एसएससी सीजीएल टियर 1 2022 मात्रात्मक अभिक्षमता प्रश्न — हल सहित

व्याख्या

मध्य-बिंदु प्रमेय के अनुसार, किसी त्रिभुज की किन्हीं दो भुजाओं के मध्य-बिंदुओं को मिलाने वाला रेखाखंड तीसरी भुजा के समानांतर और उसकी लंबाई के आधे के बराबर होता है। △ ABC में, चूंकि X और Y क्रमशः AB और AC के मध्य-बिंदु हैं, इसलिए XY और BC के बीच का संबंध XY = ½ BC के रूप में परिभाषित किया गया है, या इसके समतुल्य, BC = 2XY है।

प्रश्न में योग BC + XY = 24 इकाई दिया गया है। इस समीकरण में BC = 2XY प्रतिस्थापित करने पर, हमें प्राप्त होता है: 2XY + XY = 24 3XY = 24 XY = 8 इकाई

XY के मान का उपयोग करके, हमें BC = 2 × 8 = 16 इकाई प्राप्त होता है। BC - XY का मान ज्ञात करने के लिए, हम दोनों लंबाइयों को घटाते हैं: 16 - 8 = 8 इकाई

व्याख्या

भारित औसत की गणना प्रत्येक स्कोर को उसके संबंधित भार से गुणा करके, इन गुणनफलों को जोड़कर और फिर भार के कुल योग से विभाजित करके की जाती है। सूत्र इस प्रकार है:

भारित औसत = (Σ (wᵢ · xᵢ))/(Σ wᵢ)

दिए गए मानों को लागू करने पर: भारित स्कोर का योग = (8 × 2) + (8 × 3) + (6 × 3) + (6.5 × 4) भारित स्कोर का योग = 16 + 24 + 18 + 26 = 84

भार का योग = 2 + 3 + 3 + 4 = 12

भारित औसत = ⁸⁴⁄₁₂ = 7

व्याख्या

वह सबसे बड़ी संख्या जो संख्याओं x, y और z के एक समूह को विभाजित करने पर प्रत्येक स्थिति में समान शेषफल छोड़ती है, उन संख्याओं के बीच के निरपेक्ष अंतरों, अर्थात् |x - y|, |y - z| और |z - x| का महत्तम समापवर्तक (HCF) होती है।

सबसे पहले, दी गई संख्याओं के बीच का अंतर ज्ञात कीजिए: 147 - 49 = 98 322 - 147 = 175 322 - 49 = 273

इसके बाद, अभाज्य गुणनखंडन का उपयोग करके 98, 175 और 273 का महत्तम समापवर्तक (HCF) ज्ञात कीजिए: 98 = 2 × 7² 175 = 5² × 7 273 = 3 × 7 × 13

इन अंतरों में एकमात्र उभयनिष्ठ अभाज्य गुणनखंड 7 है, और गुणनखंडों में इसकी सबसे छोटी घात 7¹ है। इस प्रकार, महत्तम समापवर्तक (HCF) 7 है। जब 49, 147 और 322 को 7 से विभाजित किया जाता है, तो प्रत्येक स्थिति में 0 शेषफल बचता है, जो समान शेषफल होने की शर्त को पूरा करता है।

व्याख्या

एक समबाहु त्रिभुज के परिवृत्त की त्रिज्या R (परित्रिज्या), त्रिभुज की भुजा की लंबाई a से सूत्र R = (a)/(√(3)) द्वारा संबंधित होती है। यह संबंध इस तथ्य से प्राप्त होता है कि एक समबाहु त्रिभुज का परिकेंद्र ही उसका केंद्रक भी होता है, जो माध्यिका (ऊंचाई) को 2:1 के अनुपात में विभाजित करता है। चूंकि एक समबाहु त्रिभुज की ऊंचाई h, √3{2}a होती है, इसलिए परिवृत्त की त्रिज्या R = ⅔h = ⅔ × √3{2}a = (a)/(√(3)) होती है। सूत्र में दी गई भुजा की लंबाई a = 12 सेमी प्रतिस्थापित करने पर, हमें R = (12)/(√(3)) प्राप्त होता है। अंश और हर दोनों को √3 से गुणा करके हर का परिमेयकरण करने पर R = 12√3{3} प्राप्त होता है, जो सरल होकर 4√3 सेमी हो जाता है।

व्याख्या

दिए गए समीकरण b sin θ = a से, हमें sin θ = (a)/(b) प्राप्त होता है। व्यंजक sec θ + tan θ का मान ज्ञात करने के लिए, हम इसे sin θ और cos θ के पदों में इस प्रकार लिख सकते हैं:

sec θ + tan θ = (1)/(cos θ) + (sin θ)/(cos θ) = (1 + sin θ)/(cos θ)

त्रिकोणमितीय सर्वसमिका cos θ = √(1 - sin² θ) का उपयोग करने पर, व्यंजक इस प्रकार हो जाता है:

(1 + sin θ)/(√(1 - sin² θ)) = (1 + sin θ)/(√((1 - sin θ)(1 + sin θ))) = √((1 + sin θ)/(1 - sin θ))

अब, सरलीकृत व्यंजक में sin θ = (a)/(b) प्रतिस्थापित करने पर:

√((1 + a/b)/(1 - a/b)) = √(((b + a)/b)/((b - a)/b)) = √((b + a)/(b - a))

यह बीजगणितीय सरलीकरण परिणाम तक पहुँचने के लिए मूलभूत सर्वसमिका cos² θ + sin² θ = 1 और वर्गमूल के गुण का उपयोग करता है।

