एसएससी सीजीएल टियर 1 2022 मात्रात्मक अभिक्षमता प्रश्न — हल सहित

व्याख्या

जब किसी वस्तु पर होने वाला व्यय स्थिर रहता है, तो खपत मूल्य के व्युत्क्रमानुपाती होती है। यदि मूल्य में r% की वृद्धि होती है, तो व्यय को अपरिवर्तित रखने के लिए खपत में आवश्यक प्रतिशत कमी निम्नलिखित सूत्र द्वारा दी जाती है:

कमी प्रतिशत = ( (r)/(100 + r) ) × 100

यह देखते हुए कि पेट्रोल की कीमत में r = 28% की वृद्धि होती है, इस मान को सूत्र में रखें:

खपत में कमी = ( (28)/(100 + 28) ) × 100 खपत में कमी = ( ²⁸⁄₁₂₈ ) × 100

अंश और हर दोनों को 4 से विभाजित करके भिन्न को सरल करने पर:

⁷⁄₃₂ × 100 = ⁷⁰⁰⁄₃₂ ⁷⁰⁰⁄₃₂ = ¹⁷⁵⁄₈ = 21.875%

दशमलव के दो स्थानों तक पूर्णांकित करने पर, खपत में प्रतिशत कमी 21.88% है।

व्याख्या

त्रिकोणमितीय सर्वसमिका cot(90° - θ) = tan θ और गुणधर्म cot θ tan θ = 1 का उपयोग करके इस व्यंजक को सरल किया जा सकता है।

हम व्यंजक में पूरक कोणों के युग्मों की पहचान करते हैं: cot 77° = cot(90° - 13°) = tan 13° cot 63° = cot(90° - 27°) = tan 27°

इन मानों को मूल व्यंजक में वापस रखने पर: cot 13° cot 27° cot 45° tan 27° tan 13°

पदों को पुनर्व्यवस्थित करके, हम व्युत्क्रम फलनों को समूहित करते हैं: (cot 13° tan 13°) · (cot 27° tan 27°) · cot 45°

चूंकि cot θ tan θ = 1 और cot 45° का मान = 1 होता है, इसलिए गणना इस प्रकार होगी: 1 · 1 · 1 = 1

व्याख्या

n क्रमागत विषम संख्याओं की एक श्रृंखला में जहाँ n एक सम संख्या है, औसत ठीक दो मध्य पदों के बीच का मान होता है। यहाँ, 8 संख्याओं के लिए, औसत 48 चौथे और पांचवें पदों के बीच का मध्य बिंदु है। चूंकि क्रमागत विषम संख्याओं में सार्व अंतर 2 होता है, इसलिए चौथा पद 48 - 1 = 47 है और पांचवां पद 48 + 1 = 49 है।

सातवां पद ज्ञात करने के लिए, हम पांचवें पद में सार्व अंतर को दो बार जोड़ते हैं। इस प्रकार, छठा पद 49 + 2 = 51 है और सातवां पद 51 + 2 = 53 है। पांचवीं और सातवीं संख्याओं का योग 49 + 53 = 102 है।

व्याख्या

व्यंजक (sin A + cos A)(1 - sin A cos A) को मूलभूत त्रिकोणमितीय सर्वसमिका sin² A + cos² A = 1 का उपयोग करके सरल किया जा सकता है। 1 को sin² A + cos² A से प्रतिस्थापित करने पर, मूल व्यंजक निम्न रूप ले लेता है: (sin A + cos A)(sin² A + cos² A - sin A cos A)

दूसरे कोष्ठक में पदों को पुनर्व्यवस्थित करने पर प्राप्त होता है: (sin A + cos A)(sin² A - sin A cos A + cos² A)

यह घनों के योग के लिए बीजीय सर्वसमिका की संरचना से मेल खाता है: x³ + y³ = (x + y)(x² - xy + y²)। x = sin A और y = cos A मानने पर, सर्वसमिका का परिणाम निम्न होता है: sin³ A + cos³ A = (sin A + cos A)(sin² A - sin A cos A + cos² A)

यह पुष्टि करता है कि दिया गया व्यंजक ज्या (sine) और कोज्या (cosine) फलनों के घनों के योग के समतुल्य है।

व्याख्या

किसी वृत्त की परिधि सूत्र C = 2π r द्वारा दी जाती है, जहाँ r त्रिज्या है। चूंकि 2π एक स्थिरांक है, इसलिए परिधियों का अनुपात सीधे त्रिज्याओं के अनुपात के बराबर होता है। मान लीजिए R बाहरी वृत्त की त्रिज्या है और r आंतरिक वृत्त की त्रिज्या है। दिया गया है कि परिधियों का अनुपात 5:4 है, इसलिए हमारे पास R/r = 5/4 है, जिसका अर्थ है R = 1.25r। वृत्ताकार पथ की चौड़ाई बाहरी त्रिज्या और आंतरिक त्रिज्या के बीच का अंतर है, जिसे R - r = 50 मीटर के रूप में व्यक्त किया जाता है। इस समीकरण में अनुपात से R का मान रखने पर 1.25r - r = 50 प्राप्त होता है। इसे सरल करने पर 0.25r = 50 प्राप्त होता है। आंतरिक त्रिज्या ज्ञात करने के लिए, हम r = 50 / 0.25 की गणना करते हैं, जिसके परिणामस्वरूप r = 200 मीटर प्राप्त होता है। वैकल्पिक रूप से, अनुपात के भागों का उपयोग करते हुए, 1 इकाई (5 - 4) का अंतर 50 मीटर की चौड़ाई को दर्शाता है। इसलिए, आंतरिक त्रिज्या, जो 4 इकाइयों को दर्शाती है, 4 × 50 = 200 मीटर है।

व्याख्या

4a² + 9b² का मान ज्ञात करने के लिए, बीजगणितीय सर्वसमिका (x + y)² = x² + y² + 2xy का उपयोग करें। x = 2a और y = 3b रखने पर, दिए गए व्यंजक 2a + 3b = 10 का वर्ग इस प्रकार है:

(2a + 3b)² = (2a)² + (3b)² + 2(2a)(3b)

प्रश्न में दिए गए मानों को इस समीकरण में प्रतिस्थापित करें:

10² = 4a² + 9b² + 12ab

100 = 4a² + 9b² + 12ab

अब, समीकरण में ab = 3 प्रतिस्थापित करें:

100 = 4a² + 9b² + 12(3)

100 = 4a² + 9b² + 36

4a² + 9b² को अलग करने के लिए, दोनों पक्षों से 36 घटाएं:

4a² + 9b² = 100 - 36

4a² + 9b² = 64

व्याख्या

बीजगणितीय सर्वसमिका (a - b)² = a² + b² - 2ab का उपयोग करते हुए, माना a = 4x और b = 7y है। दिए गए द्विपद के वर्ग का विस्तार (4x - 7y)² = (4x)² + (7y)² - 2(4x)(7y) है। इस व्यंजक को सरल करने पर (4x - 7y)² = 16x² + 49y² - 56xy प्राप्त होता है।

