एसएससी सीजीएल टियर 1 2022 मात्रात्मक अभिक्षमता प्रश्न — हल सहित

व्याख्या

दिए गए व्यंजक में उस बीजगणितीय सर्वसमिका (algebraic identity) का उपयोग किया गया है, जिसके अनुसार यदि a + b + c = 0 हो, तो a³ + b³ + c³ = 3abc होता है। अंश में, माना a = x - y, b = y - z, और c = z - x है। उनके योग की गणना करने पर:

a + b + c = (x - y) + (y - z) + (z - x) = 0

चूँकि पदों का योग शून्य है, इसलिए अंश (x - y)³ + (y - z)³ + (z - x)³ सरल होकर 3(x - y)(y - z)(z - x) हो जाता है। इसे मूल व्यंजक में प्रतिस्थापित करने पर:

(3(x - y)(y - z)(z - x))/(6(x - y)(y - z)(z - x))

चूँकि x ≠ y ≠ z है, इसलिए गुणनखंड (x - y), (y - z), और (z - x) शून्य नहीं (non-zero) हैं और इन्हें अंश तथा हर से विभाजित (cancel) किया जा सकता है। इससे प्राप्त होता है:

³⁄₆ = ½

व्याख्या

यह ज्ञात करने के लिए कि कारखाना F2 द्वारा निर्मित खिलौनों की संख्या, कारखाना F4 द्वारा निर्मित खिलौनों की संख्या का कितना प्रतिशत है, मानक प्रतिशत सूत्र का उपयोग करें:

प्रतिशत = (F2 का मान)/(F4 का मान) × 100

तालिका के अनुसार, कारखाना F2 द्वारा निर्मित खिलौनों की संख्या 450 है और कारखाना F4 द्वारा निर्मित खिलौनों की संख्या 150 है। सूत्र में इन मानों को रखने पर प्राप्त होता है:

प्रतिशत = ⁴⁵⁰⁄₁₅₀ × 100

भिन्न ⁴⁵⁰⁄₁₅₀ को सरल करने पर 3 प्राप्त होता है। इसलिए:

प्रतिशत = 3 × 100 = 300 प्रतिशत

इस प्रकार, कारखाना F2 ने कारखाना F4 द्वारा निर्मित खिलौनों का 300 प्रतिशत खिलौना निर्मित किया।

व्याख्या

₹500 प्रत्येक के पांच उत्पादों का कुल अंकित मूल्य 5 × 500 = ₹2,500 है। दुकान पहले 5% की छूट लागू करती है, इसलिए प्रारंभिक छूट के बाद मूल्य 2,500 × (1 - 0.05) = 2,500 × 0.95 = ₹2,375 है। चूंकि यह मध्यवर्ती राशि ₹2,375, ₹2,000 की सीमा से अधिक है, इसलिए ग्राहक 10% की अतिरिक्त छूट के लिए पात्र है। इस दूसरी छूट की गणना पहले से ही छूट प्राप्त मूल्य पर की जाती है, जिससे अंतिम देय राशि 2,375 × (1 - 0.10) = 2,375 × 0.90 = ₹2,137.5 हो जाती है।

व्याख्या

किसी वृत्त की परिधि C की गणना सूत्र C = 2π r का उपयोग करके की जाती है, जहाँ r त्रिज्या को दर्शाता है। यह देखते हुए कि परिधि 220 सेमी है, और π का मान ²²⁄₇ लेने पर, इस संबंध को इस प्रकार व्यक्त किया जाता है:

220 = 2 × ²²⁄₇ × r

220 = ⁴⁴⁄₇ × r

r का मान ज्ञात करने के लिए, दोनों पक्षों को 7 से गुणा करें और 44 से विभाजित करें:

r = (220 × 7)/(44)

r = 5 × 7

r = 35 सेमी

व्याख्या

एक वर्ग के परिमाप को सूत्र P = 4s द्वारा परिभाषित किया जाता है, जहाँ s एक भुजा की लंबाई है। यह देखते हुए कि परिमाप 124 मीटर है, हम परिमाप को 4 से विभाजित करके भुजा की लंबाई निर्धारित कर सकते हैं: s = ¹²⁴⁄₄ = 31 मीटर।

एक वर्ग का क्षेत्रफल A, सूत्र A = s² द्वारा निर्धारित किया जाता है। क्षेत्रफल के सूत्र में भुजा की परिकलित लंबाई 31 मीटर को प्रतिस्थापित करने पर, हमें प्राप्त होता है: A = 31² = 961 वर्ग मीटर।

व्याख्या

त्रिभुज XYZ में, अंतःकेंद्र P वह बिंदु है जहाँ त्रिभुज के आंतरिक कोण समद्विभाजक प्रतिच्छेद करते हैं। एक मानक ज्यामितीय गुण के अनुसार, त्रिभुज के दो शीर्षों द्वारा अंतःकेंद्र पर बनने वाला कोण, 90° और तीसरे शीर्ष कोण के आधे के योग के बराबर होता है।

∠ XPZ की गणना करने का सूत्र है: ∠ XPZ = 90° + (∠ XYZ)/(2)

दिया गया है कि ∠ XYZ = 50°, हम इस मान को सूत्र में रखते हैं: ∠ XPZ = 90° + (50°)/(2) ∠ XPZ = 90° + 25° ∠ XPZ = 115°

यह संबंध इस तथ्य से प्राप्त होता है कि △ XPZ में कोणों का योग 180° होता है, जहाँ X और Z पर बनने वाले कोण △ XYZ के मूल कोणों के आधे होते हैं। मुख्य त्रिभुज के कोण योग गुण को उप-त्रिभुज की गणना में प्रतिस्थापित करने से सीधे यह परिणाम प्राप्त होता है।

व्याख्या

13½% की हानि से 11% के लाभ तक प्रतिशत मान में कुल परिवर्तन दोनों प्रतिशतों का संख्यात्मक योग है। ऐसा इसलिए है क्योंकि हानि क्रय मूल्य (CP) से कम मूल्य को दर्शाती है और लाभ इससे अधिक मूल्य को दर्शाता है।

कुल प्रतिशत अंतर = 13.5% + 11% = 24.5%

क्रय मूल्य के प्रतिशत में यह 24.5% का अंतर ₹1,274 की वास्तविक मूल्य वृद्धि के संगत है। माना क्रय मूल्य CP है।

CP का 24.5% = 1274 (24.5)/(100) × CP = 1274 CP = (1274 × 100)/(24.5) CP = (1274 × 1000)/(245)

