एसएससी सीजीएल टियर 1 2022 मात्रात्मक अभिक्षमता प्रश्न — हल सहित

व्याख्या

पूरक कोणों के लिए त्रिकोणमितीय सर्वसमिका के अनुसार, tan θ = cot (90° - θ) होता है। इसका अर्थ यह है कि यदि tan A = cot B है, तो कोणों का योग 90° होना चाहिए, अर्थात A + B = 90°। इसे दिए गए समीकरण tan (4α - 50°) = cot (50° - α) पर लागू करने पर, हम कोणों के योग को 90° के बराबर रखते हैं:

(4α - 50°) + (50° - α) = 90°

α वाले पदों और अचर संख्यात्मक मानों को संयोजित करने पर, समीकरण इस प्रकार सरल हो जाता है:

4α - α - 50° + 50° = 90°

3α = 90°

दोनों पक्षों को 3 से भाग देने पर प्राप्त होता है:

α = (90°)/(3) = 30°

चूंकि 30° एक न्यूनकोण है, इसलिए यह प्रश्न में दी गई शर्त को संतुष्ट करता है।

व्याख्या

एक वृत्त के त्रिज्यखंड के क्षेत्रफल की गणना सूत्र क्षेत्रफल = (θ)/(360) × π r² का उपयोग करके की जाती है, जहाँ θ डिग्री में केंद्रीय कोण है और r वृत्त की त्रिज्या है। दिया गया है कि त्रिज्या r = 6 सेमी और केंद्रीय कोण θ = 40° है, त्रिज्यखंड का क्षेत्रफल ⁴⁰⁄₃₆₀ × π × (6)² है। यह सरल होकर ⅑ × 36π हो जाता है, जो 4π सेमी² के बराबर है।

व्याख्या

कुल कार्य को 13 और 17 के लघुत्तम समापवर्त्य (LCM) के रूप में लिया गया है, जो कि 13 × 17 = 221 इकाई है। A की दैनिक कार्यक्षमता 221 / 13 = 17 इकाई प्रति दिन है, और B की दैनिक कार्यक्षमता 221 / 17 = 13 इकाई प्रति दिन है।

चूंकि वे A से शुरू करते हुए बारी-बारी से कार्य करते हैं, इसलिए 2 दिनों के एक चक्र (cycle) में पूरा किया गया कुल कार्य 17 + 13 = 30 इकाई है। पूर्ण चक्रों की संख्या ज्ञात करने के लिए, कुल कार्य को एक चक्र में किए गए कार्य से विभाजित करें: 221 / 30 = 7 चक्र (शेषफल के साथ)।

7 चक्रों (7 × 2 = 14 दिनों) में पूरा किया गया कार्य 7 × 30 = 210 इकाई है। शेष कार्य 221 - 210 = 11 इकाई है। 15वें दिन, कार्य करने की बारी A की है। चूंकि A की कार्यक्षमता 17 इकाई प्रति दिन है, इसलिए शेष 11 इकाइयों को पूरा करने के लिए A द्वारा लिया गया समय 11 / 17 दिन है। इसलिए, पूरे कार्य को पूरा करने के लिए आवश्यक कुल समय 14 + 11 / 17 = 14 ¹¹⁄₁₇ दिन है।

व्याख्या

साझेदारी में लाभ का वितरण निवेश और उस समय अवधि जिसके लिए राशि का निवेश किया गया था, के गुणनफल के अनुपात में किया जाता है। निहत ने पूरे 12 महीनों के लिए 700 रुपये का निवेश किया। अमित और पटेल 5 महीने बाद शामिल हुए, इसलिए उनकी निवेश अवधि 12 - 5 = 7 महीने थी।

उनके लाभ के हिस्से का अनुपात है: निहत : अमित : पटेल = (700 × 12) : (300 × 7) : (400 × 7) 8400 : 2100 : 2800

700 से विभाजित करने पर, सरलीकृत अनुपात है: 12 : 3 : 4

अनुपातों का योग 12 + 3 + 4 = 19 है। दिया गया है कि कुल लाभ 627 रुपये है, तो एक इकाई का मान है: 627 / 19 = 33

अनुपात में पटेल का हिस्सा 4 इकाइयों के संगत है: पटेल का हिस्सा = 4 × 33 = 132

व्याख्या

त्रिज्या R और r वाले दो वृत्तों और उनके केंद्रों के बीच की दूरी d के लिए उभयनिष्ठ अनुस्पर्श रेखा की लंबाई सूत्र L = √(d² - (R - r)²) द्वारा दी जाती है। जब दो वृत्त एक-दूसरे को बाह्य रूप से स्पर्श करते हैं, तो उनके केंद्रों के बीच की दूरी उनकी त्रिज्याओं के योग के बराबर होती है, इसलिए d = R + r होता है। इसे सूत्र में प्रतिस्थापित करने पर L = √((R + r)² - (R - r)²) प्राप्त होता है, जिसे बीजीय सर्वसमिका (a + b)² - (a - b)² = 4ab का उपयोग करके L = √(4Rr) = 2√(Rr) के रूप में सरल किया जा सकता है।

इस प्रश्न में, पहले वृत्त की त्रिज्या R = 17 सेमी और दूसरे वृत्त की त्रिज्या r = 7 सेमी है। इन मानों को सरलीकृत सूत्र में प्रतिस्थापित करने पर उभयनिष्ठ अनुस्पर्श रेखा BC की लंबाई = 2√(17 × 7) = 2√(119) सेमी प्राप्त होती है।

व्याख्या

△ PRQ में, चूँकि रेखाखंड AB को भुजा QR के समांतर खींचा गया है, इसलिए कोण-कोण (AA) समरूपता कसौटी के अनुसार △ PAB, △ PQR के समरूप है, क्योंकि ∠ P उभयनिष्ठ है और ∠ PAB = ∠ PQR (संगत कोण)।

PA की लंबाई की गणना PQ की कुल लंबाई में से QA को घटाकर की जाती है: PA = PQ - QA = 6 सेमी - 3 सेमी = 3 सेमी

समरूप त्रिभुजों के गुणों के अनुसार, संगत भुजाओं का अनुपात बराबर होना चाहिए: (PA)/(PQ) = (AB)/(QR)

अनुपात में दिए गए मानों को रखने पर: ³⁄₆ = (AB)/(8) ½ = (AB)/(8) AB = ⁸⁄₂ = 4.0 सेमी

व्याख्या

x³ - (1)/(x³) का मान निर्धारित करने के लिए, हम सबसे पहले बीजगणितीय संबंध (x - ¹⁄ₓ)² = (x + ¹⁄ₓ)² - 4 का उपयोग करके x - ¹⁄ₓ का मान ज्ञात करते हैं।

दिए गए मान x + ¹⁄ₓ = 2√5 को प्रतिस्थापित करने पर: (x - ¹⁄ₓ)² = (2√5)² - 4 = 20 - 4 = 16

चूंकि x > 1 है, इसलिए अंतर x - ¹⁄ₓ धनात्मक होना चाहिए। दोनों पक्षों का वर्गमूल लेने पर: x - ¹⁄ₓ = √(16) = 4

