एसएससी सीजीएल टियर 1 2022 मात्रात्मक अभिक्षमता प्रश्न — हल सहित

व्याख्या

टैंजेंट (tangent) फलन π आवर्तकाल के साथ आवर्ती होता है, जिसका अर्थ है कि किसी भी पूर्णांक n के लिए सर्वसमिका tan(x + nπ) = tan x होती है। व्यंजक tan(θ - 14π) में, मान -14π आवर्तकाल π का एक पूर्णांक गुणज है, जहाँ n = -14 है। आवर्तता गुण को सीधे लागू करने पर, हमें tan(θ + (-14)π) = tan θ प्राप्त होता है। इसके अतिरिक्त, चूंकि साइन (sine) और कोसाइन (cosine) फलन 2π के साथ आवर्ती होते हैं, इसलिए π का कोई भी सम गुणज जैसे कि 14π होने पर sin(θ - 14π) = sin θ और cos(θ - 14π) = cos θ प्राप्त होता है। इस प्रकार, अनुपात (sin(θ - 14π))/(cos(θ - 14π)) सरल होकर (sin θ)/(cos θ) हो जाता है, जो कि tan θ है।

व्याख्या

दिया गया है कि x + 1/x = 2 cos θ, हम सर्वसमिका xⁿ + 1/xⁿ = 2 cos(nθ) का उपयोग कर सकते हैं। n = 3 के लिए, इससे x³ + 1/x³ = 2 cos(3θ) प्राप्त होता है, जो प्रसार (x + 1/x)³ - 3(x + 1/x) = 8 cos³ θ - 6 cos θ = 2(4 cos³ θ - 3 cos θ) = 2 cos 3θ से प्राप्त किया गया है।

व्याख्या

दो संख्याओं a और b के बीच मध्यानुपाती की गणना सूत्र √(a × b) का उपयोग करके की जाती है। दिए गए दो व्यंजक a = 6 + √8 और b = 3 - √2 हैं, हम पहले a को यह ध्यान रखते हुए सरल करते हैं कि √8 = √(4 × 2) = 2√2। इस प्रकार: a = 6 + 2√2 = 2(3 + √2)

इसके बाद, हम a और b का गुणनफल ज्ञात करते हैं: a × b = [2(3 + √2)] × (3 - √2) a × b = 2[(3 + √2)(3 - √2)]

वर्गों के अंतर की सर्वसमिका (x + y)(x - y) = x² - y² को लागू करने पर, कोष्ठक के अंदर का व्यंजक इस प्रकार हो जाता है: 3² - (√2)² = 9 - 2 = 7

इसे वापस गुणनफल में प्रतिस्थापित करने पर: a × b = 2 × 7 = 14

मध्यानुपाती इस परिणाम का वर्गमूल है: मध्यानुपाती = √(14)