एसएससी सीजीएल टियर 1 2023 मात्रात्मक अभिक्षमता प्रश्न — हल सहित

व्याख्या

यदि y + (1)/(y) = k है, तो y³ + (1)/(y³) का मान = k³ - 3k और y² + (1)/(y²) का मान = k² - 2 होता है। y⁶ + (1)/(y⁶) ज्ञात करने के लिए, हम संबंध (y³ + (1)/(y³))² - 2 का उपयोग कर सकते हैं।

दिया गया है y + (1)/(y) = 4, सबसे पहले हम घनीय योग की गणना करते हैं: y³ + (1)/(y³) = 4³ - 3(4) = 64 - 12 = 52

इसके बाद, छठी घात ज्ञात करने के लिए हम इस मान का वर्ग करते हैं: y⁶ + (1)/(y⁶) = (y³ + (1)/(y³))² - 2(y³)((1)/(y³)) y⁶ + (1)/(y⁶) = 52² - 2 y⁶ + (1)/(y⁶) = 2704 - 2 = 2702

वैकल्पिक रूप से, पहले वर्ग की गणना करने पर y² + (1)/(y²) = 4² - 2 = 14 प्राप्त होता है। इस परिणाम का घन करने पर 14³ - 3(14) = 2744 - 42 = 2702 प्राप्त होता है।

व्याख्या

माना B की कार्यक्षमता 2 इकाई प्रति दिन है। चूंकि A, B से 50% अधिक कार्यकुशल है, इसलिए A की कार्यक्षमता 2 + (0.50 × 2) = 3 इकाई प्रति दिन है। इस प्रकार, A और B की कार्यक्षमताओं का अनुपात 3:2 है।

कुल कार्य, B की कार्यक्षमता और B द्वारा कार्य को पूरा करने में लिए गए समय का गुणनफल है: कुल कार्य = B की कार्यक्षमता × B द्वारा लिया गया समय = 2 × 20 = 40 इकाई।

जब A और B मिलकर कार्य करते हैं, तो उनकी संयुक्त कार्यक्षमता उनकी व्यक्तिगत कार्यक्षमताओं का योग होती है: संयुक्त कार्यक्षमता = 3 + 2 = 5 इकाई प्रति दिन।

A और B द्वारा मिलकर उसी कार्य को पूरा करने में लिया गया समय है: समय = कुल कार्य / संयुक्त कार्यक्षमता = 40 / 5 = 8 दिन।

व्याख्या

त्रिज्या r और चाप की लंबाई l वाले एक वृत्त के त्रिज्यखंड का क्षेत्रफल A, सूत्र A = ½rl द्वारा दिया जाता है। यह सूत्र क्रमशः वृत्त के कुल क्षेत्रफल और परिधि के भिन्नों के रूप में त्रिज्यखंड के क्षेत्रफल और चाप की लंबाई के बीच के संबंध से प्राप्त किया गया है।

सूत्र में दिए गए मानों r = 8 सेमी और l = 12 सेमी को प्रतिस्थापित करने पर:

क्षेत्रफल = ½ × 8 × 12

क्षेत्रफल = 4 × 12

क्षेत्रफल = 48 सेमी²

व्याख्या

माना वस्तु का मूल क्रय मूल्य x है। मूल्य में पहले 10% की कमी की जाती है, जिसका अर्थ है कि मूल्य अपने मूल मान का 90% हो जाता है। इस परिणामी मूल्य में फिर 20% की वृद्धि की जाती है, जिससे यह मध्यवर्ती मूल्य का 120% हो जाता है। मूल मूल्य और अंतिम मूल्य के बीच के संबंध को इस प्रकार व्यक्त किया जा सकता है:

x × (1 - ¹⁰⁄₁₀₀) × (1 + ²⁰⁄₁₀₀) = 540

x × 0.9 × 1.2 = 540

x × 1.08 = 540

मूल क्रय मूल्य x ज्ञात करने के लिए, हम अंतिम मूल्य को शुद्ध गुणक (net multiplier) से विभाजित करते हैं:

x = (540)/(1.08)

x = ⁵⁴⁰⁰⁰⁄₁₀₈

x = 500

540 ÷ 1.08 की गणना करके, हम पाते हैं कि मूल क्रय मूल्य £500 था। वैकल्पिक रूप से, क्रमिक प्रतिशत परिवर्तन की अवधारणा का उपयोग करते हुए, शुद्ध परिवर्तन -10 + 20 + (-10 × 20)/(100) = 10 - 2 = 8% की वृद्धि है। इस प्रकार, मूल मूल्य का 108% 540 के बराबर है, जिससे आधार मूल्य 500 प्राप्त होता है।

व्याख्या

एक बेलन का वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल (CSA) सूत्र 2π rh द्वारा दिया जाता है, जहाँ r त्रिज्या है और h ऊंचाई है। दिए गए मानों CSA = 2640 सेमी और h = 12 सेमी को सूत्र में रखने पर:

2 × ²²⁄₇ × r × 12 = 2640

r = (2640 × 7)/(2 × 22 × 12)

r = (2640 × 7)/(528) = 5 × 7 = 35 सेमी

एक बेलन का आयतन (V) सूत्र V = π r² h का उपयोग करके ज्ञात किया जाता है। त्रिज्या r = 35 सेमी और ऊंचाई h = 12 सेमी रखने पर:

V = ²²⁄₇ × 35 × 35 × 12

V = 22 × 5 × 35 × 12

V = 110 × 420 = 46200 सेमी³

व्याख्या

BODMAS नियम (कोष्ठक, क्रम, भाग, गुणा, जोड़, घटाव) का पालन करते हुए, सबसे पहले सबसे आंतरिक कोष्ठक को प्राथमिकता देकर व्यंजक को हल किया जाता है। छोटे कोष्ठक के भीतर, संक्रिया की जाती है: -6 ÷ 2 = -3। इसके बाद, गुणा 3 × (-3) = -9 करके मँझले कोष्ठक के भीतर के पदों का मान ज्ञात किया जाता है, जिसके बाद जोड़ किया जाता है: {-9 + (-9)} = -18।

बड़े कोष्ठक की ओर बढ़ते हुए, व्यंजक सरल होकर [-2 + (-18)] = -20 हो जाता है। इस बीच, व्यंजक के प्रारंभ में भाग की गणना की जाती है: 100 ÷ 10 = 10। अंत में, घटाव किया जाता है: 10 - (-20), जो सरल होकर 10 + 20 = 30 हो जाता है।

व्याख्या

संख्याओं a, b, और c के चतुर्थानुपाती x की गणना सूत्र a/b = c/x का उपयोग करके की जाती है। दिए गए मानों को प्रतिस्थापित करने पर, 8/32 = 13/x, जो सरल होकर 1/4 = 13/x हो जाता है, जिसके परिणामस्वरूप x = 52 प्राप्त होता है।

