एसएससी सीजीएल टियर 1 2022 मात्रात्मक अभिक्षमता प्रश्न — हल सहित

व्याख्या

बीजगणितीय सर्वसमिका (a + b)² = a² + b² + 2ab का उपयोग करते हुए, माना a = tan θ और b = cot θ। दिए गए व्यंजक tan θ + cot θ = 12 के दोनों पक्षों का वर्ग करने पर:

(tan θ + cot θ)² = 12²

tan² θ + cot² θ + 2 tan θ cot θ = 144

चूंकि tan θ और cot θ परस्पर व्युत्क्रम त्रिकोणमितीय फलन हैं, इसलिए उनका गुणनफल tan θ · cot θ = 1 होता है। इस मान को समीकरण में प्रतिस्थापित करने पर प्राप्त होता है:

tan² θ + cot² θ + 2(1) = 144

वांछित पदों को अलग करने के लिए दोनों पक्षों से 2 घटाने पर:

tan² θ + cot² θ = 144 - 2

tan² θ + cot² θ = 142

व्याख्या

Type B दोपहिया वाहनों का उत्पादन 1995 में 25 हजार इकाइयों के साथ अपने उच्चतम स्तर पर था। विभिन्न वर्षों में Type B के आंकड़ों का विश्लेषण करने पर—20 (1993), 22 (1994), 25 (1995), 23 (1996), 19.5 (1997), और 18 (1998)—यह स्पष्ट है कि सर्वाधिक उत्पादन 1995 में हुआ था। इसके अतिरिक्त, विकल्पों में से वर्ष 1995 ही एकमात्र ऐसा वर्ष है जहाँ सभी प्रकार के दोपहिया वाहनों का कुल उत्पादन ठीक 251.5 हजार इकाइयाँ था। इसके अलावा, 1994 से 1995 तक कुल उत्पादन में वृद्धि 14.5 हजार इकाइयाँ (251.5 - 237) थी, जो इस पूरी अवधि के दौरान कुल उत्पादन में सबसे कम वार्षिक वृद्धि को दर्शाती है।

व्याख्या

कथन I बीजीय सर्वसमिका (x + ¹⁄ₓ)² = x² + (1)/(x²⁾ + 2 से प्राप्त होता है। सर्वसमिका में दिए गए मान K + (1)/(K) = 12 को प्रतिस्थापित करने पर, हमें 12² = K² + (1)/(K²⁾ + 2 प्राप्त होता है। यह सरल होकर 144 = K² + (1)/(K²⁾ + 2 हो जाता है, और दोनों पक्षों से 2 घटाने पर, हमें K² + (1)/(K²⁾ = 142 प्राप्त होता है।

कथन II में वर्गों के अंतर के सूत्र (a - b)(a + b) = a² - b² का बार-बार अनुप्रयोग शामिल है। व्यंजक के पदों को पुनर्व्यवस्थित करने पर, हम पहले K² - (1)/(K²⁾ प्राप्त करने के लिए (K - (1)/(K))(K + (1)/(K)) को गुणा करते हैं। इस परिणाम को अगले गुणनखंड, (K² + (1)/(K²⁾) से गुणा करने पर K⁴ - (1)/(K⁴⁾ प्राप्त होता है। अंत में, अंतिम गुणनखंड, (K⁴ + (1)/(K⁴⁾) से गुणा करने पर, परिणाम K⁸ - (1)/(K⁸⁾ प्राप्त होता है। चूंकि प्राप्त व्यंजक K⁸ - (1)/(K⁸⁾, K¹⁶ - (1)/(K¹⁶⁾ के बराबर नहीं है, इसलिए कथन II गलत है।

व्याख्या

अंग्रेजी विषय के लिए अधिकतम अंक 200 हैं। दी गई तालिका के आधार पर, अंग्रेजी (सूचीबद्ध पांचवां विषय) में श्याम और सुशील द्वारा प्राप्त अंकों का प्रतिशत क्रमशः 65% और 75% है।

प्राप्त वास्तविक अंक ज्ञात करने के लिए: श्याम द्वारा प्राप्त अंक = 200 का 65% = ⁶⁵⁄₁₀₀ × 200 = 130 सुशील द्वारा प्राप्त अंक = 200 का 75% = ⁷⁵⁄₁₀₀ × 200 = 150

अंतर ज्ञात करने के लिए: अंतर = 150 - 130 = 20

दोनों परिणामों की तुलना करने पर, सुशील ने 150 अंक प्राप्त किए जबकि श्याम ने 130 अंक प्राप्त किए। इसलिए, अंग्रेजी में सुशील द्वारा प्राप्त अंक, श्याम द्वारा प्राप्त अंकों से 20 अधिक हैं।

व्याख्या

मान लीजिए कि कुल मत 100% हैं। तीसरे स्थान पर रहने वाले उम्मीदवार को कुल मतों का 20% प्राप्त हुआ। शेष 80% मत विजेता (W) और प्रथम उपविजेता (R1) के बीच विभाजित थे। इस प्रकार, W + R1 = 80%।

विजेता और प्रथम उपविजेता के बीच का अंतर कुल मतों का 20% दिया गया है, इसलिए W - R1 = 20%। इन दोनों रैखिक समीकरणों को जोड़ने पर हमें 2W = 100% प्राप्त होता है, जिसका अर्थ है W = 50%। पहले समीकरण में W का मान रखने पर, हमें R1 = 80% - 50% = 30% प्राप्त होता है।

प्रथम उपविजेता और द्वितीय उपविजेता के बीच का अंतर R1 - R2 = 30% - 20% = 10% है। प्रश्न के अनुसार, यह 10% का अंतर 37,000 मतों के बराबर है। इसलिए, 10% = 37,000।

विजेता द्वारा प्राप्त मतों को ज्ञात करने के लिए, हम कुल मतों का 50% ज्ञात करते हैं। चूंकि 10% बराबर 37,000 है, इसलिए 50% = 5 × 37,000 = 1,85,000 होगा।

व्याख्या

कुल प्रतिशत लाभ या हानि की गणना करने के लिए, हम मूल्य कारक और वजन कारक को मिलाकर प्रभावी गुणक विधि का उपयोग करते हैं।

मूल्य कारक, घोषित विक्रय मूल्य और क्रय मूल्य के अनुपात द्वारा दिया जाता है, जो ³⁶⁄₄₀ = ⁹⁄₁₀ है।

वजन कारक गलत वजन के उपयोग से उत्पन्न होता है। चूंकि रमेश 1000 ग्राम का शुल्क लेते हुए 800 ग्राम देता है, इसलिए वजन के लिए लाभ का अनुपात ¹⁰⁰⁰⁄₈₀₀ = ⁵⁄₄ है।

लेनदेन का शुद्ध अनुपात इन दोनों कारकों का गुणनफल है: शुद्ध अनुपात = ⁹⁄₁₀ × ⁵⁄₄ = ⁴⁵⁄₄₀ = ⁹⁄₈

