एसएससी सीएचएसएल टियर 1 2016 मात्रात्मक अभिक्षमता प्रश्न — हल सहित

व्याख्या

कंपनी का प्रतिशत लाभ वर्ष 2014 में सबसे कम था, जब यह 10% था।

राजस्व, व्यय और लाभ % के बीच संबंध सूत्र द्वारा दिया गया है: लाभ % = (राजस्व - व्यय) / व्यय × 100

सूत्र में व्यय के दिए गए मानों को 325 करोड़ रुपये और लाभ % को 10% प्रतिस्थापित करने पर: 10 = (राजस्व - 325) / 325 × 100 0.1 = (राजस्व - 325) / 325 राजस्व - 325 = 32.5 राजस्व = 325 + 32.5 = 357.5 करोड़

व्याख्या

प्रति घर बच्चों की औसत संख्या भारित माध्य सूत्र का उपयोग करके निकाली जाती है:

औसत = ∑(f × x) / ∑ f

जहाँ x बच्चों की संख्या को दर्शाता है और f घरों की संख्या को दर्शाता है।

सबसे पहले, घरों की कुल संख्या (∑ f) की गणना करें: ∑ f = 3 + 9 + 18 + 3 = 33

इसके बाद, बच्चों की कुल संख्या (∑(f × x)) की गणना करें: ∑(f × x) = (0 × 3) + (1 × 9) + (2 × 18) + (3 × 3) ∑(f × x) = 0 + 9 + 36 + 9 = 54

अब, बच्चों की कुल संख्या को घरों की कुल संख्या से विभाजित करें: औसत = 54 / 33 ≈ 1.636

दो दशमलव स्थानों तक पूर्णांकित करने पर, प्रति घर बच्चों की औसत संख्या 1.64 है।

व्याख्या

कंपनी द्वारा जारी कुल शेयर छह लाख हैं, जो 6,00,000 शेयर हैं।

तालिका के अनुसार, धीरज के पास शुरू में कंपनी में 30% हिस्सेदारी है।

धीरज द्वारा शुरू में रखे गए शेयरों की संख्या की गणना इस प्रकार की जाती है: 6,00,000 का 30% = (30/100) × 6,00,000 = 1,80,000 शेयर

यदि धीरज बासु से 15,000 शेयर खरीदता है, तो उसके कुल शेयरों में 15,000 की वृद्धि होगी।

धीरज की नई कुल शेयर संख्या है: 1,80,000 + 15,000 = 1,95,000 शेयर

व्याख्या

उन दो व्यंजकों के लिए x का मान ज्ञात करने के लिए जो बराबर हैं, उन्हें एक-दूसरे के बराबर सेट करें:

11x + 7 = 17x - 1

समीकरण को पुनर्व्यवस्थित करें ताकि x वाले पदों को एक तरफ और स्थिरांक पदों को दूसरी तरफ समूहित किया जा सके। समीकरण के दोनों पक्षों से 11x घटाएं:

7 = 6x - 1

अगला, x वाले पद को अलग करने के लिए दोनों पक्षों में 1 जोड़ें:

8 = 6x

अब, दोनों पक्षों को 6 से विभाजित करके x के लिए हल करें:

x = 8/6

अंश और हर को उनके सबसे बड़े सामान्य भाजक, जो कि 2 है, से विभाजित करके भिन्न को सरल बनाएं:

x = 4/3

व्याख्या

मान लीजिए थोक विक्रेता के लिए घड़ी का क्रय मूल्य CP है।

थोक विक्रेता से खुदरा विक्रेता तक, और फिर ग्राहक तक, क्रमिक लेन-देन को सूत्र द्वारा दर्शाया जा सकता है: ग्राहक मूल्य = CP × (1 + थोक विक्रेता लाभ%) × (1 - खुदरा विक्रेता हानि%)

दिए गए मानों को प्रतिस्थापित करने पर: 2499 = CP × (1 + 36/100) × (1 - 25/100) 2499 = CP × 1.36 × 0.75

दशमलव को भिन्न के रूप में व्यक्त करने से गणना सरल हो जाती है: 2499 = CP × 136/100 × 3/4 2499 = CP × 34/100 × 3 2499 = CP × 102/100 CP = (2499 × 100) / 102 CP = 2450

व्याख्या

प्रतिशत त्रुटि को आसानी से ज्ञात करने के लिए, संख्या को हर 11 और 13 का लघुत्तम समापवर्त्य (LCM) मान लें, जो कि 143 है।

13/11 से गुणा करने पर सही मान है: 143 × 13/11 = 169

11/13 से गुणा करने पर प्राप्त गलत मान है: 143 × 11/13 = 121

गणना में निरपेक्ष त्रुटि है: 169 - 121 = 48

प्रतिशत त्रुटि की गणना सही मान के सापेक्ष की जाती है: प्रतिशत त्रुटि = (त्रुटि / सही मान) × 100 प्रतिशत त्रुटि = (48 / 169) × 100 ≈ 28.4%

