एसएससी सीजीएल टियर 1 2022 मात्रात्मक अभिक्षमता प्रश्न — हल सहित

व्याख्या

त्रिकोणमितीय अनुपात cot A को एक समकोण त्रिभुज में आधार (Base) और लंब (Perpendicular) के अनुपात के रूप में परिभाषित किया जाता है। दिया गया है कि cot A = ¹²⁄₅, इसलिए आधार (B) = 12 इकाई और लंब (P) = 5 इकाई है। किसी भी समकोण त्रिभुज में, भुजाओं के बीच का संबंध पाइथागोरस प्रमेय H² = B² + P² द्वारा संचालित होता है। दिए गए मानों को रखने पर, कर्ण (H) की गणना इस प्रकार की जाती है: H = √(12² + 5²) = √(144 + 25) = √(169) = 13। sin A का मान लंब और कर्ण के अनुपात के रूप में परिभाषित किया जाता है। इसलिए, sin A = (P)/(H) = ⁵⁄₁₃।

व्याख्या

व्यंजक tan 6° × tan 45° × tan 84° है। हम मानक मान tan 45° = 1 और पूरक कोण सर्वसमिका tan(90° - θ) = cot θ का उपयोग करते हैं। चूंकि 84° = 90° - 6°, इसलिए tan 84° = cot 6° होगा। इन्हें व्यंजक में प्रतिस्थापित करने पर tan 6° × 1 × cot 6° प्राप्त होता है। व्युत्क्रम सर्वसमिका tan θ × cot θ = 1 का उपयोग करने पर, गणना सरल होकर 1 × 1 = 1 हो जाती है।

व्याख्या

दिया गया है कि x = √5 - √4{√5 + √4} और y = √5 + √4{√5 - √4}, हम देखते हैं कि x और y एक-दूसरे के व्युत्क्रम हैं, जिसका अर्थ है xy = 1।

योग x + y ज्ञात करने के लिए, हम बीजगणितीय सर्वसमिका (a-b)/(a+b) + (a+b)/(a-b) = (2(a² + b²))/(a² - b²) का उपयोग करते हैं। माना a = √5 और b = √4 = 2: x + y = 2((√5)² + 2²){(√5)² - 2²} = (2(5 + 4))/(5 - 4) = ²⁽⁹⁾⁄₁ = 18

मूल्यांकन किया जाने वाला व्यंजक (x² - xy + y²)/(x² + xy + y²) है। हम अंश और हर को (x + y) और xy के पदों में पुनः लिख सकते हैं: अंश: x² + y² - xy = (x + y)² - 2xy - xy = (x + y)² - 3xy हर: x² + y² + xy = (x + y)² - 2xy + xy = (x + y)² - xy

परिकलित मानों x + y = 18 और xy = 1 को प्रतिस्थापित करने पर: परिणाम = (18² - 3(1))/(18² - 1) परिणाम = (324 - 3)/(324 - 1) = ³²¹⁄₃₂₃

व्याख्या

किसी भी कोण θ के लिए, साइन (sine) और कोसाइन (cosine) के योग के वर्ग और अंतर के वर्ग को जोड़ने वाली सर्वसमिका (identity) को बीजगणितीय सर्वसमिका (a + b)² + (a - b)² = 2(a² + b²) से प्राप्त किया जाता है। a = sin θ और b = cos θ प्रतिस्थापित करने पर, हमें प्राप्त होता है:

(sin θ + cos θ)² + (sin θ - cos θ)² = 2(sin² θ + cos² θ)

मूलभूत त्रिकोणमितीय सर्वसमिका sin² θ + cos² θ = 1 का उपयोग करने पर, समीकरण इस प्रकार हो जाता है:

(sin θ + cos θ)² + (sin θ - cos θ)² = 2

दिया गया है कि sin θ - cos θ = ⅘, इसे समीकरण में प्रतिस्थापित करने पर:

(sin θ + cos θ)² + (⅘)² = 2

(sin θ + cos θ)² + ¹⁶⁄₂₅ = 2

(sin θ + cos θ)² = 2 - ¹⁶⁄₂₅

(sin θ + cos θ)² = (50 - 16)/(25) = ³⁴⁄₂₅

दोनों पक्षों का वर्गमूल लेने पर:

sin θ + cos θ = √(³⁴⁄₂₅) = √(34){5}

व्याख्या

एक बेलन का आयतन सूत्र V = π r² h द्वारा दिया जाता है। जब लोहे की छड़ को खींचकर एक तार बनाया जाता है, तो सामग्री का कुल आयतन स्थिर रहता है।

प्रारंभिक छड़ के लिए, व्यास 4 सेमी है, इसलिए त्रिज्या r = 2 सेमी और लंबाई h = 12 सेमी है। आयतन की गणना इस प्रकार की जाती है: V = π × 2² × 12 = 48π सेमी³

नए तार की लंबाई L = 12 मीटर है, जिसे इकाइयों को समान रखने के लिए सेंटीमीटर में परिवर्तित किया जाना चाहिए: L = 1200 सेमी।

मान लीजिए तार की त्रिज्या R है। तार का आयतन है: V = π R² × 1200

दोनों आयतनों की तुलना करने पर: 48π = π R² × 1200 R² = ⁴⁸⁄₁₂₀₀ = ⁴⁄₁₀₀ R = √(⁴⁄₁₀₀) = ²⁄₁₀ = 0.2 सेमी

तार की मोटाई से तात्पर्य इसके व्यास से है, जो कि 2R है। इसलिए, मोटाई 2 × 0.2 = 0.4 सेमी है।

व्याख्या

तीन संख्याओं a, b, और c के चतुर्थानुपाती d को अनुपात a:b = c:d द्वारा परिभाषित किया जाता है, जिसे सूत्र d = (b × c)/(a) के रूप में व्यक्त किया जा सकता है।

दिए गए मान a = 16, b = 26, और c = 32 हैं, इन मानों को सूत्र में रखकर गणना की जाती है:

d = (26 × 32)/(16)

भिन्न को सरल करने पर, 32 को 16 से विभाजित करने पर 2 प्राप्त होता है। शेष पदों को गुणा करने पर प्राप्त होता है:

d = 26 × 2 = 52

व्याख्या

दिया गया है कि tan(α + β) = √3 और α + β एक न्यून कोण है, इसलिए α + β = 60° है। इसी प्रकार, चूँकि tan(α - β) = 1 और α - β एक न्यून कोण है, इसलिए α - β = 45° है।

