एसएससी सीजीएल टियर 1 2023 मात्रात्मक अभिक्षमता प्रश्न — हल सहित

व्याख्या

अब्राहम और एंड्रयू द्वारा एक साथ मिलकर कार्य करने में लिया गया समय सूत्र (T1 × T2) / (T1 + T2) का उपयोग करके ज्ञात किया जाता है। दिए गए मानों को रखने पर: (9 × 6) / (9 + 6) = 54 / 15 = 18 / 5 = 3.6 दिन, जो 3 3/5 दिनों के बराबर है।

व्याख्या

औसत गति की गणना कुल दूरी को कुल समय से विभाजित करके की जाती है। कुल दूरी 45 किमी (20 किमी + 25 किमी) है और कुल समय 270 मिनट (4.5 घंटे) है, जिसके परिणामस्वरूप औसत गति 10 किमी/घंटा प्राप्त होती है।

व्याख्या

व्यंजक x⁸ - 1/x⁸ को वर्गों के अंतर की सर्वसमिका, a² - b² = (a + b)(a - b) का उपयोग करके निम्नानुसार गुणनखंडित किया जा सकता है: x⁸ - 1/x⁸ = (x⁴ + 1/x⁴)(x⁴ - 1/x⁴) = (x⁴ + 1/x⁴)(x² + 1/x²)(x² - 1/x²) = (x⁴ + 1/x⁴)(x² + 1/x²)(x + 1/x)(x - 1/x)

दिया गया है x + 1/x = √6, x² + 1/x² ज्ञात करने के लिए दोनों पक्षों का वर्ग करने पर: (x + 1/x)² = (√6)² ⟹ x² + 1/x² + 2 = 6 ⟹ x² + 1/x² = 4

x⁴ + 1/x⁴ ज्ञात करने के लिए इस परिणाम का वर्ग करने पर: (x² + 1/x²)² = 4² ⟹ x⁴ + 1/x⁴ + 2 = 16 ⟹ x⁴ + 1/x⁴ = 14

इसके बाद, संबंध (x - 1/x)² = (x + 1/x)² - 4 का उपयोग करके x - 1/x ज्ञात कीजिए: (x - 1/x)² = (√6)² - 4 = 6 - 4 = 2 चूंकि x > 1 है, इसलिए x - 1/x का मान धनात्मक है, इसलिए x - 1/x = √2।

इन मानों को गुणनखंडित व्यंजक में प्रतिस्थापित करने पर: x⁸ - 1/x⁸ = 14 × 4 × √6 × √2 x⁸ - 1/x⁸ = 56 × √(12) x⁸ - 1/x⁸ = 56 × 2√3 = 112√3

व्याख्या

मान लीजिए मासिक आय I है। कुल जेब खर्च 0.08I है, और बड़े पुत्र को इसका 85% प्राप्त होता है, जो कि 0.85 * 0.08I = 0.068I है। चूंकि वह 90% खर्च करता है, इसलिए वह 10% बचाता है, जिसका अर्थ है 0.10 * 0.068I = 17, जिसे सरल करने पर 0.0068I = 17 प्राप्त होता है, जिसके परिणामस्वरूप I = 2500 आता है।

व्याख्या

एक घनाकार बक्से का कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल ज्यामितीय सूत्र 6a² का उपयोग करके निर्धारित किया जाता है, जहाँ a घन की एक भुजा की लंबाई को दर्शाता है। चूंकि एक घन छह सर्वांगसम वर्गाकार फलकों से बना होता है, इसलिए कुल क्षेत्रफल एक फलक के क्षेत्रफल का छह गुना होता है। यह देखते हुए कि भुजा की लंबाई a = 12 सेमी है, हम इस मान को सूत्र में प्रतिस्थापित करते हैं जिससे हमें 6 × (12)² प्राप्त होता है। भुजा की लंबाई का वर्ग करने पर, 12 × 12, 144 प्राप्त होता है। इस क्षेत्रफल को छह फलकों से गुणा करने पर, 6 × 144, कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल 864 सेमी² प्राप्त होता है।

व्याख्या

दिया गया व्यंजक बीजगणितीय सर्वसमिका (x + y)(x² - xy + y²) = x³ + y³ का अनुसरण करता है। x = (5)/(b) और y = 5b रखने पर, हम सत्यापित कर सकते हैं कि x² = (25)/(b²), y² = 25b², और मध्य पद xy = ((5)/(b))(5b) = 25 है। इसलिए, संपूर्ण व्यंजक सरल होकर ((5)/(b))³ + (5b)³ हो जाता है।

दिया गया है b = 5, इस मान को सरलीकृत त्रिघात रूप में रखने पर: (⁵⁄₅)³ + (5 × 5)³ = 1³ + 25³

घातों की गणना करने पर: 1³ = 1 25³ = 25 × 25 × 25 = 625 × 25 = 15625

परिणामों को जोड़ने पर: 1 + 15625 = 15626

व्याख्या

चूंकि A, B और C की कार्यक्षमताएं सभी बराबर हैं (A = B और C = A), इसलिए प्रत्येक दिन किया जाने वाला कार्य समान है, चाहे कोई भी काम कर रहा हो। यदि कार्य A, B, C के क्रम में 15 दिनों में पूरा होता है, तो C, A, B के क्रम में भी ठीक 15 दिन लगेंगे क्योंकि इस पूरी अवधि के दौरान दैनिक उत्पादकता स्थिर रहती है।

व्याख्या

एक रैखिक दौड़ में, जब P, Q को 120 मीटर या 30 सेकंड से हराता है, तो इसका अर्थ है कि Q को 1000 मीटर की दौड़ की दूरी के शेष 120 मीटर को तय करने में 30 सेकंड का समय लगता है।

Q की गति की गणना इस प्रकार की जाती है: Q की गति = (दूरी)/(समय) = (120 मीटर)/(30 सेकंड) = 4 मीटर/सेकंड

Q द्वारा 1 किमी (1000 मीटर) की दौड़ पूरी करने में लिया गया कुल समय है: Q द्वारा लिया गया समय = (कुल दूरी)/(Q की गति) = (1000 मीटर)/(4 मीटर/सेकंड) = 250 सेकंड

चूंकि P दौड़ को Q से 30 सेकंड पहले पूरा करता है, इसलिए P द्वारा लिया गया समय है: P द्वारा लिया गया समय = 250 सेकंड - 30 सेकंड = 220 सेकंड

