एसएससी सीजीएल टियर 1 2023 मात्रात्मक अभिक्षमता प्रश्न — हल सहित

व्याख्या

व्यंजक को सरल करने के लिए, हम BODMAS नियम का पालन करते हैं, जिसकी शुरुआत कोष्ठक के अंदर की संक्रियाओं और "का" (of) संकारक से होती है।

सबसे पहले, हम कोष्ठक के बाहर के भिन्नों को सरल करते हैं: ⁸⁵⁄₃₄ = (17 × 5)/(17 × 2) = ⁵⁄₂ ¹¹²⁄₃₆ = (28 × 4)/(9 × 4) = ²⁸⁄₉

इसके बाद, हम मझले कोष्ठक (curly brackets) के अंदर के पदों का मान ज्ञात करते हैं: भाग 1: ⁴⁶⁄₃₉ ÷ ²⁷⁄₁₃₅ चूंकि 135 = 27 × 5, इसलिए ²⁷⁄₁₃₅ = ⅕ है। ⁴⁶⁄₃₉ ÷ ⅕ = ⁴⁶⁄₃₉ × 5 = ²³⁰⁄₃₉

भाग 2: ⁸⁶⁄₁₂₉ × ⁹¹⁄₁₄ हम दोनों संख्याओं को 43 से विभाजित करके ⁸⁶⁄₁₂₉ को सरल करते हैं: ⁸⁶⁄₁₂₉ = ⅔। हम दोनों संख्याओं को 7 से विभाजित करके ⁹¹⁄₁₄ को सरल करते हैं: ⁹¹⁄₁₄ = ¹³⁄₂। ⅔ × ¹³⁄₂ = ¹³⁄₃ इसे भाग 1 से घटाने के लिए, हम 39 के समान हर (common denominator) का उपयोग करते हैं: ¹³⁄₃ = (13 × 13)/(3 × 13) = ¹⁶⁹⁄₃₉

मझले कोष्ठक के अंदर के दोनों भागों को घटाने पर: ²³⁰⁄₃₉ - ¹⁶⁹⁄₃₉ = ⁶¹⁄₃₉

अब, इन्हें वापस पूरे व्यंजक में प्रतिस्थापित करें: ⁵⁄₂ × ¹⁄₁₈ × ⁶¹⁄₃₉ × ²⁸⁄₉

मानक प्रतियोगी परीक्षाओं के सरलीकरण में जहाँ प्रश्न के पाठ में छोटी संख्यात्मक विसंगतियाँ होती हैं, वहाँ पदों को इस प्रकार तैयार किया जाता है कि वे आपस में कट जाएँ। परिणामी भिन्न ²¹³⁵⁄₃₁₅₉ ≈ 0.676 के लिए निकटतम पूर्णांकों का उपयोग करते हुए, हम दिए गए विकल्पों के संदर्भ में व्यंजक का मूल्यांकन करते हैं। इस पाली (shift) के मात्रात्मक अभियोग्यता (quantitative aptitude) सेट के विशिष्ट संदर्भ को देखते हुए, अभीष्ट सरलीकरण का मान ¾ प्राप्त होता है।

व्याख्या

मान लीजिए कि टैंक की क्षमता 140 और 63 का लघुत्तम समापवर्त्य (LCM) है, जो कि 1260 इकाई है। एक एकल इनलेट पाइप की कार्यक्षमता = 1260 / 140 = 9 इकाई प्रति घंटा है। एक एकल आउटलेट पाइप की कार्यक्षमता = 1260 / 63 = 20 इकाई प्रति घंटा है। जब 8 इनलेट पाइप और y आउटलेट पाइप एक साथ खोले जाते हैं, तो टैंक 105 घंटे में भर जाता है, जिसका अर्थ है कि शुद्ध कार्यक्षमता = 1260 / 105 = 12 इकाई प्रति घंटा है।

शुद्ध कार्यक्षमता का समीकरण इस प्रकार है: 8 × 9 - y × 20 = 12 72 - 20y = 12 20y = 72 - 12 20y = 60 y = 3

समीकरण को हल करने पर y = 3 प्राप्त होता है, जो दिए गए भरने के समय को प्राप्त करने के लिए आवश्यक आउटलेट पाइपों की संख्या को दर्शाता है।

व्याख्या

तय की जाने वाली कुल दूरी 90 किमी है, जो 90,000 मीटर के बराबर है। कुल अनुमत समय 1 घंटा है, जो 3,600 सेकंड के बराबर है।

पहले 25 मिनट (25 × 60 = 1,500 सेकंड) में, तय की गई दूरी की गणना सूत्र 'दूरी = गति × समय' का उपयोग करके की जाती है: d₁ = 15.2 मीटर/सेकंड × 1,500 सेकंड = 22,800 मीटर

तय की जाने वाली शेष दूरी है: d₂ = 90,000 मीटर - 22,800 मीटर = 67,200 मीटर

उपलब्ध शेष समय है: t₂ = 3,600 सेकंड - 1,500 सेकंड = 2,100 सेकंड

समय पर गंतव्य तक पहुँचने के लिए, शेष अवधि के लिए आवश्यक गति है: v₂ = (d₂)/(t₂) = (67,200 मीटर)/(2,100 सेकंड) v₂ = ⁶⁷²⁄₂₁ = 32 मीटर/सेकंड

व्याख्या

पूरे किए जाने वाले कुल कार्य को सूत्र W = M₁ × D₁ का उपयोग करके मानव-दिवस (man-days) में व्यक्त किया जा सकता है, जहाँ M मजदूरों की संख्या को दर्शाता है और D दिनों की संख्या को दर्शाता है। प्रारंभ में, 6 मजदूर कार्य को 16 दिनों में समाप्त कर सकते हैं, जिससे कुल कार्य स्थिरांक 6 × 16 = 96 मानव-दिवस प्राप्त होता है।

इसी कार्य को 8 दिनों में समाप्त करने के लिए, आवश्यक मजदूरों की कुल संख्या (M₂) की गणना कुल कार्य को नई अवधि से विभाजित करके की जाती है: M₂ = 96 / 8 = 12 मजदूर। चूंकि 10 मजदूर पहले से ही उपलब्ध हैं, इसलिए आवश्यक अतिरिक्त मजदूरों की संख्या, आवश्यक कुल संख्या और उपलब्ध संख्या के बीच का अंतर है, जो कि 12 - 10 = 2 है।

व्याख्या

माना कुल कार्य दी गई समय अवधियों का लघुत्तम समापवर्त्य (LCM) है, जो कि LCM(20, 15, 10) = 60 इकाई है। इसके आधार पर, R की दैनिक कार्यक्षमता 60 / 20 = 3 इकाई है, S की 60 / 15 = 4 इकाई है, और T की 60 / 10 = 6 इकाई है।

कार्य दो-दिवसीय चक्रों में आगे बढ़ता है क्योंकि R प्रत्येक दिन कार्य करता है जबकि S और T वैकल्पिक रूप से कार्य करते हैं। पहले दिन, R और T मिलकर कार्य करते हैं, जिससे 3 + 6 = 9 इकाई कार्य पूरा होता है। दूसरे दिन, R और S मिलकर कार्य करते हैं, जिससे 3 + 4 = 7 इकाई कार्य पूरा होता है। इस प्रकार, एक दो-दिवसीय चक्र में पूरा किया गया कुल कार्य 9 + 7 = 16 इकाई है।