गणना को सरल करने के लिए, दोनों संख्याओं को उनके उभयनिष्ठ गुणनखंडों से विभाजित करें: CP = (182 × 1000)/(35) (1274 और 245 को 7 से विभाजित करने पर) CP = (26 × 1000)/(5) (182 और 35 को 7 से विभाजित करने पर) CP = 26 × 200 = 5200

वस्तु का क्रय मूल्य ₹5,200 है।

व्याख्या

मान J1 पांच वर्षों P, Q, R, S और T में कंपनी L के व्यय के योग को दर्शाता है। इन मानों को जोड़ने पर J1 = 200 + 150 + 300 + 100 + 400 = 1150 प्राप्त होता है। मान J2 उन्हीं पांच वर्षों में कंपनी M के व्यय के योग को दर्शाता है। इन मानों को जोड़ने पर J2 = 500 + 350 + 250 + 150 + 100 = 1350 प्राप्त होता है।

अनुपात J1:J2 ज्ञात करने के लिए, हम परिकलित योगों का उपयोग करते हैं: J1:J2 = 1150:1350

दोनों पदों को 10 से विभाजित करने पर अनुपात सरल होकर 115:135 हो जाता है। दोनों पदों को उनके उभयनिष्ठ गुणनखंड 5 से पुनः विभाजित करने पर प्राप्त होता है: 115 ÷ 5 = 23 135 ÷ 5 = 27

सरलीकृत अनुपात J1:J2 = 23:27 है।

व्याख्या

नए व्यक्ति का वजन ज्ञात करने के लिए, सूत्र का उपयोग करें: नए व्यक्ति का वजन = प्रतिस्थापित व्यक्ति का वजन + (व्यक्तियों की संख्या × औसत में वृद्धि)।

प्रश्न में कहा गया है कि 12 व्यक्ति हैं और औसत वजन 3.5 किग्रा बढ़ जाता है। पूरे समूह के वजन में कुल वृद्धि की गणना 12 × 3.5 = 42 किग्रा के रूप में की जाती है।

यह कुल वृद्धि इसलिए होती है क्योंकि नया व्यक्ति प्रतिस्थापित किए गए व्यक्ति से अधिक भारी है। जाने वाले व्यक्ति के वजन (58 किग्रा) में इस कुल वृद्धि को जोड़कर, नए व्यक्ति का वजन निर्धारित किया जाता है: 58 किग्रा + 42 किग्रा = 100 किग्रा।

चूंकि नए व्यक्ति का परिकलित वजन 100 किग्रा है, इसलिए कथन I सही है।

व्याख्या

दिया गया समीकरण K + (1)/(K) + 2 = 0 है। पूरे समीकरण को K से गुणा करने पर द्विघात समीकरण K² + 2K + 1 = 0 प्राप्त होता है। यह एक पूर्ण वर्ग त्रिपद है जिसे (K + 1)² = 0 के रूप में गुणनखंडित किया जा सकता है। K के लिए हल करने पर अद्वितीय मान K = -1 प्राप्त होता है।

व्यंजक K¹⁰ + K¹¹ का मान ज्ञात करने के लिए, K = -1 प्रतिस्थापित करें: (-1)¹⁰ + (-1)¹¹

एक ऋणात्मक संख्या की सम घात (even power) होने पर धनात्मक मान प्राप्त होता है, इसलिए (-1)¹⁰ = 1। एक ऋणात्मक संख्या की विषम घात (odd power) होने पर ऋणात्मक मान प्राप्त होता है, इसलिए (-1)¹¹ = -1। अतः, व्यंजक का मान 1 + (-1) = 0 प्राप्त होता है।

व्याख्या

cos 45° sin 15° का मान ज्ञात करने के लिए, हम गुणनफल-से-योग त्रिकोणमितीय सर्वसमिका cos A sin B = ½ [sin(A+B) - sin(A-B)] का उपयोग करते हैं। सूत्र में A = 45° और B = 15° का मान रखने पर:

cos 45° sin 15° = ½ [sin(45° + 15°) - sin(45° - 15°)]

cos 45° sin 15° = ½ [sin 60° - sin 30°]

मानक त्रिकोणमितीय मानों sin 60° = √3{2} और sin 30° = ½ को प्रतिस्थापित करने पर:

cos 45° sin 15° = ½ [√3{2} - ½] = √3 - 1{4}

वैकल्पिक रूप से, cos 45° = (1)/(√(2)) के प्रत्यक्ष मान का उपयोग करके और sin 15° = sin(45° - 30°) = √3-1{2√2} की गणना करके, गुणनफल की गणना इस प्रकार की जाती है: (1)/(√(2)) × √3 - 1{2√2} = √3 - 1{4}।

व्याख्या

किसी भी वास्तविक संख्या X के लिए, यदि X + (1)/(X) = 2 है, तो X का एकमात्र संभावित मान 1 है। इसे समीकरण को द्विघात रूप X² - 2X + 1 = 0 में पुनर्व्यवस्थित करके दिखाया जा सकता है, जिसका गुणनखंड (X - 1)² = 0 के रूप में होता है, जिससे X = 1 प्राप्त होता है। वांछित व्यंजक में X = 1 प्रतिस्थापित करने पर, हमें 1³ + (1)/(1³⁾ = 1 + 1 = 2 प्राप्त होता है।

वैकल्पिक रूप से, a³ + b³ के लिए बीजगणितीय सर्वसमिका का उपयोग करते हुए, हमारे पास X³ + (1)/(X³⁾ = (X + (1)/(X))³ - 3(X)((1)/(X))(X + (1)/(X)) है। दिए गए मान X + (1)/(X) = 2 को प्रतिस्थापित करने पर, व्यंजक 2³ - 3(1)(2) = 8 - 6 = 2 हो जाता है।

व्याख्या

तालिका में दिए गए आंकड़े ऊंचाई और वजन के बीच एक प्रत्यक्ष धनात्मक सहसंबंध को प्रदर्शित करते हैं। आरोही क्रम में मानों की जांच करने पर, यह स्पष्ट होता है कि जैसे-जैसे ऊंचाई 135 सेमी से बढ़कर 156 सेमी होती है, वैसे-वैसे संगत वजन के मान भी लगातार 45 से बढ़कर 69 हो जाते हैं। विशेष रूप से, युग्म (135, 45), (139, 55), (141, 58), (142, 60), (145, 61), (155, 68), और (156, 69) दर्शाते हैं कि ऊंचाई वाले कॉलम में प्रत्येक वृद्धि के लिए, वजन वाले कॉलम में भी तदनुसार वृद्धि होती है। यह एकदिष्ट संबंध पुष्टि करता है कि ऊंचाई बढ़ने के साथ वजन बढ़ता है।

