एसएससी सीएचएसएल टियर 1 2016 मात्रात्मक अभिक्षमता प्रश्न — हल सहित

व्याख्या

हम दो भिन्नों के लिए एक सामान्य भाजक ज्ञात करके व्यंजक को सरल बना सकते हैं:

1/(1 + cosA) + 1/(1 - cosA) = [(1 - cosA) + (1 + cosA)] / [(1 + cosA)(1 - cosA)]

अंश और हर को सरल बनाने पर, हमें प्राप्त होता है:

अंश = 1 - cosA + 1 + cosA = 2 हर = (1 + cosA)(1 - cosA) = 1 - cos²A

मौलिक त्रिकोणमितीय सर्वसमिका sin²A + cos²A = 1 का उपयोग करके, हम हर को sin²A के रूप में लिख सकते हैं:

1/(1 + cosA) + 1/(1 - cosA) = 2/sin²A

चूंकि cosecA = 1/sinA है, व्यंजक सरल होकर यह हो जाता है:

2 cosec²A

यह x के दिए गए मान के बराबर है।

व्याख्या

सही उत्तर: D

लड़कों और लड़कियों का अनुपात ज्ञात करने के लिए, हम पहले सभी डिवीजनों और मानकों में लड़कों की कुल संख्या और लड़कियों की कुल संख्या की गणना करते हैं।

कुल लड़के = 40 + 35 + 15 + 35 + 40 + 20 = 185

कुल लड़कियाँ = 10 + 25 + 10 + 35 + 30 + 20 = 130

लड़कों और लड़कियों का अनुपात 185 : 130 है। अनुपात के दोनों पदों को उनके सामान्य गुणनखंड 5 से विभाजित करने पर सरलीकृत अनुपात प्राप्त होता है:

185/5 : 130/5 = 37 : 26

व्याख्या

उन छात्रों की संख्या ज्ञात करने के लिए जिन्होंने 20 या उससे अधिक लेकिन 40 से कम अंक प्राप्त किए हैं, 40 या उससे अधिक अंक प्राप्त करने वाले छात्रों की संख्या को 20 या उससे अधिक अंक प्राप्त करने वाले छात्रों की संख्या से घटाएं।

दिए गए संचयी डेटा तालिका से: 20 या उससे अधिक अंक प्राप्त करने वाले छात्रों की संख्या = 61 40 या उससे अधिक अंक प्राप्त करने वाले छात्रों की संख्या = 25

इसलिए, 20 या उससे अधिक लेकिन 40 से कम अंक प्राप्त करने वाले छात्रों की संख्या है: 61 - 25 = 36

व्याख्या

वर्ष 2015 की शुरुआत वर्ष 2014 के अंत के अनुरूप है। चूंकि 2013 के अंत में (जो 2014 की शुरुआत है) जीडीपी 3 ट्रिलियन थी, और वर्ष 2014 के लिए जीडीपी वृद्धि दर 4% थी, इसलिए 2015 की शुरुआत में जीडीपी की गणना इस प्रकार की जा सकती है:

2015 की शुरुआत में जीडीपी = 2013 के अंत में जीडीपी × (1 + 2014 के लिए जीडीपी वृद्धि दर / 100)

दिए गए मानों को प्रतिस्थापित करने पर:

2015 की शुरुआत में जीडीपी = 3 × (1 + 4 / 100) = 3 × 1.04 = 3.12 ट्रिलियन

व्याख्या

छात्र द्वारा पांच विषयों में प्राप्त अंकों का औसत, अंकों के योग को विषयों की कुल संख्या से विभाजित करके निकाला जाता है।

अंकों का योग = 30 + 65 + 80 + 75 + 70 = 320 विषयों की कुल संख्या = 5 औसत अंक = 320 / 5 = 64

खराब उपस्थिति के लिए 5 अंक काटने के बाद, छात्र के शुद्ध औसत प्राप्त अंक हैं: शुद्ध औसत अंक = 64 - 5 = 59

व्याख्या

द्विघात व्यंजक x² + 3x - 18 का गुणनखंड करने के लिए, हम दो ऐसी संख्याएँ ढूंढते हैं जिनका गुणनफल अचर पद -18 हो और जिनका योग मध्य पद 3 का गुणांक हो।

ये दो संख्याएँ 6 और -3 हैं, क्योंकि: 6 × (-3) = -18 6 + (-3) = 3

इन संख्याओं का उपयोग करके मध्य पद को विभाजित करना: x² + 3x - 18 = x² + 6x - 3x - 18