व्याख्या

व्यंजक को BODMAS नियम का उपयोग करके हल किया जाता है, जो संक्रियाओं के क्रम को कोष्ठक (Brackets), का (Of), भाग (Division), गुणा (Multiplication), जोड़ (Addition) और घटाव (Subtraction) के रूप में निर्धारित करता है। सबसे आंतरिक कोष्ठक से शुरू करते हुए, हम 7 - 7 - 2 = -2 की गणना करते हैं। इसे मझले कोष्ठक (curly braces) में प्रतिस्थापित करने पर {15 - (-2)} = 15 + 2 = 17 प्राप्त होता है। बड़े कोष्ठक (square brackets) की ओर बढ़ने पर, हमें [18 - 17] = 1 प्राप्त होता है। अब व्यंजक सरल होकर 14 ÷ 7 × 1 + 3 - 1 हो जाता है। संक्रियाओं के क्रम का पालन करते हुए, पहले भाग किया जाता है, जिसके परिणामस्वरूप 2 × 1 + 3 - 1 प्राप्त होता है। इसके बाद, गुणा करने पर 2 + 3 - 1 प्राप्त होता है। अंत में, बाएं से दाएं जोड़ और घटाव किया जाता है, जहाँ 2 + 3 = 5 और 5 - 1 = 4 प्राप्त होता है।

व्याख्या

बीजगणितीय सर्वसमिका a³ + b³ + c³ - 3abc = (a + b + c)((a + b + c)² - 3(ab + bc + ca)) हल तक पहुँचने का सबसे सीधा मार्ग प्रदान करती है। इस सूत्र में दिए गए मानों a³ + b³ + c³ - 3abc = 98 और a + b + c = 14 को प्रतिस्थापित करने पर:

98 = 14(14² - 3(ab + bc + ca))

दोनों पक्षों को 14 से विभाजित करने पर समीकरण सरल होकर निम्न रूप में आ जाता है: 7 = 196 - 3(ab + bc + ca)

व्यंजक (ab + bc + ca) का मान ज्ञात करने के लिए पदों को पुनर्व्यवस्थित करने पर: 3(ab + bc + ca) = 196 - 7 3(ab + bc + ca) = 189 ab + bc + ca = 189 / 3 = 63

व्याख्या

दिया गया है कि A = 22.5°, हम सबसे पहले 2A का मान ज्ञात करते हैं, जो कि 2 × 22.5° = 45° है। हम 45° के लिए मानक त्रिकोणमितीय मानों का उपयोग करते हैं, जहाँ sin 45° = (1)/(√(2)), cos 45° = (1)/(√(2)), और tan 45° = 1 है।

दिए गए व्यंजक में इन मानों को प्रतिस्थापित करने पर: (10√2sin 2A - 7√2cos 2A + 9 tan 2A) = 10√2((1)/(√(2))) - 7√2((1)/(√(2))) + 9(1) = 10 - 7 + 9 = 3 + 9 = 12

व्याख्या

दो संख्याओं के योग, उनके घनों के योग और उनके गुणनफल के बीच का संबंध बीजीय सर्वसमिका a³ + b³ = (a + b)((a + b)² - 3ab) द्वारा दिया गया है। दिया गया है कि a³ + b³ = 9728 और a + b = 32, हम इन मानों को सूत्र में प्रतिस्थापित करते हैं:

9728 = 32 × (32² - 3ab)

दोनों पक्षों को 32 से विभाजित करने पर प्राप्त होता है:

304 = 1024 - 3ab

3ab का मान ज्ञात करने के लिए समीकरण को पुनर्व्यवस्थित करने पर:

3ab = 1024 - 304 3ab = 720

3 से विभाजित करने पर दोनों संख्याओं का गुणनफल प्राप्त होता है:

ab = ⁷²⁰⁄₃ = 240

व्याख्या

कार को फिसलने से बचाने के लिए आवश्यक बल F, संयुक्त विचरण सूत्र F = k · W · v² / r द्वारा निर्धारित किया जाता है, जहाँ W वजन है, v गति है, r त्रिज्या है, और k विचरण स्थिरांक है।

k का मान ज्ञात करने के लिए दिए गए प्रारंभिक मानों का उपयोग करने पर: 6125 = k · 2750 · 35² / 550 6125 = (k · 2750 · 1225)/(550) 6125 = k · 5 · 1225 6125 = k · 6125 k = 1

अब, आवश्यक बल F ज्ञात करने के लिए इस स्थिरांक को शर्तों के दूसरे समूह पर लागू करने पर: F = 1 · 3600 · 50² / 750 F = (3600 · 2500)/(750) F = (3600 · 10)/(3) F = 1200 · 10 F = 12000

व्याख्या

दिए गए आंकड़े 'से कम' प्रकार के संचयी बारंबारता वितरण को दर्शाते हैं। 40 से अधिक अंक प्राप्त करने वाले छात्रों की संख्या निर्धारित करने के लिए, हम 40 से 50 के अंक वर्ग अंतराल में छात्रों की संख्या ज्ञात करते हैं। 50 से कम अंक प्राप्त करने वाले छात्रों की संचयी बारंबारता 10 है, और 40 से कम अंक प्राप्त करने वाले छात्रों की संचयी बारंबारता 8 है। 40 से अधिक अंक प्राप्त करने वाले छात्रों की संख्या इन दोनों मानों के बीच का अंतर है: 10 - 8 = 2।

व्याख्या

साधारण ब्याज में, प्रत्येक वर्ष अर्जित ब्याज स्थिर रहता है। एक वर्ष में अर्जित ब्याज, चौथे वर्ष और तीसरे वर्ष के अंत में मिश्रधनों के बीच का अंतर होता है।

1 वर्ष का ब्याज = A₄ - A₃ = 1350 - 1200 = 150

3 वर्षों का ब्याज = 150 × 3 = 450 है।

मूलधन (P) की गणना 3 वर्षों के बाद के कुल मिश्रधन में से 3 वर्षों में अर्जित ब्याज को घटाकर की जा सकती है:

P = A₃ - I₃ = 1200 - 450 = 750

व्याख्या

तीन संख्याओं a, b, और c के सतत अनुपात (continued proportion) में होने के लिए, जहाँ c, a और b का तृतीय आनुपातिक है, संबंध को (a)/(b) = (b)/(c) के रूप में परिभाषित किया जाता है, जो सरल होकर b² = ac हो जाता है।