व्याख्या

साधारण ब्याज की दर ज्ञात करने के लिए, सबसे पहले अर्जित ब्याज की गणना करें: £10,200 - £9,000 = £1,200। सूत्र दर = (साधारण ब्याज × 100) / (मूलधन × समय) का उपयोग करने पर, हमें प्राप्त होता है: (1,200 × 100) / (9,000 × 4) = 120,000 / 36,000 = 10/3 = 3 1/3 %।

व्याख्या

शेषफल प्रमेय (Remainder Theorem) के अनुसार, जब एक बहुपद P(x) को (x + 1) से विभाजित किया जाता है, तो शेषफल P(-1) द्वारा प्राप्त होता है। व्यंजक x¹⁷ + 1 में x = -1 प्रतिस्थापित करने पर (-1)¹⁷ + 1 प्राप्त होता है, जो -1 + 1 = 0 के बराबर है।

व्याख्या

मान लीजिए कि शांत जल में नाव की गति u है और जलधारा की गति v है। धारा के अनुकूल चलते समय नाव की गति u + v होती है, और धारा के प्रतिकूल चलते समय गति u - v होती है। चूंकि दोनों मामलों में तय की गई दूरी समान है, इसलिए गति लिए गए समय के व्युत्क्रमानुपाती होती है। इस संबंध को इस प्रकार व्यक्त किया जाता है:

(u + v)/(u - v) = (धारा के प्रतिकूल लिया गया समय)/(धारा के अनुकूल लिया गया समय)

धारा के प्रतिकूल यात्रा के लिए 10 घंटे और धारा के अनुकूल यात्रा के लिए 7 घंटे के दिए गए मानों को प्रतिस्थापित करने पर:

(u + v)/(u - v) = ¹⁰⁄₇

योगान्तरानुपात (componendo and dividendo) के सिद्धांत को लागू करने पर, जो यह बताता है कि यदि a/b = c/d, तो (a+b)/(a-b) = (c+d)/(c-d):

((u + v) + (u - v))/((u + v) - (u - v)) = (10 + 7)/(10 - 7)

अंश और हर के पदों को सरल करने पर:

²ᵘ⁄₂ᵥ = ¹⁷⁄₃

ᵘ⁄ᵥ = ¹⁷⁄₃

नाव की गति और जलधारा की गति के बीच का अनुपात 17:3 है।

व्याख्या

भारित औसत सूत्र (2 × 35 + 1 × 38 + 2 × x) / 5 = 42 का उपयोग करके, हम कुल मूल्य की गणना 108 + 2x = 210 के रूप में करते हैं। x का मान ज्ञात करने पर, हमें 2x = 102 प्राप्त होता है, जिसके परिणामस्वरूप तीसरी किस्म का मूल्य ₹51 प्रति किलोग्राम प्राप्त होता है।

व्याख्या

जब r₁ और r₂ त्रिज्या वाले दो वृत्त एक-दूसरे को बाह्य रूप से स्पर्श करते हैं, तो उनके केंद्रों O और P के बीच की दूरी d उनकी त्रिज्याओं का योग होती है, d = r₁ + r₂। उभयनिष्ठ अनुस्पर्श रेखा (direct common tangent) AB की लंबाई की गणना सूत्र √(d² - (r₁ - r₂)²) का उपयोग करके की जाती है। समीकरण में d = r₁ + r₂ प्रतिस्थापित करने पर, यह व्यंजक सरल होकर AB = √((r₁ + r₂)² - (r₁ - r₂)²) = √(4r₁r₂) = 2√(r₁r₂) हो जाता है।

दी गई त्रिज्याएँ r₁ = 6 सेमी और r₂ = 3 सेमी हैं, इसलिए गणना AB = 2√(6 × 3) = 2√(18) है। चूँकि 18 को 9 × 2 के रूप में गुणनखंडित किया जा सकता है, इसका वर्गमूल 3√2 है। इसलिए, उभयनिष्ठ स्पर्श रेखा AB की लंबाई 2 × 3√2 = 6√2 सेमी है।

व्याख्या

व्यंजक में त्रिकोणमितीय मानों को प्रतिस्थापित करने पर: 5√3(1/2)(1/√3) - 3(1) + 3(1/2) + 2(3/4)। यह सरल होकर 2.5 - 3 + 1.5 + 1.5 हो जाता है, जो 2.5 के बराबर है।

व्याख्या

धारा की चाल vₛ को सूत्र vₛ = (D - U)/(2) द्वारा निर्धारित किया जाता है, जहाँ D धारा के अनुकूल चाल (धारा की दिशा में) है और U धारा के प्रतिकूल चाल (धारा के विरुद्ध) है। यह सूत्र धारा के अनुकूल चाल (v_b + vₛ) और धारा के प्रतिकूल चाल (v_b - vₛ) की परिभाषाओं से प्राप्त होता है, जहाँ v_b शांत जल में नाव की चाल है।

सूत्र में दिए गए मानों को रखने पर:

vₛ = (20.8 - 15.2)/(2)

vₛ = (5.6)/(2)

vₛ = 2.8 किमी/घंटा

दोनों प्रभावी चालों के बीच का अंतर धारा की चाल के दोगुने को दर्शाता है, क्योंकि धारा एक दिशा में नाव की सहायता करती है और दूसरी दिशा में समान परिमाण से बाधा उत्पन्न करती है। इस अंतर को दो से विभाजित करने पर धारा की सटीक चाल प्राप्त होती है।

व्याख्या

कुल कार्य को 12 पुरुष-दिवस (2 पुरुष * 6 दिन) या 12 महिला-दिवस (3 महिलाएँ * 4 दिन) के रूप में देखा जा सकता है, जिसका अर्थ है कि 1 पुरुष और 1 महिला की कार्यक्षमता समान है। चूंकि 1 पुरुष प्रतिदिन कार्य का 1/12 भाग करता है और 2 महिलाएँ प्रतिदिन कार्य का 2/12 भाग करती हैं, इसलिए उनका संयुक्त दैनिक कार्य 3/12 (या 1/4) है, जिसके परिणामस्वरूप कार्य 4 दिनों में पूरा हो जाएगा।

व्याख्या

30% की क्रमिक वृद्धि और 30% की कमी के लिए शुद्ध प्रतिशत परिवर्तन की गणना सूत्र x + y + (xy/100) का उपयोग करके की जाती है, जिसके परिणामस्वरूप 30 - 30 + (30 * -30 / 100) = -9% प्राप्त होता है। ऋणात्मक परिणाम कुल आय में 9% की कमी को दर्शाता है।

