एसएससी सीजीएल टियर 1 2023 मात्रात्मक अभिक्षमता प्रश्न — हल सहित

व्याख्या

मान लीजिए कि पुरुषों की प्रारंभिक संख्या M है। पूरा किया जाने वाला कुल कार्य पुरुषों की संख्या और समय का गुणनफल है, जो कि 11M पुरुष-दिवस (man-days) है।

वास्तव में किया गया कार्य एक समांतर श्रेणी (arithmetic progression) का अनुसरण करता है जहाँ पहले दिन पुरुषों की संख्या M है, और 15 दिनों तक प्रत्येक दिन के अंत में 16 पुरुष काम छोड़ देते हैं। प्रत्येक दिन कार्य करने वाले पुरुषों की संख्या n = 15 दिनों के लिए M, M-16, M-32, … है। किया गया कुल कार्य इस श्रेणी का योग है: Sₙ = ⁿ⁄₂ [2a + (n-1)d]

n = 15, a = M, और d = -16 रखने पर: कुल कार्य = ¹⁵⁄₂ [2M + (15-1)(-16)] कुल कार्य = ¹⁵⁄₂ [2M - 224] = 15(M - 112)

कुल कार्य को प्रारंभिक अनुमान के बराबर रखने पर: 11M = 15M - 1680 4M = 1680 M = 420

व्याख्या

दिए गए समीकरण cos A + cos² A = 1 से, हम इसे cos A = 1 - cos² A के रूप में व्यवस्थित कर सकते हैं। त्रिकोणमितीय सर्वसमिका sin² A + cos² A = 1 का उपयोग करने पर, हमें 1 - cos² A = sin² A प्राप्त होता है। इसलिए, cos A = sin² A.

इस संबंध के दोनों पक्षों का वर्ग करने पर cos² A = sin⁴ A प्राप्त होता है, और दोनों पक्षों का घन करने पर cos³ A = sin⁶ A प्राप्त होता है।

व्यंजक sin⁴ A + sin⁶ A का मान ज्ञात करने के लिए, कोसाइन (cosine) के पदों में प्राप्त मानों को प्रतिस्थापित करें: sin⁴ A + sin⁶ A = cos² A + cos³ A

अब, मूल समीकरण cos A + cos² A = 1 लें और पूरे समीकरण को cos A से गुणा करें: cos A (cos A + cos² A) = cos A (1) cos² A + cos³ A = cos A

दोनों परिणामों की तुलना करने पर, हम देखते हैं कि sin⁴ A + sin⁶ A का मान cos A के बराबर है।

व्याख्या

भुजाओं a, b और c वाले एक त्रिभुज के लिए, जहाँ c सबसे लंबी भुजा है, त्रिभुज अधिक कोण त्रिभुज होता है यदि दो छोटी भुजाओं के वर्गों का योग सबसे लंबी भुजा के वर्ग से कम हो, जिसे a² + b² < c² के रूप में व्यक्त किया जाता है।

समुच्चय 15, 62 और 64 में, भुजाएँ त्रिभुज की असमिका (triangle inequality) को संतुष्ट करती हैं क्योंकि 15 + 62 > 64 है। a = 15, b = 62, और c = 64 के साथ अधिक कोण की स्थिति का परीक्षण करने पर:

a² + b² = 15² + 62² = 225 + 3844 = 4069 c² = 64² = 4096

मानों की तुलना करने पर, 4069 < 4096, जो पुष्टि करता है कि a² + b² < c² है। भुजाओं के वर्गों के बीच का यह संबंध एक अधिक कोण त्रिभुज के लिए विशिष्ट ज्यामितीय आवश्यकता को संतुष्ट करता है।

व्याख्या

एक शंकु का वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल (CSA) सूत्र CSA = π r l द्वारा दिया जाता है, जहाँ r आधार की त्रिज्या है और l तिर्यक ऊँचाई है।

दिए गए मान: त्रिज्या r = 21 सेमी तिर्यक ऊँचाई l = 60 सेमी π = ²²⁄₇

इन मानों को सूत्र में रखने पर: CSA = ²²⁄₇ × 21 × 60

सबसे पहले, 21 को 7 से विभाजित करके व्यंजक को सरल करें: CSA = 22 × 3 × 60

इसके बाद, संख्याओं का गुणा करें: 22 × 3 = 66 66 × 60 = 3960

शंकु का वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल 3960 सेमी² है।

व्याख्या

csc 30° का त्रिकोणमितीय मान sin 30° का व्युत्क्रम होता है। चूंकि sin 30° = ½ है, इसलिए csc 30° = 2 होगा। cos 60° का मानक मान ½ है। इन विशिष्ट मानों को व्यंजक csc 30° - cos 60° में रखने पर प्राप्त होता है:

2 - ½

इसे हल करने के लिए, पूर्णांक को एक समान हर वाले भिन्न में बदलें:

⁴⁄₂ - ½ = ³⁄₂

व्याख्या

जब पुलिसकर्मी पीछा करना शुरू करता है, तो चोर द्वारा बनाई गई बढ़त की गणना 6 मिनट में तय की गई दूरी से की जाती है: 20 × ⁶⁄₆₀ = 2 किमी। पुलिसकर्मी द्वारा 24 मिनट (0.4 घंटे) तक पीछा करने के बाद, शेष दूरी (अंतर) 400 मीटर या 0.4 किमी है। दूरी में आई कमी = 2 - 0.4 = 1.6 किमी।

दूरी कम होने की दर पुलिसकर्मी और चोर के बीच की सापेक्ष गति (relative speed) है। माना पुलिसकर्मी की गति vₚ है। सापेक्ष गति = vₚ - 20 किमी/घंटा। सूत्र दूरी = गति × समय का उपयोग करने पर: 1.6 = (vₚ - 20) × 0.4 4 = vₚ - 20 vₚ = 24 किमी/घंटा

चोर को पूरी तरह से पकड़ने के लिए, पुलिसकर्मी को 2 किमी की प्रारंभिक दूरी को समाप्त करना होगा। इसके लिए आवश्यक समय है: t = (प्रारंभिक दूरी)/(सापेक्ष गति) = (2)/(24 - 20) = ²⁄₄ = 0.5 घंटे

अपराध स्थल से कुल दूरी जहाँ चोर पकड़ा जाता है, पुलिसकर्मी द्वारा 0.5 घंटे में तय की गई दूरी है: D = 24 × 0.5 = 12 किमी

व्याख्या

अंकित मूल्य (MP) और क्रय मूल्य (CP) के बीच का संबंध इस सूत्र द्वारा दिया गया है: (MP)/(CP) = (100 + लाभ%)/(100 - छूट%).