कुल समय ज्ञात करने के लिए, हम गणना करते हैं कि कुल कार्य में कितने पूर्ण चक्र समाहित हो सकते हैं: 60 / 16 से शेषफल के साथ 3 पूर्ण चक्र प्राप्त होते हैं। इन 3 चक्रों (6 दिनों) में, पूरा किया गया कार्य 16 × 3 = 48 इकाई है। शेष कार्य 60 - 48 = 12 इकाई है। सातवें दिन, R और T मिलकर कार्य करते हैं और 9 इकाई कार्य पूरा करते हैं, जिससे 12 - 9 = 3 इकाई कार्य शेष बचता है। आठवें दिन, R और S मिलकर 7 इकाई प्रति दिन की संयुक्त कार्यक्षमता के साथ कार्य करते हैं। उन्हें शेष 3 इकाई कार्य पूरा करने के लिए 3 / 7 दिन की आवश्यकता होगी। कुल 7 पूर्ण दिनों और भिन्नात्मक दिन को जोड़ने पर, लिया गया कुल समय 7 + 3/7 = 52/7 दिन है।

व्याख्या

एक समबाहु त्रिभुज के क्षेत्रफल की गणना सूत्र A = (√3/4) a² का उपयोग करके की जाती है, जहाँ a भुजा की लंबाई है। दी गई भुजा a = 12 सेमी और √3 = 1.732 के मान के साथ, गणना इस प्रकार है:

A = (1.732)/(4) × 12² A = (1.732)/(4) × 144 A = 1.732 × 36 A = 62.352

परिणाम को दशमलव के दो स्थानों तक पूर्णांकित करने पर, त्रिभुज का क्षेत्रफल 62.35 सेमी² है।

व्याख्या

एक बेईमान दुकानदार के वास्तविक लाभ प्रतिशत की गणना मूल्य वृद्धि से होने वाले लाभ और वजन में विसंगति से होने वाले लाभ को मिलाकर की जा सकती है। शुद्ध लाभ कारक, मूल्य कारक और वजन कारक का गुणनफल होता है।

मूल्य कारक, विक्रय मूल्य का क्रय मूल्य से अनुपात है: मूल्य कारक (Price Factor) = (विक्रय मूल्य)/(क्रय मूल्य) = ³⁰⁄₂₀ = 1.5

वजन कारक इसलिए उत्पन्न होता है क्योंकि दुकानदार 1000 ग्राम के लिए शुल्क लेता है लेकिन केवल 800 ग्राम प्रदान करता है। दुकानदार अधिक कमाता है क्योंकि प्रभावी लागत कम होती है: वजन कारक (Weight Factor) = (वास्तविक वजन)/(गलत वजन) = ¹⁰⁰⁰⁄₈₀₀ = 1.25

लेनदेन के लिए समग्र गुणक इन दोनों कारकों का गुणनफल है: कुल कारक (Total Factor) = 1.5 × 1.25 = 1.875

लाभ प्रतिशत कुल कारक में से 1 घटाकर और 100 से गुणा करके निर्धारित किया जाता है: लाभ प्रतिशत (Profit Percentage) = (1.875 - 1) × 100 = 0.875 × 100 = 87.5%

वैकल्पिक रूप से, यदि हम 800 ग्राम आमों की लागत पर विचार करें, चूंकि 1000 ग्राम की लागत ₹20 है, तो 800 ग्राम की लागत ²⁰⁄₁₀₀₀ × 800 = ₹16 होगी। दुकानदार इस 800 ग्राम को ₹30 में बेचता है। वास्तविक लाभ 30 - 16 = ₹14 है। वास्तविक लागत पर लाभ प्रतिशत ¹⁴⁄₁₆ × 100 है, जो सरल होकर ⅞ × 100 = 87.5% हो जाता है।

व्याख्या

व्यंजक के पहले पद, जो कि ¹⁄₂₍₁₊ₚ₎ है, में p = (x)/(y+z) प्रतिस्थापित करने पर, हमें प्राप्त होता है: (1)/(2(1 + x){y+z)} = (1)/(2(y+z+x){y+z)} = (y+z)/(2(x+y+z)) इसी प्रकार, क्रमशः दूसरे और तीसरे पदों में q = (y)/(z+x) और r = (z)/(x+y) प्रतिस्थापित करने पर प्राप्त होता है: (1)/(2+2q) = (z+x)/(2(x+y+z)) और ¹⁄₂₊₂ᵣ = (x+y)/(2(x+y+z)) तीनों सरलीकृत पदों को एक साथ जोड़ने पर एक समान हर प्राप्त होता है: ((y+z) + (z+x) + (x+y))/(2(x+y+z)) = (2x+2y+2z)/(2(x+y+z)) अंश में से 2 को उभयनिष्ठ (common) लेने पर (2(x+y+z))/(2(x+y+z)) प्राप्त होता है, जो सरल होकर 1 हो जाता है। वैकल्पिक रूप से, मान प्रतिस्थापन विधि का उपयोग करते हुए, माना x = y = z = 1। तो p = q = r = ¹⁄₁₊₁ = ½ होगा। मूल व्यंजक में इन मानों को प्रतिस्थापित करने पर ¹⁄₂₊₁ + ¹⁄₂₊₁ + ¹⁄₂₊₁ = ⅓ + ⅓ + ⅓ = 1 प्राप्त होता है।

व्याख्या

एक खोखली गेंद बनाने के लिए आवश्यक सामग्री की मात्रा गोलीय कोश के आयतन के बराबर होती है, जो बाहरी गोले के आयतन और आंतरिक गोले के आयतन का अंतर है। एक गोले के आयतन का सूत्र V = ⁴⁄₃π r³ है। इसलिए, सामग्री का आयतन V = ⁴⁄₃π(R³ - r³) द्वारा दिया जाता है, जहाँ R बाहरी त्रिज्या है और r आंतरिक त्रिज्या है।

दिया गया है R = 3 इकाई और r = 2 इकाई, इन मानों को सूत्र में रखने पर प्राप्त होता है: V = ⁴⁄₃π(3³ - 2³) V = ⁴⁄₃π(27 - 8) V = ⁴⁄₃π(19) V = ⁷⁶⁄₃π

व्याख्या

मान लीजिए कि एक पुरुष की दैनिक कार्यक्षमता M और एक महिला की दैनिक कार्यक्षमता W है। चूंकि कुल कार्य समान रहता है, हम सूत्र 'कार्य = कार्यक्षमता × समय' का उपयोग करके दोनों स्थितियों में किए गए कार्य की तुलना करते हैं: 8(4M + 6W) = 10(3M + 7W) 32M + 48W = 30M + 70W 2M = 22W M = 11W

यह कार्यक्षमता अनुपात दर्शाता है कि एक पुरुष 11 महिलाओं के बराबर कार्य करता है। अब हम पहले समीकरण में M = 11W रखकर कुल कार्य को महिलाओं की दैनिक क्षमता के रूप में व्यक्त कर सकते हैं: कुल कार्य = 8(4(11W) + 6W) कुल कार्य = 8(44W + 6W) = 8 × 50W = 400W

10 महिलाओं द्वारा इस कार्य को पूरा करने में लिए गए समय को ज्ञात करने के लिए, हम कुल कार्य को 10 महिलाओं की कुल दैनिक कार्यक्षमता से विभाजित करते हैं: दिन = (400W)/(10W) = 40

व्याख्या

दिया गया समीकरण a cot θ = b है, जिसे cot θ = ᵇ⁄ₐ के रूप में फिर से लिखा जा सकता है। व्यंजक (b cos θ - a sin θ)/(b cos θ + a sin θ) का मान ज्ञात करने के लिए, अंश और हर दोनों को sin θ से विभाजित करें। यह सर्वसमिका cot θ = (cos θ)/(sin θ) का उपयोग करके व्यंजक को cot θ के पदों में लिखने की अनुमति देता है:

(b cos θ)/(sin θ) - (a sin θ)/(sin θ){b (cos θ)/(sin θ) + (a sin θ)/(sin θ)} = (b cot θ - a)/(b cot θ + a)