माना घटाई जाने वाली संख्या x है। तब दोनों संख्याएँ 2 - x और 3 - x हो जाती हैं, जहाँ 4 तृतीय आनुपातिक है।

इन मानों को सूत्र b² = ac में रखने पर: (3 - x)² = 4(2 - x) 9 - 6x + x² = 8 - 4x x² - 2x + 1 = 0

यह एक पूर्ण वर्ग त्रिपद (perfect square trinomial) है जिसे इस प्रकार गुणनखंडित किया जा सकता है: (x - 1)² = 0 x - 1 = 0 x = 1

दोनों संख्याओं में से 1 घटाने पर, वे 1 और 2 हो जाती हैं। 1 और 2 का तृतीय आनुपातिक वास्तव में 4 है क्योंकि 1/2 = 2/4।

व्याख्या

माना सेल फोन की मूल कीमत ₹100 है। राम ने फोन को इस कीमत से 30% कम पर खरीदा, जिसका अर्थ है कि उसका क्रय मूल्य (CP) है: CP = 100 - (100 का 30%) = 100 - 30 = 70

राम ने फोन को अपने द्वारा भुगतान की गई कीमत पर 50% के लाभ पर बेचा। उसका विक्रय मूल्य (SP) ज्ञात करने के लिए, हम उसके क्रय मूल्य (CP) पर लाभ प्रतिशत लागू करते हैं: SP = CP + (70 का 50%) = 70 + 35 = 105

मूल कीमत के सापेक्ष राम द्वारा अर्जित लाभ, उसके विक्रय मूल्य और मूल कीमत के बीच का अंतर है: मूल कीमत पर लाभ = SP - मूल कीमत = 105 - 100 = 5

मूल कीमत पर अर्जित लाभ प्रतिशत की गणना इस प्रकार की जाती है: लाभ % = (लाभ)/(मूल कीमत) × 100 = ⁵⁄₁₀₀ × 100 = 5%

व्याख्या

प्रति प्रश्नपत्र कुल औसत अंकों की गणना भारित औसत सूत्र का उपयोग करके की जाती है:

औसत अंक = (Σ (nᵢ × aᵢ))/(Σ nᵢ)

जहाँ nᵢ प्रत्येक विषय में प्रश्नपत्रों की संख्या है और aᵢ उस विषय में औसत अंक है।

गणित में कुल अंक = 3 × 45 = 135 अंग्रेजी में कुल अंक = 2 × 55 = 110 हिंदी में कुल अंक = 2 × 60 = 120

सभी 7 प्रश्नपत्रों में कुल अंकों का योग = 135 + 110 + 120 = 365

प्रति प्रश्नपत्र औसत अंक = ³⁶⁵⁄₇ = 52.1428...

एक दशमलव स्थान तक पूर्णांकित करने पर, प्रति प्रश्नपत्र औसत अंक 52.1 है।

व्याख्या

tan(θ/2) के लिए व्यंजक द्वि-कोण (double angles) के मानक त्रिकोणमितीय सर्वसमिकाओं का उपयोग करके प्राप्त किया जाता है। sine के लिए सर्वसमिका sin θ = 2 sin(θ/2) cos(θ/2) है, जबकि cosine द्वि-कोण सूत्र से प्राप्त सर्वसमिका 1 + cos θ = 2 cos²(θ/2) है। इन दोनों सर्वसमिकाओं का अनुपात लेकर, हम व्यंजक को निम्नानुसार सरल कर सकते हैं:

sin θ / (1 + cos θ) = (2 sin(θ/2) cos(θ/2)) / (2 cos²(θ/2))

अंश और हर दोनों से उभयनिष्ठ गुणनखंड 2 cos(θ/2) को निरस्त (cancel) करने के बाद, व्यंजक निम्नलिखित रूप में परिवर्तित हो जाता है:

sin(θ/2) / cos(θ/2) = tan(θ/2)

इससे यह स्पष्ट होता है कि फलन tan(θ/2), कोण के sine और (1 + कोण के cosine) के अनुपात के बराबर है।

व्याख्या

एक घन का आयतन सूत्र V = s³ द्वारा निर्धारित किया जाता है, जहाँ s घन की भुजा की लंबाई है। यह देखते हुए कि आयतन 4096 सेमी³ है, आयतन का घनमूल निकालकर भुजा की लंबाई ज्ञात की जाती है:

s = ³√(4096)

s का मान ज्ञात करने के लिए, हम अभाज्य गुणनखंडन का उपयोग कर सकते हैं या 2 की घातों को पहचान सकते हैं। संख्या 4096, 2¹² है क्योंकि 2¹⁰ = 1024 और 1024 × 4 = 4096 है। इस घात पर घनमूल लागू करने पर:

s = ³√(2¹²⁾ = 2¹²^/³ = 2⁴ = 16

वैकल्पिक रूप से, हम सीधे गुणा करके परिणाम को सत्यापित कर सकते हैं। 16 × 16 की गणना करने पर 256 प्राप्त होता है। 256 को 16 से गुणा करने पर परिणाम 4096 प्राप्त होता है। यह पुष्टि करता है कि 16 सेमी की भुजा की लंबाई 4096 सेमी³ के आयतन के संगत है।

व्याख्या

व्यंजक sin 600° cos 750° + sin 150° cos 240° का मान ज्ञात करने के लिए, हम आवधिक गुणों (periodic properties) और चतुर्थांश नियमों (quadrant rules) का उपयोग करके प्रत्येक त्रिकोणमितीय पद को सरल करते हैं। चूंकि साइन (sine) और कोसाइन (cosine) का आवर्तकाल 360° होता है, इसलिए हम 360° के गुणजों को घटाकर बड़े कोणों को कम कर सकते हैं।

पहले पद के लिए, sin 600° = sin(360° + 240°) = sin 240°। चतुर्थांश नियम लागू करने पर, sin 240° = sin(180° + 60°) = -sin 60° = -√3{2}।

दूसरे पद के लिए, cos 750° = cos(2 × 360° + 30°) = cos 30° = √3{2}।

तीसरे पद के लिए, sin 150° = sin(180° - 30°) = sin 30° = ½।

चौथे पद के लिए, cos 240° = cos(180° + 60°) = -cos 60° = -½।

इन विशिष्ट मानों को वापस व्यंजक में प्रतिस्थापित करने पर: (-√3{2})(√3{2}) + (½)(-½) = -¾ - ¼ = -⁴⁄₄ = -1