शर्तों के पहले समूह का उपयोग करते हुए जहाँ छूट 18% है और लाभ 30% है, अनुपात (MP)/(CP) = (100 + 30)/(100 - 18) = ¹³⁰⁄₈₂ = ⁶⁵⁄₄₁ है।

जब छूट को बदलकर 12% कर दिया जाता है, तो मान लीजिए कि नया लाभ x% है। उसी अनुपात का उपयोग करने पर, हमें प्राप्त होता है: ⁶⁵⁄₄₁ = (100 + x)/(100 - 12)। x के लिए हल करने पर 100 + x = (65 × 88)/(41) प्राप्त होता है, जो सरल होकर 100 + x = ⁵⁷²⁰⁄₄₁ हो जाता है। 5720 को 41 से विभाजित करने पर लगभग 139.512 प्राप्त होता है। इसलिए, x = 139.512 - 100 = 39.512। दशमलव के दो स्थानों तक पूर्णांकित करने पर, लाभ प्रतिशत 39.51% है।

व्याख्या

दिए गए व्यंजकों में से सबसे कम मान निर्धारित करने के लिए, हम प्रत्येक के संख्यात्मक परिणाम की गणना करते हैं। 625 के 12% के लिए, मान 0.12 × 625 = 75 है। 555 के 15% के लिए, मान 0.15 × 555 = 83.25 है। 720 के 10% के लिए, मान 0.10 × 720 = 72 है। 845 के 9% के लिए, मान 0.09 × 845 = 76.05 है। इन परिणामों की तुलना करने पर, 72 सबसे छोटी संख्या है।

व्याख्या

माना रवि की प्रारंभिक मासिक आय I₁ = 100 है। चूंकि वह अपनी आय का 20% बचाता है, इसलिए उसकी प्रारंभिक नाममात्र की बचत S₁ = 20 है।

वृद्धि के बाद, उसकी नई मासिक आय I₂ = 100 × (1 + 0.25) = 125 हो जाती है। उसकी नाममात्र की बचत में 5% की वृद्धि हुई, इसलिए नई नाममात्र की बचत S₂ = 20 × (1 + 0.05) = 21 है।

वह वर्तमान में अपनी वर्तमान नाममात्र की आय का जो प्रतिशत बचाता है, उसकी गणना वर्तमान बचत का वर्तमान आय से अनुपात ज्ञात करके की जाती है:

प्रतिशत = S₂/I₂ × 100

प्रतिशत = ²¹⁄₁₂₅ × 100

प्रतिशत = 21 × ⅘ = ⁸⁴⁄₅ = 16.8%

व्याख्या

राज्य B और राज्य C में गरीबी रेखा से नीचे की महिलाओं की कुल संख्या ज्ञात करने के लिए, हम जनसंख्या और दिए गए अनुपातों का उपयोग करके प्रत्येक राज्य के लिए अलग-अलग संख्या की गणना करते हैं।

राज्य B के लिए, कुल जनसंख्या 6,000 है और गरीबी रेखा से नीचे का प्रतिशत 13% है। राज्य B में गरीबी रेखा से नीचे के लोगों की कुल संख्या 6,000 × 0.13 = 780 है। गरीबी रेखा से नीचे पुरुषों और महिलाओं का अनुपात 8 : 5 है। इस श्रेणी में महिलाओं की संख्या (5)/(8 + 5) × 780 = ⁵⁄₁₃ × 780 = 5 × 60 = 300 है।

राज्य C के लिए, कुल जनसंख्या 6,000 है और गरीबी रेखा से नीचे का प्रतिशत 26% है। राज्य C में गरीबी रेखा से नीचे के लोगों की कुल संख्या 6,000 × 0.26 = 1,560 है। गरीबी रेखा से नीचे पुरुषों और महिलाओं का अनुपात 9 : 4 है। इस श्रेणी में महिलाओं की संख्या (4)/(9 + 4) × 1,560 = ⁴⁄₁₃ × 1,560 = 4 × 120 = 480 है।

दोनों राज्यों में गरीबी रेखा से नीचे की महिलाओं की कुल संख्या 300 + 480 = 780 है।

व्याख्या

वजन मापने वाली मशीन 350 ग्राम के वास्तविक वजन के लिए 400 ग्राम दर्शाती है। वास्तविक वजन का दर्शाए गए वजन से अनुपात 350 / 400 = 7/8 है। जब मशीन एक पैकेट के लिए 200 ग्राम वजन दर्शाती है, तो उस पैकेट में बादाम की वास्तविक मात्रा है: वास्तविक वजन = 200 × ⅞ = 175 ग्राम

बादाम का क्रय मूल्य ₹880 प्रति किलोग्राम है, जिसका अर्थ ₹0.88 प्रति ग्राम है। एक पैकेट में वास्तविक मात्रा का क्रय मूल्य (CP) है: CP = 175 × 0.88 = 154

25% का लाभ प्राप्त करने के लिए, विक्रय मूल्य (SP) की गणना सूत्र SP = CP × (1 + लाभ% / 100) का उपयोग करके की जाती है: SP = 154 × (1 + 0.25) = 154 × 1.25 SP = 154 × ⁵⁄₄ = 192.50

व्याख्या

व्युत्क्रम पदों के योग और अंतर के बीच का संबंध बीजीय सर्वसमिका (x + ¹⁄ₓ)² = (x - ¹⁄ₓ)² + 4 द्वारा दिया गया है। शर्त x - ¹⁄ₓ = 3 के आधार पर, हम इस मान को सर्वसमिका में प्रतिस्थापित करते हैं:

(x + ¹⁄ₓ)² = (3)² + 4 (x + ¹⁄ₓ)² = 9 + 4 = 13

चूंकि प्रश्न में x > 0 निर्दिष्ट है, इसलिए x + ¹⁄ₓ का मान धनात्मक वर्गमूल होना चाहिए:

x + ¹⁄ₓ = √(13)

व्याख्या

साधारण ब्याज के तहत किसी धनराशि को स्वयं का तिगुना होने के लिए, अर्जित ब्याज मूलधन का ठीक दोगुना होना चाहिए। माना मूलधन P है। यदि धनराशि तिगुनी हो जाती है, तो कुल मिश्रधन 3P हो जाता है, और साधारण ब्याज (SI) 3P - P = 2P होगा।

साधारण ब्याज के सूत्र SI = (P × R × T)/(100) का उपयोग करके, जहाँ R ब्याज की दर है और T वर्षों में समयावधि है, हम ज्ञात मानों को प्रतिस्थापित कर सकते हैं: 2P = (P × R × 16)/(100)

दोनों पक्षों से P को निरस्त (cancel) करने पर, समीकरण सरल होकर निम्न रूप में आ जाता है: 2 = (16R)/(100) 200 = 16R R = ²⁰⁰⁄₁₆ R = 12.5

इसे प्रत्यक्ष संबंध R = (100(n - 1))/(T) का उपयोग करके भी हल किया जा सकता है, जहाँ n वह संख्या है जितने गुना मूलधन बढ़ता है। n = 3 और T = 16 प्रतिस्थापित करने पर R = (100(3 - 1))/(16) = ²⁰⁰⁄₁₆ = 12.5% प्राप्त होता है।

व्याख्या

लड़कों की संख्या का छात्रों की कुल संख्या (लड़के + लड़कियां) से अनुपात 7:17 दिया गया है। इसका तात्पर्य यह है कि यदि कुल 17 भाग हैं, तो 7 भाग लड़कों को दर्शाते हैं और शेष 17 - 7 = 10 भाग लड़कियों को दर्शाते हैं। इसलिए, लड़कों का लड़कियों से अनुपात 7:10 है।

यह देखते हुए कि लड़कों की संख्या 1099 है, हम एक अनुपात स्थापित कर सकते हैं जहाँ 7 इकाइयाँ 1099 के बराबर हैं। लड़कों की संख्या को उसके संबंधित अनुपात भाग से विभाजित करने पर एक इकाई का मान प्राप्त होता है:

1099 / 7 = 157

चूंकि लड़कियों का प्रतिनिधित्व करने वाली 10 इकाइयाँ हैं, इसलिए लड़कियों की कुल संख्या है:

157 × 10 = 1570

व्याख्या

सर्वांगसम त्रिभुज आकार और माप दोनों में समान होते हैं, जिसका अर्थ है कि उनके सभी संगत भाग बराबर होते हैं। CPCT (सर्वांगसम त्रिभुजों के संगत भाग) के गुण के अनुसार, यदि △ ABC ≅ △ DEF है, तो संगत भुजाओं की लंबाई बराबर होनी चाहिए, जैसे कि AB = DE, BC = EF, और AC = DF। किसी भी त्रिभुज का परिमाप उसकी तीनों भुजाओं की लंबाई के योग के रूप में परिभाषित किया जाता है। △ ABC के लिए, परिमाप AB + BC + AC है, और △ DEF के लिए, परिमाप DE + EF + DF है। चूंकि △ ABC की प्रत्येक व्यक्तिगत भुजा △ DEF में उसकी संगत भुजा के बराबर है, इसलिए इन भुजाओं का योग भी बराबर होना चाहिए। परिणामस्वरूप, AB + BC + AC = DE + EF + DF, जिससे यह स्थापित होता है कि सर्वांगसम त्रिभुजों के परिमाप हमेशा बराबर होते हैं।

व्याख्या

एक वृत्ताकार दौड़ में, जब दो प्रतिभागी एक ही बिंदु से शुरू करते हैं और एक ही दिशा में चलते हैं, तो वे पहली बार तब मिलते हैं जब तेज़ दौड़ने वाला व्यक्ति धीमे दौड़ने वाले व्यक्ति पर ठीक एक पूरे चक्कर (लैप) की बढ़त हासिल कर लेता है। माना श्याम की गति v है। चूंकि राम की गति तीन गुनी है, इसलिए उसकी गति 3v है। उनकी सापेक्ष गति 3v - v = 2v है।

पहली मुलाकात में लगने वाला समय सूत्र T = (L)/(Vᵣₑₗ) द्वारा दिया जाता है, जहाँ L ट्रैक की लंबाई है और Vᵣₑₗ सापेक्ष गति है। दिए गए मानों को प्रतिस्थापित करने पर:

8 = ¹⁴⁴⁰⁄₂ᵥ

v के लिए हल करने पर: 16v = 1440 v = 90 मीटर/मिनट

दौड़ की लंबाई ट्रैक की लंबाई के बराबर है, जो कि 1440 मीटर है। श्याम द्वारा दौड़ पूरी करने में लिया गया समय कुल दूरी को उसकी गति से विभाजित करके निकाला जाता है:

समय = ¹⁴⁴⁰⁄₉₀ = 16 मिनट

व्याख्या

मान लीजिए कि पाइप A द्वारा टंकी को भरने में लिया गया समय x मिनट है। प्रश्न के अनुसार, पाइप B, पाइप A से 5 मिनट अधिक समय लेता है, इसलिए पाइप B द्वारा लिया गया समय x + 5 मिनट है।

दोनों पाइपों की संयुक्त कार्य दर उनकी व्यक्तिगत दरों का योग है। यह देखते हुए कि वे मिलकर टंकी को 6 मिनट में भरते हैं, समीकरण इस प्रकार है:

1/x + 1/(x + 5) = 1/6

बाईं ओर के भिन्नों को जोड़ने पर:

((x + 5) + x)/(x(x + 5)) = 1/6 (2x + 5)/(x² + 5x) = 1/6

x का मान ज्ञात करने के लिए वज्र-गुणन (cross-multiplying) करने पर:

6(2x + 5) = x² + 5x 12x + 30 = x² + 5x x² - 7x - 30 = 0

द्विघात समीकरण का गुणनखंड करने पर:

x² - 10x + 3x - 30 = 0 x(x - 10) + 3(x - 10) = 0 (x - 10)(x + 3) = 0

हल x = 10 या x = -3 हैं। चूंकि समय ऋणात्मक नहीं हो सकता, इसलिए हम x = 10 लेते हैं। अतः, पाइप A को अलग से टंकी भरने में 10 मिनट और पाइप B को 10 + 5 = 15 मिनट का समय लगता है।

व्याख्या

घनों के योग के लिए बीजीय सर्वसमिका a³ + b³ + c³ - 3abc = ½(a + b + c)[(a - b)² + (b - c)² + (c - a)²] है। इस समीकरण में दिए गए मानों को रखने पर 405 = ½(a + b + c)(54) प्राप्त होता है। दायीं ओर के व्यंजक को सरल करने पर 405 = 27(a + b + c) प्राप्त होता है। योग का मान ज्ञात करने के लिए, हम 405 को 27 से विभाजित करते हैं, जिसके परिणामस्वरूप a + b + c = 15 प्राप्त होता है।

व्याख्या

एक गोले का पृष्ठीय क्षेत्रफल A, सूत्र A = 4 π r² का उपयोग करके ज्ञात किया जाता है, जहाँ r त्रिज्या है। दी गई त्रिज्या r = 35 सेमी और π = ²²⁄₇ का उपयोग करने पर, गणना इस प्रकार है:

A = 4 × ²²⁄₇ × 35 × 35

व्यंजक को सरल करने पर, 35 को 7 से विभाजित करने पर 5 प्राप्त होता है: A = 4 × 22 × 5 × 35 A = 88 × 175 A = 15400

गोलाकार मूर्ति का पृष्ठीय क्षेत्रफल 15400 सेमी² है।

व्याख्या

पाइप A टैंक का 50% भाग 6 घंटे में भरता है, इसलिए यह पूरे टैंक को 12 घंटे में भरेगा। पाइप B पूरे टैंक को 18 घंटे में भरता है। दोनों पाइपों द्वारा मिलकर काम करने पर लगने वाले कुल समय को ज्ञात करने के लिए, संयुक्त कार्य के सूत्र का उपयोग करें: T = (xy)/(x+y)।

मानों को प्रतिस्थापित करने पर, हमें प्राप्त होता है: T = (12 × 18)/(12 + 18) = ²¹⁶⁄₃₀ = 7.2 घंटे।

समय को मिनटों में बदलने के लिए, परिणाम को 60 से गुणा करें: 7.2 × 60 = 432 मिनट।

व्याख्या

कोई संख्या 9 से विभाज्य होती है यदि उसके अंकों का योग 9 का गुणज हो। संख्या 846523X7Y के लिए, अंकों का योग 8 + 4 + 6 + 5 + 2 + 3 + X + 7 + Y = 35 + X + Y है।

35 + X + Y को 9 से विभाज्य होने के लिए, X + Y के संभावित मान 1 (35 + 1 = 36) या 10 (35 + 10 = 45) हैं। चूंकि X और Y एकल अंक हैं और उनका अंतर Y - X = 6 दिया गया है, हम इन स्थितियों का परीक्षण करते हैं:

यदि X + Y = 1 और Y - X = 6 है, तो समीकरणों को जोड़ने पर 2Y = 7 प्राप्त होता है, जिससे कोई पूर्णांक प्राप्त नहीं होता है।

यदि X + Y = 10 और Y - X = 6 है, तो समीकरणों को जोड़ने पर 2Y = 16 प्राप्त होता है, जिसका अर्थ है Y = 8। समीकरण X + Y = 10 में Y = 8 रखने पर X = 2 प्राप्त होता है। दोनों वैध एकल-अंकीय पूर्णांक हैं।

अब, व्यंजक √(2X + 4Y) में X = 2 और Y = 8 प्रतिस्थापित करने पर: √(2(2) + 4(8)) = √(4 + 32) = √(36) = 6

व्याख्या

△ ABC में, यह दिया गया है कि ∠B = 90°, जिसका अर्थ है कि शेष दो कोणों का योग A + C = 90° है। दी गई स्थिति tan A = 1/√3 से, हमें प्राप्त होता है कि A = 30° है। परिणामस्वरूप, C = 90° - 30° = 60° है। एक समकोण त्रिभुज में, पूरक कोणों के त्रिकोणमितीय अनुपात सर्वसमिकाओं sin A = cos C और cos A = sin C को संतुष्ट करते हैं।

व्यंजक sin A cos C + cos A sin C, साइन योग सूत्र sin(A + C) का अनुसरण करता है। A = 30° और C = 60° के मान प्रतिस्थापित करने पर: sin 30° = 1/2 cos 60° = 1/2 cos 30° = √3/2 sin 60° = √3/2

इन मानों को व्यंजक में रखने पर, हमें प्राप्त होता है: (1/2 × 1/2) + (√3/2 × √3/2) = 1/4 + 3/4 = 1

यह परिणाम सर्वसमिका sin(A + C) = sin(90°) = 1 के अनुकूल है।

व्याख्या

एक ऐसी दौड़ (पीछा करने) में जहाँ दोनों पक्ष एक ही समय पर शुरू और समाप्त करते हैं, यात्रा का समय नियत (स्थिर) रहता है। जब समय नियत होता है, तो तय की गई दूरी गति के सीधे आनुपातिक होती है, जिसे d ∝ v के रूप में व्यक्त किया जाता है। पुलिसकर्मी (vₚ) और चोर (vₜ) की गतियों का अनुपात है:

गतियों का अनुपात = 9.2 : 8 = 92 : 80 = 23 : 20

चूँकि दूरी गति के आनुपातिक होती है, इसलिए पुलिसकर्मी और चोर द्वारा तय की गई दूरियों का अनुपात भी 23 : 20 होगा। माना पुलिसकर्मी द्वारा तय की गई दूरी 23x है और चोर द्वारा तय की गई दूरी 20x है। इन दूरियों के बीच का अंतर 360 मीटर के प्रारंभिक अंतर के बराबर होना चाहिए:

23x - 20x = 360 3x = 360 x = 120

चोर को पकड़ने के लिए पुलिसकर्मी द्वारा दौड़ी गई कुल दूरी 23x है:

दूरी = 23 × 120 = 2760 मीटर

व्याख्या

x% और y% की दो क्रमिक छूटों के लिए शुद्ध प्रभावी छूट सूत्र x + y - ˣʸ⁄₁₀₀ द्वारा निर्धारित की जाती है। 5% और 5% के पहले परिदृश्य के लिए, कुल छूट 5 + 5 - ²⁵⁄₁₀₀ = 9.75% है। 8% और 2% के तीसरे परिदृश्य के लिए, कुल छूट 8 + 2 - ¹⁶⁄₁₀₀ = 9.84% है।

दूसरे परिदृश्य में, 10% की एकल छूट 10 + 0 - (10 × 0)/(100) = 10% के बराबर है। चूंकि क्रमिक छूटों में योगफल में से गुणनफल पद ˣʸ⁄₁₀₀ को घटाया जाता है, इसलिए एक एकल छूट हमेशा उन क्रमिक छूटों से अधिक या उनके बराबर होगी जिनका योग समान मूल्य होता है। चूंकि 10% > 9.84% > 9.75% है, इसलिए 10% की एकल छूट 7,500 की राशि पर अधिकतम बचत प्रदान करती है।

व्याख्या

सभी वर्षों को मिलाकर कॉलेज B से उत्तीर्ण होने वाले छात्रों का प्रतिशत ज्ञात करने के लिए, हम सबसे पहले 2010 से 2014 तक कॉलेज B में नामांकित छात्रों की कुल संख्या और उत्तीर्ण होने वाले छात्रों की कुल संख्या की गणना करते हैं।

कॉलेज B में कुल नामांकित छात्र: 550 + 450 + 600 + 650 + 700 = 2950

कॉलेज B में कुल उत्तीर्ण छात्र: 530 + 420 + 550 + 620 + 680 = 2800

अभीष्ट प्रतिशत की गणना निम्नलिखित सूत्र का उपयोग करके की जाती है: प्रतिशत = (कुल उत्तीर्ण)/(कुल नामांकित) × 100

मान रखने पर: प्रतिशत = ²⁸⁰⁰⁄₂₉₅₀ × 100 = ²⁸⁰⁄₂₉₅ × 100 = ⁵⁶⁄₅₉ × 100

प्रतिशत = ⁵⁶⁰⁰⁄₅₉ ≈ 94.9152...%

दशमलव के दो स्थानों तक पूर्णांकित करने पर, हमें 94.92% प्राप्त होता है।

व्याख्या

त्रिपद के वर्ग के लिए बीजीय सर्वसमिका (a + b + c)² = a² + b² + c² + 2(ab + bc + ca) है। इस सूत्र में दिए गए मानों को प्रतिस्थापित करने पर, हमें 13² = (a² + b² + c²) + 2(54) प्राप्त होता है। इसे सरल करने पर 169 = a² + b² + c² + 108 प्राप्त होता है। वर्गों के योग का मान ज्ञात करने के लिए समीकरण को पुनर्व्यवस्थित करने पर, हमें a² + b² + c² = 169 - 108 = 61 प्राप्त होता है।

व्याख्या

दिए गए समीकरण (21cos A + 3sin A)/(3cos A + 4sin A) = 2 में, त्रिकोणमितीय पदों को हल करने के लिए हम तिर्यक-गुणन (cross-multiplication) करते हैं:

21cos A + 3sin A = 2(3cos A + 4sin A)

दाहिने पक्ष का विस्तार करने पर:

21cos A + 3sin A = 6cos A + 8sin A

समान पदों को एक साथ करने के लिए दोनों पक्षों से 6cos A और 3sin A घटाने पर:

21cos A - 6cos A = 8sin A - 3sin A 15cos A = 5sin A

cot A का मान ज्ञात करने के लिए, हम सर्वसमिका cot A = (cos A)/(sin A) का उपयोग करते हैं। दोनों पक्षों को 15sin A से विभाजित करने पर:

(cos A)/(sin A) = ⁵⁄₁₅ cot A = ⅓

व्याख्या

B द्वारा अकेले कार्य को पूरा करने में लिए गए समय की गणना संयुक्त कार्य दर सूत्र या लघुत्तम समापवर्त्य (LCM) विधि का उपयोग करके की जा सकती है। कुल कार्य ज्ञात करने के लिए, हम 120 और 72 का LCM लेते हैं, जो कि 360 इकाई है।

A की कार्यक्षमता = कुल कार्य / A द्वारा लिया गया समय = 360 / 120 = 3 इकाई प्रति दिन। A और B की संयुक्त कार्यक्षमता = कुल कार्य / दोनों द्वारा लिया गया समय = 360 / 72 = 5 इकाई प्रति दिन।

B की कार्यक्षमता = संयुक्त कार्यक्षमता - A की कार्यक्षमता = 5 - 3 = 2 इकाई प्रति दिन। B द्वारा अकेले कार्य करने में लिया गया समय = कुल कार्य / B की कार्यक्षमता = 360 / 2 = 180 दिन।

वैकल्पिक रूप से, प्रत्यक्ष सूत्र T_B = T_A × T_A₊_B / (T_A - T_A₊_B) का उपयोग करके: T_B = (120 × 72)/(120 - 72) T_B = (120 × 72)/(48) T_B = 120 × 1.5 = 180 दिन।

व्याख्या

वार्षिक ब्याज दर की गणना साधारण ब्याज के सूत्र SI = (P × R × T)/(100) का उपयोग करके की जाती है, जहाँ P मूलधन है, R ब्याज दर है, और T वर्षों में समय अवधि है। दिए गए मानों P = 21000, T = 3, और SI = 6400 को सूत्र में रखने पर, हमें प्राप्त होता है:

6400 = (21000 × R × 3)/(100)

शून्यों को काटकर व्यंजक को सरल करने पर:

6400 = 210 × R × 3 6400 = 630 × R

R के लिए हल करने पर:

R = ⁶⁴⁰⁰⁄₆₃₀ = ⁶⁴⁰⁄₆₃

अनुचित भिन्न (improper fraction) ⁶⁴⁰⁄₆₃ को मिश्रित भिन्न (mixed fraction) में बदलने पर:

640 = (63 × 10) + 10 R = 10¹⁰⁄₆₃%

व्याख्या

मान लीजिए कि टंकी की क्षमता व्यक्तिगत रूप से भरने और खाली करने के समय का लघुत्तम समापवर्त्य (LCM) है। चूंकि 84 = 21 × 4 और 105 = 21 × 5 है, इसलिए LCM = 21 × 4 × 5 = 420 इकाई है।

एक प्रवेशिका पाइप की कार्यक्षमता = 420 / 84 = 5 इकाई प्रति घंटा है। एक निकासी पाइप की कार्यक्षमता = 420 / 105 = 4 इकाई प्रति घंटा है। जब 9 प्रवेशिका पाइप और 10 निकासी पाइप एक साथ खोले जाते हैं, तो प्रति घंटा कुल कार्यक्षमता की गणना इस प्रकार की जाती है:

कुल कार्यक्षमता = (9 × 5) - (10 × 4) = 45 - 40 = 5 इकाई प्रति घंटा

टंकी को पूरी तरह से भरने के लिए आवश्यक समय, कुल क्षमता को कुल कार्यक्षमता से विभाजित करके प्राप्त किया जाता है:

समय = 420 / 5 = 84 घंटे

व्याख्या

मूलभूत त्रिकोणमितीय सर्वसमिका के अनुसार, किसी भी कोण x के लिए sin²x + cos²x = 1 होता है। एक न्यून कोण के लिए, cos x धनात्मक होता है और इसे cos x = √(1 - sin²x) के रूप में व्यक्त किया जा सकता है।

यह दिया गया है कि sin x = ³⁄₇, हम इस मान को सूत्र में प्रतिस्थापित करते हैं: cos x = √(1 - (³⁄₇)²) cos x = √(1 - ⁹⁄₄₉) cos x = √((49 - 9)/(49)) cos x = √(⁴⁰⁄₄₉)

√(40) को सरल करने के लिए, हम इसे इसके पूर्ण वर्ग गुणनखंडों में विभाजित करते हैं: √(40) = √(4 × 10) = 2√(10)। हर का वर्गमूल लेने पर, √(49) = 7। इसलिए, मान है: cos x = 2√(10){7}

व्याख्या

कक्षा का कुल वजन पूरी कक्षा के औसत वजन और छात्रों की कुल संख्या का गुणनफल है, जो कि 60 × 46.5 = 2790 किग्रा है। लड़कों का कुल वजन लड़कों की संख्या को उनके औसत वजन से गुणा करने पर प्राप्त होता है, जिससे 35 × 42 = 1470 किग्रा प्राप्त होता है। कक्षा के कुल वजन में से लड़कों के कुल वजन को घटाकर, लड़कियों का कुल वजन 2790 - 1470 = 1320 किग्रा निर्धारित होता है। यह देखते हुए कि कक्षा में 25 लड़कियां हैं (60 - 35 = 25), उनके औसत वजन की गणना उनके कुल वजन को उनकी संख्या से विभाजित करके की जाती है, जिसके परिणामस्वरूप ¹³²⁰⁄₂₅ = 52.8 किग्रा प्राप्त होता है।

व्याख्या

एक वृत्त के त्रिज्यखंड का क्षेत्रफल सूत्र A = (θ)/(360°) × π r² का उपयोग करके निकाला जाता है, जहाँ θ केंद्रीय कोण है और r त्रिज्या है। दिए गए मानों A = 110 सेमी², θ = 56°, और π = ²²⁄₇ को सूत्र में रखने पर, हमें प्राप्त होता है:

110 = ⁵⁶⁄₃₆₀ × ²²⁄₇ × r²

भिन्न ⁵⁶⁄₇ को सरल करने पर 8 प्राप्त होता है, इसलिए समीकरण इस प्रकार हो जाता है:

110 = ⁸⁄₃₆₀ × 22 × r²

⁸⁄₃₆₀ को और सरल करके ¹⁄₄₅ करने पर प्राप्त होता है:

110 = ²²⁄₄₅ × r²

r² का मान ज्ञात करने के लिए, पदों को पुनर्व्यवस्थित करें:

r² = (110 × 45)/(22)

चूंकि 110 को 22 से विभाजित करने पर 5 प्राप्त होता है, इसलिए हमारे पास है:

r² = 5 × 45 = 225

दोनों पक्षों का वर्गमूल लेने पर, हमें त्रिज्या प्राप्त होती है:

r = √(225) = 15 सेमी

व्याख्या

यदि कोई मान दूसरे मान से x% कम है, तो दूसरा मान पहले मान से (x)/(100 - x) × 100% अधिक होता है। यहाँ, x = 19 है, क्योंकि सैम के अंक पीटर के अंकों से 19% कम हैं। इस मान को सूत्र में रखने पर:

प्रतिशत अधिक = (19)/(100 - 19) × 100 प्रतिशत अधिक = ¹⁹⁄₈₁ × 100 प्रतिशत अधिक = ¹⁹⁰⁰⁄₈₁ = 23.4567...%

दशमलव के दो स्थानों तक पूर्णांकित करने पर, 23.4567... बदलकर 23.46% हो जाता है। यह प्रतिशत सैम के अंकों (पीटर के अंकों का 81%) से वापस पीटर के अंकों (100%) तक पहुँचने के लिए आवश्यक वृद्धि को दर्शाता है।

व्याख्या

विभाग 5 के लिए प्रतिशत की गणना 100 प्रतिशत में से विभाग 1 से 4 के प्रतिशत के योग को घटाकर की जाती है। वर्ष 2020 के लिए, विभाग 5 का प्रतिशत हिस्सा 100 - (24 + 21 + 20 + 19) = 16% है। चूंकि कर्मचारियों की कुल संख्या 1200 है, इसलिए 2020 में वास्तविक संख्या 0.16 × 1200 = 192 है।