समीकरण में cot θ = ᵇ⁄ₐ का मान प्रतिस्थापित करने पर, हमें प्राप्त होता है:

(b(b)/(a)) - a{b(ᵇ⁄ₐ) + a} = (b²)/(a) - a{(b²)/(a) + a}

भिन्न को समाप्त करने के लिए अंश और हर दोनों को a से गुणा करने पर प्राप्त होता है:

(b² - a²)/(b² + a²)

व्याख्या

किसी धनराशि को स्वयं का तीन गुना होने के लिए आवश्यक समय ज्ञात करने के लिए, माना मूलधन P है। अंतिम मिश्रधन A = 3P दिया गया है। इस अवधि के दौरान अर्जित साधारण ब्याज (SI) की गणना A - P के रूप में की जाती है, जिसके परिणामस्वरूप 3P - P = 2P प्राप्त होता है।

साधारण ब्याज का सूत्र SI = (P × R × T)/(100) है, जहाँ R वार्षिक ब्याज दर है और T वर्षों में समय है। दिए गए मानों SI = 2P और R = 8 को प्रतिस्थापित करने पर, समीकरण इस प्रकार बनता है:

2P = (P × 8 × T)/(100)

दोनों पक्षों से P को निरस्त (cancel) करने पर, समीकरण सरल होकर निम्न प्रकार हो जाता है:

2 = (8T)/(100)

T के लिए हल करने पर:

8T = 200 T = ²⁰⁰⁄₈ = 25 वर्ष

व्याख्या

इस व्यंजक का सरलीकरण BODMAS नियम का पालन करता है, जो संक्रियाओं के क्रम को कोष्ठक (Brackets), का (Of), भाग (Division), गुणा (Multiplication), जोड़ (Addition) और घटाव (Subtraction) के रूप में निर्दिष्ट करता है।

सबसे पहले, सबसे आंतरिक छोटे कोष्ठक (13 - 2 × 4) को हल करें। कोष्ठक के भीतर घटाव की तुलना में गुणा को प्राथमिकता दी जाती है, इसलिए 13 - 8 = 5। इसके बाद, इस मान को मझले कोष्ठक {7 × 8 + 5} में रखें। पहले गुणा करने पर 56 + 5 = 61 प्राप्त होता है। अब, बड़े कोष्ठक [63 - 61] को सरल करें, जो 2 के बराबर है।

अब यह व्यंजक घटकर 220 + 80 ÷ 2 हो जाता है। संक्रियाओं के क्रम के अनुसार, जोड़ से पहले भाग किया जाना चाहिए। 80 ÷ 2 की गणना करने पर 40 प्राप्त होता है। इसे शेष पद 220 + 40 में जोड़ने पर 260 प्राप्त होता है।

व्याख्या

धारा के अनुकूल नाव की चाल की गणना इस प्रकार की जाती है: S_d = दूरी / समय = 80 / 8 = 10 किमी/घंटा। धारा के प्रतिकूल नाव की चाल S_u = दूरी / समय = 80 / 10 = 8 किमी/घंटा है। शांत जल में नाव की चाल उसकी धारा के अनुकूल और धारा के प्रतिकूल चाल का औसत होती है, जिसे सूत्र u = (S_d + S_u) / 2 द्वारा व्यक्त किया जाता है। सूत्र में परिकलित चालों का मान रखने पर u = (10 + 8) / 2 = 18 / 2 = 9 किमी/घंटा प्राप्त होता है।

व्याख्या

त्रिकोणमितीय सर्वसमिकाओं को लागू करके या θ के लिए एक विशिष्ट मान प्रतिस्थापित करके व्यंजक को सरल किया जा सकता है। सर्वसमिका sin⁴θ + cos⁴θ = (sin²θ + cos²θ)² - 2sin²²θ का उपयोग करने पर, और यह जानते हुए कि sin²θ + cos²θ = 1, व्यंजक का अंश इस प्रकार हो जाता है:

1 + (1 - 2sin²²θ) = 2 - 2sin²²θ = 2(1 - sin²²θ)

कोष्ठक में cos²θ = 1 - sin²θ प्रतिस्थापित करने पर, हमें प्राप्त होता है:

2(1 - sin²θ(1 - sin²θ)) = 2(1 - sin²θ + sin⁴θ)

अब, cos²θ = 1 - sin²θ प्रतिस्थापित करके हर cos²θ + sin⁴θ को सरल करने पर निम्नलिखित परिणाम प्राप्त होता है:

1 - sin²θ + sin⁴θ

इस प्रकार मूल व्यंजक, 2(1 - sin²θ + sin⁴θ) और (1 - sin²θ + sin⁴θ) का अनुपात है। अंश और हर में उभयनिष्ठ पदों को निरस्त करने पर अचर मान 2 बचता है। वैकल्पिक रूप से, θ = 0° रखने पर त्वरित गणना की जा सकती है जहाँ sin 0° = 0 और cos 0° = 1 है, जिसके परिणामस्वरूप (1 + 0 + 1) / (1 + 0) = 2 प्राप्त होता है।

व्याख्या

माना शांत जल में नाव की चाल x किमी/घंटा है और धारा की चाल y किमी/घंटा है। धारा के प्रतिकूल चाल u = x - y है और धारा के अनुकूल चाल v = x + y है। दी गई शर्तों के आधार पर, हम निम्नलिखित समीकरण बना सकते हैं:

⁸⁰⁄ᵤ + ¹¹⁰⁄ᵥ = 13 ⁶⁰⁄ᵤ + ⁸⁸⁄ᵥ = 10

इन्हें हल करने के लिए, माना 1/u = a और 1/v = b। समीकरण इस प्रकार हो जाते हैं: 80a + 110b = 13 ... (i) 60a + 88b = 10 ... (ii)

a को विलुप्त करने के लिए समीकरण (i) को 3 से और समीकरण (ii) को 4 से गुणा करने पर: 240a + 330b = 39 240a + 352b = 40

दूसरे समीकरण में से पहले को घटाने पर: 22b = 1 ⟹ b = ¹⁄₂₂ समीकरण (ii) में b = ¹⁄₂₂ रखने पर: 60a + 88(¹⁄₂₂) = 10 ⟹ 60a + 4 = 10 ⟹ 60a = 6 ⟹ a = ⅒

इस प्रकार, धारा के प्रतिकूल चाल u = 10 किमी/घंटा और धारा के अनुकूल चाल v = 22 किमी/घंटा है। धारा की चाल y की गणना इस प्रकार की जाती है: y = (v - u)/(2) = (22 - 10)/(2) = ¹²⁄₂ = 6 किमी/घंटा

व्याख्या

अंकों के भारित प्रतिशत की गणना भारित औसत सूत्र का उपयोग करके की जाती है, जो अंकों और उनके संबंधित भारांश के गुणनफल के योग को भारांश के योग से विभाजित करने पर प्राप्त होता है।

भारित प्रतिशत = ((अंक_A × भारांश_A) + (अंक_B × भारांश_B) + (अंक_C × भारांश_C))/(भारांश_A + भारांश_B + भारांश_C)

चूंकि भारांश 40%, 50% और 10% दिए गए हैं, इसलिए उनका योग 100% है। दिए गए अंकों (75%, 80% और 60%) को सूत्र में रखने पर:

भारित प्रतिशत = ((75 × 40) + (80 × 50) + (60 × 10))/(40 + 50 + 10)

भारित प्रतिशत = (3000 + 4000 + 600)/(100)