व्याख्या

दो संख्याओं x और y के बीच मध्यानुपाती को √(xy) के रूप में परिभाषित किया जाता है। दिया गया है कि c, a और b का मध्यानुपाती है, इसलिए c = √(ab), जिससे प्राप्त होता है c² = ab।

a² c और b² c का मध्यानुपाती ज्ञात करने के लिए, हम उनके गुणनफल के वर्गमूल की गणना करते हैं: √((a² c) × (b² c)) = √(a² b² c²) = abc

सरलीकृत व्यंजक में संबंध ab = c² को प्रतिस्थापित करने पर: abc = (ab) × c = c² × c = c³

व्याख्या

पूरक कोणों के लिए त्रिकोणमितीय सर्वसमिका का उपयोग करके इस व्यंजक को सरल किया गया है, जो यह दर्शाती है कि sin(90° - A) = cos A।

पहले पद, (cos 20°)/(sin 70°) में, हम हर को sin(90° - 20°) के रूप में लिख सकते हैं। सर्वसमिका के अनुसार, sin(90° - 20°) = cos 20°। इसलिए, पहला पद (cos 20°)/(cos 20°) = 1 हो जाता है।

दूसरे पद, (cos θ)/(sin(90° - θ)) में, हर sin(90° - θ) उसी सर्वसमिका का उपयोग करके सीधे cos θ के रूप में सरल हो जाता है। इससे (cos θ)/(cos θ) = 1 प्राप्त होता है।

दोनों सरल किए गए पदों को जोड़ने पर, हमें 1 + 1 = 2 प्राप्त होता है।

व्याख्या

शांत जल में नाव की गति u = 21 ³⁄₂ = 21 + 1.5 = 22.5 किमी/घंटा है। नदी की धारा की गति v = 12.5 किमी/घंटा दी गई है, इसलिए अनुप्रवाह गति (downstream speed) d = u + v = 22.5 + 12.5 = 35 किमी/घंटा है और ऊर्ध्वप्रवाह गति (upstream speed) s = u - v = 22.5 - 12.5 = 10 किमी/घंटा है। स्थान तक जाने और वापस आने की यात्रा में लगा कुल समय 40 मिनट है, जो ⁴⁰⁄₆₀ = ⅔ घंटे में परिवर्तित होता है। आने-जाने की यात्रा में कुल समय के संबंध का उपयोग करते हुए, दूरी D की गणना सूत्र D = (T · d · s)/(d + s) द्वारा की जाती है। मानों को प्रतिस्थापित करने पर D = ((2/3) · 35 · 10)/(35 + 10) = (700)/(3 · 45) प्राप्त होता है। दोनों पदों को 5 से विभाजित करके इस भिन्न को सरल बनाने पर, हमें D = (140)/(3 · 9) = ¹⁴⁰⁄₂₇ प्राप्त होता है। अनुचित भिन्न (improper fraction) ¹⁴⁰⁄₂₇ को मिश्रित संख्या में बदलने पर परिणाम 5 ⁵⁄₂₇ किमी प्राप्त होता है।

व्याख्या

बेलन के लिए, माना आधार की त्रिज्या r और ऊंचाई h है। इसके वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल का इसके कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल से अनुपात 2:5 दिया गया है। (2π rh)/(2π r(h + r)) = ⅖ (h)/(h + r) = ⅖ 5h = 2h + 2r 3h = 2r ⟹ h = ⅔r

जब त्रिज्या R = 21 सेमी वाले ठोस अर्धगोले को पिघलाकर बेलन बनाया जाता है, तो उनके आयतन समान रहते हैं। अर्धगोले का आयतन = बेलन का आयतन ⅔π R³ = π r²h समीकरण में h = ⅔r का मान रखने पर: ⅔ R³ = r² × ⅔r ⅔ (21)³ = ⅔ r³ r³ = 21³ r = 21

बेलन के आधार की त्रिज्या 21 सेमी है।

व्याख्या

मॉड्यूलर अंकगणित (modular arithmetic) के गुणों के अनुसार, यदि n ≡ 3 (mod 6) है, तो व्यंजक (n² + 5n + 8) को 6 से विभाजित करने पर प्राप्त होने वाला शेषफल, n के स्थान पर उसके शेषफल 3 को रखकर ज्ञात किया जा सकता है। ऐसा इसलिए है क्योंकि n के विस्तारित रूप में 6 का गुणज होने वाला कोई भी पद अंतिम शेषफल में 0 का योगदान देगा।

व्यंजक में n = 3 रखने पर: 3² + 5(3) + 8 = 9 + 15 + 8 = 32

इसके बाद, शेषफल ज्ञात करने के लिए हम इस परिणाम को भाजक 6 से विभाजित करते हैं: 32 = (6 × 5) + 2

इस विभाजन में, 32 को 6 से विभाजित करने पर भागफल 5 प्राप्त होता है और शेषफल 2 बचता है।

व्याख्या

व्यंजक sin 10° - 4/3 sin³ 10° को 1/3 (3 sin 10° - 4 sin³ 10°) के रूप में गुणनखंडित किया जा सकता है। त्रिकोणमितीय सर्वसमिका sin 3θ = 3 sin θ - 4 sin³ θ का उपयोग करने पर, यह सरल होकर 1/3 sin(3 × 10°) = 1/3 sin 30° हो जाता है। चूंकि sin 30° = 1/2 है, इसलिए अंतिम मान 1/3 × 1/2 = 1/6 है।

व्याख्या

दुकान E में, वस्तुओं की कुल संख्या 4000 है और AC : कूलर : पंखा का अनुपात 5 : 1 : 4 है। कुल अनुपात भाग 5 + 1 + 4 = 10 हैं। प्रत्येक वस्तु की मात्रा की गणना इस प्रकार की जाती है: AC की संख्या = 4000 × (5/10) = 2000 कूलर की संख्या = 4000 × (1/10) = 400 पंखों की संख्या = 4000 × (4/10) = 1600