गुणनखंड करने के लिए पदों को समूहित करना: x(x + 6) - 3(x + 6) = (x + 6)(x - 3)

व्याख्या

जब दो वस्तुएँ एक-दूसरे की ओर बढ़ती हैं, तो उनकी सापेक्ष गति उनकी व्यक्तिगत गतियों का योग होती है।

सापेक्ष गति = 17 + 22 = 39 किमी/घंटा

मिलने से पहले वे 44 मिनट तक यात्रा करते हैं। इस समय को घंटों में बदलना:

समय = 44/60 घंटे = 11/15 घंटे

दूरी सूत्र का उपयोग करना:

दूरी = सापेक्ष गति × समय

दूरी = 39 × 11/15 = 13 × 11/5 = 143/5 = 28.6 किमी

व्याख्या

दिए गए मूलों के योग S और मूलों के गुणनफल P वाले एक द्विघात समीकरण को सूत्र द्वारा व्यक्त किया जाता है: x² - Sx + P = 0

यह देखते हुए कि मूलों का योग S = -7 और मूलों का गुणनफल P = 12 है, इन मानों को संबंध में प्रतिस्थापित करने पर प्राप्त होता है: x² - (-7)x + 12 = 0 x² + 7x + 12 = 0

व्याख्या

क्रमिक प्रतिशत छूट के सूत्र का उपयोग करके: प्रभावी छूट = d₁ + d₂ - (d₁ × d₂) / 100

यहाँ, पहली छूट d₁ 20% है और दूसरी छूट d₂ (कैशबैक के रूप में प्राप्त) 10% है।

इन मानों को सूत्र में प्रतिस्थापित करने पर: प्रभावी छूट = 20 + 10 - (20 × 10) / 100 प्रभावी छूट = 30 - 2 प्रभावी छूट = 28%

वैकल्पिक रूप से, यदि वस्तु का अंकित मूल्य ₹100 है, तो 20% की छूट से कीमत ₹80 हो जाती है। इस राशि पर 10% कैशबैक लागू करने से ₹8 की अतिरिक्त बचत होती है, जिससे अंतिम प्रभावी लागत ₹72 हो जाती है। यह मूल ₹100 पर ₹28 की कुल बचत का प्रतिनिधित्व करता है, जो 28% की प्रभावी छूट के अनुरूप है।

व्याख्या

भिन्न 2530/1430 को उसके निम्नतम पदों तक कम करने के लिए, सबसे पहले इसे 10 के उभयनिष्ठ गुणनखंड से अंश और हर दोनों को विभाजित करके सरल करें। इससे 253/143 प्राप्त होता है।

इसके बाद, 253 और 143 का महत्तम समापवर्तक ज्ञात करें। 11 के विभाज्यता नियम का उपयोग करके, हम पाते हैं कि दोनों संख्याएँ 11 से विभाज्य हैं: 253 ÷ 11 = 23 143 ÷ 11 = 13

253/143 के अंश और हर दोनों को 11 से विभाजित करने पर 23/13 प्राप्त होता है। चूँकि 23 और 13 दोनों अभाज्य संख्याएँ हैं, इसलिए भिन्न अपने सरलतम रूप में है।

व्याख्या

x की सीमा ज्ञात करने के लिए, दोनों असमानताओं को अलग-अलग हल करें।

पहली असमानता के लिए: 5x - 3 ≥ 3 + x/2 पूरी असमानता को 2 से गुणा करें: 10x - 6 ≥ 6 + x दोनों पक्षों से x घटाएं और 6 जोड़ें: 9x ≥ 12 x ≥ 4/3

दूसरी असमानता के लिए: 4x - 2 ≤ 6 + x दोनों पक्षों से x घटाएं और 2 जोड़ें: 3x ≤ 8 x ≤ 8/3

दोनों परिणामों को मिलाने पर सीमा प्राप्त होती है: 4/3 ≤ x ≤ 8/3

चूंकि 4/3 लगभग 1.33 है और 8/3 लगभग 2.67 है, इसलिए मान 2 इस असमानता सीमा को संतुष्ट करता है।

व्याख्या

जब प्रथम और अंतिम पद ज्ञात हों तो समांतर श्रेणी के योग का सूत्र इस प्रकार दिया जाता है:

S = (n / 2) × (a + l)

इस सूत्र में, S श्रेणी के योग को दर्शाता है, n पदों की संख्या को दर्शाता है, a प्रथम पद है, और l अंतिम पद है।

दिए गए मानों को प्रतिस्थापित करने पर:

-88 = (n / 2) × (32 - 43)

-88 = (n / 2) × (-11)