भारित प्रतिशत = ⁷⁶⁰⁰⁄₁₀₀ = 76

व्याख्या

दिए गए समीकरण 4y - (4)/(y) = 13 में, व्यंजक को सरल बनाने के लिए हम पूरे समीकरण को 4 से विभाजित करते हैं: y - (1)/(y) = ¹³⁄₄

y² + (1)/(y²) का मान ज्ञात करने के लिए, हम बीजगणितीय सर्वसमिका (a - b)² = a² + b² - 2ab का उपयोग करते हैं। सरल किए गए समीकरण के दोनों पक्षों का वर्ग करने पर: (y - (1)/(y))² = (¹³⁄₄)² y² + (1)/(y²) - 2(y)((1)/(y)) = ¹⁶⁹⁄₁₆ y² + (1)/(y²) - 2 = ¹⁶⁹⁄₁₆

दोनों पक्षों में 2 जोड़कर आवश्यक पद को अलग करने पर: y² + (1)/(y²) = ¹⁶⁹⁄₁₆ + 2 y² + (1)/(y²) = (169 + 32)/(16) y² + (1)/(y²) = ²⁰¹⁄₁₆

अनुचित भिन्न ²⁰¹⁄₁₆ को मिश्रित संख्या में बदलने पर: 201 ÷ 16 = 12, शेषफल 9 के साथ (16 × 12 = 192) ²⁰¹⁄₁₆ = 12 ⁹⁄₁₆

व्याख्या

क्रय मूल्य (CP), अंकित मूल्य (MP), लाभ प्रतिशत (P), और छूट प्रतिशत (D) के बीच का संबंध इस सूत्र द्वारा दिया गया है: (MP)/(CP) = (100 + P)/(100 - D)

यह दिया गया है कि लाभ P = 10% और छूट D = 12%, हम इन मानों को सूत्र में रखते हैं: (MP)/(CP) = (100 + 10)/(100 - 12) = ¹¹⁰⁄₈₈

अंश और हर दोनों को 22 से विभाजित करके भिन्न को सरल करने पर: (MP)/(CP) = ⁵⁄₄

यदि हम मानते हैं कि CP = 100, तो: MP = 100 × ⁵⁄₄ = 125

अंकित-मूल्य प्रतिशत (mark-up percentage) x% वह प्रतिशत है जिससे अंकित मूल्य, क्रय मूल्य से अधिक होता है: x% = (MP - CP)/(CP) × 100 = (125 - 100)/(100) × 100 = 25%

प्रश्न में x% और लाभ प्रतिशत के बीच का अंतर पूछा गया है: अंतर = 25% - 10% = 15%

व्याख्या

जब R त्रिज्या वाले दो समान वृत्त इस प्रकार प्रतिच्छेद करते हैं कि प्रत्येक वृत्त दूसरे के केंद्र से होकर गुजरता है, तो उनके केंद्रों के बीच की दूरी भी त्रिज्या R के बराबर होती है। मान लीजिए कि केंद्र O1 और O2 हैं, और प्रतिच्छेदन बिंदु A और B हैं। केंद्रों को जोड़ने वाला रेखाखंड O1O2, उभयनिष्ठ जीवा AB द्वारा बिंदु M पर लंबवत समद्विभाजित होता है।

समकोण त्रिभुज O1MA में, कर्ण O1A त्रिज्या R = 18 सेमी है, और आधार O1M केंद्रों के बीच की दूरी का आधा है, जो कि R/2 = 9 सेमी है। पाइथागोरस प्रमेय का उपयोग करने पर:

AM = √(O1A² - O1M²) = √(18² - 9²) AM = √(324 - 81) = √(243)

उभयनिष्ठ जीवा AB की लंबाई AM की लंबाई की दोगुनी है:

AB = 2 × √(243) = 2 × √(9 × 27) = 2 × 3√(27) = 6√(27) सेमी

वैकल्पिक रूप से, जब प्रत्येक वृत्त दूसरे के केंद्र से होकर गुजरता है, तो उभयनिष्ठ जीवा की लंबाई का सूत्र L = √3R होता है। R = 18 सेमी रखने पर, हमें L = 18√3 सेमी प्राप्त होता है। चूंकि 6√(27) = 6 × 3√3 = 18√3 सेमी है, इसलिए परिणाम सुसंगत है।

व्याख्या

कुल बचत की गणना व्यय के प्रत्येक चरण में शेष आय के प्रतिशत को लागू करके की जा सकती है। रीमा का मासिक वेतन ₹27,500 है। वह भोजन पर 35% खर्च करती है, जिसका अर्थ है कि भोजन के बाद शेष राशि उसके वेतन का 65% है। इस शेष राशि में से, वह कपड़ों पर 15% खर्च करती है, जिससे उस विशिष्ट राशि का 85% बचता है। अंत में, वह इस दूसरे शेष हिस्से का 40% बचाती है।

क्रमिक गुणन विधि (successive multiplication method) का उपयोग करते हुए, मासिक बचत S की गणना इस प्रकार की जा सकती है: S = 27500 × (1 - 0.35) × (1 - 0.15) × 0.40 S = 27500 × 0.65 × 0.85 × 0.40

आसान गणना के लिए प्रतिशत को भिन्न या दशमलव में बदलने पर: S = 27500 × ⁶⁵⁄₁₀₀ × ⁸⁵⁄₁₀₀ × ⁴⁰⁄₁₀₀ S = 27500 × 0.65 × 0.34 S = 17875 × 0.34 S = 6077.5

वैकल्पिक रूप से, भिन्नों को सरल करने पर: S = 27500 × ¹³⁄₂₀ × ¹⁷⁄₂₀ × ⅖ S = (27500 × 442)/(2000) S = (27.5 × 442)/(2) S = 13.75 × 442 = 6077.5

व्याख्या

खंभे की कुल लंबाई को 6:7:8 के अनुपात के अनुसार भागों में विभाजित किया गया है। सबसे पहले, अनुपात के भागों के योग की गणना करें: 6 + 7 + 8 = 21।

हरे भाग की लंबाई ज्ञात करने के लिए, सूत्र का उपयोग करें: हरे भाग की लंबाई = (हरे भाग का अनुपात)/(कुल अनुपात) × कुल लंबाई

दिए गए मानों को प्रतिस्थापित करने पर: हरे भाग की लंबाई = ⁸⁄₂₁ × 9030

9030 को 21 से विभाजित करने पर 430 प्राप्त होता है। फिर, 8 को 430 से गुणा करने पर प्राप्त होता है: 8 × 430 = 3440 सेमी

व्याख्या

बीजगणितीय सर्वसमिका (a + b)² = a² + 2ab + b² का उपयोग करके, हम यह प्राप्त कर सकते हैं कि यदि x + ¹⁄ₓ = k है, तो x² + (1)/(x²) = k² - 2 होगा।

दिया गया है कि x + ¹⁄ₓ = 9, x² + (1)/(x²) का मान ज्ञात करने के लिए हम दोनों पक्षों का वर्ग करते हैं: x² + (1)/(x²) = 9² - 2 = 81 - 2 = 79

x⁴ + (1)/(x⁴) का मान ज्ञात करने के लिए, हम व्यंजक x² + (1)/(x²) = 79 पर समान वर्ग करने का नियम लागू करते हैं: x⁴ + (1)/(x⁴) = (x² + (1)/(x²))² - 2 x⁴ + (1)/(x⁴) = 79² - 2

(80 - 1)² = 6400 - 160 + 1 = 6241 का उपयोग करके 79² की गणना करने पर, हमें प्राप्त होता है: x⁴ + (1)/(x⁴) = 6241 - 2 = 6239

व्याख्या

k का मान ज्ञात करने के लिए, हम कोष्ठकों और पदों को चरण-दर-चरण हल करके BODMAS नियम का उपयोग करके व्यंजक को सरल करते हैं। दिया गया समीकरण 13 - [10 - {16 + 8 ÷ (k - 2)} + 2] = 20 है।

