एसएससी सीएचएसएल टियर 1 2016 मात्रात्मक अभिक्षमता प्रश्न — हल सहित

व्याख्या

मान लीजिए संख्या x है। सही गणना x का 6/5 है, और गलत गणना x का 5/6 है।

त्रुटि सही मान और गलत मान के बीच का अंतर है: त्रुटि = 6x/5 - 5x/6 = (36x - 25x)/30 = 11x/30

प्रतिशत त्रुटि की गणना इस प्रकार की जाती है: प्रतिशत त्रुटि = (त्रुटि / सही मान) × 100% प्रतिशत त्रुटि = ((11x/30) / (6x/5)) × 100% प्रतिशत त्रुटि = (11/30) × (5/6) × 100% प्रतिशत त्रुटि = (11 / 36) × 100% प्रतिशत त्रुटि = 1100 / 36% ≈ 30.56%

यह सीधे गणना में 30.56% त्रुटि देता है।

व्याख्या

2 वर्षों की अवधि के लिए, मूलधन P पर वार्षिक ब्याज दर R पर चक्रवृद्धि ब्याज और साधारण ब्याज के बीच का अंतर निम्न सूत्र द्वारा दिया जाता है:

CI - SI = P × (R/100)²

यह देखते हुए कि अंतर ₹900 है और दर R 12% है, हम इन मानों को सूत्र में प्रतिस्थापित कर सकते हैं:

900 = P × (12/100)²

900 = P × (3/25)²

900 = P × (9/625)

P = (900 × 625) / 9

P = 100 × 625

P = 62500

धन राशि ₹62500 है।

व्याख्या

x के मान ज्ञात करने के लिए, हम दी गई संयुक्त असमानता को दो अलग-अलग असमानताओं में विभाजित करते हैं।

पहली असमानता है: 6x + 2(6 - x) > 2x - 2

इसे सरल बनाने पर: 6x + 12 - 2x > 2x - 2 4x + 12 > 2x - 2 2x > -14 x > -7

दूसरी असमानता है: 2x - 2 < 5x/2 - 3x/4

भिन्नों को हटाने के लिए, हम सभी पदों को 4 से गुणा करते हैं: 8x - 8 < 10x - 3x 8x - 8 < 7x x < 8

दोनों असमानताओं को मिलाने पर x के लिए सीमा प्राप्त होती है: -7 < x < 8

मान 5 इस असमानता को संतुष्ट करता है।

व्याख्या

पतंग को ऐसे चतुर्भुज के रूप में परिभाषित किया गया है जिसमें बराबर लंबाई की दो अलग-अलग आसन्न भुजाओं के जोड़े होते हैं। यदि हम एक पतंग ABCD पर विचार करें जहाँ AB = AD और CB = CD है, तो हम एक विकर्ण AC खींच सकते हैं। यह विकर्ण पतंग को दो त्रिभुजों, ABC और ADC में विभाजित करता है। इन त्रिभुजों में, AB = AD और CB = CD है, जबकि AC एक उभयनिष्ठ भुजा है। भुजा-भुजा-भुजा (SSS) सर्वांगसमता प्रमेय द्वारा, त्रिभुज ABC, त्रिभुज ADC के सर्वांगसम है। इस सर्वांगसमता के परिणामस्वरूप, संगत कोण ABC और ADC एक दूसरे के बराबर होने चाहिए। चूँकि ये दोनों कोण एक दूसरे के सम्मुख हैं, इसलिए पतंग में हमेशा सर्वांगसम सम्मुख कोणों का कम से कम एक युग्म होता है।

व्याख्या

25 क्विंटल चावल का कुल क्रय मूल्य ₹1825 है। 20% लाभ कमाने के लिए, कुल वांछित विक्रय मूल्य की गणना इस प्रकार की जाती है:

कुल विक्रय मूल्य = 1825 × 1.20 = ₹2190

चूंकि परिवहन में 27% चावल खराब हो जाता है, बिक्री के लिए उपलब्ध चावल की मात्रा है:

शेष मात्रा = 25 × (1 - 0.27) = 18.25 क्विंटल

प्रति क्विंटल विक्रय मूल्य, कुल विक्रय मूल्य को चावल की शेष मात्रा से विभाजित करके प्राप्त किया जाता है:

प्रति क्विंटल विक्रय दर = 2190 / 18.25 = ₹120 प्रति क्विंटल

व्याख्या

दो द्विपदों (x + a)(x + b) के गुणनफल का विस्तार सूत्र x² + (a + b)x + ab द्वारा दिया जाता है।

(x + 3)(x - 1) की इस सूत्र से तुलना करने पर, हमें a = 3 और b = -1 प्राप्त होता है।

इन मानों को सूत्र में प्रतिस्थापित करने पर:

x² + (3 - 1)x + (3 × (-1))