वर्ष 2021 के लिए, विभाग 5 का प्रतिशत हिस्सा 100 - (21 + 22 + 18 + 19) = 20% है। कर्मचारियों की कुल संख्या बढ़कर 1600 होने के साथ, 2021 में वास्तविक संख्या 0.20 × 1600 = 320 है।

विभाग 5 के लिए कर्मचारियों की संख्या में परिवर्तन दोनों वर्षों के बीच का निरपेक्ष अंतर (absolute difference) है: |320 - 192| = 128. अन्य विभागों के लिए परिवर्तनों की गणना करने पर कम मान प्राप्त होते हैं: विभाग 1 में 48 (|336 - 288|) का परिवर्तन है, विभाग 2 में 100 (|352 - 252|) का परिवर्तन है, विभाग 3 में 48 (|288 - 240|) का परिवर्तन है, और विभाग 4 में 76 (|304 - 228|) का परिवर्तन है। इस प्रकार, विभाग 5 में अधिकतम परिवर्तन प्रदर्शित होता है।

व्याख्या

दिए गए x + ¹⁄ₓ = 1 के लिए व्यंजक (x² + 7x + 1)/(x² + 11x + 1) का मान ज्ञात करने के लिए, हम अंश और हर दोनों को x से विभाजित करके भिन्न को सरल करते हैं:

(x² + 7x + 1)/(x){(x² + 11x + 1)/(x)} = (x + 7 + 1)/(x){x + 11 + ¹⁄ₓ}

पदों को पुनर्व्यवस्थित करने पर, व्यंजक इस प्रकार हो जाता है:

((x + 1)/(x)) + 7{(x + ¹⁄ₓ) + 11}

व्यंजक में दिए गए मान x + ¹⁄ₓ = 1 को प्रतिस्थापित करने पर:

(1 + 7)/(1 + 11) = ⁸⁄₁₂

अंश और हर दोनों को उनके महत्तम समापवर्तक, 4 से विभाजित करने पर प्राप्त होता है:

(8 ÷ 4)/(12 ÷ 4) = ⅔

व्याख्या

इस मान की गणना BODMAS नियम का उपयोग करके की जाती है, जो संक्रियाओं के क्रम को निर्धारित करता है: कोष्ठक (Brackets), घातांक (Orders), भाग (Division) और गुणा (Multiplication), तथा जोड़ (Addition) और घटाव (Subtraction)। सबसे पहले, कोष्ठक के पहले सेट के भीतर के व्यंजक को सरल करें: 6 ÷ 2 - 3 + 7 - 2। पहले भाग करने पर 3 - 3 + 7 - 2 प्राप्त होता है, जो सरल होकर 5 हो जाता है। इसके बाद, वर्गाकार कोष्ठक [(3 - 2 ÷ 2) × 5 - 6] के भीतर के व्यंजक को सरल करें। पहले आंतरिक कोष्ठक को हल करने पर, 3 - 2 ÷ 2 का मान 3 - 1 = 2 हो जाता है। इसे वापस वर्गाकार कोष्ठक में रखने पर 2 × 5 - 6 प्राप्त होता है, जो 10 - 6 = 4 के बराबर है। अब मूल व्यंजक घटकर 6 - 5 × 4 हो जाता है। संक्रियाओं के क्रम का पालन करते हुए, घटाव से पहले गुणा किया जाता है, जिसके परिणामस्वरूप 6 - 20 = -14 प्राप्त होता है।

व्याख्या

जब सूर्य का कोण स्थिर होता है, तो छाया की लंबाई वस्तु की ऊंचाई के सीधे समानुपाती होती है। मान लीजिए कि H मंजिलों की संख्या है और S छाया की लंबाई है। ऊंचाई और छाया की लंबाई का अनुपात स्थिर रहता है:

(H₁)/(S₁) = (H₂)/(S₂)

दिया गया है, H₁ = 7 मंजिलें और S₁ = 28 मीटर, तो अनुपात ⁷⁄₂₈ = ¼ है। यह दर्शाता है कि छाया का प्रत्येक 4 मीटर इमारत की 1 मंजिल के बराबर है। 48 मीटर लंबी छाया (S₂ = 48m) के लिए, मंजिलों की संख्या H₂ इस प्रकार निर्धारित की जाएगी:

H₂ = (S₂)/(4) = ⁴⁸⁄₄ = 12

व्याख्या

कुल कार्य की गणना आवश्यक पुरुष-दिनों के आधार पर की जा सकती है। यह देखते हुए कि 6 पुरुष कार्य को 8 दिनों में पूरा कर सकते हैं, कुल कार्य 6 × 8 = 48 इकाई (units) है। इसी कार्य को 10 महिलाओं द्वारा 16 दिनों में पूरा किया जाता है, जिसका अर्थ है कि 10 × 16 = 160 महिला-दिन, 48 पुरुष-दिनों के बराबर है। इससे कार्यक्षमता का अनुपात स्थापित होता है जहाँ 1 महिला प्रतिदिन ⁴⁸⁄₁₆₀ = 0.3 इकाई कार्य करती है, यह मानते हुए कि 1 पुरुष प्रतिदिन 1 इकाई कार्य करता है।

पहले 2 दिनों में, 12 पुरुष कार्य कर रहे थे, जिससे 12 × 2 = 24 इकाई कार्य पूरा हुआ। शेष बचा हुआ कार्य 48 - 24 = 24 इकाई है। 2 दिनों के बाद, 6 पुरुष चले गए, जिससे 12 - 6 = 6 पुरुष बचे। उनके साथ 5 महिलाएं शामिल हो गईं। इस नए समूह का संयुक्त दैनिक कार्य 6 × 1 + 5 × 0.3 = 6 + 1.5 = 7.5 इकाई प्रति दिन है। शेष कार्य को पूरा करने में लगा समय (24)/(7.5) = ²⁴⁰⁄₇₅ = ¹⁶⁄₅ दिन है। कार्य को पूरा होने में लगे कुल समय को ज्ञात करने के लिए, प्रारंभिक 2 दिनों को शेष कार्य के समय में जोड़ा जाता है, जिसके परिणामस्वरूप 2 + ¹⁶⁄₅ = (10 + 16)/(5) = ²⁶⁄₅ दिन प्राप्त होते हैं।