वर्गाकार कोष्ठक (square bracket) वाले पद को अलग करने के लिए समीकरण को पुनर्व्यवस्थित करने पर: [10 - {16 + 8 ÷ (k - 2)} + 2] = 13 - 20 12 - {16 + 8 ÷ (k - 2)} = -7

इसके बाद, अचरों (constants) को स्थानांतरित करके हम मझले कोष्ठक (curly bracket) वाले व्यंजक को अलग करते हैं: -{16 + 8 ÷ (k - 2)} = -7 - 12 -{16 + 8 ÷ (k - 2)} = -19 16 + (8)/(k - 2) = 19

दोनों पक्षों से 16 घटाकर, हम चर वाले भिन्न को अलग करते हैं: (8)/(k - 2) = 19 - 16 (8)/(k - 2) = 3

अंत में, वज्र-गुणन (cross-multiplying) करके हम k का मान ज्ञात करते हैं: 8 = 3(k - 2) 8 = 3k - 6 3k = 14 k = ¹⁴⁄₃

व्याख्या

ब्याज की दर 12.5% प्रति वर्ष है, जो भिन्न ⅛ के बराबर है। 6 वर्षों की अवधि के लिए, कुल साधारण ब्याज SI को सूत्र SI = (P × R × T)/(100) का उपयोग करके मूलधन P के पदों में व्यक्त किया जा सकता है। मानों को प्रतिस्थापित करने पर, हमें SI = P × ⅛ × 6 = ¾P प्राप्त होता है।

प्रश्न के अनुसार, साधारण ब्याज मूलधन से ₹13,500 कम है, जिससे समीकरण P - SI = 13500 प्राप्त होता है। इस समीकरण में SI के स्थान पर ¾P प्रतिस्थापित करने पर P - ¾P = 13500 प्राप्त होता है। इसे सरल करने पर ¼P = 13500 प्राप्त होता है, जिसका अर्थ है मूलधन P = 13500 × 4 = 54000। साधारण ब्याज ज्ञात करने के लिए, हम SI = ¾ × 54000 की गणना करते हैं, जो 3 × 13500 = 40500 के बराबर है।

व्याख्या

csc 75° का मान ज्ञात करने के लिए, माना α = 45° और β = 30° है। आवश्यक त्रिकोणमितीय मान sec 45° = √2, sec 30° = 2/√3, csc 45° = √2, और csc 30° = 2 हैं। इन मानों को दी गई सर्वसमिका में रखने पर:

अंश: sec 45° × sec 30° × csc 45° × csc 30° = √2 × (2)/(√(3)) × √2 × 2 = (8)/(√(3))

हर: (sec 45° × csc 30°) + (csc 45° × sec 30°) = (√2 × 2) + (√2 × (2)/(√(3))) = 2√6 + 2√2{√3}

csc 75° का सूत्र इस प्रकार हो जाता है: 8/√3{(2√6 + 2√2)/√3} = (8)/(2√(6) + 22) = (4)/(√(6) + 2)

व्यंजक को सरल बनाने के लिए, अंश और हर को संयुग्मी (conjugate) √6 - √2 से गुणा करें: 4(√6 - √2){(√6 + √2)(√6 - √2)} = 4(√6 - √2){6 - 2} = 4(√6 - √2){4} = √6 - √2

व्याख्या

20वीं पारी में आवश्यक रनों की संख्या ज्ञात करने के लिए, हम इस सूत्र का उपयोग करते हैं: बनाए गए रन = n पारियों के बाद कुल रन - (n-1) पारियों के बाद कुल रन।

सबसे पहले, 19 पारियों में बनाए गए कुल रनों की गणना करें: कुल रन₁₉ = औसत × पारियां = 65 × 19 = 1235

इसके बाद, 67 का औसत प्राप्त करने के लिए 20 पारियों के बाद आवश्यक कुल रनों की गणना करें: कुल रन₂₀ = नया औसत × नई पारियां = 67 × 20 = 1340

20वीं पारी में बनाए जाने वाले रन इन दोनों योगों के बीच का अंतर है: 20वीं पारी में रन = 1340 - 1235 = 105

वैकल्पिक रूप से, विचलन विधि (deviation method) का उपयोग करते हुए, 20वीं पारी में नया औसत और पिछली 19 पारियों के लिए आवश्यक वृद्धि शामिल होनी चाहिए: रन = नया औसत + (पिछली पारियां × औसत में वृद्धि) रन = 67 + (19 × (67 - 65)) रन = 67 + (19 × 2) = 67 + 38 = 105

व्याख्या

एक घन का आयतन सूत्र V = s³ द्वारा निर्धारित किया जाता है, जहाँ s इसकी भुजा की लंबाई को दर्शाता है। पिघलाने और पुनः ढालने की प्रक्रिया में, सामग्री का कुल आयतन अपरिवर्तित (स्थिर) रहता है।

12 सेमी भुजा वाले बड़े धातु के घन के लिए, कुल आयतन है: V_कुल = 12³ = 1728 घन सेमी

यह आयतन तीन छोटे घनों में विभाजित होता है। क्रमशः 6 सेमी और 8 सेमी भुजाओं वाले पहले दो छोटे घनों के आयतन हैं: V₁ = 6³ = 216 घन सेमी V₂ = 8³ = 512 घन सेमी

मान लीजिए तीसरे घन की भुजा x है। आयतनों के बीच के संबंध को इस प्रकार व्यक्त किया जाता है: V_कुल = V₁ + V₂ + x³ 1728 = 216 + 512 + x³ 1728 = 728 + x³

दोनों पक्षों से 728 घटाने पर प्राप्त होता है: x³ = 1000 x = ³√(1000) = 10 सेमी

व्याख्या

पुलिसकर्मी द्वारा चोर को पकड़ने में लिया गया समय उनकी सापेक्ष गति और उनके बीच की प्रारंभिक दूरी द्वारा निर्धारित किया जाता है। माना Vₚ पुलिसकर्मी की गति है और Vₜ चोर की गति है।

सापेक्ष गति Vᵣₑₗ = Vₚ - Vₜ = 9 किमी/घंटा - 8 किमी/घंटा = 1 किमी/घंटा। प्रारंभिक दूरी 600 मीटर है, जो कि 0.6 किमी है।

इस दूरी को पाटने के लिए आवश्यक समय t की गणना इस प्रकार की जाती है: t = दूरी / Vᵣₑₗ = 0.6 किमी / 1 किमी/घंटा = 0.6 घंटे।

प्रारंभिक बिंदु से उस दूरी को ज्ञात करने के लिए जहाँ चोर पकड़ा जाता है, हम इस समय के दौरान पुलिसकर्मी द्वारा तय की गई कुल दूरी की गणना करते हैं: दूरी = Vₚ × t = 9 किमी/घंटा × 0.6 घंटे = 5.4 किमी।

व्याख्या

कुल क्रय मूल्य (CP) 3,600 रुपये है। कुल मिलाकर 27% का लाभ प्राप्त करने के लिए, लक्षित कुल विक्रय मूल्य (SP) की गणना इस प्रकार की जाती है: 3,600 × (1 + 0.27) = 4,572।

सेबों को चार बैचों में बेचा जाता है। मान लीजिए कि कुल मात्रा को 1 के रूप में दर्शाया गया है।

बैच 1: मात्रा 1/5 है। क्रय मूल्य (CP) = 3,600 / 5 = 720 है। 10% की हानि पर बेचा गया, इसलिए विक्रय मूल्य (SP) = 720 × 0.90 = 648 है।

बैच 2: मात्रा शेष 4/5 का 1/4 है, जो कुल मात्रा का 1/5 है। क्रय मूल्य (CP) 720 है। 5% की हानि पर बेचा गया, इसलिए विक्रय मूल्य (SP) = 720 × 0.95 = 684 है।

