एसएससी सीजीएल टियर 1 2022 मात्रात्मक अभिक्षमता प्रश्न — हल सहित

व्याख्या

कुल लाभ या हानि प्रतिशत की गणना करने के लिए, हम प्रभावी गुणक विधि (effective multiplier method) का उपयोग करते हैं। मान लीजिए कि 1 ग्राम सामान का क्रय मूल्य ₹1 है।

व्यापारी क्रय मूल्य पर 12.5% की हानि पर सामान बेचता है। 12.5% की हानि 1/8 के भिन्न के बराबर है, इसलिए मूल्य गुणक (price multiplier) 1 - 1/8 = 7/8 है।

व्यापारी 36 ग्राम वजन के स्थान पर 28 ग्राम वजन का उपयोग करता है। इसका अर्थ है कि वह ग्राहक से 36 ग्राम के लिए शुल्क लेता है लेकिन केवल 28 ग्राम प्रदान करता है। वजन गुणक (weight multiplier), जो गलत वजन का उपयोग करने से होने वाले लाभ को दर्शाता है, 36/28 = 9/7 है।

कुल गुणक (net multiplier) मूल्य गुणक और वजन गुणक का गुणनफल है: कुल गुणक = ⅞ × ⁹⁄₇ = ⁹⁄₈

चूंकि कुल गुणक 1 से अधिक है, इसलिए व्यापारी को लाभ होता है। लाभ का भिन्न = 9/8 - 1 = 1/8 है।

लाभ प्रतिशत = ⅛ × 100 = 12.5%

व्याख्या

किन्हीं भी दो संख्याओं का महत्तम समापवर्तक (HCF) हमेशा उनके लघुत्तम समापवर्त्य (LCM) का एक गुणनखंड होता है। यह गणितीय संबंध यह दर्शाता है कि LCM, HCF से पूर्णतः विभाज्य होना चाहिए, जिसे LCM = k × HCF के रूप में व्यक्त किया जाता है, जहाँ k एक धनात्मक पूर्णांक है। यह देखते हुए कि HCF 12 है, कोई भी संभावित LCM, 12 का गुणज होना चाहिए। जब 90 को 12 से विभाजित किया जाता है, तो परिणाम 90 / 12 = 7.5 प्राप्त होता है। चूंकि 90, 12 से पूर्णतः विभाज्य नहीं है और इसका भागफल एक पूर्णांक नहीं है, इसलिए यह 12 महत्तम समापवर्तक (HCF) वाली किसी भी दो संख्याओं के युग्म के लिए लघुत्तम समापवर्त्य (LCM) नहीं हो सकता है।

व्याख्या

दो संख्याओं a और b के बीच मध्यानुपाती (जिसे गुणोत्तर माध्य भी कहा जाता है) की गणना सूत्र √(a × b) का उपयोग करके की जाती है। यह मान एक सतत अनुपात a:x :: x:b में मध्य पद x को दर्शाता है, जिसका अर्थ है x² = ab।

दी गई संख्याएँ a = 169 और b = 144 हैं, इसलिए मध्यानुपाती है: √(169 × 144)

वर्गमूल के गुणधर्म √(x × y) = √x × √y को लागू करते हुए, हम अलग-अलग पूर्ण वर्गों के वर्गमूल की गणना करते हैं: √(169) = 13 √(144) = 12

इन परिणामों को गुणा करने पर: 13 × 12 = 156

व्याख्या

जब किसी आयत की विमाओं, जैसे कि लंबाई और चौड़ाई में क्रमशः x% और y% की वृद्धि की जाती है, तो क्षेत्रफल में शुद्ध प्रतिशत वृद्धि क्रमिक प्रतिशत परिवर्तनों के सूत्र द्वारा निर्धारित की जाती है: शुद्ध % परिवर्तन = x + y + ˣʸ⁄₁₀₀।

इस मामले में, लंबाई में x = 8% की वृद्धि होती है और चौड़ाई में y = 5% की वृद्धि होती है। इन मानों को सूत्र में रखने पर प्राप्त होता है: क्षेत्रफल में प्रतिशत वृद्धि = 8 + 5 + (8 × 5)/(100) क्षेत्रफल में प्रतिशत वृद्धि = 13 + ⁴⁰⁄₁₀₀ क्षेत्रफल में प्रतिशत वृद्धि = 13 + 0.4 = 13.4%

यह गणना दोनों विमाओं के गुणनफल पर व्यक्तिगत वृद्धियों के संयुक्त प्रभाव को दर्शाती है, जो आयत का क्षेत्रफल बनाती है।

व्याख्या

व्यंजक 49¹⁵ - 1, xⁿ - aⁿ के रूप में है, जहाँ x = 49, a = 1, और n = 15 है। विभाज्यता के बीजगणितीय सर्वसमिका के अनुसार, किसी भी धनात्मक पूर्णांक n के लिए, व्यंजक xⁿ - aⁿ हमेशा (x - a) से विभाज्य होता है।

दिए गए मानों को प्रतिस्थापित करने पर, हम पाते हैं कि 49¹⁵ - 1, 49 - 1 से विभाज्य है, जो 48 के बराबर है। चूंकि 48, 8 का एक गुणज है (48 = 8 × 6), इसलिए कोई भी संख्या जो 48 को विभाजित करती है, उसे मूल व्यंजक को भी विभाजित करना चाहिए। इसलिए, 8, 49¹⁵ - 1 का एक भाजक है।

वैकल्पिक रूप से, मापांक अंकगणित (modular arithmetic) का उपयोग करके, हम देख सकते हैं कि 49 ≡ 1 (mod 8) क्योंकि 49 = (6 × 8) + 1। सर्वांगसमता (congruences) के गुणों को लागू करने पर, 49¹⁵ ≡ 1¹⁵ (mod 8), जो सरल होकर 49¹⁵ ≡ 1 (mod 8) हो जाता है। दोनों पक्षों से 1 घटाने पर 49¹⁵ - 1 ≡ 0 (mod 8) प्राप्त होता है, जिससे यह पुष्टि होती है कि व्यंजक 8 से पूर्णतः विभाज्य है।

व्याख्या

D दूरी की एक दौड़ में, यदि धावक P, धावक Q को x मीटर से हराता है, तो समान समय में उनके द्वारा तय की गई दूरियों का अनुपात D : (D - x) होता है।

अनिल और बकुल के लिए, तय की गई दूरियों का अनुपात D_A / D_B = 1500 / (1500 - 150) = 1500 / 1350 = 10 / 9 है।

बकुल और चार्ल्स के लिए, तय की गई दूरियों का अनुपात D_B / D_C = 1500 / (1500 - 75) = 1500 / 1425 = 20 / 19 है।

अनिल और चार्ल्स के बीच दूरी का अनुपात ज्ञात करने के लिए, दोनों अनुपातों को गुणा करें: D_A / D_C = (D_A / D_B) × (D_B / D_C) = (10 / 9) × (20 / 19) = 200 / 171.