व्याख्या

व्यंजक (x - 5)² + (x + 3)² + 4x का विस्तार और सरलीकरण करने के लिए, बीजगणितीय सर्वसमिकाओं (a - b)² = a² - 2ab + b² और (a + b)² = a² + 2ab + b² का उपयोग करें।

पहले पद का विस्तार करने पर: (x - 5)² = x² - 2(x)(5) + 5² = x² - 10x + 25

दूसरे पद का विस्तार करने पर: (x + 3)² = x² + 2(x)(3) + 3² = x² + 6x + 9

अब, व्यंजक के सभी भागों को संयोजित करें: (x² - 10x + 25) + (x² + 6x + 9) + 4x

समान पदों को एक साथ समूहित करें: (x² + x²) + (-10x + 6x + 4x) + (25 + 9) 2x² + 0x + 34 2x² + 34

उभयनिष्ठ गुणनखंड 2 को बाहर निकालने पर, व्यंजक 2(x² + 17) हो जाता है।

व्याख्या

कुल कार्य को प्रत्येक समूह द्वारा लिए गए समय के लघुत्तम समापवर्त्य (LCM) के रूप में लिया जाता है, जो कि LCM(10, 12) = 60 इकाई है। 15 पुरुषों की कार्यक्षमता (प्रतिदिन किया गया कार्य) ⁶⁰⁄₁₀ = 6 इकाई प्रतिदिन है, और 15 महिलाओं की कार्यक्षमता ⁶⁰⁄₁₂ = 5 इकाई प्रतिदिन है। जब दोनों समूह मिलकर कार्य करते हैं, तो उनकी संयुक्त कार्यक्षमता 6 + 5 = 11 इकाई प्रतिदिन होती है। कार्य को पूरा करने के लिए आवश्यक कुल समय, कुल कार्य को संयुक्त कार्यक्षमता से विभाजित करने पर प्राप्त होता है: समय = ⁶⁰⁄₁₁ = 5⁵⁄₁₁ दिन

व्याख्या

क्रमागत छूट के बाद अंतिम विक्रय मूल्य की गणना सूत्र SP = MP × (1 - d/100)ⁿ का उपयोग करके की जाती है, जहाँ MP अंकित मूल्य है, d छूट प्रतिशत है, और n क्रमागत छूटों की संख्या है। दिया गया है MP = ₹55,000, d = 10%, और n = 3, हम इन मानों को सूत्र में रखते हैं।

SP = 55,000 × (1 - 10/100)³ SP = 55,000 × (0.9)³ SP = 55,000 × 0.729

अंतिम परिणाम ज्ञात करने के लिए, 55,000 को 0.729 से गुणा करें: 55,000 × 0.729 = 55 × 729 = 40,095

वैकल्पिक रूप से, तीन बार 10% की छूट देना प्रत्येक बार मूल्य को 0.9 से गुणा करने के बराबर है। पहली छूट मूल्य को घटाकर ₹49,500 कर देती है, दूसरी ₹44,550 कर देती है, और तीसरी ₹40,095 कर देती है।

व्याख्या

सोमेश द्वारा अकेले लिए गए समय की गणना कार्य दर के सूत्र 1/Tₜₒₜₐₗ = 1/T_Rₐₘₑₛₕ + 1/T_Sₒₘₑₛₕ का उपयोग करके की जा सकती है। यह देखते हुए कि रमेश को 24 दिन लगते हैं और दोनों को मिलकर 8 दिन लगते हैं, हम इन मानों को समीकरण में रखते हैं: 1/8 = 1/24 + 1/T_Sₒₘₑₛₕ। सोमेश की दर ज्ञात करने के लिए सूत्र को पुनर्व्यवस्थित करने पर प्राप्त होता है: 1/T_Sₒₘₑₛₕ = 1/8 - 1/24।

एक समान हर (common denominator) ज्ञात करने पर, हमें प्राप्त होता है: 1/T_Sₒₘₑₛₕ = 3/24 - 1/24 = 2/24। भिन्न को सरल करने पर परिणाम 1/T_Sₒₘₑₛₕ = 1/12 प्राप्त होता है। इसलिए, T_Sₒₘₑₛₕ = 12 दिन।

वैकल्पिक रूप से, कार्यक्षमता (efficiency) विधि का उपयोग करते हुए, मान लीजिए कि कुल कार्य 24 और 8 का लघुत्तम समापवर्त्य (LCM) है, जो कि 24 इकाई (units) है। रमेश की कार्यक्षमता 24 / 24 = 1 इकाई प्रति दिन है। रमेश और सोमेश की संयुक्त कार्यक्षमता 24 / 8 = 3 इकाई प्रति दिन है। सोमेश की व्यक्तिगत कार्यक्षमता, संयुक्त कार्यक्षमता और रमेश की कार्यक्षमता के बीच का अंतर है, जो कि 3 - 1 = 2 इकाई प्रति दिन है। सोमेश द्वारा अकेले कार्य को पूरा करने में लिया गया समय 24 / 2 = 12 दिन है।

व्याख्या

इस व्यंजक को BODMAS नियम का उपयोग करके हल किया जाता है, जो संक्रियाओं के क्रम को निर्धारित करता है: कोष्ठक (Brackets), का (Of), भाग (Division), गुणा (Multiplication), जोड़ (Addition), और घटाव (Subtraction)।

सबसे पहले, सबसे आंतरिक कोष्ठक और मझले कोष्ठक को हल करें: 8 - 11 = -3 4 × 2 - (-3) = 8 + 3 = 11

इसके बाद, बड़े कोष्ठक के अंदर के व्यंजक को सरल करें: 11 × 4 ÷ 4 का 11 BODMAS के अनुसार, गुणा और भाग से पहले 'का' (of) संक्रिया की जाती है: 4 का 11 = 44 व्यंजक 11 × 4 ÷ 44 हो जाता है। संक्रियाओं के क्रम के अनुसार, गुणा से पहले भाग किया जाता है: 4 ÷ 44 = 1/11 11 × 1/11 = 1

अब इसे वापस मुख्य व्यंजक में रखें: 120 ÷ 15 का 4 + 1 सबसे पहले 'का' संक्रिया करें: 15 का 4 = 60 120 ÷ 60 + 1 अंत में, पहले भाग और फिर जोड़ करें: 2 + 1 = 3

व्याख्या

हानि की गणना क्रय मूल्य (CP) और विक्रय मूल्य (SP) के बीच के अंतर के रूप में की जाती है। इस मामले में, क्रय मूल्य (CP) ₹3,200 है और विक्रय मूल्य (SP) ₹2,700 है।