व्याख्या

व्यंजक 5 × [-0.6(2.8 + 1.2)] का 0.3 को हल करने के लिए, संक्रियाओं के मानक क्रम को लागू करें।

सबसे पहले, सबसे भीतरी कोष्ठकों के अंदर योग की गणना करें: 2.8 + 1.2 = 4

अगला, वर्ग कोष्ठक के अंदर के पदों का मूल्यांकन करें: -0.6 × 4 = -2.4

इस परिणाम को मुख्य व्यंजक में वापस प्रतिस्थापित करें: 5 × [-2.4] का 0.3

"का" शब्द गुणन का प्रतिनिधित्व करता है। बाएं से दाएं गुणन का मूल्यांकन करें: 5 × -2.4 = -12

अंत में, इस मान को 0.3 से गुणा करें: -12 × 0.3 = -3.6

व्याख्या

दिए गए अनुपात (x + y)/(x - y) = 5/2 का उपयोग करके, हम x और y के बीच संबंध ज्ञात करने के लिए तिरछा गुणा करते हैं:

2(x + y) = 5(x - y) 2x + 2y = 5x - 5y 3x = 7y x/y = 7/3

यह x = 7 और y = 3 देता है जब इन्हें एक सजातीय व्यंजक में प्रतिस्थापित किया जाता है। इन मानों को दिए गए व्यंजक में प्रतिस्थापित करने पर:

(4x + 5y)/(x - 4y) = (4(7) + 5(3)) / (7 - 4(3)) (4x + 5y)/(x - 4y) = (28 + 15) / (7 - 12) (4x + 5y)/(x - 4y) = 43 / -5 (4x + 5y)/(x - 4y) = -43/5

व्याख्या

P की कार्य दर प्रति दिन परियोजना का 1/25 है, और Q की कार्य दर प्रति दिन परियोजना का 1/50 है।

जब P और Q एक साथ काम करते हैं, तो प्रति दिन उनकी संयुक्त कार्य दर है: संयुक्त दर = 1/25 + 1/50 = 2/50 + 1/50 = 3/50 परियोजना प्रति दिन।

परियोजना का 18% पूरा करने के लिए, उन्हें कुल कार्य का 18/100 अंश पूरा करना होगा। आवश्यक समय है: समय = (कार्य का आवश्यक अंश) / (संयुक्त दर प्रति दिन) समय = (18/100) / (3/50) = (18/100) × (50/3) = (18 ÷ 3) × (50 ÷ 100) = 6 × ½ = 3 दिन।

व्याख्या

कक्षा में विद्यार्थियों की कुल संख्या 56 है, जिसमें से 21 लड़कियाँ हैं। इसलिए, कक्षा में लड़कों की संख्या है: 56 - 21 = 35

भारित औसत सूत्र का उपयोग करके, कक्षा का कुल वज़न लड़कियों के कुल वज़न और लड़कों के कुल वज़न का योग होता है: कक्षा का कुल वज़न = (लड़कियों की संख्या × लड़कियों का औसत वज़न) + (लड़कों की संख्या × लड़कों का औसत वज़न)

दिए गए मानों को प्रतिस्थापित करने पर: 56 × 62.875 = 21 × 56 + 35 × लड़कों का औसत वज़न

गणना को सरल बनाने के लिए, पूरे समीकरण को 7 से विभाजित करें: 8 × 62.875 = 3 × 56 + 5 × लड़कों का औसत वज़न

यह पहचानते हुए कि 62.875 को 62 + 7/8 के रूप में लिखा जा सकता है, गुणा सीधा हो जाता है: 8 × (62 + 7/8) = 168 + 5 × लड़कों का औसत वज़न 496 + 7 = 168 + 5 × लड़कों का औसत वज़न 503 = 168 + 5 × लड़कों का औसत वज़न 5 × लड़कों का औसत वज़न = 503 - 168 5 × लड़कों का औसत वज़न = 335 लड़कों का औसत वज़न = 335 / 5 = 67 किग्रा

व्याख्या

किलोमीटर प्रति घंटा से मीटर प्रति सेकंड में गति को परिवर्तित करने के लिए, गति को 5/18 के रूपांतरण कारक से गुणा किया जाता है।

मीटर/सेकंड में गति = 1296 × 5/18

सबसे पहले, 1296 को 18 से विभाजित करें: 1296 ÷ 18 = 72

अगला, परिणाम को 5 से गुणा करें: 72 × 5 = 360 मीटर/सेकंड

मिसाइल एक सेकंड में 360 मीटर की यात्रा करती है।

व्याख्या

₹1, 50-पैसे और 10-पैसे के सिक्कों की संख्या क्रमशः 4x, 2x और 5x मान लीजिए।

कुल मूल्य ज्ञात करने के लिए, हम प्रत्येक मूल्यवर्ग को रुपये में परिवर्तित करते हैं: ₹1 के सिक्कों का मूल्य = 4x × 1 = 4x रुपये 50-पैसे के सिक्कों का मूल्य = 2x × 0.5 = x रुपये 10-पैसे के सिक्कों का मूल्य = 5x × 0.1 = 0.5x रुपये