व्याख्या

सकेंद्रीय वृत्तों की एक प्रणाली में, बड़े वृत्त की वह जीवा जो छोटे वृत्त की स्पर्श रेखा होती है, स्पर्श बिंदु द्वारा समद्विभाजित होती है। छोटे वृत्त की त्रिज्या r स्पर्श बिंदु पर इस जीवा के लंबवत होती है। यह विन्यास एक समकोण त्रिभुज बनाता है जहाँ बड़े वृत्त की त्रिज्या R कर्ण है, छोटे वृत्त की त्रिज्या r एक भुजा है, और जीवा की आधी लंबाई x दूसरी भुजा है।

पाइथागोरस प्रमेय का उपयोग करने पर: R² = r² + x²

दिए गए मानों R = 20 सेमी और r = 16 सेमी को प्रतिस्थापित करने पर: 20² = 16² + x² 400 = 256 + x² x² = 400 - 256 x² = 144 x = √(144) = 12 सेमी

चूँकि x जीवा की आधी लंबाई को दर्शाता है, इसलिए जीवा की कुल लंबाई 2 × 12 = 24 सेमी है।

व्याख्या

किसी वृत्त की परिधि को सूत्र C = 2π r द्वारा परिभाषित किया जाता है। दो वृत्तों की त्रिज्याओं के बीच का अंतर ज्ञात करने के लिए, हम परिधि और त्रिज्या के बीच के रैखिक संबंध का उपयोग कर सकते हैं:

C₂ - C₁ = 2π r₂ - 2π r₁ = 2π(r₂ - r₁)

त्रिज्याओं में अंतर (Δ r) ज्ञात करने के लिए सूत्र को पुनर्व्यवस्थित करने पर:

Δ r = (C₂ - C₁)/(2π)

दी गई परिधियों C₂ = 440 सेमी और C₁ = 308 सेमी को प्रतिस्थापित करने पर, और π = ²²⁄₇ का उपयोग करने पर:

Δ r = (440 - 308)/(2 × 22){7}

Δ r = (132)/(44){7}

Δ r = (132 × 7)/(44)

चूंकि 132 = 44 × 3 है, इसलिए यह समीकरण सरल होकर निम्न प्रकार हो जाता है:

Δ r = 3 × 7 = 21 सेमी

व्याख्या

द्विपद अंतर के घन के लिए बीजीय सर्वसमिका (x - y)³ = x³ - y³ - 3xy(x - y) है। इस सर्वसमिका में x = a और y = ¹⁄ₐ प्रतिस्थापित करने पर, हमें प्राप्त होता है:

(a - ¹⁄ₐ)³ = a³ - (¹⁄ₐ)³ - 3(a)(¹⁄ₐ)(a - ¹⁄ₐ) (a - ¹⁄ₐ)³ = a³ - (1)/(a³) - 3(a - ¹⁄ₐ)

दिए गए व्यंजक से मिलाने के लिए पदों को पुनर्व्यवस्थित करने पर: a³ - (1)/(a³) = (a - ¹⁄ₐ)³ + 3(a - ¹⁄ₐ)

इस पुनर्व्यवस्थित सर्वसमिका का बायां पक्ष a³ - (1)/(a³) है, जो व्यंजक 3[a - ¹⁄ₐ] + [a - ¹⁄ₐ]³ के समतुल्य है। अतः, यह व्यंजक सरल होकर a³ - (1)/(a³) हो जाता है।

व्याख्या

कोई संख्या 7 और 11 दोनों से केवल तभी विभाज्य होती है जब वह उनके लघुत्तम समापवर्त्य (LCM) से विभाज्य हो। चूँकि 7 और 11 दोनों अभाज्य संख्याएँ हैं, इसलिए उनका LCM(7, 11) = 7 × 11 = 77 है। 1 से 430 तक की उन संख्याओं की कुल संख्या ज्ञात करने के लिए जो 77 से विभाज्य हैं, हम ऊपरी सीमा को LCM से विभाजित करते हैं और भागफल के पूर्णांक भाग पर विचार करते हैं। सूत्र n = ⌊ 430 / 77 ⌋ का उपयोग करने पर 5.58... प्राप्त होता है, जिसका अर्थ है कि ऐसी 5 संख्याएँ हैं। ये संख्याएँ 77 × 1 = 77, 77 × 2 = 154, 77 × 3 = 231, 77 × 4 = 308, और 77 × 5 = 385 हैं।

व्याख्या

कुल कार्य को व्यक्तिगत रूप से कार्य पूरा करने के समय, 12 और 8 के लघुत्तम समापवर्त्य (LCM) के रूप में माना जा सकता है, जो कि 24 इकाई है। विजय की कार्यक्षमता 24 / 12 = 2 इकाई प्रति सप्ताह है, और प्रवीण की कार्यक्षमता 24 / 8 = 3 इकाई प्रति सप्ताह है। वे प्रवीण से शुरू करते हुए एकान्तर सप्ताह में काम करते हैं, इसलिए 2 सप्ताह के एक चक्र में, वे 3 + 2 = 5 इकाई कार्य पूरा करते हैं।

4 पूर्ण चक्रों में, जो 8 सप्ताह को दर्शाते हैं, पूरा किया गया कुल कार्य 4 × 5 = 20 इकाई है। शेष कार्य 24 - 20 = 4 इकाई है। 9वें सप्ताह में, प्रवीण की बारी है, और वह 3 इकाई कार्य पूरा करता है। 9वें सप्ताह के बाद, शेष कार्य 4 - 3 = 1 इकाई है। 10वें सप्ताह में, विजय की बारी है। चूंकि विजय की कार्यक्षमता 2 इकाई प्रति सप्ताह है, इसलिए शेष 1 इकाई कार्य को पूरा करने में उसे 1 / 2 = 0.5 सप्ताह का समय लगेगा। इसलिए, असाइनमेंट को पूरा करने में लगा कुल समय 9 + 0.5 = 9.5 सप्ताह है।

व्याख्या

एक समानुपात a : b :: c : d को संबंध (a)/(b) = (c)/(d) द्वारा परिभाषित किया जाता है। इस सूत्र में दिए गए मानों 14 : 30 :: 7 : x को प्रतिस्थापित करने पर प्राप्त होता है:

¹⁴⁄₃₀ = ⁷⁄ₓ

x का मान ज्ञात करने के लिए, हम इस गुण का उपयोग करते हैं कि बाह्य पदों का गुणनफल मध्य पदों के गुणनफल के बराबर होता है (ad = bc):

