रफल(ΔPQR) = (AB / PQ)²

दिए गए मानों को सूत्र में प्रतिस्थापित करने पर:

324 / क्षेत्रफल(ΔPQR) = (18 / 12)²

संगत भुजाओं के अनुपात 18/12 को 3/2 तक सरल करने पर:

324 / क्षेत्रफल(ΔPQR) = (3 / 2)²

324 / क्षेत्रफल(ΔPQR) = 9 / 4

क्षेत्रफल(ΔPQR) = (324 × 4) / 9

क्षेत्रफल(ΔPQR) = 36 × 4 = 144 वर्ग सेमी

व्याख्या

बिंदुओं (x₁, y₁) और (x₂, y₂) से गुजरने वाली रेखा का ढलान m सूत्र द्वारा दिया जाता है: m = (y₂ - y₁) / (x₂ - x₁)

दिए गए बिंदुओं (8, -2) और (3, -1) को सूत्र में प्रतिस्थापित करने पर: m = (-1 - (-2)) / (3 - 8) = 1 / -5 = -1/5

दो लंबवत रेखाओं के ढलानों का गुणनफल -1 होता है। यदि mₚ लंबवत रेखा के ढलान को दर्शाता है, तो: m × mₚ = -1 (-1/5) × mₚ = -1 mₚ = 5

व्याख्या

किसी भी n-कोणीय प्रिज्म के लिए, किनारों की संख्या 3n होती है और शीर्षों की संख्या 2n होती है, जहाँ n आधार बहुभुज की भुजाओं की संख्या को दर्शाता है। चूँकि एक पंचकोणीय प्रिज्म का आधार एक पाँच-भुजाओं वाला पंचभुज होता है, इसलिए n = 5। किनारों की संख्या 3 × 5 = 15 है, और शीर्षों की संख्या 2 × 5 = 10 है।

व्याख्या

57 और 93 का अभाज्य गुणनखंडन इस प्रकार है: 57 = 3 × 19 93 = 3 × 31

दो संख्याओं का लघुत्तम समापवर्त्य (LCM) दोनों संख्याओं में शामिल प्रत्येक अभाज्य गुणनखंड की उच्चतम घात का गुणनफल होता है।

LCM(57, 93) = 3 × 19 × 31 = 1767

वैकल्पिक रूप से, LCM और महत्तम समापवर्तक (GCD) के बीच संबंध का उपयोग करके: LCM(a, b) = (a × b) / GCD(a, b)

57 और 93 के बीच एकमात्र उभयनिष्ठ अभाज्य गुणनखंड 3 है, जिससे GCD(57, 93) = 3 होता है। LCM(57, 93) = (57 × 93) / 3 = 19 × 93 = 1767

व्याख्या

वृत्त का क्षेत्रफल सूत्र A = πr² द्वारा दिया जाता है, जहाँ r वृत्त की त्रिज्या है।

πr² = 49π r² = 49 r = 7 सेमी

वृत्त का व्यास त्रिज्या का दोगुना होता है: d = 2r = 2 × 7 = 14 सेमी

चूंकि वर्ग की भुजा (s) वृत्त के व्यास के बराबर है: s = 14 सेमी

वर्ग का क्षेत्रफल सूत्र s² द्वारा दिया जाता है: क्षेत्रफल = 14² = 196 वर्ग सेमी

व्याख्या

ऋणात्मक कोणों के लिए त्रिकोणमितीय सर्वसमिका का उपयोग करते हुए: sec(-θ) = sec(θ)

θ = 5π/4 के लिए, यह देता है: sec(-5π/4) = sec(5π/4)

हम कोण 5π/4 को (π + π/4) के रूप में लिख सकते हैं। चूँकि तीसरे चतुर्थांश में सेकेंट ऋणात्मक होता है, हमारे पास है: sec(π + π/4) = -sec(π/4)

मानक त्रिकोणमितीय मान sec(π/4) = √2 का उपयोग करते हुए, हमें प्राप्त होता है: x = -√2

व्याख्या

5 वस्तुओं का कुल अंकित मूल्य 5 × रु 500 = रु 2500 है।

5 वस्तुएँ खरीदने पर छूट ज्ञात करने के लिए, हम खरीद को 2 वस्तुओं के समूह और 3 वस्तुओं के समूह में विभाजित करते हैं:

2 वस्तुओं का अंकित मूल्य = 2 × रु 500 = रु 1000 2 वस्तुओं पर छूट = रु 1000 का 8% = रु 80

3 वस्तुओं का अंकित मूल्य = 3 × रु 500 = रु 1500 3 वस्तुओं पर छूट = रु 1500 का 16% = रु 240