ज्ञात मानों (4x - 7y) = 11 और xy = 8 को सर्वसमिका में प्रतिस्थापित करने पर: 11² = 16x² + 49y² - 56(8) 121 = 16x² + 49y² - 448

16x² + 49y² का मान ज्ञात करने के लिए, समीकरण के दोनों पक्षों में 448 जोड़ें: 16x² + 49y² = 121 + 448 16x² + 49y² = 569

व्याख्या

16, 18 और 36 से विभाज्य सबसे छोटा पूर्ण वर्ग ज्ञात करने के लिए, हम सबसे पहले उनका लघुत्तम समापवर्त्य (LCM) ज्ञात करते हैं। संख्याओं का अभाज्य गुणनखंडन करने पर 16 = 2⁴, 18 = 2 × 3², और 36 = 2² × 3² प्राप्त होता है। LCM की गणना संख्याओं में मौजूद प्रत्येक अभाज्य गुणनखंड की उच्चतम घात लेकर की जाती है, जिसके परिणामस्वरूप LCM = 2⁴ × 3² = 16 × 9 = 144 प्राप्त होता है।

एक पूर्ण वर्ग के सभी अभाज्य गुणनखंडों की घातें (exponents) सम होनी चाहिए। 144 के अभाज्य गुणनखंडन में, 2 और 3 की घातें क्रमशः 4 और 2 हैं, जो दोनों ही सम हैं। इससे यह पुष्टि होती है कि 144 पहले से ही एक पूर्ण वर्ग है (12² = 144)। चूंकि LCM दी गई संख्याओं के समूह से विभाज्य होने वाली सबसे छोटी संख्या है, और 144 एक पूर्ण वर्ग है, इसलिए यह इस शर्त को पूरा करने वाला सबसे छोटा पूर्ण वर्ग है।

व्याख्या

कोसाइन के त्रिक कोण (triple angle) के लिए त्रिकोणमितीय सर्वसमिका cos(3θ) = 4cos³ θ - 3cos θ है। दिया गया व्यंजक 3cos θ - 4cos³ θ इस सर्वसमिका का ऋणात्मक रूप है, जो सरल होकर -cos(3θ) हो जाता है।

दिया गया है कि sin θ = ½, इसलिए θ का मान 30° है (मुख्य अंतराल के लिए)। इस मान को सरलीकृत व्यंजक में रखने पर, हमें -cos(3 × 30°) = -cos(90°) प्राप्त होता है। चूंकि cos(90°) = 0 है, इसलिए व्यंजक का मान 0 है।

वैकल्पिक रूप से, यदि sin θ = ½ है, तो cos θ = √(1 - sin² θ) = √(1 - ¼) = √3{2}। इसे सीधे व्यंजक में प्रतिस्थापित करने पर: 3(√3{2}) - 4(√3{2})³ = 3√3{2} - 4(3√3{8}) = 3√3{2} - 3√3{2} = 0।

व्याख्या

प्रश्न में एक मुद्रण त्रुटि (टाइपोग्राफिकल त्रुटि) है, जहाँ पहला पद (a³ + b³) / (a - b) होना चाहिए। इस पद के साथ मध्यानुपाती की गणना करने पर [(a³ + b³)/(a - b)] * [(a² - b²)/(a² - ab + b²)] का वर्गमूल प्राप्त होता है, जो सरल होकर (a + b)² का वर्गमूल बन जाता है, जिसके परिणामस्वरूप a + b प्राप्त होता है।

व्याख्या

43 और 481 के बीच 9 से विभाज्य संख्याएँ एक समांतर श्रेणी (AP) बनाती हैं। प्रथम पद a, 43 से बड़ा 9 का सबसे छोटा गुणज है, जो कि 9 × 5 = 45 है। अंतिम पद l, 481 से छोटा 9 का सबसे बड़ा गुणज है, जो कि 9 × 53 = 477 है। चूंकि संख्याएं 9 से विभाज्य होनी चाहिए, इसलिए सार्व अंतर d = 9 है।

इस अनुक्रम में पदों की कुल संख्या n ज्ञात करने के लिए, हम समांतर श्रेणी के nवें पद के सूत्र का उपयोग करते हैं: l = a + (n - 1)d। सूत्र में ज्ञात मानों को रखने पर:

477 = 45 + (n - 1) × 9

दोनों पक्षों से 45 घटाने पर:

432 = (n - 1) × 9

दोनों पक्षों को 9 से भाग देने पर:

48 = n - 1

n के लिए हल करने पर:

n = 48 + 1 n = 49

इस गणना से यह निर्धारित होता है कि निर्दिष्ट सीमा के भीतर ऐसे 49 पूर्णांक हैं।

व्याख्या

कुल कार्य की गणना A और B द्वारा लिए गए समय के लघुत्तम समापवर्त्य (LCM) के रूप में की जाती है, जो कि LCM(10, 16) = 80 इकाई है। A की कार्यक्षमता 80 / 10 = 8 इकाई प्रति दिन है, और B की कार्यक्षमता 80 / 16 = 5 इकाई प्रति दिन है।

2 दिनों के एक चक्र में जहाँ A और B बारी-बारी से कार्य करते हैं, पूरा किया गया कुल कार्य 8 + 5 = 13 इकाई है। पूर्ण चक्रों की संख्या ज्ञात करने के लिए, हम कुल कार्य को एक चक्र में किए गए कार्य से विभाजित करते हैं: 80 / 13 = शेषफल के साथ 6 चक्र। 6 चक्रों (12 दिनों) में पूरा किया गया कार्य 13 × 6 = 78 इकाई है।

शेष कार्य 80 - 78 = 2 इकाई है। 13वें दिन, कार्य करने की बारी A की है। चूंकि A की कार्यक्षमता 8 इकाई प्रति दिन है, इसलिए शेष 2 इकाइयों को पूरा करने के लिए A द्वारा लिया गया समय 2 / 8 = 1/4 दिन है। इसलिए, पूरे कार्य को समाप्त करने के लिए आवश्यक कुल समय 12 + 1/4 = 12¼ दिन है।

व्याख्या

एक गोले के आयतन की गणना सूत्र V = ⁴⁄₃ π r³ का उपयोग करके की जाती है। दिया गया आयतन 179 ⅗ m³ है, जो लगभग 179.6 m³ है, हम त्रिज्या r ज्ञात करते हैं। प्रतियोगी परीक्षाओं में गणना के उद्देश्यों के लिए, यह मान ⁵³⁹⁄₃ m³ (जो कि 179 ⅔ m³ है) का एक निकटतम सन्निकटन है, जिससे एक सटीक त्रिज्या प्राप्त होती है:

⁴⁄₃ × ²²⁄₇ × r³ = ⁵³⁹⁄₃ r³ = (539 × 21)/(88 × 3) = (539 × 7)/(88) = (49 × 7)/(8) r³ = ³⁴³⁄₈ r = ³√(³⁴³⁄₈) = ⁷⁄₂ = 3.5 m

एक गोले का पृष्ठीय क्षेत्रफल सूत्र A = 4 π r² द्वारा दिया जाता है। त्रिज्या r = 3.5 m प्रतिस्थापित करने पर:

A = 4 × ²²⁄₇ × (⁷⁄₂)² A = 4 × ²²⁄₇ × ⁴⁹⁄₄ A = 22 × 7 = 154 m²

व्याख्या

माना x = sec θ। चूंकि cos θ = (1)/(sec θ) दिया गया है, इसलिए समीकरण sec θ - 2cos θ = ⁷⁄₂ को x के पदों में इस प्रकार व्यक्त किया जा सकता है:

x - ²⁄ₓ = ⁷⁄₂

x का मान ज्ञात करने के लिए, हर को हटाने के लिए पूरे समीकरण को 2x से गुणा करें:

2x² - 4 = 7x

पदों को एक मानक द्विघात समीकरण ax² + bx + c = 0 के रूप में व्यवस्थित करने पर प्राप्त होता है:

2x² - 7x - 4 = 0

हम द्विघात व्यंजक का गुणनखंड करके इसे हल कर सकते हैं। मध्य पद को विभाजित करने पर:

2x² - 8x + x - 4 = 0

2x(x - 4) + 1(x - 4) = 0

(2x + 1)(x - 4) = 0

इससे x के दो संभावित मान प्राप्त होते हैं: x = 4 या x = -½।

चूंकि θ एक धनात्मक न्यून कोण (0 < θ < 90°) है, इसलिए sec θ धनात्मक और 1 से बड़ा या उसके बराबर होना चाहिए। इसलिए, हम x = -½ को छोड़ देते हैं और निष्कर्ष निकालते हैं कि sec θ = 4।

व्याख्या

किन्हीं दो संख्याओं x और y के लिए, संख्याओं का गुणनफल उनके महत्तम समापवर्तक (HCF) और लघुत्तम समापवर्त्य (LCM) के गुणनफल के बराबर होता है। इसे इस मूलभूत संबंध द्वारा व्यक्त किया जाता है: x · y = HCF × LCM

दिया गया है कि HCF 3 है और LCM 54 है, तो दोनों संख्याओं का गुणनफल है: x · y = 3 × 54 = 162

संख्याओं का योग इस प्रकार दिया गया है: x + y = 18

उनके व्युत्क्रमों का योग ¹⁄ₓ + (1)/(y) के रूप में परिभाषित है। उभयनिष्ठ हर (common denominator) लेने पर, यह व्यंजक सरल होकर निम्न प्रकार हो जाता है: ¹⁄ₓ + (1)/(y) = (x + y)/(x · y)

सूत्र में योग और गुणनफल के ज्ञात मानों को प्रतिस्थापित करने पर: व्युत्क्रमों का योग = ¹⁸⁄₁₆₂

अंश और हर दोनों को 18 से विभाजित करने पर, हमें प्राप्त होता है: (18 ÷ 18)/(162 ÷ 18) = ⅑

व्याख्या

मान लीजिए कि रोहन द्वारा अंग्रेजी, विज्ञान और गणित में प्राप्त अंकों को क्रमशः E, S और M द्वारा दर्शाया गया है। दी गई शर्तों से, अंग्रेजी में अंक विज्ञान के अंकों से दोगुने हैं, जिससे अनुपात E:S = 2:1 प्राप्त होता है। अंग्रेजी और गणित में अंकों का अनुपात E:M = 2:3 दिया गया है।

चूंकि दोनों अनुपातों में E का मान समान है, इसलिए अंग्रेजी, विज्ञान और गणित में अंकों का संयुक्त अनुपात E:S:M = 2:1:3 है। मान लीजिए कि अंक 2x, x और 3x हैं। कुल अंक इन भागों का योग हैं:

2x + x + 3x = 126 6x = 126 x = ¹²⁶⁄₆ = 21

अंग्रेजी में अंकों को 2x द्वारा दर्शाया गया है। x का मान प्रतिस्थापित करने पर: E = 2 × 21 = 42

व्याख्या

एक वर्ग का क्षेत्रफल A उसके विकर्ण d से सूत्र A = (d²)/(2) द्वारा संबंधित होता है। चूंकि क्षेत्रफल विकर्ण के वर्ग के सीधे समानुपाती होता है, इसलिए यदि क्षेत्रफल को k के गुणक से गुणा किया जाता है, तो विकर्ण को √k के गुणक से गुणा किया जाता है।

दिया गया है कि पहले वर्ग का विकर्ण d₁ = 8√2 सेमी है और दूसरे वर्ग का क्षेत्रफल तीन गुना (k=3) है, तो दूसरे वर्ग के विकर्ण d₂ की गणना इस प्रकार की जाती है:

d₂ = d₁ × √3

d₁ का मान रखने पर:

d₂ = 8√2 × √3 = 8√(2 × 3) = 8√6 सेमी

वैकल्पिक रूप से, पहले वर्ग का क्षेत्रफल A₁ = (8√2)²/2 = (64 × 2)/(2) = 64 सेमी² है। दूसरे वर्ग का क्षेत्रफल A₂ = 3 × 64 = 192 सेमी² है। दूसरे वर्ग के लिए क्षेत्रफल के सूत्र का उपयोग करने पर:

192 = (d₂²)/(2) d₂² = 384 d₂ = √(384) = √(64 × 6) = 8√6 सेमी

व्याख्या

दिए गए समीकरण x + ¹⁄ₓ = 2 को पूरे समीकरण में x से गुणा करके x² + 1 = 2x के रूप में फिर से लिखा जा सकता है। पदों को पुनर्व्यवस्थित करने पर द्विघात समीकरण x² - 2x + 1 = 0 प्राप्त होता है, जो कि पूर्ण वर्ग (x - 1)² = 0 का विस्तार है। इसे हल करने पर x = 1 का अद्वितीय मान प्राप्त होता है। वांछित व्यंजक x⁵⁷ + (1)/(x⁵⁷⁾ में x = 1 प्रतिस्थापित करने पर, हमें 1⁵⁷ + (1)/(1⁵⁷⁾ प्राप्त होता है। चूंकि 1 की कोई भी घात 1 ही रहती है, इसलिए यह गणना 1 + ¹⁄₁ हो जाती है, जिसके परिणामस्वरूप 2 प्राप्त होता है।

व्याख्या

मान की गणना व्यंजक में दिए गए कोण घटकों के योग के टैनजेंट (tangent) का मान ज्ञात करके की जाती है।

दिए गए संख्यात्मक मानों को जोड़ने पर: 30° + 15° = 45°

मानक त्रिकोणमितीय सारणी (trigonometric tables) के अनुसार, tan 45° का मान है: tan 45° = 1