-176 = -11n

n = 16

व्याख्या

₹ P की मूल राशि पर R वार्षिक ब्याज दर से 2 वर्षों के लिए चक्रवृद्धि ब्याज और साधारण ब्याज के बीच का अंतर सूत्र द्वारा दिया जाता है:

अंतर = P × (R / 100)²

दिए गए मानों को प्रतिस्थापित करने पर, जहाँ अंतर = ₹81 और R = 18%:

81 = P × (18 / 100)² 81 = P × (324 / 10000)

P के लिए समीकरण को पुनर्व्यवस्थित करने पर:

P = (81 × 10000) / 324 P = 10000 / 4 P = 2500

व्याख्या

बिंदुओं (x₁, y₁) और (x₂, y₂) को मिलाने वाले रेखाखंड को Y-अक्ष -x₁ : x₂ के अनुपात में विभाजित करता है।

दिए गए बिंदुओं (12, -1) और (-3, 4) के लिए, x-निर्देशांक x₁ = 12 और x₂ = -3 हैं।

इन मानों को सूत्र में प्रतिस्थापित करने पर: -12 : -3 = 4 : 1

यह धनात्मक अनुपात दर्शाता है कि Y-अक्ष खंड को 4:1 के अनुपात में आंतरिक रूप से विभाजित करता है।

व्याख्या

दो बिंदुओं (x₁, y₁) और (x₂, y₂) से गुजरने वाली रेखा की ढाल का सूत्र m = (y₂ - y₁) / (x₂ - x₁) द्वारा दिया जाता है।

चूंकि समानांतर रेखाओं की ढाल बराबर होती है, इसलिए बिंदुओं (4,3) और (y,0) से गुजरने वाली रेखा की ढाल m₁ बिंदुओं (-1,-2) और (3,0) से गुजरने वाली रेखा की ढाल m₂ के बराबर होनी चाहिए।

पहले, ढाल m₂ की गणना करें: m₂ = (0 - (-2)) / (3 - (-1)) = 2/4 = ½

अगला, ढाल m₁ को व्यक्त करें: m₁ = (0 - 3) / (y - 4) = -3 / (y - 4)

चूंकि m₁ = m₂: -3 / (y - 4) = ½

y के लिए हल करने के लिए वज्र-गुणा करने पर: y - 4 = -6 y = -2

व्याख्या

मान लीजिए 1-रुपये, 50-पैसे और 10-पैसे के सिक्कों की संख्या क्रमशः 2x, 3x और 5x है।

सिक्कों के मान को रुपये में बदलना: 1-रुपये के सिक्के का मान = ₹1.00 50-पैसे के सिक्के का मान = ₹0.50 10-पैसे के सिक्के का मान = ₹0.10

थैले में सभी सिक्कों का कुल मान ₹20 है। हम मानों के योग को इस प्रकार व्यक्त कर सकते हैं: (2x × 1.00) + (3x × 0.50) + (5x × 0.10) = 20 2x + 1.5x + 0.5x = 20 4x = 20 x = 5

50-पैसे के सिक्कों की संख्या 3x है: 3 × 5 = 15

व्याख्या

कक्षा का कुल भार विद्यार्थियों की कुल संख्या को पूरी कक्षा के औसत भार से गुणा करके निकाला जाता है: 60 × 66.5 = 3990 किग्रा

कक्षा में लड़कियों का कुल भार है: 33 × 62 = 2046 किग्रा

कक्षा में लड़कों की संख्या है: 60 - 33 = 27 लड़के

लड़कों का कुल भार कक्षा के कुल भार और लड़कियों के कुल भार के बीच का अंतर है: 3990 - 2046 = 1944 किग्रा

लड़कों का औसत भार है: 1944 ÷ 27 = 72 किग्रा

व्याख्या

मान लीजिए संख्या x है। चूँकि संख्या में 32 जोड़ने पर वह स्वयं का 116% हो जाती है, इसलिए 32 की वृद्धि मूल 100% पर 16% की वृद्धि के बराबर है।

इस संबंध को इस प्रकार लिखा जा सकता है: x का 16% = 32

इसे मानक प्रतिशत सूत्र में प्रतिस्थापित करने पर: (16 / 100) × x = 32 x = (32 × 100) / 16 x = 2 × 100 x = 200

व्याख्या

n-भुजाओं वाले बहुभुज के आंतरिक कोणों का योग सूत्र द्वारा दिया जाता है: योग = (n - 2) × 180°