इन मूल्यों को जोड़ने पर कुल राशि ₹11 प्राप्त होती है: 4x + x + 0.5x = 11 5.5x = 11 x = 2

50-पैसे के सिक्कों की संख्या 2x द्वारा दर्शायी जाती है। x = 2 रखने पर 2 × 2 = 4 प्राप्त होता है।

व्याख्या

5 वस्तुओं की खरीद पर प्रभावी छूट की गणना 1 वस्तु और 4 वस्तुओं के संयोजन पर कुल छूट ज्ञात करके, और फिर इसे सभी 5 वस्तुओं के कुल अंकित मूल्य से विभाजित करके की जाती है।

1 वस्तु का अंकित मूल्य = रु 800 5 वस्तुओं का अंकित मूल्य = 5 × 800 = रु 4000

1 वस्तु पर छूट = 800 का 15% = 15/100 × 800 = रु 120 4 वस्तुओं पर छूट = (4 × 800) का 38% = 3200 का 38% = 38/100 × 3200 = रु 1216

प्राप्त कुल छूट = 120 + 1216 = रु 1336

प्रभावी छूट प्रतिशत = (कुल छूट / कुल अंकित मूल्य) × 100 प्रभावी छूट प्रतिशत = (1336 / 4000) × 100 = 33.4%

व्याख्या

x के संभावित मान ज्ञात करने के लिए, हम असमानताओं की प्रणाली को हल करते हैं।

पहली असमानता: 2 + 2x < 5 - x/2

भिन्न को हटाने के लिए पूरी असमानता को 2 से गुणा करने पर: 4 + 4x < 10 - x

दोनों पक्षों में x जोड़ने पर: 4 + 5x < 10

दोनों पक्षों से 4 घटाने पर: 5x < 6 x < 1.2

दूसरी असमानता: 5x + 3 > 5 - 5x

दोनों पक्षों में 5x जोड़ने पर: 10x + 3 > 5

दोनों पक्षों से 3 घटाने पर: 10x > 2 x > 0.2

दोनों असमानता परिणामों को मिलाने पर सीमा प्राप्त होती है: 0.2 < x < 1.2

मान 1 इस सीमा के भीतर आता है।

व्याख्या

मान लीजिए कि गैर-शून्य संख्या x है। दी गई शर्त के अनुसार, संख्या और उसके व्युत्क्रम के तिगुने का योग 13/2 है:

x + 3/x = 13/2

हर को हटाने के लिए पूरे समीकरण को 2x से गुणा करने पर प्राप्त होता है:

2x² + 6 = 13x

पदों को एक मानक द्विघात समीकरण में पुनर्व्यवस्थित करने पर:

2x² - 13x + 6 = 0

मध्य पद को विभाजित करके द्विघात समीकरण का गुणनखंडन करने पर:

2x² - 12x - x + 6 = 0 2x(x - 6) - 1(x - 6) = 0 (2x - 1)(x - 6) = 0

इससे हल प्राप्त होते हैं:

x = 6 या x = ½

मूल संबंध में x = 6 को वापस प्रतिस्थापित करने पर कथन की पुष्टि होती है:

6 + 3/6 = 6 + ½ = 13/2

व्याख्या

समरूप त्रिभुजों के गुणों के अनुसार, दो समरूप त्रिभुजों के क्षेत्रफलों का अनुपात उनकी संगत भुजाओं के अनुपात के वर्ग के बराबर होता है।

Area(ΔDEF) / Area(ΔGHI) = (DE / GH)²

दिए गए भुजाओं की लंबाई DE = 16 सेमी और GH = 25 सेमी को सूत्र में प्रतिस्थापित करने पर:

Area(ΔDEF) / Area(ΔGHI) = (16 / 25)² = 256 / 625

व्याख्या

बिंदुओं (x₁, y₁) और (x₂, y₂) से गुजरने वाली रेखा की ढलान (slope) निम्न सूत्र द्वारा दी जाती है:

m = (y₂ - y₁) / (x₂ - x₁)

चूंकि समानांतर रेखाओं की ढलान बराबर होती है, इसलिए बिंदुओं (2, -1) और (y, -2) से गुजरने वाली रेखा की ढलान, बिंदुओं (-3, 4) और (0, 3) से गुजरने वाली रेखा की ढलान के बराबर होनी चाहिए।

दूसरी रेखा की ढलान की गणना: m₂ = (3 - 4) / (0 - (-3)) = -1 / 3

पहली रेखा की ढलान की गणना: m₁ = (-2 - (-1)) / (y - 2) = -1 / (y - 2)

दोनों ढलानों को बराबर करने पर: -1 / (y - 2) = -1 / 3

y के लिए हल करने पर: y - 2 = 3 y = 5

व्याख्या

n भुजाओं वाले बहुभुज के आंतरिक कोणों का योग सूत्र (n - 2) × 180° द्वारा दिया जाता है। 10 भुजाओं वाले बहुभुज के लिए, सूत्र में n = 10 प्रतिस्थापित करें:

योग = (10 - 2) × 180° योग = 8 × 180° योग = 1440°

व्याख्या

माना समचतुर्भुज के दो विकर्ण d₁ और d₂ हैं। चूँकि एक विकर्ण दूसरे का आधा है, हम उन्हें d₁ = x और d₂ = 2x के रूप में व्यक्त कर सकते हैं।

समचतुर्भुज के विकर्ण एक दूसरे को समकोण पर समद्विभाजित करते हैं। समचतुर्भुज की भुजा s और उसके विकर्णों के बीच संबंध इस प्रकार दिया गया है: s² = (d₁/2)² + (d₂/2)²

दिए गए मानों को प्रतिस्थापित करने पर, जहाँ s = 10 सेमी: 10² = (x/2)² + (x)² 100 = x²/4 + x² 100 = 5x²/4 x² = 400 / 5 x² = 80

समचतुर्भुज का क्षेत्रफल सूत्र द्वारा दिया जाता है: क्षेत्रफल = ½ × d₁ × d₂

विकर्णों के व्यंजकों को क्षेत्रफल सूत्र में प्रतिस्थापित करने पर: क्षेत्रफल = ½ × x × 2x = x²

चूँकि x² = 80 है, समचतुर्भुज का क्षेत्रफल 80 वर्ग सेमी है।

व्याख्या

एक अर्धगोले का वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल (CSA) सूत्र द्वारा दिया जाता है: CSA = 2πr²

CSA = 110.88 वर्ग सेमी और π ≈ 22/7 का मान रखने पर: 110.88 = 2 × (22/7) × r² 110.88 = (44/7) × r² r² = (110.88 × 7) / 44 r² = 2.52 × 7 r² = 17.64 r = √17.64 = 4.2 सेमी

त्रिज्या का यह मान अर्धगोले के आयतन द्वारा सत्यापित किया जाता है: आयतन = (2/3)πr³ आयतन = (2/3) × (22/7) × 4.2³ आयतन = (44/21) × 74.088 = 155.232 घन सेमी

व्याख्या

सही उत्तर: D

त्रिकोणमितीय सर्वसमिका tan(-θ) = -tan(θ) का उपयोग करते हुए, दिए गए व्यंजक tan(-7π/4) को इस प्रकार सरल किया जा सकता है:

tan(-7π/4) = -tan(7π/4)

कोण 7π/4 चौथे चतुर्थांश में स्थित है और इसे 2π - π/4 के रूप में लिखा जा सकता है। स्पर्शरेखा फलन के आवधिक गुण tan(2π - θ) = -tan(θ) को लागू करने पर, हमें प्राप्त होता है:

-tan(7π/4) = -tan(2π - π/4) = -(-tan(π/4)) = tan(π/4)

चूंकि tan(π/4) का मान 1 है, इसलिए x का मान 1 है।

व्याख्या

दो कोणों के अंतर के कोटिज्या के लिए मानक त्रिकोणमितीय सर्वसमिका है: cot(A - B) = cos(A - B) / sin(A - B)

दो कोणों के अंतर के कोसाइन और साइन का विस्तार करने पर: cot(A - B) = (cos A cos B + sin A sin B) / (sin A cos B - cos A sin B)

अंश और हर दोनों को sin A sin B से विभाजित करने पर: cot(A - B) = ((cos A cos B) / (sin A sin B) + 1) / ((sin A cos B) / (sin A sin B) - (cos A sin B) / (sin A sin B))

प्रत्येक पद को सरल करने पर: cot(A - B) = (cot A cot B + 1) / (cot B - cot A)

चूंकि यह दिए गए समीकरण से मेल खाता है, इसलिए x, cot(A - B) के बराबर है।

व्याख्या

साधारण ब्याज वर्षों में समान रूप से वितरित होता है, जिसका अर्थ है कि पहले वर्ष का साधारण ब्याज 2400 / 2 = रु 1200 है।

किसी भी निवेश के लिए, चक्रवृद्धि ब्याज और साधारण ब्याज पहले वर्ष में समान होते हैं। दो वर्षों में चक्रवृद्धि ब्याज और साधारण ब्याज के बीच का अंतर पहले वर्ष के ब्याज पर अर्जित ब्याज के कारण होता है।

दो वर्षों के लिए चक्रवृद्धि ब्याज और साधारण ब्याज के बीच का अंतर है: 2544 - 2400 = रु 144

यह रु 144, दूसरे वर्ष के दौरान रु 1200 के पहले वर्ष के ब्याज पर अर्जित ब्याज है।

ब्याज की दर (R) की गणना इस प्रकार की जाती है: R = (पहले वर्ष के ब्याज पर अर्जित ब्याज / पहले वर्ष का साधारण ब्याज) × 100 R = (144 / 1200) × 100 = 12%