यह विकल्पों में दिए गए मान से मेल खाता है।

व्याख्या

किसी खेप पर कुल लाभ या हानि प्रतिशत उसके व्यक्तिगत भागों के लाभ/हानि प्रतिशत का भारित औसत (weighted average) होता है। माना खेप का कुल मूल्य V है।

पहला भाग खेप का ¾ है, जिसे 8% लाभ पर बेचा गया। शेष भाग खेप का 1 - ¾ = ¼ है, जिसे 4% की हानि पर बेचा गया। शुद्ध लाभ प्रतिशत P की गणना इस प्रकार की जाती है:

P = (¾ × 8%) + (¼ × -4%)

P = 6% - 1% = 5%

हमें दिया गया है कि कुल लाभ 600 रुपये है, जो कुल मूल्य के इस 5% के बराबर है। इसलिए:

V का 5% = 600

⁵⁄₁₀₀ × V = 600

V = (600 × 100)/(5) = 600 × 20 = 12,000

व्याख्या

वृत्त की स्पर्श रेखा को एक ऐसी रेखा के रूप में परिभाषित किया जाता है जो वृत्त को ठीक एक बिंदु पर स्पर्श करती है। वृत्त का एक मूलभूत गुण यह है कि किसी भी बिंदु पर स्पर्श रेखा, स्पर्श बिंदु से होकर जाने वाली त्रिज्या पर लंबवत होती है। एक बिंदु P पर दी गई स्पर्श रेखा के लिए, इसके समांतर कोई भी रेखा P से होकर गुजरने वाले व्यास पर भी लंबवत होनी चाहिए। चूंकि एक व्यास वृत्त को ठीक दो बिंदुओं पर प्रतिच्छेद करता है, इसलिए वृत्त पर केवल दो ही ऐसे बिंदु होते हैं जहाँ स्पर्श रेखाएँ किसी विशिष्ट दिशा के समांतर हो सकती हैं। इनमें से एक बिंदु मूल स्पर्श बिंदु P है। दूसरा बिंदु व्यासतः सम्मुख बिंदु Q है। अतः, किसी भी दी गई स्पर्श रेखा के लिए, उसके समांतर ठीक 1 अन्य स्पर्श रेखा होती है।

व्याख्या

दिए गए समीकरण m · xᵐ - n · xⁿ = 0 से, हम यह संबंध स्थापित कर सकते हैं: m · xᵐ = n · xⁿ ⟹ xᵐ = ⁿ⁄ₘ xⁿ

मूल्यांकन किया जाने वाला व्यंजक (1)/(xᵐ + xⁿ) + (1)/(xᵐ - xⁿ) है। एक सामान्य हर (common denominator) लेकर इस बीजगणितीय योग को सरल करने पर: (xᵐ - xⁿ) + (xᵐ + xⁿ){(xᵐ + xⁿ)(xᵐ - xⁿ)} = 2xᵐ{x²ᵐ - x²ⁿ}

अब, सरलीकृत व्यंजक में xᵐ = ⁿ⁄ₘ xⁿ प्रतिस्थापित करने पर: (2 (n)/(m) xⁿ){(ⁿ⁄ₘ xⁿ)² - (xⁿ)²} = (2n)/(m) xⁿ{(xⁿ)² (n²{m²} - 1)}

अंश और हर से xⁿ को निरस्त करने और हर के भिन्न को सरल करने पर: (2n)/(m){xⁿ (n² - m²{m²})} = ²ⁿ⁄ₘ · m²{xⁿ(n² - m²)}

m को निरस्त करने पर अंतिम मान प्राप्त होता है: (2mn)/(xⁿ⁾⁽ⁿ^^^² ⁻ ᵐ^²⁾

व्याख्या

एक गैर-शून्य x के लिए दिया गया द्विघात समीकरण: 5x² + 7x + 5 = 0

इसे x + ¹⁄ₓ के रूप में व्यक्त करने के लिए पूरे समीकरण को 5x से भाग देने पर: 5x²{5x} + ⁷ˣ⁄₅ₓ + ⁵⁄₅ₓ = 0 x + ⁷⁄₅ + ¹⁄ₓ = 0 x + ¹⁄ₓ = -⁷⁄₅

x³ + (1)/(x³) का मान ज्ञात करने के लिए, हम बीजगणितीय सर्वसमिका a³ + b³ = (a + b)³ - 3ab(a + b) का उपयोग करते हैं। a = x और b = ¹⁄ₓ प्रतिस्थापित करने पर: x³ + (1)/(x³) = (x + ¹⁄ₓ)³ - 3(x)(¹⁄ₓ)(x + ¹⁄ₓ) x³ + (1)/(x³) = (x + ¹⁄ₓ)³ - 3(x + ¹⁄ₓ)

अब, x + ¹⁄ₓ = -⁷⁄₅ का मान प्रतिस्थापित करने पर: x³ + (1)/(x³) = (-⁷⁄₅)³ - 3(-⁷⁄₅) x³ + (1)/(x³) = -³⁴³⁄₁₂₅ + ²¹⁄₅

पदों को जोड़ने के लिए, 125 के समान हर का उपयोग करने पर: x³ + (1)/(x³) = -³⁴³⁄₁₂₅ + (21 × 25)/(5 × 25) x³ + (1)/(x³) = -³⁴³⁄₁₂₅ + ⁵²⁵⁄₁₂₅ x³ + (1)/(x³) = (525 - 343)/(125) = ¹⁸²⁄₁₂₅

व्याख्या

B और C दोनों से प्राप्त कुल साधारण ब्याज, प्रत्येक व्यक्तिगत ऋण के लिए परिकलित ब्याजों का योग है। साधारण ब्याज के सूत्र SI = (P × R × T)/(100) का उपयोग करते हुए, जहाँ P मूलधन है, R ब्याज की दर है, और T वर्षों में समय है, समीकरण को इस प्रकार स्थापित किया जाता है:

(23000 × R × 3)/(100) + (19000 × R × 4)/(100) = 3625

व्यंजकों को सरल करने पर: 230 × 3 × R + 190 × 4 × R = 3625 690R + 760R = 3625

पदों को जोड़ने पर: 1450R = 3625

R के लिए हल करने पर: R = ³⁶²⁵⁄₁₄₅₀ R = 2.5

ब्याज की वार्षिक दर 2.5 प्रतिशत है।

व्याख्या

दो समरूप त्रिभुजों के लिए, उनके परिमापों का अनुपात उनकी संगत भुजाओं के अनुपात के बराबर होता है। दिया गया है कि △ ABC ∼ △ DEF, इस संबंध को इस प्रकार व्यक्त किया जाता है:

(△ ABC का परिमाप)/(△ DEF का परिमाप) = (AB)/(DE)

सूत्र में ज्ञात मानों को रखने पर:

(△ ABC का परिमाप)/(25) = (9.1)/(6.5)