दिए गए योग 1800° को सूत्र में प्रतिस्थापित करने पर: (n - 2) × 180° = 1800°

दोनों पक्षों को 180° से विभाजित करने पर: n - 2 = 10

दोनों पक्षों में 2 जोड़ने पर प्राप्त होता है: n = 12

व्याख्या

P और Q द्वारा पूरी परियोजना को एक साथ पूरा करने में लगने वाले समय को ज्ञात करने के लिए, हम कार्य सूत्र T = (a × b) / (a + b) का उपयोग करते हैं, जहाँ a और b क्रमशः P और Q द्वारा लिए गए व्यक्तिगत समय का प्रतिनिधित्व करते हैं।

दिए गए मानों को प्रतिस्थापित करने पर: T = (60 × 30) / (60 + 30) = 1800 / 90 = 20 दिन

चूंकि उन्हें परियोजना का केवल 90% पूरा करना है, हम कुल संयुक्त समय का 90% गणना करते हैं: आवश्यक समय = 20 का 90% = 0.90 × 20 = 18 दिन

व्याख्या

त्रिज्या r वाले अर्धगोले का कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल (TSA) सूत्र द्वारा दिया जाता है: TSA = 3πr²

अर्धगोले का वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल (CSA) सूत्र द्वारा दिया जाता है: CSA = 2πr²

वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल के सूत्र को कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल के सूत्र से विभाजित करके, हम सीधा संबंध प्राप्त करते हैं: CSA = (2/3) × TSA

कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल का दिया गया मान प्रतिस्थापित करने पर: CSA = (2/3) × 166.32 CSA = 2 × 55.44 CSA = 110.88 वर्ग सेमी

व्याख्या

मान लीजिए पास का क्रय मूल्य (CP) और अंकित मूल्य (MP) है।

जब 20% की छूट दी जाती है, तो विक्रय मूल्य अंकित मूल्य का 80% होता है: SP = 0.80 × MP

चूंकि अर्जित लाभ 44% है, विक्रय मूल्य क्रय मूल्य का 144% भी है: SP = 1.44 × CP

SP के लिए दोनों व्यंजकों को बराबर करने पर: 0.80 × MP = 1.44 × CP MP = (1.44 / 0.80) × CP = 1.8 × CP

जब 29% की छूट दी जाती है, तो नया विक्रय मूल्य अंकित मूल्य का 71% होता है: New SP = 0.71 × MP New SP = 0.71 × 1.8 × CP = 1.278 × CP

यह लाभ का प्रतिनिधित्व करता है: Profit % = (1.278 - 1) × 100% = 27.8%

व्याख्या

त्रिकोणमितीय सर्वसमिका tan(-θ) = -tan(θ) का प्रयोग करके, व्यंजक को इस प्रकार सरल किया जा सकता है: tan(-5π/3) = -tan(5π/3)

5π/3 को 2π से अंतर के रूप में व्यक्त करना: 5π/3 = 2π - π/3

सर्वसमिका tan(2π - θ) = -tan(θ) का प्रयोग करके, हमें प्राप्त होता है: -tan(2π - π/3) = -(-tan(π/3)) = tan(π/3)

चूंकि tan(π/3) का सटीक मान √3 है, इसलिए हमें x = √3 प्राप्त होता है।

व्याख्या

अर्ध-कोण त्रिकोणमितीय सर्वसमिका के अनुसार, cos(A) और sin(A/2) के बीच संबंध को कोसाइन के द्वि-कोण सूत्र से प्राप्त किया जाता है:

cos(A) = 1 - 2 sin²(A/2)

sin²(A/2) के लिए पदों को पुनर्व्यवस्थित करने पर:

2 sin²(A/2) = 1 - cos(A)

दोनों पक्षों को 2 से विभाजित करने पर:

sin²(A/2) = (1 - cos(A))/2

दोनों पक्षों का वर्गमूल लेने पर प्राप्त होता है:

sin(A/2) = √[(1 - cos(A))/2]

चूंकि sin(A/2) = x है, इसलिए हमें x = √[(1 - cosA)/2] प्राप्त होता है।

व्याख्या

दिया गया व्यंजक x = cos A cot A / (1 - sin A) है।

त्रिकोणमितीय सर्वसमिका cot A = cos A / sin A का उपयोग करके, व्यंजक को इस प्रकार फिर से लिखा जा सकता है: x = (cos²A / sin A) / (1 - sin A) x = cos²A / [sin A (1 - sin A)]

सर्वसमिका cos²A = 1 - sin²A का उपयोग करके: x = (1 - sin²A) / [sin A (1 - sin A)]