व्याख्या

चूंकि cos²θ = 3/4 और θ न्यूनकोण है, cos θ = √3/2, जिसका अर्थ है θ = 30°। इसे व्यंजक में रखने पर, sin(30° + 30°) = sin 60° = √3/2।

व्याख्या

B की दैनिक कार्य दर ज्ञात करने के लिए, A और B की संयुक्त दर (2/7) में से A की दर (1/14) को घटाया जाता है, जिससे 3/14 प्राप्त होता है। इस दर का व्युत्क्रम लेने पर, B को अकेले कार्य पूरा करने में 14/3 दिन लगेंगे।

व्याख्या

दिए गए समीकरणों से, हम त्रिकोणमितीय पदों को ʳ⁄₁₅ = sin θ + cos θ और ˢ⁄₁₆ = sin θ - cos θ के रूप में अलग कर सकते हैं। वांछित मान ज्ञात करने के लिए, हम दोनों समीकरणों का वर्ग करते हैं:

(ʳ⁄₁₅)² = (sin θ + cos θ)² = sin² θ + cos² θ + 2sin θ cos θ (ˢ⁄₁₆)² = (sin θ - cos θ)² = sin² θ + cos² θ - 2sin θ cos θ

मूलभूत सर्वसमिका sin² θ + cos² θ = 1 का उपयोग करने पर, ये व्यंजक इस प्रकार सरल हो जाते हैं:

(r²)/(15²) = 1 + 2sin θ cos θ (s²)/(16²) = 1 - 2sin θ cos θ

इन दोनों समीकरणों को जोड़ने पर 2sin θ cos θ पद समाप्त हो जाता है:

(r²)/(15²) + (s²)/(16²) = (1 + 2sin θ cos θ) + (1 - 2sin θ cos θ) = 1 + 1 = 2

व्याख्या

राज्य B में गरीबी रेखा से नीचे की जनसंख्या 7,200 का 25% है, जो कि 1,800 है। गरीबी रेखा से नीचे पुरुषों और महिलाओं के 3:5 के अनुपात के अनुसार, महिलाओं की संख्या की गणना (5/8) * 1,800 के रूप में की जाती है, जो 1,125 के बराबर है।

व्याख्या

भुजा की लंबाई a वाले एक घन के लिए, सबसे लंबे विकर्ण की लंबाई सूत्र d = a√3 द्वारा दी जाती है। यह देखते हुए कि विकर्ण की लंबाई 7√3 सेमी है, हम सूत्र को दिए गए मान के बराबर रखकर भुजा की लंबाई निर्धारित कर सकते हैं:

a√3 = 7√3

दोनों पक्षों से √3 को निरस्त करने पर, हमें प्राप्त होता है कि भुजा की लंबाई a = 7 सेमी है। एक घन के आयतन V की गणना सूत्र V = a³ का उपयोग करके की जाती है। इस सूत्र में भुजा की लंबाई का मान रखने पर:

V = 7³ = 343 सेमी³

व्याख्या

दो व्यंजकों x और y का मध्यानुपाती M उनके गुणनफल के वर्गमूल के रूप में परिभाषित किया जाता है, जो सूत्र M = √(xy) द्वारा दिया गया है।

(a + b)(a - b)³ और (a + b)³(a - b) का मध्यानुपाती ज्ञात करने के लिए, हम इन व्यंजकों को सूत्र में प्रतिस्थापित करते हैं:

M = √((a + b)(a - b)³ × (a + b)³(a - b))

घातांक के बीजगणितीय नियम xᵐ × xⁿ = xᵐ⁺ⁿ का उपयोग करके, हम समान आधार वाले पदों को समूहित करते हैं:

M = √((a + b)¹⁺³⁾^×⁽ᵃ⁻ᵇ⁾^^^³^⁺^¹ M = √((a + b)⁴ × (a - b)⁴)

गुणधर्म √(xⁿ) = xⁿ^/² को लागू करके, हम वर्गमूल को सरल करते हैं:

M = (a + b)⁴^/² × (a - b)⁴^/² M = (a + b)² (a - b)²

व्याख्या

मान लीजिए कि छात्रों की प्रारंभिक संख्या n है। यदि इन छात्रों द्वारा परियोजना को मूल रूप से 10 दिनों में पूरा किया जाना था, तो परियोजना के लिए आवश्यक कुल कार्य 10n छात्र-दिवस है।

प्रत्येक दिन 2 छात्रों के परियोजना छोड़ने के साथ, 15 दिनों में किया गया वास्तविक कार्य एक समांतर श्रेणी (arithmetic progression) बनाता है जहाँ पहला पद a = n, सार्व अंतर (common difference) d = -2, और पदों की संख्या k = 15 है। समांतर श्रेणी के योग सूत्र Sₖ = ᵏ⁄₂ [2a + (k - 1)d] का उपयोग करने पर, पूरा किया गया कुल कार्य है:

S₁₅ = ¹⁵⁄₂ [2n + (15 - 1)(-2)]

S₁₅ = ¹⁵⁄₂ [2n - 28]

S₁₅ = 15(n - 14)

चूंकि परियोजना पूरी हो चुकी है, इसलिए किया गया कार्य आवश्यक कुल कार्य के बराबर होना चाहिए:

10n = 15(n - 14)

10n = 15n - 210

5n = 210

n = 42

व्याख्या

पुरुषों की संख्या और किसी कार्य को पूरा करने में लगने वाले समय के बीच का संबंध व्युत्क्रमानुपाती सूत्र M₁ D₁ = M₂ D₂ द्वारा संचालित होता है, जहाँ M पुरुषों की संख्या को दर्शाता है और D दिनों की संख्या को दर्शाता है। प्रारंभ में, हमारे पास M₁ = 4 पुरुष और D₁ = 18 दिन हैं। आवश्यक कुल कार्य क्षमता 4 × 18 = 72 पुरुष-दिवस (man-days) है।

उसी कार्य को D₂ = 12 दिनों में पूरा करने के लिए, आवश्यक पुरुषों की कुल संख्या M₂ की गणना M₂ = (M₁ × D₁) / D₂ के रूप में की जाती है। मानों को प्रतिस्थापित करने पर, हमें M₂ = 72 / 12 = 6 पुरुष प्राप्त होते हैं। प्रश्न में पूछा गया है कि मूल समूह के अतिरिक्त कितने और पुरुषों की आवश्यकता है। इसलिए, हम कुल आवश्यक संख्या में से पुरुषों की प्रारंभिक संख्या को घटाते हैं: 6 - 4 = 2।

