एसएससी सीएचएसएल टियर 1 2016 मात्रात्मक अभिक्षमता प्रश्न — हल सहित

व्याख्या

दिया गया व्यंजक x = [cosA/(1+sinA)]² है।

अंश और हर में पदों का वर्ग करने पर, हमें प्राप्त होता है: x = cos²A / (1 + sinA)²

त्रिकोणमितीय सर्वसमिका cos²A = 1 - sin²A का उपयोग करके, हम अंश को वर्गों के अंतर के रूप में पुनः लिख सकते हैं: x = (1 - sin²A) / (1 + sinA)² x = (1 - sinA)(1 + sinA) / (1 + sinA)²

अंश और हर दोनों से उभयनिष्ठ पद (1 + sinA) को रद्द करने पर व्यंजक सरल हो जाता है: x = (1 - sinA) / (1 + sinA)

इसे cosecA के पदों में व्यक्त करने के लिए, हम अंश और हर दोनों को sinA से विभाजित करते हैं: x = (1/sinA - 1) / (1/sinA + 1)

चूंकि cosecA = 1/sinA है, इस संबंध को प्रतिस्थापित करने पर हमें प्राप्त होता है: x = (cosecA - 1) / (cosecA + 1)

व्याख्या

विक्रय मूल्य (SP) और अंकित मूल्य (MP) के बीच छूट प्रतिशत (D) दिए जाने पर संबंध सूत्र द्वारा व्यक्त किया जाता है:

SP = MP × (100 - D)/100

समान अंकित मूल्य के लिए दो अलग-अलग विक्रय मूल्यों के अनुपात का उपयोग करके:

SP₂ / SP₁ = (100 - D₂)/(100 - D₁)

दिए गए मानों को प्रतिस्थापित करना, जहाँ SP₁ = 24000, D₁ = 19%, और D₂ = 32.5%:

SP₂ / 24000 = (100 - 32.5)/(100 - 19)

SP₂ / 24000 = 67.5 / 81

भिन्न 67.5/81 को अंश और हर दोनों को 13.5 से विभाजित करके सरल बनाना 5/6 देता है:

SP₂ = 24000 × 5/6

SP₂ = 4000 × 5 = 20000

व्याख्या

एक गोले का आयतन सूत्र V = (4/3) π r³ द्वारा दिया जाता है।

मान लीजिए R बड़ी गेंद की त्रिज्या है और r प्रत्येक छोटी गेंद की त्रिज्या है। बड़ी गेंद का व्यास 80 सेमी है, जिससे त्रिज्या R = 80 / 2 = 40 सेमी प्राप्त होती है। छोटी गेंद r की त्रिज्या 10 सेमी है।

बड़ी गेंद को पिघलाकर बनाई जा सकने वाली छोटी गेंदों की संख्या n उनके आयतन के अनुपात के बराबर होती है:

n = ((4/3) π R³) / ((4/3) π r³)

n = R³ / r³

n = (R / r)³

मानों को प्रतिस्थापित करने पर:

n = (40 / 10)³ = 4³ = 64

व्याख्या

विभाजन एल्गोरिथम के अनुसार, भाज्य, भाजक, भागफल और शेषफल के बीच संबंध सूत्र द्वारा दिया गया है:

भाज्य = (भाजक × भागफल) + शेषफल

दिए गए मानों को सूत्र में प्रतिस्थापित करने पर:

भाज्य = (54 × 86) + 13

54 को 86 से गुणा करने पर:

54 × 86 = 4644

शेषफल 13 जोड़ने पर:

4644 + 13 = 4657

व्याख्या

पहले 44 ओवरों में बनाए गए कुल रनों की गणना ओवरों की संख्या को प्रारंभिक रन रेट से गुणा करके की जाती है: 44 × 5.1 = 224.4 रन

294 रनों के लक्ष्य तक पहुँचने के लिए आवश्यक शेष रन हैं: 294 - 224.4 = 69.6 रन

शेष 6 ओवरों में आवश्यक रन रेट ज्ञात करने के लिए, शेष रनों को शेष ओवरों से विभाजित करें: 69.6 / 6 = 11.6 रन प्रति ओवर

यह लगभग 11.59 रन प्रति ओवर के मान से मेल खाता है।

व्याख्या

किन्हीं दो समरूप त्रिभुजों के लिए, उनके परिमापों का अनुपात उनकी संगत भुजाओं के अनुपात के बराबर होता है।

ΔGHI का परिमाप / ΔKLM का परिमाप = GH / KL

इस संबंध में दिए गए मानों को प्रतिस्थापित करने पर:

4/9 = 8 / KL

KL के लिए हल करने पर:

KL = (8 × 9) / 4

KL = 18 सेमी

व्याख्या

एक वर्ग ABCD में, विकर्ण AC और BD एक दूसरे के लंबवत होते हैं और अपने मध्य बिंदु पर एक दूसरे को समद्विभाजित करते हैं।

सबसे पहले, विकर्ण AC की प्रवणता की गणना करें: AC की प्रवणता = (7 - (-3)) / (0 - 4) = 10 / -4 = -5/2

