एसएससी सीजीएल टियर 1 2023 मात्रात्मक अभिक्षमता प्रश्न — हल सहित

व्याख्या

व्यंजक (4x + 1)² - (4x + 3)(4x - 1) को सरल करने के लिए, हम मानक बीजगणितीय सर्वसमिकाओं का उपयोग करके प्रत्येक भाग का विस्तार करते हैं।

व्यंजक के पहले भाग में सर्वसमिका (a + b)² = a² + 2ab + b² लागू करने पर: (4x + 1)² = (4x)² + 2(4x)(1) + (1)² = 16x² + 8x + 1

इसके बाद, हम वितरण गुणधर्म (distributive property) का उपयोग करके दूसरे भाग में दो द्विपदों (binomials) के गुणनफल का विस्तार करते हैं: (4x + 3)(4x - 1) = (4x · 4x) + (4x · -1) + (3 · 4x) + (3 · -1) = 16x² - 4x + 12x - 3 = 16x² + 8x - 3

अब, हम इन विस्तारित रूपों को मूल व्यंजक में वापस प्रतिस्थापित करते हैं और घटाते हैं: (16x² + 8x + 1) - (16x² + 8x - 3) = 16x² + 8x + 1 - 16x² - 8x + 3

समान पदों को समूहीकृत करने और निरस्त (cancel) करने पर: (16x² - 16x²) + (8x - 8x) + (1 + 3) = 0 + 0 + 4 = 4

व्याख्या

किसी त्रिभुज का केंद्रक G प्रत्येक माध्यिका को शीर्ष से विपरीत भुजा के मध्य-बिंदु तक 2:1 के अनुपात में विभाजित करता है। △ ABC में, चूंकि D, BC का मध्य-बिंदु है, इसलिए AD माध्यिका है। माध्यिका के खंडों के बीच का संबंध सूत्र AG : GD = 2 : 1 द्वारा दिया गया है।

माध्यिका AD की कुल लंबाई को इस प्रकार व्यक्त किया जा सकता है: AD = AG + GD

अनुपात AG = 2 × GD प्रतिस्थापित करने पर: AD = 2 × GD + GD = 3 × GD

यह देखते हुए कि GD = 10 सेमी है, AD की लंबाई है: AD = 3 × 10 सेमी = 30 सेमी

व्याख्या

x + ¹⁄ₓ = 2√2 से x⁶ + (1)/(x⁶) का मान ज्ञात करने के लिए, हम बीजगणितीय सर्वसमिका का उपयोग करते हैं, जहाँ यदि x + ¹⁄ₓ = k है, तो x² + (1)/(x²) = k² - 2 होता है।

k = 2√2 प्रतिस्थापित करने पर:

x² + (1)/(x²) = (2√2)² - 2 = 8 - 2 = 6

अब, हम इसका घन (cube) ज्ञात करने के लिए x² को एक एकल चर (single variable) के रूप में मानते हैं, उस सर्वसमिका का उपयोग करते हुए जहाँ यदि a + ¹⁄ₐ = m है, तो a³ + (1)/(a³) = m³ - 3m होता है। यहाँ, माना a = x² और m = 6:

(x²)³ + (1)/((x²)³) = 6³ - 3(6)

x⁶ + (1)/(x⁶) = 216 - 18 = 198

वैकल्पिक रूप से, प्रारंभिक पद का घन करने पर x³ + (1)/(x³) = (2√2)³ - 3(2√2) = 16√2 - 6√2 = 10√2 प्राप्त होता है। इस परिणाम का वर्ग करने पर (10√2)² - 2 = 200 - 2 = 198 प्राप्त होता है।

व्याख्या

मान लीजिए कि टंकी की क्षमता भरने के समय का लघुत्तम समापवर्त्य (LCM) है, जो कि LCM(30, 50) = 150 इकाई है। भरने वाले पाइप की कार्यक्षमता 150 / 30 = 5 इकाई प्रति घंटा है। जब रिसाव भी कार्य कर रहा हो, तो पाइप और रिसाव की संयुक्त कार्यक्षमता 150 / 50 = 3 इकाई प्रति घंटा होती है।

रिसाव की कार्यक्षमता की गणना संयुक्त कार्यक्षमता में से भरने वाले पाइप की कार्यक्षमता को घटाकर की जाती है: 3 - 5 = -2 इकाई प्रति घंटा। ऋणात्मक चिह्न यह दर्शाता है कि रिसाव टंकी को खाली करता है। 150 इकाइयों की पूरी टंकी को खाली करने के लिए रिसाव द्वारा लिए जाने वाले समय को ज्ञात करने के लिए, हम कुल क्षमता को रिसाव की कार्यक्षमता से विभाजित करते हैं: 150 / 2 = 75 घंटे।

व्याख्या

जब दो व्यक्ति अलग-अलग गतियों से समान दूरी तय करते हैं, तो दूरी की गणना सूत्र D = (s₁ × s₂)/(s₂ - s₁) × Δ t का उपयोग करके की जा सकती है, जहाँ s₁ और s₂ गतियाँ हैं और Δ t लिए गए समय का अंतर है।

दिया गया है s₁ = 9 किमी/घंटा और s₂ = 12 किमी/घंटा, समय का अंतर 20 मिनट है। चूँकि गतियाँ किमी/घंटा में हैं, इसलिए समय को घंटे में बदलें: Δ t = ²⁰⁄₆₀ = ⅓ घंटा।

इन मानों को सूत्र में रखने पर: D = (9 × 12)/(12 - 9) × ⅓ D = ¹⁰⁸⁄₃ × ⅓ D = 36 × ⅓ D = 12 किमी

वैकल्पिक रूप से, इस अवधारणा का उपयोग करते हुए कि एक निश्चित दूरी के लिए समय गति के व्युत्क्रमानुपाती होता है, गतियों का अनुपात 9:12 या 3:4 है। इसलिए, लिए गए समय का अनुपात 4:3 है। अनुपात इकाइयों में अंतर 1 इकाई है, जो 20 मिनट के बराबर है। इस प्रकार, दूसरे पुरुष को यात्रा पूरी करने में 3 × 20 = 60 मिनट (1 घंटा) का समय लगता है। दूरी = गति × समय = 12 किमी/घंटा × 1 घंटा = 12 किमी।

व्याख्या

विपरीत दिशाओं में दौड़ते समय एक वृत्ताकार ट्रैक पर पहली बार मिलने के लिए दो व्यक्तियों द्वारा लिया गया समय सूत्र T = (L)/(v₁ + v₂) द्वारा दिया जाता है, जहाँ L ट्रैक की लंबाई है और v₁, v₂ उनकी क्रमशः गतियाँ हैं।

सबसे पहले, परिवर्तन कारक ⁵⁄₁₈ का उपयोग करके गतियों को किमी/घंटा से मीटर/सेकंड में बदलें: X की गति: v₁ = 54 × ⁵⁄₁₈ = 15 मीटर/सेकंड Y की गति: v₂ = 63 × ⁵⁄₁₈ = 17.5 मीटर/सेकंड