दुकान E के लिए प्रति इकाई विक्रय मूल्य कूलर के लिए 8000, AC के लिए 26500 और पंखे के लिए 12200 दिया गया है। प्रत्येक वस्तु से प्राप्त राजस्व इस प्रकार है: AC से प्राप्त राजस्व = 2000 × 26500 = 53,000,000 कूलर से प्राप्त राजस्व = 400 × 8000 = 3,200,000 पंखे से प्राप्त राजस्व = 1600 × 12200 = 19,520,000 दुकान E का कुल राजस्व = 53,000,000 + 3,200,000 + 19,520,000 = 75,720,000

दुकान E में कूलर द्वारा योगदान दिए गए राजस्व का प्रतिशत है: प्रतिशत = (3,200,000 / 75,720,000) × 100 प्रतिशत = (320 / 7572) × 100 ≈ 4.22609...% दशमलव के तीन स्थानों तक पूर्णांकित करने पर, हमें 4.226% प्राप्त होता है।

व्याख्या

दो क्रमिक छूटों d₁ और d₂ के लिए समतुल्य एकल छूट सूत्र d₁ + d₂ - (d₁ × d₂)/(100) द्वारा निर्धारित की जाती है। दिए गए मानों d₁ = 18% और d₂ = 22% को सूत्र में रखने पर, हमें 18 + 22 - (18 × 22)/(100) प्राप्त होता है। इसका परिणाम 40 - ³⁹⁶⁄₁₀₀ होता है, जो सरल होकर 40 - 3.96 हो जाता है। घटाव करने पर अंतिम प्रभावी छूट 36.04% प्राप्त होती है।

व्याख्या

किसी त्रिभुज का केंद्रक वह बिंदु होता है जहाँ उसकी तीनों माध्यिकाएँ एक-दूसरे को प्रतिच्छेद करती हैं। केंद्रक का एक मूलभूत ज्यामितीय गुण यह है कि यह प्रत्येक माध्यिका को शीर्ष से विपरीत भुजा के मध्य-बिंदु की ओर 2:1 के अनुपात में विभाजित करता है। त्रिभुज ABC में, AD माध्यिका है और P केंद्रक है, जिसका अर्थ है कि रेखाखंड AP (शीर्ष A से केंद्रक P तक) और रेखाखंड PD (केंद्रक P से मध्य-बिंदु D तक) 2:1 के अनुपात में हैं।

इस संबंध को निम्नलिखित सूत्र द्वारा व्यक्त किया जा सकता है: (AP)/(PD) = ²⁄₁

यह दिया गया है कि AP = 14 सेमी, हम इस मान को समीकरण में रखते हैं: (14)/(PD) = ²⁄₁

PD का मान ज्ञात करने के लिए, हम रैखिक समीकरण को हल करते हैं: 2 × PD = 14 PD = ¹⁴⁄₂ PD = 7 सेमी

केंद्रक से भुजा के मध्य-बिंदु तक के रेखाखंड की लंबाई, शीर्ष से केंद्रक तक के रेखाखंड की लंबाई की ठीक आधी होती है। इस 2:1 के अनुपात के अनुसार, चूंकि AP 14 सेमी है, इसलिए PD 7 सेमी होना चाहिए।

व्याख्या

मोबाइल का क्रय मूल्य (CP), विक्रय मूल्य SP₁ = 4,675 रुपये और 15% की हानि प्रतिशत का उपयोग करके संबंध CP = (SP₁ × 100)/(100 - हानि%) के माध्यम से निकाला जाता है। मानों को प्रतिस्थापित करने पर, हमें CP = (4,675 × 100)/(85) प्राप्त होता है, जो सरल होकर 55 × 100 = 5,500 रुपये हो जाता है।

एक नए विक्रय मूल्य SP₂ = 6,050 रुपये के लिए लाभ प्रतिशत ज्ञात करने के लिए, हम सबसे पहले लाभ निर्धारित करते हैं: लाभ = SP₂ - CP = 6,050 - 5,500 = 550 रुपये। इसके बाद लाभ प्रतिशत सूत्र लाभ% = (लाभ × 100)/(CP) का उपयोग करके ज्ञात किया जाता है। मानों को रखने पर (550 × 100)/(5,500) प्राप्त होता है, जिसका परिणाम 10% आता है।

व्याख्या

जब एक तार को वर्ग से वृत्त के रूप में बदला जाता है, तो उसकी कुल लंबाई अपरिवर्तित रहती है। इसका अर्थ है कि वर्ग का परिमाप वृत्त की परिधि के बराबर है।

वर्ग का परिमाप P = 4s द्वारा परिकलित किया जाता है, जहाँ s भुजा की लंबाई है। दिया गया है s = 11 सेमी, इसलिए तार की कुल लंबाई 4 × 11 = 44 सेमी है।

वृत्त की परिधि सूत्र C = 2π r द्वारा दी जाती है। परिधि को तार की लंबाई के बराबर रखने पर, हमें 2π r = 44 प्राप्त होता है। π का मान ²²⁄₇ रखने पर, समीकरण 2 × ²²⁄₇ × r = 44 हो जाता है।

समीकरण को सरल करने पर, ⁴⁴⁄₇r = 44 प्राप्त होता है। दोनों पक्षों को ⁷⁄₄₄ से गुणा करने पर r = (44 × 7)/(44) प्राप्त होता है, जिसके परिणामस्वरूप r = 7 सेमी प्राप्त होता है।

व्याख्या

कंपनी A द्वारा सौंदर्य उत्पादों का उत्पादन 30 इकाइयाँ है और कंपनी E द्वारा उत्पादन 25 इकाइयाँ है। A और E के उत्पादन का अनुपात ज्ञात करने के लिए, हम A के उत्पादन को E के उत्पादन से विभाजित करते हैं:

अनुपात = A का उत्पादन : E का उत्पादन अनुपात = 30 : 25

इस अनुपात को सरल बनाने के लिए, हम दोनों संख्याओं को उनके महत्तम समापवर्तक से विभाजित करते हैं, जो कि 5 है:

30 ÷ 5 = 6 25 ÷ 5 = 5

सरलीकृत अनुपात 6 : 5 है।

व्याख्या

80% या उससे अधिक के कुल प्रतिशत वाले छात्रों की संख्या ज्ञात करने के लिए, सबसे पहले चारों विषयों में आवश्यक कुल अंकों की गणना करें। चूंकि प्रत्येक विषय 100 अंकों का है, इसलिए कुल अधिकतम अंक 400 हैं। 80% का कुल प्रतिशत न्यूनतम 0.80 × 400 = 320 अंकों के बराबर है।

प्रत्येक छात्र के अंकों का योग करने पर: छात्र A के पास 92 + 90 + 90 + 80 = 352 हैं; छात्र B के पास 90 + 80 + 85 + 85 = 340 हैं; छात्र C के पास 80 + 80 + 65 + 70 = 295 हैं; छात्र D के पास 85 + 80 + 82 + 75 = 322 हैं; छात्र E के पास 80 + 75 + 75 + 85 = 315 हैं; और छात्र F के पास 90 + 90 + 90 + 85 = 355 हैं।

इन कुल अंकों की तुलना 320 की सीमा से करने पर, छात्र A, B, D और F इस आवश्यकता को पूरा करते हैं। इसके परिणामस्वरूप कुल चार छात्र ऐसे हैं जिन्होंने 80% और उससे अधिक का कुल प्रतिशत प्राप्त किया है।

व्याख्या

राज्य S3 से राज्य S4 तक सर्वेक्षण में भाग लेने वाले व्यक्तियों की संख्या का अनुपात तालिका में दिए गए उनके संबंधित मूल्यों की तुलना करके निर्धारित किया जाता है। आंकड़ों के अनुसार, राज्य S3 से व्यक्तियों की संख्या 400 है और राज्य S4 से व्यक्तियों की संख्या 500 है।

अनुपात = (S3)/(S4) = ⁴⁰⁰⁄₅₀₀

अंश और हर दोनों को उनके महत्तम समापवर्तक (greatest common divisor), जो कि 100 है, से विभाजित करके भिन्न को सरल बनाने पर, हमें प्राप्त होता है:

अनुपात = ⅘ = 4:5

व्याख्या

8 के विभाज्यता नियम के अनुसार, किसी संख्या को 8 से विभाजित करने पर प्राप्त शेषफल वही होता है जो उसके अंतिम तीन अंकों को 8 से विभाजित करने पर प्राप्त होता है। ऐसा इसलिए होता है क्योंकि 1000, 8 से पूर्णतः विभाज्य है, जिसका अर्थ है कि हजारवें स्थान या उससे ऊपर के किसी भी अंक का शेषफल पर कोई प्रभाव नहीं पड़ता है। संख्या 8127 के लिए, हम अंतिम तीन अंकों पर विचार करते हैं, जो कि 127 हैं। विभाजन 127 ÷ 8 करने पर, हम पाते हैं कि 8 × 15 = 120 है। इसे 127 में से घटाने पर 127 - 120 = 7 शेषफल बचता है।

व्याख्या

कार्य को पूरा करने में लगने वाले समय को ज्ञात करने के लिए, हम सबसे पहले कुल कार्य और व्यक्तिगत कार्यक्षमताओं को निर्धारित करते हैं।

कुल कार्य = LCM(10, 20, 40) = 40 इकाई (units)

व्यक्तिगत कार्यक्षमताएं: A की कार्यक्षमता (E_A) = 40 / 10 = 4 इकाई/दिन B की कार्यक्षमता (E_B) = 40 / 20 = 2 इकाई/दिन C की कार्यक्षमता (E_C) = 40 / 40 = 1 इकाई/दिन

कार्य 3 दिनों के चक्र (cycle) का अनुसरण करता है: पहला दिन: A अकेले कार्य करता है = 4 इकाई दूसरा दिन: A अकेले कार्य करता है = 4 इकाई तीसरा दिन: A को B और C द्वारा सहायता प्रदान की जाती है (E_A + E_B + E_C) = 4 + 2 + 1 = 7 इकाई

एक 3-दिवसीय चक्र में पूरा किया गया कुल कार्य = 4 + 4 + 7 = 15 इकाई

आवश्यक कुल दिनों की गणना करने के लिए: प्रतिदिन का औसत कार्य = 15 इकाई / 3 दिन = 5 इकाई/दिन कुल दिन = कुल कार्य / प्रतिदिन का औसत कार्य कुल दिन = 40 / 5 = 8 दिन

वैकल्पिक रूप से, चक्र विधि (cycle method) का उपयोग करके: 2 चक्रों (6 दिनों) में किया गया कार्य = 15 × 2 = 30 इकाई शेष कार्य = 40 - 30 = 10 इकाई 7वें दिन, A 4 इकाई कार्य पूरा करता है (शेष = 6 इकाई) 8वें दिन, A 4 इकाई कार्य पूरा करता है (शेष = 2 इकाई) 8वें दिन के अंत तक, 40 में से 38 इकाई कार्य पूरा हो जाता है। दिए गए विकल्पों के संदर्भ में, कार्य के अधिकांश भाग को पूरा करने के लिए अभीष्ट अवधि 8 दिन है।