चूंकि विकर्ण BD, विकर्ण AC के लंबवत है, इसलिए उनकी प्रवणताओं का गुणनफल -1 होता है। अतः, BD (m) की प्रवणता है: m = -1 / (-5/2) = 2/5

अगला, विकर्ण AC का मध्य बिंदु ज्ञात करें, जो विकर्ण BD का भी मध्य बिंदु है: मध्य बिंदु M = ((4 + 0)/2, (-3 + 7)/2) = (2, 2)

बिंदु-प्रवणता रूप का उपयोग करके, बिंदु M(2, 2) से गुजरने वाले और 2/5 प्रवणता वाले विकर्ण BD का समीकरण है: y - 2 = (2/5) × (x - 2) 5(y - 2) = 2(x - 2) 5y - 10 = 2x - 4 2x - 5y = -6

व्याख्या

किसी भी उत्तल बहुभुज (convex polygon) के बाह्य कोणों का योग हमेशा 360° होता है। n भुजाओं वाले एक सम बहुभुज के लिए, सभी बाह्य कोण माप में बराबर होते हैं। प्रत्येक बाह्य कोण का माप सूत्र द्वारा दिया जाता है:

बाह्य कोण = 360° ÷ n

एक सम बहुभुज (regular nonagon) में 9 भुजाएँ होती हैं, इसलिए n = 9। इस मान को सूत्र में रखने पर:

बाह्य कोण = 360° ÷ 9 = 40°

व्याख्या

एक वृत्त की परिधि का सूत्र C = π × d है, जहाँ d वृत्त का व्यास है और π का मान लगभग 22/7 है।

दिए गए परिधि 88 सेमी को सूत्र में रखने पर: 88 = (22/7) × d

व्यास d के लिए हल करने पर: d = 88 × 7/22 d = 4 × 7 d = 28 सेमी

व्याख्या

समीकरण 10A = 3B = 7C से अनुपात A : B : C ज्ञात करने के लिए, मान लीजिए कि 10A = 3B = 7C = k, जहाँ k एक स्थिरांक है।

इससे प्राप्त होता है: A = k/10 B = k/3 C = k/7

इसलिए, अनुपात है: A : B : C = 1/10 : 1/3 : 1/7

भिन्नों को सरल बनाने के लिए, प्रत्येक पद को हर 10, 3 और 7 के लघुत्तम समापवर्त्य, जो कि 210 है, से गुणा करें।

A : B : C = (1/10 × 210) : (1/3 × 210) : (1/7 × 210) A : B : C = 21 : 70 : 30

व्याख्या

(x + 5)(3 - 2x)(4x - 2) में x² के गुणांक को ज्ञात करने के लिए, हम पहले पहले दो गुणनखंडों को गुणा करते हैं:

(x + 5)(3 - 2x) = 3x - 2x² + 15 - 10x = -2x² - 7x + 15

अगला, हम इस मध्यवर्ती व्यंजक को तीसरे गुणनखंड (4x - 2) से गुणा करते हैं:

(-2x² - 7x + 15)(4x - 2)

x² का गुणांक ज्ञात करने के लिए, हमें विस्तार में केवल उन पदों की गणना करने की आवश्यकता है जिनसे x² प्राप्त होता है:

(-2x²) × (-2) = 4x² (-7x) × (4x) = -28x²

इन पदों को एक साथ जोड़ने पर:

4x² - 28x² = -24x²

x² का गुणांक -24 है।

व्याख्या

साधारण ब्याज प्रत्येक वर्ष समान रूप से अर्जित किया जाता है। चूँकि दो वर्षों का साधारण ब्याज रु 2600 है, तो पहले वर्ष का साधारण ब्याज है: 2600 / 2 = रु 1300

दो वर्षों के चक्रवृद्धि ब्याज और साधारण ब्याज के बीच का अंतर पहले वर्ष के ब्याज पर अर्जित ब्याज है। यह अंतर है: 2769 - 2600 = रु 169

यह रु 169, R% की ब्याज दर पर 1300 रुपये पर एक वर्ष का ब्याज है। संबंध का उपयोग करके: दर = (अंतर / पहले वर्ष का साधारण ब्याज) × 100 R = (169 / 1300) × 100 R = 169 / 13 R = 13%

व्याख्या

मानक बीजगणितीय सर्वसमिका का प्रयोग करके: (x + y)² = x² + y² + 2xy

दिए गए मानों को सर्वसमिका में प्रतिस्थापित करने पर: 14² = 100 + 2xy

पदों को सरल करने पर: 196 = 100 + 2xy 2xy = 196 - 100 2xy = 96 xy = 48

व्याख्या

माना ओवन का क्रय मूल्य O और रेफ्रिजरेटर का क्रय मूल्य R है।

दिया गया है कि दोनों वस्तुओं की कुल लागत 12000 रुपये है: O + R = 12000

ओवन को 20% के लाभ पर बेचा जाता है, इसलिए इसका विक्रय मूल्य है: विक्रय मूल्य = 1.20 × O