⁹⁄₈ का शुद्ध अनुपात यह दर्शाता है कि लागत की प्रत्येक 8 इकाइयों के लिए, राजस्व की 9 इकाइयाँ हैं। चूंकि अंश, हर से बड़ा है, इसलिए इसके परिणामस्वरूप लाभ होता है।

लाभ प्रतिशत = (⁹⁄₈ - 1) × 100 = ⅛ × 100 = 12.5%

व्याख्या

जैस्मीन द्वारा भुगतान की जाने वाली राशि, अंकित मूल्य में से छूट घटाने के बाद प्राप्त विक्रय मूल्य है। इसकी गणना सूत्र SP = MP × (1 - (D)/(100)) का उपयोग करके की जाती है, जहाँ MP अंकित मूल्य है और D छूट प्रतिशत है। दिए गए मानों को प्रतिस्थापित करने पर, हमें प्राप्त होता है: 800 × (1 - ³⁰⁄₁₀₀) = 800 × 0.70 = 560। वैकल्पिक रूप से, छूट की राशि 800 का 30% निकालकर ज्ञात की जा सकती है, जो कि 0.3 × 800 = 240 है। मूल मूल्य से इस छूट को घटाने पर परिणाम 800 - 240 = 560 प्राप्त होता है।

व्याख्या

दो संख्याओं a और b के बीच मध्यानुपाती x को संबंध a:x = x:b द्वारा परिभाषित किया जाता है, जो गुणोत्तर माध्य सूत्र x = √(a × b) में सरल हो जाता है। दिए गए मानों a = 27 और b = 300 को सूत्र में रखने पर:

x = √(27 × 300) x = √(8100)

चूंकि 90 × 90 = 8100 है, इसलिए वर्गमूल 90 है। पदों को पूर्ण वर्गों में गुणनखंडित करके भी इस पर पहुँचा जा सकता है: √(27 × 300) = √((9 × 3) × (3 × 100)) = √(9 × 9 × 100) = 3 × 3 × 10 = 90।

व्याख्या

ब्याज दर 5 पैसे प्रति रुपया प्रति माह दी गई है। चूंकि ₹1 बराबर 100 पैसे होता है, इसलिए 5 पैसे प्रति रुपया की दर प्रति माह 5/100 या 5% के बराबर है। मूलधन (P) ₹2,700 है और समय अवधि (T) 8 महीने है।

चूंकि दर पहले से ही प्रति माह निर्दिष्ट है, हम मासिक दर और महीनों की संख्या का उपयोग करके सीधे साधारण ब्याज सूत्र SI = P × R × T लागू कर सकते हैं:

SI = 2,700 × ⁵⁄₁₀₀ × 8

SI = 27 × 5 × 8

SI = 27 × 40

SI = 1,080

8 महीनों में अर्जित कुल साधारण ब्याज ₹1,080 है।

व्याख्या

माना प्रारंभ में सेबों की संख्या n है। कुल वजन की अवधारणा का उपयोग करते हुए, नए सेबों को जोड़ने से पहले और बाद के वजन का योग सुसंगत होना चाहिए। प्रारंभिक कुल वजन 50n किग्रा है। जब 60 किग्रा के औसत वजन वाले 6 सेब जोड़े जाते हैं, तो कुल वजन 50n + (6 × 60) हो जाता है। टोकरी का नया औसत वजन कुल n + 6 सेबों के लिए 50 + 5 = 55 किग्रा दिया गया है।

कुल वजन के दोनों व्यंजकों को बराबर करने पर: 50n + 360 = 55(n + 6) 50n + 360 = 55n + 330 55n - 50n = 360 - 330 5n = 30 n = 6

दूसरा कुशल तरीका विचलन विधि (deviation method) है। टोकरी का नया औसत 55 किग्रा है। जोड़े गए 6 सेबों का औसत वजन इस नए औसत से 5 किग्रा अधिक है (60 - 55 = 5), जिससे कुल 6 × 5 = 30 किग्रा का अधिशेष (surplus) प्राप्त होता है। इसी अधिशेष के कारण मूल n सेबों का औसत वजन 50 किग्रा से बढ़कर नया औसत 55 किग्रा हो गया। चूंकि प्रत्येक n सेब के वजन में 5 किग्रा की वृद्धि हुई है, इसलिए समीकरण 5n = 30 है, जिसके परिणामस्वरूप n = 6 प्राप्त होता है।

व्याख्या

दो या दो से अधिक संख्याओं का महत्तम समापवर्तक (HCF) हमेशा उनके लघुत्तम समापवर्त्य (LCM) का एक गुणनखंड होता है। यह संबंध इसलिए मौजूद है क्योंकि HCF उनकी न्यूनतम घातों में उभयनिष्ठ अभाज्य गुणनखंडों से बना होता है, जबकि LCM में उनकी उच्चतम घातों में सभी अभाज्य गुणनखंड शामिल होते हैं। परिणामस्वरूप, LCM को HCF द्वारा पूर्णतः विभाज्य होना चाहिए, जिससे भागफल के रूप में एक पूर्णांक प्राप्त हो। यह देखते हुए कि HCF 8 है, कोई भी संभावित LCM 8 का गुणज होना चाहिए। चूंकि 42 ÷ 8 = 5.25 है, जो कि एक पूर्णांक नहीं है, इसलिए 42 उन दो संख्याओं का LCM नहीं हो सकता जिनका HCF 8 है।

व्याख्या

एक समबाहु त्रिभुज के क्षेत्रफल की गणना सूत्र क्षेत्रफल = (√3/4) a² का उपयोग करके की जाती है, जहाँ a भुजा की लंबाई को दर्शाता है। दी गई भुजा a = 8 सेमी को सूत्र में प्रतिस्थापित करने पर, क्षेत्रफल = (√3/4) × (8)² प्राप्त होता है।

भुजा के वर्ग की गणना करने पर, हमें 8² = 64 प्राप्त होता है। इसे समीकरण में वापस प्रतिस्थापित करने पर क्षेत्रफल = (√3/4) × 64 प्राप्त होता है, जो सरल होकर 16√3 हो जाता है। सन्निकटन √3 ≈ 1.73205 का उपयोग करने पर, गणना 16 × 1.73205 = 27.7128 हो जाती है। दो दशमलव स्थानों तक पूर्णांकित करने पर, त्रिभुज का क्षेत्रफल 27.71 सेमी² है।

व्याख्या

देश P द्वारा किए गए औसत विदेशी व्यापार की गणना निम्नलिखित सूत्र का उपयोग करके की जाती है:

औसत = (P का कुल विदेशी व्यापार) / (वर्षों की कुल संख्या)

सबसे पहले, 5 वर्षों में देश P के विदेशी व्यापार के योग की गणना करें: योग = 220 + 200 + 125 + 115 + 85 = 745

