एसएससी सीजीएल टियर 1 2023 मात्रात्मक अभिक्षमता प्रश्न — हल सहित

व्याख्या

दी गई शर्त के आधार पर, A = B का 95%, जिसे गणितीय रूप से A = ⁹⁵⁄₁₀₀B = ¹⁹⁄₂₀B के रूप में लिखा जा सकता है।

यह ज्ञात करने के लिए कि B, A का कितना प्रतिशत है, हमें ((B)/(A) × 100)% की गणना करनी होगी।

संबंध A = ¹⁹⁄₂₀B से, हम B को A के पदों में B = ²⁰⁄₁₉A के रूप में व्यक्त कर सकते हैं।

इसे प्रतिशत सूत्र में रखने पर: प्रतिशत = (20)/(19)A{A} × 100 = ²⁰⁄₁₉ × 100 = ²⁰⁰⁰⁄₁₉%।

²⁰⁰⁰⁄₁₉ का भाग करने पर: 2000 = 19 × 105 + 5।

इस प्रकार, भिन्न ²⁰⁰⁰⁄₁₉ को मिश्रित संख्या के रूप में व्यक्त करने पर यह 105⁵⁄₁₉% है।

व्याख्या

माना सरसों के तेल का क्रय मूल्य (CP) = 100 है। अंकित मूल्य, क्रय मूल्य से 25% अधिक है, इसलिए अंकित मूल्य (MP) = 100 + 25 = 125 है। कोई लाभ और कोई हानि न होने के लिए, विक्रय मूल्य, क्रय मूल्य के बराबर होना चाहिए, अर्थात विक्रय मूल्य (SP) = 100 है।

विक्रय मूल्य तक पहुँचने के लिए अंकित मूल्य पर आवश्यक छूट = MP - SP = 125 - 100 = 25 है। अंकित मूल्य से प्रतिशत कमी ज्ञात करने के लिए, हम निम्नलिखित सूत्र का उपयोग करते हैं:

अंकित मूल्य से प्रतिशत कमी = (कमी)/(MP) × 100

मानों को प्रतिस्थापित करने पर, हमें प्राप्त होता है:

²⁵⁄₁₂₅ × 100 = ⅕ × 100 = 20%

व्याख्या

मान लीजिए कि कुल कार्य व्यक्तिगत समय अवधियों का लघुत्तम समापवर्त्य (LCM) है। 25 और 30 का LCM 150 इकाई है। इसके आधार पर, A की कार्यक्षमता 150 / 25 = 6 इकाई प्रति दिन है, और B की कार्यक्षमता 150 / 30 = 5 इकाई प्रति दिन है।

कार्य A से शुरू करते हुए 5 दिनों के लिए बारी-बारी से किया जाता है। इन 5 दिनों के लिए कार्य की समय-सारणी इस प्रकार है: दिन 1: A कार्य करता है (6 इकाई) दिन 2: B कार्य करता है (5 इकाई) दिन 3: A कार्य करता है (6 इकाई) दिन 4: B कार्य करता है (5 इकाई) दिन 5: A कार्य करता है (6 इकाई)

इन 5 दिनों में पूरा किया गया कुल कार्य 6 + 5 + 6 + 5 + 6 = 28 इकाई है। शेष कार्य 150 - 28 = 122 इकाई है। 5 दिनों के बाद, A कार्य छोड़ देता है और B शेष कार्य को पूरा करता है। चूंकि B की कार्यक्षमता 5 इकाई प्रति दिन है, इसलिए B को शेष कार्य पूरा करने में लगने वाला समय है: दिन = ¹²²⁄₅ = 24 ⅖

व्याख्या

औसत गति को तय की गई कुल दूरी को यात्रा में लगे कुल समय से विभाजित करके परिभाषित किया जाता है। यात्रा में तीन खंड शामिल हैं। पहले खंड में, व्यक्ति 80 किमी/घंटा की गति से 120 किमी की यात्रा करता है, जिसमें लगा समय t₁ = 120 / 80 = 1.5 घंटे है। दूसरे खंड में, व्यक्ति 40 किमी/घंटा की गति से 100 किमी की यात्रा करता है, जिसमें लगा समय t₂ = 100 / 40 = 2.5 घंटे है। वापसी यात्रा के लिए, व्यक्ति प्रारंभिक बिंदु तक की पूरी दूरी वापस तय करता है, जो कि 120 + 100 = 220 किमी है, 75 किमी/घंटा की गति से, जिसमें लगा समय t₃ = 220 / 75 = 44/15 ≈ 2.933 घंटे है।

पूरी यात्रा की कुल दूरी 120 + 100 + 220 = 440 किमी है। लिया गया कुल समय t₁ + t₂ + t₃ = 1.5 + 2.5 + 44/15 = 4 + 44/15 = 104/15 घंटे है। औसत गति के सूत्र का उपयोग करने पर:

औसत गति = (कुल दूरी)/(कुल समय) = (440)/(104/15) = (440 × 15)/(104) = ⁶⁶⁰⁰⁄₁₀₄ ≈ 63.46 किमी/घंटा

व्याख्या

कुल कार्य स्थिर है और इसे श्रमिकों की संख्या, उनकी व्यक्तिगत कार्यक्षमता और लिए गए समय के गुणनफल द्वारा परिभाषित किया जा सकता है। मान लीजिए कि M और W क्रमशः एक पुरुष और एक महिला की कार्यक्षमता को दर्शाते हैं। प्रश्न के अनुसार, 8 × M × 45 = 8 × W × 18। दोनों पक्षों को 8 से विभाजित करके इस समीकरण को सरल करने पर 45M = 18W प्राप्त होता है, जिससे कार्यक्षमता का अनुपात M : W = 18 : 45, या M : W = 2 : 5 स्थापित होता है।

M = 2 इकाई और W = 5 इकाई मानने पर, कुल कार्य 8 × 2 × 45 = 720 इकाई है। 5 पुरुषों और 8 महिलाओं के समूह की सामूहिक कार्यक्षमता (5 × 2) + (8 × 5) = 10 + 40 = 50 इकाई प्रति दिन है। कुल कार्य को पूरा करने के लिए आवश्यक दिनों की संख्या कुल कार्य को समूह की दैनिक कार्यक्षमता से विभाजित करने पर प्राप्त होती है, जो कि ⁷²⁰⁄₅₀ = ⁷²⁄₅ है। मिश्रित भिन्न के रूप में व्यक्त करने पर, यह 14 सही 2/5 दिन है।

व्याख्या

यह ज्ञात करने के लिए कि कौन सी संख्या व्यंजक 6²⁵ + 6²⁶ + 6²⁷ + 6²⁸ को विभाजित करती है, हम उभयनिष्ठ पद 6²⁵ को बाहर लेते हैं:

6²⁵(6⁰ + 6¹ + 6² + 6³)

अब, हम कोष्ठक के भीतर के योग की गणना करते हैं:

6⁰ = 1 6¹ = 6 6² = 36 6³ = 216

योग = 1 + 6 + 36 + 216 = 259

व्यंजक सरल होकर 6²⁵ × 259 हो जाता है। चूंकि 259 इस गुणनफल का एक सीधा गुणनखंड है, इसलिए संपूर्ण व्यंजक 259 से विभाज्य है।