2α का मान ज्ञात करने के लिए, हम इन दोनों समीकरणों को जोड़ते हैं: (α + β) + (α - β) = 60° + 45° 2α = 105°

3 से गुणा करने पर प्राप्त होता है: 6α = 3 × 105° = 315°

tan(6α) का मान है: tan(315°) = tan(360° - 45°) त्रिकोणमितीय सर्वसमिका tan(360° - θ) = -tanθ का उपयोग करने पर: tan(315°) = -tan(45°) = -1

व्याख्या

दी गई शर्त द्विघात समीकरण p² - 25p + 1 = 0 पर आधारित है। व्यंजक p + ¹⁄ₚ का मान ज्ञात करने के लिए, हम पूरे समीकरण को p से विभाजित करते हैं:

(p²)/(p) - ²⁵ᵖ⁄ₚ + ¹⁄ₚ = ⁰⁄ₚ

p - 25 + ¹⁄ₚ = 0

चर व्यंजक को एक तरफ अलग करने के लिए पदों को पुनर्व्यवस्थित करने पर:

p + ¹⁄ₚ = 25

चूंकि प्रश्न में यह शर्त है कि p ≠ 0, इसलिए p से विभाजन एक मान्य संक्रिया है। द्विघात समीकरण का यह रैखिक रूपांतरण सीधे आवश्यक मान प्रदान करता है।

व्याख्या

भाज्य को विभाजन के मूलभूत नियम द्वारा निर्धारित किया जाता है: भाज्य = (भाजक × भागफल) + शेषफल।

दी गई जानकारी के अनुसार, शेषफल 45 है। यह बताया गया है कि भाजक, शेषफल का चार गुना है, इसलिए भाजक = 4 × 45 = 180। यह भी दिया गया है कि भाजक, भागफल का दस गुना है, जिससे समीकरण 10 × भागफल = 180 प्राप्त होता है। भागफल के लिए हल करने पर, भागफल = 18 प्राप्त होता है।

इन मानों को सूत्र में रखने पर: भाज्य = (180 × 18) + 45 भाज्य = 3240 + 45 भाज्य = 3285

व्याख्या

सबसे पहले, स्कूल D और E से खेल L में भाग लेने वाले खिलाड़ियों की कुल संख्या की गणना करें। तालिका से मानों को जोड़ने पर, हमें 82 + 68 = 150 प्राप्त होता है। इसके बाद, स्कूल H और I से खेल M में भाग लेने वाले खिलाड़ियों की कुल संख्या ज्ञात करें। इन मानों को जोड़ने पर 86 + 108 = 194 प्राप्त होता है।

यह ज्ञात करने के लिए कि 150, 194 से कितने प्रतिशत कम है, प्रतिशत कमी के सूत्र का उपयोग करें:

प्रतिशत कमी = (उच्चतर मान - निम्नतर मान)/(उच्चतर मान) × 100

परिकलित कुल मानों को सूत्र में रखने पर:

प्रतिशत कमी = (194 - 150)/(194) × 100 = ⁴⁴⁄₁₉₄ × 100

भिन्न को सरल करने पर प्राप्त होता है:

²²⁄₉₇ × 100 = ²²⁰⁰⁄₉₇ ≈ 22.6804%

दशमलव के दो स्थानों तक पूर्णांकित करने पर, परिणाम 22.68 प्रतिशत है।

व्याख्या

222, 642 और 1062 का महत्तम समापवर्तक (HCF) प्रत्येक संख्या का अभाज्य गुणनखंडन (prime factorization) ज्ञात करके निर्धारित किया जा सकता है। 222 के लिए, अंकों का योग 2 + 2 + 2 = 6 है, जो 3 से विभाज्यता को दर्शाता है। चूंकि संख्या सम है, इसलिए यह 2 से भी विभाज्य है। इस प्रकार, 222 = 2 × 3 × 37। 642 के लिए, अंकों का योग 6 + 4 + 2 = 12 है, जो 3 से विभाज्यता को दर्शाता है। सम होने के कारण, यह 2 से भी विभाज्य है। इस प्रकार, 642 = 2 × 3 × 107। 1062 के लिए, अंकों का योग 1 + 0 + 6 + 2 = 9 है, जो 3 से विभाज्य है। चूंकि यह एक सम संख्या है, इसलिए यह 2 से भी विभाज्य है। 1062 को 6 से विभाजित करने पर 177 प्राप्त होता है, जिसे आगे 3 × 59 के रूप में गुणनखंडित किया जा सकता है। इस प्रकार, 1062 = 2 × 3 × 3 × 59।

तीनों गुणनखंडों में मौजूद उभयनिष्ठ अभाज्य गुणनखंड 2 और 3 हैं, जिनमें से प्रत्येक की न्यूनतम घात एक है। इसलिए, महत्तम समापवर्तक (HCF) की गणना 2¹ × 3¹ = 6 के रूप में की जाती है। वैकल्पिक रूप से, अंतर विधि (difference method) को लागू करने पर, हम पाते हैं कि 642 - 222 = 420 और 1062 - 642 = 420 है। मूल संख्याओं का महत्तम समापवर्तक (HCF) उनके अंतर का भी एक गुणनखंड होना चाहिए। चूंकि 6 संख्या 222, 642 और 1062 को पूर्णतः विभाजित करता है, और शेष अभाज्य गुणनखंडों (37, 107 और 3 × 59) के बीच कोई उच्चतर उभयनिष्ठ गुणनखंड मौजूद नहीं है, इसलिए 6 सबसे बड़ा सार्वभाजक (महत्तम समापवर्तक) है।

व्याख्या

किसी वस्तु के विक्रय मूल्य (SP) की गणना संबंध SP = CP × (1 + (लाभ प्रतिशत)/(100)) का उपयोग करके की जाती है।

वस्तु P के लिए, विक्रय मूल्य 450 × 1.9 = 855 है। वस्तु Q के लिए, विक्रय मूल्य 250 × 2 = 500 है। वस्तु P और Q का संयुक्त विक्रय मूल्य 855 + 500 = 1355 है।

वस्तु R के लिए, विक्रय मूल्य 600 × 1.6 = 960 है। वस्तु S के लिए, विक्रय मूल्य 730 × 1.7 = 1241 है। वस्तु T के लिए, विक्रय मूल्य 400 × 1.8 = 720 है। वस्तु R, S और T का संयुक्त विक्रय मूल्य 960 + 1241 + 720 = 2921 है।