व्याख्या

हम व्यंजक को सरल करते हैं:

1/(1 + sinA) + 1/(1 - sinA)

एक सामान्य हर ज्ञात करके, व्यंजक बन जाता है:

((1 - sinA) + (1 + sinA)) / ((1 + sinA)(1 - sinA))

= 2 / (1 - sin²A)

त्रिकोणमितीय सर्वसमिका 1 - sin²A = cos²A का उपयोग करके, हम लिख सकते हैं:

= 2 / cos²A

चूंकि secA = 1/cosA, यह व्यंजक सीधे 2sec²A तक सरल हो जाता है, जो x के बराबर है।

व्याख्या

सभी डिवीजनों में लड़कों की कुल संख्या है: 30 + 25 + 10 + 40 + 40 + 30 = 175

सभी डिवीजनों में लड़कियों की कुल संख्या है: 90

लड़कों की कुल संख्या और लड़कियों की कुल संख्या का अनुपात है: 175 : 90 = 35 : 18

व्याख्या

20 या उससे अधिक लेकिन 40 से कम अंक प्राप्त करने वाले छात्रों की संख्या ज्ञात करने के लिए, हम 20 या उससे अधिक अंक प्राप्त करने वाले छात्रों की संख्या में से 40 या उससे अधिक अंक प्राप्त करने वाले छात्रों की संख्या घटाते हैं।

संचयी आवृत्ति तालिका से: 20 या उससे अधिक अंक प्राप्त करने वाले छात्रों की संख्या = 70 40 या उससे अधिक अंक प्राप्त करने वाले छात्रों की संख्या = 21

इन दो मानों को घटाने पर 20 से कम 40 की सीमा में छात्रों की संख्या प्राप्त होती है: 70 - 21 = 49

व्याख्या

वर्ष 2012 का अंत वर्ष 2013 की शुरुआत के बराबर है। वर्ष 2014 की शुरुआत वर्ष 2013 के अंत के बराबर है। इसलिए, 2014 की शुरुआत में जीडीपी ज्ञात करने के लिए, हम 2012 के अंत में जीडीपी पर 2013 की वृद्धि दर लागू करते हैं।

प्रतिशत परिवर्तन सूत्र का उपयोग करके: 2014 की शुरुआत में जीडीपी = 2012 के अंत में जीडीपी × (1 + 2013 की वृद्धि दर / 100)

दिए गए मानों को प्रतिस्थापित करना: 2014 की शुरुआत में जीडीपी = 4 × (1 - 3/100) 2014 की शुरुआत में जीडीपी = 4 × 0.97 = 3.88 ट्रिलियन

व्याख्या

छात्र द्वारा प्राप्त अंकों का औसत सभी विषयों में प्राप्त अंकों के योग को विषयों की कुल संख्या से विभाजित करके निकाला जाता है।

अंकों का योग = 70 + 75 + 30 + 75 + 60 = 310 विषयों की संख्या = 5

प्रारंभिक औसत अंक = 310 / 5 = 62

चूंकि खराब उपस्थिति के कारण औसत से 5 अंक काटे जाते हैं, इसलिए छात्र द्वारा प्राप्त शुद्ध औसत अंक हैं: 62 - 5 = 57

व्याख्या

मानक त्रिकोणमितीय मान sin 60° = √3/2 और cos 45° = 1/√2 हैं।

इन मानों को दिए गए व्यंजक में प्रतिस्थापित करने पर: x = √3/2 + 1/√2

पदों को जोड़ने के लिए, उन्हें 2 के उभयनिष्ठ हर के साथ व्यक्त करें, दूसरे पद के अंश और हर को √2 से गुणा करके: 1/√2 = (1 × √2) / (√2 × √2) = √2/2

इस प्रकार: x = √3/2 + √2/2 x = (√3 + √2)/2

व्याख्या

हमें दिया गया है कि x = cot(A/2)।

मानक अर्ध-कोण त्रिकोणमितीय सर्वसमिकाओं को लागू करने पर: 1 + cosA = 2 cos²(A/2) sinA = 2 sin(A/2) cos(A/2)

पहले व्यंजक को दूसरे से विभाजित करने पर: (1 + cosA) / sinA = [2 cos²(A/2)] / [2 sin(A/2) cos(A/2)]

अंश और हर दोनों से उभयनिष्ठ पदों 2 और cos(A/2) को रद्द करके भिन्न को सरल बनाने पर प्राप्त होता है: (1 + cosA) / sinA = cos(A/2) / sin(A/2) = cot(A/2)

चूंकि x = cot(A/2), हमारे पास है: x = (1 + cosA) / sinA

व्याख्या

पिस्ता का क्रय मूल्य (CP) निम्न सूत्र का उपयोग करके गणना की जाती है: CP = SP / (1 - हानि%)

₹1140 के दिए गए विक्रय मूल्य (SP) और 5% की हानि को प्रतिस्थापित करने पर: CP = 1140 / (1 - 0.05) CP = 1140 / 0.95 CP = 1200