अब, सर्वसमिका x³ - (1)/(x³) = (x - ¹⁄ₓ)³ + 3(x - ¹⁄ₓ) का उपयोग करके x³ - (1)/(x³) के मान की गणना की जा सकती है।

सर्वसमिका में x - ¹⁄ₓ = 4 प्रतिस्थापित करने पर: x³ - (1)/(x³) = 4³ + 3(4) = 64 + 12 = 76

व्याख्या

किसी संख्या के 75 से विभाज्य होने के लिए, उसे 3 और 25 दोनों से विभाज्य होना चाहिए। कोई संख्या 25 से विभाज्य होती है यदि उसके अंतिम दो अंक 25 से विभाज्य हों। संख्या 678p37q में, अंतिम दो अंक 7q हैं। सत्तर की श्रृंखला में 25 का एकमात्र गुणज 75 है, जिसका अर्थ है कि q = 5।

इसके बाद, कोई संख्या 3 से विभाज्य होती है यदि उसके अंकों का योग 3 से विभाज्य हो। 678p375 के अंकों का योग 6 + 7 + 8 + p + 3 + 7 + 5 = 36 + p है। चूंकि 36 पहले से ही 3 से विभाज्य है, इसलिए कुल योग को 3 से विभाज्य रखने के लिए अंक p को भी 3 का गुणज होना चाहिए। इसलिए, p के संभावित मान 0, 3, 6 या 9 हैं।

प्रश्न में आगे कहा गया है कि p एक भाज्य संख्या नहीं है। एक भाज्य संख्या 1 से बड़ा वह धनात्मक पूर्णांक होती है जिसके पास 1 और स्वयं के अतिरिक्त कम से कम एक अन्य भाजक हो। p के संभावित मानों में से, संख्याएँ 6 और 9 भाज्य संख्याएँ हैं। अंक 0 और 3 भाज्य संख्याएँ नहीं हैं। दिए गए विकल्पों के साथ इन संभावनाओं की तुलना करने पर, p = 3 और q = 5 ही एकमात्र ऐसा युग्म है जो दी गई सभी शर्तों को पूरा करता है।

व्याख्या

टैनजेंट (tangents) के गुणनफल और कोणों के योग के कोसाइन (cosine) के बीच का संबंध cos(A + B) के मूलभूत त्रिकोणमितीय सर्वसमिका (trigonometric identity) से प्राप्त किया जाता है।

cos(A + B) = cos A cos B - sin A sin B

पूरे समीकरण को cos A cos B से विभाजित करने पर, हमें प्राप्त होता है:

(cos(A + B))/(cos A cos B) = (cos A cos B)/(cos A cos B) - (sin A sin B)/(cos A cos B)

यह सरल होकर प्राप्त होता है:

(cos(A + B))/(cos A cos B) = 1 - tan A tan B

समीकरण के एक तरफ 1 को अलग करने के लिए पदों को पुनर्व्यवस्थित करने पर:

tan A tan B + (cos(A + B))/(cos A cos B) = 1

इस मानक सर्वसमिका की तुलना दिए गए समीकरण रूप tan A tan B + (cos x)/(cos A cos B) = 1 से करने पर, यह स्पष्ट है कि x कोणों A + B के योग के संगत (correspond) है।

व्याख्या

जब x वस्तुओं का क्रय मूल्य (CP), y वस्तुओं के विक्रय मूल्य (SP) के बराबर होता है, तो लाभ प्रतिशत की गणना निम्नलिखित सूत्र का उपयोग करके की जाती है: लाभ % = (x - y)/(y) × 100

दिया गया है कि 20 पुस्तकों का क्रय मूल्य 18 पुस्तकों के विक्रय मूल्य के बराबर है, हम सूत्र में x = 20 और y = 18 रखते हैं: लाभ % = (20 - 18)/(18) × 100 लाभ % = ²⁄₁₈ × 100 = ⅑ × 100 लाभ % = 11⅑%

वैकल्पिक रूप से, माना एक पुस्तक का क्रय मूल्य CP है और एक पुस्तक का विक्रय मूल्य SP है। प्रश्न के अनुसार, 20 × CP = 18 × SP। इस संबंध को अनुपात (SP)/(CP) = ²⁰⁄₁₈ = ¹⁰⁄₉ के रूप में व्यक्त किया जा सकता है। इसका अर्थ है कि क्रय मूल्य की प्रत्येक 9 इकाइयों के लिए, विक्रय मूल्य 10 इकाइयाँ है, जिसके परिणामस्वरूप 1 इकाई का लाभ होता है। इस प्रकार लाभ प्रतिशत (⅑) × 100 है, जो सरल होकर 11⅑% हो जाता है।

व्याख्या

अंतिम मूल्य की गणना अंकित मूल्य पर क्रमिक छूट लागू करके की जाती है। जब एक के बाद एक कई छूट लागू की जाती हैं, तो विक्रय मूल्य (SP) सूत्र SP = MP × (1 - (d₁)/(100)) × (1 - (d₂)/(100)) द्वारा दिया जाता है।

दिया गया है कि अंकित मूल्य MP = ₹2,800, पहली छूट d₁ = 45%, और दूसरी छूट d₂ = 25%, गणना इस प्रकार है:

SP = 2800 × (1 - ⁴⁵⁄₁₀₀) × (1 - ²⁵⁄₁₀₀)

SP = 2800 × ⁵⁵⁄₁₀₀ × ⁷⁵⁄₁₀₀

SP = 2800 × ¹¹⁄₂₀ × ¾

व्यंजक को सरल करने पर:

SP = 140 × 11 × ¾

SP = 35 × 11 × 3

SP = 385 × 3 = 1155

दोनों छूटों का लाभ उठाने के लिए ग्राहक को ₹1,155 का भुगतान करना होगा।

व्याख्या

बीजगणितीय पदों का लघुत्तम समापवर्त्य (LCM) ज्ञात करने के लिए, हम दिए गए व्यंजकों में मौजूद प्रत्येक चर की उच्चतम घात लेते हैं। दिए गए व्यंजक xy³, x²y और x³y⁴ हैं। चर x को देखने पर, तीनों पदों में घातें क्रमशः 1, 2 और 3 हैं। x की अधिकतम घात x³ है। चर y को देखने पर, घातें क्रमशः 3, 1 और 4 हैं। y की अधिकतम घात y⁴ है। इन उच्चतम घातों को आपस में गुणा करने पर, हमें LCM, x³y⁴ के रूप में प्राप्त होता है।

व्याख्या

त्रिकोणमितीय फलनों के मानक मानों को प्रतिस्थापित करके इस व्यंजक का मान ज्ञात किया जाता है। cos 60° के लिए, मान ½ है। cos 240° के लिए, चतुर्थांश नियम cos(180° + θ) = -cos θ का उपयोग करते हुए, हमें cos 240° = cos(180° + 60°) = -cos 60° = -½ प्राप्त होता है। cos 360° के लिए, मान cos 0° के बराबर है, जो कि 1 है।

अब, इन मानों के घनों की गणना करें: (cos 60°)³ = (½)³ = ⅛ (cos 240°)³ = (-½)³ = -⅛ (cos 360°)³ = (1)³ = 1