व्याख्या

त्रिकोणमितीय सर्वसमिका sin θ = cos(90° - θ) का उपयोग करके, दिए गए समीकरण cos (40° + x) = sin 30° के दाएं पक्ष को कोसाइन (cosine) के रूप में व्यक्त करके पुनः लिखा जा सकता है। चूंकि sin 30° = cos(90° - 30°) = cos 60° है, इसलिए समीकरण इस प्रकार हो जाता है:

cos (40° + x) = cos 60°

कोणों की तुलना करने पर, हमें प्राप्त होता है: 40° + x = 60° x = 60° - 40° x = 20°

वैकल्पिक रूप से, समीकरण में मानक त्रिकोणमितीय मान sin 30° = 1/2 प्रतिस्थापित करने पर cos (40° + x) = 1/2 प्राप्त होता है। चूंकि न्यून कोणों के लिए cos 60° = 1/2 होता है, इसलिए 40° + x = 60° रखने पर x = 20° प्राप्त होता है।

व्याख्या

एक वृत्ताकार ट्रैक पर एक ही बिंदु से विपरीत दिशाओं में दौड़ रहे दो धावकों की पहली मुलाकात के लिए लिया गया समय T, सूत्र T = (L)/(V_P + V_Q) द्वारा दिया जाता है, जहाँ L ट्रैक की लंबाई है और V_P, V_Q उनकी क्रमशः गतियाँ हैं। दिए गए मानों को प्रतिस्थापित करने पर, T = (500)/(6 + 10) = ⁵⁰⁰⁄₁₆ = 31.25 सेकंड।

मुलाकात के क्षण पर, P ने d_P = V_P × T = 6 × 31.25 = 187.5 मीटर की दूरी तय की है। चक्कर पूरा करने और उसी दिशा में आगे बढ़ते हुए शुरुआती बिंदु पर पहुँचने के लिए, P को शेष दूरी D_P = L - d_P = 500 - 187.5 = 312.5 मीटर तय करने की आवश्यकता है। इसी प्रकार, Q ने d_Q = V_Q × T = 10 × 31.25 = 312.5 मीटर की दूरी तय की है और उसे शुरुआती बिंदु पर पहुँचने के लिए शेष दूरी D_Q = L - d_Q = 500 - 312.5 = 187.5 मीटर तय करने की आवश्यकता है।

गति बदलने (विनिमय) के बाद, P 10 मीटर/सेकंड की गति से चलता है और Q 6 मीटर/सेकंड की गति से चलता है। P द्वारा शुरुआती बिंदु तक पहुँचने में लिया गया समय (D_P)/(10) = (312.5)/(10) = 31.25 सेकंड है। Q द्वारा शुरुआती बिंदु तक पहुँचने में लिया गया समय (D_Q)/(6) = (187.5)/(6) = 31.25 सेकंड है। चूँकि गति बदलने के बाद दोनों द्वारा लिया गया समय समान है, इसलिए वे एक ही समय पर शुरुआती बिंदु पर पहुँचेंगे।

व्याख्या

घनाभ को ढकने के लिए उपयोग किए जाने वाले कागज का क्षेत्रफल उसके कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल (TSA) के बराबर होता है। विमाओं l, b, और h वाले एक घनाभ के कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल (TSA) का सूत्र TSA = 2(lb + bh + hl) है। दी गई विमाओं l = 4, b = 6, और h = 8 को प्रतिस्थापित करने पर, हम क्षेत्रफल की गणना इस प्रकार करते हैं: TSA = 2(4 × 6 + 6 × 8 + 8 × 4) = 2(24 + 48 + 32) = 2 × 104 = 208 वर्ग इकाई।

इसके बाद इसी कागज का उपयोग करके एक वर्ग बनाया जाता है, जिसका अर्थ है कि वर्ग का क्षेत्रफल 208 वर्ग इकाई है। यदि s वर्ग की भुजा को दर्शाता है, तो s² = 208। भुजा की लंबाई ज्ञात करने के लिए, हम वर्गमूल लेते हैं: s = √(208)। इसका मान निकालने पर, हम पाते हैं कि 14.4² = 207.36 और 14.5² = 210.25, जो यह दर्शाता है कि भुजा लगभग 14.422 इकाई है। दशमलव के दो स्थानों तक पूर्णांकित करने पर, वर्ग की भुजा 14.42 है।

व्याख्या

₹50,000 के कुल निवेश पर प्राप्त ब्याज की भारित औसत दर इस प्रकार दी गई है: R = (कुल ब्याज)/(कुल मूलधन) × 100 = (5,200)/(50,000) × 100 = 10.4%.

8% और 12% पर निवेश की गई राशियों का अनुपात ज्ञात करने के लिए मिश्रण (alligation) के नियम का उपयोग करने पर: उच्च दर और माध्य दर के बीच का अंतर 12 - 10.4 = 1.6 है। माध्य दर और निम्न दर के बीच का अंतर 10.4 - 8 = 2.4 है।

मूलधन राशियों का अनुपात 1.6 : 2.4 है, जो सरल होकर 2 : 3 हो जाता है।

कुल निवेश को 2 + 3 = 5 बराबर भागों में विभाजित किया गया है। 12% की दर पर जमा की गई राशि कुल निवेश के 3 भागों के बराबर है। 12% पर राशि = ⅗ × 50,000 = 3 × 10,000 = 30,000।

व्याख्या

वेतन की औसत राशि की गणना चार वर्षों में भुगतान किए गए कुल वेतन को वर्षों की संख्या से विभाजित करके की जाती है। तालिका के आधार पर, वर्ष 2018, 2019, 2020 और 2021 के लिए हजार रुपये में वार्षिक वेतन व्यय क्रमशः 200, 250, 300 और 350 हैं।

इन मानों को जोड़ने पर कुल वेतन व्यय प्राप्त होता है: कुल वेतन = 200 + 250 + 300 + 350 = 1100 हजार रुपये।

औसत ज्ञात करने के लिए, इस कुल योग को वर्षों की संख्या से विभाजित करें: औसत वेतन = ¹¹⁰⁰⁄₄ = 275 हजार रुपये।

इसे 1,000 से गुणा करके संख्यात्मक रूप में बदलने पर, औसत वार्षिक वेतन व्यय 275 × 1000 = 2,75,000 है।

व्याख्या

माना बासब के स्वामित्व वाले भूखंड का क्षेत्रफल B, तरुण के स्वामित्व वाले भूखंड का क्षेत्रफल T और नकुल के स्वामित्व वाले भूखंड का क्षेत्रफल N है। प्रश्न के अनुसार, T, B से 10% अधिक है और N, T से 40% अधिक है। इन संबंधों को इस प्रकार व्यक्त किया जा सकता है: T = B × (1 + 0.10) = 1.1B N = T × (1 + 0.40) = 1.4T

N के समीकरण में T का मान प्रतिस्थापित करने पर, हमें प्राप्त होता है: N = 1.4 × (1.1B) = 1.54B