इसके बाद, कुल योग को वर्षों की संख्या से विभाजित करें, जो कि 5 है: औसत = ⁷⁴⁵⁄₅ = 149

व्याख्या

कोसाइन (cosine) के लिए त्रिकोणमितीय द्वि-कोण सर्वसमिका (double angle identity), सूत्र के माध्यम से cos 2Y और sin Y के बीच एक सीधा संबंध प्रदान करती है: cos 2Y = 1 - 2sin² Y

दिए गए समीकरण sin Y = x के अनुसार, हम इस सर्वसमिका में सीधे x प्रतिस्थापित कर सकते हैं। sin Y को x से प्रतिस्थापित करने पर निम्नलिखित व्यंजक प्राप्त होता है: cos 2Y = 1 - 2(x)² cos 2Y = 1 - 2x²

यह सर्वसमिका दिए गए अंतराल 0 ≤ Y ≤ 90° को संतुष्ट करने वाले किसी भी कोण Y के लिए मान्य है।

व्याख्या

मानक बीजगणितीय प्रसारों का उपयोग करने पर, (a + b)² = a² + 2ab + b² और (a - b)² = a² - 2ab + b² होता है। दिए गए व्यंजक में इन प्रसारों को प्रतिस्थापित करने पर, हमें प्राप्त होता है:

(a + b)² - (a - b)² = (a² + 2ab + b²) - (a² - 2ab + b²)

दूसरे बहुपद को घटाते समय, उसके सभी पदों के चिह्न बदल जाते हैं:

a² + 2ab + b² - a² + 2ab - b²

a² और -a² पद एक-दूसरे को निरस्त कर देते हैं, और b² और -b² पद भी एक-दूसरे को निरस्त कर देते हैं। इससे यह व्यंजक सरल होकर निम्न रूप में आ जाता है:

2ab + 2ab = 4ab

यह परिणाम एक मानक बीजगणितीय सर्वसमिका है जो दर्शाती है कि दो संख्याओं के योग के वर्ग और उनके अंतर के वर्ग के बीच का अंतर हमेशा उनके गुणनफल का चार गुना होता है।

व्याख्या

शहर B में स्मारकों की संख्या का शहर D में स्मारकों की संख्या से अनुपात तालिका से उनके संबंधित मानों की तुलना करके निर्धारित किया जाता है। शहर B में 30 स्मारक हैं और शहर D में 150 स्मारक हैं।

अनुपात = (B में स्मारकों की संख्या)/(D में स्मारकों की संख्या)

दिए गए मानों को प्रतिस्थापित करने पर:

अनुपात = ³⁰⁄₁₅₀

इस भिन्न को सरल बनाने के लिए, अंश और हर दोनों को उनके महत्तम समापवर्तक से विभाजित करें, जो कि 30 है:

अनुपात = (30 ÷ 30)/(150 ÷ 30) = ⅕

इसे अनुपात के रूप में व्यक्त करने पर 1:5 प्राप्त होता है।

व्याख्या

उत्पादन में प्रतिशत वृद्धि की गणना इस सूत्र का उपयोग करके की जाती है: प्रतिशत वृद्धि = (अंतिम उत्पादन - प्रारंभिक उत्पादन)/(प्रारंभिक उत्पादन) × 100।

दी गई तालिका से, 1996 में सभी दोपहिया वाहनों का कुल उत्पादन 268 है और 1998 में कुल उत्पादन 334 है।

उत्पादन में वृद्धि = 334 - 268 = 66.

प्रतिशत वृद्धि = ⁶⁶⁄₂₆₈ × 100 ≈ 24.62%.

निकटतम पूर्णांक तक पूर्णांकित करने पर, हमें 25% प्राप्त होता है।

व्याख्या

एक सघन विन्यास में व्यवस्थित r त्रिज्या वाले n समान वृत्तों के चारों ओर कसकर बांधे गए धागे की लंबाई की गणना सीधे खंडों और वृत्ताकार चापों की लंबाई को जोड़कर की जाती है। एक-दूसरे को स्पर्श करने वाले तीन वृत्तों के लिए, उनके केंद्र 2r भुजा लंबाई वाला एक समबाहु त्रिभुज बनाते हैं। धागे में तीन सीधे भाग होते हैं जो इस त्रिभुज की भुजाओं के समानांतर होते हैं, जिनमें से प्रत्येक की लंबाई केंद्रों के बीच की दूरी के बराबर होती है, जो कि 2r = 14 सेमी है। इसलिए, सीधे भागों की कुल लंबाई 3 × 14 = 42 सेमी है।

धागे के शेष भाग चाप हैं जो वृत्तों के बाहरी किनारों के चारों ओर लिपटे हुए हैं। तीनों वृत्तों में से प्रत्येक पर, धागा 120° (या 2π/3 रेडियन) के कोण पर मुड़ता है। इन तीनों चापों का योग एक पूर्ण वृत्त की परिधि के बराबर होता है, जो कि 2π r = 2π(7) = 14π सेमी है। विकल्पों के अनुसार π को p के रूप में दर्शाने पर, धागे की कुल लंबाई सीधे और घुमावदार भागों का योग है: 42 + 14p सेमी।

व्याख्या

मान लीजिए कि वस्तुओं का क्रय मूल्य 100 है। विक्रेता वस्तुओं पर क्रय मूल्य से 15% अधिक मूल्य अंकित करता है, इसलिए अंकित मूल्य 115 हो जाता है। इसके बाद नकद भुगतान के लिए इस अंकित मूल्य पर 5% की छूट दी जाती है। छूट की राशि की गणना 115 के 5% के रूप में की जाती है, जो कि 115 × ⁵⁄₁₀₀ = 5.75 है। विक्रय मूल्य अंकित मूल्य में से छूट घटाने पर प्राप्त होता है, जो कि 115 - 5.75 = 109.25 के बराबर है। चूंकि क्रय मूल्य 100 है और विक्रय मूल्य 109.25 है, इसलिए अर्जित लाभ 109.25 - 100 = 9.25 है, जिसके परिणामस्वरूप लाभ प्रतिशत 9.25% होता है।

वैकल्पिक रूप से, शुद्ध लाभ प्रतिशत की गणना क्रमिक प्रतिशत परिवर्तनों के सूत्र का उपयोग करके की जा सकती है: x + y + ˣʸ⁄₁₀₀। यहाँ, मूल्य वृद्धि (markup) x = 15% और छूट y = -5% है। इन मानों को रखने पर 15 - 5 + (15 × (-5))/(100) = 10 - ⁷⁵⁄₁₀₀ = 10 - 0.75 = 9.25% प्राप्त होता है।