विपरीत दिशा में सापेक्ष गति दोनों की अलग-अलग गतियों का योग होती है: vᵣₑₗ = 15 + 17.5 = 32.5 मीटर/सेकंड

समय के सूत्र में मान रखने पर: T = (4225)/(32.5) = ⁴²²⁵⁰⁄₃₂₅

भाग की गणना करने पर: 325 × 100 = 32500 42250 - 32500 = 9750 325 × 30 = 9750 T = 100 + 30 = 130 सेकंड

व्याख्या

मोनिका, अनीता और मंजू द्वारा एक साथ मिलकर कार्य को पूरा करने में लिया गया कुल समय T, संयुक्त कार्य दरों के सूत्र का उपयोग करके ज्ञात किया जाता है:

1/T = 1/T₁ + 1/T₂ + 1/T₃

जहाँ T₁, T₂ और T₃ प्रत्येक व्यक्ति द्वारा अकेले कार्य करने में लिया गया व्यक्तिगत समय है। सूत्र में दिए गए मानों को रखने पर:

1/T = 1/6 + 1/8 + 1/5

इसे हल करने के लिए, हरों 6, 8 और 5 का लघुत्तम समापवर्त्य (LCM) ज्ञात करें, जो कि 120 है। भिन्नों को इस समान हर में बदलें:

1/T = (20 + 15 + 24) / 120 = 59 / 120

समय T ज्ञात करने के लिए, कुल दर का व्युत्क्रम (reciprocal) लें:

T = 120 / 59 घंटे

इस अनुचित भिन्न (improper fraction) को मिश्रित भिन्न (mixed fraction) में बदलने पर:

120 = 59 × 2 + 2

T = 2 ²⁄₅₉ घंटे

व्याख्या

दी गई छूट, अंकित मूल्य और विक्रय मूल्य के बीच का अंतर है। सूत्र का उपयोग करने पर:

छूट = अंकित मूल्य - विक्रय मूल्य छूट = 15000 - 13500 = 1500

छूट की दर की गणना अंकित मूल्य के प्रतिशत के रूप में की जाती है:

छूट की दर = ((छूट)/(अंकित मूल्य)) × 100 छूट की दर = (¹⁵⁰⁰⁄₁₅₀₀₀) × 100 = ⅒ × 100 = 10%

व्याख्या

Q द्वारा कार्य को पूरा करने में लिया गया समय कार्य दर सूत्र (1)/(T_P₊_Q₎ = (1)/(T_P₎ + (1)/(T_Q₎ का उपयोग करके निर्धारित किया जा सकता है, जहाँ T_P₊_Q दोनों के मिलकर कार्य करने का समय है और T_P तथा T_Q उनके व्यक्तिगत समय हैं। दिए गए मानों T_P₊_Q = 6 और T_P = 18 को प्रतिस्थापित करने पर ⅙ = ¹⁄₁₈ + (1)/(T_Q₎ प्राप्त होता है। T_Q के लिए हल करने पर (1)/(T_Q₎ = ⅙ - ¹⁄₁₈ प्राप्त होता है। 18 को उभयनिष्ठ हर (common denominator) के रूप में उपयोग करने पर, समीकरण (1)/(T_Q₎ = (3 - 1)/(18) = ²⁄₁₈ = ⅑ हो जाता है। व्युत्क्रम (reciprocal) लेने पर, T_Q = 9 दिन।

वैकल्पिक रूप से, कार्यक्षमता विधि (efficiency method) का उपयोग करते हुए, मान लें कि कुल कार्य दी गई समय अवधियों का लघुत्तम समापवर्त्य (LCM) है, LCM(6, 18) = 18 इकाई। P और Q की संयुक्त कार्यक्षमता 18 / 6 = 3 इकाई प्रति दिन है, और P की व्यक्तिगत कार्यक्षमता 18 / 18 = 1 इकाई प्रति दिन है। Q की कार्यक्षमता की गणना संयुक्त कार्यक्षमता और P की कार्यक्षमता के बीच के अंतर के रूप में की जाती है, जो कि 3 - 1 = 2 इकाई प्रति दिन है। Q को अकेले 18 इकाई का कुल कार्य पूरा करने के लिए आवश्यक समय 18 / 2 = 9 दिन है।

व्याख्या

व्यंजक tan 5° tan 25° tan 45° tan 65° tan 85° को त्रिकोणमितीय सर्वसमिका tan θ · tan(90° - θ) = 1 का उपयोग करके हल किया जा सकता है, जो tan(90° - θ) = cot θ और इस तथ्य से प्राप्त होता है कि tan θ · cot θ = 1।

पदों को पूरक कोणों के साथ युग्मित करने पर, हम देखते हैं कि 5° + 85° = 90° और 25° + 65° = 90° है। इससे हमें tan 5° · tan 85° = 1 और tan 25° · tan 65° = 1 प्राप्त होता है। मानक मान tan 45° = 1 के साथ इन मानों को गुणनफल में प्रतिस्थापित करने पर, व्यंजक (1) · (1) · (1) = 1 हो जाता है।

व्याख्या

माना नामांकित मतदाताओं की कुल संख्या x है। प्रश्न के अनुसार, 10% ने मतदान नहीं किया, इसलिए 90% मतदाताओं ने अपने मत डाले। इनमें से 10% मत अवैध थे, जिससे डाले गए मतों का 90% वैध हो गया।

कुल वैध मत = x × (90/100) × (90/100) = 0.81x

विजेता को वैध मतों का 56% प्राप्त हुआ, जिसका अर्थ है कि हारने वाले को वैध मतों का 100% - 56% = 44% प्राप्त हुआ। जीत का अंतर इन हिस्सों के बीच का अंतर है:

अंतर = वैध मतों का (56% - 44%) = 0.81x का 12%

इसे दिए गए 1,458 मतों के अंतर के बराबर रखने पर: (12/100) × 0.81x = 1,458 x = (1,458 × 100 × 100) / (12 × 81)

1,458 को 81 से विभाजित करने पर 18 प्राप्त होता है। x = (18 × 10,000) / 12 x = 1.5 × 10,000 = 15,000

व्याख्या

सफेदी किए जाने वाले कुल क्षेत्रफल में चारों दीवारों का क्षेत्रफल और छत का क्षेत्रफल शामिल है। चारों दीवारों का क्षेत्रफल पार्श्व पृष्ठीय क्षेत्रफल के सूत्र 2h(l + b) द्वारा दिया जाता है, जहाँ l, b, और h क्रमशः कमरे की लंबाई, चौड़ाई और ऊंचाई हैं। छत का क्षेत्रफल l × b है।

दिए गए आयामों को प्रतिस्थापित करने पर: कुल क्षेत्रफल = 2 × 6 × (10 + 8) + (10 × 8) कुल क्षेत्रफल = 12 × 18 + 80 कुल क्षेत्रफल = 216 + 80 = 296 वर्ग मीटर