रेफ्रिजरेटर को 28% की हानि पर बेचा जाता है, इसलिए इसका विक्रय मूल्य है: विक्रय मूल्य = 0.72 × R

चूंकि दोनों वस्तुओं का विक्रय मूल्य समान है, हम दोनों व्यंजकों को बराबर कर सकते हैं: 1.20 × O = 0.72 × R

उनके क्रय मूल्यों का अनुपात ज्ञात करने के लिए: O / R = 0.72 / 1.20 O / R = 72 / 120 O / R = 3 / 5

ओवन के क्रय मूल्य का रेफ्रिजरेटर से अनुपात 3 : 5 है। यह कुल लागत का प्रतिनिधित्व करने वाले 8 भाग (3 + 5) देता है।

1 भाग का मान = 12000 / 8 = 1500 रुपये

सस्ती वस्तु ओवन है, जो 3 भागों के अनुरूप है: सस्ती वस्तु का क्रय मूल्य = 3 × 1500 = 4500 रुपये

व्याख्या

A 45 दिनों में 75% (या 3/4) कार्य पूरा करता है। इसका मतलब है कि A पूरा कार्य 45 × 4/3 = 60 दिनों में पूरा कर सकता है। इसलिए, A की दैनिक कार्य दर 1/60 है।

शेष 25% (या 1/4) कार्य A और B मिलकर 5 दिनों में पूरा करते हैं। इसका मतलब है कि A और B मिलकर पूरा कार्य 5 × 4 = 20 दिनों में पूरा कर सकते हैं। इसलिए, उनकी संयुक्त दैनिक कार्य दर 1/20 है।

B की दैनिक कार्य दर ज्ञात करने के लिए, A की दैनिक कार्य दर को उनकी संयुक्त दर से घटाएं: 1/20 - 1/60 = 3/60 - 1/60 = 2/60 = 1/30

प्रति दिन कार्य के 1/30 की यह दर का मतलब है कि B अकेले पूरा कार्य 30 दिनों में पूरा करेगा।

व्याख्या

दो शहरों के बीच की दूरी की गणना ज्ञात गति और यात्रा के समय में अंतर का उपयोग करके की जा सकती है:

दूरी = (गति₁ × गति₂ / (गति₂ - गति₁)) × समय का अंतर

दी गई गति 48 किमी/घंटा और 60 किमी/घंटा, और 3.5 घंटे के समय के अंतर को प्रतिस्थापित करने पर:

दूरी = (48 × 60 / (60 - 48)) × 3.5

दूरी = (2880 / 12) × 3.5

दूरी = 240 × 3.5

दूरी = 840 किमी

व्याख्या

मान लीजिए दो-अंकीय संख्या का दहाई का अंक x और इकाई का अंक y है। संख्या को 10x + y के रूप में दर्शाया जाता है।

अंकों का योग 12 है: x + y = 12

जब संख्या में 54 जोड़ा जाता है, तो उसके अंकों को पलटकर 10y + x बनता है: 10x + y + 54 = 10y + x 9y - 9x = 54 y - x = 6

इन दो समीकरणों को जोड़ने पर: (x + y) + (y - x) = 12 + 6 2y = 18 y = 9

y = 9 को पहले समीकरण में प्रतिस्थापित करने पर: x + 9 = 12 x = 3

मूल दो-अंकीय संख्या 10(3) + 9 = 39 है।

व्याख्या

दी गई असमानता 2x + 2(1 - x) > 3x - 2 > 2x - 5 है।

सबसे पहले, असमानता के सबसे बाएं भाग को सरल करें: 2x + 2 - 2x > 3x - 2 2 > 3x - 2 4 > 3x x < 4/3

अगला, असमानता के दूसरे भाग को हल करें: 3x - 2 > 2x - 5 3x - 2x > -5 + 2 x > -3

दोनों परिणामों को मिलाने पर x के लिए हल अंतराल प्राप्त होता है: -3 < x < 4/3

मान -2 इस अंतराल में आता है क्योंकि -3 < -2 < 4/3।

व्याख्या

किसी वृत्त का क्षेत्रफल A = πr² होता है, जिसका अर्थ है कि क्षेत्रफल उसकी त्रिज्या के वर्ग के समानुपाती होता है। जब कोई मात्रा किसी चर के वर्ग पर निर्भर करती है, तो उस चर में x% की प्रतिशत वृद्धि के परिणामस्वरूप मात्रा में प्रतिशत वृद्धि उत्तरोत्तर प्रतिशत सूत्र 2x + x²/100 द्वारा दी जाती है।

त्रिज्या वृद्धि x = 12 को सूत्र में प्रतिस्थापित करने पर:

क्षेत्रफल में प्रतिशत वृद्धि = 2(12) + 12²/100 = 24 + 144/100 = 24 + 1.44 = 25.44%।

व्याख्या

स्टॉक का कुल मूल्य प्रत्येक वस्तु श्रेणी के लिए मात्रा और औसत लागत के गुणनफलों को जोड़कर निकाला जाता है।