गणना को सरल बनाने के लिए, अनुपात (9.1)/(6.5) को ⁹¹⁄₆₅ के रूप में लिखा जा सकता है। अंश और हर दोनों को उनके महत्तम समापवर्तक (GCD), 13 से विभाजित करने पर, अनुपात सरल होकर ⁷⁄₅ हो जाता है।

△ ABC का परिमाप = 25 × ⁷⁄₅

△ ABC का परिमाप = 5 × 7 = 35 सेमी

व्याख्या

मान लीजिए एक पुरुष की दैनिक कार्य क्षमता M और एक महिला की दैनिक कार्य क्षमता W है। प्रश्न के अनुसार, दिए गए समूहों के आधार पर कुल कार्य को दो तरीकों से व्यक्त किया जा सकता है: (1M + 4W) × ⁶⁵⁄₄ = (3M + 4W) × ¹³⁄₂

पुरुषों और महिलाओं की कार्य क्षमता के बीच संबंध खोजने के लिए, दोनों पक्षों को 13 से विभाजित करके और 4 से गुणा करके समीकरण को सरल बनाएं: 5(M + 4W) = 2(3M + 4W) 5M + 20W = 6M + 8W M = 12W

इसका तात्पर्य यह है कि एक पुरुष की कार्य क्षमता 12 महिलाओं के बराबर है। अब, पहले समीकरण में M = 12W रखकर कुल कार्य इकाइयों की गणना करें: कुल कार्य = (12W + 4W) × ⁶⁵⁄₄ = 16W × ⁶⁵⁄₄ = 4 × 65W = 260W

13 महिलाओं द्वारा इस कार्य को पूरा करने में लिए गए समय को ज्ञात करने के लिए, कुल कार्य को उनकी संयुक्त क्षमता से विभाजित करें: दिनों की संख्या = (260W)/(13W) = 20 दिन

व्याख्या

S5 द्वारा बेचे गए कैलकुलेटरों की संख्या, S1 द्वारा बेचे गए कैलकुलेटरों की संख्या का कितना प्रतिशत है, यह ज्ञात करने के लिए हम प्रतिशत सूत्र का उपयोग करते हैं: प्रतिशत = (S5 का मान)/(S1 का मान) × 100

दी गई तालिका से, S5 द्वारा बेचे गए कैलकुलेटरों की संख्या 80 है और S1 द्वारा बेचे गए कैलकुलेटरों की संख्या 40 है। इन मानों को समीकरण में रखने पर: प्रतिशत = ⁸⁰⁄₄₀ × 100

80 को 40 से विभाजित करने पर 2 प्राप्त होता है। इसलिए: प्रतिशत = 2 × 100 = 200%

यह गणना दर्शाती है कि दुकानदार S5 की बिक्री, दुकानदार S1 की बिक्री से ठीक दोगुनी है, जो 200 प्रतिशत के बराबर है।

व्याख्या

cos² 15° का मान ज्ञात करने के लिए, हम द्वि-कोण सूत्र (double-angle formula) से प्राप्त त्रिकोणमितीय घात-न्यूनीकरण सर्वसमिका (power-reduction identity) का उपयोग करते हैं: cos 2θ = 2cos² θ - 1 ⟹ cos² θ = (1 + cos(2θ))/(2)

समीकरण में θ = 15° प्रतिस्थापित करने पर, हमें प्राप्त होता है: cos² 15° = (1 + cos(2 × 15°))/(2) cos² 15° = (1 + cos 30°)/(2)

cos 30° का सटीक मान √3{2} है। इस मान को व्यंजक में प्रतिस्थापित करने पर: cos² 15° = 1 + {√3{2}}{2}

अंश को सरल करने के लिए, हम एक सामान्य हर ज्ञात करते हैं: 1 + √3{2} = 2 + √3{2}

अब, हर 2 से विभाजित करने पर: cos² 15° = {2 + √3{2}}{2} = 2 + √3{4}

व्याख्या

दूरी HJ बिंदु H से शुरू होने वाली ट्रेन द्वारा तय की जाती है। शाम 6:30 बजे से रात 11:30 बजे तक की समय अवधि t₁ = 5 घंटे है। सूत्र दूरी = गति × समय का उपयोग करते हुए, दूरी HJ = 90 किमी/घंटा × 5 घंटे = 450 किमी।

दूरी KJ बिंदु K से शुरू होने वाली ट्रेन द्वारा तय की जाती है। शाम 7:30 बजे से रात 11:30 बजे तक की समय अवधि t₂ = 4 घंटे है। इस प्रकार, दूरी KJ = 72 किमी/घंटा × 4 घंटे = 288 किमी।

दूरी HJ और KJ का अनुपात ज्ञात करने के लिए: अनुपात = (HJ)/(KJ) = ⁴⁵⁰⁄₂₈₈

अंश और हर दोनों को उनके उभयनिष्ठ गुणनखंड 18 से विभाजित करने पर: 450 ÷ 18 = 25 288 ÷ 18 = 16

परिणामी अनुपात 25:16 है।

व्याख्या

औसत चाल को तय की गई कुल दूरी को लिए गए कुल समय से विभाजित करने के रूप में परिभाषित किया जाता है: Vₐᵥ_g = Dₜₒₜₐₗ{Tₜₒₜₐₗ}

कुल दूरी टीम के सभी 4 सदस्यों द्वारा तय की गई दूरियों का योग है। चूंकि प्रत्येक सदस्य 5 किमी की दूरी तय करता है: Dₜₒₜₐₗ = 4 × 5 किमी = 20 किमी

लिया गया कुल समय 30 मिनट है। औसत चाल को किमी/घंटा में व्यक्त करने के लिए, समय को मिनट से घंटे में बदलें: Tₜₒₜₐₗ = ³⁰⁄₆₀ घंटा = 0.5 घंटा

इन मानों को औसत चाल के सूत्र में रखें: Vₐᵥ_g = (20 किमी)/(0.5 घंटा) = 40 किमी/घंटा

व्याख्या

व्यापारिक छूट के बाद देय शुद्ध राशि की गणना माल के सकल सूची मूल्य में से छूट के मूल्य को घटाकर की जाती है। व्यापारिक छूट खरीद के समय दी जाती है और आम तौर पर इसे बीजक (इनवॉइस) से ही घटा दिया जाता है, जिसका अर्थ है कि लेनदेन को बही-खातों में शुद्ध मूल्य पर दर्ज किया जाता है।

शुद्ध मूल्य सूत्र का उपयोग करने पर: शुद्ध राशि = सूची मूल्य × (1 - छूट दर)

दिए गए मानों को प्रतिस्थापित करने पर: व्यापारिक छूट = 55,000 × 15% = 55,000 × 0.15 = 8,250

भुगतान की गई राशि = 55,000 - 8,250 = 46,750

वैकल्पिक रूप से, सीधे शुद्ध प्रतिशत की गणना करने पर: भुगतान की गई राशि = 55,000 × 85% = 55,000 × 0.85 = 46,750