हानि = CP - SP हानि = 3,200 - 2,700 = 500

हानि प्रतिशत का सूत्र निम्नलिखित है: हानि प्रतिशत = (हानि)/(CP) × 100

सूत्र में ज्ञात मानों को रखने पर: हानि प्रतिशत = (500)/(3,200) × 100 हानि प्रतिशत = ⁵⁰⁰⁄₃₂

दशमलव मान ज्ञात करने के लिए, 500 को 32 से विभाजित करें: 500 ÷ 32 = 15.625

दिए गए विकल्पों के अनुसार दशमलव के दो स्थानों तक व्यक्त करने पर, यह मान 15.62% है।

व्याख्या

जब दो वस्तुएं विपरीत दिशाओं में चलती हैं, तो उनकी सापेक्ष गति उनकी व्यक्तिगत गतियों का योग होती है।

सापेक्ष गति = 7.5 किमी/घंटा + 9 किमी/घंटा = 16.5 किमी/घंटा

मिनटों में मिलने का समय ज्ञात करने के लिए, सापेक्ष गति को किमी/घंटा से मीटर/मिनट में बदलें: मीटर/मिनट में सापेक्ष गति = 16.5 × ¹⁰⁰⁰⁄₆₀ = ¹⁶⁵⁰⁰⁄₆₀ = 275 मीटर/मिनट

उनके पहली बार मिलने में लगने वाले समय की गणना कुल दूरी (परिधि) को सापेक्ष गति से विभाजित करके की जाती है: समय = (दूरी)/(सापेक्ष गति) समय = ¹⁴⁵²⁄₂₇₅ मिनट

अंश और हर दोनों को 11 से विभाजित करने पर: समय = ¹³²⁄₂₅ = 5.28 मिनट

व्याख्या

माना दिए गए अनुपात 11:15 के आधार पर लड़कों की संख्या 11x और लड़कियों की संख्या 15x है। प्रश्न के अनुसार, लड़कों की तुलना में लड़कियों की संख्या 200 अधिक है, जिससे समीकरण 15x - 11x = 200 प्राप्त होता है। इसे सरल करने पर 4x = 200 प्राप्त होता है, जिसके परिणामस्वरूप x = 50 आता है। लड़कों की संख्या ज्ञात करने के लिए, हम लड़कों के अनुपात वाले भाग को x से गुणा करते हैं: 11 × 50 = 550।

व्याख्या

अभीष्ट अनुपात ज्ञात करने के लिए, वर्ष 1998 में कारखानों P, Q और R द्वारा निर्मित मिठाइयों के योग और उसी वर्ष में कारखानों S, T और U द्वारा निर्मित मिठाइयों के योग की गणना करें। डेटा तालिका के अनुसार, वर्ष 1998 के लिए उत्पादन मूल्य P = 178, Q = 240, और R = 150 हैं।

इन मानों का योग करने पर:

योग(P, Q, R) = 178 + 240 + 150 = 568

इसके बाद, वर्ष 1998 में कारखानों S, T और U के लिए उत्पादन मूल्य S = 130, T = 177, और U = 192 हैं।

इन मानों का योग करने पर:

योग(S, T, U) = 130 + 177 + 192 = 499

पहले समूह द्वारा निर्मित कुल मिठाइयों का दूसरे समूह से क्रमशः अनुपात इस प्रकार व्यक्त किया जाता है:

अनुपात = 568 : 499

व्याख्या

दिए गए 8:5 अनुपात के आधार पर, मान लीजिए कि मासिक आय 800 है और व्यय 500 है। चूंकि बचत = आय - व्यय, इसलिए प्रारंभिक बचत 800 - 500 = 300 है।

आय में परिवर्तन 800 का 20% है, जो कि 0.20 × 800 = 160 है। व्यय में परिवर्तन 500 का 30% है, जो कि 0.30 × 500 = 150 है। परिवर्तनों के संबंध Δ बचत = Δ आय - Δ व्यय का उपयोग करने पर, बचत में परिवर्तन 160 - 150 = 10 है।

एक धनात्मक परिवर्तन वृद्धि को दर्शाता है। बचत में प्रतिशत वृद्धि ज्ञात करने के लिए, सूत्र का उपयोग करें: प्रतिशत वृद्धि = (Δ बचत)/(प्रारंभिक बचत) × 100 मानों को प्रतिस्थापित करने पर: ¹⁰⁄₃₀₀ × 100 = ¹⁰⁄₃% = 3⅓%

व्याख्या

व्यंजक को BODMAS नियम का उपयोग करके सरल किया गया है, जो संक्रियाओं के क्रम को कोष्ठक (Brackets), घात (Orders/Exponents), भाग और गुणा (बाएं से दाएं), तथा जोड़ और घटाव (बाएं से दाएं) के रूप में स्थापित करता है।

सबसे पहले, पहले कोष्ठक (2 × 7 - 5 + 9 ÷ 3) का मान ज्ञात कीजिए। इस कोष्ठक के अंदर, गुणा और भाग को प्राथमिकता दें: 2 × 7 = 14 9 ÷ 3 = 3 कोष्ठक के अंदर का व्यंजक 14 - 5 + 3 हो जाता है। बाएं से दाएं हल करने पर, 14 - 5 = 9, और 9 + 3 = 12।

इसके बाद, दूसरे कोष्ठक और उसके घात का मान ज्ञात कीजिए: (4 + 2)² = 6² = 36

इन परिणामों को वापस मूल व्यंजक में रखिए: 12 ÷ 36 × 2

अब, बाएं से दाएं भाग और गुणा की संक्रिया करें: 12 ÷ 36 = ¹²⁄₃₆ = ⅓ ⅓ × 2 = ⅔

व्याख्या

माना दो प्राकृतिक संख्याएँ x और y हैं। हमें दिया गया है कि x³ - y³ = 6272 और x - y = 8 है। बीजगणितीय सर्वसमिका x³ - y³ = (x - y)(x² + xy + y²) का उपयोग करते हुए, हम ज्ञात मानों को प्रतिस्थापित करते हैं: 6272 = 8(x² + xy + y²), जो सरल होकर x² + xy + y² = 784 हो जाता है।