व्याख्या

परीक्षा के कुल अंक 50 हैं। प्रश्न में कुल (aggregate) में 20% से कम अंक प्राप्त करने वाले छात्रों की संख्या पूछी गई है। सबसे पहले, हम कुल अंकों के 20% के बराबर अंक निर्धारित करते हैं, जो कि 0.20 × 50 = 10 है।

तालिका के अनुसार, औसत (कुल) वाली पंक्ति विशिष्ट श्रेणियों के भीतर अंक प्राप्त करने वाले छात्रों की संचयी संख्या को दर्शाती है। '10 और उससे अधिक' वाला कॉलम दर्शाता है कि 87 छात्रों ने कुल मिलाकर 10 या उससे अधिक अंक प्राप्त किए हैं। चूंकि छात्रों की कुल संख्या 100 है, इसलिए 10 से कम अंक प्राप्त करने वाले छात्रों की संख्या कुल छात्रों और 10 या उससे अधिक अंक प्राप्त करने वाले छात्रों के बीच का अंतर है। इसकी गणना इस प्रकार की जाती है: 100 - 87 = 13।

व्याख्या

माना बड़े वृत्त की त्रिज्या R = 10 सेमी और छोटे वृत्त की त्रिज्या r = 6 सेमी है। बड़े वृत्त की एक जीवा जो छोटे वृत्त को स्पर्श करती है, वह छोटे वृत्त के लिए एक स्पर्शरेखा के रूप में कार्य करती है। स्पर्श बिंदु पर खींची गई छोटे वृत्त की त्रिज्या इस जीवा पर लंब होती है और इसे समद्विभाजित करती है।

यह ज्यामिति एक समकोण त्रिभुज बनाती है जहाँ कर्ण बड़े वृत्त की त्रिज्या (R) है, एक भुजा छोटे वृत्त की त्रिज्या (r) है, और दूसरी भुजा जीवा की लंबाई की आधी (l) है। पाइथागोरस प्रमेय द्वारा:

l² + r² = R² l² + 6² = 10² l² + 36 = 100 l² = 64 l = √(64) = 8 सेमी

चूंकि l जीवा की आधी लंबाई को दर्शाता है, इसलिए जीवा की कुल लंबाई 2 × l = 2 × 8 = 16 सेमी है।

व्याख्या

दिए गए समीकरण मानक त्रिकोणमितीय अनुपातों का उपयोग करते हैं जहाँ sin 90° = 1 और cos 60° = ½ है। sin(a + b) = 1 से, हमें पहला रैखिक समीकरण प्राप्त होता है: a + b = 90°

cos(a - b) = ½ से, हमें दूसरा रैखिक समीकरण प्राप्त होता है: a - b = 60°

a का मान ज्ञात करने के लिए, हम दोनों समीकरणों को जोड़ते हैं: (a + b) + (a - b) = 90° + 60° 2a = 150°

दोनों पक्षों को 2 से विभाजित करने पर प्राप्त होता है: a = (150°)/(2) = 75°

व्याख्या

एक ट्रेन द्वारा किसी प्लेटफॉर्म को पूरी तरह से पार करने में लगने वाले समय की गणना करने के लिए, तय की गई कुल दूरी ट्रेन की लंबाई और प्लेटफॉर्म की लंबाई का योग होती है। कुल दूरी D = 900 मीटर + 900 मीटर = 1800 मीटर है।

ट्रेन की गति को परिवर्तन कारक ⁵⁄₁₈ का उपयोग करके किमी/घंटा से मीटर/सेकंड में परिवर्तित किया जाना चाहिए: गति v = 108 × ⁵⁄₁₈ = 6 × 5 = 30 मीटर/सेकंड।

समय के सूत्र t = (D)/(v) का उपयोग करने पर: t = ¹⁸⁰⁰⁄₃₀ = 60 सेकंड।

व्याख्या

जिस व्यंजक का मान ज्ञात करना है वह 16b² + (1)/(49b²) है, जो कि (4b)² + ((1)/(7b))² है। इसे प्राप्त करने के लिए, दिए गए समीकरण 7b - (1)/(4b) = 7 के दोनों पक्षों को ⁴⁄₇ से गुणा करके परिवर्तित करें:

⁴⁄₇ × (7b - (1)/(4b)) = ⁴⁄₇ × 7 4b - (1)/(7b) = 4

सर्वसमिका (x - y)² = x² + y² - 2xy का उपयोग करके इस समीकरण के दोनों पक्षों का वर्ग करने पर:

(4b - (1)/(7b))² = 4² (4b)² + ((1)/(7b))² - 2(4b)((1)/(7b)) = 16 16b² + (1)/(49b²) - ⁸⁄₇ = 16

अंतिम मान ज्ञात करने के लिए, अचर पद को दाईं ओर ले जाएं:

16b² + (1)/(49b²) = 16 + ⁸⁄₇ 16b² + (1)/(49b²) = (112 + 8)/(7) 16b² + (1)/(49b²) = ¹²⁰⁄₇

व्याख्या

भुजा-कोण-भुजा (SAS) सर्वांगसमता प्रमेय के अनुसार, दो त्रिभुज सर्वांगसम होते हैं यदि एक त्रिभुज की दो भुजाएँ और उनके अंतर्गत कोण, दूसरे त्रिभुज की संगत दो भुजाओं और उनके अंतर्गत कोण के बराबर हों। दिए गए त्रिभुजों △ ABC और △ XYZ में, हमें बराबर भुजाओं का एक युग्म, AC = XZ, और बराबर कोणों का एक युग्म, m ∠ C = m ∠ Z दिया गया है। SAS कसौटी द्वारा इन त्रिभुजों के सर्वांगसम होने के लिए, कोणों को संगत बराबर भुजाओं के बीच का अंतर्गत कोण होना चाहिए। △ ABC में, ∠ C भुजाओं AC और BC के बीच का अंतर्गत कोण है। △ XYZ में, ∠ Z भुजाओं XZ और YZ के बीच का अंतर्गत कोण है। यह देखते हुए कि AC = XZ है, SAS सर्वांगसमता गुणधर्म को संतुष्ट करने के लिए आवश्यक अतिरिक्त शर्त यह है कि कोण बनाने वाली अन्य भुजाएँ बराबर होनी चाहिए, जो कि BC = YZ है।

व्याख्या

X खरीदने पर Y मुफ्त पाएं (Buy X Get Y Free) योजना में छूट प्रतिशत की गणना इस सूत्र का उपयोग करके की जाती है: छूट प्रतिशत = (Y)/(X + Y) × 100. यह सूत्र ग्राहक द्वारा प्राप्त की गई वस्तुओं की कुल संख्या से मुफ्त वस्तुओं की संख्या के अनुपात को दर्शाता है।

योजना A (3 खरीदने पर 4 मुफ्त पाएं) के लिए, वस्तुओं की कुल संख्या 3 + 4 = 7 है। छूट प्रतिशत ⁴⁄₇ × 100 ≈ 57.14% है।

योजना B (5 खरीदने पर 6 मुफ्त पाएं) के लिए, वस्तुओं की कुल संख्या 5 + 6 = 11 है। छूट प्रतिशत ⁶⁄₁₁ × 100 ≈ 54.54% है।