व्याख्या

वर्तमान मूल्य (PW) वह मूलधन है, जिसे एक निश्चित समय (t) के लिए दी गई साधारण ब्याज दर (r) पर निवेश करने पर वह भविष्य की राशि (A) में परिवर्तित हो जाता है। इस संबंध को सूत्र A = PW + (PW × r × t)/(100) द्वारा परिभाषित किया गया है, जिसे PW = (100 × A)/(100 + (r × t)) के रूप में पुनर्व्यवस्थित किया जा सकता है।

दी गई राशि A = 1100, दर r = 5%, और समय t = 2 वर्ष है, गणना इस प्रकार है:

PW = (100 × 1100)/(100 + (5 × 2))

PW = (110000)/(100 + 10)

PW = ¹¹⁰⁰⁰⁰⁄₁₁₀

PW = 1000

₹1,000 के मूलधन पर 5% वार्षिक दर से 2 वर्षों में ₹100 का साधारण ब्याज प्राप्त होता है, जिसके परिणामस्वरूप कुल देय राशि ₹1,100 हो जाती है।

व्याख्या

मानक त्रिकोणमितीय सर्वसमिकाओं का उपयोग करके इस व्यंजक को सरल किया जा सकता है। अंश, cos² 15° - sin² 15°, द्वि-कोण सर्वसमिका cos 2θ = cos² θ - sin² θ का अनुसरण करता है। θ = 15° प्रतिस्थापित करने पर, अंश cos(2 × 15°) = cos 30° हो जाता है। cos 30° का मान √3{2} है।

हर, cos² 145° + sin² 145°, मौलिक पाइथागोरस सर्वसमिका sin² θ + cos² θ = 1 का अनुसरण करता है, जो किसी भी कोण θ के लिए मान्य है। इसलिए, हर का मान 1 के बराबर है। इन परिणामों को मिलाने पर, संपूर्ण व्यंजक का मान {√3{2}}{1} = √3{2} है।

व्याख्या

चूंकि 45, 15 का एक गुणज है, इसलिए संख्या को 15 से विभाजित करने पर प्राप्त शेषफल, 21 को 15 से विभाजित करने पर प्राप्त शेषफल के बराबर होगा। 21 मॉड्यूलो (modulo) 15 की गणना करने पर 6 प्राप्त होता है।

व्याख्या

व्यंजक के अंश और हर दोनों को cos A से भाग देने पर (3 tan A + 2) / (3 tan A - 2) प्राप्त होता है। tan A = 3/8 रखने पर, व्यंजक (3(3/8) + 2) / (3(3/8) - 2) = (9/8 + 2) / (9/8 - 2) = (25/8) / (-7/8) = -25/7 हो जाता है।

व्याख्या

खड़ी ट्रेन को पार करने में लगने वाले समय को ज्ञात करने के लिए, कुल दूरी (108 मीटर + 148 मीटर = 256 मीटर) को राजधानी एक्सप्रेस की गति से विभाजित किया जाता है। गति को 128 किमी/घंटा से मीटर/सेकंड में बदलने पर 320/9 मीटर/सेकंड प्राप्त होता है, और 256 मीटर को 320/9 मीटर/सेकंड से विभाजित करने पर ठीक 7.2 सेकंड प्राप्त होते हैं।

व्याख्या

BODMAS नियम का पालन करते हुए, हम सबसे पहले बाएं से दाएं भाग और गुणा करते हैं: (5/6) × (4/5) ÷ (4/3) = (2/3) ÷ (4/3) = (2/3) × (3/4) = 1/2। इसके बाद, जोड़ और घटाव करते हैं: 2/3 - 1/2 + 1/2 = 2/3। अतः, व्यंजक का मान 2/3 है।

व्याख्या

tan 4384 डिग्री का मान tan(12 x 360 + 64) = tan 64 डिग्री के बराबर है। cot 6814 डिग्री का मान cot(18 x 360 + 334) = cot 334 डिग्री के बराबर है, जो -cot 26 डिग्री या -tan 64 डिग्री के समतुल्य है। इन परिणामों को आपस में जोड़ने पर tan 64 - tan 64 = 0 प्राप्त होता है।

व्याख्या

माना क्रय मूल्य 100 है। अंकित मूल्य 140 है (क्रय मूल्य से 40 प्रतिशत अधिक), और विक्रय मूल्य 140 का 73.5 प्रतिशत है, जो 102.9 के बराबर है। चूंकि विक्रय मूल्य 102.9 है और क्रय मूल्य 100 है, इसलिए लाभ 2.9 है, जो कि 2.9 प्रतिशत का लाभ है।

व्याख्या

समीकरणों x + 2y = 170 (त्रिभुज के कोणों के योग से) और 2x - 4y = 20 (दिया गया है) को हल करने पर x = 90 और y = 40 प्राप्त होता है। चूंकि त्रिभुज के तीनों कोण 90, 40 और 50 डिग्री हैं, इसलिए 90-डिग्री के कोण की उपस्थिति इसे एक समकोण त्रिभुज बनाती है।

व्याख्या

30 इकाइयों के कुल कार्य के आधार पर, X की कार्यक्षमता 6 इकाई/दिन (30/5), Y की 2 इकाई/दिन (30/15) और Z की 1 इकाई/दिन (30/30) है। पहले दिन X, 6 इकाइयाँ पूरी करता है, और दूसरे दिन X, Y और Z मिलकर 9 इकाइयाँ (6+2+1) पूरी करते हैं, जिससे प्रत्येक 2 दिन में 15 इकाई कार्य पूरा होता है। 30 इकाई कार्य पूरा करने के लिए, 2 दिन के 2 चक्र लगेंगे, जो 4 दिन के बराबर है।

व्याख्या

15% लाभ और 10% लाभ के बीच का अंतर क्रय मूल्य का 5% है। चूंकि यह 5% का अंतर 20 रुपये के बराबर है, इसलिए कुल क्रय मूल्य (100%) की गणना इस प्रकार की जाती है: (20 / 5) * 100 = 400।