जब अनिल 1500 मीटर की दूरी तय करता है, तो मान लें कि चार्ल्स द्वारा तय की गई दूरी x है। 1500 / x = 200 / 171 x = (1500 × 171) / 200 x = 7.5 × 171 = 1282.5 मीटर।

वह दूरी जिससे अनिल ने चार्ल्स को हराया = 1500 - 1282.5 = 217.5 मीटर।

व्याख्या

8 वर्षों की अवधि में अर्जित कुल ब्याज, परिपक्वता राशि और मूलधन के बीच का अंतर है: ब्याज = 3725 - 2500 = 1225। साधारण ब्याज के सूत्र SI = (P × R × T)/(100) का उपयोग करते हुए, प्रति वर्ष की दर R को R = (SI × 100)/(P × T) के रूप में अलग किया जा सकता है। समीकरण में ज्ञात मानों को प्रतिस्थापित करने पर R = (1225 × 100)/(2500 × 8) प्राप्त होता है। शून्यों को काटकर गणना को सरल बनाने पर R = (1225)/(25 × 8) = ¹²²⁵⁄₂₀₀ प्राप्त होता है। 1225 को 200 से विभाजित करने पर प्रति वर्ष 6.125 प्रतिशत की दर प्राप्त होती है।

व्याख्या

प्रिंटर Z द्वारा मुद्रित पृष्ठों की औसत संख्या की गणना तीन दिनों में मुद्रित पृष्ठों की कुल संख्या को दिनों की संख्या से विभाजित करके की जाती है। तालिका में दिए गए आंकड़ों के अनुसार, प्रिंटर Z द्वारा मुद्रित पृष्ठ सोमवार को 210, मंगलवार को 160 और बुधवार को 218 हैं।

पृष्ठों का योग = 210 + 160 + 218 = 588

दिनों की संख्या = 3

औसत = (पृष्ठों का योग)/(कुल दिन) = ⁵⁸⁸⁄₃ = 196

व्याख्या

27 पारियों में बनाए गए कुल रनों की गणना 'कुल = औसत × पारियों की संख्या' सूत्र का उपयोग करके की जाती है, जिससे 47 × 27 = 1269 रन प्राप्त होते हैं। जब उच्चतम स्कोर (H) और न्यूनतम स्कोर (L) को हटा दिया जाता है, तो शेष 25 पारियों के लिए कुल रन 42 × 25 = 1050 रन होते हैं।

उच्चतम और न्यूनतम स्कोर का योग इन दोनों योगों के बीच का अंतर है: H + L = 1269 - 1050 = 219

प्रश्न के अनुसार, उच्चतम स्कोर न्यूनतम स्कोर से 157 रन अधिक है: H - L = 157

उच्चतम स्कोर ज्ञात करने के लिए, हम बीजगणितीय संबंध H = ((H + L) + (H - L))/(2) का उपयोग करते हैं। मानों को प्रतिस्थापित करने पर: H = (219 + 157)/(2) = ³⁷⁶⁄₂ = 188

व्याख्या

30 इकाइयों के कुल कार्य के लिए P की कार्यक्षमता 2 इकाई/दिन और Q की कार्यक्षमता 3 इकाई/दिन है। 2 दिनों तक एक साथ काम करने के बाद वे 10 इकाइयाँ पूरी करते हैं, जिससे P के लिए अकेले 10 दिनों में पूरा करने के लिए 20 इकाइयाँ बचती हैं, जिसके परिणामस्वरूप पूरी परियोजना के लिए कुल 12 दिन लगते हैं।

व्याख्या

समकोण त्रिभुज PQR में, समकोण शीर्ष Q पर स्थित है। कोण ∠ RPQ = α के लिए, कोण की सम्मुख भुजा QR है, जो लंब (p) का कार्य करती है, और कोण की संलग्न भुजा PQ है, जो आधार (b) का कार्य करती है। कर्ण (h) भुजा PR है। दिए गए मान QR = 8, PQ = 15, और PR = 17 हैं।

मूलभूत त्रिकोणमितीय अनुपातों का उपयोग करने पर: sin α = (लंब)/(कर्ण) = (QR)/(PR) = ⁸⁄₁₇ cos α = (आधार)/(कर्ण) = (PQ)/(PR) = ¹⁵⁄₁₇

sin α + cos α का मान ज्ञात करने के लिए, हम इन अनुपातों का योग करते हैं: sin α + cos α = ⁸⁄₁₇ + ¹⁵⁄₁₇ sin α + cos α = (8 + 15)/(17) = ²³⁄₁₇

व्याख्या

यह व्यंजक दो घनों के योग के बीजीय सर्वसमिका (algebraic identity) पर आधारित है, जो दर्शाती है कि a³ + b³ = (a + b)(a² - ab + b²)। a = 17 और b = 7 रखने पर, यह सर्वसमिका 17³ + 7³ = (17 + 7)(17² - 17 × 7 + 7²) बन जाती है।

पद 17 + 7 सरल होकर 24 हो जाता है। जब व्यंजक को उस प्रारूप से मिलाने के लिए पुनर्व्यवस्थित किया जाता है जहाँ घनों का योग गुणनखंडों 24 और (17² + 7² - k) से संबंधित है, तो यह स्पष्ट है कि (17² + 7² - k) प्रसार (expansion) के द्विघात भाग (a² + b² - ab) को दर्शाता है। सीधी तुलना करने पर, k का मान गुणनफल ab के बराबर होना चाहिए। इस गुणनफल की गणना करने पर k = 17 × 7 = 119 प्राप्त होता है।

व्याख्या

एक वृत्त की परिधि की गणना सूत्र C = 2π r का उपयोग करके की जाती है, जिसका अर्थ है कि त्रिज्या r = (C)/(2π) है। दो वृत्तों की त्रिज्याओं के बीच का अंतर उनकी परिधियों के बीच के अंतर के समानुपाती होता है।

दी गई परिधियों C₁ = 198 सेमी और C₂ = 352 सेमी का उपयोग करते हुए, त्रिज्याओं में अंतर Δ r निम्नलिखित सूत्र द्वारा निर्धारित किया जाता है:

Δ r = (C₂ - C₁)/(2π)

समीकरण में मान रखने पर:

Δ r = (352 - 198)/(2 × 22){7}

Δ r = (154 × 7)/(44)

भिन्न को सरल करने पर, जहाँ 154 को 22 से विभाजित करने पर 7 प्राप्त होता है:

Δ r = (7 × 7)/(2) = ⁴⁹⁄₂ = 24.5 सेमी

यह दृष्टिकोण प्रत्येक त्रिज्या की लंबाई को अलग से ज्ञात किए बिना सीधे अंतर की गणना करने की अनुमति देता है।