दोनों मानों की तुलना करने पर, योजना A लगभग 57.14% की छूट प्रदान करती है, जो योजना B द्वारा दी जाने वाली 54.54% की छूट से अधिक है। बिना पूर्ण विभाजन के भिन्नों ⁴⁄₇ और ⁶⁄₁₁ की तुलना करने का एक त्वरित तरीका तिर्यक-गुणन (cross-multiplication) है: 4 × 11 = 44 और 6 × 7 = 42। चूंकि 44 > 42 है, इसलिए भिन्न ⁴⁄₇ बड़ा है, जिससे यह पुष्टि होती है कि योजना A अधिकतम छूट प्रतिशत प्रदान करती है।

व्याख्या

साधारण ब्याज की गणना सूत्र SI = (P × R × T)/(100) का उपयोग करके की जाती है। चूंकि दोनों मामलों में प्राप्त ब्याज बराबर है, इसलिए हम दोनों स्थितियों के लिए मूलधन, दर और समय के गुणनफल को बराबर रख सकते हैं: P₁ × R₁ × T₁ = P₂ × R₂ × T₂।

दिए गए मानों को रखने पर: 10,000 × 4 × T₁ = 8,000 × 5 × 4 40,000 × T₁ = 160,000 T₁ = (160,000)/(40,000) T₁ = 4

अतः, अभीष्ट समय 4 वर्ष है।

व्याख्या

एक साथ काम करने वाले कई व्यक्तियों द्वारा लिया गया समय उनके संयुक्त कार्य दर का उपयोग करके ज्ञात किया जा सकता है। मान लीजिए कि कुल कार्य व्यक्तिगत समय अवधियों 10, 15 और 30 का लघुत्तम समापवर्त्य (LCM) है, जो कि 30 इकाई है। प्रत्येक व्यक्ति की कार्यक्षमता कुल कार्य को उनके द्वारा लिए गए व्यक्तिगत समय से विभाजित करने पर प्राप्त होती है। इस प्रकार, पुरुष की कार्यक्षमता = 30 / 10 = 3 इकाई प्रति दिन, लड़के की कार्यक्षमता = 30 / 15 = 2 इकाई प्रति दिन, और महिला की कार्यक्षमता = 30 / 30 = 1 इकाई प्रति दिन है।

जब तीनों मिलकर कार्य करते हैं, तो उनकी संयुक्त कार्यक्षमता उनकी व्यक्तिगत कार्यक्षमताओं का योग होती है: 3 + 2 + 1 = 6 इकाई प्रति दिन। कार्य को पूरा करने के लिए आवश्यक कुल समय कुल कार्य को संयुक्त कार्यक्षमता से विभाजित करके प्राप्त किया जाता है, जिसकी गणना 30 / 6 = 5 दिन के रूप में की जाती है। इसे संयुक्त दर सूत्र 1/T = 1/10 + 1/15 + 1/30 का उपयोग करके भी व्यक्त किया जा सकता है, जो सरल होकर 1/T = (3 + 2 + 1) / 30 = 6/30 = 1/5 हो जाता है, जिसके परिणामस्वरूप T = 5 दिन प्राप्त होता है।

व्याख्या

मूल त्रिकोणमितीय सर्वसमिका tan θ = (sin θ)/(cos θ) का उपयोग करके इस व्यंजक को सरल किया जा सकता है। दिए गए व्यंजक में इस सर्वसमिका को प्रतिस्थापित करने पर, हमें प्राप्त होता है:

tan² θ cos² θ = (sin² θ)/(cos² θ) · cos² θ = sin² θ

पाइथागोरस सर्वसमिका sin² θ + cos² θ = 1 का उपयोग करके, हम परिणाम को cos θ के पदों में व्यक्त कर सकते हैं:

sin² θ = 1 - cos² θ

यह दिया गया है कि cos θ = √3{2}, हम सबसे पहले cos² θ का मान ज्ञात करते हैं:

cos² θ = (√3{2})² = ¾

अब, इस मान को हमारे सरलीकृत व्यंजक में प्रतिस्थापित करने पर:

sin² θ = 1 - ¾ = ¼

वैकल्पिक रूप से, वह कोण ज्ञात करने पर जिसके लिए cos θ = √3{2} है, हमें θ = 30° प्राप्त होता है। इस कोण को मूल व्यंजक में प्रतिस्थापित करने पर:

tan² 30° cos² 30° = ((1)/(√(3)))² · (√3{2})² = ⅓ · ¾ = ¼

व्याख्या

व्यंजक 3x³ + 5x²y + 12xy² + 7y³ का मान ज्ञात करने के लिए, प्रत्येक पद में x = -4 और y = -1 प्रतिस्थापित करें:

पहला पद 3(-4)³ = 3(-64) = -192 है। दूसरा पद 5(-4)²(-1) = 5(16)(-1) = -80 है। तीसरा पद 12(-4)(-1)² = 12(-4)(1) = -48 है। चौथा पद 7(-1)³ = 7(-1) = -7 है।

इन व्यक्तिगत मानों का योग करने पर -192 - 80 - 48 - 7 प्राप्त होता है। ऋणात्मक मानों को जोड़ने पर -(192 + 80 + 48 + 7) = -327 प्राप्त होता है।

व्याख्या

चार संख्याओं a, b, c, और d के समानुपात में होने के लिए, संबंध (a)/(b) = (c)/(d) संतुष्ट होना चाहिए। दिए गए मानों 39, 117, 17, और y को इस सूत्र में रखने पर प्राप्त होता है:

³⁹⁄₁₁₇ = (17)/(y)

बाईं ओर के भिन्न को उसके महत्तम समापवर्तक, जो कि 39 है, से अंश और हर दोनों को विभाजित करके सरल किया जा सकता है, क्योंकि 39 × 3 = 117:

⅓ = (17)/(y)

अज्ञात चर y का मान ज्ञात करने के लिए तिर्यक-गुणन (cross-multiplying) करने पर:

y = 17 × 3 y = 51

व्याख्या

एक गोले के आयतन V की गणना सूत्र V = ⁴⁄₃ π r³ का उपयोग करके की जाती है। सूत्र में दिए गए मान r = 4.2 सेमी और π = ²²⁄₇ रखने पर:

V = ⁴⁄₃ × ²²⁄₇ × 4.2 × 4.2 × 4.2

गणना को सरल बनाने के लिए, 4.2 को 7 से विभाजित करने पर 0.6 प्राप्त होता है, और 0.6 को 3 से विभाजित करने पर 0.2 प्राप्त होता है। यह व्यंजक इस प्रकार सरल हो जाता है:

V = 4 × 22 × 0.2 × 4.2 × 4.2 V = 17.6 × 17.64 V = 310.464 सेमी³

ऐसे प्रश्नों के लिए एक उपयोगी शॉर्टकट 11 से विभाज्यता की जांच करना है, क्योंकि गणना में गुणनखंड 22 शामिल है। मान 310.464 के लिए, विषम स्थानों पर अंकों का योग 3 + 0 + 6 = 9 है और सम स्थानों पर अंकों का योग 1 + 4 + 4 = 9 है। चूंकि अंतर 0 है, इसलिए यह संख्या 11 से विभाज्य है।