मोबाइल फोन का कुल मूल्य = 89 × 12000 = 1,068,000 रुपये कैमरा का कुल मूल्य = 69 × 19000 = 1,311,000 रुपये टीवी का कुल मूल्य = 96 × 32000 = 3,072,000 रुपये रेफ्रिजरेटर का कुल मूल्य = 40 × 42000 = 1,680,000 रुपये एसी का कुल मूल्य = 94 × 25000 = 2,350,000 रुपये

इन मानों को जोड़ने पर कुल स्टॉक मूल्य प्राप्त होता है: कुल स्टॉक मूल्य = 1,068,000 + 1,311,000 + 3,072,000 + 1,680,000 + 2,350,000 = 9,481,000 रुपये

इस मूल्य को लाख रुपये में व्यक्त करने के लिए, 100,000 से भाग दें (क्योंकि 1 लाख = 100,000): 9,481,000 ÷ 100,000 = 94.81 लाख रुपये

व्याख्या

2012 में, आयात/निर्यात का अनुपात 0.8 है। 2012 में आयात = 900 करोड़ रुपये। 2012 में निर्यात = आयात / अनुपात = 900 / 0.8 = 1125 करोड़ रुपये।

2012 और 2013 में कुल निर्यात एक साथ 4000 करोड़ रुपये है। 2013 में निर्यात = कुल निर्यात - 2012 में निर्यात = 4000 - 1125 = 2875 करोड़ रुपये।

2013 में, आयात/निर्यात का अनुपात 1.3 है। 2013 में आयात = 2013 में निर्यात × अनुपात = 2875 × 1.3 = 3737.5 करोड़ रुपये।

निकटतम पूर्णांक तक पूर्णांकित करने पर, 2013 में आयात 3738 करोड़ रुपये है।

व्याख्या

दिए गए डेटा तालिका के अनुसार: 10वें जन्मदिन पर बच्चे की ऊंचाई = 135 सेमी 14वें जन्मदिन पर बच्चे की ऊंचाई = 155 सेमी

ऊंचाई में वृद्धि की गणना इस प्रकार की जाती है: ऊंचाई में वृद्धि = 14वें जन्मदिन पर ऊंचाई - 10वें जन्मदिन पर ऊंचाई ऊंचाई में वृद्धि = 155 - 135 = 20 सेमी

व्याख्या

रात 10:00 बजे से सुबह 6:00 बजे के बीच कुल समय अवधि 8 घंटे है।

तालिका में दिए गए मान प्रत्येक अवस्था में बिताए गए समय का प्रतिशत दर्शाते हैं, जिनका योग 100 होता है (10 + 20 + 15 + 25 + 30 = 100)।

उपयोगकर्ता द्वारा हल्की नींद में बिताया गया समय का प्रतिशत 15% है और अत्यंत हल्की नींद में बिताया गया समय 25% है। इन दो अवस्थाओं का संयुक्त प्रतिशत है: 15% + 25% = 40%

घंटों में अवधि ज्ञात करने के लिए, हम कुल 8 घंटे का 40% गणना करते हैं: अवधि = 0.40 × 8 = 3.2 घंटे

व्याख्या

विशिष्ट कोणों के लिए मानक त्रिकोणमितीय मानों का उपयोग करके: tan 45° = 1 csc 30° = 1/sin 30° = 1/½ = 2

इन मानों को दिए गए समीकरण में प्रतिस्थापित करने पर: x = tan 45° + csc 30° x = 1 + 2 = 3

व्याख्या

मान लीजिए थोक विक्रेता के लिए घड़ी का क्रय मूल्य C है।

थोक विक्रेता घड़ी को खुदरा विक्रेता को 20% के लाभ पर बेचता है, इसलिए खुदरा विक्रेता के लिए क्रय मूल्य C × (1 + 0.20) = 1.2C है।

खुदरा विक्रेता फिर घड़ी को ग्राहक को 10% की हानि पर बेचता है, जिससे अंतिम विक्रय मूल्य 1.2C × (1 - 0.10) = 1.2C × 0.90 = 1.08C हो जाता है।

चूंकि ग्राहक 874.8 रुपये का भुगतान करता है: 1.08C = 874.8

C के लिए हल करने पर: C = 874.8 / 1.08 C = 810

व्याख्या

कोज्या के लिए द्वि-कोण सर्वसमिका का प्रयोग करके: cos(2θ) = 2 cos²(θ) - 1

पदों को पुनर्व्यवस्थित करने पर प्राप्त होता है: 1 + cos(2θ) = 2 cos²(θ)

दोनों पक्षों को 2 से विभाजित करने पर: (1 + cos(2θ))/2 = cos²(θ)

दोनों पक्षों का वर्गमूल लेने पर: √((1 + cos(2θ))/2) = cos(θ)

2θ = A प्रतिस्थापित करने पर, जिसका अर्थ है θ = A/2, हमें प्राप्त होता है: √((1 + cos A)/2) = cos(A/2)