व्याख्या

केंद्र O वाले एक वृत्त में, मान लीजिए कि OA और OB त्रिज्याएँ हैं जो केंद्र को जीवा AB के अंत बिंदुओं से जोड़ती हैं। चूंकि OA और OB त्रिज्याएँ हैं, इसलिए OA = OB = 10 सेमी। इससे △ OAB एक समद्विबाहु त्रिभुज बन जाता है जहाँ बराबर भुजाओं के सम्मुख कोण बराबर होते हैं, इसलिए ∠ OAB = ∠ OBA। एक त्रिभुज के कोणों का योग 180° होता है, और केंद्रीय कोण ∠ AOB = 60° दिया गया है, इसलिए हमारे पास 60° + ∠ OAB + ∠ OBA = 180° है। इस गणना के परिणामस्वरूप ∠ OAB = ∠ OBA = 60° प्राप्त होता है। चूंकि △ OAB के तीनों आंतरिक कोण 60° हैं, इसलिए यह एक समबाहु त्रिभुज है। एक समबाहु त्रिभुज में, सभी भुजाओं की लंबाई बराबर होती है, इसलिए AB = OA = OB = 10 सेमी। वैकल्पिक रूप से, जीवा की लंबाई के सूत्र L = 2r sin(θ/2) का उपयोग करने पर, जहाँ r = 10 और θ = 60° है, लंबाई 2 × 10 × sin(30°) = 20 × 0.5 = 10 सेमी होगी।

व्याख्या

सीसे की गोलाकार गोलियों की संख्या की गणना आयताकार ठोस के कुल आयतन को एक गोलाकार गोली के आयतन से विभाजित करके की जाती है। माना L, W, और H आयताकार ठोस की विमाएँ हैं और r प्रत्येक गोलाकार गोली की त्रिज्या है।

आयताकार ठोस का आयतन Vₛₒₗᵢ_d = L × W × H = 88 × 63 × 42 सेमी³ द्वारा दिया गया है।

प्रत्येक गोलाकार गोली का व्यास 8.4 सेमी है, इसलिए त्रिज्या r = 4.2 सेमी है। गोले के आयतन के सूत्र का उपयोग करने पर, Vₛₚₕₑᵣₑ = ⁴⁄₃ π r³।

गोलियों की संख्या n है:

n = (88 × 63 × 42)/(4){3 × ²²⁄₇ × 4.2 × 4.2 × 4.2}

n = (88 × 63 × 42 × 21)/(88 × 4.2 × 4.2 × 4.2)

अंश के पदों को हर के पदों से विभाजित करके व्यंजक को सरल करने पर:

(63)/(4.2) = 15 (42)/(4.2) = 10 (21)/(4.2) = 5

n = 15 × 10 × 5 = 750

व्याख्या

कारखाने P द्वारा निर्मित चम्मचों की संख्या 100 है और कारखाने R द्वारा निर्मित चम्मचों की संख्या 150 है। P द्वारा निर्मित चम्मचों की संख्या का R द्वारा निर्मित चम्मचों की संख्या से अनुपात की गणना (P)/(R) = ¹⁰⁰⁄₁₅₀ के रूप में की जाती है। अंश और हर दोनों को उनके महत्तम समापवर्तक (greatest common divisor), 50 से विभाजित करने पर, भिन्न सरल होकर ⅔ हो जाता है। इस प्रकार, अनुपात 2:3 है।

व्याख्या

दिए गए व्यंजक को बुनियादी त्रिकोणमितीय सर्वसमिकाओं का उपयोग करके सरल किया जा सकता है। सबसे पहले, सर्वसमिकाओं tan²θ = sec²θ - 1 और cot²θ = csc²θ - 1 का उपयोग करें। इन्हें व्यंजक के पहले दो पदों में प्रतिस्थापित करने पर:

tan²θ + cot²θ = (sec²θ - 1) + (csc²θ - 1) = sec²θ + csc²θ - 2

इसके बाद, sec²θ + csc²θ और उनके गुणनफल के बीच संबंध को देखें। sin और cos में बदलने पर:

sec²θ + csc²θ = (1)/(cos²θ) + (1)/(sin²θ) = (sin²θ + cos²θ)/(sin²θ cos²θ)

चूंकि sin²θ + cos²θ = 1, यह सरल होकर निम्न रूप में आ जाता है:

(1)/(sin²θ cos²θ) = sec²θ csc²θ

इस सर्वसमिका को वापस पिछले समीकरण में प्रतिस्थापित करने पर:

tan²θ + cot²θ = sec²θ csc²θ - 2

वांछित व्यंजक प्राप्त करने के लिए पदों को पुनर्व्यवस्थित करने पर:

tan²θ + cot²θ - sec²θ csc²θ = -2

व्याख्या

यह व्यंजक मानक बीजगणितीय सर्वसमिका a³ - b³ = (a - b)(a² + ab + b²) का उपयोग करता है। इस सर्वसमिका में a = 17 और b = 7 प्रतिस्थापित करने पर, हमें प्राप्त होता है: (17)³ - (7)³ = (17 - 7)(17² + 17 × 7 + 7²) = 10(17² + 119 + 7²)।

इसे वापस मूल समीकरण में प्रतिस्थापित करने पर: 4 × 10(17² + 119 + 7²){17² + 7² + p} = 40 40(17² + 119 + 7²){17² + 7² + p} = 40

दोनों पक्षों को 40 से विभाजित करने पर, हमें प्राप्त होता है: 17² + 119 + 7²{17² + 7² + p} = 1 17² + 7² + 119 = 17² + 7² + p

समीकरण के दोनों पक्षों की तुलना करने पर, p का मान सीधे 119 के रूप में प्राप्त होता है।

व्याख्या

मान लीजिए कि एक महिला की दैनिक मजदूरी w है। चूंकि एक पुरुष एक महिला से 50 रुपये अधिक कमाता है, इसलिए एक पुरुष की दैनिक मजदूरी w + 50 है। सभी 1000 कर्मचारियों (700 पुरुषों और 300 महिलाओं) की कुल दैनिक मजदूरी की गणना कुल संख्या को औसत मजदूरी से गुणा करके की जाती है: 1000 × 450 = 4,50,000।

व्यक्तिगत मजदूरी का योग कुल मजदूरी के बराबर होना चाहिए: 700(w + 50) + 300w = 4,50,000 700w + 35,000 + 300w = 4,50,000 1000w + 35,000 = 4,50,000 1000w = 4,15,000 w = (4,15,000)/(1000) = 415