व्याख्या

त्रिपद के वर्ग के लिए बीजगणितीय सर्वसमिका (a + b + c)² = a² + b² + c² + 2(ab + bc + ca) है। इस सूत्र में दिए गए मानों (a + b + c) = 16 और (a² + b² + c²) = 90 को प्रतिस्थापित करने पर 16² = 90 + 2(ab + bc + ca) प्राप्त होता है। 16 का वर्ग करने पर 256 = 90 + 2(ab + bc + ca) प्राप्त होता है। वांछित व्यंजक वाले पद को अलग करने के लिए, 256 में से 90 घटाएं, जिससे 166 = 2(ab + bc + ca) प्राप्त होता है। दोनों पक्षों को 2 से विभाजित करने पर (ab + bc + ca) = 83 प्राप्त होता है।

व्याख्या

दिए गए त्रिकोणमितीय समीकरण (3sinθ - cosθ)/(cosθ + sinθ) = 1 में, हम सबसे पहले हर (denominator) का दाईं ओर वज्र-गुणन (cross-multiplication) करते हैं:

3sinθ - cosθ = cosθ + sinθ

साइन (sine) और कोसाइन (cosine) के बीच संबंध ज्ञात करने के लिए, हम दोनों पक्षों में cosθ जोड़कर और दोनों पक्षों से sinθ घटाकर पदों को पुनर्व्यवस्थित करते हैं:

3sinθ - sinθ = cosθ + cosθ 2sinθ = 2cosθ

दोनों पक्षों को 2 से भाग देने पर हमें sinθ = cosθ प्राप्त होता है। cotangent फलन को किसी कोण के कोसाइन (cosine) और उसके साइन (sine) के अनुपात के रूप में परिभाषित किया जाता है:

cotθ = (cosθ)/(sinθ)

इस अनुपात में cosθ = sinθ प्रतिस्थापित करने पर, हमें प्राप्त होता है:

cotθ = (sinθ)/(sinθ) = 1

व्याख्या

यह ज्ञात करने के लिए कि दोनों धावक शुरुआती बिंदु पर दोबारा कब मिलेंगे, प्रत्येक धावक द्वारा एक पूरा चक्कर लगाने में लिए गए समय की गणना करें और फिर उन समयों का लघुत्तम समापवर्त्य (LCM) ज्ञात करें।

सबसे पहले, ⁵⁄₁₈ गुणक का उपयोग करके गतियों को किमी/घंटा से मीटर/सेकंड में बदलें: सोनी की गति v₁ = 18 × ⁵⁄₁₈ = 5 मीटर/सेकंड मोनी की गति v₂ = 24 × ⁵⁄₁₈ = ²⁰⁄₃ मीटर/सेकंड

इसके बाद, प्रत्येक धावक द्वारा 200 मीटर के ट्रैक का एक चक्कर पूरा करने में लिए गए समय की गणना करें: सोनी के लिए समय T₁ = ²⁰⁰⁄₅ = 40 सेकंड मोनी के लिए समय T₂ = (200)/(20/3) = 200 × ³⁄₂₀ = 30 सेकंड

शुरुआती बिंदु पर उनके मिलने का समय LCM(T₁, T₂) है: LCM(40, 30) = 120 सेकंड

व्याख्या

माड्यूलर अंकगणित के गुणों का उपयोग करके, हम व्यंजक (265)⁴⁰⁸¹ + 9 modulo 266 का मूल्यांकन करते हैं। चूंकि 265 = 266 - 1, इसलिए 265 ≡ -1 modulo 266 प्राप्त होता है। इसे घातांक वाले पद में प्रतिस्थापित करने पर (-1)⁴⁰⁸¹ + 9 modulo 266 प्राप्त होता है। चूंकि 4081 एक विषम पूर्णांक है, इसलिए (-1)⁴⁰⁸¹ = -1। अतः, व्यंजक -1 + 9 हो जाता है, जिसके परिणामस्वरूप शेषफल 8 प्राप्त होता है।

व्याख्या

दिए गए समीकरण a² + b² + c² = ab + bc + ac के दोनों पक्षों को 2 से गुणा करके 2a² + 2b² + 2c² - 2ab - 2bc - 2ac = 0 प्राप्त करने के लिए पुनर्व्यवस्थित किया जा सकता है। यह व्यंजक बीजगणितीय सर्वसमिका (a - b)² + (b - c)² + (c - a)² = 0 के समतुल्य है। वास्तविक संख्याओं के वर्गों का योग शून्य होने के लिए, प्रत्येक व्यक्तिगत वर्ग पद शून्य होना चाहिए, जिससे a - b = 0, b - c = 0, और c - a = 0 प्राप्त होता है। परिणामस्वरूप, इस शर्त का तात्पर्य है कि a = b = c है।

अभिष्ट व्यंजक में b = a और c = a प्रतिस्थापित करने पर, हम अंश और हर को अलग-अलग सरल करते हैं। अंश 11a⁴ + 13a⁴ + 17a⁴ = 41a⁴ हो जाता है। हर 17a²(a²) + 9a²(a²) + 15a²(a²) = 17a⁴ + 9a⁴ + 15a⁴ = 41a⁴ हो जाता है। अंश को हर से विभाजित करने पर, हमें (41a⁴)/(41a⁴) = 1 प्राप्त होता है।

व्याख्या

△ ABC में, चूंकि DE ∥ BC है, इसलिए AA समरूपता द्वारा △ ADE ∼ △ ABC है। उनकी संगत भुजाओं का अनुपात DE/BC = AD/AB है। दिया गया है कि AD:DB = 7:9, हमारे पास AB = AD + DB = 7 + 9 = 16 इकाई है। इसलिए, अनुपात DE/BC = 7/16 है।

चूंकि DE ∥ BC है, त्रिभुज △ DEF और △ CBF, AA समरूपता द्वारा समरूप हैं क्योंकि ∠ FED = ∠ FBC और ∠ FDE = ∠ FCB (एकांतर अंतः कोण) हैं। किन्हीं दो समरूप त्रिभुजों के लिए, उनके क्षेत्रफलों का अनुपात उनकी संगत भुजाओं के अनुपात के वर्ग के बराबर होता है।

क्षेत्रफलों के अनुपात के सूत्र का उपयोग करने पर: क्षेत्रफल(△ DEF) / क्षेत्रफल(△ CBF) = (DE/BC)²

भुजाओं के अनुपात का मान रखने पर: क्षेत्रफल का अनुपात = (7/16)² = 49/256

व्याख्या

चूंकि A और B व्यक्तिगत रूप से कार्य को 30 दिनों में पूरा कर सकते हैं, हम मान सकते हैं कि कुल कार्य 30 इकाई है, और प्रत्येक व्यक्ति की कार्यक्षमता 1 इकाई प्रति दिन है।

A प्रत्येक चार दिन के कार्य के बाद एक दिन की छुट्टी लेता है, जिसका अर्थ है कि A 4 दिन कार्य करता है और 5वें दिन आराम करता है। इसलिए, A 5वें, 10वें, 15वें, 20वें इत्यादि दिनों में आराम करता है। B प्रत्येक पांच दिन के कार्य के बाद एक दिन की छुट्टी लेता है, जिसका अर्थ है कि B 5 दिन कार्य करता है और 6ठे दिन आराम करता है। इसलिए, B 6ठे, 12वें, 18वें, 24वें इत्यादि दिनों में आराम करता है।