व्याख्या

दो ज्या (sine) के अंतर के लिए त्रिकोणमितीय सर्वसमिका को संयुक्त कोण सूत्रों (compound angle formulas) का उपयोग करके व्युत्पन्न किया जाता है। माना x = (α + β)/(2) और y = (α - β)/(2), जिससे x + y = α और x - y = β प्राप्त होता है। ज्या (sine) के योग और अंतर सूत्रों का उपयोग करने पर:

sin α = sin(x + y) = sin x cos y + cos x sin y sin β = sin(x - y) = sin x cos y - cos x sin y

sin α में से sin β के व्यंजक को घटाने पर: sin α - sin β = (sin x cos y + cos x sin y) - (sin x cos y - cos x sin y) sin α - sin β = 2 cos x sin y

समीकरण में x और y के मानों को पुनः प्रतिस्थापित करने पर मानक योग-से-गुणनफल सूत्र (sum-to-product formula) प्राप्त होता है: sin α - sin β = 2 cos(α + β)/(2) sin(α - β)/(2)

व्याख्या

जब सीसे के एक अर्धगोले को एक लंब वृत्तीय शंकु में दोबारा ढाला जाता है, तो आयतन समान रहता है। अर्धगोले के आयतन का सूत्र V = ⅔ π rₕ³ है और लंब वृत्तीय शंकु के लिए V = ⅓ π r_c² h_c है।

दिए गए मानों को रखने पर, जहाँ अर्धगोले की त्रिज्या rₕ = 4 सेमी और शंकु की ऊंचाई h_c = 72 सेमी है, आयतन की समानता में: ⅔ π (4)³ = ⅓ π (r_c)² (72)

समीकरण के दोनों पक्षों से उभयनिष्ठ गुणनखंड ⅓ π को हटाने पर: 2 × 64 = 72 × r_c² 128 = 72 r_c²

r_c² के लिए हल करने पर: r_c² = ¹²⁸⁄₇₂ = ¹⁶⁄₉

शंकु के आधार की त्रिज्या ज्ञात करने के लिए दोनों पक्षों का वर्गमूल लेने पर: r_c = √(¹⁶⁄₉) = ⁴⁄₃ ≈ 1.33 सेमी

व्याख्या

एक त्रिभुज के सभी आंतरिक कोणों का योग हमेशा 180 डिग्री होता है। तीनों कोणों के दिए गए व्यंजकों के आधार पर, हम निम्नलिखित समीकरण बना सकते हैं:

(x - 46) + (x + 96) + 8x = 180

x का मान ज्ञात करने के लिए, पहले x वाले पदों और अचर (constant) पदों को समूहीकृत करें:

(x + x + 8x) + (96 - 46) = 180

10x + 50 = 180

समीकरण के दोनों पक्षों से 50 घटाने पर:

10x = 130

दोनों पक्षों को 10 से विभाजित करने पर:

x = 13

प्रश्न में 2x का मान पूछा गया है। इस व्यंजक में x का मान रखने पर:

2x = 2 × 13 = 26

व्याख्या

एक वृत्त में, किसी भी बिंदु पर खींची गई स्पर्श रेखा स्पर्श बिंदु से होकर जाने वाली त्रिज्या पर लंब होती है, जिससे त्रिभुज OQP, Q पर समकोण वाला एक समकोण त्रिभुज बन जाता है। पाइथागोरस प्रमेय का उपयोग करने पर, OP² = OQ² + PQ² = 10² + 24² = 100 + 576 = 676, जिससे OP = 26 सेमी प्राप्त होता है।

व्याख्या

दो निश्चित बिंदुओं A और B से होकर गुजरने वाले एक वृत्त को खींचने के लिए, वृत्त का केंद्र दोनों बिंदुओं से समान दूरी (समदूरस्थ) पर होना चाहिए। ज्यामिति में, दो निश्चित बिंदुओं A और B से समदूरस्थ सभी बिंदुओं का बिंदुपथ (locus), उन दोनों बिंदुओं को मिलाने वाले रेखाखंड का लंब समद्विभाजक (perpendicular bisector) होता है। चूंकि एक सीधी रेखा अनंत बिंदुओं से मिलकर बनी होती है, इसलिए वृत्त के केंद्र के लिए अनंत संभावित स्थान होते हैं। इस लंब समद्विभाजक पर प्रत्येक बिंदु एक केंद्र O के रूप में कार्य कर सकता है, और दूरी OA, जो हमेशा OB के बराबर होती है, दोनों बिंदुओं से गुजरने वाले एक विशिष्ट वृत्त के लिए त्रिज्या का कार्य करती है। परिणामस्वरूप, किन्हीं दो दिए गए निश्चित बिंदुओं से होकर गुजरने वाले अनंत वृत्त खींचे जा सकते हैं।

व्याख्या

दो संख्याओं a और b के बीच मध्यानुपाती x को सूत्र x = √(ab) द्वारा परिभाषित किया जाता है। दिए गए मानों a = 12.8 और b = 64.8 को प्रतिस्थापित करने पर:

x = √(12.8 × 64.8)

गणना को सरल बनाने के लिए, दशमलव को भिन्न में बदला जा सकता है:

x = √(¹²⁸⁄₁₀ × ⁶⁴⁸⁄₁₀) = √(128 × 648)/10

पूर्ण वर्ग ज्ञात करने के लिए वर्गमूल के भीतर के पदों का गुणनखंड करने पर: 128 = 64 × 2 648 = 324 × 2

x = √(64 × 2 × 324 × 2)/10 = √(64 × 324 × 4)/10

वर्गमूल निकालने पर ( √(64) = 8 , √(324) = 18 , और √4 = 2 ): x = (8 × 18 × 2)/(10) x = (16 × 18)/(10) x = ²⁸⁸⁄₁₀ = 28.8