14 × x = 30 × 7

14x = 210

x = ²¹⁰⁄₁₄

x = 15

इसे पूर्वपदों (antecedents) के बीच स्केलिंग कारक (scaling factor) को देखकर भी हल किया जा सकता है। चूंकि 7 प्राप्त करने के लिए 14 को 2 से विभाजित किया गया है, इसलिए अनुपात को बनाए रखने के लिए उत्तरपद (consequent) 30 पर भी यही संक्रिया लागू की जानी चाहिए। इसलिए, x = ³⁰⁄₂ = 15।

व्याख्या

एक त्रिभुज में, किसी शीर्ष से उस बिंदु तक की दूरी जहाँ अंतःवृत्त (incircle) आसन्न भुजाओं को स्पर्श करता है, अर्ध-परिमाप (semi-perimeter) में से सम्मुख भुजा की लंबाई घटाने पर प्राप्त मान के बराबर होती है। माना अर्ध-परिमाप s है।

s = (AB + BC + AC)/(2) = (16 + 20 + 24)/(2) = ⁶⁰⁄₂ = 30 सेमी

बिंदु D, भुजा AB पर स्थित है, और AD, शीर्ष A से अंतःवृत्त पर खींची गई स्पर्श रेखा है। अंतःवृत्त की स्पर्श रेखाओं के गुणों के अनुसार, शीर्ष A से स्पर्श रेखा खंड की लंबाई की गणना इस प्रकार की जाती है:

AD = s - BC

दिए गए मानों को प्रतिस्थापित करने पर:

AD = 30 - 20 = 10 सेमी

व्याख्या

जब दो त्रिभुज समरूप होते हैं, जिसे △ ABC ∼ △ DEF के रूप में दर्शाया जाता है, तो उनकी संगत भुजाओं के अनुपात बराबर होते हैं। समरूपता के इस गुण को निम्नलिखित संबंध द्वारा व्यक्त किया जाता है:

(AB)/(DE) = (BC)/(EF)

प्रश्न में दिया गया है कि 2AB = DE, जिससे हमें संगत भुजाओं AB और DE के अनुपात को इस प्रकार निर्धारित करने में मदद मिलती है:

(AB)/(DE) = ½

इस अनुपात और BC = 8 सेमी के दिए गए मान को आनुपातिकता समीकरण में रखने पर:

½ = (8)/(EF)

तिर्यक गुणन (cross-multiplication) द्वारा EF का मान ज्ञात करने पर:

EF = 8 × 2 = 16 सेमी

व्याख्या

दी गई संख्याओं के समूह से पूर्णतः विभाज्य होने वाली सबसे छोटी संख्या उनका लघुत्तम समापवर्त्य (LCM) होती है। 9, 24 और 36 का LCM ज्ञात करने के लिए, हम प्रत्येक संख्या का अभाज्य गुणनखंडन करते हैं:

9 = 3² 24 = 2³ × 3¹ 36 = 2² × 3²

LCM की गणना इन गुणनखंडों में उपस्थित प्रत्येक अभाज्य गुणनखंड की उच्चतम घात लेकर की जाती है। अभाज्य गुणनखंड 2 के लिए, उच्चतम घात 2³ है। अभाज्य गुणनखंड 3 के लिए, उच्चतम घात 3² है।

LCM = 2³ × 3² = 8 × 9 = 72

वैकल्पिक रूप से, सामान्य विभाजन विधि का उपयोग करके, हम संख्याओं को उनके सामान्य अभाज्य गुणनखंडों से विभाजित करते हैं: 9, 24 और 36 को 3 से विभाजित करने पर 3, 8 और 12 प्राप्त होता है। परिणामों को पुनः 3 से विभाजित करने पर 1, 8 और 4 प्राप्त होता है। शेष संख्याओं को 4 से विभाजित करने पर 1, 2 और 1 प्राप्त होता है। LCM भाजकों और अंतिम शेषफलों का गुणनफल है: 3 × 3 × 4 × 2 = 72।

व्याख्या

सोहन एक छात्र है जो एक ही पुस्तक खरीद रहा है, जिससे वह एक पुस्तक खरीदने पर मिलने वाली मानक 10% की छूट और 5% की अतिरिक्त छात्र छूट के लिए पात्र हो जाता है। ये छूट अंकित मूल्य पर क्रमिक रूप से लागू होती हैं।

माना पुस्तक का अंकित मूल्य M है। 10% की पहली छूट मूल्य को M के 90% तक कम कर देती है, और 5% की दूसरी छूट इस कम किए गए मूल्य पर लागू होती है। अंकित मूल्य और अंतिम विक्रय मूल्य के बीच का संबंध क्रमिक छूट के सूत्र द्वारा निर्धारित किया जाता है: SP = M × (1 - d₁/100) × (1 - d₂/100)

समीकरण में दिए गए मानों को रखने पर: 513 = M × (1 - 10/100) × (1 - 5/100) 513 = M × (90/100) × (95/100) 513 = M × (9/10) × (19/20) 513 = M × (171/200)

M का मान ज्ञात करने के लिए, समीकरण को पुनर्व्यवस्थित करने पर: M = (513 × 200) / 171

513 को 171 से विभाजित करने पर ठीक 3 प्राप्त होता है। इसलिए: M = 3 × 200 = 600

व्याख्या

मान लीजिए शांत जल में व्यक्ति की गति v है और धारा की गति s है। धारा के अनुकूल (अनुप्रवाह) गति D = v + s है और धारा के प्रतिकूल (ऊर्ध्वप्रवाह) गति U = v - s है। चूंकि व्यक्ति धारा के अनुकूल जितने समय में 4 किमी नाव चलाता है, उतने ही समय में धारा के प्रतिकूल 3 किमी नाव चलाता है, इसलिए गतियों का अनुपात D : U = 4 : 3 है। हम इन गतियों को किसी स्थिरांक k के लिए D = 4k और U = 3k के रूप में दर्शा सकते हैं।

48 किमी की आने-जाने की कुल यात्रा का समय 14 घंटे है। सूत्र समय = (दूरी)/(गति) का उपयोग करते हुए, हम समीकरण ⁴⁸⁄₄ₖ + ⁴⁸⁄₃ₖ = 14 बनाते हैं। भिन्नों को सरल करने पर ¹²⁄ₖ + ¹⁶⁄ₖ = 14 प्राप्त होता है, जिसके परिणामस्वरूप ²⁸⁄ₖ = 14 होता है। k के लिए हल करने पर, हमें k = 2 प्राप्त होता है।

k का मान वापस गति के व्यंजकों में रखने पर, धारा के अनुकूल गति D = 4 × 2 = 8 किमी/घंटा और धारा के प्रतिकूल गति U = 3 × 2 = 6 किमी/घंटा प्राप्त होती है। धारा की गति सूत्र s = (D - U)/(2) द्वारा दी जाती है। इसलिए, s = (8 - 6)/(2) = ²⁄₂ = 1 किमी/घंटा।