नकुल के स्वामित्व वाले भूखंड का क्षेत्रफल 2695 वर्ग फीट दिया गया है। इस मान को समीकरण में प्रतिस्थापित करने पर: 2695 = 1.54B B = (2695)/(1.54)

गणना को सरल करने पर: B = (2695 × 100)/(154) B = ²⁶⁹⁵⁰⁰⁄₁₅₄ B = 1750

अतः, बासब के स्वामित्व वाले भूखंड का क्षेत्रफल 1750 वर्ग फीट है।

व्याख्या

व्यंजक को पूर्ण वर्ग सर्वसमिका x² + 2xy + y² = (x + y)² और वर्गों के अंतर की सर्वसमिका x² - y² = (x - y)(x + y) का उपयोग करके सरल किया गया है।

अंश s² + t² + 2st - u² को (s² + 2st + t²) - u² के रूप में समूहीकृत किया जा सकता है। यह सरल होकर (s + t)² - u² हो जाता है। वर्गों के अंतर की सर्वसमिका को लागू करने पर, अंश के गुणनखंड (s + t - u)(s + t + u) प्राप्त होते हैं।

हर s² - t² - 2tu - u² को s² - (t² + 2tu + u²) के रूप में समूहीकृत किया जा सकता है। यह सरल होकर s² - (t + u)² हो जाता है। वर्गों के अंतर की सर्वसमिका को लागू करने पर, हर के गुणनखंड (s - (t + u))(s + (t + u)) प्राप्त होते हैं, जो सरल होकर (s - t - u)(s + t + u) हो जाता है।

संपूर्ण व्यंजक इस प्रकार हो जाता है: ((s + t - u)(s + t + u))/((s - t - u)(s + t + u))

दी गई शर्त (s + t + u) ≠ 0 के अनुसार, अंश और हर में उभयनिष्ठ पद (s + t + u) आपस में निरस्त हो जाते हैं, जिससे बचता है: (s + t - u)/(s - t - u)

व्याख्या

व्यंजक (1 / sin θ) - sin θ को सरल करने के लिए, सबसे पहले हम एक समान हर (common denominator) लेते हैं:

(1 / sin θ) - sin θ = (1 - sin² θ)/(sin θ)

मूलभूत पाइथागोरस सर्वसमिका sin² θ + cos² θ = 1 का उपयोग करके, हम अंश 1 - sin² θ को cos² θ से प्रतिस्थापित कर सकते हैं। इसके बाद यह व्यंजक इस प्रकार हो जाता है:

(cos² θ)/(sin θ)

इस भिन्न को दो पदों के गुणनफल के रूप में विभाजित किया जा सकता है:

cos θ · (cos θ)/(sin θ)

त्रिकोणमितीय परिभाषा cot θ = cos θ / sin θ का उपयोग करके, हम इसे समीकरण में प्रतिस्थापित करते हैं जिससे सरल परिणाम प्राप्त होता है:

cos θ cot θ

व्याख्या

आमों के क्रय मूल्य (CP) की गणना दर्जन की दर के आधार पर की जाती है। चूंकि एक दर्जन में 12 आम होते हैं, इसलिए प्रति आम क्रय मूल्य (CP) 120 / 12 = ₹10 है। 1600 आमों के लिए, कुल क्रय मूल्य 1600 × 10 = ₹16,000 है।

कुल विक्रय मूल्य (SP) दोनों बिक्रियों का योग है। सबसे पहले, 900 आम ₹15 प्रति आम की दर से बेचे गए, जिससे 900 × 15 = ₹13,500 प्राप्त हुए। शेष 1600 - 900 = 700 आम ₹14 प्रति आम की दर से बेचे गए, जिससे 700 × 14 = ₹9,800 प्राप्त हुए। इन्हें जोड़ने पर कुल विक्रय मूल्य (SP) 13,500 + 9,800 = ₹23,300 प्राप्त होता है।

कुल लाभ, कुल विक्रय मूल्य (SP) और कुल क्रय मूल्य (CP) के बीच का अंतर है, जो कि 23,300 - 16,000 = ₹7,300 है। लाभ प्रतिशत की गणना सूत्र लाभ प्रतिशत = (कुल लाभ / कुल क्रय मूल्य) × 100 द्वारा की जाती है। मानों को प्रतिस्थापित करने पर, हमें (7,300 / 16,000) × 100 = 730 / 16 = 45.625% प्राप्त होता है।

व्याख्या

चोर कुल 20 मिनट (पीछा शुरू होने से पहले के 4 मिनट और पीछा करने के दौरान के 16 मिनट) तक दौड़ता है। इस समय में चोर द्वारा तय की गई दूरी dₜ = गति × समय = 15 × ²⁰⁄₆₀ = 5 किमी है। पीछा करने के 16वें मिनट पर, उनके बीच अभी भी 200 मीटर (0.2 किमी) की दूरी है, जिसका अर्थ है कि पुलिसकर्मी ने 16 मिनट में 5 - 0.2 = 4.8 किमी की दूरी तय की है। पुलिसकर्मी की गति Vₚ = (दूरी)/(समय) = (4.8)/(16/60) = (4.8 × 60)/(16) = 18 किमी/घंटा है।

पकड़ने की दूरी ज्ञात करने के लिए, हम पहले 4 मिनट के बाद पीछा शुरू होने पर चोर की प्रारंभिक बढ़त निर्धारित करते हैं: बढ़त = 15 × ⁴⁄₆₀ = 1 किमी। सापेक्ष गति जिस पर पुलिसकर्मी इस बढ़त को कम करता है, Vᵣₑₗ = Vₚ - Vₜ = 18 - 15 = 3 किमी/घंटा है। चोर को पकड़ने के लिए आवश्यक समय t = (बढ़त)/(Vᵣₑₗ) = ⅓ घंटे है। इस प्रकार, घटना स्थल से वह दूरी जहाँ पुलिसकर्मी चोर को पकड़ता है, D = Vₚ × t = 18 × ⅓ = 6 किमी है।

व्याख्या

व्यंजक a³ + b³ - c³ + 3abc बीजीय सर्वसमिका x³ + y³ + z³ - 3xyz = (x + y + z)(x² + y² + z² - (xy + yz + zx)) का अनुसरण करता है, जहाँ x = a, y = b, और z = -c है।

सबसे पहले, त्रिपद के वर्ग का उपयोग करके संयुक्त गुणनफल पद का मान ज्ञात कीजिए: (a + b - c)² = a² + b² + (-c)² + 2(ab + b(-c) + (-c)a) 20² = a² + b² + c² + 2(ab - bc - ca)

दिए गए मान a² + b² + c² = 152 को प्रतिस्थापित करने पर: 400 = 152 + 2(ab - bc - ca) 248 = 2(ab - bc - ca) ab - bc - ca = 124