18वें दिन के अंत तक: A के लिए कुल छुट्टियों के दिन = 3 दिन (5वां, 10वां, 15वां दिन) A द्वारा कार्य किए गए कुल दिन = 18 - 3 = 15 दिन A द्वारा किया गया कार्य = 15 × 1 = 15 इकाई

B के लिए कुल छुट्टियों के दिन = 3 दिन (6ठा, 12वां, 18वां दिन) B द्वारा कार्य किए गए कुल दिन = 18 - 3 = 15 दिन B द्वारा किया गया कार्य = 15 × 1 = 15 इकाई

A और B द्वारा मिलकर किया गया कुल कार्य = 15 + 15 = 30 इकाई।

30 इकाई का कुल कार्य ठीक 18वें दिन पूरा हो जाता है। चूंकि कार्य 01 अगस्त 2022 को शुरू हुआ था, इसलिए 18वां दिन 18 अगस्त 2022 है।

व्याख्या

एक शंक्वाकार तंबू बनाने के लिए आवश्यक कैनवास की मात्रा शंकु के वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल के बराबर होती है, क्योंकि आधार फर्श होता है और इसके लिए कैनवास की आवश्यकता नहीं होती है। वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल का सूत्र A = π r l है, जहाँ r त्रिज्या है और l तिर्यक ऊँचाई है। सबसे पहले, संबंध l = √(r² + h²) का उपयोग करके तिर्यक ऊँचाई निर्धारित की जाती है। दी गई त्रिज्या r = 6 इकाई और ऊँचाई h = 8 इकाई के साथ, तिर्यक ऊँचाई l = √(6² + 8²) = √(36 + 64) = √(100) = 10 इकाई है। π ≈ 22/7 का उपयोग करके क्षेत्रफल के सूत्र में इन मानों को प्रतिस्थापित करने पर A = (22/7) × 6 × 10 = 1320 / 7 प्राप्त होता है। 1320 को 7 से विभाजित करने पर लगभग 188.5714 प्राप्त होता है, जिसे दशमलव के दो स्थानों तक पूर्णांकित करने पर 188.57 इकाई प्राप्त होता है।

व्याख्या

वह सबसे छोटी संख्या ज्ञात करने के लिए जिसे 888 में जोड़ने पर योगफल 35 से पूर्णतः विभाज्य हो जाए, हम सबसे पहले शेषफल ज्ञात करने के लिए 888 को 35 से विभाजित करते हैं।

विभाजन करने पर: 888 ÷ 35 35 × 2 = 70 88 - 70 = 18 अंतिम अंक नीचे लाने पर, हमें 188 प्राप्त होता है। 35 × 5 = 175 188 - 175 = 13

शेषफल 13 है। किसी संख्या में कोई मान जोड़ने के बाद उसे भाजक से पूर्णतः विभाज्य बनाने के लिए, जोड़ी जाने वाली संख्या भाजक और शेषफल का अंतर होती है।

अभीष्ट संख्या = भाजक - शेषफल अभीष्ट संख्या = 35 - 13 = 22

जब 888 में 22 जोड़ा जाता है, तो परिणाम 910 होता है, जो कि ठीक 35 × 26 है।

व्याख्या

माना दो प्राकृतिक संख्याएँ x और y हैं। प्रश्न के अनुसार, अंतर का वर्ग (x - y)² = 324 है, जिससे अंतर x - y = √(324) = 18 प्राप्त होता है। संख्याओं का गुणनफल xy = 144 है।

वर्गों के बीच का अंतर, x² - y² ज्ञात करने के लिए, हम सर्वसमिका x² - y² = (x - y)(x + y) का उपयोग करते हैं। हमारे पास पहले से ही x - y = 18 है, इसलिए हमें x + y ज्ञात करने की आवश्यकता है। बीजगणितीय सर्वसमिका (x + y)² = (x - y)² + 4xy का उपयोग करते हुए, हम ज्ञात मानों को प्रतिस्थापित करते हैं:

(x + y)² = 324 + 4(144) (x + y)² = 324 + 576 (x + y)² = 900

वर्गमूल लेने पर, हमें x + y = √(900) = 30 प्राप्त होता है।

अंततः, संख्याओं के वर्गों के बीच का धनात्मक अंतर है:

x² - y² = (18)(30) = 540

व्याख्या

माना कुल कार्य 15 इकाई है। चूंकि A कार्य को 15 दिनों में पूरा कर सकता है, इसलिए A की कार्यक्षमता 15 / 15 = 1 इकाई प्रति दिन है।

A पहले दो दिन और अंतिम दो दिन कार्य करता है, जिससे कुल 4 दिन होते हैं। A द्वारा पूरा किया गया कार्य 4 × 1 = 4 इकाई है। शेष कार्य 15 - 4 = 11 इकाई है। यह शेष कार्य B द्वारा पूरा किया जाता है। चूंकि कार्य को पूरा करने में लगा कुल समय 20 दिन है और A ने उन दिनों में से 4 दिन कार्य किया, इसलिए B ने शेष 20 - 4 = 16 दिनों तक कार्य किया।

B की कार्यक्षमता किया गया कार्य विभाजित लिया गया समय है, जो कि 11 / 16 इकाई प्रति दिन है। A और B द्वारा मिलकर लिया गया समय ज्ञात करने के लिए, हम पहले उनकी संयुक्त कार्यक्षमता ज्ञात करते हैं: 1 + ¹¹⁄₁₆ = (16 + 11)/(16) = ²⁷⁄₁₆ इकाई प्रति दिन।

15 इकाई कार्य को पूरा करने के लिए A और B द्वारा मिलकर लिया गया समय है: समय = (कुल कार्य)/(संयुक्त कार्यक्षमता) = (15)/(27/16) = (15 × 16)/(27) = (5 × 16)/(9) = ⁸⁰⁄₉ दिन।

व्याख्या

व्यंजक का मान VBODMAS नियम द्वारा निर्धारित संक्रियाओं के क्रम का पालन करते हुए निकाला जाता है, जहाँ कोष्ठक के अंदर की संक्रियाओं और 'का' (of) को प्राथमिकता दी जाती है।

सबसे पहले, मझले कोष्ठक के अंदर छोटे कोष्ठक के पदों की गणना करें। पहले कोष्ठक में, 25 का 12 ÷ 30 = (25 × 12) ÷ 30 = 300 ÷ 30 = 10। दूसरे कोष्ठक में, 5⁴ ÷ 5 का 125 = 625 ÷ (5 × 125) = 625 ÷ 625 = 1।

इन मानों को वापस मझले कोष्ठक में रखने पर, व्यंजक 51 ÷ {25 + 10 - 1} हो जाता है। कोष्ठक के अंदर जोड़ और घटाव को सरल करने पर 25 + 10 - 1 = 34 प्राप्त होता है।

अंतिम चरण 51 को 34 से विभाजित करना है। दोनों संख्याएँ अपने महत्तम समापवर्तक, 17 से विभाज्य हैं। इस प्रकार, गणना ⁵¹⁄₃₄ = (17 × 3)/(17 × 2) = ³⁄₂ है।