सफेदी कराने की लागत की गणना कुल क्षेत्रफल को ₹7.50 प्रति वर्ग मीटर की दर से गुणा करके की जाती है: कुल लागत = 296 × 7.50 कुल लागत = 296 × ¹⁵⁄₂ कुल लागत = 148 × 15 = 2,220

गणना 148 × 10 = 1,480 और 148 × 5 = 740 का योग ₹2,220 होता है।

व्याख्या

व्यंजक sin (A + B) = sin A cos B + cos A sin B त्रिकोणमिति में एक मूलभूत संयुक्त कोण सर्वसमिका (compound angle identity) है। यह सूत्र दो कोणों के योग के sine को व्यक्तिगत कोणों के sine और cosine वाले पदों में विस्तारित करने की अनुमति देता है। इसे समकोण त्रिभुजों के ज्यामितीय गुणों का उपयोग करके या यूलर के सूत्र (Euler's formula) के माध्यम से प्राप्त किया जाता है, जो यह बताता है कि eⁱ⁽^A⁺^B⁾ = cos(A+B) + isin(A+B) है। eⁱ^A · eⁱ^B = (cos A + i sin A)(cos B + i sin B) का विस्तार करके और काल्पनिक भागों (imaginary parts) की तुलना करने पर, हमें सर्वसमिका sin (A + B) = sin A cos B + cos A sin B प्राप्त होती है।

व्याख्या

वृत्त की स्पर्श रेखा को एक ऐसी रेखा के रूप में परिभाषित किया जाता है जो वृत्त को ठीक एक बिंदु पर स्पर्श करती है। इसके विपरीत, एक रेखा जो वृत्त को दो भिन्न बिंदुओं पर प्रतिच्छेद करती है, उसे छेदक रेखा के रूप में जाना जाता है। गणितीय रूप से, जैसे-जैसे एक छेदक रेखा के दो प्रतिच्छेदन बिंदु एक-दूसरे के करीब आते हैं और अंततः संपाती हो जाते हैं, छेदक रेखा एक स्पर्श रेखा बन जाती है। चूंकि कथन दो भिन्न बिंदुओं से गुजरने वाली रेखा को छेदक रेखा के बजाय स्पर्श रेखा के रूप में परिभाषित करता है, इसलिए यह ज्यामितीय रूप से असत्य है।

व्याख्या

कुल कार्य की गणना सूत्र W = E × H × D का उपयोग करके की जाती है, जहाँ E कार्यक्षमता को दर्शाता है, H प्रतिदिन कार्य किए गए घंटों की संख्या है, और D कुल दिनों की संख्या है। यह देखते हुए कि A की कार्यक्षमता B की कार्यक्षमता से दोगुनी है, हम मान सकते हैं कि A की कार्यक्षमता 2 है और B की कार्यक्षमता 1 है।

कुल कार्य A के मापदंडों से प्राप्त किया जाता है: W = 2 × 8 × 12 = 192 इकाइयाँ

चूंकि B को समान 192 इकाइयों का कार्य पूरा करना है, इसलिए हम दिनों की संख्या D ज्ञात करने के लिए कार्य सूत्र में B की कार्यक्षमता और दैनिक घंटों का मान रखते हैं: 1 × 12 × D = 192 12D = 192 D = ¹⁹²⁄₁₂ = 16

व्याख्या

जब दो व्यक्ति P और Q, L लंबाई के एक वृत्ताकार पथ पर एक ही दिशा में क्रमशः vₚ और v_q गति से दौड़ते हैं, तो पथ पर भिन्न मिलने वाले बिंदुओं की संख्या सूत्र N = |x - y| द्वारा दी जाती है, जहाँ x:y उनकी गतियों का सरलीकृत अनुपात है जैसे कि gcd(x, y) = 1।

इस समस्या में, P की गति 6 मीटर/सेकंड है और Q की गति b मीटर/सेकंड है। हमें दिया गया है कि वे एक-दूसरे को ठीक दो बिंदुओं पर पार करते हैं, इसलिए |x - y| = 2। चूंकि b, 6 से छोटी एक प्राकृतिक संख्या है (b ∈ {1, 2, 3, 4, 5}), हम प्रत्येक स्थिति का मूल्यांकन करते हैं:

यदि b = 1 है, तो गति का अनुपात 6:1 है। मिलने वाले बिंदुओं की संख्या |6 - 1| = 5 है। यदि b = 2 है, तो गति का अनुपात 6:2 है, जो सरल होकर 3:1 हो जाता है। मिलने वाले बिंदुओं की संख्या |3 - 1| = 2 है। यदि b = 3 है, तो गति का अनुपात 6:3 है, जो सरल होकर 2:1 हो जाता है। मिलने वाले बिंदुओं की संख्या |2 - 1| = 1 है। यदि b = 4 है, तो गति का अनुपात 6:4 है, जो सरल होकर 3:2 हो जाता है। मिलने वाले बिंदुओं की संख्या |3 - 2| = 1 है। यदि b = 5 है, तो गति का अनुपात 6:5 है। मिलने वाले बिंदुओं की संख्या |6 - 5| = 1 है।

केवल b = 2 का मान ही ठीक दो मिलने वाले बिंदुओं की शर्त को संतुष्ट करता है। इसलिए, b केवल ऐसा 1 मान ले सकता है।

व्याख्या

एक बेईमान व्यापारी, जो क्रय मूल्य पर सामान बेचता है लेकिन गलत वजन का उपयोग करता है, से संबंधित समस्याओं में, लाभ प्रतिशत की गणना निम्नलिखित सूत्र का उपयोग करके की जाती है:

लाभ % = (त्रुटि)/(वास्तविक मान - त्रुटि) × 100

वैकल्पिक रूप से, इसे बचाए गए वजन और ग्राहक को दिए गए वास्तविक वजन के अनुपात के रूप में व्यक्त किया जा सकता है:

लाभ % = (बचाया गया वजन)/(बेचा गया वास्तविक वजन) × 100

इस मामले में, वास्तविक वजन 1 किग्रा (1000 ग्राम) है और व्यापारी 950 ग्राम का उपयोग करता है। बचाया गया वजन (त्रुटि) 1000 - 950 = 50 ग्राम है। इन मानों को सूत्र में रखने पर:

लाभ % = ⁵⁰⁄₉₅₀ × 100

लाभ % = ⁵⁄₉₅ × 100 = ¹⁄₁₉ × 100

लाभ % = 5.2631...