हम यह भी जानते हैं कि (x - y)² = x² - 2xy + y² = 8² = 64 है। इस समीकरण को x² + xy + y² = 784 में से घटाने पर हमें 3xy = 720 प्राप्त होता है, जिससे xy = 240 मिलता है। व्यक्तिगत संख्याएँ ज्ञात करने के लिए, हम 240 के ऐसे दो गुणनखंड खोजते हैं जिनका अंतर 8 हो। चूंकि 20 × 12 = 240 और 20 - 12 = 8 है, इसलिए संख्याएँ 20 और 12 निर्धारित होती हैं।

इन दोनों संख्याओं के घनों के योग की गणना x³ + y³ = 20³ + 12³ के रूप में की जाती है। पदों का मान निकालने पर, हमें 8000 + 1728 = 9728 प्राप्त होता है।

व्याख्या

व्यय, मूल्य और खपत के बीच संबंध को इस सूत्र द्वारा परिभाषित किया जाता है: व्यय = मूल्य × खपत। जब कुल व्यय स्थिर रहता है, तो मूल्य और खपत एक दूसरे के व्युत्क्रमानुपाती (inversely proportional) होते हैं। यदि मूल्य में r प्रतिशत की वृद्धि होती है, तो समान व्यय बनाए रखने के लिए खपत में आवश्यक प्रतिशत कमी की गणना निम्नलिखित संबंध का उपयोग करके की जाती है:

प्रतिशत कमी = ( (r)/(100 + r) ) × 100

यह देखते हुए कि पेट्रोल की कीमत में r = 81 की वृद्धि होती है, इस मान को सूत्र में रखें:

प्रतिशत कमी = ( (81)/(100 + 81) ) × 100

प्रतिशत कमी = ⁸¹⁰⁰⁄₁₈₁

दशमलव के दो स्थानों तक सही मान की गणना करने के लिए, 8100 को 181 से विभाजित करें:

8100 ÷ 181 ≈ 44.75138...

इस परिणाम को दशमलव के दो स्थानों तक पूर्णांकित करने पर 44.75% प्राप्त होता है। खपत में यह कमी पेट्रोल की कीमत में 81% की वृद्धि की सटीक रूप से भरपाई करती है, जिससे यह सुनिश्चित होता है कि पेट्रोल पर खर्च किया गया कुल पैसा अपरिवर्तित रहे।

व्याख्या

व्यंजक 8x³ + 27y³, a³ + b³ के रूप में है, जहाँ a = 2x और b = 3y है। बीजगणितीय सर्वसमिका a³ + b³ = (a + b)³ - 3ab(a + b) का उपयोग करके, हम दिए गए पदों को प्रतिस्थापित करते हैं:

8x³ + 27y³ = (2x + 3y)³ - 3(2x)(3y)(2x + 3y)

पद 3(2x)(3y) को सरल करके 18xy करने पर, समीकरण इस प्रकार हो जाता है:

8x³ + 27y³ = (2x + 3y)³ - 18xy(2x + 3y)

सूत्र में दिए गए मानों 2x + 3y = 16 और xy = 9 को प्रतिस्थापित करने पर:

8x³ + 27y³ = (16)³ - 18(9)(16)

घनों और गुणनफलों की गणना करने पर: 16³ = 4096 18 × 9 × 16 = 162 × 16 = 2592

घटाने पर: 4096 - 2592 = 1504

व्याख्या

व्यंजक x³ + y³ का मान बीजगणितीय सर्वसमिका x³ + y³ = (x + y)³ - 3xy(x + y) का उपयोग करके ज्ञात किया जाता है। दिए गए मान x + y = 25 और xy = 20 को सीधे सूत्र में रखने पर:

x³ + y³ = (25)³ - 3(20)(25)

घात और गुणनफल की गणना करने पर: 25³ = 15625 3 × 20 × 25 = 60 × 25 = 1500

घटाने पर: 15625 - 1500 = 14125

व्याख्या

सोहन और अमित के पहली बार मिलने में लगने वाले समय को ज्ञात करने के लिए, हम सबसे पहले उनकी गति को किमी/घंटा से मीटर/सेकंड में बदलते हैं। सोहन की गति 36 × ⁵⁄₁₈ = 10 मीटर/सेकंड है और अमित की गति 54 × ⁵⁄₁₈ = 15 मीटर/सेकंड है। जब दो वस्तुएं एक ही दिशा में गति करती हैं, तो उनकी सापेक्ष गति उनकी व्यक्तिगत गतियों का अंतर होती है। यहाँ, सापेक्ष गति 15 - 10 = 5 मीटर/सेकंड है। एक वृत्ताकार ट्रैक पर, उनके किसी भी बिंदु पर पहली बार मिलने में लगने वाला समय इस सूत्र द्वारा दिया जाता है: समय = (ट्रैक की लंबाई)/(सापेक्ष गति)। दिए गए मानों को प्रतिस्थापित करने पर, हमें प्राप्त होता है: समय = ¹¹²⁵⁄₅ = 225 सेकंड।

व्याख्या

5 अंकों की सबसे छोटी संख्या 10000 है। 526 से पूर्णतः विभाज्य 5 अंकों की सबसे छोटी संख्या ज्ञात करने के लिए, हम सबसे पहले शेषफल ज्ञात करने के लिए 10000 को 526 से विभाजित करते हैं।

10000 = (526 × 19) + 6

शेषफल 6 है। सबसे छोटा 5 अंकों का गुणज, भाजक और शेषफल के अंतर को सूत्र का उपयोग करके 10000 में जोड़कर निकाला जाता है: सबसे छोटा गुणज = 10000 + (526 - 6) सबसे छोटा गुणज = 10000 + 520 = 10520

वैकल्पिक रूप से, चूंकि 10000 को 526 से विभाजित करने पर लगभग 19.01 का भागफल प्राप्त होता है, इसलिए 526 से विभाज्य 5 अंकों की सबसे छोटी संख्या 20वां गुणज होनी चाहिए: 526 × 20 = 10520

पिछला गुणज, 526 × 19 = 9994, एक 4 अंकों की संख्या है, जो यह पुष्टि करता है कि 10520, 526 के गुणजों के अनुक्रम में पहली 5 अंकों की संख्या है।

व्याख्या

दो व्यक्तियों द्वारा अलग-अलग गतियों v₁ और v₂ से यात्रा करने पर एक ज्ञात समयांतराल Δ t में तय की गई दूरी D को सूत्र D = (v₁ × v₂)/(|v₁ - v₂|) × Δ t द्वारा दर्शाया जाता है। इस प्रश्न में, गतियाँ v₁ = 4 किमी/घंटा और v₂ = 6 किमी/घंटा हैं, और समयांतराल आधा घंटा है, जो कि 0.5 घंटे है।