चूंकि 1 - sin²A को बीजगणितीय सर्वसमिका a² - b² = (a - b)(a + b) का उपयोग करके (1 - sin A)(1 + sin A) के रूप में गुणनखंडित किया जा सकता है, हमें प्राप्त होता है: x = (1 - sin A)(1 + sin A) / [sin A (1 - sin A)]

अंश और हर दोनों से उभयनिष्ठ पद (1 - sin A) को रद्द करने पर: x = (1 + sin A) / sin A

अंश में पदों को विभाजित करने पर: x = 1/sin A + sin A/sin A x = cosec A + 1 x = 1 + cosec A

व्याख्या

लड़कों और लड़कियों का अनुपात ज्ञात करने के लिए, सभी डिवीजनों में लड़कों की कुल संख्या और लड़कियों की कुल संख्या की गणना करें।

लड़कों की कुल संख्या = 15 + 35 + 30 + 10 + 20 + 30 = 140

लड़कियों की कुल संख्या = 15 + 40 + 15 + 25 + 40 + 30 = 165

लड़कों और लड़कियों का अनुपात = 140 : 165

अनुपात को दोनों पदों को उनके सामान्य भाजक 5 से विभाजित करके सरल बनाना:

140 ÷ 5 = 28 165 ÷ 5 = 33

यह 28 : 33 का सरलीकृत अनुपात देता है।

व्याख्या

20 या उससे अधिक लेकिन 40 से कम अंक प्राप्त करने वाले छात्रों की संख्या ज्ञात करने के लिए, हम संचयी आवृत्तियों के घटाव का उपयोग करते हैं:

[20, 40) सीमा में छात्रों की संख्या = 20 और उससे अधिक अंक प्राप्त करने वाले छात्रों की संख्या - 40 और उससे अधिक अंक प्राप्त करने वाले छात्रों की संख्या

डेटा तालिका से: 20 और उससे अधिक अंक प्राप्त करने वाले छात्रों की संख्या = 78 40 और उससे अधिक अंक प्राप्त करने वाले छात्रों की संख्या = 25

इन मानों को संबंध में प्रतिस्थापित करने पर: 78 - 25 = 53

व्याख्या

2011 के अंत में देश का सकल घरेलू उत्पाद (GDP) 8 ट्रिलियन था, जो 2012 वर्ष के लिए प्रारंभिक सकल घरेलू उत्पाद के रूप में कार्य करता है। 2013 की शुरुआत ठीक 2012 के अंत के अनुरूप है।

2012 के अंत में सकल घरेलू उत्पाद (GDP) ज्ञात करने के लिए, 2012 के लिए 7% की वृद्धि दर को 2011 के अंत में सकल घरेलू उत्पाद (GDP) पर मानक वृद्धि सूत्र का उपयोग करके लागू किया जाता है:

2012 के अंत में सकल घरेलू उत्पाद (GDP) = 2011 के अंत में सकल घरेलू उत्पाद (GDP) × (1 + 2012 के लिए वृद्धि दर / 100)

सूत्र में मानों को प्रतिस्थापित करना:

2012 के अंत में सकल घरेलू उत्पाद (GDP) = 8 × (1 + 7/100) = 8 × 1.07 = 8.56 ट्रिलियन

इसलिए, 2013 की शुरुआत में सकल घरेलू उत्पाद (GDP) 8.56 ट्रिलियन था।

व्याख्या

दो संख्याओं और उनके महत्तम समापवर्तक (HCF) और लघुत्तम समापवर्त्य (LCM) के बीच मौलिक संबंध सूत्र द्वारा दिया गया है:

दो संख्याओं का गुणनफल = HCF × LCM

माना दी गई संख्या a = 57 है और दूसरी संख्या b है। ज्ञात मानों को सूत्र में प्रतिस्थापित करने पर:

57 × b = 19 × 969

b के लिए हल करने पर:

b = (19 × 969) ÷ 57

चूंकि 57, 19 से विभाज्य है (19 × 3 = 57), यह सरल हो जाता है:

b = 969 ÷ 3

b = 323

व्याख्या

सौरभ, जुआना और रीना के वजन का योग 90 × 3 = 270 किग्रा है।

सौरभ और जुआना के वजन का योग 69 × 2 = 138 किग्रा है।

जुआना और रीना के वजन का योग 94 × 2 = 188 किग्रा है।

दो-व्यक्ति योग समीकरणों को जोड़ने पर प्राप्त होता है: (सौरभ + जुआना) + (जुआना + रीना) = 138 + 188 = 326 किग्रा सौरभ + 2 × जुआना + रीना = 326 किग्रा