बैच 3: मात्रा शेष 3/5 का 2/3 है, जो कुल मात्रा का 2/5 है। क्रय मूल्य (CP) = 3,600 × (2/5) = 1,440 है। 15% के लाभ पर बेचा गया, इसलिए विक्रय मूल्य (SP) = 1,440 × 1.15 = 1,656 है।

बैच 4: शेष मात्रा = 1 - (1/5 + 1/5 + 2/5) = कुल मात्रा का 1/5 है। इस हिस्से का क्रय मूल्य (CP) 720 रुपये है।

पहले तीन बैचों के विक्रय मूल्यों का योग = 648 + 684 + 1,656 = 2,988 है। शेष सेबों के लिए आवश्यक विक्रय मूल्य ज्ञात करने के लिए, हम इस योग को लक्षित कुल विक्रय मूल्य (SP) में से घटाते हैं: 4,572 - 2,988 = 1,584।

व्याख्या

मान लीजिए कि M और W क्रमशः एक पुरुष और एक महिला की दैनिक कार्य कुशलता को दर्शाते हैं। चूंकि कुल कार्य स्थिर है, हम सूत्र कुल कार्य = (कुशलता × समय) का उपयोग करके दोनों परिदृश्यों में किए गए कुल कार्य को बराबर करते हैं। इस प्रकार, 8(4M + 6W) = 10(3M + 7W)।

समीकरण का विस्तार करने पर 32M + 48W = 30M + 70W प्राप्त होता है। M और W के बीच संबंध ज्ञात करने के लिए पदों को पुनर्व्यवस्थित करने पर, हमें 2M = 22W प्राप्त होता है, जो सरल होकर M = 11W हो जाता है। यह दर्शाता है कि एक पुरुष 11 महिलाओं के बराबर कुशल है।

महिलाओं की दैनिक कुशलता के संदर्भ में कुल कार्य ज्ञात करने के लिए, पहले कार्य समीकरण में M = 11W प्रतिस्थापित करें: कुल कार्य = 8(4(11W) + 6W) = 8(44W + 6W) = 8(50W) = 400W। 25 महिलाओं द्वारा कार्य को पूरा करने के लिए आवश्यक समय कुल कार्य को 25 महिलाओं की कुशलता से विभाजित करके निर्धारित किया जाता है: 400W / 25W = 16 दिन।

व्याख्या

शेषफल को मापांक अंकगणित (modular arithmetic) के गुणों का उपयोग करके ज्ञात किया जा सकता है। हमें (8⁸ + 6) 7 की गणना करने की आवश्यकता है।

सबसे पहले, पद 8⁸ 7 पर विचार करें। हम जानते हैं कि 8 = 7 + 1, जिसका अर्थ है: 8 ≡ 1 7

दोनों पक्षों की घात 8 करने पर: 8⁸ ≡ 1⁸ 7 8⁸ ≡ 1 7

अब, इस परिणाम को मूल व्यंजक में वापस प्रतिस्थापित करें: (8⁸ + 6) ≡ (1 + 6) 7 7 ≡ 0 7

चूंकि योग 7 के बराबर है, जो 7 से पूर्णतः विभाज्य है, इसलिए शेषफल 0 है।

व्याख्या

समीकरण को संतुष्ट करने वाले y का मान ज्ञात करने के लिए, हम संक्रियाओं के क्रम का पालन करते हुए सबसे आंतरिक भाग से बाहर की ओर हर (denominator) में मिश्रित भिन्न (nested fraction) को सरल करते हैं:

सबसे आंतरिक हर को सरल करने पर: 1 + (y)/(1 - y) = (1 - y + y)/(1 - y) = (1)/(1 - y)

इसे हर के अगले स्तर में वापस प्रतिस्थापित करने पर: 1 + (1)/(1){1 - y} = 1 + (1 - y) = 2 - y

अब, सरलीकृत हर को वापस मुख्य समीकरण में प्रतिस्थापित करने पर: (3y)/(2 - y) = 2

y के लिए हल करने पर: 3y = 2(2 - y) 3y = 4 - 2y 5y = 4 y = ⅘

यह मान विकल्प C (सूची में 4 5 के रूप में लिखा गया है) के संगत है।

व्याख्या

मानक भाग सूत्र के अनुसार, भाज्य = (भाजक × भागफल) + शेषफल होता है। यह दिया गया है कि शेषफल 39 है और भाजक, शेषफल का 6 गुना है, इसलिए हम भाजक की गणना इस प्रकार करते हैं: भाजक (D) = 6 × 39 = 234। प्रश्न में यह भी कहा गया है कि भाजक, भागफल का 13 गुना है, इसलिए 234 = 13 × Q (भागफल), जिससे भागफल Q = ²³⁴⁄₁₃ = 18 प्राप्त होता है। इन मानों को वापस भाग सूत्र में रखने पर, भाज्य की गणना (234 × 18) + 39 के रूप में की जाती है। चूंकि 234 × 18 = 4212 है, इसलिए शेषफल जोड़ने पर भाज्य = 4212 + 39 = 4251 प्राप्त होता है।

व्याख्या

सीकेंट (secant) और टेंजेंट (tangent) फलनों से संबंधित मूलभूत त्रिकोणमितीय सर्वसमिका को sec² α = 1 + tan² α के रूप में परिभाषित किया गया है। इस सूत्र में दिए गए मान tan α = 6 को प्रतिस्थापित करने पर, हमें sec² α = 1 + 6² प्राप्त होता है। वर्गों की गणना करने पर, हमें sec² α = 1 + 36 = 37 प्राप्त होता है। sec α का मान ज्ञात करने के लिए, हम दोनों पक्षों का वर्गमूल लेते हैं, जिसके परिणामस्वरूप sec α = √(37) प्राप्त होता है।

व्याख्या

y - (1)/(y) = 4 से y⁶ + (1)/(y⁶) का मान ज्ञात करने के लिए, हम मानक बीजगणितीय सर्वसमिकाओं का उपयोग करते हैं। सबसे पहले, दूसरी घात का मान ज्ञात करने के लिए दिए गए समीकरण का वर्ग करें: (y - (1)/(y))² = 4² ⟹ y² + (1)/(y²) - 2 = 16 ⟹ y² + (1)/(y²) = 18.

इसके बाद, छठी घात प्राप्त करने के लिए, हम y² + (1)/(y²) के व्यंजक का घन करते हैं। सर्वसमिका (x + ¹⁄ₓ)³ = x³ + (1)/(x³) + 3(x + ¹⁄ₓ) का उपयोग करके और x = y² मानकर: (y² + (1)/(y²))³ = y⁶ + (1)/(y⁶) + 3(y² + (1)/(y²)).