अतः, एक महिला की दैनिक मजदूरी 415 रुपये है।

व्याख्या

दिए गए व्यंजक को, हर को अंश के प्रत्येक पद में विभाजित करके सरल किया जा सकता है, जिसके परिणामस्वरूप ½cos x - √3{2}sin x प्राप्त होता है। मानक त्रिकोणमितीय मानों के अनुसार, cos (π)/(3) = ½ और sin (π)/(3) = √3{2} होता है। व्यंजक में इन मानों को प्रतिस्थापित करने पर, यह cos (π)/(3) cos x - sin (π)/(3) sin x हो जाता है। यह संरचना संयुक्त कोण सर्वसमिका cos(A + B) = cos A cos B - sin A sin B से मेल खाती है। A = (π)/(3) और B = x लेने पर, संपूर्ण व्यंजक सीधे cos((π)/(3) + x) के रूप में सरल हो जाता है।

व्याख्या

मान लीजिए कि दो संख्याएँ 3x और 8x हैं, जहाँ x उनके महत्तम समापवर्तक (HCF) को दर्शाता है। a:b के अनुपात में व्यक्त दो संख्याओं के लघुत्तम समापवर्त्य (LCM) की गणना सूत्र LCM = HCF × a × b का उपयोग करके की जाती है, बशर्ते कि a और b सह-अभाज्य (co-prime) हों। चूँकि 3 और 8 का 1 के अलावा कोई अन्य उभयनिष्ठ गुणनखंड (common factor) नहीं है, इसलिए वे सह-अभाज्य हैं।

दिए गए मानों को सूत्र में रखने पर: 120 = x × 3 × 8 120 = 24x x = ¹²⁰⁄₂₄ = 5

संख्याओं का योग उनके अनुपात के घटकों के योग को उनके HCF से गुणा करने पर प्राप्त होता है: योग = 3x + 8x = 11x योग = 11 × 5 = 55

व्याख्या

गुणनफल 95 × 105 की गणना वर्गों के अंतर की बीजीय सर्वसमिका का उपयोग करके सबसे आसानी से की जा सकती है, जो यह दर्शाती है कि (a - b)(a + b) = a² - b²। इस व्यंजक में, दोनों संख्याएँ 100 से समदूरस्थ हैं, जो गणना के लिए एक सुविधाजनक आधार का कार्य करता है। हम इस गुणन को (100 - 5) × (100 + 5) के रूप में लिख सकते हैं। a = 100 और b = 5 की पहचान करते हुए, हम इन मानों को सूत्र में प्रतिस्थापित करके 100² - 5² प्राप्त करते हैं। पदों का वर्ग करने पर परिणाम 10000 - 25 प्राप्त होता है। 10,000 में से 25 घटाने पर 9975 मान प्राप्त होता है। यह विधि अंकगणितीय प्रक्रिया को सरल बनाने के लिए 100 के परितः संख्याओं की सममिति का उपयोग करती है।

व्याख्या

किसी भी त्रिभुज ABC में, आंतरिक कोणों का योग हमेशा 180° होता है, जिसे A + B + C = 180° के रूप में व्यक्त किया जाता है। दिए गए समीकरणों से, हम कोण B और C को कोण A के पदों में व्यक्त कर सकते हैं। पहला संबंध A - B = 45° हमें B = A - 45° देता है। दूसरा संबंध B - C = 15° हमें C = B - 15° देता है। इस दूसरे समीकरण में B के मान को प्रतिस्थापित करने पर, हमें C = (A - 45°) - 15° = A - 60° प्राप्त होता है।

अब, त्रिभुज के कोणों के योग के सूत्र में B और C के मानों को प्रतिस्थापित करने पर:

A + (A - 45°) + (A - 60°) = 180°

3A - 105° = 180°

3A = 180° + 105°

3A = 285°

A = (285°)/(3) = 95°

व्याख्या

एक लंब वृत्तीय बेलन का आयतन V, सूत्र V = π r² h द्वारा निर्धारित किया जाता है। यह दिया गया है कि ऊँचाई h, 2.1 सेमी है और त्रिज्या r, ऊँचाई की तीन गुनी है, इसलिए त्रिज्या की गणना r = 3 × 2.1 = 6.3 सेमी के रूप में की जाती है। आयतन के सूत्र में इन मानों को रखने पर V = ²²⁄₇ × (6.3)² × 2.1 प्राप्त होता है। 2.1 को 7 से विभाजित करने पर, यह व्यंजक सरल होकर V = 22 × 39.69 × 0.3 हो जाता है। अंतिम गुणनफल की गणना करने पर V = 6.6 × 39.69 = 261.954 सेमी³ प्राप्त होता है।

व्याख्या

वर्गीकृत आंकड़ों के लिए माध्य मजदूरी x की गणना सूत्र x = (Σ fᵢ xᵢ)/(Σ fᵢ) का उपयोग करके की जाती है, जहाँ xᵢ प्रत्येक अंतराल के मध्य बिंदु को दर्शाता है और fᵢ संगत बारंबारता है। दिए गए अंतरालों के मध्य बिंदु 85, 95, 105, 115 और 125 हैं। बारंबारताओं और मध्य बिंदुओं के गुणनफलों के योग की गणना करने पर Σ fᵢ xᵢ = (9 × 85) + (3 × 95) + (31 × 105) + (5 × 115) + (2 × 125) = 765 + 285 + 3255 + 575 + 250 = 5130 प्राप्त होता है। 50 कर्मचारियों की कुल बारंबारता के साथ, माध्य मजदूरी 5130 / 50 = 102.6 है। 102.6 का यह परिणाम 100-110 के दैनिक मजदूरी अंतराल के अंतर्गत आता है।

व्याख्या

माना कि विक्रय मूल्य (SP) 100 इकाई है। प्रश्न के अनुसार, क्रय मूल्य (CP) विक्रय मूल्य का 72% है, जिससे CP = 72 इकाई प्राप्त होता है। लाभ को क्रय मूल्य पर विक्रय मूल्य के आधिक्य के रूप में परिभाषित किया जाता है।

लाभ = SP - CP = 100 - 72 = 28 इकाई

लाभ प्रतिशत की गणना मानक संबंध का उपयोग करके क्रय मूल्य के सापेक्ष की जाती है: लाभ % = (लाभ)/(CP) × 100

सूत्र में ज्ञात मानों को रखने पर: लाभ % = ²⁸⁄₇₂ × 100

अंश और हर दोनों को 4 से विभाजित करके भिन्न ²⁸⁄₇₂ को सरल करने पर, व्यंजक इस प्रकार हो जाता है: लाभ % = ⁷⁄₁₈ × 100 = ⁷⁰⁰⁄₁₈

भाग करने पर: 700 ÷ 18 = 38.888...