व्याख्या

एक लंब वृत्तीय शंकु के वक्र पृष्ठ का क्षेत्रफल सूत्र A = π r l का उपयोग करके ज्ञात किया जाता है, जहाँ r आधार की त्रिज्या है और l तिर्यक ऊंचाई है। एक लंब वृत्तीय शंकु में, त्रिज्या, ऊंचाई h, और तिर्यक ऊंचाई एक समकोण त्रिभुज बनाते हैं, जो पाइथागोरस प्रमेय r² + h² = l² को संतुष्ट करते हैं। दी गई ऊंचाई h = 8 मी और तिर्यक ऊंचाई l = 10 मी के लिए, त्रिज्या r = √(10² - 8²) = √(100 - 64) = √(36) = 6 मी प्राप्त होती है। क्षेत्रफल के सूत्र में त्रिज्या r = 6 मी और तिर्यक ऊंचाई l = 10 मी का मान रखने पर, A = π × 6 × 10 = 60π मी² प्राप्त होता है।

व्याख्या

उत्पाद Z के कुल उत्पादन की गणना सभी चार महीनों में इसके उत्पादन मूल्यों को जोड़कर की जाती है: कुल_Z = 15 + 18 + 12 + 19 = 64 इकाइयाँ।

उत्पाद Y के कुल उत्पादन की गणना भी इसी प्रकार की जाती है: कुल_Y = 18 + 13 + 17 + 8 = 56 इकाइयाँ।

Z के कुल उत्पादन के प्रतिशत के रूप में Y के कुल उत्पादन को ज्ञात करने के लिए, हम निम्नलिखित संबंध का उपयोग करते हैं: प्रतिशत = (कुल_Y)/(कुल_Z) × 100

सूत्र में परिकलित कुल मानों को रखने पर: प्रतिशत = ⁵⁶⁄₆₄ × 100

अंश और हर दोनों को 8 से विभाजित करने पर भिन्न ⁵⁶⁄₆₄ सरल होकर ⅞ हो जाता है। मानक रूपांतरण का उपयोग करते हुए जहाँ ⅛ बराबर 12.5% होता है, हम इसे 7 से गुणा करते हैं: 7 × 12.5% = 87.5%

व्याख्या

△ ABC में, चूंकि PQ ∥ AC है, इसलिए AA समरूपता कसौटी के अनुसार छोटा त्रिभुज △ BPQ बड़े त्रिभुज △ BAC के समरूप है। उनकी संगत भुजाओं का अनुपात बराबर होना चाहिए, जिससे संबंध (BP)/(BA) = (PQ)/(AC) प्राप्त होता है। इस समीकरण में दिए गए मानों को रखने पर, हमें (BP)/(26) = ⁷⁄₁₀ प्राप्त होता है। BP के लिए हल करने पर, हमें BP = (7 × 26)/(10) = ¹⁸²⁄₁₀ = 18.2 प्राप्त होता है। चूंकि बिंदु P रेखाखंड AB पर स्थित है, इसलिए AP की लंबाई की गणना कुल लंबाई AB में से BP को घटाकर की जाती है। इस प्रकार, AP = AB - BP = 26 - 18.2 = 7.8।

व्याख्या

दूसरे विलयन का आयतन मिश्रण के भारित औसत सूत्र का उपयोग करके निर्धारित किया जा सकता है: C₁ V₁ + C₂ V₂ = Cₘ (V₁ + V₂), जहाँ C सांद्रता को दर्शाता है और V आयतन को दर्शाता है।

दिया गया है कि V₁ = 100 ml, C₁ = 20%, C₂ = 50%, V₂ = x, और अंतिम सांद्रता Cₘ = 30% है, समीकरण को इस प्रकार स्थापित किया जाता है:

20 × 100 + 50 × x = 30 × (100 + x) 2000 + 50x = 3000 + 30x

चर x को पृथक करने पर: 50x - 30x = 3000 - 2000 20x = 1000 x = 50 ml

वैकल्पिक रूप से, एलीगेशन (alligation) के नियम का उपयोग करते हुए, 20% विलयन के आयतन और 50% विलयन के आयतन का अनुपात सांद्रता के बीच के अंतर द्वारा परिकलित किया जाता है: अनुपात V₁ : V₂ = (50 - 30) : (30 - 20) = 20 : 10 = 2 : 1. चूंकि V₁ = 100 ml, 2 इकाइयों के संगत है, इसलिए 1 इकाई 100 / 2 = 50 ml के संगत होगी।

व्याख्या

कुल कार्य की गणना पुरुषों की संख्या और आवश्यक समय के गुणनफल के रूप में की जाती है, जिससे 10 × 40 = 400 मानव-दिवस (man-days) प्राप्त होते हैं। मान लीजिए कि x उन दिनों की संख्या है जिसके बाद 4 पुरुषों ने काम छोड़ दिया। पहले x दिनों के लिए, सभी 10 पुरुषों ने काम किया, जिससे 10x मानव-दिवस का काम पूरा हुआ। x दिनों के बाद, काम पूरा करने के लिए केवल 10 - 4 = 6 पुरुष बचे। चूंकि काम पूरा होने में लगा कुल समय 50 दिन था, इसलिए इन 6 पुरुषों ने (50 - x) दिनों तक काम किया, जिससे 6(50 - x) मानव-दिवस का काम पूरा हुआ। इन दोनों अवधियों में किए गए कार्य का योग आवश्यक कुल कार्य के बराबर होना चाहिए: 10x + 6(50 - x) = 400. समीकरण का विस्तार करने पर 10x + 300 - 6x = 400 प्राप्त होता है। इसे सरल करने पर 4x = 400 - 300 प्राप्त होता है, जिसका अर्थ है 4x = 100. x के लिए हल करने पर x = 25 प्राप्त होता है।

व्याख्या

दिए गए संबंध A + B = C में, दोनों पक्षों का tangent (tan) लेने पर हमें tan(A + B) = tan C प्राप्त होता है। योग के tangent के लिए त्रिकोणमितीय सर्वसमिका (trigonometric identity) का उपयोग करने पर, हमें प्राप्त होता है:

(tan A + tan B)/(1 - tan A tan B) = tan C

हर (denominator) को हटाने के लिए तिर्यक गुणन (cross-multiplication) करने पर:

tan A + tan B = tan C(1 - tan A tan B)

दाहिनी ओर tan C का वितरण (distribute) करने पर प्राप्त होता है:

tan A + tan B = tan C - tan A tan B tan C

tan A tan B tan C का मान ज्ञात करने के लिए, हम गुणन पद (product term) को बाईं ओर और tan A तथा tan B के पदों को दाहिनी ओर ले जाकर समीकरण को पुनर्व्यवस्थित करते हैं:

tan A tan B tan C = tan C - tan A - tan B

व्याख्या

3m + n का मान ज्ञात करने के लिए, हम बीजीय सर्वसमिका (a + b)² = a² + b² + 2ab का उपयोग करते हैं। माना a = 3m और b = n है। वांछित व्यंजक के वर्ग का विस्तार करने पर प्राप्त होता है:

(3m + n)² = (3m)² + (n)² + 2(3m)(n) (3m + n)² = 9m² + n² + 6mn

समीकरण में दिए गए मानों 9m² + n² = 40 और mn = 4 को प्रतिस्थापित करने पर:

(3m + n)² = 40 + 6(4) (3m + n)² = 40 + 24 (3m + n)² = 64

दोनों पक्षों का वर्गमूल लेने पर, हमें 3m + n = √(64) प्राप्त होता है। चूंकि m और n को धनात्मक वास्तविक संख्याओं के रूप में निर्दिष्ट किया गया है, इसलिए योग 3m + n भी धनात्मक होना चाहिए। इसलिए, 3m + n = 8।

व्याख्या

व्यंजक x² + 4y² + 4y - 4xy - 2x - 8 को संबंधित पदों को समूहित करने के लिए पुनर्व्यवस्थित किया जा सकता है: (x² - 4xy + 4y²) - (2x - 4y) - 8

व्यंजक का पहला भाग, (x² - 4xy + 4y²), (x - 2y)² के बराबर एक पूर्ण वर्ग है। पदों -(2x - 4y) में से -2 को गुणनखंड के रूप में बाहर निकालने पर, व्यंजक इस प्रकार हो जाता है: (x - 2y)² - 2(x - 2y) - 8

माना z = (x - 2y)। अब व्यंजक एक मानक द्विघात समीकरण का रूप ले लेता है: z² - 2z - 8

मध्य पद को विभाजित करके इस द्विघात का गुणनखंड करने पर प्राप्त होता है: z² - 4z + 2z - 8 = z(z - 4) + 2(z - 4) = (z - 4)(z + 2)

इन गुणनखंडों में z = x - 2y को वापस प्रतिस्थापित करने पर प्राप्त होता है: (x - 2y - 4)(x - 2y + 2)

व्याख्या

महत्तम समापवर्तक (HCF) सभी दी गई संख्याओं द्वारा साझा किए जाने वाले सबसे बड़े भाजक को खोजकर निर्धारित किया जाता है। अभाज्य गुणनखंडन के माध्यम से: 105 = 3 × 5 × 7 335 = 5 × 67 465 = 3 × 5 × 31

इन गुणनखंडों की तुलना करने पर, 105, 335 और 465 के समूहों में उभयनिष्ठ एकमात्र अभाज्य गुणनखंड 5 है। चूंकि तीनों गुणनखंडों में कोई अन्य गुणनखंड मौजूद नहीं है, इसलिए महत्तम समापवर्तक (HCF) 5 है। यह विभाज्यता के नियमों से भी स्पष्ट है, क्योंकि तीनों संख्याएँ 5 पर समाप्त होती हैं, जो भाजक के रूप में 5 की पुष्टि करती हैं, जबकि उनका अंतर 335 - 105 = 230 और 465 - 335 = 130 दोनों 5 से विभाज्य हैं, लेकिन इनमें कोई बड़ा उभयनिष्ठ गुणनखंड नहीं है जो मूल विषम संख्याओं को भी विभाजित करता हो।

व्याख्या

वर्ष 2019 में संगठन में कार्यरत अकाउंटेंटों की कुल संख्या, स्थापना वर्ष (2015) से 2019 तक शामिल होने वाले सभी अकाउंटेंटों के योग में से इसी अवधि के दौरान संगठन छोड़ने वाले सभी अकाउंटेंटों के योग को घटाने पर प्राप्त संख्या है।

कुल शामिल हुए (2015-2019) = 35 + 26 + 15 + 20 + 14 = 110 कुल छोड़ गए (2015-2019) = 0 + 16 + 5 + 38 + 24 = 83

2019 में कार्यरत कुल अकाउंटेंट = Σ शामिल हुए - Σ छोड़ गए 110 - 83 = 27

व्याख्या

माना डाले गए मतों की कुल संख्या V है। यदि जीतने वाले उम्मीदवार को कुल मतों का 76% प्राप्त होता है, तो हारने वाले उम्मीदवार को शेष 100% - 76% = 24% मत प्राप्त होते हैं। वह बहुमत जिससे जीतने वाला उम्मीदवार निर्वाचित होता है, विजेता और हारने वाले द्वारा प्राप्त मतों के बीच के अंतर के रूप में परिभाषित किया जाता है।

प्रतिशत के रूप में बहुमत 76% - 24% = 52% है। प्रश्न के अनुसार, यह बहुमत 1480 मतों के बराबर है। हम इस संबंध को निम्नलिखित सूत्र का उपयोग करके व्यक्त कर सकते हैं:

बहुमत = (प्रतिशत अंतर)/(100) × V 1480 = ⁵²⁄₁₀₀ × V V = (1480 × 100)/(52) V = ¹⁴⁸⁰⁰⁰⁄₅₂ V = 2846.1538...

प्रश्न में केवल परिणाम के पूर्णांक भाग पर विचार करने के लिए कहा गया है। इसलिए, डाले गए मतों की कुल संख्या 2846 है।

व्याख्या

दिए गए समीकरणों से, हम त्रिकोणमितीय पदों को ˣ⁄₈ = sin θ + cos θ और ʸ⁄₉ = sin θ - cos θ के रूप में अलग कर सकते हैं। वांछित व्यंजक का मान ज्ञात करने के लिए, हम दोनों समीकरणों का वर्ग करते हैं:

(x²)/(8²) = (sin θ + cos θ)² = sin² θ + cos² θ + 2 sin θ cos θ (y²)/(9²) = (sin θ - cos θ)² = sin² θ + cos² θ - 2 sin θ cos θ

इन दोनों समीकरणों को जोड़ने पर, पद 2 sin θ cos θ निरस्त हो जाता है। मूलभूत सर्वसमिका sin² θ + cos² θ = 1 का उपयोग करने पर, गणना इस प्रकार होगी:

(x²)/(8²) + (y²)/(9²) = (sin² θ + cos² θ) + (sin² θ + cos² θ) = 1 + 1 = 2

व्याख्या

किसी वस्तु की चाल एक विशिष्ट समयांतराल में तय की गई कुल दूरी द्वारा निर्धारित की जाती है। चूंकि A और B दोनों के लिए समयांतराल समान है, इसलिए उनकी चाल का अनुपात उस समय में उनके द्वारा तय की गई दूरियों के अनुपात के बराबर होता है।

माना d_A, A द्वारा एक कूद में तय की गई दूरी है और d_B, B द्वारा एक कूद में तय की गई दूरी है। प्रश्न के अनुसार, A द्वारा 7 कूदों में तय की गई दूरी, B द्वारा 5 कूदों में तय की गई दूरी के बराबर है: 7 × d_A = 5 × d_B (d_A)/(d_B) = ⁵⁄₇

दिए गए समयांतराल में, A, 8 बार कूदता है और B, 6 बार कूदता है। A द्वारा तय की गई कुल दूरी 8 × d_A है और B द्वारा तय की गई कुल दूरी 6 × d_B है। उनकी चाल का अनुपात है: (Speed_A)/(Speed_B) = (8 × d_A)/(6 × d_B)