इन्हें दिए गए व्यंजक cos³ 60° - cos³ 240° - cos³ 360° में प्रतिस्थापित करें: ⅛ - (-⅛) - 1 = ⅛ + ⅛ - 1 ²⁄₈ - 1 = ¼ - 1 (1 - 4)/(4) = -¾

व्याख्या

मान लीजिए कि उम्मीदवार Q द्वारा प्राप्त मतों की संख्या x है। दी गई शर्तों के अनुसार, उम्मीदवार P को Q से 35% अधिक मत मिले, जो कि 1.35x है, और उम्मीदवार R को Q से 15% अधिक मत मिले, जो कि 1.15x है।

P और R के मतों के बीच का अंतर 2,412 दिया गया है। 1.35x - 1.15x = 2,412 0.20x = 2,412 x = (2,412)/(0.20) = 12,060

डाले गए कुल मतों की संख्या P, Q और R द्वारा प्राप्त मतों का योग है: कुल मत = 1.35x + x + 1.15x = 3.5x कुल मत = 3.5 × 12,060 = 42,210

चूंकि सूची में शामिल केवल 90% मतदाताओं ने अपने मत डाले और कोई भी मत अवैध नहीं था, मान लीजिए कि सूची में मतदाताओं की कुल संख्या V है। 0.90 × V = 42,210 V = (42,210)/(0.90) = 46,900

व्याख्या

मिलने का समय ज्ञात करने के लिए, हम सबसे पहले दोनों कारों के चलने के समय को समान करते हैं। सुबह 8 बजे से सुबह 9 बजे तक, पहली कार अकेले 25 किमी/घंटा की गति से 1 घंटे तक यात्रा करती है, जिससे वह 25 किमी की दूरी तय करती है। सुबह 9 बजे, दोनों कारों के बीच बची हुई दूरी 135 - 25 = 110 किमी है।

चूंकि कारें एक-दूसरे की ओर बढ़ रही हैं, इसलिए उनकी सापेक्ष गति उनकी व्यक्तिगत गतियों का योग है: Vᵣₑₗ = 25 + 30 = 55 किमी/घंटा। सुबह 9 बजे के बाद उनके मिलने के लिए आवश्यक समय की गणना सूत्र t = (D)/(Vᵣₑₗ) का उपयोग करके की जाती है।

t = (110 किमी)/(55 किमी/घंटा) = 2 घंटे

सुबह 9 बजे के सामान्य प्रस्थान समय में 2 घंटे जोड़ने पर, कारें सुबह 11 बजे मिलेंगी।

व्याख्या

जब क्रमिक छूट लागू की जाती है, तो प्रत्येक अगली छूट पिछले छूट के बाद बची हुई घटी हुई कीमत पर आकलित की जाती है। 10% की तीन क्रमिक छूटों के लिए, अंतिम मूल्य की गणना गुणक विधि (multiplier method) का उपयोग करके की जा सकती है। 10% की छूट 0.90 (या 1 - 0.10) के गुणक के संगत होती है।

ऐसी तीन छूटों के लिए प्रभावी गुणक (0.90) × (0.90) × (0.90) = 0.729 है। इसका अर्थ है कि अंतिम मूल्य मूल मूल्य का 72.9% है। समतुल्य एकल छूट मूल 100% से कुल कमी है, जिसकी गणना इस प्रकार की जाती है:

समतुल्य छूट = 100% - 72.9% = 27.1%

वैकल्पिक रूप से, दो क्रमिक छूटों x और y के सूत्र का उपयोग करते हुए, एकल समतुल्य छूट x + y - xy/100 है। इसे 10% की पहली दो छूटों पर लागू करने पर 10 + 10 - (10 × 10)/(100) = 19% प्राप्त होता है। इस 19% और तीसरी 10% की छूट के लिए पुनः सूत्र लागू करने पर 19 + 10 - (19 × 10)/(100) = 29 - 1.9 = 27.1% प्राप्त होता है।

व्याख्या

ज्यामिति में, वृत्त की स्पर्श रेखा स्पर्श बिंदु पर त्रिज्या पर लंबवत होती है। चूंकि PT, T पर एक स्पर्श रेखा है और OT त्रिज्या है, इसलिए कोण ∠ OTP = 90° है। इससे △ OTP एक समकोण त्रिभुज के रूप में पहचान में आता है जहाँ OP कर्ण है।

पाइथागोरस प्रमेय का उपयोग करने पर: OP² = OT² + PT²

दिए गए मानों OP = 17 सेमी और OT = 8 सेमी को रखने पर: 17² = 8² + PT² 289 = 64 + PT² PT² = 289 - 64 PT² = 225 PT = √(225) PT = 15 सेमी

व्याख्या

96, 136 और 504 का लघुत्तम समापवर्त्य (LCM) ज्ञात करने के लिए, हम अभाज्य गुणनखंडन विधि का उपयोग करते हैं। सबसे पहले, हम प्रत्येक संख्या को उसके अभाज्य गुणनखंडों में विभाजित करते हैं: 96 = 2⁵ × 3¹ 136 = 2³ × 17¹ 504 = 2³ × 3² × 7¹

इन गुणनखंडों में आने वाले प्रत्येक अभाज्य गुणनखंड की उच्चतम घात लेकर लघुत्तम समापवर्त्य (LCM) की गणना की जाती है: LCM = 2⁵ × 3² × 7¹ × 17¹

गुणनफल की गणना करने पर: LCM = 32 × 9 × 7 × 17 LCM = 288 × 119 LCM = 34272

वैकल्पिक रूप से, चूंकि 504, 9 का एक गुणज है (अंकों का योग 5+0+4=9), इसलिए लघुत्तम समापवर्त्य (LCM) भी 9 से विभाज्य होना चाहिए। दिए गए विकल्पों में से, 34272 के अंकों का योग 18 है, जो इसे 9 से विभाज्य बनाता है। इसके अतिरिक्त, 96, 32 का एक गुणज है, और 34272, 32 से विभाज्य है (34272 / 32 = 1071), जो इसके सही गुणज होने की पुष्टि करता है।

व्याख्या

माना 1000 ग्राम वस्तु का क्रय मूल्य (CP) 1000 इकाई है। विक्रेता उस वजन (1000 ग्राम) के आधार पर जिसे वह बेचने का दावा करता है, वस्तुओं को 20% लाभ पर बेचता है, इसलिए विक्रय मूल्य (SP) 1000 × 1.20 = 1200 इकाई है। हालांकि, विक्रेता वास्तव में केवल 800 ग्राम वस्तु ही देता है। इस मात्रा के लिए विक्रेता की वास्तविक लागत (क्रय मूल्य) 800 इकाई है।

वास्तविक लाभ की गणना प्राप्त विक्रय मूल्य की तुलना दी गई वस्तुओं की वास्तविक लागत से करके की जाती है: वास्तविक लाभ = SP - वास्तविक CP = 1200 - 800 = 400 इकाई वास्तविक लाभ % = (वास्तविक लाभ)/(वास्तविक CP) × 100 = ⁴⁰⁰⁄₈₀₀ × 100 = 50%