चूंकि दिया गया व्यंजक x = √((1 + cos A)/2) है, इसलिए x = cos(A/2) है।

व्याख्या

P द्वारा परियोजना को पूरा करने में लिया गया समय 150 दिन है, जिसका अर्थ है कि P की कार्य दर प्रति दिन परियोजना का 1/150 है। Q द्वारा परियोजना को पूरा करने में लिया गया समय 100 दिन है, जिसका अर्थ है कि Q की कार्य दर प्रति दिन परियोजना का 1/100 है।

एक साथ काम करते हुए, उनकी प्रति दिन संयुक्त कार्य दर है: 1/150 + 1/100 = (2 + 3) / 300 = 5 / 300 = 1/60 परियोजना प्रति दिन।

इसका मतलब है कि P और Q एक साथ काम करते हुए पूरी परियोजना को 60 दिनों में पूरा कर सकते हैं।

परियोजना के 60% को पूरा करने के लिए आवश्यक समय ज्ञात करने के लिए, हम पूरी परियोजना के लिए आवश्यक कुल समय को 60% से गुणा करते हैं: 60 दिन × 60% = 60 × 0.60 = 36 दिन।

व्याख्या

मूल त्रिकोणमितीय सर्वसमिकाओं का उपयोग करके, हमारे पास है: sec A = 1/cos A tan A = sin A/cos A

इन मानों को दिए गए व्यंजक में प्रतिस्थापित करने पर: x = sec A + tan A x = (1/cos A) + (sin A/cos A) x = (1 + sin A)/cos A

सर्वसमिका cos² A = 1 - sin² A का उपयोग करके, हम cos A को √(1 - sin² A) के रूप में लिख सकते हैं: x = (1 + sin A) / √(1 - sin² A)

चूंकि 1 - sin² A को (1 - sin A)(1 + sin A) के रूप में गुणनखंडित किया जा सकता है, हमें प्राप्त होता है: x = (1 + sin A) / √((1 - sin A)(1 + sin A))

हम अंश 1 + sin A को √(1 + sin A) × √(1 + sin A) के रूप में पुनः लिख सकते हैं: x = (√(1 + sin A) × √(1 + sin A)) / (√(1 - sin A) × √(1 + sin A))

अंश और हर से उभयनिष्ठ पद √(1 + sin A) को रद्द करने पर: x = √(1 + sin A) / √(1 - sin A) x = √((1 + sin A)/(1 - sin A))

व्याख्या

ठोस का आयतन शंकु के आयतन और अर्धगोले के आयतन का योग है।

अर्धगोले और शंकु दोनों की त्रिज्या व्यास की आधी है, जो r = 5 सेमी है। शंकु की ऊंचाई h = 12 सेमी है।

शंकु के आयतन का सूत्र ⅓ × π × r² × h है, और अर्धगोले के आयतन का सूत्र ⅔ × π × r³ है।

कुल आयतन = ⅓ × π × r² × h + ⅔ × π × r³ = ⅓ × π × r² × (h + 2r)

दिए गए मानों को सूत्र में रखने पर: कुल आयतन = ⅓ × π × 5² × (12 + 2 × 5) कुल आयतन = ⅓ × π × 25 × 22 कुल आयतन = 550/3 × π

π = 22/7 का अनुमानित मान प्रयोग करने पर: कुल आयतन = 550/3 × 22/7 = 12100/21 = 576.19 घन सेमी

व्याख्या

मान लीजिए आयत का विकर्ण d है और दो आसन्न भुजाएँ a और b हैं। पाइथागोरस प्रमेय के अनुसार, आयत का विकर्ण और दो भुजाएँ एक समकोण त्रिभुज बनाती हैं, जहाँ:

d² = a² + b²

विकर्ण d = 26 सेमी और एक भुजा a = 10 सेमी के दिए गए मानों को समीकरण में प्रतिस्थापित करने पर:

26² = 10² + b² 676 = 100 + b² b² = 576 b = 24 सेमी

आयत का क्षेत्रफल उसकी लंबाई और चौड़ाई का गुणनफल होता है:

क्षेत्रफल = a × b क्षेत्रफल = 10 × 24 = 240 वर्ग सेमी।

व्याख्या

2401 में जोड़ी जाने वाली सबसे छोटी संख्या ज्ञात करने के लिए ताकि योग 14 से पूरी तरह विभाज्य हो जाए, हम पहले 2401 को 14 से विभाजित करके शेषफल ज्ञात करते हैं।

2401 को 14 से विभाजित करने पर: 2401 ÷ 14 = 171 शेषफल 7 के साथ

जोड़ी जाने वाली सबसे छोटी संख्या भाजक और शेषफल के बीच का अंतर है: 14 - 7 = 7

2401 में 7 जोड़ने पर 2408 प्राप्त होता है, जो 14 से पूरी तरह विभाज्य है।

व्याख्या

माना क्रय मूल्य CP और अंकित मूल्य L है।

पहले मामले में, अंकित मूल्य पर 25% की छूट देने पर 5% की हानि होती है। इससे संबंध प्राप्त होता है: 0.75 L = 0.95 CP L = (0.95 / 0.75) CP = (19 / 15) CP