पिस्ता का क्रय मूल्य ₹1200 प्रति किग्रा है।

जब पिस्ता को ₹1260 प्रति किग्रा के नए विक्रय मूल्य पर बेचा जाता है, तो लाभ होता है: लाभ = नया SP - CP लाभ = 1260 - 1200 = 60

लाभ प्रतिशत की गणना इस प्रकार की जाती है: लाभ% = (लाभ / CP) × 100 लाभ% = (60 / 1200) × 100 = 5%

व्याख्या

मान लीजिए समर्थ की कार्य दर R है। चूँकि समर्थ अकेले 28 दिनों में काम पूरा कर सकता है, इसलिए समर्थ की कार्य दर प्रति दिन 1/28 काम है।

चूंकि मंदर, समर्थ से 3 गुना तेज काम करता है, इसलिए मंदर की कार्य दर प्रति दिन 3 × (1/28) = 3/28 काम है।

जब वे एक साथ काम करते हैं, तो उनकी संयुक्त कार्य दर उनकी व्यक्तिगत दरों का योग होती है: संयुक्त दर = 1/28 + 3/28 = 4/28 = 1/7 काम प्रति दिन।

काम को एक साथ पूरा करने में लगने वाला समय उनकी संयुक्त दर का व्युत्क्रम होता है: लिया गया समय = 1 / (1/7) = 7 दिन।

व्याख्या

छूट प्रतिशत की गणना सूत्र का उपयोग करके की जाती है:

छूट प्रतिशत = (अंकित मूल्य - विक्रय मूल्य) / अंकित मूल्य × 100

दिया गया है: अंकित मूल्य = ₹3250 विक्रय मूल्य = ₹2275

छूट = 3250 - 2275 = ₹975

छूट प्रतिशत = (975 / 3250) × 100 = 30%

व्याख्या

चूंकि पुलिसकर्मी और चोर दोनों के लिए यात्रा का समय समान है, इसलिए प्रत्येक द्वारा तय की गई दूरी उनकी गति के सीधे आनुपातिक होती है।

पुलिसकर्मी द्वारा तय की गई दूरी और चोर द्वारा तय की गई दूरी का अनुपात = 18 : 10 = 9 : 5

मान लीजिए पुलिसकर्मी द्वारा तय की गई दूरी 9x है और चोर द्वारा तय की गई दूरी 5x है। उनकी दूरियों का अंतर प्रारंभिक अंतर 500 मीटर है: 9x - 5x = 500 4x = 500 x = 125

पकड़े जाने से पहले चोर द्वारा दौड़ी गई दूरी है: 5x = 5 × 125 = 625 मीटर

व्याख्या

2957 में जोड़ी जाने वाली वह छोटी से छोटी संख्या ज्ञात करने के लिए ताकि वह 17 से पूरी तरह विभाज्य हो जाए, हम पहले 2957 को 17 से विभाजित करके शेषफल ज्ञात करते हैं।

2957 ÷ 17 = 173, शेषफल 16

जोड़ी जाने वाली छोटी से छोटी संख्या भाजक और शेषफल के बीच का अंतर होती है।

आवश्यक संख्या = 17 - 16 = 1

2957 में 1 जोड़ने पर 2958 प्राप्त होता है, जो 17 से पूरी तरह विभाज्य है (2958 ÷ 17 = 174)।

व्याख्या

दिया गया व्यंजक x = (sin²A - sin²B) / (cos²A cos²B) है।

व्यंजक tan²A - tan²B पर विचार करें। टैनजेंट को साइन और कोसाइन में परिवर्तित करके, हमें प्राप्त होता है:

tan²A - tan²B = (sin²A / cos²A) - (sin²B / cos²B)

सामान्य हर cos²A cos²B लेने पर, व्यंजक बन जाता है:

(sin²A cos²B - sin²B cos²A) / (cos²A cos²B)

त्रिकोणमितीय सर्वसमिका cos²θ = 1 - sin²θ का उपयोग करके अंश को फिर से लिखना:

sin²A cos²B - sin²B cos²A = sin²A (1 - sin²B) - sin²B (1 - sin²A) = sin²A - sin²A sin²B - sin²B + sin²A sin²B = sin²A - sin²B

इसे वापस भिन्न में प्रतिस्थापित करने पर प्राप्त होता है:

(sin²A - sin²B) / (cos²A cos²B)

यह x के लिए दिए गए व्यंजक से मेल खाता है, जिसका अर्थ है कि x, tan²A - tan²B के बराबर है।

व्याख्या

एक गोले का आयतन V = 4/3 π r³ सूत्र द्वारा दिया जाता है, जहाँ r गोले की त्रिज्या है।

जब एक बड़ी गेंद को पिघलाकर छोटी गेंदें बनाई जाती हैं, तो कुल आयतन संरक्षित रहता है।

छोटी गेंदों की संख्या (N) जो बनाई जा सकती है, वह इस प्रकार दी जाती है: N = बड़ी गेंद का आयतन / प्रत्येक छोटी गेंद का आयतन N = (4/3 π R³) / (4/3 π r³) N = (R / r)³