समीकरण में (d_A)/(d_B) का मान रखने पर: (Speed_A)/(Speed_B) = ⁸⁄₆ × ⁵⁄₇ = ⁴⁰⁄₄₂

अंश और हर दोनों को 2 से विभाजित करके भिन्न को उसके सरलतम रूप में बदलने पर: ⁴⁰⁄₄₂ = ²⁰⁄₂₁

व्याख्या

साधारण ब्याज में, यदि कोई धनराशि स्वयं की n गुनी हो जाती है, तो अर्जित ब्याज मूलधन का (n-1) गुना होता है। एक निश्चित समयावधि के लिए, ब्याज की दर r अर्जित ब्याज के सीधे आनुपातिक होती है। यह संबंध साधारण ब्याज के सूत्र SI = (P × r × t)/(100) से प्राप्त होता है, जहाँ SI = (n-1)P है, जिससे समानुपात (n₁ - 1) / r₁ = (n₂ - 1) / r₂ प्राप्त होता है।

दिया गया है कि धनराशि दर r₁ = 5% पर 2 गुनी (n₁ = 2) हो जाती है, और हमें धनराशि के 5 गुनी (n₂ = 5) होने के लिए दर r₂ ज्ञात करनी है:

r₂ = r₁ × (n₂ - 1)/(n₁ - 1)

r₂ = 5 × (5 - 1)/(2 - 1)

r₂ = 5 × 4 = 20

अतः, आवश्यक ब्याज दर 20 प्रतिशत है।

व्याख्या

मान लीजिए कि मिश्रण में दूध और पानी की प्रारंभिक मात्रा क्रमशः 5x और 3x है। जब मिश्रण में 7 लीटर पानी मिलाया जाता है, तो पानी की मात्रा 3x + 7 हो जाती है, जबकि दूध की मात्रा 5x ही रहती है। दूध और पानी का नया अनुपात 1:2 है।

इस संबंध को इस प्रकार व्यक्त किया जा सकता है: (5x)/(3x + 7) = 1/2

x का मान ज्ञात करने के लिए तिर्यक गुणा (cross-multiplying) करने पर: 10x = 3x + 7 7x = 7 x = 1

मिश्रण में दूध की मात्रा 5x है। x = 1 रखने पर: दूध = 5 × 1 = 5 लीटर।

अनुपात विधि का उपयोग करने पर, प्रारंभिक अनुपात 5:3 है। चूंकि केवल पानी मिलाया जाता है, इसलिए दूध की मात्रा स्थिर रहनी चाहिए। अंतिम अनुपात 1:2 में दूध के भागों को बराबर करने के लिए, पूरे अनुपात को 5 से गुणा करें, जिससे यह 5:10 हो जाता है। पानी के घटक में वृद्धि 10 - 3 = 7 इकाई है। चूंकि 7 लीटर पानी मिलाया गया था, इसलिए 7 इकाई 7 लीटर के बराबर है, जिसका अर्थ है कि 1 इकाई 1 लीटर के बराबर है। दूध की मात्रा को 5 इकाइयों द्वारा दर्शाया गया है, जो 5 लीटर के बराबर है।

व्याख्या

साधारण ब्याज में अंतर उस समयावधि में अंतर के कारण है जिसके लिए राशि का निवेश किया गया था। चूंकि ब्याज की दर और मूलधन स्थिर रहते हैं, इसलिए ब्याज में अंतर अतिरिक्त वर्षों में अर्जित ब्याज के अनुरूप है।

समय में अंतर = 5 वर्ष - 3 वर्ष = 2 वर्ष। ब्याज की दर 14% वार्षिक है। मूलधन के प्रतिशत के रूप में ब्याज में कुल अंतर 14% × 2 = 28% है।

यह देखते हुए कि यह अंतर ₹4,200 है, हम समीकरण बना सकते हैं: मूलधन का 28% = 4200 ²⁸⁄₁₀₀ × P = 4200 P = (4200 × 100)/(28)

गणना को सरल करने पर: P = (600 × 100)/(4) P = 150 × 100 P = 15,000

मूलधन राशि ₹15,000 है।

व्याख्या

निर्माण कार्य कार्य-समतुल्यता के सिद्धांत का अनुसरण करता है, जहाँ कुल कार्य की मात्रा स्थिर होती है और इसे सूत्र M₁D₁ = M₂D₂ का उपयोग करके व्यक्त किया जा सकता है। इस समीकरण में, M पुरुषों की संख्या को दर्शाता है और D दिनों की संख्या को दर्शाता है। दिया गया है कि M₁ = 450 पुरुष और D₁ = 20 दिन, तो कुल कार्य 450 × 20 = 9000 मानव-दिवस (man-days) है। D₂ = 30 दिनों में उसी कार्य को पूरा करने के लिए आवश्यक पुरुषों की संख्या (M₂) ज्ञात करने के लिए, समीकरण को 450 × 20 = M₂ × 30 के रूप में व्यवस्थित किया जाता है। M₂ के लिए हल करने में कुल मानव-दिवसों को नई समय सीमा से विभाजित करना शामिल है: M₂ = ⁹⁰⁰⁰⁄₃₀। इस गणना के परिणामस्वरूप 300 पुरुष प्राप्त होते हैं। चूंकि दिनों की संख्या बढ़ती है, इसलिए समान कुल कार्य आउटपुट को बनाए रखने के लिए आवश्यक पुरुषों की संख्या आनुपातिक रूप से घट जाती है।

व्याख्या

a⁴ + b⁴ का मान ज्ञात करने के लिए, हम सबसे पहले बीजगणितीय सर्वसमिका (a + b)² = a² + b² + 2ab का उपयोग करके a² + b² का मान निर्धारित करते हैं। दिए गए मानों a + b = 11 और ab = 35 को प्रतिस्थापित करने पर:

a² + b² = (a + b)² - 2ab a² + b² = 11² - 2(35) a² + b² = 121 - 70 = 51

इसके बाद, हम a⁴ + b⁴ का मान ज्ञात करने के लिए सर्वसमिका (a² + b²)² = a⁴ + b⁴ + 2(ab)² का उपयोग करते हैं:

a⁴ + b⁴ = (a² + b²)² - 2(ab)² a⁴ + b⁴ = 51² - 2(35²)

वर्गों की गणना करने पर: 51² = 2601 35² = 1225

इन मानों को समीकरण में प्रतिस्थापित करने पर: a⁴ + b⁴ = 2601 - 2(1225) a⁴ + b⁴ = 2601 - 2450 = 151