वैकल्पिक रूप से, क्रमिक प्रतिशत/अनुपात विधि का उपयोग करते हुए, कुल लाभ अनुपात मूल्य वृद्धि से प्राप्त लाभ और वजन में विसंगति से प्राप्त लाभ का गुणनफल है: कुल अनुपात = ¹²⁰⁄₁₀₀ × ¹⁰⁰⁰⁄₈₀₀ = ⁶⁄₅ × ⁵⁄₄ = ⁶⁄₄ = 1.5 1.5 का अनुपात 50% की वृद्धि के संगत है।

व्याख्या

त्रिभुज ABC में, दिया गया है कि ∠ B = 90° और ∠ C = 45° है, इसलिए तीसरा कोण ∠ A = 180° - (90° + 45°) = 45° होना चाहिए। इससे पता चलता है कि ABC एक समद्विबाहु समकोण त्रिभुज है जहाँ समान कोणों के सम्मुख भुजाएँ बराबर होती हैं, जिसका अर्थ है AB = BC।

45°-45°-90° त्रिभुज के गुणों के अनुसार, भुजाओं की लंबाई का अनुपात 1 : 1 : √2 होता है। इसका अर्थ है कि कर्ण AC, आधार BC की लंबाई का √2 गुना है। इस संबंध को त्रिकोणमितीय अनुपात का उपयोग करके व्यक्त किया जा सकता है:

cos C = (आधार)/(कर्ण) cos 45° = (BC)/(AC)

कर्ण AC = 2√2 सेमी के दिए गए मान और cos 45° = (1)/(√(2)) के मान को प्रतिस्थापित करने पर:

(1)/(√(2)) = (BC)/(2√(2))

समीकरण के दोनों पक्षों को 2√2 से गुणा करने पर, हमें BC प्राप्त होता है:

BC = 2√2 / √2 BC = 2 सेमी

व्याख्या

अर्जित साधारण ब्याज (SI) को कुल मिश्रधन (A) में से मूलधन (P) को घटाकर ज्ञात किया जाता है: SI = 19125 - 10200 = 8925.

साधारण ब्याज के सूत्र SI = (P × R × T)/(100) का उपयोग करने पर, जहाँ R = 12.5 प्रतिशत वार्षिक है: 8925 = (10200 × 12.5 × T)/(100) 8925 = 102 × 12.5 × T

चूँकि 12.5, ²⁵⁄₂ के बराबर है: 8925 = 102 × ²⁵⁄₂ × T 8925 = 51 × 25 × T 8925 = 1275 × T

समय T के लिए हल करने पर: T = ⁸⁹²⁵⁄₁₂₇₅ T = 7

गणना 1275 × 7 बराबर 8925 है, जो पुष्टि करती है कि समय अवधि 7 वर्ष है।

व्याख्या

दिया गया समीकरण 5sin²A + 3cos²A = 4 है। A का मान ज्ञात करने के लिए, हम मूलभूत त्रिकोणमितीय सर्वसमिका sin²A + cos²A = 1 का उपयोग करते हैं। हम पहले पद को विभाजित करके समीकरण को फिर से लिख सकते हैं: 2sin²A + 3sin²A + 3cos²A = 4। मध्य और अंतिम पदों में से 3 को उभयनिष्ठ (common) लेने पर हमें 2sin²A + 3(sin²A + cos²A) = 4 प्राप्त होता है। सर्वसमिका का मान 1 रखने पर, हमें 2sin²A + 3 = 4 प्राप्त होता है, जो सरल होकर 2sin²A = 1 या sin²A = 1/2 हो जाता है। वर्गमूल लेने पर, हमें sin A = 1/√2 प्राप्त होता है क्योंकि A प्रथम चतुर्थांश (0 < A < 90°) में है, जहाँ ज्या (sine) फलन धनात्मक होता है। इससे प्राप्त होता है कि A = 45° है। इसलिए, tan A = tan 45° = 1।

वैकल्पिक रूप से, पूरे समीकरण को cos²A से विभाजित करने पर 5tan²A + 3 = 4sec²A प्राप्त होता है। चूंकि sec²A = 1 + tan²A होता है, इसलिए समीकरण 5tan²A + 3 = 4(1 + tan²A) बन जाता है। इसका विस्तार करने पर 5tan²A + 3 = 4 + 4tan²A प्राप्त होता है। दोनों पक्षों से 4tan²A और 3 घटाने पर tan²A = 1 प्राप्त होता है। चूंकि A एक न्यून कोण है, इसलिए tan A धनात्मक होना चाहिए, जिससे यह पुष्टि होती है कि tan A = 1 है।

व्याख्या

छोड़कर जाने वाले कर्मचारी के वजन की गणना इस सूत्र का उपयोग करके की जा सकती है: छोड़कर जाने वाले व्यक्ति का वजन = (मूल औसत) + (शेष सदस्यों की संख्या × औसत में कमी)।

प्रारंभिक औसत वजन 62.5 किग्रा है। एक कर्मचारी के जाने के बाद, शेष सदस्यों की संख्या 119 है। औसत वजन में कमी 250 ग्राम दी गई है, जो 0.25 किग्रा के बराबर है।

सूत्र में मानों का उपयोग करने पर: वजन = 62.5 + (119 × 0.25) वजन = 62.5 + 29.75 वजन = 92.25 किग्रा

यह गणना इस तथ्य को दर्शाती है कि जाने वाले व्यक्ति ने न केवल औसत का अपना हिस्सा (62.5 किग्रा) लिया, बल्कि शेष 119 कर्मचारियों में से प्रत्येक के वजन में 0.25 किग्रा की कमी भी की।

व्याख्या

मान लीजिए कि कुल कार्य दिए गए समय अंतरालों का लघुत्तम समापवर्त्य (LCM) है, जो कि LCM(4, 9, 12) = 36 इकाई है। अंशु, स्वाति और रजनी की संयुक्त कार्यक्षमता 36 / 4 = 9 इकाई प्रति दिन है। अंशु की व्यक्तिगत कार्यक्षमता 36 / 9 = 4 इकाई प्रति दिन है, और स्वाति की व्यक्तिगत कार्यक्षमता 36 / 12 = 3 इकाई प्रति दिन है। रजनी की कार्यक्षमता ज्ञात करने के लिए, संयुक्त कार्यक्षमता में से अंशु और स्वाति की कार्यक्षमताओं को घटाएं: 9 - (4 + 3) = 2 इकाई प्रति दिन। रजनी द्वारा अकेले कार्य को पूरा करने में लिए गए दिनों की संख्या कुल कार्य को उसकी कार्यक्षमता से विभाजित करने पर प्राप्त होती है: 36 / 2 = 18 दिन।

व्याख्या

वर्गीकृत आंकड़ों के लिए माध्य (x) की गणना सूत्र x = (Σ fᵢ xᵢ)/(Σ fᵢ) का उपयोग करके की जाती है, जहाँ fᵢ बारंबारता को दर्शाता है और xᵢ प्रत्येक अंतराल के वर्ग चिह्न (मध्य बिंदु) को दर्शाता है।