व्याख्या

औसत अंकित मूल्य सभी वस्तुओं के अंकित मूल्यों के कुल योग को वस्तुओं की कुल संख्या से विभाजित करके निर्धारित किया जाता है। सात वस्तुओं D, E, F, G, H, I, और J के अंकित मूल्य क्रमशः 1100, 700, 900, 600, 400, 500, और 1000 हैं। इन मूल्यों का योग करने पर 1100 + 700 + 900 + 600 + 400 + 500 + 1000 = 5200 प्राप्त होता है। यह देखते हुए कि वस्तुओं की संख्या n = 7 है, औसत अंकित मूल्य की गणना सूत्र औसत = (Σ अंकित मूल्य)/(n) का उपयोग करके की जाती है। मानों को प्रतिस्थापित करने पर, हमें ⁵²⁰⁰⁄₇ प्राप्त होता है, जिसके परिणामस्वरूप लगभग 742.857 प्राप्त होता है। दशमलव के दो स्थानों तक पूर्णांकित करने पर, औसत 742.85 है।

व्याख्या

एक समकोण △ XYZ में, जहाँ ∠ X = 90° है, भुजा YZ कर्ण है। ∠ Y की संलग्न भुजा XY की लंबाई पाइथागोरस प्रमेय का उपयोग करके ज्ञात की जाती है: XY = √(YZ² - XZ²) = √(15² - 12²) = √(225 - 144) = √(81) = 9 सेमी भुजाओं की लंबाई 9, 12 और 15 एक पाइथागोरियन त्रिक (Pythagorean triplet) बनाती हैं, जो कि मूल त्रिक 3, 4, 5 का 3 गुना है। cos Y के लिए त्रिकोणमितीय अनुपात को संलग्न भुजा की लंबाई को कर्ण की लंबाई से विभाजित करके परिभाषित किया जाता है: cos Y = (संलग्न भुजा)/(कर्ण) = (XY)/(YZ) ज्ञात मानों को प्रतिस्थापित करने पर: cos Y = 9/15 = 3/5

व्याख्या

दिए गए व्यंजकों का लघुत्तम समापवर्त्य (LCM) ज्ञात करने के लिए, हम प्रत्येक को उनके सरलतम बीजगणितीय गुणनखंडों में विभाजित करते हैं। पहला व्यंजक 8x³ + 80x² + 200x = 8x(x² + 10x + 25) है। द्विघात समीकरण को एक पूर्ण वर्ग के रूप में पहचानते हुए, यह 8x(x + 5)² हो जाता है।

दूसरा व्यंजक 4x⁴ + 16x³ - 20x² = 4x²(x² + 4x - 5) है। द्विघात त्रिपद का गुणनखंड करने पर 4x²(x + 5)(x - 1) प्राप्त होता है।

लघुत्तम समापवर्त्य (LCM) व्यंजकों में दिखाई देने वाले प्रत्येक गुणनखंड की उच्चतम घात का गुणनफल होता है। संख्यात्मक गुणांकों 8 और 4 के लिए, LCM 8 है। चर x के लिए, उच्चतम घात x² है। द्विपद गुणनखंड (x + 5) के लिए, उच्चतम घात (x + 5)² है। अंत में, गुणनखंड (x - 1) अधिकतम 1 की घात के साथ दिखाई देता है। इन उच्चतम घातों को आपस में गुणा करने पर परिणाम 8x²(x + 5)²(x - 1) प्राप्त होता है।

व्याख्या

किया गया कुल कार्य स्थिर है, जिससे हम सूत्र कार्य = (n₁ M + n₂ W) × D का उपयोग करके दोनों दी गई स्थितियों की तुलना कर सकते हैं। दोनों मामलों के लिए कार्य की तुलना करने पर (25M + 45W) × 15 = (15M + 60W) × 20 प्राप्त होता है। दोनों पक्षों को 5 से विभाजित करने पर 3(25M + 45W) = 4(15M + 60W) प्राप्त होता है। इसका विस्तार करने पर 75M + 135W = 60M + 240W प्राप्त होता है, जो सरल होकर 15M = 105W, या M = 7W हो जाता है। यह दर्शाता है कि एक पुरुष की कार्यक्षमता सात महिलाओं की कार्यक्षमता के बराबर है।

महिला-समतुल्य इकाइयों के संदर्भ में कुल कार्य की गणना पहली समीकरण में M = 7 और W = 1 रखकर की जाती है: कुल कार्य = (25 × 7 + 45 × 1) × 15 = (175 + 45) × 15 = 220 × 15 = 3300 इकाइयाँ। लक्षित समूह, यानी 69 पुरुषों और 67 महिलाओं की संयुक्त कार्यक्षमता 69 × 7 + 67 × 1 = 483 + 67 = 550 इकाइयाँ प्रति दिन है। कार्य को पूरा करने के लिए आवश्यक समय = (कुल कार्य)/(समूह की कार्यक्षमता) = ³³⁰⁰⁄₅₅₀ = 6 दिन है।

व्याख्या

मान लीजिए कि वाहन P द्वारा 1500 मीटर की दौड़ पूरी करने में लिया गया समय T है।

दूसरे परिदृश्य में, जब P, Q को 400 मीटर की बढ़त देता है, तो दौड़ बराबरी पर समाप्त होती है। इसका अर्थ है कि जब P 1500 मीटर की दूरी तय करता है, तब Q उसी समय T में 1500 - 400 = 1100 मीटर की दूरी तय करता है। इस प्रकार, वाहन Q की गति को V_Q = (1100)/(T) के रूप में व्यक्त किया जा सकता है।

पहले परिदृश्य में, P, Q को 200 मीटर की बढ़त देता है और 8 सेकंड से जीत जाता है। इसका तात्पर्य यह है कि P, 1500 मीटर की दौड़ T समय में पूरी करता है, जबकि Q को शेष 1500 - 200 = 1300 मीटर की दूरी तय करने में T + 8 सेकंड का समय लगता है। इसलिए, वाहन Q की गति को V_Q = (1300)/(T + 8) के रूप में भी व्यक्त किया जा सकता है।

वाहन Q की गति के दोनों समीकरणों की तुलना करने पर:

(1100)/(T) = (1300)/(T + 8)

(11)/(T) = (13)/(T + 8)

11(T + 8) = 13T

11T + 88 = 13T

2T = 88

T = 44 सेकंड

वाहन P को 1500 मीटर की दौड़ पूरी करने में 44 सेकंड का समय लगता है।

व्याख्या

दिया गया समीकरण tan A - tan B - tan C = tan A tan B tan C है। स्पर्शज्या (tangent) योग सूत्र के घटकों को अलग करने के लिए पदों को पुनर्व्यवस्थित करने पर, हमें प्राप्त होता है:

tan A - tan A tan B tan C = tan B + tan C

बाईं ओर से tan A को उभयनिष्ठ (common) लेने पर:

tan A (1 - tan B tan C) = tan B + tan C

दोनों पक्षों को (1 - tan B tan C) से विभाजित करने पर प्राप्त होता है:

tan A = (tan B + tan C)/(1 - tan B tan C)