पदों को सरल करने पर प्राप्त होता है:

x² + 2x - 3

व्याख्या

मान लीजिए वह संख्या x है। दी गई शर्त के अनुसार:

(4/5) × (6/7) × x = 216

बाईं ओर के भिन्नों को गुणा करने पर:

(24/35) × x = 216

x के लिए हल करने पर:

x = (216 × 35) / 24 x = 9 × 35 x = 315

अब, हम इस संख्या का 8/9वाँ भाग ज्ञात करते हैं:

(8/9) × 315 = 8 × 35 = 280

व्याख्या

मान लीजिए कि प्रारंभ में चयनित और अचयनित उम्मीदवारों की संख्या क्रमशः 9x और 2x है। प्रारंभ में आवेदन करने वाले उम्मीदवारों की कुल संख्या 9x + 2x = 11x है।

नई शर्त के अनुसार: आवेदन करने वाले उम्मीदवारों की संख्या 11x - 80 हो जाती है। चयनित उम्मीदवारों की संख्या 9x - 20 हो जाती है। अचयनित उम्मीदवारों की संख्या (11x - 80) - (9x - 20) = 2x - 60 हो जाती है।

चूंकि चयनित और अचयनित का नया अनुपात 5:1 है, हम लिख सकते हैं: (9x - 20) / (2x - 60) = 5 / 1

समीकरण को तिरछा गुणा करने पर: 9x - 20 = 5(2x - 60) 9x - 20 = 10x - 300 10x - 9x = 300 - 20 x = 280

प्रारंभ में आवेदन करने वाले उम्मीदवारों की संख्या है: 11x = 11 × 280 = 3080।

व्याख्या

त्रिकोणमितीय फलनों के मानक मानों का उपयोग करते हुए: sin 30° = ½ cos 45° = 1/√2

हम हर का परिमेयकरण करके 1/√2 को √2/2 के रूप में लिख सकते हैं।

इन मानों को X के समीकरण में प्रतिस्थापित करने पर: X = sin 30° + cos 45° X = ½ + √2/2 X = (1 + √2)/2

व्याख्या

मान लीजिए दो-अंकीय संख्या को 10x + y के रूप में दर्शाया गया है, जहाँ x दहाई का अंक है और y इकाई का अंक है।

दी गई शर्तों के अनुसार, अंकों का गुणनफल है: x × y = 18

संख्या में 63 जोड़ने पर उसके अंक पलट जाते हैं: 10x + y + 63 = 10y + x 9y - 9x = 63 y - x = 7

y = x + 7 को गुणनफल समीकरण में प्रतिस्थापित करें: x(x + 7) = 18 x² + 7x - 18 = 0 (x + 9)(x - 2) = 0

चूंकि x एक दो-अंकीय संख्या का अंक है, यह एक धनात्मक एकल-अंकीय पूर्णांक होना चाहिए, जिससे x = 2 प्राप्त होता है। y = x + 7 का उपयोग करके, हमें y = 9 प्राप्त होता है।

इस प्रकार, दहाई का अंक 2 है और इकाई का अंक 9 है, जिससे संख्या 29 बनती है।

व्याख्या

मान लीजिए सोमदेव, गुरदीप और रितु के वजन क्रमशः S, G और R हैं।

संबंध योग = औसत × प्रेक्षणों की संख्या का उपयोग करते हुए: सोमदेव, गुरदीप और रितु के वजन का योग है: S + G + R = 3 × 85 = 255 किग्रा

सोमदेव और गुरदीप के वजन का योग है: S + G = 2 × 79 = 158 किग्रा

गुरदीप और रितु के वजन का योग है: G + R = 2 × 73 = 146 किग्रा

इन दो समीकरणों को जोड़ने पर प्राप्त होता है: S + 2G + R = 158 + 146 = 304 किग्रा

इस संयुक्त समीकरण से तीनों (S + G + R) का योग घटाने पर गुरदीप का वजन प्राप्त होता है: G = (S + 2G + R) - (S + G + R) G = 304 - 255 = 49 किग्रा

व्याख्या

माना मालगाड़ी की गति v किमी/घंटा है।

मालगाड़ी दूसरी ट्रेन से 4 घंटे पहले स्टेशन से गुजरती है। 72 किमी/घंटा की गति से यात्रा करने वाली दूसरी ट्रेन, स्टेशन से गुजरने के 8 घंटे बाद मालगाड़ी को ओवरटेक कर लेती है।

इसका मतलब है कि जब तक दूसरी ट्रेन मालगाड़ी को ओवरटेक करती है, तब तक मालगाड़ी कुल 4 + 8 = 12 घंटे यात्रा कर चुकी होती है। दूसरी ट्रेन ने 8 घंटे यात्रा की है।