अब, इन मानों को त्रिघातीय सर्वसमिका में प्रतिस्थापित करने पर: a³ + b³ - c³ + 3abc = (a + b - c)(a² + b² + c² - (ab - bc - ca)) a³ + b³ - c³ + 3abc = 20 × (152 - 124) a³ + b³ - c³ + 3abc = 20 × 28 a³ + b³ - c³ + 3abc = 560

व्याख्या

40-लीटर मिश्रण में अल्कोहल की प्रारंभिक मात्रा की गणना इस प्रकार की जाती है: 40 × ²⁵⁄₁₀₀ = 10 लीटर। जब 10 लीटर पानी मिलाया जाता है, तो मिश्रण की नई कुल मात्रा 40 + 10 = 50 लीटर हो जाती है। अल्कोहल की मात्रा 10 लीटर पर अपरिवर्तित रहती है। इसलिए, नए 50-लीटर मिश्रण में अल्कोहल का प्रतिशत ¹⁰⁄₅₀ × 100 = 20% है।

व्याख्या

छूट की दर की गणना इस सूत्र का उपयोग करके की जाती है: छूट% = (अंकित मूल्य - विक्रय मूल्य)/(अंकित मूल्य) × 100।

चूंकि अंकित मूल्य (MP) ₹15,990 और विक्रय मूल्य (SP) ₹12,792 दिया गया है, सबसे पहले वास्तविक छूट ज्ञात करें: छूट = 15,990 - 12,792 = 3,198

अब, प्रतिशत सूत्र में मान रखें: छूट की दर = (3,198)/(15,990) × 100

भिन्न को सरल करने पर, ध्यान दें कि 1,599 × 2 = 3,198 है। इसलिए, 3,198 स्पष्ट रूप से 15,990 का 20% है: छूट की दर = 0.2 × 100 = 20%

व्याख्या

व्यंजक -7p - [3q - {8p - (4q - 10p)}] को हल करने के लिए, हम बीजीय व्यंजकों के लिए संक्रियाओं के मानक क्रम का पालन करते हुए सबसे आंतरिक कोष्ठक से बाहर की ओर सरल करते हैं।

सबसे पहले, हम ऋणात्मक चिह्न को (4q - 10p) में वितरित करके सबसे आंतरिक कोष्ठक को हटाते हैं: -7p - [3q - {8p - 4q + 10p}]

इसके बाद, हम मझले कोष्ठक के भीतर समान पदों, विशेष रूप से 8p और 10p को मिलाते हैं: -7p - [3q - {18p - 4q}]

फिर हम ऋणात्मक चिह्न को {18p - 4q} के पदों में वितरित करके मझले कोष्ठक को हटाते हैं: -7p - [3q - 18p + 4q]

अब, हम बड़े कोष्ठक के भीतर समान पदों, विशेष रूप से 3q और 4q को मिलाते हैं: -7p - [7q - 18p]

अंत में, हम ऋणात्मक चिह्न को वितरित करके बड़े कोष्ठक को हटाते हैं: -7p - 7q + 18p

शेष समान पदों -7p और 18p को मिलाने पर, हमें प्राप्त होता है: 11p - 7q

व्याख्या

मान लीजिए कि कुल कार्य 1 इकाई है। एक अकेली महिला की दैनिक कार्य दर ¹⁄₁₅₀ है क्योंकि वह कार्य को 150 दिनों में पूरा करती है। 20 महिलाओं और 15 पुरुषों की संयुक्त दैनिक कार्य दर ⅙ है क्योंकि वे कार्य को 6 दिनों में पूरा करते हैं।

महिला की दर को संयुक्त समीकरण में प्रतिस्थापित करने पर: 20 × (¹⁄₁₅₀) + 15 × (1 पुरुष की दर) = ⅙

20 महिलाओं के लिए पद को सरल करने पर: ²⁰⁄₁₅₀ = ²⁄₁₅

अब, 15 पुरुषों की दर को अलग करने पर: 15 × (1 पुरुष की दर) = ⅙ - ²⁄₁₅

घटाव के लिए 30 का एक सामान्य हर (denominator) ज्ञात करने पर: 15 × (1 पुरुष की दर) = ⁵⁄₃₀ - ⁴⁄₃₀ = ¹⁄₃₀

एक अकेले पुरुष की दैनिक कार्य दर है: 1 पुरुष की दर = (1)/(30 × 15) = ¹⁄₄₅₀

चूंकि एक अकेला पुरुष एक दिन में कार्य का ¹⁄₄₅₀ भाग पूरा करता है, इसलिए एक अकेले पुरुष को पूरा कार्य समाप्त करने के लिए आवश्यक समय 450 दिन है।

व्याख्या

कोई संख्या 44 से विभाज्य होती है यदि वह 4 और 11 दोनों के विभाज्यता मानदंडों को पूरा करती है, क्योंकि 44 = 4 × 11 है और ये गुणनखंड सह-अभाज्य हैं।

4 से विभाज्यता की जाँच करने के लिए, संख्या के अंतिम दो अंकों से बनी संख्या 4 से विभाज्य होनी चाहिए। संख्या 54736 के लिए, अंतिम दो अंक 36 हैं। चूंकि 36 = 4 × 9 है, इसलिए यह संख्या 4 से विभाज्य है।

11 से विभाज्यता की जाँच करने के लिए, विषम स्थानों पर अंकों के योग और सम स्थानों पर अंकों के योग के बीच का अंतर या तो 0 होना चाहिए या 11 का गुणज होना चाहिए। संख्या 54736 के लिए, विषम स्थानों पर अंक 5, 7 और 6 हैं, जबकि सम स्थानों पर अंक 4 और 3 हैं।

विषम स्थानों पर अंकों का योग: 5 + 7 + 6 = 18 सम स्थानों पर अंकों का योग: 4 + 3 = 7 अंतर: 18 - 7 = 11

चूंकि अंतर 11, 11 का एक गुणज है, इसलिए संख्या 54736, 11 से विभाज्य है। चूंकि यह संख्या 4 और 11 दोनों से विभाज्य है, इसलिए यह 44 से विभाज्य है।

व्याख्या

दिए गए मानों x = 2 और y = 3 के साथ व्यंजक √x - √y{√x + √y} को सरल करने के लिए, चरों को प्रतिस्थापित करने पर भिन्न √2 - √3{√2 + √3} प्राप्त होती है। हर का परिमेयकरण करने के लिए, अंश और हर दोनों को हर के संयुग्मी से गुणा करें, जो कि √2 - √3 है।

वर्गों के अंतर की सर्वसमिका (a + b)(a - b) = a² - b² का उपयोग करके हर को सरल किया जाता है। इसे लागू करने पर, हमें (√2 + √3)(√2 - √3) = (√2)² - (√3)² = 2 - 3 = -1 प्राप्त होता है।