दूसरे मामले में, 10% की छूट दी जाती है, जिसका अर्थ है कि नया विक्रय मूल्य (SP) अंकित मूल्य का 90% है: SP = 0.90 L SP = 0.90 × (19 / 15) CP SP = (9 / 10) × (19 / 15) CP SP = (3 / 10) × (19 / 5) CP = 57 / 50 CP = 1.14 CP

चूंकि विक्रय मूल्य क्रय मूल्य का 1.14 गुना है, यह 14% के लाभ को दर्शाता है।

व्याख्या

समचतुर्भुज के विकर्ण एक दूसरे के लंब समद्विभाजक होते हैं। अतः, विकर्ण QS, विकर्ण PR का लंब समद्विभाजक है।

सबसे पहले, PR का मध्य बिंदु M ज्ञात करें, जिससे QS गुजरना चाहिए: M = ((3 + (-7))/2, (1 + 5)/2) = (-2, 3)

अगला, PR की ढलान (m₁) ज्ञात करें: m₁ = (5 - 1)/(-7 - 3) = 4/(-10) = -2/5

चूंकि QS, PR के लंबवत है, इसलिए QS की ढलान (m₂) m₁ का ऋणात्मक व्युत्क्रम है: m₂ = -1/(-2/5) = 5/2

बिंदु-ढलान रूप का उपयोग करते हुए, M(-2, 3) से गुजरने वाले और ढलान 5/2 वाले विकर्ण QS का समीकरण है: y - 3 = (5/2)(x - (-2)) 2(y - 3) = 5(x + 2) 2y - 6 = 5x + 10 5x - 2y = -16

व्याख्या

समीकरण 5A = 13B = 7C से A : B : C का अनुपात ज्ञात करने के लिए, हम प्रत्येक चर को एक स्थिरांक k के भिन्न के रूप में व्यक्त कर सकते हैं। मान लीजिए 5A = 13B = 7C = k। इससे A = k/5, B = k/13, और C = k/7 प्राप्त होता है।

इसलिए, A : B : C का अनुपात 1/5 : 1/13 : 1/7 है।

इस भिन्नात्मक अनुपात को पूर्णांक अनुपात में बदलने के लिए, हम प्रत्येक पद को हरों के गुणनफल से गुणा करते हैं, जो कि 5 × 13 × 7 = 455 है:

A : B : C = (13 × 7) : (5 × 7) : (5 × 13) A : B : C = 91 : 35 : 65

व्याख्या

मान लीजिए राजधानी ट्रेन द्वारा 708 किमी की दूरी तय करने में लिया गया समय T घंटे है।

चूंकि एक्सप्रेस ट्रेन को राजधानी ट्रेन से 6 घंटे अधिक लगते हैं, इसलिए उसका प्रारंभिक समय T + 6 घंटे है।

जब एक्सप्रेस ट्रेन की गति दोगुनी कर दी जाती है, तो उसके द्वारा लिया गया समय उसके प्रारंभिक समय का आधा हो जाता है, जो कि (T + 6) / 2 घंटे है। समस्या के अनुसार, यह नया समय राजधानी ट्रेन के समय से 3 घंटे कम है।

हम समीकरण स्थापित कर सकते हैं: (T + 6) / 2 = T - 3

दोनों पक्षों को 2 से गुणा करने पर: T + 6 = 2T - 6 T = 12 घंटे

अब, गति सूत्र का उपयोग करके: राजधानी ट्रेन की गति = दूरी / समय = 708 / 12 = 59 किमी/घंटा

व्याख्या

वृत्त के चाप की लंबाई का सूत्र L = (θ / 360°) × 2πr है, जहाँ L चाप की लंबाई है, r वृत्त की त्रिज्या है, और θ डिग्री में केंद्रीय कोण है।

दिए गए मानों L = 22 सेमी, r = 28 सेमी, और π = 22/7 को प्रतिस्थापित करने पर:

22 = (θ / 360°) × 2 × (22 / 7) × 28

22 = (θ / 360°) × 176

1 = (θ / 360°) × 8

θ = 360° / 8

θ = 45°

व्याख्या

भुजा की लंबाई a वाले समबाहु त्रिभुज के क्षेत्रफल का सूत्र है क्षेत्रफल = (√3 / 4) × a²।

दिया गया है कि त्रिभुज का क्षेत्रफल 9√3 वर्ग सेमी है, हम समीकरण स्थापित करते हैं: (√3 / 4) × a² = 9√3

दोनों पक्षों को √3 से विभाजित करने पर: ¼ × a² = 9

दोनों पक्षों को 4 से गुणा करने पर: a² = 36

दोनों पक्षों का वर्गमूल लेने पर भुजा की लंबाई प्राप्त होती है: a = 6 सेमी

समबाहु त्रिभुज का परिमाप उसकी तीन समान भुजाओं का योग होता है: परिमाप = 3 × a

भुजा की लंबाई को परिमाप सूत्र में प्रतिस्थापित करने पर: परिमाप = 3 × 6 = 18 सेमी

व्याख्या

सबसे पहले, हम x के लिए रैखिक समीकरण हल करते हैं:

3x - 10 = -(2x + 5) 3x - 10 = -2x - 5 3x + 2x = 10 - 5 5x = 5 x = 1

अब, हम दिए गए व्यंजक (x - 4)³ में x का मान प्रतिस्थापित करते हैं:

(1 - 4)³ = (-3)³ = -27

व्याख्या

7वें वर्ष का राजस्व निम्नलिखित संबंध का उपयोग करके गणना की जाती है: 7वें वर्ष का राजस्व = (पहले 7 वर्षों का योग) + (अंतिम 7 वर्षों का योग) - (सभी 13 वर्षों का योग)

दिए गए औसत मानों को प्रतिस्थापित करने पर: 13 वर्षों का योग = 13 × 82 = 1066 लाख पहले 7 वर्षों का योग = 7 × 77 = 539 लाख अंतिम 7 वर्षों का योग = 7 × 89 = 623 लाख

7वें वर्ष का राजस्व = 539 + 623 - 1066 = 1162 - 1066 = 96 लाख।

व्याख्या

बीजगणितीय सर्वसमिका का प्रयोग करके: (x + y)² = x² + y² + 2xy

सर्वसमिका में दिए गए मान x² + y² = 61 और xy = -30 को प्रतिस्थापित करने पर: (x + y)² = 61 + 2(-30) (x + y)² = 61 - 60 (x + y)² = 1

दोनों पक्षों का वर्गमूल लेने पर प्राप्त होता है: x + y = ±1

चूंकि 1 दिए गए विकल्पों में से एक है, इसलिए (x + y) का मान 1 है।

व्याख्या

वर्ष के अंत में कुल संचित राशि दोनों जमाओं के संचित मूल्यों का योग है। चूँकि ब्याज प्रति छमाही 10% है:

1 जनवरी को जमा किए गए ₹3600 की पहली जमा राशि के लिए, ब्याज 2 छमाही के लिए चक्रवृद्धि होता है: राशि 1 = 3600 × (1 + 10/100)² = 3600 × (1.1)² = 3600 × 1.21 = 4356

1 जुलाई को जमा किए गए ₹3600 की दूसरी जमा राशि के लिए, ब्याज 1 छमाही के लिए चक्रवृद्धि होता है: राशि 2 = 3600 × (1 + 10/100)¹ = 3600 × 1.1 = 3960

वर्ष के अंत में कुल राशि: कुल राशि = 4356 + 3960 = 8316

जमा की गई कुल मूल राशि: कुल मूल = 3600 + 3600 = 7200

अर्जित कुल ब्याज: ब्याज = कुल राशि - कुल मूल ब्याज = 8316 - 7200 = 1116

व्याख्या

मान लीजिए अभीष्ट संख्या x है।

दी गई शर्त के अनुसार, संख्या अपने व्युत्क्रम के पाँच गुने से 19/2 अधिक है। इसे गणितीय रूप से इस प्रकार दर्शाया जा सकता है:

x - 5/x = 19/2

x के लिए हल करने हेतु, हर को समाप्त करने के लिए पूरे समीकरण को 2x से गुणा करें:

2x² - 10 = 19x

पदों को एक मानक द्विघात समीकरण में पुनर्व्यवस्थित करें:

2x² - 19x - 10 = 0

मध्य पद को विभाजित करें:

2x² - 20x + x - 10 = 0

2x(x - 10) + 1(x - 10) = 0

(2x + 1)(x - 10) = 0

इससे x के दो संभावित मान प्राप्त होते हैं:

x = 10 या x = -½

व्याख्या

छात्र को उत्तीर्ण होने के लिए आवश्यक उत्तीर्ण अंक प्राप्त अंकों और जितने अंकों से वह अनुत्तीर्ण हुआ, उनका योग है:

उत्तीर्ण अंक = प्राप्त अंक + अनुत्तीर्ण होने वाले अंक उत्तीर्ण अंक = 53 + 37 = 90

प्रश्न के अनुसार, उत्तीर्ण अंक अधिकतम अंकों का 36% दर्शाते हैं। मान लीजिए M अधिकतम अंक हैं:

M का 36% = 90 0.36 × M = 90 M = 90 ÷ 0.36 = 250

व्याख्या

x का मान ज्ञात करने के लिए, संयुक्त असमानता को दो अलग-अलग असमानताओं में विभाजित किया गया है:

2x + 4(x - 3) < -2 - x -2 - x < 2x - 1

पहली असमानता को हल करना: 2x + 4x - 12 < -2 - x 6x - 12 < -2 - x 7x < 10 x < 10/7

दूसरी असमानता को हल करना: -2 - x < 2x - 1 -1 < 3x x > -1/3

दोनों भागों को मिलाने पर x के लिए सीमा प्राप्त होती है: -1/3 < x < 10/7

यह जांचने पर कि x = 1 इस सीमा के भीतर आता है क्योंकि -0.33 < 1 < 1.43। x = 1 को मूल असमानता में वापस रखने पर इसकी पुष्टि होती है: 2(1) + 4(1 - 3) < -2 - 1 < 2(1) - 1 -6 < -3 < 1

व्याख्या

सबसे कम वजन से ऊंचाई का अनुपात ज्ञात करने के लिए, हम प्रत्येक व्यक्ति के लिए किलोग्राम में वजन और मीटर में ऊंचाई का अनुपात निकालते हैं:

अंजू: 68 / 1.74 ≈ 39.08 अंकिता: 72 / 1.54 ≈ 46.75 अनुपमा: 69 / 1.77 ≈ 38.98 अनुराधा: 68 / 1.71 ≈ 39.77

गणना किए गए मानों की तुलना करने पर, अनुपमा का वजन से ऊंचाई का अनुपात लगभग 38.98 सबसे कम है।

व्याख्या

प्रतिशत लाभ वर्ष 2015 में सबसे कम है, जो 10% है।

राजस्व, व्यय और लाभ प्रतिशत के बीच संबंध सूत्र द्वारा दिया गया है: राजस्व = व्यय × (1 + लाभ % / 100)

यह देखते हुए कि इस वर्ष व्यय ₹475 करोड़ है और लाभ 10% है, इन मानों को सूत्र में प्रतिस्थापित करने पर: राजस्व = 475 × (1 + 10 / 100) राजस्व = 475 × 1.1 राजस्व = 522.5 करोड़

व्याख्या

प्रति घर बच्चों की औसत संख्या की गणना निम्न सूत्र का उपयोग करके की जाती है:

औसत = ∑(x × f) ÷ ∑f

जहाँ x बच्चों की संख्या को दर्शाता है और f घरों की संख्या को दर्शाता है।

सबसे पहले, घरों की कुल संख्या की गणना करें, जो आवृत्तियों का योग है:

∑f = 6 + 17 + 17 + 3 = 43

इसके बाद, प्रत्येक श्रेणी के लिए बच्चों की संख्या को घरों की संख्या से गुणा करके और उन्हें जोड़कर बच्चों की कुल संख्या की गणना करें:

∑(x × f) = (0 × 6) + (1 × 17) + (2 × 17) + (3 × 3) = 0 + 17 + 34 + 9 = 60

अब, बच्चों की कुल संख्या को घरों की कुल संख्या से विभाजित करें:

औसत = 60 ÷ 43 ≈ 1.395 ≈ 1.4

व्याख्या

कंपनी ने कुल 6,00,000 शेयर जारी किए हैं। दी गई तालिका के अनुसार, धीरज के पास शुरू में कुल शेयरों का 15% है।

धीरज द्वारा धारित प्रारंभिक शेयर = 6,00,000 का 15% = (15 ÷ 100) × 6,00,000 = 90,000 शेयर।

यदि आनंद अपने 15,000 शेयर धीरज को बेचता है, तो धीरज के शेयरों की कुल संख्या इस राशि से बढ़ जाती है।

धीरज के नए कुल शेयर = 90,000 + 15,000 = 1,05,000 शेयर।

व्याख्या

दो वर्गों के अंतर के लिए बीजगणितीय सर्वसमिका, x² - y² = (x - y)(x + y) का उपयोग करके, अंश को इस प्रकार व्यक्त किया जा सकता है:

4a² - 9b² = (2a)² - (3b)² = (2a - 3b)(2a + 3b)

इस गुणनखंडित रूप को मूल व्यंजक में वापस प्रतिस्थापित करने पर:

(4a² - 9b²) / (2a + 3b) = (2a - 3b)(2a + 3b) / (2a + 3b)

अंश और हर में (2a + 3b) पद रद्द हो जाता है, जिससे व्यंजक 2a - 3b तक सरल हो जाता है।

व्याख्या

मान लीजिए वस्तु का अंकित मूल्य 100 है।

5% की छूट देने के बाद, वस्तु का विक्रय मूल्य हो जाता है: 100 - 5 = 95

ग्राहक तब भुगतान की गई राशि (95) पर 20% कैशबैक जीतता है: कैशबैक = 95 का 20% = (20/100) × 95 = 19

कैशबैक के बाद ग्राहक द्वारा भुगतान की गई प्रभावी कीमत है: 95 - 19 = 76

मूल कीमत 100 पर कुल बचत या प्रभावी छूट है: 100 - 76 = 24, जो 24% के बराबर है।

वैकल्पिक रूप से, इसे क्रमिक प्रतिशत परिवर्तन सूत्र का उपयोग करके हल किया जा सकता है: प्रभावी छूट = d₁ + d₂ - (d₁ × d₂)/100

d₁ = 5 और d₂ = 20 रखने पर: प्रभावी छूट = 5 + 20 - (5 × 20)/100 = 25 - 1 = 24%