दशमलव के दो स्थानों तक पूर्णांकित करने पर, लाभ प्रतिशत 5.26% है।

व्याख्या

विक्रय मूल्य का निर्धारण सूची मूल्य पर क्रमिक छूट लागू करके किया जाता है। कई छूटों के बाद अंतिम विक्रय मूल्य का सूत्र है: SP = LP × (1 - (d₁)/(100)) × (1 - (d₂)/(100))

दिया गया है: सूची मूल्य LP = 1200, व्यापारिक छूट d₁ = 20%, और नकद छूट d₂ = 30%, गणना इस प्रकार है:

SP = 1200 × (1 - ²⁰⁄₁₀₀) × (1 - ³⁰⁄₁₀₀) SP = 1200 × ⁸⁰⁄₁₀₀ × ⁷⁰⁄₁₀₀ SP = 1200 × 0.8 × 0.7 SP = 960 × 0.7 SP = 672

वैकल्पिक रूप से, प्रभावी एकल छूट की गणना सूत्र D = d₁ + d₂ - (d₁ × d₂)/(100) का उपयोग करके की जा सकती है। मानों को प्रतिस्थापित करने पर: 20 + 30 - (20 × 30)/(100) = 50 - 6 = 44% प्राप्त होता है। इसके बाद विक्रय मूल्य 1200 × (100% - 44%) = 1200 × 56% = 12 × 56 = 672 होगा।

व्याख्या

x⁶ + (1)/(x⁶) का मान ज्ञात करने के लिए, हम सबसे पहले बीजगणितीय सर्वसमिका x³ + (1)/(x³) = (x + ¹⁄ₓ)³ - 3(x + ¹⁄ₓ) का उपयोग करके x³ + (1)/(x³) का मान ज्ञात करते हैं।

दिया गया है कि x + ¹⁄ₓ = 7, हम इसे सूत्र में प्रतिस्थापित करते हैं:

x³ + (1)/(x³) = 7³ - 3(7) = 343 - 21 = 322

इसके बाद, छठी घात तक पहुँचने के लिए हम सर्वसमिका (a + b)² = a² + b² + 2ab का उपयोग करके इस परिणाम का वर्ग करते हैं। माना a = x³ और b = (1)/(x³):

(x³ + (1)/(x³))² = (x³)² + ((1)/(x³))² + 2(x³)((1)/(x³))

322² = x⁶ + (1)/(x⁶) + 2

322² की गणना करने पर: 322 × 322 = 103684

इसे वापस समीकरण में प्रतिस्थापित करने पर: 103684 = x⁶ + (1)/(x⁶) + 2 x⁶ + (1)/(x⁶) = 103684 - 2 = 103682

व्याख्या

मान लीजिए सुधीर और आशीष की वर्तमान आयु क्रमशः 5x और 7x है। प्रश्न के अनुसार, बारह वर्ष पूर्व, उनकी आयु का अनुपात 1:2 था। इस संबंध को निम्नलिखित समीकरण द्वारा व्यक्त किया जा सकता है:

(5x - 12)/(7x - 12) = ½

x का मान ज्ञात करने के लिए तिर्यक-गुणन (cross-multiplying) करने पर, हमें प्राप्त होता है: 2(5x - 12) = 1(7x - 12) 10x - 24 = 7x - 12 3x = 12 x = 4

x के मान का उपयोग करने पर, सुधीर की वर्तमान आयु 5x = 5 × 4 = 20 वर्ष है। प्रश्न में अब से पांच वर्ष बाद सुधीर की आयु पूछी गई है, जिसकी गणना उसकी वर्तमान आयु में 5 जोड़कर की जाती है: 20 + 5 = 25 वर्ष।

व्याख्या

दो वर्षों का कुल ब्याज ₹2,400 है, जिसका अर्थ है कि एक वर्ष का ब्याज 2,400 / 2 = 1,200 है। कुल निवेश पर अर्जित समग्र वार्षिक ब्याज दर (1,200 / 10,000) × 100 = 12% है।

मिश्रण नियम (alligation) का उपयोग करके, व्यक्तिगत ब्याज दरों की तुलना औसत ब्याज दर से करके निवेश के दोनों हिस्सों का अनुपात निर्धारित किया जा सकता है। उच्च दर (15%) और औसत दर (12%) के बीच का अंतर 15 - 12 = 3 है। औसत दर (12%) और निम्न दर (10%) के बीच का अंतर 12 - 10 = 2 है।

इसलिए, 10% पर निवेश की गई राशि और 15% पर निवेश की गई राशि का अनुपात 3 : 2 है। कुल ₹10,000 की राशि को 3 + 2 = 5 इकाइयों में विभाजित किया गया है। प्रत्येक इकाई 10,000 / 5 = 2,000 के बराबर है। परिणामस्वरूप, 15% ब्याज पर निवेश की गई राशि 2 × 2,000 = 4,000 है।

व्याख्या

औसत गति की गणना सूत्र औसत गति = (कुल दूरी)/(कुल समय) का उपयोग करके की जाती है।

कार द्वारा तय की गई कुल दूरी दोनों अलग-अलग दूरियों का योग है: कुल दूरी = 350 + 450 = 800 किमी

कुल समय यात्रा के प्रत्येक भाग के लिए लिए गए समय का योग है। पहले भाग के लिए समय 5 घंटे दिया गया है। दूसरे भाग के लिए, दूरी को गति से विभाजित करके समय की गणना की जाती है: समय₂ = ⁴⁵⁰⁄₉₀ = 5 घंटे

इस प्रकार, पूरी यात्रा के लिए कुल समय है: कुल समय = 5 + 5 = 10 घंटे

इन मानों को औसत गति के सूत्र में रखने पर: औसत गति = ⁸⁰⁰⁄₁₀ = 80 किमी/घंटा

व्याख्या

यह निर्धारित करने के लिए कि कौन सी योजना अधिकतम छूट प्रदान करती है, हम प्रत्येक के लिए प्रभावी छूट प्रतिशत की गणना करते हैं। योजना 1 में सीधे 30% की छूट है। योजना 2 में 15% की दो क्रमिक छूटें प्रदान की जाती हैं, जिसकी गणना सूत्र x + y - ˣʸ⁄₁₀₀ का उपयोग करके 15 + 15 - (15 × 15)/(100) = 27.75% के रूप में की जाती है। जिन योजनाओं में वस्तुएं मुफ्त दी जाती हैं, उनके लिए छूट प्रतिशत का निर्धारण सूत्र (मुफ्त वस्तुएं)/(कुल वस्तुएं) × 100 द्वारा किया जाता है। योजना 3 में, "2 खरीदें, 1 मुफ्त पाएं" के परिणामस्वरूप ⅓ × 100 ≈ 33.33% की छूट मिलती है। योजना 4 में, "5 खरीदें, 3 मुफ्त पाएं" के परिणामस्वरूप ³⁄₅₊₃ × 100 = ⅜ × 100 = 37.5% की छूट मिलती है। 30%, 27.75%, 33.33% और 37.5% की प्रभावी दरों की तुलना करने पर, योजना 4 ग्राहक को अधिकतम बचत प्रदान करती है।

व्याख्या

r₁ और r₂ त्रिज्या वाले दो वृत्तों के बीच प्रत्यक्ष उभयनिष्ठ स्पर्श रेखा की लंबाई L को सूत्र L = √(d² - (r₁ - r₂)²) द्वारा दर्शाया जाता है, जहाँ d वृत्तों के केंद्रों के बीच की दूरी है। जब दो वृत्त एक-दूसरे को बाह्य रूप से स्पर्श करते हैं, तो उनके केंद्रों के बीच की दूरी उनकी त्रिज्याओं के योग के बराबर होती है, जिससे d = r₁ + r₂ प्राप्त होता है।