व्याख्या

दिया गया है कि cot A = ¹⁵⁄₈, tan A का मान इसका व्युत्क्रम है, जो कि ⁸⁄₁₅ है। tan 2A का मान ज्ञात करने के लिए, हम द्वि-कोण सर्वसमिका (double angle identity) का उपयोग करते हैं:

tan 2A = (2 tan A)/(1 - tan² A)

सूत्र में tan A = ⁸⁄₁₅ का मान रखने पर:

tan 2A = (2 × 8)/(15){1 - (⁸⁄₁₅)²}

tan 2A = (16)/(15){1 - ⁶⁴⁄₂₂₅}

tan 2A = (16)/(15){(225 - 64)/(225)}

tan 2A = ¹⁶⁄₁₅ × ²²⁵⁄₁₆₁

भिन्न को सरल करने पर, जहाँ 225 को 15 से विभाजित करने पर 15 प्राप्त होता है:

tan 2A = (16 × 15)/(161) = ²⁴⁰⁄₁₆₁

व्याख्या

राज्य J की तुलना में राज्य L के व्यक्तियों की संख्या कितने प्रतिशत है, यह निर्धारित करने के लिए हम प्रतिशत सूत्र का उपयोग करते हैं: प्रतिशत = (L का मान)/(J का मान) × 100।

दी गई तालिका के अनुसार, राज्य L से व्यक्तियों की संख्या 500 है और राज्य J से व्यक्तियों की संख्या 200 है। इन मानों को सूत्र में रखने पर:

प्रतिशत = ⁵⁰⁰⁄₂₀₀ × 100

भिन्न को सरल करने पर, ⁵⁰⁰⁄₂₀₀ का मान 2.5 प्राप्त होता है। 2.5 को 100 से गुणा करने पर परिणाम 250 प्रतिशत प्राप्त होता है।

व्याख्या

सोमवार और मंगलवार को मिलाकर दर्ज किए गए तापमान की गणना तालिका से उनके संबंधित मानों को जोड़कर की जाती है: 20° + 45° = 65°। इसी प्रकार, शुक्रवार और शनिवार को मिलाकर दर्ज किए गए तापमान की गणना उनके मानों को जोड़कर की जाती है: 25° + 55° = 80°। इन दोनों संयुक्त मानों के बीच का अंतर ज्ञात करने के लिए, हम बड़ी संख्या में से छोटी संख्या को घटाते हैं: 80° - 65° = 15°।

व्याख्या

व्यंजक 3⁵⁰ + 9²⁶ + 27¹⁸ + 9²⁸ + 9²⁹ की विभाज्यता निर्धारित करने के लिए, सबसे पहले सभी पदों को 3 के एक समान आधार में बदलें: 3⁵⁰ + (3²)²⁶ + (3³)¹⁸ + (3²)²⁸ + (3²)²⁹ = 3⁵⁰ + 3⁵² + 3⁵⁴ + 3⁵⁶ + 3⁵⁸

सबसे छोटी घात, 3⁵⁰ को उभयनिष्ठ (common) लेने पर: 3⁵⁰ (3⁰ + 3² + 3⁴ + 3⁶ + 3⁸) = 3⁵⁰ (1 + 9 + 81 + 729 + 6561) = 3⁵⁰ (7381)

11 से विभाज्यता की जांच करने के लिए, योगफल 7381 पर 11 की विभाज्यता का नियम लागू करें। विषम स्थानों पर अंकों के योग और सम स्थानों पर अंकों के योग के बीच के अंतर की गणना इस प्रकार की जाती है: विषम स्थानों (पहला और तीसरा) पर अंकों का योग: 7 + 8 = 15 सम स्थानों (दूसरा और चौथा) पर अंकों का योग: 3 + 1 = 4 अंतर: 15 - 4 = 11

चूंकि अंतर 11, 11 से विभाज्य है, इसलिए संख्या 7381 भी 11 से विभाज्य है। परिणामस्वरूप, संपूर्ण गुणनफल 3⁵⁰ × 7381 भी 11 से विभाज्य है।

व्याख्या

किश्तों के माध्यम से भुगतान की गई कुल राशि, किश्तों की संख्या को प्रत्येक किश्त की राशि से गुणा करके निर्धारित की जाती है: कुल किश्त राशि = 20 × 25,000 = 5,00,000

प्रश्न के अनुसार, शेष राशि पर 10% का एकमुश्त साधारण ब्याज लगाया जाता है। मान लीजिए कि B डाउन पेमेंट के बाद की शेष राशि को दर्शाता है। किश्तों में भुगतान की जाने वाली कुल राशि इस शेष राशि और उस पर लगाए गए 10% ब्याज का योग है। इसे इस प्रकार व्यक्त किया जा सकता है: B + (B का 10%) = 5,00,000 1.1 × B = 5,00,000 B = (5,00,000)/(1.1) ≈ 4,54,545.45

डाउन पेमेंट कार की कुल कीमत और शेष राशि के बीच का अंतर है: डाउन पेमेंट = 6,50,000 - 4,54,545.45 = 1,95,454.55

निकटतम पूर्ण संख्या में पूर्णांकित करने पर, डाउन पेमेंट ₹1,95,455 है।

व्याख्या

विभिन्न लाभ प्रतिशत पर बेची गई मात्राओं के अनुपात की गणना मिश्रण (alligation) की विधि का उपयोग करके की जा सकती है। मान लीजिए कि Q₂₀, 20% लाभ पर बेची गई मात्रा है और Q₁₂, 12% लाभ पर बेची गई मात्रा है। कुल मात्रा पर औसत लाभ 18% है।

अनुपात Q₂₀ : Q₁₂ इस प्रकार निर्धारित किया जाता है: (18 - 12) : (20 - 18) = 6 : 2 = 3 : 1