इन मानों को सूत्र में रखने पर: D = (4 × 6)/(6 - 4) × 0.5 D = ²⁴⁄₂ × 0.5 D = 12 × 0.5 D = 6 किमी

इसे गति और समय के बीच के संबंध के माध्यम से भी समझा जा सकता है। चूंकि दूरी स्थिर है, इसलिए गति समय के व्युत्क्रमानुपाती होती है। गतियों का अनुपात 4:6 या 2:3 है। परिणामस्वरूप, दोनों वाहन चालकों द्वारा लिए गए समय का अनुपात 3:2 है। समय इकाइयों में अंतर 3 - 2 = 1 इकाई है, जो 0.5 घंटे के रूप में दिया गया है। तेज चलने वाले वाहन चालक (6 किमी/घंटा की गति से) द्वारा लिया गया समय 2 इकाइयाँ है, जो 2 × 0.5 = 1 घंटे के बराबर है। इस प्रकार, दूरी = गति × समय, 6 किमी/घंटा × 1 घंटा = 6 किमी।

व्याख्या

दिया गया है कि A + B = 90°, तो हमारे पास B = 90° - A है। त्रिकोणमितीय पूरक सर्वसमिका लागू करने पर, tan B = tan(90° - A) = cot A। चूंकि sin A = ⅗ है, हम एक समकोण त्रिभुज पर विचार कर सकते हैं जहाँ लंब 3 है और कर्ण 5 है। पाइथागोरस त्रिक (3, 4, 5) या सूत्र आधार = √(कर्ण² - लंब²) का उपयोग करने पर, आधार √(5² - 3²) = 4 है। cot A का मान आधार और लंब का अनुपात है, जो कि ⁴⁄₃ है। इसलिए, tan B = cot A = ⁴⁄₃।

व्याख्या

सबसे पहले, सूत्र I = A - P का उपयोग करके पहली स्थिति में अर्जित साधारण ब्याज ज्ञात कीजिए। ब्याज = 104.4 - 72 = 32.4 है। साधारण ब्याज के सूत्र I = (P · R · T)/(100) का उपयोग करते हुए, ब्याज की दर R की गणना इस प्रकार की जाती है: R = (32.4 · 100)/(72 · 3) = ³²⁴⁰⁄₂₁₆ = 15% वार्षिक।

दूसरी स्थिति के लिए, 5 वर्षों के लिए ₹120 के नए मूलधन पर समान दर लागू करें। ब्याज की गणना इस प्रकार की जाती है: I = (120 · 15 · 5)/(100) = (120 · 75)/(100) = 90। अंतिम मिश्रधन मूलधन में ब्याज जोड़कर प्राप्त किया जाता है, जिसके परिणामस्वरूप 120 + 90 = 210 प्राप्त होता है।

व्याख्या

किसी काम के लिए भुगतान प्रत्येक व्यक्ति द्वारा किए गए कार्य के अनुपात में विभाजित किया जाता है। चूंकि अशोक, अनिल और अमर ने एक साथ 4 दिनों की समान अवधि के लिए काम किया, इसलिए 4,500 रुपये का कुल भुगतान उनकी कार्यक्षमताओं के अनुपात में वितरित किया जाता है।

कार्यक्षमताओं को ज्ञात करने के लिए, मान लें कि कुल कार्य 24 इकाइयाँ (8, 12 और 4 का लघुत्तम समापवर्त्य) है। अशोक की कार्यक्षमता = ²⁴⁄₈ = 3 इकाइयाँ प्रति दिन। अनिल की कार्यक्षमता = ²⁴⁄₁₂ = 2 इकाइयाँ प्रति दिन। अशोक, अनिल और अमर की संयुक्त कार्यक्षमता = ²⁴⁄₄ = 6 इकाइयाँ प्रति दिन।

अमर की कार्यक्षमता संयुक्त कार्यक्षमता में से अशोक और अनिल की कार्यक्षमताओं को घटाकर निर्धारित की जाती है: अमर की कार्यक्षमता = 6 - (3 + 2) = 1 इकाई प्रति दिन।

उनकी कार्यक्षमताओं का अनुपात अशोक : अनिल : अमर = 3 : 2 : 1 है। अनुपात के पदों का योग 3 + 2 + 1 = 6 है। अमर के हिस्से की गणना इस प्रकार की जाती है: अमर का हिस्सा = ⅙ × 4500 = 750

व्याख्या

दोनों कोणों का योग निम्नलिखित समीकरण द्वारा दिया गया है: ₁ + ₂ = (π)/(2)

₂ का मान ज्ञात करने के लिए, हम समीकरण को पुनर्व्यवस्थित करते हैं: ₂ = (π)/(2) - ₁

₁ = (π)/(6) मान प्रतिस्थापित करने पर (जो कि रेडियन माप गणनाओं में लगभग 0.5 या 1/2 के बराबर मानक कोण है): ₂ = (π)/(2) - (π)/(6)

घटाव को हल करने के लिए, हम पदों को 6 के समान हर (common denominator) में बदलते हैं: ₂ = (3π)/(6) - (π)/(6) ₂ = (2π)/(6) ₂ = (π)/(3)

व्याख्या

साधारण ब्याज की गणना सूत्र SI = (P × R × T)/(100) का उपयोग करके की जाती है। इस प्रश्न में, मूलधन P = 27,000 है, वार्षिक ब्याज दर R = 14⅔% = ⁴⁴⁄₃% है, और समय T = 8 महीने है। समय को वर्षों में व्यक्त करने के लिए, हम महीनों को वर्षों में इस प्रकार बदलते हैं: T = ⁸⁄₁₂ = ⅔ वर्ष।

इन मानों को सूत्र में रखने पर: SI = (27,000 × 44)/(3) × ⅔{100} SI = (27,000 × 44 × 2)/(100 × 3 × 3) SI = (27,000 × 88)/(900) SI = 30 × 88 SI = 2,640

व्यंजक को सरल करने पर, गणना से साधारण ब्याज 2,640 प्राप्त होता है।

व्याख्या

BODMAS नियम संक्रियाओं के क्रम को भाग, फिर योग (जोड़) और घटाव के रूप में निर्धारित करता है। सबसे पहले, भाग की संक्रिया करें: 80.40 ÷ 20 = 4.02। इस मान को वापस व्यंजक में रखने पर 4.02 - (- 4.02) + 2.06 प्राप्त होता है।