P और Q के कुल विक्रय मूल्य को R, S और T के कुल विक्रय मूल्य से विभाजित करके अभीष्ट प्रतिशत ज्ञात किया जाता है: प्रतिशत = ¹³⁵⁵⁄₂₉₂₁ × 100 ≈ 46.388%

दशमलव के दो स्थानों तक पूर्णांकित करने पर, परिणाम 46.38 प्रतिशत है।

व्याख्या

एक साझेदारी व्यवसाय में, जब समय अवधि समान होती है, तो लाभ को निवेश के अनुपात में साझा किया जाता है। दिया गया निवेश अनुपात A:B = 9:5 है, इसलिए उनके बीच साझा किया गया लाभ भी 9:5 के अनुपात में होगा। माना कुल लाभ P है। चूंकि 10% दान में जाता है, इसलिए शेष 90% लाभ A और B के बीच वितरित किया जाता है।

A के हिस्से की गणना इस प्रकार की जाती है: A का हिस्सा = ⁹⁄₉₊₅ × P का 90%

A के हिस्से का दिया गया मान रखने पर: 29840 = ⁹⁄₁₄ × 0.9P 29840 = (8.1P)/(14)

P का मान ज्ञात करने के लिए पुनर्व्यवस्थित करने पर: P = (29840 × 14)/(8.1) P = (417760)/(8.1) P = ⁴¹⁷⁷⁶⁰⁰⁄₈₁ P ≈ 51575.308

निकटतम पूर्णांक तक पूर्णांकित करने पर, कुल लाभ 51,575 रुपये है।

व्याख्या

y³ + (1)/(y³) के लिए बीजीय सर्वसमिका (algebraic identity) के अनुसार, यदि y + (1)/(y) = k है, तो y³ + (1)/(y³) = k³ - 3k होता है। दिया गया है कि y + (1)/(y) = 3, सूत्र में k = 3 प्रतिस्थापित करने पर हमें y³ + (1)/(y³) = 3³ - 3(3) = 27 - 9 = 18 प्राप्त होता है। मान ज्ञात किए जाने वाले व्यंजक y³ + (1)/(y³) + 2 का मान 18 + 2 = 20 के बराबर है।

व्याख्या

द्वि-कोण (double angle) के साइन (sine) के लिए त्रिकोणमितीय सर्वसमिका को सूत्र sin 2θ = (2 tan θ)/(1 + tan² θ) द्वारा दर्शाया जाता है। इस सर्वसमिका में θ = 60° प्रतिस्थापित करने पर, हमें प्राप्त होता है:

(2 tan 60°)/(1 + tan² 60°) = sin(2 × 60°) = sin 120°

संपूरक कोण सर्वसमिका sin(180° - A) = sin A के अनुसार, हम sin 120° को sin(180° - 60°) = sin 60° के रूप में सरल कर सकते हैं।

इस गणना को tan 60° = √3 के संख्यात्मक मान का उपयोग करके भी सत्यापित किया जा सकता है। इसे व्यंजक में प्रतिस्थापित करने पर:

2(√3){1 + (√3)²} = 2√3{1 + 3} = 2√3{4} = √3{2}

मान √3{2} मानक त्रिकोणमितीय तालिका में sin 60° के मान के संगत है।

व्याख्या

कथन I गलत है क्योंकि वर्ष P में C1 की आय 750 है और वर्ष Q में C2 की आय 250 है। वर्ष Q में C2 की आय के सापेक्ष वर्ष P में C1 की आय के प्रतिशत की गणना ⁷⁵⁰⁄₂₅₀ × 100 = 300% के रूप में की जाती है, जो 33.33% के बराबर नहीं है। कथन II सही है क्योंकि वर्ष T में C1 और C2 की औसत आय (530 + 270)/(2) = ⁸⁰⁰⁄₂ = 400 है। चूंकि केवल पहला कथन गलत है, इसलिए गलत कथन का चयन केवल I तक सीमित है।

व्याख्या

x% और y% की दो क्रमिक छूटों के समतुल्य एकल छूट सूत्र x + y - ˣʸ⁄₁₀₀ द्वारा दी जाती है। दिए गए मानों को प्रतिस्थापित करने पर, जहाँ x = 15 और y = 12 है:

समतुल्य छूट = 15 + 12 - (15 × 12)/(100) समतुल्य छूट = 27 - ¹⁸⁰⁄₁₀₀ समतुल्य छूट = 27 - 1.8 = 25.2%

वैकल्पिक रूप से, यदि प्रारंभिक मूल्य 100 है, तो 15% की छूट इसे घटाकर 85 कर देती है। 85 पर 12% की छूट लागू करने से इसमें 0.12 × 85 = 10.2 की और कमी होती है। अंतिम मूल्य 85 - 10.2 = 74.8 हो जाता है। कुल छूट 100 - 74.8 = 25.2% है।

व्याख्या

जब किसी ठोस वस्तु को नया रूप दिया जाता है, तो उसका आयतन अपरिवर्तित रहता है। तांबे के गोले के आयतन को बेलनाकार तार के आयतन के बराबर रखा जाता है।

गोले के लिए, त्रिज्या R व्यास की आधी होती है, इसलिए R = ¹⁸⁄₂ = 9 सेमी। गोले का आयतन Vₛ इस प्रकार दिया गया है: Vₛ = ⁴⁄₃ π R³ = ⁴⁄₃ π (9)³ = ⁴⁄₃ π × 729 = 4 π × 243 = 972 π सेमी³

तार के लिए, जो बेलनाकार है, व्यास 6 मिमी है, इसलिए त्रिज्या r = 3 मिमी है। गोले की इकाई से मिलान करने के लिए इसे सेंटीमीटर में बदलने पर, r = 0.3 सेमी। माना तार की लंबाई सेंटीमीटर में L है। तार का आयतन V_w है: V_w = π r² L = π (0.3)² L = 0.09 π L सेमी³

दोनों आयतनों की तुलना करने पर: 0.09 π L = 972 π L = (972)/(0.09) = ⁹⁷²⁰⁰⁄₉ = 10800 सेमी

लंबाई को सेंटीमीटर से मीटर में बदलने के लिए, 100 से भाग दें: L = ¹⁰⁸⁰⁰⁄₁₀₀ = 108 मीटर

व्याख्या

क्रमिक प्रतिशत परिवर्तनों के बाद अंतिम जनसंख्या की गणना सूत्र P_fᵢₙₐₗ = P_ᵢₙᵢₜᵢₐₗ × (1 + (r₁)/(100)) × (1 + (r₂)/(100)) × (1 + (r₃)/(100)) का उपयोग करके की जा सकती है, जहाँ r वृद्धि की दर (धनात्मक) या कमी की दर (ऋणात्मक) है।