दशमलव के दो स्थानों तक पूर्णांकित करने पर परिणाम 38.89% प्राप्त होता है।

व्याख्या

व्यंजक a³ + b³ + c³ के रूप में है, जहाँ a = 12, b = -8, और c = -4 है। बीजगणितीय सर्वसमिका के अनुसार, यदि a + b + c = 0 है, तो a³ + b³ + c³ = 3abc होता है। पदों के योग की जाँच करने पर, हम पाते हैं कि 12 + (-8) + (-4) = 12 - 12 = 0 है। चूंकि योग शून्य है, इसलिए व्यंजक के मान की गणना 3 × 12 × (-8) × (-4) के रूप में की जाती है। इन मानों को आपस में गुणा करने पर 36 × 32 प्राप्त होता है, जो 1152 के बराबर है।

व्याख्या

जब ब्याज अर्धवार्षिक रूप से संयोजित होता है, तो वार्षिक ब्याज दर को दो से विभाजित किया जाता है और समय अवधि की संख्या दोगुनी हो जाती है। 2 वर्ष की अवधि के लिए 20% की वार्षिक दर दिए जाने पर, आवधिक दर r = 20% / 2 = 10% प्रति अर्धवर्ष है, और संयोजन अवधियों की कुल संख्या n = 2 × 2 = 4 है।

चक्रवृद्धि ब्याज (CI) का सूत्र CI = P[(1 + r/100)ⁿ - 1] है। मूलधन P = 15,750, आवधिक दर r = 10, और अवधियों की संख्या n = 4 रखने पर:

CI = 15,750 × [(1 + 10/100)⁴ - 1] CI = 15,750 × [(1.1)⁴ - 1]

वृद्धि कारक के घात की गणना करने पर, (1.1)⁴ का मान 1.4641 होता है। समीकरण इस प्रकार हो जाता है:

CI = 15,750 × [1.4641 - 1] CI = 15,750 × 0.4641 CI = 7,309.575

परिणामी मान अर्धवार्षिक संयोजन के साथ दो वर्षों में अर्जित कुल चक्रवृद्धि ब्याज को दर्शाता है।

व्याख्या

किया गया कुल कार्य स्थिर है, इसलिए हम संबंध (5m + 8w) × 12 = (3m + 7w) × 15 का उपयोग करते हैं। दोनों पक्षों को 3 से विभाजित करके इस समीकरण को सरल करने पर 4(5m + 8w) = 5(3m + 7w) प्राप्त होता है, जिसका विस्तार करने पर 20m + 32w = 15m + 35w प्राप्त होता है। पदों को पुनर्व्यवस्थित करने पर 5m = 3w प्राप्त होता है, जिसका अर्थ है कि 5 पुरुषों की कार्य क्षमता 3 महिलाओं के बराबर है। पहले कार्य समीकरण में 5m को 3w से प्रतिस्थापित करने पर, कुल कार्य (3w + 8w) × 12 होता है, जो सरल होकर 11w × 12 हो जाता है। 11 महिलाओं द्वारा लिया गया समय ज्ञात करने के लिए, हम कुल कार्य को उनकी संयुक्त दक्षता से विभाजित करते हैं: (11w × 12) / 11w = 12 दिन।

व्याख्या

मान लीजिए x = 2a और y = 3b है। दिए गए समीकरणों को x³ + y³ = 16 और x + y = 4 के रूप में फिर से लिखा जा सकता है।

बीजगणितीय सर्वसमिका x³ + y³ = (x + y)³ - 3xy(x + y) का उपयोग करते हुए, ज्ञात मानों को प्रतिस्थापित करने पर: 16 = 4³ - 3xy(4) 16 = 64 - 12xy 12xy = 48 xy = 4

x और y के बीच के संबंध को (x - y)² = (x + y)² - 4xy का उपयोग करके आगे निर्धारित किया जा सकता है: (x - y)² = 4² - 4(4) = 16 - 16 = 0 इससे प्राप्त होता है कि x = y है। चूंकि x + y = 4 है, इसलिए हमारे पास x = 2 और y = 2 है।

ज्ञात किया जाने वाला व्यंजक 16a⁴ + 81b⁴ है, जो (2a)⁴ + (3b)⁴ या x⁴ + y⁴ के समतुल्य है। x और y के मानों को प्रतिस्थापित करने पर: x⁴ + y⁴ = 2⁴ + 2⁴ = 16 + 16 = 32

व्याख्या

प्रश्न में चर k का मान ज्ञात करने के लिए त्रिकोणमितीय फलनों से युक्त एक समीकरण दिया गया है। त्रिकोणमितीय अनुपातों के मानक मानों को प्रतिस्थापित करने पर: cot 30° = √3, sin 60° = √3/2, tan 45° = 1, और csc 60° = 2/√3।

समीकरण को इस प्रकार व्यक्त किया जा सकता है: (k(1 - cot² 30°))/(1 + cot² 30°) = sin² 60° + 4tan² 45° - csc² 60°

बाएँ पक्ष (LHS) में संख्यात्मक मानों को प्रतिस्थापित करने पर: LHS = k(1 - (√3)²)/(1 + (√3)²) = (k(1 - 3))/(1 + 3) = -2k/4 = -k/2

दाएँ पक्ष (RHS) में संख्यात्मक मानों को प्रतिस्थापित करने पर: RHS = (√3/2)² + 4(1)² - (2/√3)² = 3/4 + 4 - 4/3

RHS को हल करने के लिए, 12 का एक उभयनिष्ठ हर (common denominator) ज्ञात कीजिए: RHS = 9/12 + 48/12 - 16/12 = (9 + 48 - 16)/12 = 41/12

LHS और RHS की तुलना करने पर: -k/2 = 41/12 k = -(41 × 2)/12 = -41/6 k = -6.8333...

दो दशमलव स्थानों तक पूर्णांकित करने पर, k का मान -6.83 है।

व्याख्या

एक ही बाहरी बिंदु से वृत्त पर खींचे गए स्पर्शरेखा खंड और छेदक रेखा खंड के बीच का संबंध स्पर्शरेखा-छेदक प्रमेय (Tangent-Secant Theorem) द्वारा परिभाषित किया जाता है। यह प्रमेय बताता है कि स्पर्शरेखा खंड PT की लंबाई का वर्ग, छेदक रेखा खंड के बाहरी भाग PA और संपूर्ण छेदक रेखा खंड PB की लंबाइयों के गुणनफल के बराबर होता है।

सूत्र इस प्रकार दिया गया है: PT² = PA × PB

दिया गया है कि PA = 3 सेमी और AB = 9 सेमी है, संपूर्ण छेदक रेखा खंड PB की लंबाई बाहरी भाग और जीवा भाग का योग है: PB = PA + AB = 3 + 9 = 12 सेमी

इन मानों को प्रमेय के सूत्र में प्रतिस्थापित करने पर, हम स्पर्शरेखा की लंबाई के वर्ग की गणना करते हैं: PT² = 3 × 12 PT² = 36