व्याख्या

यदि प्रारंभिक जनसंख्या x है, तो 20% की मृत्यु के बाद, 80% शेष बचते हैं (0.8x), और उनमें से 30% के चले जाने के बाद, उस शेष का 70% बचता है (0.8x * 0.7 = 0.56x)। 0.56x को 12,000 के बराबर रखने पर x = 12,000 / 0.56 प्राप्त होता है, जो लगभग 21,428.57 है, जिससे पूर्णांक भाग 21,428 हो जाता है।

व्याख्या

माना प्रारंभिक मूलधन 1 इकाई है। धनराशि 3 वर्षों में 1.25 इकाई हो जाती है, जिसका अर्थ है कि 3 वर्षों में अर्जित साधारण ब्याज 0.25 इकाई है। 1 वर्ष का ब्याज (0.25)/(3) इकाई है।

7 वर्षों के लिए कुल ब्याज की गणना इस प्रकार की जाती है: ब्याज = (0.25)/(3) × 7 = (1.75)/(3) = ¹⁷⁵⁄₃₀₀ = ⁷⁄₁₂ इकाई।

7 वर्षों के बाद कुल मिश्रधन, मूलधन और ब्याज का योग है: मिश्रधन = 1 + ⁷⁄₁₂ = ¹⁹⁄₁₂ इकाई।

दिया गया है कि सात वर्षों के बाद आवश्यक मिश्रधन 7,60,000 है: ¹⁹⁄₁₂ इकाई = 7,60,000 1 इकाई = (7,60,000 × 12)/(19)

7,60,000 को 19 से विभाजित करने पर, हमें 40,000 प्राप्त होता है। अतः: मूलधन = 40,000 × 12 = 4,80,000।

व्याख्या

सभी छह देशों में कोयले के कुल उपभोग की गणना P, Q, R, S, T और U के लिए तालिका में दिए गए व्यक्तिगत उपभोग मानों को जोड़कर की जाती है।

कुल उपभोग = 132 + 248 + 185 + 245 + 226 + 174

इन मानों को क्रमिक रूप से जोड़ने पर: 132 + 248 = 380 380 + 185 = 565 565 + 245 = 810 810 + 226 = 1036 1036 + 174 = 1210

वैकल्पिक रूप से, इकाई, दहाई और सैकड़े के अनुसार जोड़ने पर: इकाई: 2 + 8 + 5 + 5 + 6 + 4 = 30 दहाई: 30 + 40 + 80 + 40 + 20 + 70 = 280 सैकड़ा: 100 + 200 + 100 + 200 + 200 + 100 = 900 कुल: 30 + 280 + 900 = 1210

व्याख्या

x⁴ + (1)/(x⁴) = 194 से x³ + (1)/(x³) का मान ज्ञात करने के लिए, हम सबसे पहले x + ¹⁄ₓ ज्ञात करने के लिए घात को कम करते हैं। दिए गए समीकरण के दोनों पक्षों में 2 जोड़ने पर हमें x⁴ + (1)/(x⁴) + 2 = 194 + 2 प्राप्त होता है, जो सरल होकर (x² + (1)/(x²))² = 196 हो जाता है। वर्गमूल लेने पर, हमें x² + (1)/(x²) = 14 प्राप्त होता है।

इस प्रक्रिया को दोहराते हुए, हम दोनों पक्षों में फिर से 2 जोड़ते हैं जिससे हमें x² + (1)/(x²) + 2 = 14 + 2 प्राप्त होता है, जो सरल होकर (x + ¹⁄ₓ)² = 16 हो जाता है। वर्गमूल लेने पर x + ¹⁄ₓ = 4 प्राप्त होता है।

घनों के योग के लिए बीजीय सर्वसमिका x³ + (1)/(x³) = (x + ¹⁄ₓ)³ - 3(x + ¹⁄ₓ) है। इस सूत्र में x + ¹⁄ₓ = 4 का मान रखने पर, हमें 4³ - 3(4) = 64 - 12 = 52 प्राप्त होता है।

व्याख्या

दिया गया व्यंजक घनों के योग के बीजगणितीय सर्वसमिका (algebraic identity) का अनुसरण करता है, जिसे a³ + b³ = (a + b)(a² - ab + b²) के रूप में परिभाषित किया गया है।

व्यंजक (5x + 8y)(25x² + 64y² - 40xy) में पदों की पहचान करके, हम मान सकते हैं कि a = 5x और b = 8y है। इन पदों का वर्ग करने पर a² = (5x)² = 25x² और b² = (8y)² = 64y² प्राप्त होता है। उनका गुणनफल ab = (5x)(8y) = 40xy है।

इन मानों को सर्वसमिका में प्रतिस्थापित करने पर, व्यंजक की संरचना (a + b)(a² + b² - ab) से मेल खाती है। परिणामस्वरूप, परिणाम a³ + b³ है। व्यक्तिगत पदों के घनों की गणना करने पर a³ = (5x)³ = 125x³ और b³ = (8y)³ = 512y³ प्राप्त होता है। इन्हें आपस में जोड़ने पर सरल व्यंजक 125x³ + 512y³ प्राप्त होता है।

व्याख्या

इस समस्या को कार्य-दर सूत्र M₁D₁{W₁} = M₂D₂{W₂} का उपयोग करके हल किया गया है, जहाँ M श्रमिकों की संख्या को दर्शाता है, D दिनों में समय है, और W किलोमीटर में पूरा किया गया कार्य है।

पहले चरण में, M₁ = 90 श्रमिकों ने W₁ = 0.5 किमी पुल को पूरा करने के लिए D₁ = 200 दिनों तक काम किया। दूसरे चरण के लिए, शेष कार्य W₂ = 3 - 0.5 = 2.5 किमी है, और 600 दिनों की समय सीमा को पूरा करने के लिए शेष समय D₂ = 600 - 200 = 400 दिन है। मान लीजिए कि दूसरे चरण के लिए आवश्यक कुल श्रमिकों की संख्या M₂ है।

सूत्र में मानों को प्रतिस्थापित करने पर: (90 × 200)/(0.5) = M₂ × 400{2.5}

M₂ के लिए हल करने पर: 36000 = M₂ × 400{2.5} 36000 × 2.5 = 400 × M₂ 90000 = 400 × M₂ M₂ = ⁹⁰⁰⁰⁰⁄₄₀₀ = 225

कार्य को समय पर पूरा करने के लिए आवश्यक कुल श्रमिकों की संख्या 225 है। चूंकि ठेकेदार के पास पहले से ही 90 श्रमिक हैं, इसलिए आवश्यक अतिरिक्त श्रमिकों की संख्या 225 - 90 = 135 है।