व्याख्या

त्रिकोणमितीय सर्वसमिका sin A = cos B यह दर्शाती है कि जब कोण A और B न्यून कोण हों, तो वे पूरक कोण होते हैं, जिसका अर्थ है A + B = 90°।

दिए गए समीकरण sin (5x - 25°) = cos (5y + 25°) के अनुसार, हम कोणों के योग को 90° के बराबर रख सकते हैं:

(5x - 25°) + (5y + 25°) = 90°

समान पदों को मिलाकर व्यंजक को सरल करने पर, अचर मान -25° और +25° एक-दूसरे को निरस्त कर देते हैं:

5x + 5y = 90°

गुणांक 5 को उभयनिष्ठ (common) लेने पर:

5(x + y) = 90°

(x + y) का मान ज्ञात करने के लिए दोनों पक्षों को 5 से विभाजित करने पर:

x + y = (90°)/(5) = 18°

व्याख्या

मान लीजिए कि कुल कार्य 10, 12 और 6 का लघुत्तम समापवर्त्य (LCM) है, जो कि 60 इकाई है। युग्मों (जोड़ियों) की दैनिक कार्यक्षमता की गणना 'कार्य / समय' के रूप में की जाती है। (A + B) की कार्यक्षमता 60 / 10 = 6 इकाई/दिन है, (B + C) की कार्यक्षमता 60 / 12 = 5 इकाई/दिन है, और (C + A) की कार्यक्षमता 60 / 6 = 10 इकाई/दिन है।

इन कार्यक्षमताओं को जोड़ने पर 2(A + B + C) = 6 + 5 + 10 = 21 इकाई/दिन प्राप्त होता है। इसलिए, A, B और C की संयुक्त कार्यक्षमता A + B + C = 21 / 2 = 10.5 इकाई/दिन है। अकेले A की कार्यक्षमता ज्ञात करने के लिए, कुल कार्यक्षमता में से (B + C) की कार्यक्षमता को घटाएं: A = 10.5 - 5 = 5.5 इकाई/दिन, जो कि 11 / 2 इकाई/दिन के बराबर है। अकेले A द्वारा कार्य को पूरा करने में लिया गया समय = कुल कार्य / A की कार्यक्षमता, जो कि 60 / (11/2) = 120 / 11 दिन है।

व्याख्या

संभावित वजनों का औसत ज्ञात करने के लिए, हम सबसे पहले उन वजनों की सीमा की पहचान करते हैं जो एक साथ सभी दी गई शर्तों को संतुष्ट करती हैं। राघव के अनुसार, वजन W इस प्रकार है कि 64 < W < 74। उसकी बहन का कहना है कि 60 < W < 69। उसकी माता का कहना है कि W ≤ 68, और उसके पिता का कहना है कि W ≤ 67।

इन असमानताओं के प्रतिच्छेदन (intersection) से: राघव और उसकी बहन के अनुसार, हमें 64 < W < 69 प्राप्त होता है। माता और पिता के प्रतिबंधों को शामिल करने पर, ऊपरी सीमा और सीमित होकर W ≤ 67 हो जाती है। इसलिए, वजन के लिए सामान्य सीमा 64 < W ≤ 67 है।

इस सीमा में संभावित पूर्णांक वजन 65, 66 और 67 हैं। इन वजनों के औसत की गणना इस प्रकार की जाती है: औसत = (65 + 66 + 67)/(3) औसत = ¹⁹⁸⁄₃ = 66

व्याख्या

जब छूट प्रतिशत (D%) और लाभ प्रतिशत (P%) दोनों ज्ञात हों, तो क्रय मूल्य (CP) और अंकित मूल्य (MP) के बीच का संबंध इस सूत्र द्वारा दिया जाता है: (CP)/(MP) = (100 - D%)/(100 + P%)

दिया गया है कि अंकित मूल्य ₹4,200 है, छूट 5% है, और लाभ 14% है, इन मानों को सूत्र में रखने पर: CP = 4200 × (100 - 5)/(100 + 14) CP = 4200 × ⁹⁵⁄₁₁₄

गणना को सरल बनाने के लिए, अंश और हर दोनों को उनके महत्तम समापवर्तक, 19 से विभाजित करके भिन्न ⁹⁵⁄₁₁₄ को छोटा करें: 95 ÷ 19 = 5 114 ÷ 19 = 6

इस प्रकार, समीकरण बन जाता है: CP = 4200 × ⅚ CP = 700 × 5 CP = 3500

व्याख्या

मूल त्रिकोणमितीय सर्वसमिका के अनुसार, 1 + tan² A = sec² A होता है। tan² A का मान ज्ञात करने के लिए इस सूत्र को पुनर्व्यवस्थित करने पर, हम दोनों पक्षों से 1 घटाते हैं जिससे हमें tan² A = sec² A - 1 प्राप्त होता है। व्यंजक tan² A = 1 - sec² A इस सही सर्वसमिका का ऋणात्मक रूप है, जिसका अर्थ यह होगा कि tan² A = -tan² A, जो उन सभी मानों के लिए गणितीय रूप से असत्य है जहाँ tan का मान गैर-शून्य है।

व्याख्या

आंतरिक कोण समद्विभाजक प्रमेय (Internal Angle Bisector Theorem) के अनुसार, किसी त्रिभुज का कोण समद्विभाजक सम्मुख भुजा को दो ऐसे खंडों में विभाजित करता है जो त्रिभुज की अन्य दो भुजाओं के समानुपाती होते हैं। △ XYZ में, चूंकि XQ, ∠X का आंतरिक समद्विभाजक है जो भुजा YZ को बिंदु Q पर प्रतिच्छेद करता है, इसलिए खंडों YQ और QZ का अनुपात, भुजाओं XY और XZ के अनुपात के बराबर होता है।

इस संबंध को इस प्रकार व्यक्त किया जाता है: (YQ)/(QZ) = (XY)/(XZ)

दिए गए मान XY = 4 सेमी और XZ = 5 सेमी को सूत्र में रखने पर, हमें प्राप्त होता है: (YQ)/(QZ) = 4/5

इसके परिणामस्वरूप अनुपात YQ:QZ = 4:5 प्राप्त होता है।

व्याख्या

जब दो ट्रेनें एक ही दिशा में यात्रा करती हैं, तो उनकी सापेक्ष गति उनकी व्यक्तिगत गतियों का अंतर होती है। यहाँ, सापेक्ष गति 70 - 34 = 36 किमी/घंटा है। इस गति को किमी/घंटा से मीटर/सेकंड में बदलने के लिए, हम ⁵⁄₁₈ से गुणा करते हैं।

मीटर/सेकंड में सापेक्ष गति = 36 × ⁵⁄₁₈ = 10 मीटर/सेकंड।

जब एक ट्रेन दूसरी ट्रेन को पार करती है, तो तय की गई दूरी दोनों ट्रेनों की लंबाई के योग के बराबर होती है। सूत्र दूरी = गति × समय का उपयोग करते हुए, ट्रेनों की संयुक्त लंबाई 10 मीटर/सेकंड × 25 सेकंड = 250 मीटर है।

व्याख्या

कुल वैध मतों की संख्या की गणना पहले डाले गए कुल मतों को ज्ञात करके और फिर अवैध हिस्से को हटाकर की जाती है।