स्पर्श रेखा की लंबाई के सूत्र में d = r₁ + r₂ प्रतिस्थापित करने पर, हमें L = √((r₁ + r₂)² - (r₁ - r₂)²) प्राप्त होता है। बीजीय सर्वसमिका (a+b)² - (a-b)² = 4ab का उपयोग करने पर, यह व्यंजक सरल होकर L = √(4r₁r₂) या L = 2√(r₁r₂) हो जाता है।

दी गई त्रिज्याओं r₁ = 22 सेमी और r₂ = 16 सेमी का उपयोग करने पर: L = 2√(22 × 16) L = 2 × 4 × √(22) L = 8√(22) सेमी

व्याख्या

सर्वांगसम त्रिभुजों △ ABC और △ DEF में, सर्वांगसम त्रिभुजों के संगत भाग (CPCT) का गुण यह सुनिश्चित करता है कि सभी संगत भुजाएँ लंबाई में बराबर हों। विशेष रूप से, भुजा AC, DF के संगत है, जिसका अर्थ है AC = DF। इस समानता के लिए यह आवश्यक है कि भुजा AC और भुजा DF का अनुपात ठीक 1:1 हो। 2:1 का अनुपात यह संकेत देगा कि त्रिभुजों के आकार भिन्न हैं, जो कि 2 के स्केल फैक्टर (scale factor) वाले समरूप त्रिभुजों की विशेषता है, न कि सर्वांगसम त्रिभुजों की, जिनका आकार समान होना चाहिए। परिणामस्वरूप, यह कथन कि AC और DF का अनुपात 2:1 है, तार्किक और ज्यामितीय रूप से गलत है।

व्याख्या

व्यंजक को हल करने के लिए, अंश और हर दोनों को cos x से विभाजित करें। यह त्रिकोणमितीय पदों को tan x में परिवर्तित कर देता है क्योंकि (sin x)/(cos x) = tan x और (cos x)/(cos x) = 1 होता है। व्यंजक इस प्रकार हो जाता है:

(9tan x - 42)/(5){15tan x + 21}

यह दिया गया है कि tan x = ⁷⁄₅, इस मान को समीकरण में रखने पर:

अंश: 9 (⁷⁄₅) - ⁴²⁄₅ = ⁶³⁄₅ - ⁴²⁄₅ = ²¹⁄₅

हर: 15 (⁷⁄₅) + 21 = 3(7) + 21 = 21 + 21 = 42

अब, अंश को हर से विभाजित करके अंतिम मान की गणना करें:

(21)/(5){42} = (21)/(5 × 42) = ²¹⁄₂₁₀ = ⅒ = 0.1

व्याख्या

मान लीजिए कि दो प्राकृत संख्याएँ x और y हैं। हमें उनके घनों का अंतर x³ - y³ = 6272 और संख्याओं के बीच का अंतर x - y = 8 दिया गया है। गुणनफल xy को सीधे ज्ञात करने के लिए हम बीजगणितीय सर्वसमिका x³ - y³ = (x - y)³ + 3xy(x - y) का उपयोग कर सकते हैं।

सर्वसमिका में ज्ञात मानों को प्रतिस्थापित करने पर: 6272 = 8³ + 3xy(8) 6272 = 512 + 24xy

समीकरण के दोनों पक्षों से 512 घटाने पर: 6272 - 512 = 24xy 5760 = 24xy

गुणनफल xy को अलग करने के लिए 24 से भाग देने पर: xy = 5760 / 24 xy = 240

व्याख्या

दिए गए अनुपात (a)/(b) = ⁷⁄₆ से, हम पहले दिए गए समीकरण को ⁶⁄₁₃ से गुणा करके अनुपात (6a)/(13b) निर्धारित करते हैं: ⁶⁄₁₃ × (a)/(b) = ⁶⁄₁₃ × ⁷⁄₆ ⟹ (6a)/(13b) = ⁷⁄₁₃

योगान्तरानुपात (componendo and dividendo) के नियम का उपयोग करते हुए, जिसके अनुसार यदि (x)/(y) = (p)/(q) है तो (x+y)/(x-y) = (p+q)/(p-q) होता है, हम x = 6a, y = 13b, p = 7, और q = 13 प्रतिस्थापित करते हैं: (6a + 13b)/(6a - 13b) = (7 + 13)/(7 - 13) = ²⁰⁄₋₆

अंश और हर दोनों को उनके महत्तम समापवर्तक (greatest common divisor), 2 से विभाजित करके भिन्न को सरल करने पर प्राप्त होता है: ¹⁰⁄₋₃ = -¹⁰⁄₃

व्याख्या

दूसरी स्थिति में, A, B को 45 मीटर की शुरुआत देता है और दौड़ बराबरी पर समाप्त होती है। इसका अर्थ है कि A जितने समय में 200 मीटर की दूरी तय करता है, उतने ही समय में B, 200 - 45 = 155 मीटर की दूरी तय करता है। माना A द्वारा 200 मीटर की दूरी तय करने में लिया गया समय T_A है। इसलिए, B की गति v_B = 155 / T_A मीटर/सेकंड है।

पहली स्थिति में, A, B को 25 मीटर की शुरुआत देता है, जिसका अर्थ है कि B को 200 - 25 = 175 मीटर की दूरी तय करनी होगी। चूंकि A 10 सेकंड से जीतता है, इसलिए B को अंतिम रेखा तक पहुँचने में A से 10 सेकंड अधिक समय लगता है। B द्वारा 175 मीटर दौड़ने में लिया गया समय 175 / v_B है। v_B = 155 / T_A प्रतिस्थापित करने पर, B का समय 175 / (155 / T_A) = (175 / 155) T_A = (35 / 31) T_A है।

B के समय और A के समय के बीच का अंतर 10 सेकंड दिया गया है: (35 / 31) T_A - T_A = 10 (4 / 31) T_A = 10 T_A = 310 / 4 = 77.5 सेकंड।

व्याख्या

एक वृत्त में, किसी चाप द्वारा केंद्र पर अंतरित कोण, उसी चाप द्वारा वृत्त के शेष भाग पर स्थित किसी बिंदु पर अंतरित कोण का दोगुना होता है। यहाँ, ∠ AOP चाप AP द्वारा अंतरित केंद्रीय कोण है। बिंदु B वृत्त की परिधि पर स्थित है, जिससे ∠ ABP उसी चाप AP द्वारा अंतरित अंतर्लिखित कोण बन जाता है। चूंकि रेखाखंड AB केंद्र O से गुजरने वाला व्यास है, इसलिए कोण ∠ OBP, ∠ ABP के समान है। अंतर्लिखित कोण प्रमेय का उपयोग करने पर:

∠ OBP = ½ × ∠ AOP

दिए गए मान को प्रतिस्थापित करने पर:

∠ OBP = ½ × 95° = 47.5°

वैकल्पिक रूप से, △ OBP पर विचार करने पर, बाह्य कोण ∠ AOP दो अंतः अभिमुख कोणों ∠ OBP और ∠ OPB के योग के बराबर है। चूंकि OB = OP (एक ही वृत्त की त्रिज्याएँ), △ OBP एक समद्विबाहु त्रिभुज है, जिसका अर्थ है कि ∠ OBP = ∠ OPB। इसलिए, 95° = 2 × ∠ OBP, जिससे 47.5° प्राप्त होता है।

व्याख्या

राम की कॉपी करने की दर की गणना R_Rₐₘ = ⁶⁰⁄₁₅ = 4 पृष्ठ प्रति घंटा के रूप में की जाती है। राम और रिया की संयुक्त कॉपी करने की दर R_Tₒₜₐₗ = ¹⁸⁰⁄₃₀ = 6 पृष्ठ प्रति घंटा है। रिया की व्यक्तिगत कॉपी करने की दर संयुक्त दर और राम की दर के बीच का अंतर है, जो कि R_Rᵢ_yₐ = 6 - 4 = 2 पृष्ठ प्रति घंटा है। रिया को 20 पृष्ठ कॉपी करने के लिए आवश्यक समय कुल पृष्ठों को उसकी दर से विभाजित करके निर्धारित किया जाता है: समय = ²⁰⁄₂ = 10 घंटे।

व्याख्या

4 महिलाओं और 7 पुरुषों की दैनिक कमाई = 11480 / 7 = 1640 है। 10 महिलाओं और 17 पुरुषों की दैनिक कमाई = 36360 / 9 = 4040 है। माना एक महिला की दैनिक मजदूरी w है और एक पुरुष की दैनिक मजदूरी m है। 4w + 7m = 1640 10w + 17m = 4040 विलोपन विधि से हल करने के लिए पहले समीकरण को 5 से और दूसरे समीकरण को 2 से गुणा करने पर: 20w + 35m = 8200 20w + 34m = 8080 समीकरणों को घटाने पर m = 120 प्राप्त होता है। m = 120 का मान पहले समीकरण में रखने पर: 4w + 7(120) = 1640 4w = 1640 - 840 = 800 w = 200 11 महिलाओं और 9 पुरुषों की संयुक्त दैनिक कमाई = 11(200) + 9(120) = 2200 + 1080 = 3280 है। 13 दिनों की कुल कमाई = 3280 × 13 = 42640 है।

व्याख्या

क्रय मूल्य (CP) को संबंध CP = (100 × SP)/(100 + P%) का उपयोग करके ज्ञात किया जाता है। 28 रुपये के विक्रय मूल्य और 12% के लाभ के लिए, गणना इस प्रकार है: CP = (100 × 28)/(112) = ²⁸⁰⁰⁄₁₁₂ = 25

25 रुपये के क्रय मूल्य और 26.25 रुपये के नए विक्रय मूल्य के साथ, अर्जित लाभ 26.25 - 25 = 1.25 है। लाभ प्रतिशत निम्नलिखित सूत्र द्वारा निर्धारित किया जाता है: लाभ% = (लाभ)/(CP) × 100 = (1.25)/(25) × 100 = 5%

व्याख्या

शेष बचे कार्य का भाग ज्ञात करने के लिए, हम सबसे पहले A और B की संयुक्त कार्य दर निर्धारित करते हैं। A कार्य को 9 दिनों में पूरा करता है, इसलिए A की दर 1/9 कार्य प्रति दिन है। B कार्य को 12 दिनों में पूरा करता है, इसलिए B की दर 1/12 कार्य प्रति दिन है।

A और B के एक साथ मिलकर कार्य करने की संयुक्त दर है: 1/9 + 1/12 = (4 + 3)/(36) = 7/36 कार्य प्रति दिन

5 दिनों में, दोनों द्वारा पूरा किया गया कुल कार्य है: 5 × 7/36 = 35/36

कुल कार्य को 1 इकाई मानते हुए, शेष बचे कार्य के भाग की गणना कुल कार्य में से पूरे किए गए कार्य को घटाकर की जाती है: 1 - 35/36 = (36 - 35)/(36) = 1/36

व्याख्या

बस की गति दूरी और समय के अनुपात द्वारा निर्धारित की जाती है: v_bᵤₛ = (60 किमी)/(80 मिनट) = 0.75 किमी/मिनट। यह देखते हुए कि हवाई जहाज बस की तुलना में पांच गुना तेज गति से यात्रा करता है, इसकी गति vₐᵢᵣₚₗₐₙₑ = 5 × 0.75 किमी/मिनट = 3.75 किमी/मिनट है। हवाई जहाज द्वारा 25 मिनट में तय की गई दूरी की गणना उसकी गति को समय अवधि से गुणा करके की जाती है: d = 3.75 किमी/मिनट × 25 मिनट = 93.75 किमी।

व्याख्या

एक निश्चित मूलधन और समयावधि के लिए, साधारण ब्याज सीधे ब्याज की दर के समानुपाती होता है। प्रश्न में दर को 4.5% से बढ़ाकर 5% करने पर प्राप्त होने वाले अतिरिक्त ब्याज के बारे में पूछा गया है, जो कि 0.5% की वृद्धि है।

चूंकि 4.5% ब्याज ₹135 के बराबर है, इसलिए 1% दर के लिए ब्याज की गणना इस प्रकार की जा सकती है: 1% दर पर ब्याज = (135)/(4.5) = 30

0.5% की वृद्धि के लिए अतिरिक्त ब्याज है: अतिरिक्त ब्याज = 30 × 0.5 = 15

वैकल्पिक रूप से, मूलधन P की गणना I = (P × R × T)/(100) का उपयोग करके की जाती है: 135 = (P × 4.5 × 1)/(100) ⟹ P = (135 × 100)/(4.5) = 3000 एक वर्ष के लिए 0.5% (5% - 4.5%) की बढ़ी हुई दर पर ₹3000 पर अतिरिक्त ब्याज है: अतिरिक्त ब्याज = (3000 × 0.5 × 1)/(100) = 30 × 0.5 = 15

व्याख्या

व्यंजक को BODMAS नियम का उपयोग करके सरल किया गया है, जो संक्रियाओं के क्रम को कोष्ठक (Brackets), घात और मूल (Orders), भाग और गुणा (बाएं से दाएं), तथा जोड़ और घटाव (बाएं से दाएं) के रूप में निर्धारित करता है।