इस संयुक्त कुल में से तीनों लोगों के वजन के योग को घटाने पर जुआना का वजन प्राप्त होता है: जुआना = 326 - 270 = 56 किग्रा

व्याख्या

बीजगणितीय व्यंजक (x + 6)(7 - 3x) में x के गुणांक को ज्ञात करने के लिए, हम गुणनफल का विस्तार करते हैं:

(x + 6)(7 - 3x) = x(7 - 3x) + 6(7 - 3x)

प्रत्येक पद का मूल्यांकन करने पर:

= 7x - 3x² + 42 - 18x

समान पदों को समूहित करने पर:

= -3x² + (7 - 18)x + 42 = -3x² - 11x + 42

यह विस्तार x पद के लिए -11 का गुणांक देता है।

व्याख्या

मान लीजिए भाई की वर्तमान आयु B है और बहन की वर्तमान आयु S है। चूँकि भाई 7 वर्ष बड़ा है, हम लिख सकते हैं: S = B - 7

पाँच वर्ष पूर्व, भाई की आयु B - 5 थी, और बहन की आयु थी: S - 5 = (B - 7) - 5 = B - 12

पाँच वर्ष पूर्व उनकी आयु का गुणनफल 30 था: (B - 5) × (B - 12) = 30

इस द्विघात समीकरण का विस्तार करने पर: B² - 12B - 5B + 60 = 30 B² - 17B + 30 = 0

गुणनखंड द्वारा B के लिए हल करने पर: (B - 15) × (B - 2) = 0

इससे B = 15 या B = 2 प्राप्त होता है। चूँकि S = B - 7, B = 2 चुनने पर बहन की आयु ऋणात्मक हो जाएगी। अतः, भाई की वर्तमान आयु 15 वर्ष होनी चाहिए।

व्याख्या

सही उत्तर: D

अज्ञात संख्या को x मान लीजिए। संबंध सूत्र द्वारा दर्शाया गया है:

प्रतिशत × संख्या = मान

दिए गए मानों को सूत्र में प्रतिस्थापित करने पर:

1.6% × x = 42

(1.6 / 100) × x = 42

x = (42 × 100) / 1.6

x = 4200 / 1.6

x = 42000 / 16

x = 2625

व्याख्या

पहली असमानता को हल करें: 5 - x > 1 + 5x 4 > 6x x < 2/3

दूसरी असमानता को हल करें: 5 - 3x ≥ 2 - 4x x ≥ -3

दोनों शर्तों को मिलाने पर, x का मान संतुष्ट होना चाहिए: -3 ≤ x < 2/3

मान -2 इस अंतराल में आता है क्योंकि -3 ≤ -2 < 2/3।

व्याख्या

मान लीजिए SP एक घड़ी का विक्रय मूल्य है।

11 घड़ियों का विक्रय मूल्य = 11 × SP अर्जित लाभ = 3 × SP

मानक संबंध का उपयोग करके: क्रय मूल्य = विक्रय मूल्य - लाभ 11 घड़ियों का क्रय मूल्य = 11 × SP - 3 × SP = 8 × SP

लाभ प्रतिशत का सूत्र है: लाभ प्रतिशत = (लाभ / क्रय मूल्य) × 100 लाभ प्रतिशत = (3 × SP / 8 × SP) × 100 = (3/8) × 100 = 37.5%

व्याख्या

दिए गए पदों a_p और a_q वाली एक समांतर श्रेणी में सार्व अंतर d की गणना सूत्र का उपयोग करके की जाती है:

d = (a_q - a_p) / (q - p)

8वें पद, a₈ = -17, और 17वें पद, a₁₇ = -71 का उपयोग करके:

d = (-71 - (-17)) / (17 - 8) d = -54 / 9 = -6

किसी भी पद aₙ को दूसरे पद a_p से संबंध का उपयोग करके निर्धारित किया जा सकता है:

aₙ = a_p + (n - p) × d

8वें पद का उपयोग करके 13वां पद ज्ञात करने के लिए:

a₁₃ = a₈ + (13 - 8) × d a₁₃ = -17 + 5 × (-6) a₁₃ = -17 - 30 a₁₃ = -47

व्याख्या

माना मालगाड़ी की गति G किमी/घंटा है।

दूसरी ट्रेन के शुरू होने से पहले मालगाड़ी 4 घंटे तक यात्रा करती है, और फिर दूसरी ट्रेन द्वारा मालगाड़ी को ओवरटेक करने तक दोनों ट्रेनें 9 घंटे तक यात्रा करती हैं। इस प्रकार, मालगाड़ी के लिए कुल यात्रा समय 4 + 9 = 13 घंटे है।