डाले गए कुल मत = 3,00,000 का 85% = 0.85 × 3,00,000 = 2,55,000

चूंकि इन मतों में से 10% अवैध थे, इसलिए शेष 90% वैध हैं। कुल वैध मत = 2,55,000 का 90% = 0.90 × 2,55,000 = 2,29,500

धरम को 1,37,700 वैध मत प्राप्त हुए। धरम द्वारा प्राप्त कुल वैध मतों का प्रतिशत ज्ञात करने के लिए, हम निम्नलिखित सूत्र का उपयोग करते हैं: प्रतिशत = (धरम के वैध मत)/(कुल वैध मत) × 100 प्रतिशत = (1,37,700)/(2,29,500) × 100

दोनों संख्याओं को 100 से विभाजित करके भिन्न को सरल करने पर 1377 / 2295 प्राप्त होता है। दोनों को उनके उभयनिष्ठ गुणनखंड 459 से विभाजित करने पर (या चरण-दर-चरण 9 और 51 के माध्यम से): 1377 ÷ 459 = 3 2295 ÷ 459 = 5 प्रतिशत = ⅗ × 100 = 60%

व्याख्या

अचर त्रिकोणमितीय व्यंजकों के लिए, सबसे तेज़ तरीका θ के लिए एक विशिष्ट मान प्रतिस्थापित करना है। माना θ = 0°। चूंकि sin 0° = 0 और cos 0° = 1 है, इसलिए व्यंजक 12(sin⁴ θ + cos⁴ θ) + 18(sin⁶ θ + cos⁶ θ) + 78 sin² θ cos² θ सरल होकर निम्न रूप में आ जाता है: 12(0⁴ + 1⁴) + 18(0⁶ + 1⁶) + 78(0²)(1²) 12(1) + 18(1) + 0 = 30

वैकल्पिक रूप से, मानक त्रिकोणमितीय सर्वसमिकाओं का उपयोग करके, हम जानते हैं कि sin⁴ θ + cos⁴ θ = 1 - 2 sin² θ cos² θ और sin⁶ θ + cos⁶ θ = 1 - 3 sin² θ cos² θ होता है। इन्हें मूल व्यंजक में प्रतिस्थापित करने पर प्राप्त होता है: 12(1 - 2 sin² θ cos² θ) + 18(1 - 3 sin² θ cos² θ) + 78 sin² θ cos² θ 12 - 24 sin² θ cos² θ + 18 - 54 sin² θ cos² θ + 78 sin² θ cos² θ अचर पदों को मिलाने पर 12 + 18 = 30 प्राप्त होता है, और sin² θ cos² θ के गुणांकों को मिलाने पर -24 - 54 + 78 = 0 प्राप्त होता है। इस प्रकार, व्यंजक का मान 30 है।

व्याख्या

एक समबाहु त्रिभुज △ PQR में, सभी आंतरिक कोण 60° के बराबर होते हैं, जिसका अर्थ है कि ∠ PRQ = 60°। जब कोई त्रिभुज किसी वृत्त के अंतर्गत अंकित होता है, तो उसके शीर्ष परिधि पर स्थित होते हैं। वृत्त के गुणधर्म के अनुसार, एक ही चाप द्वारा परिधि के शेष भाग पर किसी भी बिंदु पर अंतरित कोण बराबर होते हैं। इस ज्यामिति में, ∠ PRQ और ∠ PSQ दोनों एक ही चाप PQ द्वारा अंतरित हैं। इसलिए, ∠ PSQ का माप ∠ PRQ के माप के बराबर होना चाहिए। चूंकि ∠ PRQ = 60° है, इसलिए ∠ PSQ = 60° होगा।

व्याख्या

कुल प्रतिशत की गणना व्यक्तिगत विषय के प्रतिशतों के भारित औसत (weighted average) का उपयोग करके की जाती है, जहाँ प्रत्येक विषय के अधिकतम अंक भार (weights) के रूप में कार्य करते हैं: कुल प्रतिशत = (Σ (प्राप्त प्रतिशत × अधिकतम अंक))/(Σ अधिकतम अंक)

समीकरण में हितांश के मानों को प्रतिस्थापित करने पर: कुल प्रतिशत = ((67 × 100) + (70 × 150) + (64 × 100) + (55 × 100) + (75 × 100))/(100 + 150 + 100 + 100 + 100) कुल प्रतिशत = (6700 + 10500 + 6400 + 5500 + 7500)/(550) कुल प्रतिशत = ³⁶⁶⁰⁰⁄₅₅₀ = ⁷³²⁄₁₁ ≈ 66.5454%

परिणाम को दशमलव के दो स्थानों तक पूर्णांकित करने पर 66.55% प्राप्त होता है।

व्याख्या

1500 मीटर की दौड़ में, जब X अंतिम रेखा पर पहुँचता है, तो Y ने 1500 - 100 = 1400 मीटर की दूरी तय की होती है और Z ने 1500 - 240 = 1260 मीटर की दूरी तय की होती है। Y और Z की गतियों का अनुपात स्थिर है और यह समान समय में उनके द्वारा तय की गई दूरियों के अनुपात के बराबर है: V_Y / V_Z = 1400 / 1260 = 10 / 9.

जब Y 1500 मीटर की दौड़ पूरी करता है, तब Z द्वारा तय की गई दूरी ज्ञात करने के लिए, हम इस अनुपात का उपयोग करते हैं: D_Z = (V_Z / V_Y) × 1500 D_Z = (9 / 10) × 1500 = 1350 मीटर

वह दूरी जिससे Y, Z को हराता है, कुल दौड़ की दूरी और Y द्वारा दौड़ पूरी करने में लिए गए समय में Z द्वारा तय की गई दूरी के बीच का अंतर है: हराने की दूरी = 1500 - 1350 = 150 मीटर

व्याख्या

कपड़े का मूल्य उसकी लंबाई के सीधे आनुपातिक होता है। सबसे पहले, ऐकिक नियम का उपयोग करके एक मीटर कपड़े का मूल्य ज्ञात कीजिए: प्रति मीटर मूल्य = (कुल मूल्य)/(कुल लंबाई) = ⁹⁶⁰⁰⁄₁₂₀ = ₹80

इसके बाद, इकाई दर को कुल लंबाई से गुणा करके आवश्यक 147 मीटर लंबाई का मूल्य ज्ञात कीजिए: 147 मीटर का मूल्य = 147 × 80 = ₹11,760

व्याख्या

व्यंजक x⁸ - (1)/(x⁸) को वर्गों के अंतर की सर्वसमिका का उपयोग करके (x⁴ + (1)/(x⁴))(x⁴ - (1)/(x⁴)) के रूप में सरल किया जाता है, जो आगे (x⁴ + (1)/(x⁴))(x² + (1)/(x²))(x + ¹⁄ₓ)(x - ¹⁄ₓ) के रूप में विस्तृत होता है।