सबसे पहले, कोष्ठक के भीतर के पदों और घातांक को सरल करें: (30 - 26) = 4 3 - 2 = 1

इन मानों को वापस व्यंजक में रखें: 2 + 4² ÷ 8¹ × 0.5

इसके बाद, घातों का मान ज्ञात करें: 4² = 16 8¹ = 8

व्यंजक इस प्रकार हो जाता है: 2 + 16 ÷ 8 × 0.5

अब, बाएं से दाएं भाग और गुणा की संक्रिया करें: 16 ÷ 8 = 2 2 × 0.5 = 1

अंत में, जोड़ की संक्रिया करें: 2 + 1 = 3

व्याख्या

एक समबाहु त्रिभुज में, केंद्रक माध्यिका को 2:1 के अनुपात में विभाजित करता है। चूंकि समबाहु त्रिभुज में माध्यिका ही ऊंचाई भी होती है, इसलिए शीर्ष से केंद्रक PL की दूरी ऊंचाई h का दो-तिहाई दर्शाती है। भुजा s वाले एक समबाहु त्रिभुज की ऊंचाई की गणना सूत्र h = (√3/2)s का उपयोग करके की जाती है। दी गई भुजा की लंबाई s = 6 सेमी रखने पर, ऊंचाई h = (√3/2) × 6 = 3√3 सेमी प्राप्त होती है। इसलिए, लंबाई PL = 2/3 h = 2/3 × 3√3 = 2√3 सेमी है। यह दूरी त्रिभुज की परित्रिज्या R के भी बराबर है, जिसे सूत्र R = s/√3 द्वारा परिभाषित किया गया है। इसे सीधे लागू करने पर PL = 6/√3 = 2√3 सेमी प्राप्त होता है।

व्याख्या

व्यंजक को BODMAS नियम का उपयोग करके सरल किया गया है, जो कोष्ठक (Brackets), घात/क्रम (Orders), भाग (Division), गुणा (Multiplication), जोड़ (Addition) और घटाव (Subtraction) के क्रम में संक्रियाओं को प्राथमिकता देता है।

सबसे आंतरिक कोष्ठक और मझले कोष्ठक से शुरू करने पर: पद {4 - (7 - 3)} सरल होकर 4 - 4 = 0 हो जाता है। कोष्ठक {5 + (-3) × (-6)} के भीतर का पद सरल होकर 5 + 18 = 23 हो जाता है।

अब व्यंजक इस प्रकार बन जाता है: 15 - (-5) × 0 ÷ [3 × 23] 15 - (-5) × 0 ÷ 69

बाएँ से दाएँ गुणा और भाग की संक्रियाओं के क्रम का पालन करने पर: गुणनफल (-5) × 0 का मान 0 होता है। भाग 0 ÷ 69 का मान 0 होता है।

अंतिम चरण घटाव है: 15 - 0 = 15

व्याख्या

दिए गए समीकरण (cos β)/(sec α) = 15 और (sin β)/(sec α) = 16 हैं। चूंकि (1)/(sec α) = cos α है, इसलिए इन्हें इस प्रकार फिर से लिखा जा सकता है:

cos β cos α = 15 sin β cos α = 16

दूसरे समीकरण को पहले समीकरण से विभाजित करने पर cos α पद समाप्त हो जाता है:

(sin β cos α)/(cos β cos α) = ¹⁶⁄₁₅ tan β = ¹⁶⁄₁₅

sin² β का मान ज्ञात करने के लिए, त्रिकोणमितीय सर्वसमिका sin² β = (tan² β)/(1 + tan² β) का उपयोग करें। tan β का मान प्रतिस्थापित करने पर:

sin² β = ((16)/(15))² / {1 + (¹⁶⁄₁₅)²} = (256)/(225) / {1 + ²⁵⁶⁄₂₂₅}

अंश और हर को 225 से गुणा करने पर:

sin² β = (256)/(225 + 256) = ²⁵⁶⁄₄₈₁

व्याख्या

मान लीजिए कि व्यक्ति का कुल वेतन x है। इस प्रश्न में प्रत्येक चरण में शेष बची राशि से क्रमिक प्रतिशत कटौती शामिल है।

सबसे पहले, व्यक्ति दैनिक उपयोग पर 25% खर्च करता है, जिससे उसकी आय का 100% - 25% = 75% बचता है। शेष राशि = x × ⁷⁵⁄₁₀₀

इसके बाद, वह शेष राशि का 18% घर के किराए पर खर्च करता है, जिससे पिछले शेष का 100% - 18% = 82% बचता है। शेष राशि = x × ⁷⁵⁄₁₀₀ × ⁸²⁄₁₀₀

अंत में, वह शेष राशि का 16% यात्रा पर खर्च करता है, जिससे वर्तमान शेष का 100% - 16% = 84% बचता है। अंतिम शेष राशि = x × ⁷⁵⁄₁₀₀ × ⁸²⁄₁₀₀ × ⁸⁴⁄₁₀₀

हमें दिया गया है कि यह अंतिम राशि 861 है। समीकरण बनाने पर: x × ¾ × ⁴¹⁄₅₀ × ²¹⁄₂₅ = 861

ध्यान दें कि 41 × 21 = 861 है। इसे समीकरण में रखने पर: x × (3 × 861)/(4 × 50 × 25) = 861

दोनों पक्षों को 861 से विभाजित करने पर: x × ³⁄₅₀₀₀ = 1 x = ⁵⁰⁰⁰⁄₃ x = 1666.66...

परिणामी मान 1666 ⅔ सही विकल्प में दिए गए संख्यात्मक मान से मेल खाता है।

व्याख्या

बीजगणितीय सर्वसमिका x³ + 1/x³ = (x + 1/x)³ - 3(x + 1/x) का उपयोग करते हुए, माना x = sinθ, इसलिए 1/x = cosecθ। दिए गए मान को प्रतिस्थापित करने पर, हमें प्राप्त होता है: (√5)³ - 3(√5) = 5√5 - 3√5 = 2√5।

व्याख्या

किसी भी कोण θ के लिए, त्रिकोणमितीय सर्वसमिका csc² θ - cot² θ = 1 हमें csc θ और cot θ के योग और अंतर के बीच संबंध स्थापित करने में मदद करती है। दिए गए व्यंजक csc θ + cot θ = x के लिए, सर्वसमिका (csc θ + cot θ)(csc θ - cot θ) = 1 से यह प्राप्त होता है कि csc θ - cot θ = ¹⁄ₓ।

csc θ का मान ज्ञात करने के लिए, हम इस सूत्र का उपयोग करते हैं: csc θ = (x + 1)/(x){2} = (x² + 1)/(2x)

दिए गए मान x = ³⁄₂ को प्रतिस्थापित करने पर: csc θ = ((3)/(2))² + 1{2(³⁄₂)} csc θ = (9)/(4) + 1{3} csc θ = (13)/(4){3} csc θ = ¹³⁄₁₂