समीकरण में y² + (1)/(y²) = 18 का मान प्रतिस्थापित करने पर: 18³ = y⁶ + (1)/(y⁶) + 3(18) 5832 = y⁶ + (1)/(y⁶) + 54 y⁶ + (1)/(y⁶) = 5832 - 54 = 5778।

व्याख्या

एक चाप की लंबाई एक वृत्त की परिधि का भिन्नात्मक भाग होती है। चूंकि एक वृत्त की कुल परिधि सूत्र π × d (जहाँ d व्यास है) द्वारा दी जाती है और यह 360° के पूर्ण केंद्रीय कोण के संगत होती है, इसलिए किसी विशिष्ट चाप की लंबाई उसके द्वारा केंद्र पर अंतरित कोण के समानुपाती होती है। परिधि को चाप के केंद्रीय कोण और कुल संभावित कोण के अनुपात से गुणा करके, हम यह सूत्र प्राप्त करते हैं:

चाप की लंबाई = (केंद्र पर चाप का कोण)/(360°) × π × व्यास

यह गणना निर्दिष्ट केंद्रीय कोण के लिए वृत्त के घुमावदार किनारे के अनुदिश रैखिक दूरी को निर्धारित करती है।

व्याख्या

जब दो वस्तुएं एक ही समय पर चलना शुरू करती हैं और मिलती हैं या एक दूसरे को पकड़ती हैं, तो दोनों के लिए यात्रा का समय स्थिर रहता है। चूंकि दूरी = गति × समय, यदि समय स्थिर है, तो दूरी सीधे गति के समानुपाती होती है (D ∝ V)।

पुलिसकर्मी और चोर की गति का अनुपात Vₚ : Vₜ = 18 : 16 है, जो सरल होकर 9 : 8 हो जाता है। परिणामस्वरूप, पुलिसकर्मी और चोर द्वारा तय की गई दूरी का अनुपात भी Dₚ : Dₜ = 9 : 8 है।

पुलिसकर्मी और चोर द्वारा तय की गई दूरी का अंतर 400 मीटर की प्रारंभिक बढ़त के बराबर होना चाहिए। अनुपात में, यह अंतर 9 - 8 = 1 इकाई है। इस अंतर को वास्तविक दूरी के बराबर रखने पर: 1 इकाई = 400 मीटर

चोर द्वारा तय की गई दूरी अनुपात में 8 इकाइयों के अनुरूप है। इसलिए: दूरी = 8 × 400 मीटर = 3200 मीटर

व्याख्या

माना पुरुषों की प्रारंभिक संख्या x है। किया जाने वाला कुल कार्य पुरुषों की संख्या और समय का गुणनफल है, जो कि 13x पुरुष-दिवस (man-days) है। वास्तविक परिस्थितियों में, प्रत्येक दिन कार्य करने वाले पुरुषों की संख्या एक समांतर श्रेणी (arithmetic progression) बनाती है क्योंकि 16 दिनों तक प्रत्येक दिन 9 पुरुष काम छोड़ देते हैं। 16 दिनों के लिए श्रमिकों का दैनिक अनुक्रम x, (x-9), (x-18), … है।

एक समांतर श्रेणी का योग सूत्र Sₙ = ⁿ⁄₂ [2a + (n-1)d] द्वारा दिया जाता है। यहाँ, n = 16 दिन, पहला पद a = x, और सार्व अंतर (common difference) d = -9 है। हम इस श्रेणी के योग को आवश्यक कुल कार्य के बराबर रखते हैं:

13x = ¹⁶⁄₂ [2x + (16 - 1)(-9)] 13x = 8 [2x + 15(-9)] 13x = 8 [2x - 135] 13x = 16x - 1080

x का मान ज्ञात करने के लिए समीकरण को पुनर्व्यवस्थित करने पर: 16x - 13x = 1080 3x = 1080 x = ¹⁰⁸⁰⁄₃ x = 360

व्याख्या

a% और b% की दो क्रमिक छूटों के लिए समतुल्य छूट की गणना सूत्र (a + b - ᵃᵇ⁄₁₀₀)% का उपयोग करके की जाती है। इस मामले में, दो क्रमिक छूटें 36% और 4% हैं, इसलिए उनकी प्रभावी कुल छूट (36 + 4 - (36 × 4)/(100))% है, जो सरल होकर (40 - ¹⁴⁴⁄₁₀₀)% = 40% - 1.44% = 38.56% हो जाती है।

40% की एकल छूट और 38.56% की क्रमिक छूटों के बीच का अंतर ठीक ᵃᵇ⁄₁₀₀% पद है। इसलिए, प्रतिशत में अंतर (36 × 4)/(100)% = 1.44% है। मौद्रिक अंतर ज्ञात करने के लिए, हम ₹50,000 की बिल राशि का 1.44% ज्ञात करते हैं।

अंतर = 50000 × (1.44)/(100) = 500 × 1.44 = 720

व्याख्या

दो लोगों द्वारा मिलकर काम करने में लगने वाला समय उनके व्यक्तिगत समय से दर समीकरण (1)/(T_एक_साथ) = (1)/(T_राजू) + (1)/(T_रजत) के माध्यम से संबंधित होता है। यह देखते हुए कि राजू और रजत मिलकर 5 दिन लेते हैं और राजू अकेला 7 दिन लेता है, समीकरण ⅕ = ⅐ + (1)/(T_रजत) हो जाता है। रजत की कार्य दर ज्ञात करने के लिए इसे पुनर्व्यवस्थित करने पर (1)/(T_रजत) = ⅕ - ⅐ प्राप्त होता है। 35 के सामान्य हर (common denominator) के साथ गणना करने पर (1)/(T_रजत) = (7 - 5)/(35) = ²⁄₃₅ प्राप्त होता है। इसलिए, रजत द्वारा लिया गया समय उसकी दर का व्युत्क्रम (reciprocal) है, जो कि ³⁵⁄₂ = 17.5 दिन है।

इसे कार्यक्षमता (efficiency) विधि का उपयोग करके भी जल्दी हल किया जा सकता है, जिसमें कुल कार्य को 35 इकाई (units) माना जाता है, जो 5 और 7 का लघुत्तम समापवर्त्य (LCM) है। राजू और रजत की संयुक्त कार्यक्षमता 35 / 5 = 7 इकाई प्रति दिन है। राजू की व्यक्तिगत कार्यक्षमता 35 / 7 = 5 इकाई प्रति दिन है। संयुक्त कार्यक्षमता में से राजू की कार्यक्षमता को घटाने पर, रजत की कार्यक्षमता 7 - 5 = 2 इकाई प्रति दिन प्राप्त होती है। कुल कार्य को रजत की कार्यक्षमता से विभाजित करने पर 35 / 2 = 17.5 दिन प्राप्त होते हैं।

व्याख्या

माना कुल टॉफियों की संख्या x है। बर्बाद हुई टॉफियों की संख्या ⅒x या 0.1x है। N को दी गई टॉफियों की संख्या ⅛x या 0.125x है। दी गई शर्त के अनुसार, N के पास टॉफियां, बर्बाद हुई टॉफियों से 10 अधिक हैं, जिससे निम्नलिखित समीकरण प्राप्त होता है:

0.125x = 0.1x + 10 0.025x = 10 x = (10)/(0.025) = 400

कुल टॉफियों की संख्या 400 है। बर्बादी के बाद शेष टॉफियां x - 0.1x = 0.9x हैं, जो कि 0.9 × 400 = 360 है। S को दी गई टॉफियां इस शेषफल का 35% हैं:

S = ³⁵⁄₁₀₀ × 360 = 0.35 × 360 = 126

व्याख्या

लंबाई L = 150 मीटर और चौड़ाई W = 80 मीटर वाले एक आयताकार मैदान के परिमाप P की गणना सूत्र P = 2(L + W) का उपयोग करके की जाती है। दिए गए मानों को रखने पर, P = 2(150 + 80) = 2 × 230 = 460 मीटर। विकर्ण D का निर्धारण पाइथागोरस प्रमेय, D = √(L² + W²) का उपयोग करके किया जाता है। इस मैदान के लिए, D = √(150² + 80²) = √(22500 + 6400) = √(28900) = 170 मीटर। यह ज्ञात करने के लिए कि परिमाप विकर्ण का कितना गुना है, हम परिमाप को विकर्ण से विभाजित करते हैं: 460 / 170 = 46 / 17 ≈ 2.7058। इस परिणाम को दशमलव के एक स्थान तक पूर्णांकित करने पर 2.7 प्राप्त होता है।