चूंकि दोनों ट्रेनें अपनी माप एक ही स्टेशन से शुरू करती हैं और ओवरटेकिंग बिंदु पर मिलती हैं, वे समान दूरी तय करती हैं:

मालगाड़ी द्वारा तय की गई दूरी = दूसरी ट्रेन द्वारा तय की गई दूरी v × 12 = 72 × 8 v = (72 × 8) / 12 v = 6 × 8 v = 48 किमी/घंटा

व्याख्या

दो बिंदुओं (x₁, y₁) और (x₂, y₂) को मिलाने वाले रेखाखंड के मध्य बिंदु M(x, y) के निर्देशांक मध्य बिंदु सूत्र का उपयोग करके निकाले जाते हैं:

x = (x₁ + x₂)/2 y = (y₁ + y₂)/2

सूत्र में C(3, -5) और D(-7, 3) के निर्देशांक प्रतिस्थापित करने पर:

x = (3 + (-7))/2 = -4/2 = -2 y = (-5 + 3)/2 = -2/2 = -1

मध्य बिंदु के निर्देशांक (-2, -1) हैं।

व्याख्या

प्रतिच्छेदन बिंदु M ज्ञात करने के लिए, हम पहले मूल बिंदु से गुजरने वाली रेखा का समीकरण ज्ञात करते हैं जो दी गई रेखा 2x + 3y = 6 के लंबवत है।

रेखा L₁: 2x + 3y = 6 का ढलान m₁ = -2/3 है।

चूंकि दूसरी रेखा L₂ , L₁ के लंबवत है और मूल बिंदु (0, 0) से होकर गुजरती है, इसका ढलान m₂ है: m₂ = -1 / m₁ = 3/2

L₂ का समीकरण है: y = (3/2)x

प्रतिच्छेदन बिंदु M ज्ञात करने के लिए, हम L₁ के समीकरण में y = (3/2)x को प्रतिस्थापित करते हैं: 2x + 3((3/2)x) = 6 2x + (9/2)x = 6

इस बीजगणितीय व्यंजक को सरल करने पर प्राप्त होता है: 2x + 9x = 6 11x = 6 x = 6/11

x = 6/11 को L₂ के समीकरण में वापस प्रतिस्थापित करने पर प्राप्त होता है: y = (3/2) × (6/11) = 9/11

इस प्रकार, बिंदु M के निर्देशांक (6/11, 9/11) हैं।

व्याख्या

मान लीजिए परियोजना का कुल कार्य 6 और 12 का लघुत्तम समापवर्त्य है, जो कि 12 इकाई है।

P की दैनिक कार्य क्षमता 12 ÷ 6 = 2 इकाई प्रति दिन है। Q की दैनिक कार्य क्षमता 12 ÷ 12 = 1 इकाई प्रति दिन है। जब वे एक साथ काम करते हैं तो उनकी संयुक्त दैनिक कार्य क्षमता 2 + 1 = 3 इकाई प्रति दिन होती है।

परियोजना के 25% को पूरा करने के लिए आवश्यक समय ज्ञात करने के लिए, हम पहले कुल कार्य का 25% ज्ञात करते हैं: 12 इकाई का 25% = 0.25 × 12 = 3 इकाई।

इस हिस्से को पूरा करने में उन्हें लगने वाले दिनों की संख्या है: किया जाने वाला कार्य ÷ संयुक्त क्षमता = 3 इकाई ÷ 3 इकाई प्रति दिन = 1 दिन।

व्याख्या

त्रिज्या r और संगत केंद्रीय कोण θ वाले वृत्त की चाप की लंबाई L का सूत्र है:

L = (θ / 360°) × 2πr

यह देखते हुए कि चाप की लंबाई L = 33 सेमी और केंद्रीय कोण θ = 90° है, हम त्रिज्या ज्ञात करने के लिए π ≈ 22/7 का उपयोग करके इन मानों को प्रतिस्थापित कर सकते हैं:

33 = (90 / 360) × 2 × (22 / 7) × r

33 = (1 / 4) × (44 / 7) × r

33 = (11 / 7) × r

r के लिए हल करने के लिए समीकरण को पुनर्व्यवस्थित करना:

r = (33 × 7) / 11

r = 3 × 7

r = 21 सेमी

व्याख्या

जब एक गोले को एक बेलनाकार पात्र में पूरी तरह से डुबोया जाता है, तो विस्थापित पानी की मात्रा गोले के आयतन के बराबर होती है।

मान लीजिए पानी के स्तर में वृद्धि h है।

गोले का आयतन = 4/3 × π × (गोले की त्रिज्या)³ बेलन में विस्थापित पानी का आयतन = π × (बेलन की त्रिज्या)² × h

दोनों आयतनों को बराबर करने पर: π × 6² × h = 4/3 × π × 5³

समीकरण को सरल बनाने पर: 36 × h = 500/3 h = 500 / (3 × 36) h = 500 / 108 h = 125 / 27 h ≈ 4.63 सेमी