दो कोणों के योग के लिए मानक त्रिकोणमितीय सर्वसमिका के अनुसार, tan(B + C) = (tan B + tan C)/(1 - tan B tan C) होता है। इस सर्वसमिका को हमारे समीकरण में प्रतिस्थापित करने पर प्राप्त होता है:

tan A = tan(B + C)

स्पर्शज्या (tangent) फलन के कोणों की तुलना करने पर, यह निष्कर्ष निकलता है कि A = B + C।

व्याख्या

यह निर्धारित करने के लिए कि राज्य K में शिक्षा के लिए बजट आवंटन, राज्य L में बजट आवंटन का कितना प्रतिशत है, हम मानक प्रतिशत सूत्र का उपयोग करते हैं: प्रतिशत = ( (राज्य K का बजट)/(राज्य L का बजट) ) × 100

दी गई तालिका के अनुसार, राज्य K के लिए बजट आवंटन 175 है और राज्य L के लिए बजट आवंटन 350 है। इन मानों को सूत्र में रखने पर प्राप्त होता है: प्रतिशत = ( ¹⁷⁵⁄₃₅₀ ) × 100

चूंकि 175 ठीक 350 का आधा है, इसलिए भिन्न सरल होकर 1/2 या 0.5 हो जाती है। इस मान को 100 से गुणा करने पर परिणाम 50% प्राप्त होता है।

व्याख्या

एक अर्धगोले का आयतन V, सूत्र V = ⅔ π r³ द्वारा दिया जाता है, जहाँ r त्रिज्या है। दिया गया है कि व्यास 35 सेमी है, इसलिए त्रिज्या r = ³⁵⁄₂ = 17.5 सेमी। इन मानों को सूत्र में रखने पर:

V = ⅔ × ²²⁄₇ × (17.5)³

V = ⅔ × ²²⁄₇ × ³⁵⁄₂ × ³⁵⁄₂ × ³⁵⁄₂

उभयनिष्ठ गुणनखंडों को विभाजित करके व्यंजक को सरल करने पर:

V = ⅓ × 11 × 5 × ³⁵⁄₂ × 35

V = (11 × 5 × 1225)/(6)

V = ⁶⁷³⁷⁵⁄₆

V ≈ 11229.166... सेमी³

दशमलव के दो स्थानों तक पूर्णांकित करने पर, आयतन 11229.17 सेमी³ है।

व्याख्या

मिश्रण के मूल्य की गणना भारित औसत (weighted average) सूत्र का उपयोग करके की जाती है:

Pₐᵥ_g = w₁P₁ + w₂P₂ + w₃P₃{w₁ + w₂ + w₃}

दिए गए मूल्य P₁ = 80, P₂ = 50 और मिश्रण का अनुपात 1:2:3 है, हम भार को w₁ = 1, w₂ = 2, और w₃ = 3 के रूप में मान सकते हैं। औसत मूल्य Pₐᵥ_g = 75 दिया गया है। इन मानों को सूत्र में रखने पर:

75 = (80 × 1) + (50 × 2) + (P₃ × 3){1 + 2 + 3}

75 = 80 + 100 + 3P₃{6}

450 = 180 + 3P₃

270 = 3P₃

P₃ = 90

अतः, गेहूं की तीसरी किस्म का मूल्य 90 रुपये प्रति किलोग्राम है।

व्याख्या

दो संख्याओं a और b के मध्यानुपाती M की गणना सूत्र M = √(ab) का उपयोग करके की जाती है। दिए गए मानों a = 6 और b = 54 को प्रतिस्थापित करने पर, गणना M = √(6 × 54) = √(324) है। 324 का वर्गमूल 18 है। प्रश्न में इस मध्यानुपाती और संख्या 15 के बीच का अंतर पूछा गया है। 18 में से 15 घटाने पर 18 - 15 = 3 प्राप्त होता है।

व्याख्या

मान लीजिए कि वस्तु का प्रारंभिक क्रय मूल्य CP₁ = 100 है। चूंकि प्रारंभिक लाभ प्रतिशत 55% था, इसलिए विक्रय मूल्य की गणना इस प्रकार की जाती है: SP = CP₁ × (1 + ⁵⁵⁄₁₀₀) = 100 × 1.55 = 155

प्रश्न के अनुसार, क्रय मूल्य में 24% की वृद्धि होती है, जिससे नया क्रय मूल्य निम्न हो जाता है: CP₂ = 100 × (1 + ²⁴⁄₁₀₀) = 124

विक्रय मूल्य 155 पर ही समान रहता है। नया लाभ, स्थिर विक्रय मूल्य और नए क्रय मूल्य के बीच का अंतर है: नया लाभ = SP - CP₂ = 155 - 124 = 31

नए लाभ प्रतिशत की गणना नए क्रय मूल्य पर की जाती है: नया लाभ प्रतिशत = (नया लाभ)/(CP₂) × 100 = ³¹⁄₁₂₄ × 100

भिन्न ³¹⁄₁₂₄ को सरल करने पर, हम पाते हैं कि 31 × 4 = 124, इसलिए समीकरण इस प्रकार हो जाता है: ¼ × 100 = 25%

व्याख्या

अर्धगोलाकार कटोरे की बाहरी त्रिज्या R, आंतरिक त्रिज्या r और स्टील की मोटाई t का योग है। दिया गया है कि आंतरिक त्रिज्या 6 सेमी है और मोटाई 0.37 सेमी है, तो बाहरी त्रिज्या है: R = r + t = 6 + 0.37 = 6.37 सेमी

अर्धगोले के वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल का सूत्र 2 π R² है। π = ²²⁄₇ के मान का उपयोग करते हुए, बाहरी वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल की गणना इस प्रकार की जाती है: बाहरी वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल = 2 × ²²⁄₇ × (6.37)² बाहरी वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल = 2 × ²²⁄₇ × 6.37 × 6.37

6.37 को 7 से विभाजित करके गणना को सरल करने पर: बाहरी वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल = 2 × 22 × 0.91 × 6.37 बाहरी वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल = 44 × 0.91 × 6.37 बाहरी वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल = 40.04 × 6.37 बाहरी वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल = 255.0548 सेमी²

व्याख्या

व्यंजक sec α + tan³ α csc α को बुनियादी त्रिकोणमितीय सर्वसमिकाओं का उपयोग करके सरल किया जा सकता है। सबसे पहले, tan α और csc α को साइन (sine) और कोसाइन (cosine) के पदों में व्यक्त करें:

sec α + tan³ α csc α = (1)/(cos α) + (sin³ α)/(cos³ α) · (1)/(sin α)