द्विपद के वर्ग की सर्वसमिका (a - b)² = a² + b² - 2ab का उपयोग करके अंश को सरल किया जाता है। इससे (√2 - √3)² = (√2)² + (√3)² - 2(√2)(√3) = 2 + 3 - 2√6 = 5 - 2√6 प्राप्त होता है।

इन परिणामों को मिलाने पर, व्यंजक 5 - 2√6{-1} हो जाता है। -1 से विभाजित करने पर अंश के पदों के चिह्न बदल जाते हैं, जिससे -5 + 2√6 प्राप्त होता है, जिसे व्यवस्थित करने पर 2√6 - 5 प्राप्त होता है।

व्याख्या

माना मिश्रण का कुल प्रारंभिक आयतन 16 इकाई है, जिसमें 5 इकाई पानी और 11 इकाई सिरप है। जब मिश्रण का एक भाग निकाल लिया जाता है और उसके स्थान पर पानी मिला दिया जाता है, तो कुल आयतन 16 इकाई पर स्थिर रहता है, लेकिन सिरप की मात्रा केवल निकालने की प्रक्रिया के दौरान ही कम होती है।

अंतिम मिश्रण में, सिरप और पानी का अनुपात 3:2 है। इसका अर्थ है कि अंतिम 16 इकाइयों में सिरप की मात्रा ³⁄₃₊₂ × 16 = ⅗ × 16 = ⁴⁸⁄₅ इकाई है।

माना x मिश्रण का वह अंश है जिसे निकाला और प्रतिस्थापित किया जाता है। निकाले गए सिरप की मात्रा 11x है। इसलिए, शेष सिरप 11 - 11x है, जो सिरप की अंतिम मात्रा के बराबर होना चाहिए:

11(1 - x) = ⁴⁸⁄₅

1 - x = ⁴⁸⁄₅₅

x = 1 - ⁴⁸⁄₅₅ = ⁷⁄₅₅

अतः, मिश्रण का ⁷⁄₅₅ भाग निकाला जाना चाहिए और उसके स्थान पर पानी मिलाया जाना चाहिए।

व्याख्या

दो वृत्त जो एक-दूसरे को बाह्य रूप से स्पर्श करते हैं, उनके बीच की सीधी उभयनिष्ठ स्पर्श रेखा की लंबाई सूत्र 2√(r₁ r₂) द्वारा दी जाती है, जहाँ r₁ और r₂ दोनों वृत्तों की त्रिज्याएँ हैं। यह सूत्र एक सीधी उभयनिष्ठ स्पर्श रेखा की सामान्य लंबाई d = √(D² - (r₁ - r₂)²) से व्युत्पन्न किया गया है, जहाँ D केंद्रों के बीच की दूरी है। जब वृत्त बाह्य रूप से स्पर्श करते हैं, तो D = r₁ + r₂ होता है।

दी गई त्रिज्याओं r₁ = 12 सेमी और r₂ = 8 सेमी को सरलीकृत सूत्र में रखने पर: BC = 2√(12 × 8) BC = 2√(96)

पूर्ण वर्ग 16 को गुणनखंड के रूप में बाहर निकालकर करणी (radical) को सरल करने पर: BC = 2√(16 × 6) BC = 2 × 4√6 BC = 8√6 सेमी

व्याख्या

△ ABC में, चूंकि DE ∥ BC है, इसलिए AA समरूपता कसौटी के अनुसार △ ADE, △ ABC के समरूप है क्योंकि संगत कोण ∠ ADE = ∠ ABC और ∠ AED = ∠ ACB हैं। समरूप त्रिभुजों के लिए, संगत भुजाओं का अनुपात समानुपाती होता है:

(AD)/(AB) = (DE)/(BC)

प्रश्न में अनुपात (AD)/(BD) = ⅘ दिया गया है। चूंकि AB = AD + BD है, इसलिए छोटे त्रिभुज की भुजा का बड़े त्रिभुज की भुजा से अनुपात इस प्रकार है:

(AD)/(AB) = (AD)/(AD + BD) = (4)/(4 + 5) = ⁴⁄₉

भुजाओं की लंबाई और समरूपता अनुपात को समानुपात समीकरण में रखने पर:

⁴⁄₉ = (DE)/(BC)

दिया गया है कि DE = 12 सेमी, हम इस मान को समीकरण में रखते हैं:

⁴⁄₉ = (12)/(BC)

BC के लिए हल करने पर:

4 · BC = 12 · 9

BC = ¹⁰⁸⁄₄ = 27 सेमी

व्याख्या

दिए गए द्विघात समीकरण x² + 8x - 1 = 0 से शुरू करते हुए, प्रत्येक पद को x से विभाजित करने पर x + 8 - 1/x = 0 प्राप्त होता है, जो सरल होकर x - 1/x = -8 हो जाता है। x² + (1)/(x²) का मान ज्ञात करने के लिए, हम मानक बीजगणितीय संबंध का उपयोग करते हैं जहाँ यदि x - 1/x = k है, तो x² + (1)/(x²) = k² + 2 होता है। यह संबंध एक द्विपद के वर्ग के विस्तार से प्राप्त होता है: (x - 1/x)² = x² + (1)/(x²) - 2। सूत्र में k = -8 प्रतिस्थापित करने पर (-8)² + 2 प्राप्त होता है, जिसके परिणामस्वरूप 64 + 2 = 66 प्राप्त होता है।

व्याख्या

कोई संख्या 4 से विभाज्य होती है यदि उसके अंतिम दो अंकों से बनी संख्या 4 से विभाज्य हो। चार अंकों की संख्या abba के लिए, अंतिम दो अंक संख्या 10b + a बनाते हैं। चूंकि यह एक चार अंकों की संख्या है, इसलिए पहला अंक a शून्य नहीं हो सकता है, इसलिए a ∈ {1, 2, …, 9}। प्रश्न में प्रतिबंध a < b भी निर्दिष्ट है।

एक दो-अंकीय संख्या 10b + a निम्नलिखित शर्तों के तहत 4 से विभाज्य होती है: यदि b विषम है, तो a का मान 2 या 6 होना चाहिए। यदि b सम है, तो a का मान 0, 4, या 8 होना चाहिए।

हम 1 ≤ a < b की शर्त लागू करते हुए, 1 से 9 तक b के संभावित मानों का मूल्यांकन करते हैं: b=1, 2 के लिए: a का कोई भी मान 1 ≤ a < b और विभाज्यता नियम दोनों को संतुष्ट नहीं करता है। b=3 के लिए: a=2 (संख्या: 2332) b=4 के लिए: कोई वैध a नहीं है (चूंकि a ∈ {0, 4, 8} और 1 ≤ a < 4 का कोई प्रतिच्छेदन नहीं है)। b=5 के लिए: a=2 (संख्या: 2552) b=6 के लिए: a=4 (संख्या: 4664) b=7 के लिए: a=2 और a=6 (संख्याएँ: 2772, 6776) b=8 के लिए: a=4 (संख्या: 4884) b=9 के लिए: a=2 और a=6 (संख्याएँ: 2992, 6996)