सबसे पहले, प्रत्येक वर्ग अंतराल के लिए मध्य बिंदु (xᵢ) निर्धारित करें: 5, 15, 25, 35, 45, 55, और 65।

इसके बाद, बारंबारताओं के योग (Σ fᵢ) की गणना करें: Σ fᵢ = 2 + 4 + 12 + 21 + 6 + 3 + 2 = 50

फिर, बारंबारताओं और मध्य बिंदुओं के गुणनफलों के योग (Σ fᵢ xᵢ) की गणना करें: Σ fᵢ xᵢ = (2 × 5) + (4 × 15) + (12 × 25) + (21 × 35) + (6 × 45) + (3 × 55) + (2 × 65) Σ fᵢ xᵢ = 10 + 60 + 300 + 735 + 270 + 165 + 130 = 1670

अंत में, गुणनफलों के योग को कुल बारंबारता से विभाजित करें: x = ¹⁶⁷⁰⁄₅₀ = 33.4

व्याख्या

एक समद्विबाहु त्रिभुज में जहाँ AB = AC है, समान भुजाओं के सम्मुख कोण बराबर होते हैं, इसलिए ∠ ACB = ∠ ABC = 55° है। त्रिभुज ABC के अंतः कोणों का योग 180° होता है, इसलिए शीर्ष कोण ∠ BAC = 180° - (55° + 55°) = 70° है। एक समद्विबाहु त्रिभुज में, आधार BC पर खींची गई माध्यिका शीर्ष कोण के समद्विभाजक के रूप में भी कार्य करती है। इसलिए, AD, ∠ BAC को समद्विभाजित करता है, और ∠ BAD का माप ½ × 70° = 35° है। वैकल्पिक रूप से, चूंकि समद्विबाहु त्रिभुज के आधार पर खींची गई माध्यिका शीर्षलंब भी होती है, इसलिए त्रिभुज ABD एक समकोण त्रिभुज है जिसमें ∠ ADB = 90° है। परिणामस्वरूप, ∠ BAD = 180° - (90° + 55°) = 35° है।

व्याख्या

एक द्विपद के घन के लिए बीजीय सर्वसमिका (a + b)³ = a³ + 3a²b + 3ab² + b³ है। इसे इसके गुणनखंडित मध्य-पद रूप में (a + b)³ = a³ + b³ + 3ab(a + b) के रूप में भी लिखा जा सकता है।

दिए गए व्यंजक (a + b)³ - a³ + b³ में इस विस्तार को प्रतिस्थापित करने पर, हमें प्राप्त होता है:

[a³ + b³ + 3ab(a + b)] - a³ + b³

व्यंजक को सरल करने के लिए, समान पदों को संयोजित करें:

a³ और - a³ पद एक-दूसरे को निरस्त कर देते हैं (a³ - a³ = 0)। b³ पदों को आपस में जोड़ दिया जाता है (b³ + b³ = 2b³)। पद 3ab(a + b) योग के भाग के रूप में बना रहता है।

इन परिणामों को संयोजित करने पर सरल व्यंजक 3ab(a + b) + 2b³ प्राप्त होता है।

व्याख्या

इस व्यंजक का मान सर्वसमिका sin θ sec(90° - θ) = 1 का उपयोग करके ज्ञात किया जाता है, जो पूरक कोण संबंध sec(90° - θ) = csc θ = 1/sin θ से प्राप्त होता है। पूरक कोणों वाले पदों को समूहित करके, गुणनफल को निम्नानुसार पुनर्व्यवस्थित किया जाता है:

(sin 28° sec 62°) · (sin 35° sec 55°) · sin 45°

चूंकि 28° + 62° = 90° है, इसलिए पहला भाग सरल होकर sin 28° / cos 62° = sin 28° / sin 28° = 1 हो जाता है। इसी प्रकार, चूंकि 35° + 55° = 90° है, इसलिए दूसरा भाग सरल होकर sin 35° / cos 55° = sin 35° / sin 35° = 1 हो जाता है।

इन मानों को प्रतिस्थापित करने पर व्यंजक घटकर 1 · 1 · sin 45° हो जाता है। मानक त्रिकोणमितीय मान sin 45° = 1/√2 का उपयोग करने पर, अंतिम परिणाम 1/√2 प्राप्त होता है।

व्याख्या

दो संख्याओं x और y का तृतीयानुपाती z संबंध x : y = y : z द्वारा परिभाषित किया जाता है, जिसके परिणामस्वरूप सूत्र z = (y²)/(x) प्राप्त होता है। दिया गया है कि पहला पद x = a और दूसरा पद y = (b⁴)/(4a) है, तृतीयानुपाती की गणना इस प्रकार है:

z = ((b⁴)/(4a))²{a}

अंश के पदों पर घात लागू करने पर:

z = (b⁸)/(16a²){a}

अंश को हर a से विभाजित करके जटिल भिन्न को सरल करने पर:

z = (b⁸)/(16a² × a) = (b⁸)/(16a³)

व्याख्या

नष्ट हुई लकड़ी के प्रतिशत की गणना लकड़ी के गोले के आयतन और काटे गए शंकु के आयतन के बीच का अंतर ज्ञात करके, फिर उसे गोले के आयतन से विभाजित करके की जाती है।

गोले का आयतन Vₛ = ⁴⁄₃ π R³ द्वारा दिया जाता है, जहाँ त्रिज्या R = 24 सेमी है। मानों को प्रतिस्थापित करने पर: Vₛ = ⁴⁄₃ π (24)³ = ⁴⁄₃ π × 13824 = 18432 π सेमी³

शंकु का आयतन V_c = ⅓ π r² h द्वारा दिया जाता है, जहाँ त्रिज्या r = 21 सेमी (व्यास 42 सेमी का आधा) और ऊंचाई h = 42 सेमी है: V_c = ⅓ π (21)² (42) = π × 441 × 14 = 6174 π सेमी³

नष्ट हुई लकड़ी का प्रतिशत है: नष्ट प्रतिशत = (Vₛ - V_c)/(Vₛ) × 100 = ( 1 - (V_c)/(Vₛ) ) × 100 नष्ट प्रतिशत = ( 1 - (6174 π)/(18432 π) ) × 100

दोनों को 18 से विभाजित करके भिन्न ⁶¹⁷⁴⁄₁₈₄₃₂ को सरल करने पर ³⁴³⁄₁₀₂₄ प्राप्त होता है। नष्ट प्रतिशत = ( 1 - ³⁴³⁄₁₀₂₄ ) × 100 = ⁶⁸¹⁄₁₀₂₄ × 100 ⁶⁸¹⁰⁰⁄₁₀₂₄ ≈ 66.5039%

दशमलव के दो स्थानों तक पूर्णांकित करने पर, नष्ट हुई लकड़ी का प्रतिशत 66.50% है।

व्याख्या

5 अंकों की सबसे बड़ी संख्या 99999 है। 88 से पूर्णतः विभाज्य होने वाली 5 अंकों की सबसे बड़ी संख्या ज्ञात करने के लिए, हम शेषफल ज्ञात करने हेतु 99999 को 88 से विभाजित करते हैं:

99999 ÷ 88 = 1136, जिसमें शेषफल 31 प्राप्त होता है।

88 से विभाज्य होने वाली 5 अंकों की सबसे बड़ी संख्या की गणना मूल 5 अंकों की संख्या में से इस शेषफल को घटाकर की जाती है:

99999 - 31 = 99968

इस परिणाम को 88 के गुणनखंडों, जो कि 8 और 11 हैं, के विभाज्यता के नियमों का उपयोग करके सत्यापित किया जा सकता है। 8 से विभाज्यता के लिए, अंतिम तीन अंक 968, 8 से विभाज्य होने चाहिए (968 ÷ 8 = 121)। 11 से विभाज्यता के लिए, विषम स्थानों पर अंकों के योग और सम स्थानों पर अंकों के योग के बीच का अंतर 0 या 11 का गुणज होना चाहिए। 99968 में, विषम स्थानों पर अंकों का योग 9 + 9 + 8 = 26 है और सम स्थानों पर अंकों का योग 9 + 6 = 15 है। इनका अंतर 26 - 15 = 11 है, जो पुष्टि करता है कि यह संख्या 11 से विभाज्य है।

व्याख्या

किसी दिए गए विषय के लिए कुल प्रदर्शन (aggregate performance) का निर्धारण तीनों छात्रों द्वारा प्राप्त अंकों के योग की गणना करके किया जाता है। अंग्रेजी के लिए, अजय के अंक 88, सुधीर के 77 और सुमन के 92 हैं, जिसके परिणामस्वरूप कुल योग 88 + 77 + 92 = 257 होता है। यह 257 का कुल योग डेटासेट में दिए गए सभी विषयों में प्राप्त सबसे अधिक कुल योग (aggregate score) है, क्योंकि शेष विषयों के संचयी (cumulative) अंक क्रमशः 247, 233, 218, 216 और 213 हैं।

व्याख्या

सभी छह कंपनियों में कार्यरत अधिकारियों की कुल संख्या तालिका में दी गई कंपनियों D, E, F, G, H और I के लिए व्यक्तिगत अधिकारियों की संख्या के योग की गणना करके निर्धारित की जाती है। योग इस प्रकार किया जाता है:

कुल अधिकारी = 400 (D) + 500 (E) + 600 (F) + 350 (G) + 450 (H) + 800 (I)

अंकगणित को सरल बनाने के लिए, मानों को ऐसे जोड़ों में समूहित किया जा सकता है जिससे पूर्ण संख्याएँ प्राप्त हों: योग = (400 + 600) + (350 + 450) + 500 + 800 योग = 1000 + 800 + 500 + 800 योग = 1800 + 1300 योग = 3100

व्याख्या

दिया गया है cos (A - B) = √3{2}, हम कोसाइन (cosine) फलन के लिए संगत कोण की पहचान करते हैं। चूंकि A और B न्यून कोण हैं, इसलिए मान √3{2} का संगत कोण 30° है। इसलिए, हमें पहला समीकरण प्राप्त होता है: A - B = 30°

दिया गया है cos (A + B) = 0, हम उस संगत कोण की पहचान करते हैं जहाँ कोसाइन का मान शून्य होता है। दो न्यून कोणों के योग के लिए, यह 90° पर होता है। इसलिए, हमें दूसरा समीकरण प्राप्त होता है: A + B = 90°

A और B के मान ज्ञात करने के लिए, हम रैखिक समीकरणों के निकाय को आपस में जोड़कर हल करते हैं: (A + B) + (A - B) = 90° + 30° 2A = 120° A = 60°

A के मान को समीकरण A + B = 90° में प्रतिस्थापित करने पर: 60° + B = 90° B = 30°

परिकलित मान A = 60° और B = 30° इस शर्त को संतुष्ट करते हैं कि दोनों धनात्मक न्यून कोण हैं और A ≥ B।

व्याख्या

किसी यात्रा की औसत चाल को कुल तय की गई दूरी को कुल लिए गए समय से विभाजित करके परिभाषित किया जाता है। प्रत्येक खंड के लिए दूरी की गणना सूत्र d = v × t का उपयोग करके की जाती है।

कार द्वारा तय की गई दूरी: d₁ = 40 किमी/घंटा × 3 घंटे = 120 किमी बाइक द्वारा तय की गई दूरी: d₂ = 30 किमी/घंटा × 2 घंटे = 60 किमी ट्रेन द्वारा तय की गई दूरी: d₃ = 80 किमी/घंटा × 5 घंटे = 400 किमी

कुल दूरी D = 120 + 60 + 400 = 580 किमी कुल समय T = 3 + 2 + 5 = 10 घंटे

औसत चाल Vₐᵥ_g = (D)/(T) = (580 किमी)/(10 घंटे) = 58 किमी/घंटा

व्याख्या

द्विपद के वर्ग के बीजगणितीय सर्वसमिका का उपयोग करने पर, हमें प्राप्त होता है: (x - ¹⁄ₓ)² = x² + (1)/(x²⁾ - 2(x)(¹⁄ₓ)। चूंकि x और इसके व्युत्क्रम ¹⁄ₓ का गुणनफल 1 है, इसलिए यह सर्वसमिका सरल होकर (x - ¹⁄ₓ)² = x² + (1)/(x²⁾ - 2 हो जाती है।

इस समीकरण में दिए गए मान x² + (1)/(x²⁾ = 66 को प्रतिस्थापित करने पर, हमें प्राप्त होता है: (x - ¹⁄ₓ)² = 66 - 2 (x - ¹⁄ₓ)² = 64

x - ¹⁄ₓ का मान ज्ञात करने के लिए, दोनों पक्षों का वर्गमूल लेने पर: x - ¹⁄ₓ = √(64) x - ¹⁄ₓ = 8

व्याख्या

एक समकोण त्रिभुज में, किसी कोण का tangent, लंब (P) और आधार (B) का अनुपात होता है। दिया गया है tan A = ⅔, हम मान सकते हैं कि P = 2 और B = 3। कोण का sine ज्ञात करने के लिए, हम सबसे पहले पाइथागोरस प्रमेय का उपयोग करके कर्ण (H) निर्धारित करते हैं:

H = √(P²⁾⁺^B^^^² H = √(2²⁾⁺³^^^² = √(4 + 9) = √(13)

किसी कोण का sine, लंब और कर्ण के अनुपात के रूप में परिभाषित किया जाता है:

sin A = (P)/(H) = (2)/(√(13))

व्याख्या

पूरा किया जाने वाला कुल कार्य 20 पुरुषों द्वारा 220 दिनों में किए गए कार्य के बराबर है, जो कि 20 × 220 = 4400 मानव-दिवस (man-days) है। पहले 90 दिनों में, 20 पुरुषों द्वारा पूरा किया गया कार्य 20 × 90 = 1800 मानव-दिवस है। इसलिए, शेष कार्य 4400 - 1800 = 2600 मानव-दिवस है। 90 दिनों के बाद, 20 अतिरिक्त पुरुषों को काम पर लगाया जाता है, जिससे कुल कार्यबल बढ़कर 20 + 20 = 40 पुरुष हो जाता है। शेष कार्य को पूरा करने के लिए आवश्यक अतिरिक्त दिनों की संख्या की गणना शेष मानव-दिवस को श्रमिकों की नई संख्या से विभाजित करके की जाती है: 2600 / 40 = 65 दिन।