व्याख्या

दुकानदार का लाभ या हानि विक्रय मूल्य और क्रय मूल्य के बीच के अंतर से निर्धारित होती है। दिया गया है कि क्रय मूल्य (CP) = ₹1,200 और विक्रय मूल्य (SP) = ₹1,500, लाभ की गणना इस प्रकार की जाती है: लाभ = SP - CP = 1,500 - 1,200 = 300

लाभ प्रतिशत की गणना निम्नलिखित सूत्र का उपयोग करके की जाती है: लाभ% = (लाभ)/(CP) × 100

सूत्र में मान रखने पर: लाभ% = (300)/(1,200) × 100 = ¼ × 100 = 25%

चूंकि विक्रय मूल्य क्रय मूल्य से अधिक है, इसलिए दुकानदार ने 25 प्रतिशत का लाभ अर्जित किया।

व्याख्या

कोई संख्या 3 से विभाज्य होती है यदि उसके अंकों का योग 3 से विभाज्य हो। व्यंजक में दी गई संख्याओं के अंकों के योग की गणना करने पर: 9435 के लिए, 9 + 4 + 3 + 5 = 21; 7593 के लिए, 7 + 5 + 9 + 3 = 24; और 2607 के लिए, 2 + 6 + 0 + 7 = 15। चूंकि 21, 24 और 15 सभी 3 के गुणज हैं, इसलिए संक्रिया में शामिल प्रत्येक संख्या 3 से विभाज्य है। विभाज्यता के गुणों के अनुसार, यदि x, y और z, n से विभाज्य हैं, तो रैखिक संयोजन x + y - z भी n से विभाज्य होगा। इसलिए, गणना का परिणाम 3 से विभाज्य है।

व्याख्या

दो संख्याओं का लघुत्तम समापवर्त्य (LCM) वह सबसे छोटा मान होता है जो दोनों संख्याओं से विभाज्य हो। LCM का एक मूलभूत गुण यह है कि यदि कोई संख्या x, दूसरी संख्या y का गुणज है, तो LCM(x, y) = x होता है। दी गई संख्याओं का परीक्षण करने पर, हम पाते हैं कि 373.2 = 186.6 × 2 है। चूंकि 373.2, 186.6 का एक पूर्ण पूर्णांक गुणज है, इसलिए यह दोनों मानों के लिए सबसे छोटे सामान्य गुणज के रूप में कार्य करता है। अतः, 186.6 और 373.2 का LCM 373.2 है।

व्याख्या

जब किसी ठोस वस्तु को दूसरे आकार में ढाला जाता है, तो कुल आयतन अपरिवर्तित रहता है। गोले का आयतन सूत्र Vₛ = ⁴⁄₃ π R³ द्वारा दिया जाता है, जहाँ R गोले की त्रिज्या है। व्यास 18 मीटर दिया गया है, इसलिए त्रिज्या R = 9 मीटर है।

गोले का आयतन = ⁴⁄₃ π (9)³ = ⁴⁄₃ π × 729 = 4 π × 243 = 972 π घन मीटर।

गोले को एक बेलनाकार तार के रूप में खींचा जाता है। बेलन का आयतन V_c = π r² h द्वारा दिया जाता है, जहाँ r त्रिज्या है और h लंबाई (ऊंचाई) है। लंबाई h = 12 मीटर दी गई है, दोनों आयतनों को बराबर रखने पर:

π r² × 12 = 972 π

दोनों पक्षों को 12 π से विभाजित करने पर:

r² = ⁹⁷²⁄₁₂

r² = 81

वर्गमूल लेने पर:

r = 9 मीटर

व्याख्या

एक घनाभ का आयतन सूत्र V = L × B × H द्वारा दिया जाता है। जब विमाओं (dimensions) में प्रतिशत परिवर्तन होता है, तो शुद्ध प्रतिशत परिवर्तन की गणना क्रमिक प्रतिशत सूत्र a + b + ᵃᵇ⁄₁₀₀ का उपयोग करके की जा सकती है।

सबसे पहले, लंबाई और चौड़ाई में हुई वृद्धि के शुद्ध प्रभाव की गणना करें। a = 20% और b = 25% के लिए, संयुक्त वृद्धि 20 + 25 + (20 × 25)/(100) = 45 + 5 = 50% है।

इसके बाद, इस 50% की वृद्धि को ऊंचाई में 30% की कमी के साथ संयोजित करें। a = 50% और b = -30% के साथ समान सूत्र का उपयोग करने पर, कुल परिवर्तन 50 - 30 + (50 × (-30))/(100) = 20 - 15 = 5% है।

चूंकि अंतिम परिणाम धनात्मक है, इसलिए घनाभ के आयतन में कुल 5% की वृद्धि हुई है। वैकल्पिक रूप से, गुणक विधि (multiplier method) का उपयोग करने पर, नया आयतन V × 1.20 × 1.25 × 0.70 = V × 1.05 है, जो 5% की वृद्धि की पुष्टि करता है।

व्याख्या

तीन संख्याओं a, b, और c के चतुर्थानुपाती d को इस गुण द्वारा परिभाषित किया जाता है कि a, b, c, और d समानुपात में हैं, जैसे कि a:b = c:d। इस संबंध को सूत्र d = (b × c)/(a) के रूप में लिखा जा सकता है।

दिए गए मानों a = 24, b = 192, और c = 27 को सूत्र में रखने पर:

d = (192 × 27)/(24)

सबसे पहले, 192 को 24 से विभाजित करें:

192 / 24 = 8

फिर, परिणाम को 27 से गुणा करें:

d = 8 × 27 = 216

व्याख्या

भुजा की लंबाई a वाले एक समबाहु त्रिभुज के शीर्षलंब h को निम्नलिखित सूत्र द्वारा दिया जाता है: h = √3{2} a

दिया गया है कि शीर्षलंब की लंबाई 6√3 मीटर है, हम इसे सूत्र में प्रतिस्थापित करते हैं: 6√3 = √3{2} a

a के लिए हल करने पर: a = 6√3 × 2{√3} a = 12 मीटर

एक समबाहु त्रिभुज का परिमाप P उसकी भुजा की लंबाई का तीन गुना होता है: P = 3a P = 3 × 12 = 36 मीटर

व्याख्या

इस व्यंजक को पूरक कोणों के त्रिकोणमितीय सर्वसमिका, cos x = sin(90° - x) का उपयोग करके हल किया जा सकता है। x = 30° + θ रखने पर, हम पाते हैं कि cos(30° + θ) = sin(90° - (30° + θ)) = sin(60° - θ) है। दिए गए व्यंजक में इस समतुल्य मान को प्रतिस्थापित करने पर sin(60° - θ) - sin(60° - θ) = 0 प्राप्त होता है।