दिए गए x + ¹⁄ₓ = 5 से शुरू करते हुए, हम x² + (1)/(x²) = (x + ¹⁄ₓ)² - 2 = 5² - 2 = 23 प्राप्त करने के लिए दोनों पक्षों का वर्ग करते हैं। इस परिणाम का वर्ग करने पर x⁴ + (1)/(x⁴) = (x² + (1)/(x²))² - 2 = 23² - 2 = 529 - 2 = 527 प्राप्त होता है।

x - ¹⁄ₓ का मान ज्ञात करने के लिए, हम बीजगणितीय सर्वसमिका (x - ¹⁄ₓ)² = (x + ¹⁄ₓ)² - 4 का उपयोग करते हैं। दिए गए मान को प्रतिस्थापित करने पर, हमें (x - ¹⁄ₓ)² = 5² - 4 = 21 प्राप्त होता है। चूंकि x > 1 है, इसलिए x - ¹⁄ₓ धनात्मक होना चाहिए, इसलिए x - ¹⁄ₓ = √(21) होगा।

सभी परिकलित घटकों को मिलाने पर, अंतिम गुणनफल 527 × 23 × 5 × √(21) है। संख्यात्मक भाग की गणना करने पर, 527 × 23 = 12121, और 12121 × 5 = 60605 प्राप्त होता है। इस प्रकार, मान 60605√(21) है।

व्याख्या

अर्जित साधारण ब्याज (SI) की गणना मिश्रधन (A) और मूलधन (P) के बीच के अंतर के रूप में की जाती है। इस प्रकार, SI = 11,780 - 9,500 = 2,280। साधारण ब्याज के मानक सूत्र SI = (P × R × T)/(100) का उपयोग करके, जहाँ P मूलधन है, R वार्षिक दर है, और T वर्षों में समय है, समय को T = (SI × 100)/(P × R) का उपयोग करके ज्ञात किया जा सकता है। समीकरण में ज्ञात मानों को रखने पर T = (2,280 × 100)/(9,500 × 8) प्राप्त होता है। इस व्यंजक को सरल करने पर, हमें T = (228,000)/(76,000) प्राप्त होता है, जो 3 वर्ष के बराबर है।

व्याख्या

घड़ी के क्रय मूल्य (CP) की गणना विक्रय मूल्य (SP) को हानि के बाद बचे प्रतिशत से विभाजित करके की जाती है। चूंकि दुकानदार को 20% की हानि होती है, इसलिए ₹2,000 का विक्रय मूल्य, क्रय मूल्य के 80% को दर्शाता है। क्रय मूल्य (CP) = (2000)/(0.80) = 2500

₹2,500 का क्रय मूल्य निर्धारित होने के बाद, हम ₹3,000 के नए विक्रय मूल्य के लिए लाभ या हानि का निर्धारण करते हैं। चूंकि विक्रय मूल्य, क्रय मूल्य से अधिक है, इसलिए लाभ होता है। लाभ की गणना इस प्रकार की जाती है: लाभ = 3000 - 2500 = 500

इसके बाद लाभ की तुलना क्रय मूल्य से करके लाभ प्रतिशत ज्ञात किया जाता है: लाभ % = ⁵⁰⁰⁄₂₅₀₀ × 100 = ⅕ × 100 = 20%

व्याख्या

इस व्यंजक को VBODMAS नियम लागू करके सरल किया गया है, जो संक्रियाओं के क्रम को रेखा कोष्ठक (Viniculum), कोष्ठक (Brackets), का (Of), भाग (Division), गुणा (Multiplication), योग (Addition) और घटाव (Subtraction) के रूप में निर्धारित करता है।

सबसे पहले, मझले कोष्ठक (curly brackets) के बाहर वर्गमूल और बुनियादी भाग को हल करें। √(25) सरल होकर 5 हो जाता है, और 12 ÷ 3 सरल होकर 4 हो जाता है।

इसके बाद, मझले कोष्ठक के भीतर छोटे कोष्ठक (parentheses) के अंदर के पदों का मान ज्ञात करें। नियम यह निर्दिष्ट करता है कि 'का' (of) संकारक को भाग से पहले हल किया जाता है। पहले पद के लिए, 16 का 3 बराबर 48 होता है, जिसे फिर 6 से विभाजित करने पर 8 प्राप्त होता है। दूसरे पद के लिए, 18 का ½ बराबर 9 होता है, और 54 को 9 से विभाजित करने पर 6 प्राप्त होता है।

अब, इन परिणामों को वापस मझले कोष्ठक वाले व्यंजक में रखें: {20 + 8 - 6}। योग और घटाव करने पर 28 - 6 प्राप्त होता है, जो 22 के बराबर है।

अंत में, सभी मानों को मुख्य बड़े कोष्ठक में मिलाएँ: [5 + 4 - 22]। यह सरल होकर 9 - 22 हो जाता है, जिसके परिणामस्वरूप अंतिम मान -13 प्राप्त होता है।

व्याख्या

बीजगणितीय सर्वसमिका (a + b + c)² = a² + b² + c² + 2(ab + bc + ca) का उपयोग करके, हम दिए गए मानों a + b + c = 6 और a² + b² + c² = 14 को प्रतिस्थापित करते हैं: 6² = 14 + 2(ab + bc + ca) 36 = 14 + 2(ab + bc + ca) 22 = 2(ab + bc + ca)

जिस व्यंजक का मान ज्ञात करना है वह E = (a - b)² + (b - c)² + (c - a)² है। इस व्यंजक का विस्तार करने पर, हमें प्राप्त होता है: E = a² - 2ab + b² + b² - 2bc + c² + c² - 2ca + a² E = 2(a² + b² + c²) - 2(ab + bc + ca)

अब, विस्तारित रूप में a² + b² + c² = 14 और 2(ab + bc + ca) = 22 मानों को प्रतिस्थापित करने पर: E = 2(14) - 22 E = 28 - 22 = 6

व्याख्या

साधारण ब्याज में, एक निश्चित मूलधन और दर के लिए अर्जित ब्याज, समयावधि के सीधे आनुपातिक (समानुपाती) होता है। जब कोई राशि 8 वर्षों में दोगुनी हो जाती है, तो अर्जित साधारण ब्याज (SI) मूलधन (P) के बराबर होता है। साधारण ब्याज के सूत्र SI = (P · r · t)/(100) का उपयोग करके, हम संबंध P = (P · r · 8)/(100) स्थापित कर सकते हैं, जो सरल करने पर r = 12.5% हो जाता है।

25,000 रुपये को 1,00,000 रुपये होने के लिए आवश्यक समय ज्ञात करने के लिए, हम पहले आवश्यक ब्याज की गणना करते हैं: 1,00,000 - 25,000 = 75,000। चूंकि मूलधन 25,000 रुपये है, इसलिए आवश्यक ब्याज मूलधन का ठीक तीन गुना (3P) है। चूंकि अर्जित ब्याज रैखिक (linear) होता है, यदि मूलधन (1P) के बराबर ब्याज अर्जित करने में 8 वर्ष लगते हैं, तो 3P के बराबर ब्याज अर्जित करने में 3 × 8 = 24 वर्ष लगेंगे।

गणितीय रूप से, सूत्र में मान रखने पर: 75,000 = (25,000 · 12.5 · t)/(100)। दोनों पक्षों को 25,000 से विभाजित करने पर 3 = (12.5 · t)/(100) प्राप्त होता है। दोनों पक्षों को 100 से गुणा करने पर 300 = 12.5 · t प्राप्त होता है, और t के लिए हल करने पर t = (300)/(12.5) = 24 वर्ष प्राप्त होता है।