वैकल्पिक रूप से, इसे पुरुषों की संख्या और लिए गए समय के बीच व्युत्क्रमानुपात (inverse proportion) का उपयोग करके हल किया जा सकता है। 90 दिनों के बाद बचे हुए कार्य को पूरा करने में मूल 20 पुरुषों को और 130 दिन (220 - 90 = 130) लगते। चूंकि पुरुषों की संख्या 20 से दोगुनी होकर 40 हो जाती है, इसलिए समान कार्य को पूरा करने के लिए आवश्यक समय आधा हो जाएगा। इस प्रकार, कार्य और 130 / 2 = 65 दिनों में पूरा हो जाएगा।

व्याख्या

एक घन से निकाले जा सकने वाले सबसे बड़े गोले का व्यास, घन की भुजा की लंबाई के बराबर होता है। दी गई भुजा की लंबाई a = 2.8 सेमी है, गोले की त्रिज्या r होगी: r = a/2 = (2.8)/(2) = 1.4 सेमी

एक गोले के आयतन V की गणना निम्नलिखित सूत्र का उपयोग करके की जाती है: V = ⁴⁄₃ π r³

ज्ञात मानों r = 1.4 सेमी और π ≈ ²²⁄₇ को प्रतिस्थापित करने पर: V = ⁴⁄₃ × ²²⁄₇ × (1.4)³ V = ⁴⁄₃ × ²²⁄₇ × 1.4 × 1.4 × 1.4 V = (4 × 22 × 0.2 × 1.96)/(3) V = (17.6 × 1.96)/(3) V = (34.496)/(3) V ≈ 11.49866... सेमी³

परिणाम को दशमलव के दो स्थानों तक पूर्णांकित करने पर, आयतन 11.50 सेमी³ है।

व्याख्या

त्रिज्या R वाले एक वृत्त के केंद्र से लंबाई L की जीवा तक की लंबवत दूरी h, सूत्र h = √(R²⁾⁻⁽⁽^L⁾^/⁽²⁾⁾^^^² द्वारा दी जाती है, जो पाइथागोरस प्रमेय से प्राप्त होता है क्योंकि केंद्र से डाला गया लंब जीवा को समद्विभाजित करता है।

लंबाई L₁ = 2 सेमी और त्रिज्या R = 3 सेमी की पहली जीवा के लिए, केंद्र से दूरी h₁ है: h₁ = √(3²⁾⁻⁽^²^⁄^₂⁾^^^² = √(9 - 1) = √8 = 2√2 सेमी।

लंबाई L₂ = 3 सेमी और त्रिज्या R = 3 सेमी की दूसरी जीवा के लिए, केंद्र से दूरी h₂ है: h₂ = √(3²⁾⁻⁽^³^⁄^₂⁾^^^² = √(9 - ⁹⁄₄) = √((36 - 9)/(4)) = √(²⁷⁄₄) = 3√3{2} सेमी।

चूंकि दोनों जीवाएँ व्यास के एक ही ओर स्थित हैं, इसलिए उनके बीच की लंबवत दूरी केंद्र से उनकी दूरियों का निरपेक्ष अंतर है: दूरी = h₁ - h₂ = 2√2 - 3√3{2}

उभयनिष्ठ हर (common denominator) लेने पर: दूरी = 4√2 - 3√3{2} सेमी।

व्याख्या

राज्य B में उत्तीर्ण होने वाले छात्रों की संख्या की गणना कुल छात्रों की संख्या और दिए गए उत्तीर्ण से अनुत्तीर्ण के अनुपात का उपयोग करके की जाती है। राज्य B के लिए, छात्रों की कुल संख्या 1.40 लाख है और उत्तीर्ण होने वाले छात्रों का अनुत्तीर्ण होने वाले छात्रों से अनुपात 3:4 है।

उत्तीर्ण होने वाले छात्रों की संख्या ज्ञात करने के लिए, हम सूत्र का उपयोग करते हैं: उत्तीर्ण छात्र = कुल छात्र × (उत्तीर्ण अनुपात का भाग)/(अनुपात के भागों का योग)

राज्य B के लिए अनुपात के भागों का योग 3 + 4 = 7 है। सूत्र में मान रखने पर: उत्तीर्ण छात्र = 1.40 × ³⁄₇ उत्तीर्ण छात्र = 0.20 × 3 उत्तीर्ण छात्र = 0.60 लाख

व्याख्या

144, 360 और 450 के लघुत्तम समापवर्त्य (LCM) की गणना अभाज्य गुणनखंडन विधि (prime factorization method) का उपयोग करके की जाती है। सबसे पहले, प्रत्येक संख्या का अभाज्य गुणनखंडन ज्ञात करें: 144 का 2⁴ × 3² है, 360 का 2³ × 3² × 5¹ है, और 450 का 2¹ × 3² × 5² है।

लघुत्तम समापवर्त्य (LCM) सभी संख्याओं में उपस्थित प्रत्येक अभाज्य गुणनखंड की उच्चतम घात (highest power) का गुणनफल होता है। इसमें शामिल अभाज्य गुणनखंड 2, 3 और 5 हैं। अभाज्य गुणनखंड 2 की घातों की तुलना करने पर, 144 से प्राप्त 2⁴ उच्चतम है। अभाज्य गुणनखंड 3 के लिए, उच्चतम घात 3² है, जो तीनों गुणनखंडों में उपस्थित है। अभाज्य गुणनखंड 5 के लिए, 450 से प्राप्त 5² उच्चतम घात है।

लघुत्तम समापवर्त्य (LCM) इन मानों का गुणनफल है: LCM = 2⁴ × 3² × 5²। मानों को प्रतिस्थापित करने पर, हमें 16 × 9 × 25 प्राप्त होता है। गणना को सरल बनाने के लिए साहचर्य गुण (associative property) का उपयोग करने पर, 16 × 25 = 400, और 400 × 9 = 3600 प्राप्त होता है।

व्याख्या

विक्रय मूल्य की गणना अंकित मूल्य पर क्रमिक रूप से छूट लागू करके की जाती है। सबसे पहले, ₹ 1,285 के प्रारंभिक अंकित मूल्य से ₹ 85 की नकद छूट घटाई जाती है: मूल्य₁ = 1285 - 85 = 1200

इसके बाद, शेष राशि पर 10% और 2% की दो क्रमिक छूट लागू की जाती हैं। 10% की छूट के बाद मूल्य है: मूल्य₂ = 1200 × (1 - ¹⁰⁄₁₀₀) = 1200 × 0.9 = 1080

अंत में, ₹ 1,080 के परिणामी मूल्य पर 2% की छूट लागू की जाती है: विक्रय मूल्य = 1080 × (1 - ²⁄₁₀₀) = 1080 × 0.98 = 1058.4