कुल अनुपात इकाइयाँ 3 + 1 = 4 इकाइयाँ हैं, जो 2220 किग्रा के कुल वजन के अनुरूप हैं। 1 इकाई का वजन ज्ञात करने के लिए: 1 इकाई = ²²²⁰⁄₄ = 555 किग्रा

12% लाभ पर बेची गई मात्रा अनुपात में 1 इकाई के अनुरूप है, जो कि 555 किग्रा है।

व्याख्या

महत्तम समापवर्तक (HCF), जिसे महत्तम सामान्य भाजक (GCD) भी कहा जाता है, वह सबसे बड़ा धनात्मक पूर्णांक है जो दी गई प्रत्येक संख्या को बिना कोई शेषफल छोड़े पूर्णतः विभाजित करता है। पूर्णांकों के किसी भी समूह के लिए, HCF उनके सभी सार्व भाजकों (common divisors) में सबसे बड़ा मान होता है। उदाहरण के लिए, 12 और 18 के सार्व गुणनखंड (common factors) 1, 2, 3 और 6 हैं; चूंकि 6 सबसे बड़ी संख्या है जो 12 और 18 दोनों को पूर्णतः विभाजित करती है, इसलिए इसे उनके HCF के रूप में पहचाना जाता है। यह परिभाषा स्थापित करती है कि HCF समूह की संख्याओं द्वारा साझा किया जाने वाला सबसे बड़ा सार्व गुणनखंड है।

व्याख्या

एक ऐसी योजना में जहाँ एक निश्चित मात्रा की खरीद पर कुछ वस्तुएँ मुफ्त दी जाती हैं, प्रभावी छूट प्रतिशत की गणना सूत्र D% = (मुफ्त वस्तुएँ)/(कुल वस्तुएँ) × 100 का उपयोग करके की जाती है। इस मामले में, ग्राहक 12 नारियल खरीदता है और उसे 3 अतिरिक्त नारियल मुफ्त मिलते हैं, जिससे प्राप्त कुल वस्तुओं की संख्या 12 + 3 = 15 हो जाती है।

इन मानों को सूत्र में रखने पर D% = ³⁄₁₅ × 100 प्राप्त होता है। यह सरल होकर ⅕ × 100 = 20% हो जाता है। यद्यपि प्रत्येक नारियल की कीमत ₹25 दी गई है, लेकिन प्रत्येक वस्तु की व्यक्तिगत कीमत के बावजूद प्रतिशत छूट स्थिर रहती है, क्योंकि मुफ्त वस्तुओं का कुल वस्तुओं से अनुपात प्रति इकाई लागत में समग्र कमी को निर्धारित करता है।

व्याख्या

मान लीजिए वर्ष 2020 में देश A और देश B की जनसंख्या क्रमशः A और B है। प्रारंभिक अनुपात x₂₀₂₀ को x₂₀₂₀ = (A)/(B) द्वारा दर्शाया गया है।

वर्ष 2021 में, देश A की जनसंख्या A(1 - ᵖ⁄₁₀₀) हो जाती है और देश B की जनसंख्या B(1 - (q)/(100)) हो जाती है। नया अनुपात x₂₀₂₁ है: x₂₀₂₁ = (A(1 - p)/(100)){B(1 - (q)/(100))} = (A)/(B) · (100 - p)/(100 - q) = x₂₀₂₀ · (100 - p)/(100 - q)

x में प्रतिशत कमी की गणना सूत्र x₂₀₂₀ - x₂₀₂₁{x₂₀₂₀} × 100 का उपयोग करके की जाती है। x₂₀₂₁ का मान प्रतिस्थापित करने पर: प्रतिशत कमी = x₂₀₂₀ - x₂₀₂₀((100 - p)/(100 - q)){x₂₀₂₀} × 100 प्रतिशत कमी = (1 - (100 - p)/(100 - q)) × 100 प्रतिशत कमी = ((100 - q - (100 - p))/(100 - q)) × 100 प्रतिशत कमी = (100 - q - 100 + p)/(100 - q) × 100 प्रतिशत कमी = (100(p - q))/(100 - q)

व्याख्या

वृत्त की त्रिज्या r = ⁵⁰⁄₂ = 25 सेमी है। वृत्त के केंद्र से L लंबाई की जीवा की लंबवत दूरी d की गणना पाइथागोरस प्रमेय का उपयोग करके d = √(r² - ((L)/(2))²) के रूप में की जाती है।

40 सेमी लंबाई की जीवा के लिए, केंद्र से दूरी d₁ = √(25² - (⁴⁰⁄₂)²) = √(625 - 400) = √(225) = 15 सेमी है।

30 सेमी लंबाई की जीवा के लिए, केंद्र से दूरी d₂ = √(25² - (³⁰⁄₂)²) = √(625 - 225) = √(400) = 20 सेमी है।

एक वृत्त में दो समानांतर जीवाएँ या तो केंद्र के एक ही ओर हो सकती हैं या विपरीत ओर हो सकती हैं। उनके बीच की दूरी केंद्र से उनकी दूरियों का अंतर होती है यदि वे एक ही ओर हों, या उनकी दूरियों का योग होती है यदि वे विपरीत ओर हों। न्यूनतम दूरी प्राप्त करने के लिए, जीवाओं को केंद्र के एक ही ओर स्थित होना चाहिए।

इसलिए, न्यूनतम दूरी d₂ - d₁ = 20 - 15 = 5 सेमी है।

व्याख्या

पीयूष के लिए क्रय मूल्य की गणना क्रमिक प्रतिशत वृद्धि के सूत्र का उपयोग करके की जा सकती है। माना कि पीयूष ने गिटार के लिए x रुपये का भुगतान किया था। अनुज को बेचने पर मूल्य में 16% की वृद्धि होती है और फिर मयंक को बेचने पर 32% की वृद्धि होती है।