व्याख्या

20 या उससे अधिक लेकिन 40 से कम अंक प्राप्त करने वाले छात्रों की संख्या की गणना 20 या उससे अधिक अंक प्राप्त करने वाले छात्रों की संख्या में से 40 या उससे अधिक अंक प्राप्त करने वाले छात्रों की संख्या को घटाकर की जाती है।

दिए गए डेटा तालिका से, 20 या उससे अधिक अंक प्राप्त करने वाले छात्रों की संख्या 55 है, और 40 या उससे अधिक अंक प्राप्त करने वाले छात्रों की संख्या 26 है।

घटाव लागू करने पर: 55 - 26 = 29

व्याख्या

2015 की शुरुआत में सकल घरेलू उत्पाद (जीडीपी) 2014 के अंत में सकल घरेलू उत्पाद (जीडीपी) के बराबर है।

2013 के अंत में देश का सकल घरेलू उत्पाद (जीडीपी) 1 ट्रिलियन दिया गया है। 2014 के लिए सकल घरेलू उत्पाद (जीडीपी) वृद्धि दर 6% है।

2014 के अंत में सकल घरेलू उत्पाद (जीडीपी) की गणना निम्न सूत्र का उपयोग करके की जा सकती है:

2014 के अंत में सकल घरेलू उत्पाद (जीडीपी) = 2013 के अंत में सकल घरेलू उत्पाद (जीडीपी) × (1 + 2014 की वृद्धि दर / 100)

दिए गए मानों को सूत्र में प्रतिस्थापित करने पर:

2014 के अंत में सकल घरेलू उत्पाद (जीडीपी) = 1 × (1 + 6/100) = 1 × 1.06 = 1.06 ट्रिलियन अमेरिकी डॉलर

चूंकि 2014 के अंत में सकल घरेलू उत्पाद (जीडीपी) 2015 की शुरुआत में सकल घरेलू उत्पाद (जीडीपी) के समान है, इसलिए 2015 की शुरुआत में सकल घरेलू उत्पाद (जीडीपी) 1.06 ट्रिलियन था।

व्याख्या

औसत अंकों का सूत्र है: औसत = अंकों का योग / विषयों की संख्या

सबसे पहले, सभी पाँच विषयों में प्राप्त अंकों का योग ज्ञात करें: अंकों का योग = 80 + 40 + 30 + 80 + 30 = 260

चूंकि 5 विषय हैं, कटौती से पहले छात्र के औसत अंक हैं: औसत = 260 ÷ 5 = 52

खराब उपस्थिति के लिए 5 अंक काटने के बाद शुद्ध औसत अंक हैं: शुद्ध औसत = 52 - 5 = 47

यह गणना अंतिम शुद्ध औसत अंक के रूप में 47 देती है।

व्याख्या

मान लीजिए मूल संख्या x है।

संख्या में 24 की वृद्धि करने पर वह स्वयं का 110% हो जाती है, जो 10% की वृद्धि को दर्शाता है (क्योंकि 110% - 100% = 10%)।

इसलिए, संख्या का 10% 24 के बराबर है।

संख्या का 10% = 24 0.10 × x = 24 x = 24 ÷ 0.10 x = 240

व्याख्या

भिन्न 3596 / 4292 को उसके निम्नतम पदों तक घटाने के लिए, यूक्लिडियन एल्गोरिथम का उपयोग करके अंश (numerator) और हर (denominator) का महत्तम समापवर्तक (GCD) ज्ञात करें:

4292 = 3596 × 1 + 696 3596 = 696 × 5 + 116 696 = 116 × 6 + 0

3596 और 4292 का GCD 116 है। अंश और हर दोनों को 116 से विभाजित करने पर प्राप्त होता है:

अंश: 3596 ÷ 116 = 31 हर: 4292 ÷ 116 = 37

यह भिन्न को 31/37 तक सरल बनाता है।

व्याख्या

A 15 दिनों में 60% (जो कि 3/5 है) कार्य पूरा करता है।

A की प्रति दिन कार्य करने की दर कुल कार्य का (3/5) ÷ 15 = 1/25 है।

पूरा किया जाने वाला शेष कार्य 100% - 60% = 40% (जो कि 2/5 है) है।

A और B मिलकर इस शेष 2/5 कार्य को 5 दिनों में पूरा करते हैं।

A और B की प्रति दिन कार्य करने की संयुक्त दर कुल कार्य का (2/5) ÷ 5 = 2/25 है।

B की प्रति दिन कार्य करने की दर, A की दर को संयुक्त दर से घटाकर प्राप्त की जाती है:

B की दर = 2/25 - 1/25 = 1/25 कार्य प्रति दिन।

चूंकि B एक दिन में 1/25 कार्य करता है, इसलिए B अकेले पूरे कार्य को 25 दिनों में पूरा करेगा।