व्याख्या

जब दो संख्याएँ a:b के अनुपात में हों और उनका महत्तम समापवर्तक (HCF) h हो, तो दोनों संख्याओं को ah और bh के रूप में व्यक्त किया जा सकता है। चूँकि अनुपात 6:5 सह-अभाज्य संख्याओं (ऐसी संख्याएँ जिनका 1 के अतिरिक्त कोई अन्य उभयनिष्ठ गुणनखंड न हो) से बना है, इसलिए लघुत्तम समापवर्त्य (LCM) की गणना सीधे सूत्र LCM = a × b × h का उपयोग करके की जा सकती है।

दिया गया है: अनुपात a:b = 6:5 HCF h = 3

सूत्र में इन मानों को रखने पर: LCM = 6 × 5 × 3 LCM = 30 × 3 = 90

वैकल्पिक रूप से, दोनों संख्याएँ 6 × 3 = 18 और 5 × 3 = 15 हैं। 18 और 15 का LCM वह सबसे छोटी संख्या है जो दोनों से विभाज्य है, जो कि 90 है।

व्याख्या

कुल x इकाइयों में से y इकाइयों को किसी अन्य द्रव से प्रतिस्थापित करने की n प्रक्रियाओं के बाद बर्तन में बचे हुए द्रव की मात्रा निम्नलिखित सूत्र द्वारा दी जाती है: शेष मात्रा = x (1 - ʸ⁄ₓ)ⁿ

इस प्रश्न में, दूध की प्रारंभिक मात्रा x = 25 लीटर है, प्रत्येक चरण में प्रतिस्थापित की जाने वाली मात्रा y = 5 लीटर है, और प्रक्रियाओं की कुल संख्या n = 3 है (एक प्रारंभिक प्रक्रिया और दो पुनरावृत्तियाँ)।

सूत्र में इन मानों को रखने पर: शेष दूध = 25 × (1 - ⁵⁄₂₅)³ शेष दूध = 25 × (1 - ⅕)³ शेष दूध = 25 × (⅘)³ शेष दूध = 25 × ⁶⁴⁄₁₂₅ शेष दूध = ⁶⁴⁄₅ = 12.8 लीटर

व्याख्या

भुजा-कोण-भुजा (SAS) सर्वांगसमता मानदंड के अनुसार, दो त्रिभुज सर्वांगसम होते हैं यदि एक त्रिभुज की दो भुजाएं और उनके बीच का अंतर्गत कोण दूसरे त्रिभुज की संगत दो भुजाओं और उनके बीच के अंतर्गत कोण के बराबर हो। △ ABC और △ PQR में, यह दिया गया है कि AB = PQ और ∠ B = ∠ Q है। कोण ∠ B, △ ABC में भुजाओं AB और BC के बीच का अंतर्गत कोण है, जबकि कोण ∠ Q, △ PQR में भुजाओं PQ और QR के बीच का अंतर्गत कोण है। SAS शर्त को पूरा करने के लिए, दिए गए समान कोणों को बनाने वाली भुजाओं की लंबाई भी बराबर होनी चाहिए। चूंकि AB = PQ पहले से ही स्थापित है, इसलिए संगत भुजाओं का दूसरा युग्म BC = QR होना चाहिए।

व्याख्या

साधारण ब्याज की वार्षिक दर r, जब कोई मूलधन t वर्षों में स्वयं का n गुना हो जाता है, तो उसे सूत्र r = ((n - 1) × 100)/(t) का उपयोग करके निर्धारित किया जा सकता है। इस विशिष्ट मामले में, मूलधन तीन गुना हो जाता है, इसलिए n = 3, और समय अवधि t = 10 वर्ष दी गई है। इन मानों को सूत्र में रखने पर, समीकरण r = ((3 - 1) × 100)/(10) हो जाता है। अंश को सरल करने पर r = (2 × 100)/(10) प्राप्त होता है, जो आगे सरल होकर r = 2 × 10 = 20 हो जाता है। यह सूत्र मानक साधारण ब्याज सूत्र SI = (P × r × t)/(100) का प्रत्यक्ष व्युत्पन्न है। चूंकि मूलधन P बढ़कर 3P हो जाता है, इसलिए अर्जित ब्याज SI = 3P - P = 2P है। मानक समीकरण में SI = 2P और t = 10 रखने पर 2P = (P × r × 10)/(100) प्राप्त होता है, जो सरल होकर 2 = ʳ⁄₁₀ हो जाता है और इससे r = 20 प्राप्त होता है।

व्याख्या

जब दो वस्तुएं विपरीत दिशाओं में चलती हैं, तो उनकी सापेक्ष गति उनकी व्यक्तिगत गतियों का योग होती है। दोनों ट्रेनों की सापेक्ष गति 48 + 60 = 108 किमी/घंटा है। इस गति को मीटर प्रति सेकंड में बदलने पर, हमें 108 × ⁵⁄₁₈ = 30 मीटर/सेकंड प्राप्त होता है।

उस स्थिति में जहां एक ट्रेन दूसरी ट्रेन में बैठे व्यक्ति को पार करती है, तय की गई दूरी पार करने वाली ट्रेन की लंबाई के बराबर होती है। यहाँ, धीमी गति वाली ट्रेन तेज गति वाली ट्रेन में बैठे एक व्यक्ति को 12 सेकंड में पार करती है। सूत्र दूरी = गति × समय का उपयोग करते हुए, धीमी गति वाली ट्रेन की लंबाई की गणना 30 मीटर/सेकंड × 12 सेकंड = 360 मीटर के रूप में की जाती है।

व्याख्या

विक्रय मूल्य (SP) अंकित मूल्य (MP) पर छूट प्रतिशत लागू करके प्राप्त किया जाता है। गणितीय संबंध को SP = MP × (1 - (छूट %)/(100)) के रूप में व्यक्त किया जाता है।

इस मामले में, विक्रय मूल्य 1,445 रुपये है और छूट 15% है। इन मानों को सूत्र में रखने पर प्राप्त होता है: 1445 = MP × (1 - ¹⁵⁄₁₀₀) 1445 = MP × ⁸⁵⁄₁₀₀ 1445 = MP × 0.85

अंकित मूल्य ज्ञात करने के लिए, MP को अलग करें: MP = (1445)/(0.85) MP = (1445 × 100)/(85)

अंश और हर दोनों को 5 से विभाजित करके भिन्न को सरल बनाने पर: MP = (289 × 100)/(17)

यह ध्यान रखते हुए कि 289, 17 का वर्ग है (17 × 17 = 289): MP = 17 × 100 MP = 1700

व्याख्या

मान लीजिए कि कुल कार्य अजय और विजय द्वारा लिए गए व्यक्तिगत समय का लघुत्तम समापवर्त्य (LCM) है। 6 और 16 का LCM 48 इकाई है।

अजय की कार्यक्षमता E_A = 48 / 6 = 8 इकाई/घंटा। विजय की कार्यक्षमता E_V = 48 / 16 = 3 इकाई/घंटा।