दोनों पक्षों का वर्गमूल लेने पर स्पर्शरेखा खंड की लंबाई प्राप्त होती है: PT = √(36) = 6 सेमी

यह प्रत्यक्ष ज्यामितीय संबंध केवल प्रतिच्छेदी छेदक रेखा के खंडों का उपयोग करके स्पर्शरेखा की लंबाई की गणना करने की अनुमति देता है।

व्याख्या

जब तांबे के एक ठोस गोले को पीटकर और ढालकर एक तार में बदला जाता है, तो सामग्री का आयतन समान रहता है। तार बेलनाकार आकार का होता है। माना गोले की त्रिज्या rₛ है, तार की त्रिज्या r_w है, और तार की लंबाई h है।

गोले का आयतन इस सूत्र द्वारा दिया जाता है: Vₛ = ⁴⁄₃ π rₛ³

बेलनाकार तार का आयतन इस सूत्र द्वारा दिया जाता है: V_w = π r_w² h

दोनों आयतनों को बराबर करने पर: ⁴⁄₃ π (9)³ = π (2)² h

दोनों पक्षों को π से विभाजित करने और मान रखने पर: ⁴⁄₃ × 729 = 4h 4 × 243 = 4h h = 243 सेमी

तार की लंबाई 243 सेमी है।

व्याख्या

व्यंजक √((1 + cos A)/(1 - cos A)) को सरल करने के लिए, हम वर्गमूल के भीतर अंश और हर दोनों को हर के संयुग्मी (conjugate), जो कि 1 + cos A है, से गुणा करके व्यंजक का परिमेयकरण करते हैं:

√((1 + cos A)/(1 - cos A) × (1 + cos A)/(1 + cos A)) = √(((1 + cos A)²)/(1 - cos² A))

मूलभूत त्रिकोणमितीय सर्वसमिका sin² A + cos² A = 1 का उपयोग करते हुए, हम 1 - cos² A को sin² A से प्रतिस्थापित करते हैं:

√(((1 + cos A)²)/(sin² A)) = (1 + cos A)/(sin A)

भिन्न को दो भागों में विभाजित करके, हम व्युत्क्रम और भागफल सर्वसमिकाओं को लागू करते हैं:

(1)/(sin A) + (cos A)/(sin A) = cosec A + cot A

यह गणितीय व्युत्पत्ति दर्शाती है कि प्रारंभिक वर्गमूल व्यंजक सीधे कोण के cosec और cot के योग में सरल हो जाता है।

व्याख्या

अभीष्ट अनुपात ज्ञात करने के लिए, सबसे पहले सभी छह विद्यालयों में खेल A और खेल B के लिए खिलाड़ियों की कुल संख्या की गणना करें।

खेल A में कुल खिलाड़ी = 31 + 24 + 18 + 29 + 12 + 40 = 154 खेल B में कुल खिलाड़ी = 58 + 36 + 26 + 37 + 33 + 44 = 234

खेल A में कुल खिलाड़ियों का खेल B में कुल खिलाड़ियों से अनुपात 154 : 234 है। दोनों पदों को 2 से विभाजित करके इस अनुपात को सरल करने पर, हमें प्राप्त होता है:

154 / 2 : 234 / 2 = 77 : 117

व्याख्या

द्विपद के वर्ग के लिए बीजगणितीय सर्वसमिका (a + b)² = a² + 2ab + b² है। इस सूत्र में a = mx और b = n प्रतिस्थापित करने पर, प्रसार इस प्रकार निर्धारित होता है:

(mx + n)² = (mx)² + 2(mx)(n) + n²

(mx + n)² = m²x² + 2mnx + n²

चूंकि व्यंजक m²x² + 2mnx + n² वास्तव में (mx + n) का वर्ग है, इसलिए यह निष्कर्ष निकलता है कि (mx + n) इस व्यंजक का एक गुणनखंड है। यह संबंध पुष्टि करता है कि द्विघात बहुपद, रैखिक द्विपद (mx + n) द्वारा पूर्णतः विभाज्य है।

व्याख्या

किसी यात्रा की दूरी D, जब दो अलग-अलग चालों v₁ और v₂ के कारण समय का अंतर Δ t होता है, तो इसे निम्नलिखित सूत्र द्वारा ज्ञात किया जाता है:

D = (v₁ × v₂)/(|v₁ - v₂|) × Δ t

इस प्रश्न में, चालें v₁ = 45 किमी/घंटा और v₂ = 30 किमी/घंटा हैं। समय का अंतर 15 मिनट दिया गया है, जिसे चाल की इकाइयों के अनुरूप बदलने के लिए घंटों में परिवर्तित किया जाना चाहिए:

Δ t = ¹⁵⁄₆₀ = ¼ घंटा

दूरी के सूत्र में मान रखने पर:

D = (45 × 30)/(45 - 30) × ¼

D = ¹³⁵⁰⁄₁₅ × ¼

D = 90 × ¼

D = 22.5 किमी

व्याख्या

मान लीजिए C का कुल वेतन S है। इस प्रश्न के लिए मानक अनुपातों के आधार पर, जिसके परिणामस्वरूप दिया गया अनुपात प्राप्त होता है, कर वेतन का ¼ है और बचत वेतन का ⅓ है।

गणना को सरल बनाने के लिए, मान लीजिए कि कुल वेतन S, हरों 4 और 3 का लघुत्तम समापवर्त्य (LCM) है, जो कि 12 इकाई है।

कर = ¼ × 12 = 3 इकाई बचत = ⅓ × 12 = 4 इकाई

कुल व्यय की गणना कुल वेतन में से कर और बचत को घटाकर की जाती है: व्यय = कुल वेतन - (कर + बचत) व्यय = 12 - (3 + 4) = 5 इकाई

व्यय का बचत से अनुपात है: अनुपात = व्यय : बचत = 5 : 4

व्याख्या

बाइकों की गति का अनुपात समान समय में तय की गई दूरी से निर्धारित किया जा सकता है। 1200 मीटर की दौड़ में, जब बाइक A समाप्त करती है, तो बाइक B ने 1200 - 100 = 1100 मीटर की दूरी तय की होती है। इस प्रकार, उनकी गति का अनुपात V_A : V_B = 1200 : 1100 = 12 : 11 है। 600 मीटर की दौड़ में, जब बाइक B समाप्त करती है, तो बाइक C ने 600 - 100 = 500 मीटर की दूरी तय की होती है, इसलिए V_B : V_C = 600 : 500 = 6 : 5 है।

बाइक A और बाइक C के बीच का अनुपात ज्ञात करने के लिए, दोनों अनुपातों को गुणा करें: V_A/V_C = (V_A/V_B) × (V_B/V_C) = (12/11) × (6/5) = 72/55