दिया गया है कि अंतिम जनसंख्या 9,47,625 है और क्रमिक परिवर्तन -5%, -5% और +5% हैं, तो:

9,47,625 = P_ᵢₙᵢₜᵢₐₗ × (1 - ⁵⁄₁₀₀) × (1 - ⁵⁄₁₀₀) × (1 + ⁵⁄₁₀₀)

9,47,625 = P_ᵢₙᵢₜᵢₐₗ × ⁹⁵⁄₁₀₀ × ⁹⁵⁄₁₀₀ × ¹⁰⁵⁄₁₀₀

गणना को सरल बनाने के लिए, ध्यान दें कि ⁹⁵⁄₁₀₀ × ¹⁰⁵⁄₁₀₀ = ((100 - 5)(100 + 5))/(10000) = (100² - 5²)/(10000) = ⁹⁹⁷⁵⁄₁₀₀₀₀ = 0.9975.

इसे वापस समीकरण में प्रतिस्थापित करने पर:

9,47,625 = P_ᵢₙᵢₜᵢₐₗ × 0.95 × 0.9975

9,47,625 = P_ᵢₙᵢₜᵢₐₗ × 0.947625

P_ᵢₙᵢₜᵢₐₗ = (9,47,625)/(0.947625) = 10,00,000

इस प्रकार, पहले वर्ष की शुरुआत में जनसंख्या 10,00,000 थी।

व्याख्या

यदि क्रय मूल्य 100 है, तो 20% अधिक अंकित करने पर अंकित मूल्य 120 हो जाता है, और उस मूल्य पर 10% की छूट देने से विक्रय मूल्य 108 हो जाता है। शुद्ध लाभ 8% (108 - 100) है।

व्याख्या

एक घन के आयतन की गणना सूत्र V = a³ का उपयोग करके की जाती है, जहाँ a घन की भुजा की लंबाई को दर्शाता है। यह देखते हुए कि आयतन 343 m³ है, आयतन का घनमूल लेकर भुजा की लंबाई निर्धारित की जाती है: a = ³√(343) = 7 m।

एक घन के कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल की गणना सूत्र TSA = 6a² का उपयोग करके की जाती है। इस सूत्र में भुजा की लंबाई a = 7 m प्रतिस्थापित करने पर, गणना इस प्रकार है: TSA = 6 × (7)² = 6 × 49 = 294 m²।

व्याख्या

तीन संख्याओं a, b, और c का चतुर्थानुपाती x, अनुपात a:b = c:x द्वारा परिभाषित किया जाता है, जिससे सूत्र x = (b × c)/(a) प्राप्त होता है। दिए गए मानों a = 17, b = 272, और c = 19 को सूत्र में रखने पर:

x = (272 × 19)/(17)

सबसे पहले, 272 को 17 से विभाजित करें: 272 ÷ 17 = 16

अब, परिणाम को 19 से गुणा करें: 16 × 19 = 16 × (20 - 1) = 320 - 16 = 304

व्याख्या

अंकों में कुल वृद्धि 20 (65 - 45) है। यह देखते हुए कि औसत अंकों में 1/3 की वृद्धि हुई है, छात्रों की संख्या की गणना कुल वृद्धि को औसत वृद्धि से विभाजित करके की जाती है: 20 / (1/3) = 60। यद्यपि विकल्पों में प्रतिशत के चिह्न शामिल हैं, संख्यात्मक मान 60 विकल्प A से मेल खाता है।

व्याख्या

जब एक ठोस धातु के गोले को पिघलाकर एक शंकु में ढाला जाता है, तो आयतन समान रहता है। गोले का आयतन Vₛ = ⁴⁄₃ π R³ और शंकु का आयतन V_c = ⅓ π r² h होता है।

दिया गया है कि गोले की त्रिज्या R = 13 सेमी और शंकु के आधार का व्यास 13 सेमी है, इसलिए शंकु की त्रिज्या r = ¹³⁄₂ सेमी है। दोनों आयतनों को बराबर करने पर:

⁴⁄₃ π R³ = ⅓ π r² h

दोनों पक्षों को ⅓ π से विभाजित करने पर प्राप्त होता है:

4 R³ = r² h

समीकरण में ज्ञात मानों को प्रतिस्थापित करने पर:

4 × (13)³ = (¹³⁄₂)² × h

4 × 13 × 13 × 13 = (13 × 13)/(4) × h

दोनों पक्षों से 13² को निरस्त करने पर:

4 × 13 = ʰ⁄₄

h = 4 × 4 × 13

h = 16 × 13 = 208 सेमी

व्याख्या

कंपनियों P, Q और R के लिए बाइक की औसत बिक्री की गणना उनकी व्यक्तिगत बाइक बिक्री को जोड़कर और 3 से विभाजित करके की जाती है। तालिका से मानों को जोड़ने पर, हमें 200 + 100 + 500 = 800 प्राप्त होता है, इस प्रकार J₁ = ⁸⁰⁰⁄₃। इसी प्रकार, कंपनियों R, S और T के लिए कारों की औसत बिक्री की गणना उनकी कार बिक्री को जोड़कर और 3 से विभाजित करके की जाती है। इन मानों को जोड़ने पर 700 + 1000 + 800 = 2500 प्राप्त होता है, इस प्रकार J₂ = ²⁵⁰⁰⁄₃। आवश्यक अनुपात J₁ : J₂ (⁸⁰⁰⁄₃) : (²⁵⁰⁰⁄₃) है। समान हर (denominator) को निरस्त करने और दोनों पदों को 100 से विभाजित करने पर, अनुपात सीधे सरल होकर 8 : 25 हो जाता है।

व्याख्या

4.08 और 6.63 का महत्तम समापवर्तक (HCF) ज्ञात करने के लिए, सबसे पहले प्रत्येक को 100 से गुणा करके दशमलव संख्याओं को पूर्णांकों में बदलें, जिससे 408 और 663 प्राप्त होता है। HCF के लिए भाग विधि का अनुप्रयोग करने पर:

663 = 408 × 1 + 255 408 = 255 × 1 + 153 255 = 153 × 1 + 102 153 = 102 × 1 + 51 102 = 51 × 2 + 0