कुल छूट राशि = रु 80 + रु 240 = रु 320

प्रभावी छूट प्रतिशत = (कुल छूट / कुल अंकित मूल्य) × 100 प्रभावी छूट प्रतिशत = (320 / 2500) × 100 = 12.8%

व्याख्या

अर्ध-कोण त्रिकोणमितीय सर्वसमिकाओं का उपयोग करके, हम sin A और cos A को अर्ध-कोण A/2 के पदों में व्यक्त कर सकते हैं:

sin A = 2 sin(A/2) cos(A/2)

1 + cos A = 2 cos²(A/2)

इन व्यंजकों को sin A / (1 + cos A) अनुपात में प्रतिस्थापित करने पर:

sin A / (1 + cos A) = (2 sin(A/2) cos(A/2)) / (2 cos²(A/2))

अंश और हर से 2 cos(A/2) के उभयनिष्ठ गुणनखंड को रद्द करके भिन्न को सरल बनाने पर प्राप्त होता है:

sin A / (1 + cos A) = sin(A/2) / cos(A/2) = tan(A/2)

यह देखते हुए कि tan(A/2) = x है, हमें प्राप्त होता है:

x = sin A / (1 + cos A)

व्याख्या

दिया गया व्यंजक: x = 2 sec A - (1 + sin A)/cos A

सर्वसमिका sec A = 1/cos A का प्रयोग करके, हम समीकरण को इस प्रकार लिख सकते हैं: x = 2/cos A - (1 + sin A)/cos A

समान हर पर पदों को संयोजित करते हुए: x = (2 - (1 + sin A))/cos A x = (1 - sin A)/cos A

अब, अंश और हर दोनों को (1 + sin A) से गुणा करें: x = ((1 - sin A)(1 + sin A))/(cos A(1 + sin A)) x = (1 - sin² A)/(cos A(1 + sin A))

मूल त्रिकोणमितीय सर्वसमिका 1 - sin² A = cos² A का प्रयोग करते हुए, व्यंजक सरल हो जाता है: x = cos² A/(cos A(1 + sin A)) x = cos A/(1 + sin A)

व्याख्या

2 वर्षों की अवधि के लिए चक्रवृद्धि ब्याज और साधारण ब्याज के बीच का अंतर मानक सूत्र द्वारा दिया जाता है:

D = P × (R / 100)²

जहाँ D चक्रवृद्धि और साधारण ब्याज के बीच का अंतर है, P मूल धनराशि है, और R प्रति वर्ष ब्याज की दर है।

दिया गया है: अंतर (D) = रु 45 ब्याज की दर (R) = 5%

इन मानों को सूत्र में प्रतिस्थापित करने पर:

45 = P × (5 / 100)²

45 = P × (1 / 20)²

45 = P / 400

P = 45 × 400

P = 18000

व्याख्या

r% की कमी के बाद किसी मूल्य को उसके मूल मूल्य पर बहाल करने के लिए आवश्यक प्रतिशत वृद्धि का सूत्र है:

प्रतिशत वृद्धि = (r / (100 - r)) × 100

कमी की दी गई दर, r = 33 को प्रतिस्थापित करने पर:

प्रतिशत वृद्धि = (33 / (100 - 33)) × 100 = (33 / 67) × 100 = 3300 / 67 ≈ 49.25%

व्याख्या

यदि तीन संख्याएँ a, b, और c सतत समानुपात में हैं, तो c को a और b का तृतीय समानुपाती कहा जाता है, जिसे संबंध a/b = b/c द्वारा परिभाषित किया जाता है।

तृतीय समानुपाती c को हल करने के लिए इस सूत्र को पुनर्व्यवस्थित करने पर:

c = b² / a

दिए गए मानों, a = 9 और b = 24 को प्रतिस्थापित करने पर:

c = 24² / 9

c = 576 / 9

c = 64

व्याख्या

एक अर्धगोले का कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल TSA = 3πr² सूत्र द्वारा दिया जाता है, जहाँ r त्रिज्या को दर्शाता है।

दिए गए कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल 166.32 वर्ग सेमी को प्रतिस्थापित करके और π का मान 22/7 का उपयोग करके: 166.32 = 3 × (22/7) × r² 166.32 = (66/7) × r² r² = (166.32 × 7) / 66 r² = 2.52 × 7 r² = 17.64 r = √17.64 r = 4.2 सेमी