720 मीटर की दौड़ में, बाइक A, बाइक C को 30 सेकंड से हरा देती है। किसी बाइक द्वारा लिया गया समय सूत्र समय = दूरी / गति द्वारा दिया जाता है। समय के अंतर के लिए समीकरण स्थापित करने पर: 720/V_C - 720/V_A = 30

समीकरण में V_A = ⁷²⁄₅₅ V_C प्रतिस्थापित करने पर: 720/V_C - 720/(⁷²⁄₅₅ V_C) = 30 720/V_C - (720 × 55)/(72 × V_C) = 30 720/V_C - 550/V_C = 30 170/V_C = 30 V_C = 17/3 मीटर/सेकंड

व्याख्या

प्रत्येक गांव के लिए अवैध मतों को ज्ञात करने के लिए, हम मतदान किए गए मतों की संख्या की गणना करते हैं और फिर अवैध मतों का प्रतिशत लागू करते हैं, जो कि 100% में से वैध मतों के प्रतिशत को घटाने पर प्राप्त होता है।

गांव R के लिए, कुल मतों की संख्या 100 × 100 = 10,000 है। मतदान किए गए मतों की संख्या 10,000 का 65% है, जो कि 6,500 है। चूंकि मतदान किए गए मतों का 65% वैध है, इसलिए अवैध मत मतदान किए गए मतों का 35% हैं। R के अवैध मत = 6,500 × ³⁵⁄₁₀₀ = 65 × 35 = 2,275

गांव U के लिए, कुल मतों की संख्या 40 × 100 = 4,000 है। मतदान किए गए मतों की संख्या 4,000 का 90% है, जो कि 3,600 है। चूंकि मतदान किए गए मतों का 60% वैध है, इसलिए अवैध मत मतदान किए गए मतों का 40% हैं। U के अवैध मत = 3,600 × ⁴⁰⁄₁₀₀ = 36 × 40 = 1,440

गांव R के अवैध मतों का गांव U के अवैध मतों से अनुपात 2,275 : 1,440 है। दोनों पक्षों को उभयनिष्ठ गुणनखंड 5 से विभाजित करने पर, हमें 455 : 288 प्राप्त होता है।

व्याख्या

गलत वजन का उपयोग करके क्रय मूल्य पर बेचने वाले एक बेईमान व्यापारी के लिए लाभ प्रतिशत की गणना इस सूत्र का उपयोग करके की जाती है: लाभ % = (वास्तविक वजन - गलत वजन)/(गलत वजन) × 100।

12.5% का लाभ दिया गया है, हम इसे एक भिन्न के रूप में व्यक्त कर सकते हैं: 12.5% = (12.5)/(100) = ⅛। मान लीजिए कि व्यापारी द्वारा उपयोग किया जाने वाला गलत वजन w ग्राम है। वास्तविक वजन 1 किग्रा है, जो कि 1000 ग्राम है।

इन मानों को संबंध में रखने पर: (1000 - w)/(w) = ⅛

तिर्यक गुणन करने पर प्राप्त होता है: 8 × (1000 - w) = w 8000 - 8w = w 9w = 8000 w = ⁸⁰⁰⁰⁄₉ w = 888.88... ग्राम

एक दशमलव स्थान तक पूर्णांकित करने पर, व्यापारी 1 किग्रा दर्शाने के लिए 888.8 ग्राम वजन का उपयोग करता है।

व्याख्या

4 और 7 दोनों से विभाज्य संख्या उनके लघुत्तम समापवर्त्य (LCM) का एक गुणज होनी चाहिए। चूंकि 4 और 7 सह-अभाज्य हैं, इसलिए उनका LCM(4, 7) = 4 × 7 = 28 होगा। 28 से विभाज्य तीन अंकों की सबसे बड़ी संख्या ज्ञात करने के लिए, हम तीन अंकों की सबसे बड़ी संभावित संख्या, 999 को 28 से विभाजित करते हैं। 999 ÷ 28 के विभाजन के परिणामस्वरूप पूर्णांक भागफल 35 और शेषफल 19 प्राप्त होता है। इस शेषफल को 999 में से घटाने पर 28 का सबसे बड़ा तीन अंकों का गुणज प्राप्त होता है: 999 - 19 = 980। इसे भागफल को LCM से सीधे गुणा करके भी ज्ञात किया जा सकता है: 35 × 28 = 980।

व्याख्या

कुल कार्य A और B द्वारा लिए गए समय का लघुत्तम समापवर्त्य (LCM) लेकर निर्धारित किया जाता है। 10 और 16 का LCM 80 इकाई है। इसके आधार पर, A की कार्यक्षमता 80 / 10 = 8 इकाई प्रति दिन है, और B की कार्यक्षमता 80 / 16 = 5 इकाई प्रति दिन है।

चूंकि वे A से शुरू करते हुए बारी-बारी से काम करते हैं, इसलिए 2 दिनों के एक चक्र में, पूरा किया गया कुल कार्य 8 + 5 = 13 इकाई है। 80 इकाई के कुल कार्य तक पहुँचने के लिए, 6 पूर्ण चक्रों की आवश्यकता होती है, जिससे 12 दिनों में 6 × 13 = 78 इकाई कार्य पूरा होता है।

12 दिनों के बाद, शेष कार्य 80 - 78 = 2 इकाई है। 13वें दिन, काम करने की बारी A की है। चूंकि A एक पूरे दिन में 8 इकाई पूरा कर सकता है, इसलिए शेष 2 इकाई को पूरा करने में लिया गया समय 2 / 8 = 1/4 दिन है। पूरे कार्य को समाप्त करने में लिया गया कुल समय 12 + 1/4 = 12 ¼ दिन है।

व्याख्या

भुजा की लंबाई a वाले एक घन के विकर्ण की लंबाई d को ज्यामितीय संबंध d = a√3 द्वारा परिभाषित किया जाता है। यह सूत्र त्रिविम (three dimensions) में दो बार पाइथागोरस प्रमेय लागू करने से प्राप्त होता है। यह दिया गया है कि घन का विकर्ण 7√3 सेमी है, भुजा की लंबाई निर्धारित करने के लिए हम इस मान को सूत्र में रखते हैं: a√3 = 7√3 a = 7 सेमी

एक घन का कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल उसके छह वर्गाकार फलकों के क्षेत्रफलों का योग होता है। चूंकि प्रत्येक फलक का क्षेत्रफल a² होता है, इसलिए कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल SA का सूत्र 6a² है। ऊपर प्राप्त की गई भुजा की लंबाई a = 7 सेमी का उपयोग करने पर, गणना इस प्रकार है: SA = 6 × (7)² SA = 6 × 49 SA = 294 सेमी²

व्याख्या

चूंकि △ BPQ ≅ △ ASR है, इसलिए दोनों त्रिभुजों के संगत कोण बराबर हैं। इसलिए, ∠ B = ∠ A, ∠ P = ∠ S, और ∠ Q = ∠ R।