मान ¹³⁄₁₂ इस मानक त्रिकोणमितीय संबंध का परिणाम है।

व्याख्या

मान लीजिए कि कुल कार्य समूह और व्यक्तियों द्वारा लिए गए समय का लघुत्तम समापवर्त्य (LCM) है, जो कि LCM(12, 36, 36) = 36 इकाई है। A, B और C की संयुक्त कार्यक्षमता ³⁶⁄₁₂ = 3 इकाई प्रति दिन है। चूंकि A और B में से प्रत्येक कार्य को 36 दिनों में पूरा कर सकता है, इसलिए उनकी व्यक्तिगत कार्यक्षमता ³⁶⁄₃₆ = 1 इकाई प्रति दिन है। C की कार्यक्षमता कुल संयुक्त कार्यक्षमता में से A और B की कार्यक्षमता को घटाकर प्राप्त की जाती है: 3 - 1 - 1 = 1 इकाई प्रति दिन। C को अकेले कार्य पूरा करने के लिए आवश्यक समय कुल कार्य को C की कार्यक्षमता से विभाजित करने पर प्राप्त होता है, जो कि ³⁶⁄₁ = 36 दिन है।

व्याख्या

एक गोले का आयतन V सूत्र V = ⁴⁄₃ π r³ का उपयोग करके निकाला जाता है, जहाँ r गोले की त्रिज्या है। दिया गया है कि व्यास 7 सेमी है, इसलिए त्रिज्या r व्यास की आधी है, जो कि ⁷⁄₂ सेमी है।

सूत्र में मान रखने पर: V = ⁴⁄₃ × ²²⁄₇ × (⁷⁄₂)³ V = ⁴⁄₃ × ²²⁄₇ × (7 × 7 × 7)/(2 × 2 × 2)

व्यंजक को सरल करने पर, हम उभयनिष्ठ गुणनखंडों को काट सकते हैं: V = ⅓ × (11 × 7 × 7)/(1) V = (11 × 49)/(3) V = ⁵³⁹⁄₃

भाग करने पर: V = 179.666...

परिणाम को दशमलव के दो स्थानों तक पूर्णांकित करने पर, हमें 179.67 सेमी³ प्राप्त होता है।

व्याख्या

30 डिग्री के कोण के लिए मानक त्रिकोणमितीय मान sin 30° = ½, cos 30° = √3{2}, और tan 30° = (1)/(√(3)) हैं। इन मानों को व्यंजक में प्रतिस्थापित करने पर, हमें प्राप्त होता है:

sin 30° + cos 30° + tan 30° = ½ + √3{2} + (1)/(√(3))

व्यंजक को सरल करने के लिए, हरों 2 और √3 का लघुत्तम समापवर्त्य (LCM) ज्ञात कीजिए, जो कि 2√3 है। इस समान हर को प्राप्त करने के लिए प्रत्येक पद को समायोजित करने पर:

1 × √3{2√3} + √3 × √3{2√3} + (1 × 2)/(√(3) × 2) = √3 + 3 + 2{2√3}

अंश में अचरों को संयोजित करने पर परिणाम प्राप्त होता है:

5 + √3{2√3}

व्याख्या

व्यंजक sec⁴ θ - tan⁴ θ को बीजगणितीय सर्वसमिका a² - b² = (a - b)(a + b) का उपयोग करके गुणनखंडित किया जा सकता है। a = sec² θ और b = tan² θ मानने पर, व्यंजक इस प्रकार हो जाता है:

sec⁴ θ - tan⁴ θ = (sec² θ - tan² θ)(sec² θ + tan² θ)

मूलभूत त्रिकोणमितीय सर्वसमिका sec² θ - tan² θ = 1 का उपयोग करने पर, व्यंजक सरल होकर निम्न रूप में आ जाता है:

1 × (sec² θ + tan² θ)

यह दिया गया है कि sec² θ + tan² θ = ²⁵⁄₁₈, हम इस मान को सरलीकृत समीकरण में प्रतिस्थापित करते हैं:

sec⁴ θ - tan⁴ θ = 1 × ²⁵⁄₁₈ = ²⁵⁄₁₈

व्याख्या

एक शंकु के आयतन की गणना सूत्र V = ⅓ π r² h का उपयोग करके की जाती है। दिया गया आयतन V = 73920 सेमी³ और ऊंचाई h = 160 सेमी है, त्रिज्या r ज्ञात करने के लिए हम इन मानों को सूत्र में रखते हैं:

73920 = ⅓ × ²²⁄₇ × r² × 160

r² को अलग करने के लिए, समीकरण को पुनर्व्यवस्थित करें:

r² = (73920 × 3 × 7)/(22 × 160)

सबसे पहले, 462 प्राप्त करने के लिए 73920 को 160 से विभाजित करें। फिर, समीकरण इस प्रकार हो जाता है:

r² = (462 × 21)/(22)

462 को 22 से विभाजित करने पर 21 प्राप्त होता है। इस प्रकार:

r² = 21 × 21 = 441

दोनों पक्षों का वर्गमूल लेने पर, त्रिज्या r = 21 सेमी प्राप्त होती है। आधार के व्यास को d = 2r के रूप में परिभाषित किया गया है। इसलिए, व्यास 2 × 21 = 42 सेमी है।

व्याख्या

मान लीजिए कि A और B क्रमशः A और B के पास मौजूद टॉफियों की संख्या को दर्शाते हैं।

पहली शर्त के अनुसार, यदि A, B को एक टॉफी देता है, तो उनके पास टॉफियों की संख्या बराबर होती है: A - 1 = B + 1 A - B = 2

दूसरी शर्त के अनुसार, यदि B, A को एक टॉफी देता है, तो A के पास टॉफियों की संख्या, B के पास की टॉफियों की संख्या की दोगुनी हो जाती है: A + 1 = 2(B - 1) A + 1 = 2B - 2 A - 2B = -3

A को विलुप्त करने के लिए पहले समीकरण में से दूसरे समीकरण को घटाने पर: (A - B) - (A - 2B) = 2 - (-3) B = 5

पहले समीकरण में B = 5 रखने पर: A - 5 = 2 A = 7

A और B के पास कुल टॉफियों की संख्या A + B = 7 + 5 = 12 है।

व्याख्या

सभी पांच कॉलेजों में छात्रों की कुल संख्या 2080 दी गई है। सबसे पहले, उन तीन कॉलेजों में छात्रों की संख्या का योग ज्ञात करें जिनके लिए संख्याएं स्पष्ट रूप से प्रदान की गई हैं: 430 (आईआईटी दिल्ली) + 350 (आईआईटी कानपुर) + 400 (आईआईटी गुवाहाटी) = 1180

आईआईटी बॉम्बे (B) और आईआईटी मद्रास (M) में छात्रों की संयुक्त संख्या, कुल संख्या और इस योग के बीच का अंतर है: B + M = 2080 - 1180 = 900

प्रश्न में कहा गया है कि आईआईटी बॉम्बे में छात्रों की संख्या आईआईटी मद्रास में छात्रों की संख्या से 20% कम है। इस संबंध को निम्नलिखित सूत्र का उपयोग करके व्यक्त किया जा सकता है: B = M × (1 - 0.20) = 0.8M

संयुक्त योग समीकरण में B के मान को प्रतिस्थापित करें: 0.8M + M = 900 1.8M = 900 M = (900)/(1.8) = 500

M के मान को पुनः B के संबंध में प्रतिस्थापित करने पर: B = 0.8 × 500 = 400