इन मामलों को जोड़ने पर, ऐसी 1 + 1 + 1 + 2 + 1 + 2 = 8 संख्याएँ हैं।

व्याख्या

व्यंजक x⁴ - (1)/(x⁴⁾ को वर्गों के अंतर की सर्वसमिका का उपयोग करके (x² + (1)/(x²⁾)(x² - (1)/(x²⁾) के रूप में गुणनखंडित किया जा सकता है। हमें दिया गया है कि x² + (1)/(x²⁾ = 6। दूसरे गुणनखंड का मान ज्ञात करने के लिए, हम बीजगणितीय संबंध (a - b)² = (a + b)² - 4ab का उपयोग करते हैं। इसे x² और (1)/(x²⁾ पर लागू करने पर, हमें प्राप्त होता है:

(x² - (1)/(x²⁾)² = (x² + (1)/(x²⁾)² - 4(x²)((1)/(x²⁾) (x² - (1)/(x²⁾)² = 6² - 4 = 36 - 4 = 32 x² - (1)/(x²⁾ = ± √(32) = ± 4√2

शर्त 0 < x < 1 का तात्पर्य है कि x² < 1 है। चूंकि x² शून्य और 1 के बीच एक भिन्न है, इसलिए इसका व्युत्क्रम (1)/(x²⁾, 1 से अधिक होना चाहिए। इसका अर्थ है कि x² < (1)/(x²⁾, इसलिए अंतर x² - (1)/(x²⁾ ऋणात्मक होना चाहिए। अतः, हम ऋणात्मक मान लेते हैं: x² - (1)/(x²⁾ = - 4√2।

अंत में, इन मानों को गुणनखंडित रूप में प्रतिस्थापित करने पर: x⁴ - (1)/(x⁴⁾ = (6) × (- 4√2) = - 24√2

व्याख्या

मान लीजिए धारा के प्रतिकूल चाल u किमी/घंटा और धारा के अनुकूल चाल v किमी/घंटा है। समय-दूरी संबंध 'समय = दूरी / चाल' के अनुसार, दी गई स्थितियाँ दो समीकरण प्रदान करती हैं: 20/u + 44/v = 8 और 15/u + 22/v = 5। इस प्रणाली को कुशलतापूर्वक हल करने के लिए, दूसरे समीकरण को 2 से गुणा करने पर 30/u + 44/v = 10 प्राप्त होता है। इस परिणाम में से पहले समीकरण को घटाने पर (30 - 20)/u = 10 - 8 प्राप्त होता है, जो सरल होकर 10/u = 2, या u = 5 किमी/घंटा हो जाता है।

u = 5 का मान वापस दूसरे समीकरण में रखने पर 15/5 + 22/v = 5 प्राप्त होता है, जो सरल होकर 3 + 22/v = 5 हो जाता है, जिसका अर्थ है 22/v = 2, या v = 11 किमी/घंटा। शांत जल में नाव की चाल, धारा के अनुकूल और धारा के प्रतिकूल चालों का अंकगणितीय माध्य होती है, जो इस सूत्र द्वारा दी जाती है: नाव की चाल = (v + u) / 2। मानों को प्रतिस्थापित करने पर, हमें प्राप्त होता है कि चाल (11 + 5) / 2 = 16 / 2 = 8 किमी/घंटा है।

व्याख्या

यह प्रश्न पुरुषों (M), महिलाओं (W) और लड़कों (B) के बीच कार्य तुल्यता अनुपात स्थापित करता है। 4M = 6W से, हम एक महिला के संबंध में एक पुरुष की कार्यक्षमता 1M = ⁶⁄₄W = 1.5W के रूप में पाते हैं। इसी प्रकार, 4W = 6B से, एक लड़के के संबंध में एक महिला की कार्यक्षमता 1W = ⁶⁄₄B = 1.5B है।

प्रतिस्थापन द्वारा, लड़कों के संदर्भ में एक पुरुष की कार्यक्षमता 1M = 1.5 × (1.5B) = 2.25B है। एक पुरुष और एक महिला की संयुक्त कार्य दर 1M + 1W = 2.25B + 1.5B = 3.75B है।

कार्य सूत्र M₁ D₁ = M₂ D₂ का उपयोग करने पर, जहाँ M श्रमिकों की संख्या (या उनकी समकक्ष कार्यक्षमता) को दर्शाता है और D दिनों को दर्शाता है: 1B × 60 = 3.75B × D D = (60)/(3.75) D = ⁶⁰⁰⁰⁄₃₇₅ D = 16 दिन

व्याख्या

जब दो वस्तुएं एक ही दिशा में गति करती हैं, तो उनकी सापेक्ष गति उनकी व्यक्तिगत गतियों का अंतर होती है। इस स्थिति में, चोर के संबंध में पुलिसकर्मी की सापेक्ष गति 12 किमी/घंटा - 10 किमी/घंटा = 2 किमी/घंटा है। उन्हें अलग करने वाली प्रारंभिक दूरी 400 मीटर है, जो 0.4 किमी के बराबर है। पुलिसकर्मी द्वारा इस अंतर को पाटने और चोर को पकड़ने के लिए आवश्यक समय की गणना सूत्र t = (दूरी)/(सापेक्ष गति) का उपयोग करके की जाती है। मानों को प्रतिस्थापित करने पर, हमें t = (0.4 किमी)/(2 किमी/घंटा) = 0.2 घंटे प्राप्त होता है।

प्रारंभिक बिंदु से उस दूरी को निर्धारित करने के लिए जहां चोर पकड़ा जाता है, हम इस समय के दौरान पुलिसकर्मी द्वारा तय की गई कुल दूरी की गणना करते हैं। सूत्र दूरी = गति × समय का उपयोग करने पर, दूरी 12 किमी/घंटा × 0.2 घंटे = 2.4 किमी है। इसे गतियों के अनुपात का उपयोग करके भी हल किया जा सकता है। चूंकि समय स्थिर है, इसलिए तय की गई दूरियों का अनुपात उनकी गतियों के अनुपात के समान होता है, जो कि 12:10 या 6:5 है। अनुपात में 1 इकाई का अंतर प्रारंभिक 400 मीटर की बढ़त के अनुरूप है। इस प्रकार, 6 इकाइयाँ पुलिसकर्मी की दूरी को दर्शाती हैं: 6 × 400 मीटर = 2400 मीटर, या 2.4 किमी।