408 और 663 का HCF 51 है। चूंकि मूल संख्याओं को 100 से गुणा किया गया था, इसलिए दशमलव का HCF ज्ञात करने के लिए इस परिणाम को 100 से विभाजित करें: 51 / 100 = 0.51। वैकल्पिक रूप से, अभाज्य गुणनखंडन दर्शाता है कि 408 = 2³ × 3 × 17 और 663 = 3 × 13 × 17। उभयनिष्ठ अभाज्य गुणनखंड 3 और 17 हैं, और उनका गुणनफल 3 × 17 = 51 समान परिणाम देता है।

व्याख्या

दिए गए समीकरण a² = b² + (ab)² के दाएं पक्ष में b² का गुणनखंडन करके इसे a² = b²(1 + a²) के रूप में पुनर्व्यवस्थित किया जा सकता है। b² के लिए हल करने पर, हमें b² = a²{1 + a²} प्राप्त होता है। दाएं पक्ष में a = cot x प्रतिस्थापित करने और त्रिकोणमितीय सर्वसमिका 1 + cot² x = csc² x का उपयोग करने पर: b² = cot² x{1 + cot² x} = cot² x{csc² x} पदों को sin और cos के रूप में व्यक्त करने पर: b² = cos² x / sin² x{1 / sin² x} = cos² x दोनों पक्षों का वर्गमूल लेने पर b = cos x प्राप्त होता है। यह पुष्टि करता है कि मान a = cot x और b = cos x इस सर्वसमिका को संतुष्ट करते हैं।

व्याख्या

माना मूल संख्या x है। प्रश्न में दिए गए चरणों का पालन करते हुए, हम इन संक्रियाओं को एक बीजगणितीय समीकरण के रूप में निरूपित कर सकते हैं। सबसे पहले, x में 7 जोड़ा जाता है, जिससे (x + 7) प्राप्त होता है। फिर इस योगफल को 5 से गुणा करने पर 5(x + 7) प्राप्त होता है। इस गुणनफल को 3 से विभाजित करने पर भागफल (5(x + 7))/(3) प्राप्त होता है। अंत में, इस भागफल में से 4 घटाकर अंतिम परिणाम 16 प्राप्त होता है।

समीकरण इस प्रकार है: (5(x + 7))/(3) - 4 = 16

x का मान ज्ञात करने के लिए, हम समीकरण को हल करते हैं: (5(x + 7))/(3) = 16 + 4 (5(x + 7))/(3) = 20 5(x + 7) = 20 × 3 5(x + 7) = 60 x + 7 = ⁶⁰⁄₅ x + 7 = 12 x = 12 - 7 x = 5

मूल अनुक्रम में 5 को वापस प्रतिस्थापित करने पर: (5 + 7) = 12; 12 × 5 = 60; 60 ÷ 3 = 20; और 20 - 4 = 16 प्राप्त होता है। इससे पुष्टि होती है कि मूल संख्या 5 है।

व्याख्या

गुणनफल-से-योग त्रिकोणमितीय सर्वसमिका के अनुसार, 2 cos θ sin γ = sin(θ + γ) - sin(θ - γ) होता है। दिए गए मानों θ = 135° और γ = 15° के लिए, व्यंजक का मूल्यांकन इस प्रकार किया जा सकता है:

2 cos(135°) sin(15°) = sin(135° + 15°) - sin(135° - 15°) 2 cos(135°) sin(15°) = sin(150°) - sin(120°)

सर्वसमिका sin(180° - A) = sin A का उपयोग करने पर, विशिष्ट साइन मान निम्नानुसार निर्धारित होते हैं: sin(150°) = sin(180° - 30°) = sin(30°) = 1/2 sin(120°) = sin(180° - 60°) = sin(60°) = √3/2

इन मानों को सरलीकृत व्यंजक में रखने पर: 1/2 - √3/2 = (1 - √3)/2

व्याख्या

यह व्यंजक (1)/(1 + a + b⁻¹⁾ + (1)/(1 + b + 5c⁻¹⁾ + (1)/(1 + c){5 + a⁻¹} के रूप में तीन बीजगणितीय भिन्नों का योग है। दिया गया है कि abc = 5, कुल मान ज्ञात करने के लिए हम प्रत्येक पद को एक समान हर (denominator) में सरल कर सकते हैं।

पहला पद (1)/(1 + a + b⁻¹⁾ = (1)/(1 + a + 1){b} = (b)/(b + ab + 1) है।

दूसरे पद के लिए, हम दी गई शर्त abc = 5 का उपयोग करते हैं, जिससे प्राप्त होता है कि 5c⁻¹ = (5)/(c) = (abc)/(c) = ab। इसे हर में प्रतिस्थापित करने पर (1)/(1 + b + 5c⁻¹⁾ = (1)/(1 + b + ab) प्राप्त होता है।

तीसरे पद के लिए, हम अंश और हर को ab से गुणा करते हैं: (ab)/(ab(1 + c){5 + a⁻¹)} = (ab)/(ab + abc){5 + b}। हर के मध्य पद में abc = 5 प्रतिस्थापित करने पर (ab)/(ab + 5){5 + b} = (ab)/(ab + 1 + b) प्राप्त होता है।

अब, तीनों सरलीकृत पदों को एक साथ जोड़ने पर: (b)/(b + ab + 1) + (1)/(1 + b + ab) + (ab)/(ab + 1 + b) = (b + 1 + ab)/(1 + b + ab) = 1

व्याख्या

एक वृत्त में, किसी भी बिंदु पर स्पर्श रेखा, स्पर्श बिंदु से होकर जाने वाली त्रिज्या पर लंबवत होती है। इसलिए, त्रिज्या, स्पर्श रेखा और वृत्त के केंद्र को बाहरी बिंदु से जोड़ने वाला रेखाखंड एक समकोण त्रिभुज बनाते हैं, जहाँ केंद्र से दूरी कर्ण होती है।

पाइथागोरस प्रमेय का उपयोग करने पर: t² + r² = d²

जहाँ t स्पर्श रेखा की लंबाई है, r त्रिज्या है, और d केंद्र से दूरी है। दिए गए मानों r = 5 सेमी और d = 10 सेमी को प्रतिस्थापित करने पर: t² + 5² = 10² t² + 25 = 100 t² = 75 t = √(75) = √(25 × 3) = 5√3 सेमी

व्याख्या

एक खोखले गोले का आयतन V, बाहरी गोले के आयतन और आंतरिक गोले के आयतन के बीच का अंतर होता है। इसे सूत्र V = ⁴⁄₃π(R³ - r³) द्वारा व्यक्त किया जाता है, जहाँ R बाहरी त्रिज्या है और r आंतरिक त्रिज्या है। दिया गया है कि R = 6 सेमी और r = 3 सेमी, गणना इस प्रकार है:

V = ⁴⁄₃π(6³ - 3³) V = ⁴⁄₃π(216 - 27) V = ⁴⁄₃π(189)

⁴⁄₃ को 189 से गुणा करने पर 4 × 63 प्राप्त होता है, जो 252 के बराबर है। इस प्रकार, खोखले गोले का आयतन 252π सेमी³ है।

व्याख्या

साधारण ब्याज में, किसी मूलधन को अपने मान का n गुना होने के लिए आवश्यक समय (n - 1) के सीधे समानुपाती होता है, क्योंकि अर्जित ब्याज SI = P(n - 1) होता है। इस संबंध को सूत्र T₁ / (n₁ - 1) = T₂ / (n₂ - 1) का उपयोग करके व्यक्त किया जा सकता है, जहाँ T समय को दर्शाता है और n मूलधन के गुने को दर्शाता है।

पहली स्थिति में, राशि 20 वर्षों में 6 गुनी हो जाती है, इसलिए n₁ = 6 और T₁ = 20। दूसरी स्थिति में, राशि 5 गुनी हो जाती है, इसलिए n₂ = 5। इन मानों को अनुपात में रखने पर:

(20)/(6 - 1) = T₂ / (5 - 1)

20/5 = T₂ / 4

4 = T₂ / 4

T₂ = 4 × 4 = 16 वर्ष।

व्याख्या

A और B की कुल कमाई के बीच का अंतर ज्ञात करने के लिए, हम सबसे पहले पांच दिनों में प्रत्येक व्यक्ति की कुल कमाई की गणना करते हैं।

A की कुल कमाई = 85 + 76 + 45 + 95 + 110 = 411 B की कुल कमाई = 130 + 90 + 102 + 86 + 48 = 456

उनकी कुल कमाई के बीच का अंतर = 456 - 411 = 45 है।

वैकल्पिक रूप से, इसे प्रत्येक दिन के लिए व्यक्तिगत दैनिक अंतरों (B - A) को जोड़कर भी हल किया जा सकता है: मंगलवार: 130 - 85 = 45 बुधवार: 90 - 76 = 14 गुरुवार: 102 - 45 = 57 शुक्रवार: 86 - 95 = -9 शनिवार: 48 - 110 = -62

अंतरों का योग = 45 + 14 + 57 - 9 - 62 = 116 - 71 = 45।

व्याख्या

एक त्रिभुज के आंतरिक कोणों का योग हमेशा 180° होता है। दिए गए तीन कोणों (x - 6)°, (x + 26)°, और 8x° के आधार पर, हम निम्नलिखित समीकरण स्थापित कर सकते हैं:

(x - 6) + (x + 26) + 8x = 180

x वाले पदों और अचर (constant) पदों को अलग-अलग जोड़ने पर:

10x + 20 = 180

समीकरण के दोनों पक्षों से 20 घटाने पर:

10x = 160

10 से विभाजित करने पर, हमें x का मान प्राप्त होता है:

x = 16

प्रश्न में 2x का मान पूछा गया है। x के मान को 2 से गुणा करने पर:

2x = 2 × 16 = 32

व्याख्या

व्यंजक Az² + Bz + C के गुणांकों A + B + C का योग ज्ञात करने के लिए, बहुपद का मान z = 1 पर ज्ञात कीजिए। सर्वसमिका 4(z + 7)(2z - 1) = Az² + Bz + C में z = 1 प्रतिस्थापित करने पर:

A(1)² + B(1) + C = 4(1 + 7)(2(1) - 1)

A + B + C = 4(8)(1)

A + B + C = 32

यह प्रतिस्थापन विधि बीजीय व्यंजक के पूर्ण विस्तार की आवश्यकता के बिना सीधे गुणांकों का योग प्रदान करती है।

व्याख्या

एक त्रिभुज के केंद्रक को उस संगामी बिंदु के रूप में परिभाषित किया जाता है जहाँ उसकी तीनों माध्यिकाएँ प्रतिच्छेद करती हैं। एक माध्यिका वह रेखाखंड है जो त्रिभुज के एक शीर्ष को सम्मुख भुजा के मध्य बिंदु से जोड़ता है। △ ABC में, रेखाखंड AD, BE और CF माध्यिकाएँ हैं क्योंकि वे क्रमशः शीर्षों A, B और C को सम्मुख भुजाओं BC, CA और AB के मध्य बिंदुओं D, E और F से जोड़ते हैं। त्रिभुज ज्यामिति के गुणों के अनुसार, तीनों माध्यिकाएँ हमेशा एक ही उभयनिष्ठ बिंदु पर मिलती हैं, जो कि केंद्रक होता है। यह बिंदु त्रिभुज के ज्यामितीय केंद्र के रूप में कार्य करता है और प्रत्येक माध्यिका को 2:1 के अनुपात में विभाजित करता है, जहाँ शीर्ष से केंद्रक की दूरी, केंद्रक से भुजा के मध्य बिंदु की दूरी की दोगुनी होती है।

व्याख्या

व्यय और बचत के 5:1 के अनुपात के आधार पर, माना कि व्यय 500 है और बचत 100 है। कुल आय व्यय और बचत का योग है, जो कि 500 + 100 = 600 है।

10% की वृद्धि के बाद नई आय 600 + (600 का 10%) = 600 + 60 = 660 है। 20% की वृद्धि के बाद नया व्यय 500 + (500 का 20%) = 500 + 100 = 600 है।

नई बचत की गणना नई आय में से नए व्यय को घटाकर की जाती है: नई बचत = 660 - 600 = 60

बचत में परिवर्तन 60 - 100 = -40 है। प्रतिशत परिवर्तन ज्ञात करने के लिए, परिवर्तन को प्रारंभिक बचत से विभाजित करें और 100 से गुणा करें: प्रतिशत परिवर्तन = ⁻⁴⁰⁄₁₀₀ × 100 = -40%

ऋणात्मक चिह्न कमी को दर्शाता है, जिसके परिणामस्वरूप उसकी बचत में 40% का परिवर्तन (कमी) होता है।

व्याख्या

किसी विद्यालय में जीव विज्ञान चुनने वाली महिला छात्रों की संख्या की गणना कुल छात्रों की संख्या को जीव विज्ञान चुनने वाले छात्रों के प्रतिशत से गुणा करके, और फिर पुरुष-से-महिला अनुपात में महिला के हिस्से से गुणा करके की जाती है।