व्याख्या

किन्हीं दो समरूप त्रिभुजों के लिए, उनके परिमापों का अनुपात उनकी संगत भुजाओं के अनुपात के बराबर होता है। चूँकि ΔABC, ΔDEF के समरूप है, इसलिए ΔABC के परिमाप का ΔDEF के परिमाप से अनुपात AB : DE के बराबर है। AB = 18 सेमी और DE = 10 सेमी की दी गई भुजा लंबाइयों को प्रतिस्थापित करने पर, परिमापों का अनुपात 18 : 10 है, जो सरल होकर 9 : 5 हो जाता है।

व्याख्या

अर्धगोले का आयतन सूत्र द्वारा दिया जाता है:

V = (2/3) × π × r³

त्रिज्या r = 7 सेमी और π ≈ 22/7 को सूत्र में प्रतिस्थापित करने पर:

V = (2/3) × (22/7) × 7³

V = (2/3) × 22 × 49

V = 2156 / 3

V ≈ 718.67 घन सेमी

व्याख्या

जब गति और यात्रा के समय में अंतर ज्ञात हो तो दो बिंदुओं के बीच की दूरी की गणना सीधे संबंध का उपयोग करके की जा सकती है:

दूरी = (गतियों का गुणनफल / गतियों का अंतर) × समय का अंतर

दिया गया है: पहली कार की गति = 36 किमी/घंटा दूसरी कार की गति = 48 किमी/घंटा समय का अंतर = 3 घंटे

इन मानों को सूत्र में प्रतिस्थापित करने पर:

दूरी = (36 × 48 / (48 - 36)) × 3 दूरी = (36 × 48 / 12) × 3 दूरी = 3 × 48 × 3 दूरी = 432 किमी

व्याख्या

माना एक टाइटन घड़ी का विक्रय मूल्य S है।

13 टाइटन घड़ियों का कुल विक्रय मूल्य 13S है।

इन 13 घड़ियों को बेचने से अर्जित लाभ 3 घड़ियों के विक्रय मूल्य के बराबर है, जो कि 3S है।

संबंध का उपयोग करके: लाभ = विक्रय मूल्य - क्रय मूल्य

हमें प्राप्त होता है: 3S = 13S - क्रय मूल्य

क्रय मूल्य = 13S - 3S = 10S

लाभ प्रतिशत की गणना इस प्रकार की जाती है: लाभ प्रतिशत = (लाभ / क्रय मूल्य) × 100

मानों को प्रतिस्थापित करने पर: लाभ प्रतिशत = (3S / 10S) × 100 = 30%

व्याख्या

दो रेखाएँ लंबवत होती हैं यदि उनके ढालों का गुणनफल -1 हो।

दी गई रेखा 20x + 5y = 3 है, जिसे इस प्रकार लिखा जा सकता है: 5y = -20x + 3 y = -4x + 3/5

इसकी तुलना y = mx + c से करने पर, इस रेखा का ढाल (m₁) -4 है।

चूंकि दूसरी रेखा लंबवत है, इसका ढाल (m₂) निम्नलिखित को संतुष्ट करना चाहिए: m₁ × m₂ = -1 -4 × m₂ = -1 m₂ = 1/4

बिंदुओं (-2,5) और (6,b) से गुजरने वाली रेखा का ढाल निम्न सूत्र का उपयोग करके ज्ञात किया जाता है: m₂ = (y₂ - y₁) / (x₂ - x₁) 1/4 = (b - 5) / (6 - (-2)) 1/4 = (b - 5) / 8

दोनों पक्षों को 8 से गुणा करने पर: 2 = b - 5 b = 7

व्याख्या

n भुजाओं वाले बहुभुज के आंतरिक कोणों का योग निम्न सूत्र द्वारा दिया जाता है: योग = (n - 2) × 180°

एक द्वादशभुज (dodecagon) 12 भुजाओं वाला एक बहुभुज होता है, जिसका अर्थ है n = 12।

सूत्र में n का मान रखने पर: योग = (12 - 2) × 180° योग = 10 × 180° योग = 1800°

व्याख्या

A, 20 दिनों में 80% कार्य पूरा करता है, जिसका अर्थ है कि A की दैनिक कार्य दर 80% ÷ 20 = 4% प्रति दिन है।

शेष 20% कार्य A और B मिलकर 4 दिनों में पूरा करते हैं। इस प्रकार, उनकी संयुक्त दैनिक कार्य दर 20% ÷ 4 = 5% प्रति दिन है।

B की दैनिक कार्य दर संयुक्त दर में से A की दर घटाने पर प्राप्त होती है: 5% - 4% = 1% प्रति दिन।

1% प्रति दिन की दर से अकेले 100% कार्य पूरा करने के लिए, B को आवश्यकता होगी: 100% ÷ 1% = 100 दिन।