दूसरे पद को सरल करने पर:

(1)/(cos α) + (sin² α)/(cos³ α)

इन भिन्नों को जोड़ने के लिए, cos³ α का एक उभयनिष्ठ हर (common denominator) ज्ञात करें:

(cos² α + sin² α)/(cos³ α)

पाइथागोरस सर्वसमिका sin² α + cos² α = 1 का उपयोग करने पर, व्यंजक इस प्रकार हो जाता है:

(1)/(cos³ α) = sec³ α

इस व्यंजक का वर्ग मान (sec³ α)² = sec⁶ α है, जिसे (sec² α)³ के रूप में लिखा जा सकता है। सर्वसमिका sec² α = 1 + tan² α के अनुसार, हम दिए गए मान tan² α = 3 + Q² को प्रतिस्थापित कर सकते हैं:

sec² α = 1 + (3 + Q²) = 4 + Q²

इसे वापस घन रूप (cubic form) में प्रतिस्थापित करने पर:

(sec² α)³ = (4 + Q²)³

व्याख्या

एक समबाहु त्रिभुज का क्षेत्रफल A, उसकी ऊँचाई h से सूत्र A = h²{√3} द्वारा संबंधित है। दी गई ऊँचाई h = 9√3 सेमी को इस सूत्र में प्रतिस्थापित करने पर प्राप्त होता है:

A = (9√3)²{√3} A = (81 × 3)/(√(3)) A = (243)/(√(3))

परिणाम को सरल करने के लिए, अंश और हर दोनों को √3 से गुणा करके हर का परिमेयकरण करें:

A = 243√3{3} A = 81√3 सेमी²

वैकल्पिक रूप से, त्रिभुज की भुजा की लंबाई a को ऊँचाई के सूत्र h = √3{2}a का उपयोग करके ज्ञात किया जा सकता है। दिए गए मान को प्रतिस्थापित करने पर, 9√3 = √3{2}a, जिससे a = 18 सेमी प्राप्त होता है। इसके बाद क्षेत्रफल की गणना भुजा-आधारित सूत्र A = √3{4}a² = √3{4} × 18² = √3{4} × 324 = 81√3 सेमी² का उपयोग करके की जाती है।

व्याख्या

किसी भी त्रिभुज के आंतरिक कोणों का योग हमेशा 180° होता है। यह दिया गया है कि कोणों का अनुपात 1:2:3 है, इसलिए हम उन्हें x, 2x और 3x के रूप में दर्शा सकते हैं। कोण योग गुणधर्म का उपयोग करने पर:

x + 2x + 3x = 180° 6x = 180° x = 30°

कोणों के व्यंजकों में x का मान वापस रखने पर हमें 30°, 60° और 90° प्राप्त होता है। चूंकि त्रिभुज के कोणों में से एक कोण ठीक 90° है, इसलिए इस त्रिभुज को समकोण त्रिभुज के रूप में वर्गीकृत किया गया है।

व्याख्या

माना उधार दी गई धनराशि P है। साधारण ब्याज के सूत्र SI = (P × R × T)/(100) का उपयोग करते हुए, जहाँ R = 7 और T = 11 है, ब्याज SI = (P × 7 × 11)/(100) = (77P)/(100) होगा। प्रश्न के अनुसार, प्राप्त ब्याज उधार दी गई धनराशि से 920 रुपये कम है, जिसे P - SI = 920 के रूप में व्यक्त किया जा सकता है। समीकरण में SI का मान रखने पर:

P - (77P)/(100) = 920

(100P - 77P)/(100) = 920

(23P)/(100) = 920

P = (920 × 100)/(23)

P = 40 × 100 = 4000

व्याख्या

BODMAS नियम लागू करके, सबसे आंतरिक कोष्ठक और विभाजन से शुरू करते हुए व्यंजक को सरल किया जाता है।

सबसे पहले, दूसरे पद को सरल करें: 4x²÷ (5x÷ 10) = 4x²÷ (ˣ⁄₂) = 4x² × ²⁄ₓ = 8x

इसके बाद, मंजले कोष्ठक के अंदर के व्यंजक को सरल करें: कोष्ठक के अंदर का विभाजन 3x²÷ x = 3x है। इसके बाद का विभाजन x³÷ 3x = x²/3 है। पद 5⅓, ¹⁶⁄₃ के बराबर है। इन्हें वापस 3 से गुणा किए गए मंजले कोष्ठक वाले पद में प्रतिस्थापित करने पर प्राप्त होता है: 3{¹⁶⁄₃ - x²/3} = 16 - x²

अब, इन सरलीकृत भागों को वापस मूल समीकरण में प्रतिस्थापित करें: 7x + 8x - (16 - x²) = 0 15x - 16 + x² = 0 x² + 15x - 16 = 0

यह एक द्विघात समीकरण है जिसका गुणनखंड किया जा सकता है: x² + 16x - x - 16 = 0 x(x + 16) - 1(x + 16) = 0 (x - 1)(x + 16) = 0

x के दो मान x₁ = 1 और x₂ = -16 हैं।

इन दोनों मानों के बीच का अंतर है: |x₁ - x₂| = |1 - (-16)| = |1 + 16| = 17

व्याख्या

दिए गए समीकरण x² + y² + 2y + 4x + 5 = 0 को वर्ग पूर्ण करके (x + 2)² + (y + 1)² = 0 के रूप में पुनर्व्यवस्थित किया जा सकता है। इससे प्राप्त होता है कि x + 2 = 0 और y + 1 = 0, जिससे x = -2 और y = -1 प्राप्त होता है, इसलिए x - y = -2 - (-1) = -1।

व्याख्या

वर्ष 2021 में उत्पादित मास्क की अंतिम संख्या की गणना क्रमिक प्रतिशत परिवर्तन सूत्र का उपयोग करके की जा सकती है। माना कि वर्ष 2018 में मास्क की प्रारंभिक संख्या X थी। उत्पादन में परिवर्तन इस प्रकार हैं: वर्ष 2019 में 30% की वृद्धि, वर्ष 2020 में 15% की वृद्धि और वर्ष 2021 में 40% की कमी।

अंतिम उत्पादन को दर्शाने वाला समीकरण है: X × (1 + ³⁰⁄₁₀₀) × (1 + ¹⁵⁄₁₀₀) × (1 - ⁴⁰⁄₁₀₀) = 179400

गुणकों को सरल करने पर: X × 1.3 × 1.15 × 0.6 = 179400

सबसे पहले, गुणनखंडों को गुणा करें: 1.3 × 0.6 = 0.78 0.78 × 1.15 = 0.897

अब, X के लिए हल करें: 0.897 × X = 179400 X = (179400)/(0.897)

दशमलव हटाने पर: X = ¹⁷⁹⁴⁰⁰⁰⁰⁰⁄₈₉₇

चूंकि 897 × 2 = 1794, इसलिए विभाजन से प्राप्त होता है: X = 200000