स्कूल B के लिए, जीव विज्ञान चुनने वाले छात्रों की कुल संख्या 400 × 36% = 144 है। चूंकि पुरुष और महिला का अनुपात 5:7 है, इसलिए कुल अनुपात के भाग 12 हैं। महिला छात्रों की संख्या 144 × ⁷⁄₁₂ = 84 है।

स्कूल D के लिए, जीव विज्ञान चुनने वाले छात्रों की कुल संख्या 800 × 18% = 144 है। चूंकि पुरुष और महिला का अनुपात 3:9 है, इसलिए कुल अनुपात के भाग भी 12 हैं। महिला छात्रों की संख्या 144 × ⁹⁄₁₂ = 108 है।

स्कूल B में महिला छात्रों की संख्या का स्कूल D में महिला छात्रों की संख्या से अनुपात 84 : 108 है। दोनों पक्षों को उनके महत्तम समापवर्तक (greatest common divisor) से विभाजित करने पर, जो कि 12 है, अनुपात सरल होकर 7 : 9 हो जाता है।

वैकल्पिक रूप से, चूंकि दोनों स्कूलों में जीव विज्ञान के छात्रों की कुल संख्या समान है (400 × 0.36 = 144 और 800 × 0.18 = 144), महिला छात्रों का अनुपात सीधे उनके संबंधित अनुपात के हिस्सों द्वारा निर्धारित किया जाता है: ⁷⁄₁₂ : ⁹⁄₁₂, जो कि 7 : 9 है।

व्याख्या

कोण समद्विभाजक प्रमेय के अनुसार, किसी त्रिभुज के कोण का आंतरिक समद्विभाजक सम्मुख भुजा को उन खंडों में विभाजित करता है जो त्रिभुज की अन्य दो भुजाओं के समानुपाती होते हैं। त्रिभुज ABC के लिए जहाँ AD, ∠ BAC का समद्विभाजक है, संबंध इस प्रकार है:

(AB)/(AC) = (BD)/(DC)

हमें BD = 6 और भुजा BC की कुल लंबाई = 14 दी गई है। चूँकि D रेखाखंड BC पर स्थित है, हम DC की लंबाई की गणना इस प्रकार करते हैं:

DC = BC - BD = 14 - 6 = 8

अब, अनुपात सूत्र में BD और DC के मान प्रतिस्थापित करें:

(AB)/(AC) = ⁶⁄₈

दोनों पदों को उनके महत्तम समापवर्तक, 2 से विभाजित करके अनुपात को सरल करने पर प्राप्त होता है:

(AB)/(AC) = ¾

इसलिए, अनुपात AB : AC = 3:4 है।

व्याख्या

माना A द्वारा कार्य को पूरा करने में लिया गया समय x दिन है। दी गई शर्तों के आधार पर, B द्वारा लिया गया समय x/4 दिन है और C द्वारा लिया गया समय x/5 दिन है।

कार्यक्षमता, लिए गए समय के व्युत्क्रमानुपाती होती है। इसलिए, दैनिक कार्य दर A के लिए 1/x, B के लिए 4/x और C के लिए 5/x है। एक साथ कार्य करते समय, उनकी संयुक्त दैनिक कार्य दर उनकी व्यक्तिगत दरों का योग होती है:

¹⁄ₓ + ⁴⁄ₓ + ⁵⁄ₓ = ¹⁰⁄ₓ

प्रश्न के अनुसार, वे मिलकर कार्य को 4 दिनों में पूरा करते हैं, जिसका अर्थ है कि उनकी संयुक्त दैनिक दर 1/4 है। संयुक्त दर के दोनों समीकरणों की तुलना करने पर:

¹⁰⁄ₓ = ¼

x का मान ज्ञात करने पर, हमें x = 40 दिन प्राप्त होता है। चूंकि B अकेले कार्य को पूरा करने में x/4 दिन लेता है, इसलिए B द्वारा लिया गया समय = 40/4 = 10 दिन है।

व्याख्या

मान लीजिए कि शांत जल में तैराक की चाल u है और धारा की चाल v है, दोनों मीटर प्रति मिनट में हैं। बिंदु P से किसी बिंदु R तक धारा के विरुद्ध 6 मिनट तक तैरने के दौरान तय की गई दूरी PR = (u - v) × 6 है। अगले 6 मिनट के लिए बिंदु R से बिंदु Q तक धारा के अनुकूल तैरने के दौरान तय की गई दूरी RQ = (u + v) × 6 है। चूँकि तैराक उसी मार्ग से वापस लौटता है और बिंदु Q पर समाप्त करता है, इसलिए दूरी PQ, धारा के अनुकूल तय की गई दूरी और धारा के विरुद्ध तय की गई दूरी का अंतर है: PQ = RQ - PR। दिए गए दूरी PQ = 120 मीटर को समीकरण में रखने पर 120 = (u + v) × 6 - (u - v) × 6 प्राप्त होता है। पदों का विस्तार करने पर, 120 = 6u + 6v - 6u + 6v, जो सरल होकर 120 = 12v हो जाता है। v के लिए हल करने पर v = 10 मीटर प्रति मिनट प्राप्त होता है। इस चाल को किलोमीटर प्रति घंटे में बदलने के लिए, प्रति घंटे की दूरी ज्ञात करने के लिए 60 से गुणा करें और मीटर को किलोमीटर में बदलने के लिए 1000 से भाग दें: v = (10 × 60)/(1000) = 0.6 किमी/घंटा।

व्याख्या

पूरक कोण संबंधों sin(90° - θ) = cos θ और cos(90° - θ) = sin θ का उपयोग करके व्यंजक को सरल किया जाता है। चूंकि 63° + 27° = 90° और 17° + 73° = 90° है, हम कोणों को संरेखित करने के लिए पदों को परिवर्तित कर सकते हैं।

अंश में, sin 27° को cos 63° से प्रतिस्थापित करें: sin² 63° + sin² 27° = sin² 63° + sin²(90° - 63°) = sin² 63° + cos² 63°

हर में, cos 73° को sin 17° से प्रतिस्थापित करें: cos² 17° + cos² 73° = cos² 17° + cos²(90° - 17°) = cos² 17° + sin² 17°

त्रिकोणमितीय सर्वसमिका sin² θ + cos² θ = 1 को लागू करने पर, अंश और हर दोनों का मान 1 प्राप्त होता है। इस प्रकार, कुल मान है: ¹⁄₁ = 1