यह देखते हुए कि बड़ी गेंद का व्यास 48 सेमी है, इसकी त्रिज्या (R) है: R = 48 / 2 = 24 सेमी

प्रत्येक छोटी गेंद (r) की त्रिज्या 3 सेमी है।

सूत्र में मानों को प्रतिस्थापित करने पर: N = (24 / 3)³ N = 8³ N = 512

व्याख्या

कुल संग्रह प्रवेश टिकट की कीमत और आगंतुकों की संख्या का गुणनफल होता है।

मान लीजिए टिकट की प्रारंभिक कीमत 9x है और नई कीमत 13x है। मान लीजिए आगंतुकों की प्रारंभिक संख्या 7y है और आगंतुकों की नई संख्या 4y है।

प्रारंभिक कुल संग्रह = 9x × 7y = 63xy नया कुल संग्रह = 13x × 4y = 52xy

प्रारंभिक संग्रह की तुलना नए संग्रह से करने पर, अनुपात 63xy : 52xy है, जो सरल होकर 63 : 52 हो जाता है। चूंकि मान 63 से 52 तक कम हो गया है, इसलिए कुल संग्रह 63:52 के अनुपात में कम हो गया है।

व्याख्या

मान लीजिए संख्या 5 और 7 के हरों का लघुत्तम समापवर्त्य (LCM) है, जो कि 35 है।

सही गणना है: 35 × 7/5 = 49

गलत गणना है: 35 × 5/7 = 25

त्रुटि का परिमाण है: 49 - 25 = 24

प्रतिशत त्रुटि का सूत्र है: प्रतिशत त्रुटि = (त्रुटि / सही मान) × 100 प्रतिशत त्रुटि = (24 / 49) × 100 प्रतिशत त्रुटि = 2400 / 49 ≈ 48.98%

व्याख्या

दो समरूप त्रिभुजों के लिए, उनके परिमापों का अनुपात उनकी संगत भुजाओं के अनुपात के बराबर होता है।

परिमाप(ΔGHI) / परिमाप(ΔKLM) = GH / KL

दिए गए मानों को सूत्र में प्रतिस्थापित करने पर:

9/4 = 27 / KL

KL = (27 × 4) / 9

KL = 12 सेमी

व्याख्या

एक वर्ग के विकर्ण एक दूसरे के लंबवत होते हैं और एक दूसरे को समद्विभाजित करते हैं। इसलिए, विकर्ण AC का मध्य बिंदु विकर्ण BD का भी मध्य बिंदु होता है।

AC के मध्य बिंदु M के निर्देशांक हैं: x = (7 + 1)/2 = 4 y = (-8 + 4)/2 = -2 अतः, M (4, -2) है।

विकर्ण AC की ढलान है: m = (4 - (-8)) / (1 - 7) = 12 / -6 = -2

चूंकि विकर्ण BD, AC के लंबवत है, इसकी ढलान है: m_BD = -1 / m = -1 / (-2) = ½

मध्य बिंदु (4, -2) और ढलान ½ के साथ बिंदु-ढलान रूप का उपयोग करके, विकर्ण BD का समीकरण है: y - (-2) = ½(x - 4) y + 2 = ½(x - 4) 2(y + 2) = x - 4 2y + 4 = x - 4 x - 2y = 8

व्याख्या

n भुजाओं वाले एक सम बहुभुज के प्रत्येक बाह्य कोण का माप निम्न सूत्र द्वारा दिया जाता है:

बाह्य कोण = 360° / n

एक सम द्वादशभुज (regular dodecagon) में 12 भुजाएँ होती हैं, जिसका अर्थ है n = 12। इस मान को सूत्र में प्रतिस्थापित करने पर:

बाह्य कोण = 360° / 12 = 30°

व्याख्या

एक वर्ग का परिमाप सूत्र P = 4s द्वारा दिया जाता है, जहाँ s भुजा की लंबाई को दर्शाता है। दिए गए परिमाप को प्रतिस्थापित करने पर:

4s = 40 s = 10 सेमी

एक वर्ग का क्षेत्रफल सूत्र A = s² द्वारा दिया जाता है। भुजा की लंबाई को प्रतिस्थापित करने पर:

A = 10² = 100 वर्ग सेमी

व्याख्या

व्यंजक (x + 3)(2 - 4x)(5x - 6) में x² के गुणांक को ज्ञात करने के लिए, हम पहले पहले दो पदों के गुणनफल का विस्तार करते हैं:

(x + 3)(2 - 4x) = 2x - 4x² + 6 - 12x = -4x² - 10x + 6

इसके बाद, हम इस मध्यवर्ती द्विघात व्यंजक को तीसरे पद से गुणा करते हैं:

(-4x² - 10x + 6)(5x - 6)