व्याख्या

मानक त्रिकोणमितीय मानों का उपयोग करके: cot 60° = 1/√3 cosec 60° = 2/√3

इन मानों को दिए गए समीकरण में प्रतिस्थापित करने पर: x = cot 60° + cosec 60° x = 1/√3 + 2/√3 x = (1 + 2)/√3 x = 3/√3 x = √3

व्याख्या

जब दूरी D स्थिर होती है, तो दो गति S₁, S₂ और यात्रा के समय के अंतर Δt के बीच संबंध सूत्र द्वारा दिया जाता है:

D = (S₁ × S₂ × Δt) / (S₂ - S₁)

दिए गए मानों को प्रतिस्थापित करने पर, S₁ = 42 किमी/घंटा, S₂ = 60 किमी/घंटा, और Δt = 2 घंटे:

D = (42 × 60 × 2) / (60 - 42)

D = 5040 / 18

D = 280 किमी

व्याख्या

साइन के लिए अर्ध-कोण त्रिकोणमितीय सर्वसमिका का उपयोग करते हुए: sin²(θ) = (1 - cos(2θ))/2

सर्वसमिका में θ = A/2 प्रतिस्थापित करने पर: sin²(A/2) = (1 - cos A)/2

दोनों पक्षों का वर्गमूल लेने पर: sin(A/2) = √( (1 - cos A)/2 )

यह दिया गया है कि x = √( (1 - cos A)/2 ), हमें सीधे प्राप्त होता है: x = sin(A/2)

व्याख्या

हम विकल्प C में व्यंजक को सरल करके दिखा सकते हैं कि यह 1 + sec A के बराबर है।

व्यंजक से शुरू करते हुए: sin A tan A / (1 - cos A)

सर्वसमिका tan A = sin A / cos A का उपयोग करते हुए, हमें प्राप्त होता है: sin A × (sin A / cos A) / (1 - cos A) = sin² A / [cos A (1 - cos A)]

पाइथागोरस सर्वसमिका sin² A = 1 - cos² A का उपयोग करके, हम अंश को फिर से लिख सकते हैं: (1 - cos² A) / [cos A (1 - cos A)]

अंश पर बीजगणितीय सर्वसमिका a² - b² = (a - b)(a + b) लागू करने पर: (1 - cos A)(1 + cos A) / [cos A (1 - cos A)]

अंश और हर में उभयनिष्ठ पद (1 - cos A) को रद्द करने पर, हमें प्राप्त होता है: (1 + cos A) / cos A

पद दर पद विभाजित करने पर: 1 / cos A + cos A / cos A = sec A + 1

यह 1 + sec A के समतुल्य है, जो x का दिया गया मान है।

व्याख्या

शंकु में पानी का आयतन बेलनाकार पात्र में पानी के आयतन के बराबर है।

शंकु का आयतन है: V = (1/3) × π × r₁² × h₁

बेलन का आयतन है: V = π × r₂² × h₂

दोनों आयतनों को बराबर करने पर: (1/3) × π × r₁² × h₁ = π × r₂² × h₂

दोनों तरफ से π को रद्द करने पर: (1/3) × r₁² × h₁ = r₂² × h₂

दिए गए मानों को प्रतिस्थापित करने पर, जहाँ शंकु की त्रिज्या r₁ = 7 सेमी और ऊंचाई h₁ = 12 सेमी है, और बेलन की त्रिज्या r₂ = 3.5 सेमी (जिसे 7/2 सेमी लिखा जा सकता है) है: (1/3) × 7² × 12 = (7/2)² × h₂

4 × 49 = (49/4) × h₂

16 × 49 = 49 × h₂

h₂ = 16 सेमी

व्याख्या

एक समबाहु त्रिभुज का क्षेत्रफल सूत्र द्वारा दिया जाता है: क्षेत्रफल = (√3/4)a² जहाँ a त्रिभुज की भुजा की लम्बाई है।

दिए गए क्षेत्रफल 64√3 वर्ग सेमी को सूत्र में प्रतिस्थापित करने पर: 64√3 = (√3/4)a²

दोनों पक्षों को √3 से विभाजित करने पर: 64 = a²/4

दोनों पक्षों को 4 से गुणा करने पर: a² = 256

दोनों पक्षों का वर्गमूल लेने पर: a = √256 a = 16 सेमी

व्याख्या

4 पेन का क्रय मूल्य ₹5 है, और उसी 4 पेन का विक्रय मूल्य ₹3 है।

चूंकि विक्रय मूल्य क्रय मूल्य से कम है, इसलिए इस सौदे में हानि होती है।

हानि = क्रय मूल्य - विक्रय मूल्य = 5 - 3 = ₹2

हानि प्रतिशत = (हानि / क्रय मूल्य) × 100

मान रखने पर:

हानि प्रतिशत = (2 / 5) × 100 = 40%

व्याख्या

10% प्रति वर्ष की दर से 2 वर्षों के लिए चक्रवृद्धि ब्याज की प्रभावी दर क्रमिक प्रतिशत सूत्र का उपयोग करके गणना की जाती है: दर = 10 + 10 + (10 × 10)/100 = 21%

रु. 9000 पर 2 वर्षों के लिए चक्रवृद्धि ब्याज = 9000 का 21% CI = (21/100) × 9000 = रु. 1890

प्रश्न के अनुसार, साधारण ब्याज इस चक्रवृद्धि ब्याज का आधा है: SI = 1890 / 2 = रु. 945

साधारण ब्याज सूत्र का उपयोग करते हुए, SI = (P × R × T)/100, जहाँ P मूलधन है, R दर 18% है, और T समय 3 वर्ष है: 945 = (P × 18 × 3) / 100 945 = 54P / 100 P = (945 × 100) / 54 P = 1750

व्याख्या

दो रेखाओं a₁x + b₁y = c₁ और a₂x + b₂y = c₂ के लंबवत होने के लिए, उनके ढालों का गुणनफल -1 होना चाहिए, जिससे मानक संबंध a₁a₂ + b₁b₂ = 0 प्राप्त होता है।

इनकी तुलना दी गई समीकरणों से करने पर: 4x - y = 1, जहाँ a₁ = 4 और b₁ = -1 5x - ky = 2, जहाँ a₂ = 5 और b₂ = -k

इन मानों को लंबवतता की शर्त में प्रतिस्थापित करने पर: 4 × 5 + (-1) × (-k) = 0 20 + k = 0 k = -20

व्याख्या

संयुक्त समूहों का माध्य भारित माध्य सूत्र का उपयोग करके परिकलित किया जाता है:

भारित माध्य = (n₁x̄₁ + n₂x̄₂ + n₃x̄₃) / (n₁ + n₂ + n₃)

यहाँ, प्रभाग A, B और C में विद्यार्थियों की संख्या क्रमशः n₁ = 55, n₂ = 45 और n₃ = 75 है। संगत माध्य अंक x̄₁ = 58, x̄₂ = 54 और x̄₃ = 52 हैं।

गणना को सरल बनाने के लिए, विद्यार्थियों की संख्या के अनुपात को प्रत्येक को 5 से विभाजित करके कम किया जा सकता है: विद्यार्थियों का अनुपात = 11 : 9 : 15 अनुपात पदों का योग = 11 + 9 + 15 = 35

इन कम किए गए भारों के साथ भारित माध्य सूत्र लागू करना: माध्य = (11 × 58 + 9 × 54 + 15 × 52) / 35 माध्य = (638 + 486 + 780) / 35 माध्य = 1904 / 35 माध्य = 54.4

व्याख्या

वृत्त के चाप की लंबाई का सूत्र है:

चाप की लंबाई = (θ / 360°) × 2πr

दिए गए केंद्रीय कोण θ = 90°, त्रिज्या r = 3.5 सेमी (या 7/2 सेमी) को प्रतिस्थापित करना और π ≈ 22/7 का उपयोग करना:

चाप की लंबाई = (90 / 360) × 2 × (22/7) × (7/2)

चाप की लंबाई = ¼ × 22

चाप की लंबाई = 5.5 सेमी

व्याख्या

मान लीजिए रत्नावली की वर्तमान आयु 8x है और शौकत की 5x है।

दी गई शर्त के अनुसार, 22 वर्ष बाद, उनकी आयु का अनुपात 10:9 हो जाता है। इसे इस प्रकार दर्शाया जा सकता है:

(8x + 22) / (5x + 22) = 10 / 9

पदों को तिरछा गुणा करने पर:

9 × (8x + 22) = 10 × (5x + 22)

72x + 198 = 50x + 220

72x - 50x = 220 - 198

22x = 22

x = 1

इस प्रकार, रत्नावली की वर्तमान आयु 8x = 8 × 1 = 8 वर्ष है।

व्याख्या

भुजा की लंबाई a वाले समबाहु त्रिभुज के क्षेत्रफल का सूत्र है क्षेत्रफल = (√3/4)a²।

यह देखते हुए कि त्रिभुज का क्षेत्रफल 9√3 वर्ग सेमी है, हम भुजा की लंबाई ज्ञात कर सकते हैं:

(√3/4)a² = 9√3

a²/4 = 9

a² = 36

a = 6 सेमी

समबाहु त्रिभुज की ऊँचाई (h) का सूत्र है h = (√3/2)a।

a का मान रखने पर:

h = (√3/2) × 6 = 3√3 सेमी

व्याख्या

छूट प्रतिशत ज्ञात करने के लिए, पहले बिना किसी ऑफर के टिकटों की कुल मूल लागत की गणना करें।