चूंकि दूसरी ट्रेन स्टेशन से समान दूरी तय करने के लिए 9 घंटे तक 65 किमी/घंटा की गति से यात्रा करती है: दूरी = गति × समय 13 × G = 65 × 9 G = (65 × 9) ÷ 13 G = 5 × 9 G = 45 किमी/घंटा

व्याख्या

2 वर्षों की अवधि के लिए चक्रवृद्धि ब्याज और साधारण ब्याज के बीच का अंतर निम्न सूत्र द्वारा दिया जाता है:

D = P × (R / 100)²

जहाँ D अंतर है, P मूलधन है, और R प्रति वर्ष ब्याज की दर है।

दिए गए मानों को सूत्र में प्रतिस्थापित करने पर:

144 = P × (4 / 100)²

144 = P × (1 / 25)²

144 = P × (1 / 625)

P = 144 × 625

P = 90000

व्याख्या

Y-अक्ष का समीकरण x = 0 होता है। जब (x₁, y₁) और (x₂, y₂) को मिलाने वाले एक रेखाखंड को Y-अक्ष द्वारा विभाजित किया जाता है, तो विभाजन का अनुपात m : n सूत्र -x₁ : x₂ द्वारा दिया जाता है।

बिंदुओं (2, -4) और (-3, 2) के लिए, निर्देशांक x₁ = 2 और x₂ = -3 हैं।

इन मानों को सूत्र में प्रतिस्थापित करने पर: अनुपात = -2 : -3 = 2 : 3।

व्याख्या

मान लीजिए 1-रुपये, 50-पैसे और 10-पैसे के सिक्कों की संख्या क्रमशः 3x, 5x और 2x है।

रुपयों में इन सिक्कों का मान है: 1-रुपये के सिक्कों का मान = 3x × 1 = 3x 50-पैसे के सिक्कों का मान = 5x × 0.5 = 2.5x 10-पैसे के सिक्कों का मान = 2x × 0.1 = 0.2x

कुल मान ₹34.2 दिया गया है। इन मानों को जोड़ने पर: 3x + 2.5x + 0.2x = 34.2 5.7x = 34.2 x = 6

50-पैसे के सिक्कों की संख्या 5x = 5 × 6 = 30 है।

व्याख्या

किसी बिंदु (x, y) के रेखा 7x + 3y = 4 पर स्थित होने के लिए, उसके निर्देशांक समीकरण को संतुष्ट करने चाहिए। बिंदु (-2, 6) के निर्देशांकों को समीकरण में प्रतिस्थापित करने पर:

7(-2) + 3(6) = -14 + 18 = 4

चूंकि बायां पक्ष दायां पक्ष के बराबर है, बिंदु रेखा के समीकरण को संतुष्ट करता है।

व्याख्या

मान लीजिए कुल काम 1 है। A की दैनिक कार्य दर 1/12 है, और B की दैनिक कार्य दर 1/18 है।

उनकी संयुक्त दैनिक कार्य दर है: 1/12 + 1/18 = (3 + 2)/36 = 5/36

एक साथ 4 दिनों तक काम करने पर, पूरा हुआ काम का अंश है: 4 × 5/36 = 5/9

शेष काम का अंश है: 1 - 5/9 = 4/9

व्याख्या

चूंकि रेखाखंड AB, रेखाखंड CD के समानांतर है, और AD, BC को E पर प्रतिच्छेद करती है, एकांतर अंतः कोण बराबर होते हैं, जिसका अर्थ है कोण BAE = कोण CDE और कोण ABE = कोण DCE। इसके अतिरिक्त, कोण AEB = कोण DEC क्योंकि वे शीर्षभिमुख कोण हैं। यह स्थापित करता है कि त्रिभुज AEB, कोण-कोण (AA) समरूपता द्वारा त्रिभुज DEC के समरूप है।

इन त्रिभुजों की समरूपता का अर्थ है कि उनकी संगत भुजाओं का अनुपात बराबर है: AE / ED = BE / EC

चूंकि E, BC पर स्थित है, BE की लंबाई को इस प्रकार लिखा जा सकता है: BE = BC - EC = 13.6 - EC

समरूपता अनुपात में दिए गए मानों को प्रतिस्थापित करने पर: 18 / 6 = (13.6 - EC) / EC 3 = (13.6 - EC) / EC 3 × EC = 13.6 - EC 4 × EC = 13.6 EC = 3.4 सेमी

व्याख्या

एक समकोण त्रिभुज में, किसी कोण का साइन (sine) विपरीत भुजा की लंबाई और कर्ण (90° कोण के सम्मुख भुजा) की लंबाई के अनुपात के रूप में परिभाषित किया जाता है।