दी गई शर्त के अनुसार, ∠ A = ⅓ ∠ R = ∠ S। माना ∠ A = x। इसका अर्थ है कि ∠ S = x और ∠ R = 3x। △ ASR में, सभी आंतरिक कोणों का योग 180° होता है। मानों को प्रतिस्थापित करने पर, हमें प्राप्त होता है:

∠ A + ∠ S + ∠ R = 180° x + x + 3x = 180° 5x = 180° x = 36°

चूंकि सर्वांगसमता △ BPQ ≅ △ ASR में ∠ Q, ∠ R के संगत है, इसलिए हमारे पास ∠ Q = ∠ R है। x के मान को ∠ R के व्यंजक में प्रतिस्थापित करने पर:

∠ Q = 3x = 3 × 36° = 108°

व्याख्या

मूल्य वृद्धि (मार्कअप) और उसके बाद दी जाने वाली छूट से प्राप्त होने वाले लाभ प्रतिशत की गणना क्रमिक प्रतिशत परिवर्तन सूत्र का उपयोग करके की जा सकती है। माना m क्रय मूल्य पर मूल्य वृद्धि प्रतिशत है और d अंकित मूल्य पर छूट प्रतिशत है। शुद्ध लाभ प्रतिशत सूत्र m - d - (m · d)/(100) द्वारा दिया जाता है।

यह देखते हुए कि m = 20% और d = 10%, हम इन मानों को सूत्र में रखते हैं: लाभ % = 20 - 10 - (20 · 10)/(100) लाभ % = 10 - 2 = 8%

हम विशिष्ट मानों की गणना करके भी इसकी पुष्टि कर सकते हैं। चूंकि 2,400 का अंकित मूल्य क्रय मूल्य (CP) से 20% अधिक है, इसलिए हमारे पास 1.2 · CP = 2400 है, जिससे CP = 2000 प्राप्त होता है। विक्रय मूल्य (SP) अंकित मूल्य में से 10% छूट घटाने पर प्राप्त होता है: SP = 2400 - 0.10 · 2400 = 2160। लाभ = SP - CP = 2160 - 2000 = 160 है। क्रय मूल्य के प्रतिशत के रूप में व्यक्त करने पर, लाभ ¹⁶⁰⁄₂₀₀₀ · 100 = 8% है।

व्याख्या

किसी अवधि में कुल साधारण ब्याज की गणना SI = (P × R × T)/(100) के रूप में की जाती है। कुल मिश्रधन A, मूलधन P और साधारण ब्याज का योग है, जिसे A = P(1 + (RT)/(100)) के रूप में व्यक्त किया जा सकता है। दिए गए मानों R = 30% वार्षिक और T = 7 वर्ष का उपयोग करने पर, अर्जित कुल ब्याज मूलधन का 30 × 7 = 210% है।

मिश्रधन A मूलधन के 100% (मूलधन) + 210% (ब्याज) = 310% को दर्शाता है। दिया गया है 310% = 15500, हम भाग देकर 1% का मान ज्ञात करते हैं: 1% = ¹⁵⁵⁰⁰⁄₃₁₀ = 50

7 वर्षों के लिए कुल ब्याज 210% है: ब्याज = 210 × 50 = 10500

वैकल्पिक रूप से, मूलधन की गणना पहले की जा सकती है: P = (15500)/(3.1) = 5000 ब्याज, अंतिम मिश्रधन और मूलधन के बीच का अंतर है: ब्याज = 15500 - 5000 = 10500

व्याख्या

प्रत्येक विषय में अंकों की तुलना करने पर, हम उन छात्रों की पहचान करते हैं जिन्होंने सर्वाधिक अंक प्राप्त किए हैं: हिंदी - कंचना (89), अंग्रेजी - दीक्षा (92), गणित - दीक्षा (96), भौतिकी - अमित (88), रसायन विज्ञान - कुणाल (94), और जीव विज्ञान - दीक्षा (88)। दीक्षा एकमात्र ऐसी छात्रा है जिसने एक से अधिक विषयों (अंग्रेजी, गणित और जीव विज्ञान) में सर्वाधिक अंक प्राप्त किए हैं। इसलिए, केवल एक छात्र इस मानदंड को पूरा करता है।

व्याख्या

व्यंजक (x²)/(yz) + (y²)/(xz) + (z²)/(xy) का मान ज्ञात करने के लिए, हम सबसे पहले एक समान हर (common denominator) ज्ञात करके व्यंजक को सरल करते हैं, जो कि xyz है। इसके परिणामस्वरूप प्राप्त होता है:

(x³ + y³ + z³)/(xyz)

घनों के योग के लिए बीजीय सर्वसमिका (algebraic identity) यह दर्शाती है कि x³ + y³ + z³ - 3xyz = (x + y + z)(x² + y² + z² - xy - yz - zx) होता है। दी गई शर्त x + y + z = 0 के अनुसार, इस सर्वसमिका का पूरा दायां पक्ष शून्य हो जाता है:

x³ + y³ + z³ - 3xyz = 0 · (x² + y² + z² - xy - yz - zx) = 0

इससे यह प्राप्त होता है कि x³ + y³ + z³ = 3xyz है। इस परिणाम को हमारे सरलीकृत व्यंजक में प्रतिस्थापित करने पर:

(3xyz)/(xyz) = 3

इसे हल करने का दूसरा कुशल तरीका मान प्रतिस्थापन (value substitution) है। यदि हम x, y, और z के लिए ऐसे मान चुनते हैं जिनका योग शून्य हो, उदाहरण के लिए, x = 1, y = 1, और z = -2, तो व्यंजक इस प्रकार हो जाता है:

(1²)/(1 · (-2)) + (1²)/(1 · (-2)) + ((-2)²)/(1 · 1) = -½ - ½ + ⁴⁄₁ = -1 + 4 = 3

व्याख्या

त्रिपद के वर्ग के लिए बीजीय सर्वसमिका का उपयोग करने पर: (a + b + c)² = a² + b² + c² + 2(ab + bc + ca)

दिए गए मानों a² + b² + c² = 9 और ab + bc + ca = 8 को सूत्र में रखने पर: (a + b + c)² = 9 + 2(8) (a + b + c)² = 9 + 16 = 25

(a + b + c) का मान ज्ञात करने के लिए, दोनों पक्षों का वर्गमूल लेने पर: a + b + c = ±√(25) = ± 5

अब, दोनों संभावित स्थितियों के लिए व्यंजक (a + b + c) - 3 की गणना करें: स्थिति 1: यदि a + b + c = 5, तो 5 - 3 = 2. स्थिति 2: यदि a + b + c = -5, तो -5 - 3 = -8.

विकल्पों में मान 2 दिया गया है।