एक ऋणात्मक संख्या को घटाना जोड़ने के समान है, इसलिए - (- 4.02) बदलकर + 4.02 हो जाता है। अब व्यंजक सरल होकर 4.02 + 4.02 + 2.06 हो जाता है। पहले दो पदों को जोड़ने पर 4.02 + 4.02 = 8.04 प्राप्त होता है। अंत में, शेष पद को जोड़ने पर 8.04 + 2.06 = 10.10 प्राप्त होता है।

व्याख्या

दिए गए समीकरण 3cot A = ⁷⁄₃ से, हम यह निर्धारित कर सकते हैं कि cot A = ⁷⁄₉ है। व्यंजक (3cos A + 2sin A)/(3cos A - 2sin A) का मान ज्ञात करने के लिए, हम अंश और हर दोनों को sin A से विभाजित करते हैं। इससे व्यंजक सरल होकर (3cot A + 2)/(3cot A - 2) हो जाता है क्योंकि (cos A)/(sin A) = cot A होता है।

दिए गए समीकरण से 3cot A का मान इस सरलीकृत रूप में प्रतिस्थापित करने पर:

(7)/(3) + 2{⁷⁄₃ - 2}

इसे हल करने के लिए, हम अंश और हर के पदों के लिए एक सामान्य हर ज्ञात करते हैं:

(7 + 6)/(3){(7 - 6)/(3)} = (13/3)/(1/3) = 13

वैकल्पिक रूप से, अनुपात cot A = (cos A)/(sin A) = ⁷⁄₉ का उपयोग करके, हम सीधे व्यंजक में cos A = 7k और sin A = 9k प्रतिस्थापित कर सकते हैं:

(3(7k) + 2(9k))/(3(7k) - 2(9k)) = (21k + 18k)/(21k - 18k) = ³⁹ᵏ⁄₃ₖ = 13

व्याख्या

आवश्यक लड़कों की संख्या ज्ञात करने के लिए, मान लेते हैं कि कुल कार्य व्यक्तियों द्वारा लिए गए दिनों का लघुत्तम समापवर्त्य (LCM) है, जो कि LCM(3, 5, 15) = 15 इकाई है। इससे, हम प्रत्येक व्यक्ति के दैनिक कार्य (कार्यक्षमता) की गणना करते हैं: 1 पुरुष की कार्यक्षमता = 15 / 3 = 5 इकाई/दिन 1 महिला की कार्यक्षमता = 15 / 5 = 3 इकाई/दिन 1 लड़के की कार्यक्षमता = 15 / 15 = 1 इकाई/दिन

कार्य को 1/5 दिन में पूरा किया जाना है। सूत्र 'कार्य = कार्यक्षमता × समय' का उपयोग करते हुए, समूह की आवश्यक कुल कार्यक्षमता होनी चाहिए: कुल कार्यक्षमता = कार्य / समय = 15 / (1/5) = 75 इकाई/दिन

मान लेते हैं कि 1 पुरुष और 1 महिला की सहायता करने वाले लड़कों की संख्या x है। उनकी कार्यक्षमताओं का योग आवश्यक कुल कार्यक्षमता के बराबर होना चाहिए: 1(5) + 1(3) + x(1) = 75 8 + x = 75 x = 67

व्याख्या

दो क्रमिक छूटों के बाद किसी वस्तु का अंतिम विक्रय मूल्य (SP) निम्नलिखित सूत्र द्वारा दिया जाता है: SP = L × (1 - d₁/100) × (1 - d₂/100) जहाँ L अंकित मूल्य है, d₁ पहली छूट का प्रतिशत है, और d₂ दूसरी छूट का प्रतिशत है।

दिए गए मानों SP = 792, d₁ = 25, और d₂ = 12 को प्रतिस्थापित करने पर: 792 = L × (1 - 25/100) × (1 - 12/100) 792 = L × (75/100) × (88/100) 792 = L × (3/4) × (22/25) 792 = L × (66/100)

L का मान ज्ञात करने के लिए, समीकरण को पुनर्व्यवस्थित करने पर: L = (792 × 100) / 66 L = 12 × 100 L = 1200

वैकल्पिक रूप से, प्रभावी गुणक (effective multipliers) की अवधारणा का उपयोग करते हुए, पहली छूट मूल्य को उसके मान का 0.75 कर देती है, और दूसरी छूट इसे उस रियायती मूल्य के 0.88 तक और कम कर देती है। कुल कमी 0.75 × 0.88 = 0.66 है। अंतिम मूल्य 792 को कुल गुणक 0.66 से विभाजित करने पर मूल अंकित मूल्य 1200 प्राप्त होता है।

व्याख्या

7/9, 13/18, 5/6, और 11/12 में से सबसे छोटा अनुपात ज्ञात करने के लिए, हम उन्हें एक समान हर (denominator) में बदलते हैं। हरों 9, 18, 6, और 12 का लघुत्तम समापवर्त्य (LCM) 36 है। तदनुसार अंशों (numerators) को गुणा करने पर, ये अनुपात 28/36, 26/36, 30/36, और 33/36 हो जाते हैं। इन मानों की तुलना करने पर, 26/36 सबसे छोटा है, जो कि अनुपात 13/18 के संगत है। वैकल्पिक रूप से, दशमलव में बदलने पर यह प्राप्त होता है कि 13/18 लगभग 0.722 है, जबकि 7/9 का मान 0.777, 5/6 का मान 0.833, और 11/12 का मान 0.916 है, जिससे यह पुष्टि होती है कि 13/18 न्यूनतम मान है।

व्याख्या

एक अर्धगोले का वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल 2π r² होता है। चूंकि कटोरे को अंदर और बाहर दोनों तरफ से रंगा जाना है और मोटाई नगण्य है, इसलिए रंगे जाने वाले कुल क्षेत्रफल का मान 2 × 2π r² = 4π r² है।

त्रिज्या r = 7 सेमी का उपयोग करने पर, कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल है: A = 4 × ²²⁄₇ × 7 × 7 A = 4 × 22 × 7 = 616 सेमी²

रंगने की लागत 40 रुपये प्रति 20 सेमी² दी गई है। यह ⁴⁰⁄₂₀ = 2 रुपये प्रति सेमी² की दर के अनुरूप है। कुल लागत की गणना कुल क्षेत्रफल को दर से गुणा करके की जाती है: कुल लागत = 616 × 2 = 1232