60° कोण के लिए साइन अनुपात का उपयोग करते हुए: sin 60° = विपरीत भुजा / कर्ण

मान लीजिए कर्ण की लंबाई h है। 60° कोण के सम्मुख भुजा 6 सेमी दी गई है।

sin 60° = 6 / h

चूंकि sin 60° = (√3)/2 है: (√3)/2 = 6 / h

h के लिए हल करने पर: h = 12 / √3 h = (12 × √3) / 3 h = 4√3 सेमी

व्याख्या

बेलन के वक्र पृष्ठ का क्षेत्रफल सूत्र CSA = 2πrh द्वारा दिया जाता है और इसके आधार की परिधि सूत्र C = 2πr द्वारा दी जाती है, जहाँ r बेलन की त्रिज्या और h उसकी ऊँचाई है।

दिया गया है: 2πr = 88 सेमी 2πrh = 1760 वर्ग सेमी

ऊँचाई h ज्ञात करने के लिए वक्र पृष्ठ के क्षेत्रफल के सूत्र में 2πr = 88 का मान रखें: 88 × h = 1760 h = 1760 / 88 = 20 सेमी

अब, परिधि का उपयोग करके त्रिज्या r ज्ञात करें: 2 × (22/7) × r = 88 (44/7) × r = 88 r = 88 × (7/44) r = 14 सेमी

बेलन का आयतन सूत्र V = πr²h द्वारा दिया जाता है। r और h के मान रखने पर: V = (22/7) × 14 × 14 × 20 V = 22 × 2 × 14 × 20 V = 12320 घन सेमी

व्याख्या

किसी वस्तु के विक्रय मूल्य (SP) और अंकित मूल्य (MP) के बीच संबंध इस प्रकार दिया गया है: SP = MP × (100 - छूट%)/100

10% छूट पर, विक्रय मूल्य रु 48000 है: 0.90 × MP = 48000 MP = 48000 / 0.90

25% छूट पर विक्रय मूल्य ज्ञात करने के लिए: नया SP = 0.75 × MP नया SP = 0.75 × (48000 / 0.90) नया SP = (3/4) × (48000 × 10/9) नया SP = (3/4) × (480000/9) नया SP = (3/4) × (160000/3) नया SP = 40000

व्याख्या

हम कोण 7π/4 को 2π - π/4 के रूप में व्यक्त कर सकते हैं।

चूंकि कोण चौथे चतुर्थांश में स्थित है, इसलिए साइन फलन ऋणात्मक होता है। मानक त्रिकोणमितीय सर्वसमिका sin(2π - θ) = -sin θ का उपयोग करके, हमारे पास है:

sin(7π/4) = sin(2π - π/4) = -sin(π/4)

मानक त्रिकोणमितीय मान sin(π/4) = 1/√2 रखने पर, हमें प्राप्त होता है:

-sin(π/4) = -1/√2

व्याख्या

कोसाइन के लिए त्रिकोणमितीय सर्वसमिका (triple-angle identity) cos 3A को cos A के पदों में व्यक्त करती है: cos 3A = 4cos³A - 3cosA

cos³A को अलग करने के लिए, हम समीकरण के दोनों पक्षों में 3cosA जोड़ते हैं: 4cos³A = cos 3A + 3cosA

समीकरण के दोनों पक्षों को 4 से विभाजित करने पर सूत्र प्राप्त होता है: cos³A = (cos 3A + 3cosA)/4

व्याख्या

मानक त्रिकोणमितीय सर्वसमिका का उपयोग करके: cosec²A - cot²A = 1

हम cot²A और cosec²A से इसके संबंध को इस प्रकार व्यक्त कर सकते हैं: cot²A = cosec²A - 1 cot²A + 1 = cosec²A

अब, दिए गए व्यंजक का गुणनखंड करने पर: cot⁴A + cot²A = cot²A (cot²A + 1)

इस गुणनखंडित रूप में सर्वसमिकाओं को प्रतिस्थापित करने पर यह प्राप्त होता है: (cosec²A - 1) (cosec²A)

पदों को गुणा करने पर यह प्राप्त होता है: cosec⁴A - cosec²A

व्याख्या

चारों व्यक्तियों में आयेशा का वजन से ऊंचाई का अनुपात सबसे कम है, जिसका अनुपात 51 / 1.72 है, जो लगभग 29.65 है। आदिति, अद्विका और अग्रिमा का अनुपात क्रमशः लगभग 32.75, 42.11 और 32.70 है।