23 वयस्क टिकटों की मूल लागत = 23 × 2200 = ₹ 50600 11 बच्चों के टिकटों की मूल लागत = 11 × 990 = ₹ 10890 कुल मूल लागत = 50600 + 10890 = ₹ 61490

ऑफर के अनुसार, दो वयस्कों के साथ एक बच्चा मुफ्त जाता है। 23 वयस्कों के साथ, समूह में वयस्कों के 11 जोड़े हैं (1 वयस्क शेष)। इसलिए, 11 बच्चों तक मुफ्त जा सकते हैं। चूंकि समूह में ठीक 11 बच्चे हैं, उन सभी को मुफ्त प्रवेश मिलता है।

प्राप्त कुल छूट = 11 बच्चों के टिकटों की लागत = ₹ 10890

छूट प्रतिशत = (कुल छूट ÷ कुल मूल लागत) × 100 छूट प्रतिशत = (10890 ÷ 61490) × 100 = 17.71%

व्याख्या

x का मान ज्ञात करने के लिए, दिए गए रैखिक समीकरण को सरल करें:

(8 - 10x) - (13x - 2) = -9

सबसे पहले, कोष्ठकों को हटाएँ और घटाव चिह्न को वितरित करें:

8 - 10x - 13x + 2 = -9

स्थिरांक पदों और चर पदों को संयोजित करें:

10 - 23x = -9

समीकरण के दोनों पक्षों से 10 घटाएँ:

-23x = -19

दोनों पक्षों को -23 से विभाजित करें:

x = 19/23

व्याख्या

बीजीय सर्वसमिका का प्रयोग करके: (x + y)² = x² + y² + 2xy

दिए गए मान xy = -18 और x² + y² = 85 को सूत्र में प्रतिस्थापित करने पर: (x + y)² = 85 + 2(-18) (x + y)² = 85 - 36 (x + y)² = 49

दोनों पक्षों का वर्गमूल लेने पर प्राप्त होता है: x + y = ±7

व्याख्या

माना संख्या x है। दी गई शर्त के अनुसार, संख्या और उसके व्युत्क्रम के दोगुने के बीच का अंतर 31/4 है:

x - 2/x = 31/4

हर को हटाने के लिए पूरे समीकरण को 4x से गुणा करने पर:

4x² - 8 = 31x

इसे मानक द्विघात समीकरण के रूप में पुनर्व्यवस्थित करने पर:

4x² - 31x - 8 = 0

समीकरण को गुणनखंडित करने के लिए मध्य पद को विभाजित करने पर:

4x² - 32x + x - 8 = 0

4x(x - 8) + 1(x - 8) = 0

(4x + 1)(x - 8) = 0

इससे हल x = 8 और x = -1/4 प्राप्त होते हैं।

व्याख्या

x का मान ज्ञात करने के लिए, हम संयुक्त असमानता को दो अलग-अलग असमानताओं में विभाजित कर सकते हैं और उन्हें हल कर सकते हैं।

सबसे पहले, बाईं ओर की असमानता को हल करें: 2x - 3(x + 2) < 5 - 2x 2x - 3x - 6 < 5 - 2x -x - 6 < 5 - 2x x < 11

अगला, दाईं ओर की असमानता को हल करें: 5 - 2x < -x + 2 5 - 2 < 2x - x 3 < x

दोनों समाधानों को मिलाने पर x के लिए सीमा प्राप्त होती है: 3 < x < 11

मान 10 इस मान्य सीमा के भीतर आता है।

व्याख्या

वजन से ऊंचाई का अनुपात किलोग्राम में वजन को मीटर में ऊंचाई से विभाजित करके निकाला जाता है। अहिल्या के लिए, यह अनुपात 60 ÷ 1.8 = 33.33 है। अन्य व्यक्तियों के अनुपातों, जो लगभग 41.18, 37.5 और 38.07 हैं, की तुलना में, अहिल्या का मान सबसे कम है।

व्याख्या

प्रति घर बच्चों की औसत संख्या भारित माध्य के सूत्र का उपयोग करके निकाली जाती है:

माध्य = ∑(f × x) / ∑f

जहाँ x एक घर में बच्चों की संख्या को दर्शाता है और f आवृत्ति को दर्शाता है, जो घरों की संख्या है।

सबसे पहले, प्रत्येक पंक्ति के लिए बच्चों की संख्या और घरों की संख्या के गुणनफल का योग करके बच्चों की कुल संख्या की गणना करें: (0 × 3) + (1 × 10) + (2 × 12) + (3 × 3) = 0 + 10 + 24 + 9 = 43

इसके बाद, आवृत्तियों का योग करके घरों की कुल संख्या की गणना करें: 3 + 10 + 12 + 3 = 28