व्याख्या

मध्यवर्ती अनुपातों a:b और b:c के दिए होने पर अनुपात a:c ज्ञात करने के लिए, हम दोनों अनुपातों को गुणा करते हैं। इस संबंध को इस प्रकार व्यक्त किया जाता है:

(a)/(c) = (a)/(b) × (b)/(c)

दिए गए मानों को प्रतिस्थापित करने पर:

(a)/(c) = ⅘ × ³⁄₁₀

अंशों और हरों को गुणा करने पर प्राप्त होता है:

(a)/(c) = (4 × 3)/(5 × 10) = ¹²⁄₅₀

अनुपात ¹²⁄₅₀ को सरल बनाने के लिए, हम अंश और हर दोनों को उनके महत्तम समापवर्तक से विभाजित करते हैं, जो कि 2 है:

(12 ÷ 2)/(50 ÷ 2) = ⁶⁄₂₅

इस प्रकार, अनुपात a:c, 6:25 है।

व्याख्या

अंकों को दर्ज करने में हुई त्रुटि के कारण कक्षा के अंकों के कुल योग में वृद्धि हुई। गलत तरीके से दर्ज किए गए अंकों और वास्तविक अंकों के बीच का अंतर 98 - 89 = 9 है। 9 अंकों का यह अतिरिक्त मान पूरी कक्षा में वितरित हो गया, जिससे औसत में 0.25 की वृद्धि हुई।

कक्षा में छात्रों की संख्या (n) को सूत्र n = (योग में कुल परिवर्तन)/(औसत में परिवर्तन) का उपयोग करके निर्धारित किया जा सकता है। सूत्र में दिए गए मानों को रखने पर, हमें n = (9)/(0.25) प्राप्त होता है। चूंकि 0.25, ¼ के बराबर है, इसलिए गणना n = 9 × 4 = 36 हो जाती है।

व्याख्या

अर्जित ब्याज में अंतर समान अवधि में समान मूलधन पर लागू ब्याज दर में अंतर के सीधे आनुपातिक होता है। इस संबंध को साधारण ब्याज में परिवर्तन के सूत्र द्वारा व्यक्त किया जाता है: Δ SI = (P × Δ R × T)/(100), जहाँ Δ SI प्राप्त अतिरिक्त ब्याज है, P मूलधन है, Δ R वार्षिक ब्याज दर में वृद्धि है, और T वर्षों में समय है।

दिया गया है कि Δ SI = 600, Δ R = 5%, और T = 3 वर्ष, समीकरण इस प्रकार बनता है:

600 = (P × 5 × 3)/(100)

600 = (15P)/(100)

मूलधन P ज्ञात करने के लिए, समीकरण को पुनर्व्यवस्थित करें:

P = (600 × 100)/(15)

P = 40 × 100

P = 4000

व्याख्या

पुलिस जीप की आवश्यक गति ज्ञात करने के लिए, हम सबसे पहले चोरी के समय से लेकर गिरफ्तारी के निर्धारित समय तक चोर द्वारा तय की गई कुल दूरी निर्धारित करते हैं। चोर रात 8:15 बजे से रात 9:00 बजे तक यात्रा करता है, जो कि 45 मिनट या ¾ घंटे की अवधि है। यह देखते हुए कि चोर 60 किमी/घंटा की गति से यात्रा करता है, दुकान से तय की गई दूरी है:

दूरी = गति × समय = 60 × ¾ = 45 किमी

पुलिस को रात 8:30 बजे सूचना मिलती है और वे पीछा करना शुरू करते हैं। रात 9:00 बजे चोर को गिरफ्तार करने के लिए, उन्हें रात 8:30 बजे से रात 9:00 बजे के बीच 30 मिनट के अंतराल में समान 45 किमी की दूरी तय करनी होगी। पुलिस द्वारा पीछा करने के समय को घंटों में बदलने पर 30 मिनट = ½ घंटा प्राप्त होता है। पुलिस जीप के लिए आवश्यक न्यूनतम गति की गणना इस प्रकार की जाती है:

गति = (दूरी)/(समय) = (45)/(1/2) = 90 किमी/घंटा

व्याख्या

कंपनी Q में कार्यरत अधिकारियों की संख्या 250 है और कंपनी R में कार्यरत अधिकारियों की संख्या 350 है। Q में अधिकारियों की संख्या का R में अधिकारियों की संख्या से अनुपात की गणना निम्नलिखित सूत्र का उपयोग करके की जाती है:

अनुपात = (Q में अधिकारी)/(R में अधिकारी)

तालिका से मान रखने पर:

अनुपात = ²⁵⁰⁄₃₅₀

अनुपात को सरल बनाने के लिए, दोनों पदों को उनके महत्तम समापवर्तक से विभाजित करें, जो कि 50 है:

(250 ÷ 50)/(350 ÷ 50) = ⁵⁄₇

सरलीकृत अनुपात 5:7 है।

व्याख्या

इस व्यंजक को बीजगणितीय सर्वसमिका (x + ¹⁄ₓ)² = x² + (1)/(x²) + 2 का उपयोग करके हल किया गया है। दिए गए प्रारंभिक संबंध K + (1)/(K) = 3 के दोनों पक्षों का वर्ग करने पर (K + (1)/(K))² = 3² प्राप्त होता है। समीकरण के बाएं पक्ष का विस्तार करने पर K² + (1)/(K²) + 2(K)((1)/(K)) प्राप्त होता है, जो सरल होकर K² + (1)/(K²) + 2 हो जाता है। दाएं पक्ष के वर्ग का मान प्रतिस्थापित करने पर, समीकरण K² + (1)/(K²) + 2 = 9 बन जाता है। वांछित पदों को अलग करने के लिए, दोनों पक्षों से 2 घटाया जाता है, जिससे K² + (1)/(K²) = 9 - 2 प्राप्त होता है, जो 7 के बराबर है।

व्याख्या

व्यंजक का मान एक त्रिपद के वर्ग के लिए मानक बीजगणितीय सर्वसमिका का उपयोग करके ज्ञात किया जाता है: (a + b + c)² = a² + b² + c² + 2(ab + bc + ca)। वर्गों के योग का मान ज्ञात करने के लिए इस सूत्र को पुनर्व्यवस्थित करने पर, हमें प्राप्त होता है: a² + b² + c² = (a + b + c)² - 2(ab + bc + ca)।

दिए गए मानों a + b + c = 9 और ab + bc + ca = 23 को समीकरण में रखने पर: a² + b² + c² = 9² - 2(23) a² + b² + c² = 81 - 46 a² + b² + c² = 35