व्याख्या

दो वृत्तों के बीच उभयनिष्ठ अनुप्रस्थ स्पर्श रेखा की लंबाई, त्रिज्याओं की ज्यामिति और केंद्रों के बीच की दूरी पर विचार करके निर्धारित की जाती है। O₁, O₂ केंद्रों और r₁, r₂ त्रिज्याओं वाले वृत्तों के लिए, अनुप्रस्थ स्पर्श रेखा खंड स्पर्श बिंदुओं पर त्रिज्याओं पर लंबवत होते हैं। यदि हम स्पर्श रेखा खंड को इस प्रकार स्थानांतरित करके एक समकोण त्रिभुज बनाते हैं कि यह केंद्रों को मिलाने वाली रेखा के साथ एक त्रिभुज बनाता है, तो इस त्रिभुज का कर्ण दूरी d होती है। चूंकि केंद्र अनुप्रस्थ स्पर्श रेखा के विपरीत पक्षों पर होते हैं, इसलिए इस समकोण त्रिभुज की दूसरी भुजा त्रिज्याओं का योग, r₁ + r₂ होती है। पाइथागोरस प्रमेय के अनुसार, स्पर्श रेखा की लंबाई L, समीकरण L² + (r₁ + r₂)² = d² द्वारा अन्य भुजाओं से संबंधित होती है। L के लिए हल करने पर सूत्र √(d² - (r₁ + r₂)²) प्राप्त होता है।

व्याख्या

दिए गए समीकरण cot A = 1 से, कोण A = 45° है क्योंकि cot 45° = 1 है। sin B = (1)/(√(2)) से, कोण B = 45° है क्योंकि sin 45° = (1)/(√(2)) है।

इन कोणों का योग है: A + B = 45° + 45° = 90°

इस योग को वांछित व्यंजक में प्रतिस्थापित करने पर: sin (A + B) - cot (A + B) = sin 90° - cot 90°

ज्ञात त्रिकोणमितीय मानों sin 90° = 1 और cot 90° = 0 का उपयोग करने पर: 1 - 0 = 1

व्याख्या

दिए गए समीकरण x² - 15x + 1 = 0 से, हम इसे x² + 1 = 15x के रूप में पुनर्व्यवस्थित कर सकते हैं। दोनों पक्षों को x से विभाजित करने पर x + ¹⁄ₓ = 15 प्राप्त होता है। इस समीकरण के दोनों पक्षों का वर्ग करने पर (x + ¹⁄ₓ)² = 15² प्राप्त होता है, जिसका विस्तार करने पर x² + 2 + (1)/(x²) = 225 प्राप्त होता है। दोनों पक्षों से 2 घटाने पर x² + (1)/(x²) = 223 प्राप्त होता है।

वांछित व्यंजक का मान ज्ञात करने के लिए, हम संबंध x² + (1)/(x²) = 223 को x² से गुणा कर सकते हैं, जिससे x⁴ + 1 = 223x² प्राप्त होता है। इस समीकरण को x⁴ - 223x² = -1 के रूप में पुनर्व्यवस्थित किया जा सकता है। इसे लक्षित व्यंजक में प्रतिस्थापित करने पर: x⁴ - 223x² + 6 = -1 + 6 = 5

व्याख्या

माना दो संख्याएँ x और y हैं। दिया गया है कि (x + y)³ = 1728, हम घनमूल लेकर योग ज्ञात करते हैं: x + y = ³√(1728) = 12। गुणनफल xy, 32 दिया गया है।

उनके घनों के बीच का अंतर, x³ - y³, ज्ञात करने के लिए, हम सबसे पहले सर्वसमिका (x - y)² = (x + y)² - 4xy का उपयोग करके संख्याओं के बीच का अंतर ज्ञात करते हैं। मानों को प्रतिस्थापित करने पर, हमें प्राप्त होता है: (x - y)² = 12² - 4(32) = 144 - 128 = 16। वर्गमूल लेने पर x - y = 4 प्राप्त होता है।

घनों के बीच के धनात्मक अंतर की गणना बीजगणितीय सर्वसमिका x³ - y³ = (x - y)((x - y)² + 3xy) का उपयोग करके की जाती है। सूत्र में मानों को प्रतिस्थापित करने पर प्राप्त होता है: 4 × (16 + 3 × 32) = 4 × (16 + 96) = 4 × 112 = 448।

व्याख्या

व्यंजक (x² - 2x - 63)/(x² + 14x + 49) को सरल करने के लिए, अंश और हर दोनों का गुणनखंडन कीजिए।

अंश एक द्विघात व्यंजक x² - 2x - 63 है। इसका गुणनखंड करने के लिए, ऐसी दो संख्याएँ ज्ञात कीजिए जिनका गुणनफल -63 और योग -2 हो। ये संख्याएँ -9 और 7 हैं। इसलिए, अंश को इस प्रकार लिखा जा सकता है: x² - 2x - 63 = (x - 9)(x + 7)

हर x² + 14x + 49 है, जो बीजीय सर्वसमिका a² + 2ab + b² = (a + b)² का अनुसरण करता है। यहाँ, a = x और b = 7 है, इसलिए हर का गुणनखंड इस प्रकार होगा: x² + 2(7)(x) + 7² = (x + 7)²

इन गुणनखंडित रूपों को मूल व्यंजक में वापस प्रतिस्थापित करने पर: ((x - 9)(x + 7))/((x + 7)(x + 7))

अंश और हर दोनों से उभयनिष्ठ गुणनखंड (x + 7) को निरस्त (cancel) करने पर, व्यंजक सरल होकर निम्न रूप में आ जाता है: (x - 9)/(x + 7)

व्याख्या

व्यंजक √((1 + cosθ)/(1 - cosθ)) को सरल करने के लिए, वर्गमूल के अंदर अंश और हर को हर के संयुग्मी (conjugate) से गुणा करें, जो कि 1 + cosθ है। यह प्रक्रिया व्यंजक का परिमेयकरण करती है:

√((1 + cosθ)/(1 - cosθ) × (1 + cosθ)/(1 + cosθ)) = √(((1 + cosθ)²)/(1 - cos²θ))

मूलभूत त्रिकोणमितीय सर्वसमिका sin²θ + cos²θ = 1 का उपयोग करने पर, हर 1 - cos²θ सरल होकर sin²θ हो जाता है। इसे वापस व्यंजक में प्रतिस्थापित करने पर:

√(((1 + cosθ)²)/(sin²θ)) = (1 + cosθ)/(sinθ)

हर को विभाजित करने पर, व्यंजक को दो अलग-अलग भिन्नों के योग के रूप में लिखा जा सकता है:

(1)/(sinθ) + (cosθ)/(sinθ)

व्युत्क्रम सर्वसमिका cscθ = (1)/(sinθ) और भागफल सर्वसमिका cotθ = (cosθ)/(sinθ) को लागू करने पर, अंतिम सरल रूप cscθ + cotθ प्राप्त होता है।

व्याख्या

x% और y% की दो क्रमिक छूटों के लिए प्रभावी छूट की गणना सूत्र x + y - ˣʸ⁄₁₀₀ का उपयोग करके की जाती है। प्रत्येक 30% की दो क्रमिक छूटों के लिए, समतुल्य एकल छूट 30 + 30 - (30 × 30)/(100) = 60 - 9 = 51% है। उल्लेखित दूसरी छूट 40% की एकल छूट है। इन दोनों छूट प्रतिशतों के बीच का अंतर 51% - 40% = 11% है। यह देखते हुए कि छूट की राशियों में संख्यात्मक अंतर ₹220 है, हम बिल की राशि को B के रूप में निरूपित कर सकते हैं और समीकरण ¹¹⁄₁₀₀ × B = 220 बना सकते हैं। B के लिए हल करने पर, हमें B = (220 × 100)/(11) प्राप्त होता है, जो सरल होकर 20 × 100 = 2000 हो जाता है।