अब, औसत ज्ञात करने के लिए बच्चों की कुल संख्या को घरों की कुल संख्या से विभाजित करें: औसत = 43 / 28 ≈ 1.5357

इस मान को दो दशमलव स्थानों तक पूर्णांकित करने पर 1.54 प्राप्त होता है।

व्याख्या

कंपनी द्वारा जारी शेयरों की कुल संख्या 6,00,000 है। धीरज के पास शुरू में कंपनी का 10% हिस्सा है।

धीरज के शुरुआती शेयरों की संख्या = 6,00,000 का 10% = 60,000 शेयर।

जब चिनमय अपने 15,000 शेयर धीरज को बेचता है, तो धीरज की कुल शेयरधारिता उस राशि से बढ़ जाती है।

धीरज के अंतिम शेयरों की संख्या = 60,000 + 15,000 = 75,000 शेयर।

व्याख्या

उन दो व्यंजकों के लिए x का मान ज्ञात करने हेतु जिन्हें वे एक-दूसरे के बराबर बनाते हैं, उन्हें एक-दूसरे के बराबर सेट करें और रैखिक समीकरण को हल करें:

15 - 7x = 15x + 7

दोनों पक्षों में 7x जोड़ने और दोनों पक्षों से 7 घटाने पर पदों को पुनर्व्यवस्थित करने पर प्राप्त होता है:

15 - 7 = 15x + 7x

8 = 22x

x के लिए हल करने पर:

x = 8/22

अंश और हर दोनों को 2 से विभाजित करके भिन्न को सरल बनाने पर प्राप्त होता है:

x = 4/11

व्याख्या

सबसे बड़ी 5 अंकों की संख्या 99999 है। 99999 को 95 से विभाजित करने पर भागफल 1052 और शेषफल 59 प्राप्त होता है।

99999 = (95 × 1052) + 59

95 का सबसे बड़ा 5 अंकों का गुणज प्राप्त करने के लिए इस शेषफल को सबसे बड़ी 5 अंकों की संख्या से घटाएं:

99999 - 59 = 99940

व्याख्या

चूंकि अनुपात a:b को 3:8 के रूप में दिया गया है, हम मान सकते हैं कि a = 3k और b = 8k, जहाँ k एक गैर-शून्य स्थिरांक है।

इन मानों को व्यंजक में प्रतिस्थापित करने पर:

(5a - 3b) / (2a + b) = (5(3k) - 3(8k)) / (2(3k) + 8k) = (15k - 24k) / (6k + 8k) = -9k / 14k = -9/14

व्याख्या

पहली असमानता को हल करने पर: 5 - 3x < 4 - x 5 - 4 < 3x - x 1 < 2x x > ½

दूसरी असमानता को हल करने पर: 5(2 - x) > 2 - 2x 10 - 5x > 2 - 2x 10 - 2 > 5x - 2x 8 > 3x x < 8/3

दोनों असमानताओं को मिलाने पर सीमा प्राप्त होती है: ½ < x < 8/3

चूंकि 8/3 लगभग 2.67 है, अंतराल 0.5 < x < 2.67 है। मान 1 इस शर्त को पूरा करता है।

व्याख्या

x का मान ज्ञात करने के लिए, दिए गए समीकरण को सरल करें:

3.352 - (9.759 - x) - 19.64 = 7.052

कोष्ठक के अंदर के पदों पर ऋणात्मक चिह्न वितरित करके व्यंजक का विस्तार करें:

3.352 - 9.759 + x - 19.64 = 7.052

बाईं ओर स्थिर पदों को समूहित और सरल करें:

-6.407 + x - 19.64 = 7.052 x - 26.047 = 7.052

दोनों पक्षों में 26.047 जोड़कर x के लिए हल करें:

x = 7.052 + 26.047 x = 33.099

व्याख्या

सभी 9 वर्षों के राजस्व का योग वर्षों की संख्या को उनके औसत राजस्व से गुणा करके प्राप्त किया जाता है: 9 × 76 = 684 लाख

इसी प्रकार, पहले 5 वर्षों के राजस्व का योग है: 5 × 71 = 355 लाख

अंतिम 5 वर्षों के राजस्व का योग है: 5 × 83 = 415 लाख

चूंकि 5वां वर्ष पहले 5 वर्षों और अंतिम 5 वर्षों दोनों में सामान्य है, इसलिए इसका राजस्व निम्नलिखित संबंध का उपयोग करके पाया जा सकता है: 5वें वर्ष का राजस्व = (पहले 5 वर्षों का योग + अंतिम 5 वर्षों का योग) - सभी 9 वर्षों का योग

मानों को प्रतिस्थापित करने पर: 5वें वर्ष का राजस्व = (355 + 415) - 684 5वें वर्ष का राजस्व = 770 - 684 = 86 लाख