वैकल्पिक रूप से, प्रसार सूत्रों cos(A + B) = cos A cos B - sin A sin B और sin(A - B) = sin A cos B - cos A sin B का उपयोग करने पर: cos(30° + θ) = cos 30° cos θ - sin 30° sin θ = (√3)/2 cos θ - ½ sin θ sin(60° - θ) = sin 60° cos θ - cos 60° sin θ = (√3)/2 cos θ - ½ sin θ इन दो समान मानों के बीच का अंतर 0 है।

व्याख्या

B द्वारा तय की गई दूरी ज्ञात करने के लिए, हम सबसे पहले 5 सेकंड के अंतराल के दौरान A द्वारा तय की गई बढ़त की दूरी (lead distance) निर्धारित करते हैं। चूंकि A, 34 मी/से की गति से चलता है, इसलिए दूरी Dₗₑₐ_d = 34 × 5 = 170 मीटर है। सापेक्ष गति जिस पर B इस अंतर को पाटता है, उनकी गतियों का अंतर है: vᵣₑₗ = 44 मी/से - 34 मी/से = 10 मी/से।

B द्वारा A को पकड़ने में लिया गया समय, बढ़त की दूरी को सापेक्ष गति से विभाजित करके ज्ञात किया जाता है: t = (170 मीटर)/(10 मी/से) = 17 सेकंड। इस समय के दौरान B द्वारा तय की गई कुल दूरी D = v_B × t = 44 मी/से × 17 s = 748 मीटर है।

व्याख्या

17 के प्रथम 7 शून्येतर गुणज एक समांतर श्रेणी (AP) बनाते हैं: 17, 34, 51, 68, 85, 102, 119। समांतर श्रेणी के किसी भी अनुक्रम के लिए, यदि पदों की संख्या विषम है, तो औसत मध्य पद के बराबर होता है, या पहले और अंतिम पदों के माध्य के बराबर होता है।

समांतर श्रेणी (AP) के औसत के सूत्र का उपयोग करने पर: औसत = (a + l)/(2)

इस स्थिति में, पहला पद a = 17 × 1 = 17 और अंतिम (7वां) पद l = 17 × 7 = 119 है। इन मानों को प्रतिस्थापित करने पर: औसत = (17 + 119)/(2) = ¹³⁶⁄₂ = 68

वैकल्पिक रूप से, चूंकि यहाँ 7 पद हैं, इसलिए औसत अनुक्रम का चौथा पद होगा। औसत = 17 × 4 = 68

व्याख्या

(sin²θ + cos²θ) = 1 से प्राप्त मानक त्रिकोणमितीय सर्वसमिकाओं का उपयोग करने पर, हमें प्राप्त होता है: sin⁴θ + cos⁴θ = (sin²θ + cos²θ)² - 2sin²θ cos²θ = 1 - 2sin²θ cos²θ sin⁶θ + cos⁶θ = (sin²θ + cos²θ)³ - 3sin²θ cos²θ(sin²θ + cos²θ) = 1 - 3sin²θ cos²θ

इन सर्वसमिकाओं को दिए गए व्यंजक में प्रतिस्थापित करने पर: 5(1 - 2sin²θ cos²θ) + 3(1 - 3sin²θ cos²θ) + 19sin²θ cos²θ कोष्ठकों का विस्तार करने पर: 5 - 10sin²θ cos²θ + 3 - 9sin²θ cos²θ + 19sin²θ cos²θ अचर पदों और sin²θ cos²θ पदों को समूहीकृत करने पर: (5 + 3) + (-10 - 9 + 19)sin²θ cos²θ 8 + (0)sin²θ cos²θ = 8

वैकल्पिक रूप से, चूंकि व्यंजक θ से स्वतंत्र है, हम प्रतिस्थापन विधि का उपयोग कर सकते हैं। माना θ = 0°, तो sin 0° = 0 और cos 0° = 1: 5(0⁴ + 1⁴) + 3(0⁶ + 1⁶) + 19(0²)(1²) = 5(1) + 3(1) + 0 = 8

व्याख्या

साधारण ब्याज दर R पर n वर्षों में देय ऋण A को चुकाने के लिए आवश्यक वार्षिक किस्त x को सूत्र A = nx + (x · R · n(n-1))/(200) द्वारा दर्शाया जाता है। यह सूत्र इस तथ्य को ध्यान में रखता है कि देय तिथि से पहले भुगतान की गई प्रत्येक किस्त पर वास्तव में n-वर्ष की अवधि के अंत तक ब्याज अर्जित होता है।

दिए गए मानों को सूत्र में रखने पर, जहाँ A = 9600, n = 5, और R = 10:

9600 = 5x + (x · 10 · 5(5 - 1))/(200)

9600 = 5x + (x · 10 · 20)/(200)

9600 = 5x + ²⁰⁰ˣ⁄₂₀₀

9600 = 5x + x

9600 = 6x

x = ⁹⁶⁰⁰⁄₆ = 1600

वैकल्पिक रूप से, यदि हम मान लें कि वार्षिक किस्त 100 रुपये है, तो 5 वर्षों के अंत में किस्तों का मूल्य प्रत्येक भुगतान और शेष समय के लिए अर्जित ब्याज का योग होगा: वर्ष 1 का अंत: 100 + (100 · 10% · 4) = 140 वर्ष 2 का अंत: 100 + (100 · 10% · 3) = 130 वर्ष 3 का अंत: 100 + (100 · 10% · 2) = 120 वर्ष 4 का अंत: 100 + (100 · 10% · 1) = 110 वर्ष 5 का अंत: 100 + (100 · 10% · 0) = 100

100 रुपये की किस्त द्वारा चुकाया गया कुल ऋण = 140 + 130 + 120 + 110 + 100 = 600। 9,600 रुपये के ऋण को चुकाने के लिए, किस्त 9,600 · (100 / 600) = 1600 होनी चाहिए।

व्याख्या

करणी (radical) के अंतर्गत द्विघात व्यंजक, 36x² - 108x + 81, पूर्ण वर्ग त्रिपद सर्वसमिका (Ax - B)² = A²x² - 2ABx + B² का अनुसरण करता है। निरीक्षण करने पर, पहला पद 36x², 6x का वर्ग है, और अचर पद 81, 9 का वर्ग है। 2ABx का उपयोग करके मध्य पद को सत्यापित करने पर, हम 2 × 6x × 9 = 108x की गणना करते हैं, जो दिए गए व्यंजक के मध्य पद से मेल खाता है। इस प्रकार, करणी के अंतर्गत व्यंजक को इस प्रकार फिर से लिखा जा सकता है:

36x² - 108x + 81 = (6x - 9)²

इस पूर्ण वर्ग का वर्गमूल लेने पर प्राप्त होता है:

√((6x - 9)²) = 6x - 9

व्याख्या

दिया गया व्यंजक त्रिकोणमितीय सर्वसमिका tan(A - B) = (tan A - tan B)/(1 + tan A tan B) के रूप में है। पदों की तुलना करने पर, हम पाते हैं कि A = 45° और B = 15° है। सर्वसमिका में इन मानों को प्रतिस्थापित करने पर, व्यंजक सरल होकर tan(45° - 15°) हो जाता है, जो कि tan 30° है। मानक त्रिकोणमितीय सारणी के अनुसार, tan 30° का मान 1/√3 होता है।

व्याख्या

एक समकोण त्रिभुज में, sin θ को लंब (P) और कर्ण (H) के अनुपात के रूप में परिभाषित किया जाता है। दिया गया है कि sin θ = ⅗, इसलिए हम P = 3 और H = 5 ले सकते हैं। पाइथागोरस प्रमेय के अनुसार, H² = P² + B², जहाँ B त्रिभुज के आधार को दर्शाता है। दिए गए मानों को प्रतिस्थापित करने पर, 5² = 3² + B², जिससे 25 = 9 + B² प्राप्त होता है। आधार के लिए हल करने पर, B² = 16, इसलिए B = 4। यह मानक पाइथागोरस त्रिक (3, 4, 5) के अनुरूप है। चूँकि tan θ लंब और आधार का अनुपात ((P)/(B)) होता है, इसलिए मानों को प्रतिस्थापित करने पर हमें tan θ = ¾ प्राप्त होता है।

व्याख्या

विक्रय मूल्य अंकित मूल्य का 90 प्रतिशत है, जो कि 90 है। चूंकि लाभ 8 प्रतिशत है, इसलिए क्रय मूल्य की गणना 90 को 1.08 से विभाजित करके की जाती है, जो 83.33 के बराबर है। इस मान को निकटतम पूर्णांक तक पूर्णांकित करने पर 83 प्राप्त होता है।

व्याख्या

दिए गए समीकरण 4tan θ = 3 से, हमें tan θ = ¾ प्राप्त होता है। चूंकि एक समकोण त्रिभुज में टैनजेंट (tangent), लंब (P) और आधार (B) का अनुपात होता है, इसलिए हम P = 3 और B = 4 मान सकते हैं। पाइथागोरस त्रिक (3, 4, 5) का उपयोग करने पर, कर्ण H = √(3² + 4²) = 5 प्राप्त होता है। इससे, हम sinθ = (P)/(H) = ⅗ और cosθ = (B)/(H) = ⅘ ज्ञात करते हैं।

अब, इन मानों को व्यंजक (4sinθ - cosθ + 1)/(4sinθ + cosθ - 1) में प्रतिस्थापित करने पर:

अंश की गणना इस प्रकार की जाती है: 4(⅗) - ⅘ + 1 = ¹²⁄₅ - ⅘ + ⁵⁄₅ = ¹³⁄₅

हर की गणना इस प्रकार की जाती है: 4(⅗) + ⅘ - 1 = ¹²⁄₅ + ⅘ - ⁵⁄₅ = ¹¹⁄₅

अंश को हर से विभाजित करने पर प्राप्त होता है: (13/5)/(11/5) = ¹³⁄₁₁

व्याख्या

बीजगणितीय सर्वसमिका (x + y)² = x² + 2xy + y² का उपयोग करके दिए गए समीकरण (a + 1)² + (a + 2)² = 16 का विस्तार करने पर: (a² + 2a + 1) + (a² + 4a + 4) = 16 2a² + 6a + 5 = 16 2a² + 6a = 11

वांछित व्यंजक 4a² + 12a + 40 है। इसे चर a वाले पदों में से 2 को उभयनिष्ठ (common) लेकर इस प्रकार पुनः लिखा जा सकता है: 2(2a² + 6a) + 40

इस व्यंजक में 2a² + 6a = 11 का मान प्रतिस्थापित करने पर: 2(11) + 40 = 22 + 40 = 62

व्याख्या

एक अर्धगोले के आयतन V की गणना सूत्र V = ⅔ π r³ का उपयोग करके की जाती है, जहाँ r त्रिज्या है। दी गई त्रिज्या r = 5.6 सेमी और π का मान ²²⁄₇ लेने पर, गणना इस प्रकार है:

V = ⅔ × ²²⁄₇ × (5.6)³

V = ⅔ × ²²⁄₇ × 5.6 × 5.6 × 5.6

5.6 को 7 से विभाजित करके पदों को सरल करने पर:

V = ⅔ × 22 × 0.8 × 5.6 × 5.6

V = (44 × 0.8 × 31.36)/(3)

V = (35.2 × 31.36)/(3)

V = (1103.872)/(3)

V ≈ 367.957 सेमी³

दशमलव के दो स्थानों तक पूर्णांकित करने पर, अर्धगोले का आयतन 367.95 सेमी³ है।

व्याख्या

जब दो ट्रेनें एक ही दिशा में यात्रा करती हैं, तो सापेक्ष गति की गणना उनकी व्यक्तिगत गतियों के बीच के अंतर के रूप में की जाती है। इस परिदृश्य में, तेज गति वाली ट्रेन 48 किमी/घंटा की गति से चलती है और धीमी गति वाली ट्रेन 36 किमी/घंटा की गति से चलती है, जिसके परिणामस्वरूप सापेक्ष गति vᵣₑₗ = 48 - 36 = 12 किमी/घंटा होती है। सेकंड में समय के साथ गणना करने के लिए, हम इस गति को ⁵⁄₁₈ के गुणक से गुणा करके मीटर प्रति सेकंड में परिवर्तित करते हैं:

vᵣₑₗ = 12 × ⁵⁄₁₈ = ¹⁰⁄₃ मीटर/सेकंड

धीमी गति वाली ट्रेन में बैठे एक व्यक्ति को पार करने के लिए तेज गति वाली ट्रेन द्वारा तय की जाने वाली दूरी बिल्कुल तेज गति वाली ट्रेन की लंबाई, L के बराबर होती है। मूल संबंध दूरी = गति × समय का उपयोग करते हुए, हम सापेक्ष गति और दिए गए 33 सेकंड के समय को प्रतिस्थापित करते हैं:

L = ¹⁰⁄₃ × 33

L = 10 × 11 = 110 मीटर