चूंकि वे अजय से शुरू करते हुए बारी-बारी से एक-एक घंटे के आधार पर काम करते हैं, इसलिए 2 घंटे के एक चक्र में किया गया कार्य 8 + 3 = 11 इकाई है। ऐसे 4 चक्रों में, जो कि 8 घंटे के बराबर हैं, पूरा किया गया कुल कार्य 11 × 4 = 44 इकाई है।

शेष कार्य 48 - 44 = 4 इकाई है। 8वें घंटे के बाद, फिर से अजय की बारी है। शेष 4 इकाइयों को पूरा करने के लिए अजय द्वारा लिया गया समय इस प्रकार है: समय = कार्य / कार्यक्षमता = 4 / 8 = 0.5 घंटे।

0.5 घंटे को मिनटों में बदलने पर 0.5 × 60 = 30 मिनट प्राप्त होते हैं। इसलिए, कार्य को पूरा करने में लगा कुल समय 8 घंटे और 30 मिनट है।

व्याख्या

△ DEF में, अंतः कोणों का योग 180° होता है। दिया गया है कि ∠ E = 85° और ∠ F = 40° है, तो तीसरे कोण का माप ∠ D = 180° - (85° + 40°) = 55° है।

△ ABC और △ DEF की तुलना करने पर, यह दिया गया है कि AB = DE और AC = DF है। चूँकि ∠ A = 55° है और हमने गणना की है कि ∠ D = 55° है, इसलिए संबंधित बराबर भुजाओं के बीच के अंतर्गत कोण बराबर हैं (∠ A = ∠ D)। भुजा-कोण-भुजा (SAS) सर्वांगसमता मानदंड के अनुसार, यदि एक त्रिभुज की दो भुजाएँ और उनके बीच का अंतर्गत कोण दूसरे त्रिभुज की संगत दो भुजाओं और उनके बीच के अंतर्गत कोण के बराबर हो, तो वे त्रिभुज सर्वांगसम होते हैं। इसलिए, SAS गुणधर्म द्वारा △ ABC ≅ △ DEF है।

व्याख्या

पूरी यात्रा के लिए औसत गति की गणना सूत्र औसत गति = (कुल दूरी)/(कुल समय) का उपयोग करके की जाती है। तय की गई कुल दूरी 250 किमी + 350 किमी = 600 किमी है। कुल समय ज्ञात करने के लिए, हम संबंध समय = (दूरी)/(गति) का उपयोग करके प्रत्येक भाग के लिए लिए गए समय की अलग-अलग गणना करते हैं। पहले भाग के लिए, समय t₁ = (250 किमी)/(50 किमी/घंटा) = 5 घंटे है। दूसरे भाग के लिए, समय t₂ = (350 किमी)/(70 किमी/घंटा) = 5 घंटे है। इसलिए, लिया गया कुल समय 5 घंटे + 5 घंटे = 10 घंटे है। इन मानों को औसत गति के सूत्र में रखने पर (600 किमी)/(10 घंटे) = 60 किमी/घंटा प्राप्त होता है।

व्याख्या

दिया गया है y = 1 + √3 + √4, हम y के व्यंजक को y = 1 + √3 + 2 = 3 + √3 के रूप में सरल करते हैं।

इसे पुनर्व्यवस्थित करने पर y - 3 = √3 प्राप्त होता है। वर्गमूल को हटाने के लिए दोनों पक्षों का वर्ग करने पर, हमें (y - 3)² = (√3)² प्राप्त होता है, जो सरल होकर y² - 6y + 9 = 3, या y² - 6y + 6 = 0 हो जाता है।

बहुपद 2y⁴ - 8y³ - 6y² + 28y - 84 का मान ज्ञात करने के लिए, हम इसे द्विघात व्यंजक y² - 6y + 6 से विभाजित कर सकते हैं। बहुपद के दीर्घ विभाजन (long division) का उपयोग करने पर:

2y⁴ - 8y³ - 6y² + 28y - 84 = (2y² + 4y + 6)(y² - 6y + 6) + (40y - 120)

चूंकि हमने यह स्थापित किया है कि y के दिए गए मान के लिए y² - 6y + 6 = 0 है, इसलिए पूरा पहला पद शून्य हो जाता है। इसलिए मूल बहुपद का मान शेषफल के बराबर होता है:

40y - 120

शेषफल में y = 3 + √3 का मान वापस रखने पर:

40(3 + √3) - 120 = 120 + 40√3 - 120 = 40√3

व्याख्या

यदि हम यह मान लें कि प्रश्न में एक सामान्य टंकण त्रुटि (typographical error) है और अभीष्ट व्यंजक (x - 27)³ + (y - 9)³ है, तो हम मान सकते हैं कि a = x - 27 और b = y - 9। दिया गया है कि x + y = 36, आधारों का योग a + b = x + y - 36 = 36 - 36 = 0 है। चूंकि a + b = 0 है, इसलिए उनके घनों का योग a³ + b³ भी 0 होगा।

व्याख्या

त्रिज्याओं r₁ और r₂ वाले दो वृत्तों और उनके केंद्रों के बीच की दूरी d के लिए, वह स्थिति जिसमें वृत्त एक-दूसरे को स्पर्श, प्रतिच्छेद नहीं करते हैं या एक-दूसरे के अंदर स्थित नहीं होते हैं, उसे असमिका d > r₁ + r₂ द्वारा दर्शाया जाता है। इस ज्यामितीय विन्यास में, कुल चार उभयनिष्ठ स्पर्श रेखाएं होती हैं। इनमें से दो प्रत्यक्ष उभयनिष्ठ स्पर्श रेखाएं (बाह्य स्पर्श रेखाएं) होती हैं, जो वृत्तों के केंद्रों को मिलाने वाले रेखाखंड के एक ही ओर स्थित होती हैं। अन्य दो तिर्यक उभयनिष्ठ स्पर्श रेखाएं (आंतरिक स्पर्श रेखाएं) होती हैं, जो केंद्रों को मिलाने वाले रेखाखंड को प्रतिच्छेद करती हैं। चूंकि वृत्त पूरी तरह से अलग हैं, इसलिए स्पर्श रेखाओं के दोनों युग्म मौजूद होते हैं, जिसके परिणामस्वरूप 2 + 2 = 4 उभयनिष्ठ स्पर्श रेखाएं प्राप्त होती हैं।

व्याख्या

पूरे लेनदेन पर 25 प्रतिशत का लाभ प्राप्त करने के लिए, आवश्यक कुल लाभ 100 (400 का 25 प्रतिशत) है। चूंकि 5 प्रतिशत के लाभ पर बेचे गए पहले आधे हिस्से से 10 (200 का 5 प्रतिशत) का लाभ प्राप्त हुआ था, इसलिए दूसरे आधे हिस्से से शेष 90 का लाभ प्राप्त होना चाहिए, जो कि 200 की शेष लागत पर 45 प्रतिशत के लाभ को दर्शाता है।