इस गुणनफल में x² वाले पद निम्नलिखित से प्राप्त होते हैं: पहले व्यंजक का द्विघात पद दूसरे व्यंजक के अचर पद से गुणा किया गया: (-4x²) × (-6) = 24x² पहले व्यंजक का रैखिक पद दूसरे व्यंजक के रैखिक पद से गुणा किया गया: (-10x) × (5x) = -50x²

इन पदों को जोड़ने पर प्राप्त होता है:

24x² - 50x² = -26x²

इससे x² का गुणांक -26 प्राप्त होता है।

व्याख्या

बीजगणितीय सर्वसमिका का प्रयोग करके: (a + b)² = a² + b² + 2ab

दिए गए मानों को सूत्र में प्रतिस्थापित करने पर: (10)² = 58 + 2ab 100 = 58 + 2ab 2ab = 100 - 58 2ab = 42 ab = 21

व्याख्या

मान लीजिए दो-अंकीय संख्या का दहाई का अंक t और इकाई का अंक u है। मूल संख्या का मान 10t + u है।

दी गई शर्तों के अनुसार: t - u = 2

अंकों को परस्पर बदलने पर प्राप्त संख्या 10u + t है। मूल संख्या में से 18 घटाने पर प्राप्त होता है: 10t + u - 18 = 10u + t 9t - 9u = 18 t - u = 2

संख्या 86 के लिए, जहाँ t = 8 और u = 6: t - u = 8 - 6 = 2

संख्या में से 18 घटाने पर: 86 - 18 = 68

परिणामी संख्या 68, 86 के अंकों के परस्पर बदलने से बनी है।

व्याख्या

स्टॉक का कुल मूल्य निम्न सूत्र का उपयोग करके गणना की जाती है:

कुल मूल्य = ∑ (मात्रा × औसत लागत)

इसे प्रत्येक उत्पाद श्रेणी पर लागू करना:

मोबाइल फोन: 44 × 11000 = 484000 रु कैमरा: 95 × 6000 = 570000 रु टीवी: 37 × 41000 = 1517000 रु रेफ्रिजरेटर: 33 × 49000 = 1617000 रु एसी: 45 × 22000 = 990000 रु

कुल स्टॉक मूल्य प्राप्त करने के लिए इन व्यक्तिगत मूल्यों को जोड़ना:

कुल मूल्य = 484000 + 570000 + 1517000 + 1617000 + 990000 = 5178000 रु

इस मूल्य को लाख रुपये में परिवर्तित करना (चूंकि 1 लाख = 100000):

लाख रुपये में मूल्य = 5178000 ÷ 100000 = 51.78

व्याख्या

वर्ष 2012 के लिए, आयात और निर्यात का अनुपात 1.3 है। यह देखते हुए कि 2012 में आयात 1400 करोड़ रुपये है, 2012 में निर्यात की गणना इस प्रकार की जाती है: निर्यात (2012) = आयात (2012) / 1.3 = 1400 / 1.3 ≈ 1076.92 करोड़

वर्ष 2012 और 2013 के लिए कुल निर्यात संयुक्त रूप से 2400 करोड़ रुपये है। इसलिए, 2013 में निर्यात है: निर्यात (2013) = 2400 - निर्यात (2012) = 2400 - 1076.92 = 1323.08 करोड़

वर्ष 2013 के लिए, आयात और निर्यात का अनुपात 0.7 है। 2013 में आयात की गणना इस प्रकार की जाती है: आयात (2013) = निर्यात (2013) × 0.7 = 1323.08 × 0.7 ≈ 926.16 करोड़

इसे निकटतम पूर्णांक तक पूर्णांकित करने पर 926 करोड़ प्राप्त होता है।

व्याख्या

5वें जन्मदिन से 13वें जन्मदिन तक बच्चे की ऊँचाई में वृद्धि ज्ञात करने के लिए, हम निम्नलिखित सूत्र का उपयोग करके इन दो जन्मदिनों पर बच्चे की ऊँचाई के बीच अंतर की गणना करते हैं:

ऊँचाई में वृद्धि = 13वें जन्मदिन पर ऊँचाई - 5वें जन्मदिन पर ऊँचाई

दिए गए डेटा तालिका से: 5वें जन्मदिन पर बच्चे की ऊँचाई = 110 सेमी 13वें जन्मदिन पर बच्चे की ऊँचाई = 160 सेमी

इन मानों को सूत्र में रखने पर: ऊँचाई में वृद्धि = 160 सेमी - 110 सेमी = 50 सेमी

व्याख्या

रात 10 बजे से सुबह 6 बजे तक की कुल समयावधि 8 घंटे है।

दिए गए डेटा से, हल्की नींद में बिताए गए समय का प्रतिशत 10% है और जागृत अवस्था में बिताए गए समय का प्रतिशत 40% है।

हल्की नींद या जागृत अवस्था के लिए संयुक्त प्रतिशत 10% + 40% = 50% है।

अवधि ज्ञात करने के लिए, कुल 8 घंटे का 50% गणना करें:

अवधि = 50% × 8 = 4 घंटे