व्याख्या

विक्रय मूल्य (SP), क्रय मूल्य (CP) के प्रतिशत मान के सीधे आनुपातिक होता है। 12% की हानि का तात्पर्य है कि वर्तमान विक्रय मूल्य, CP का 88% है, जबकि 18% के लक्षित लाभ का तात्पर्य है कि नया विक्रय मूल्य, CP का 118% होना चाहिए।

इस संबंध को निम्नलिखित सूत्र का उपयोग करके व्यक्त किया जा सकता है: नया SP = [पुराना SP / (100 - हानि%)] × (100 + लाभ%)

दिए गए मानों को रखने पर: नया SP = ⁴⁶⁰⁶⁸⁄₈₈ × 118

सबसे पहले, विभाजन को सरल करें: 46068 ÷ 88 = 523.5

इसके बाद, अंतिम विक्रय मूल्य की गणना करें: 523.5 × 118 = 61773

वैकल्पिक रूप से, अनुपात ¹¹⁸⁄₈₈ को सरल करके ⁵⁹⁄₄₄ करने पर: नया SP = ⁴⁶⁰⁶⁸⁄₄₄ × 59 नया SP = 1047 × 59 = 61773

व्याख्या

9 से विभाज्यता का नियम यह कहता है कि किसी भी पूर्णांक को 9 से विभाजित करने पर प्राप्त शेषफल, उसके अंकों के योग को 9 से विभाजित करने पर प्राप्त शेषफल के बराबर होता है। 123456789 के लिए शेषफल ज्ञात करने के लिए, हम इसके अंकों के योग की गणना करते हैं:

S = 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9

प्रथम n प्राकृतिक संख्याओं के योग के लिए अंकगणितीय श्रेणी के सूत्र Sₙ = (n(n + 1))/(2) का उपयोग करते हुए, जहाँ n = 9 है:

S₉ = (9 × (9 + 1))/(2) = (9 × 10)/(2) = 45

चूंकि 45, 9 का एक गुणज है (9 × 5 = 45), इसलिए इसे 9 से विभाजित करने पर शेषफल 0 प्राप्त होता है। परिणामस्वरूप, मूल संख्या 123456789 को भी 9 से विभाजित करने पर शेषफल 0 प्राप्त होगा।

व्याख्या

जब दो त्रिभुज समरूप होते हैं, तो उनकी संगत भुजाओं का अनुपात बराबर होता है। त्रिभुज ABC के लिए, भुजाओं की लंबाई AB = 92 सेमी, BC = 48 सेमी और AC = 120 सेमी है। सबसे छोटी भुजा BC = 48 सेमी है और सबसे लंबी भुजा AC = 120 सेमी है। चूंकि त्रिभुज ABC, त्रिभुज DEF के समरूप है, इसलिए सबसे छोटी भुजाओं का अनुपात सबसे लंबी भुजाओं के अनुपात के बराबर होना चाहिए।

मान लीजिए s₁ और l₁ त्रिभुज ABC की क्रमशः सबसे छोटी और सबसे लंबी भुजाएँ हैं, तथा s₂ और l₂ त्रिभुज DEF की क्रमशः सबसे छोटी और सबसे लंबी भुजाएँ हैं। समरूपता के गुण का उपयोग करने पर:

(s₁)/(s₂) = (l₁)/(l₂)

दिए गए मानों को प्रतिस्थापित करने पर:

⁴⁸⁄₂₀₀ = (120)/(l₂)

l₂ के लिए हल करने पर:

l₂ = (120 × 200)/(48)

l₂ = (5 × 200)/(2) = 5 × 100 = 500 सेमी

व्याख्या

त्रिभुज के कोण योग गुण (angle sum property) के अनुसार, इसके तीनों आंतरिक कोणों का योग हमेशा 180° होता है। यदि दो समान अज्ञात कोणों में से प्रत्येक को x माना जाए, तो कोणों के बीच के संबंध को सूत्र x + x + 78° = 180° द्वारा व्यक्त किया जा सकता है। यह सरल होकर रैखिक समीकरण 2x + 78° = 180° बन जाता है। कुल योग में से तीसरे कोण के माप को घटाने पर, हमें प्राप्त होता है कि 2x = 180° - 78°, जिसके परिणामस्वरूप 2x = 102° प्राप्त होता है। इस परिणाम को 2 से विभाजित करने पर x = 51° प्राप्त होता है।

व्याख्या

किसी भविष्य की राशि के वर्तमान मूल्य (PV) की गणना सूत्र PV = FV / (1 + r/n)ⁿᵗ का उपयोग करके की जाती है, जहाँ FV भविष्य का मूल्य (future value) है, r वार्षिक ब्याज दर है, n प्रति वर्ष चक्रवृद्धि अवधियों की संख्या है, और t वर्षों में समय है।

दिए गए मान हैं: FV = 10,000, r = 0.12 (12%), n = 2 (अर्धवार्षिक चक्रवृद्धि), और t = 2 वर्ष।

सबसे पहले, आवधिक ब्याज दर की गणना करें: i = r/n = 0.12 / 2 = 0.06। इसके बाद, चक्रवृद्धि अवधियों की कुल संख्या की गणना करें: N = n × t = 2 × 2 = 4।

इन मानों को सूत्र में रखने पर: PV = 10000 / (1 + 0.06)⁴ PV = 10000 / (1.06)⁴ PV = 10000 / 1.26247696 PV = 7920.9366...

दशमलव के दो स्थानों तक पूर्णांकित करने पर, वर्तमान मूल्य 7,920.94 रुपये है।

व्याख्या

एक ठोस शंक्वाकार बर्तन का आयतन V, सूत्र V = ⅓ π r² h का उपयोग करके ज्ञात किया जाता है, जहाँ r आधार की त्रिज्या है और h ऊर्ध्वाधर ऊँचाई है। दिए गए मानों r = 7 सेमी और h = 15 सेमी को प्रतिस्थापित करने पर, हमें प्राप्त होता है: V = ⅓ × ²²⁄₇ × 7 × 7 × 15। इस व्यंजक को सरल करने पर, आयतन 22 × 7 × 5 = 770 सेमी³ हो जाता है।

बर्तन का वजन कुल आयतन को लोहे के घनत्व से गुणा करके निर्धारित किया जाता है। चूंकि लोहे का वजन 15 ग्राम/सेमी³ है, इसलिए ग्राम में वजन 770 × 15 = 11550 ग्राम होगा। चूंकि एक किलोग्राम में 1000 ग्राम होते हैं, इसलिए बर्तन का वजन 11550 / 1000 = 11.55 किग्रा है।

व्याख्या

व्यंजक p³ + q³ का मान बीजगणितीय सर्वसमिका p³ + q³ = (p + q)³ - 3pq(p + q) का उपयोग करके ज्ञात किया जा सकता है।

यह दिया गया है कि p + q = 6 और pq = 4, इन मानों को सर्वसमिका में प्रतिस्थापित करने पर: p³ + q³ = (6)³ - 3(4)(6) p³ + q³ = 216 - 72 p³ + q³ = 144

प्रश्न में 3(p³ + q³) का मान पूछा गया है। p³ + q³ के परिकलित मान को प्रतिस्थापित करने पर: 3(144) = 432