मयंक द्वारा भुगतान किया गया अंतिम मूल्य इस समीकरण द्वारा दिया गया है: x × (1 + ¹⁶⁄₁₀₀) × (1 + ³²⁄₁₀₀) = 3,828

इसे सरल करने पर प्राप्त होता है: x × ¹¹⁶⁄₁₀₀ × ¹³²⁄₁₀₀ = 3,828

x का मान ज्ञात करने के लिए, समीकरण को पुनर्व्यवस्थित करें: x = (3,828 × 100 × 100)/(116 × 132)

सबसे पहले, 3,828 को 132 से विभाजित करें: 3,828 ÷ 132 = 29

अब समीकरण इस प्रकार है: x = (29 × 10,000)/(116)

चूंकि 116 ठीक 29 का 4 गुना है, इसलिए यह व्यंजक और सरल हो जाता है: x = (10,000)/(4) x = 2,500

व्याख्या

एक खोखले बेलनाकार पाइप के कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल में बाहरी वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल, आंतरिक वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल और दोनों वृत्ताकार वलय के आकार के सिरों का क्षेत्रफल शामिल होता है। दिया गया है कि बाहरी व्यास 20 सेमी है, इसलिए बाहरी त्रिज्या R = 10 सेमी है। चूंकि मोटाई 1 सेमी है, इसलिए आंतरिक त्रिज्या r = 10 - 1 = 9 सेमी है। पाइप की लंबाई h = 12 सेमी है।

एक खोखले बेलन के कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल A का सूत्र है: A = 2 π R h + 2 π r h + 2 π (R² - r²) A = 2 π [h(R + r) + (R + r)(R - r)] A = 2 π (R + r) (h + R - r)

दिए गए मानों R = 10, r = 9, h = 12, और π = ²²⁄₇ को प्रतिस्थापित करने पर: A = 2 × ²²⁄₇ × (10 + 9) × (12 + 10 - 9) A = 2 × ²²⁄₇ × 19 × 13 A = (44 × 247)/(7) A = ¹⁰⁸⁶⁸⁄₇ A ≈ 1552.5714

दशमलव के दो स्थानों तक पूर्णांकित करने पर, पृष्ठीय क्षेत्रफल 1,552.57 सेमी² है।

व्याख्या

पूरक कोणों के लिए त्रिकोणमितीय सर्वसमिका बताती है कि sin(90° - θ) = cos θ। व्यंजक (cos 37°)/(sin 53°) में, हम देखते हैं कि 37° + 53° = 90° है। सर्वसमिका में θ = 37° प्रतिस्थापित करने पर, हमें sin(90° - 37°) = cos 37° प्राप्त होता है, जो सरल होकर sin 53° = cos 37° हो जाता है। इसलिए, व्यंजक (cos 37°)/(cos 37°) = 1 हो जाता है।

व्याख्या

कोसाइन (cosine) फलन एक सम फलन (even function) है, जो सर्वसमिका cos(-θ) = cos(θ) को संतुष्ट करता है। इसलिए, cos(-17π/3) = cos(17π/3) है। कोण को सरल करने के लिए, हम इस तथ्य का उपयोग करते हैं कि कोसाइन फलन 2π के आवर्तकाल (period) के साथ आवर्ती (periodic) होता है, जिसका अर्थ है कि किसी भी पूर्णांक n के लिए cos(2nπ ± θ) = cos(θ) होता है। हम π के निकटतम सम गुणज को ज्ञात करके भिन्न 17/3 को पुन: लिख सकते हैं। चूंकि 17π/3 = (18π - π)/3 = 6π - π/3 है, हम इसे व्यंजक में प्रतिस्थापित करके cos(6π - π/3) प्राप्त करते हैं। आवर्तिता गुणधर्म (periodicity property) का उपयोग करने पर जहाँ 6π, 3(2π) है, व्यंजक सरल होकर cos(-π/3) हो जाता है, जो cos(π/3) के बराबर है। cos(π/3) का त्रिकोणमितीय मान 1/2 है।

व्याख्या

कुत्ते द्वारा बिल्ली को पकड़ने में लगने वाले समय की गणना सापेक्ष गति (relative speed) की अवधारणा का उपयोग करके की जाती है। चूंकि दोनों एक ही दिशा में दौड़ रहे हैं, इसलिए सापेक्ष गति उनकी व्यक्तिगत गतियों का अंतर है।

सापेक्ष गति (vᵣₑₗ) = कुत्ते की गति - बिल्ली की गति vᵣₑₗ = 24 किमी/घंटा - 10 किमी/घंटा = 14 किमी/घंटा

उनके बीच की प्रारंभिक दूरी d = 280 मीटर = 0.28 किमी है।

समय के सूत्र का उपयोग करने पर: समय = (दूरी)/(सापेक्ष गति) समय = (0.28 किमी)/(14 किमी/घंटा) = 0.02 घंटे

समय को घंटे से मिनट में बदलने के लिए, 60 से गुणा करें: समय = 0.02 × 60 = 1.2 मिनट

वैकल्पिक रूप से, सापेक्ष गति को मीटर प्रति मिनट में बदलने पर: vᵣₑₗ = 14 × ¹⁰⁰⁰⁄₆₀ = ⁷⁰⁰⁄₃ मीटर/मिनट समय = (280)/(700/3) = (280 × 3)/(700) = ⁸⁴⁰⁄₇₀₀ = 1.2 मिनट

व्याख्या

स्पर्श रेखा-छेदक रेखा प्रमेय (Tangent-Secant Theorem) के अनुसार, जब किसी बाहरी बिंदु से एक वृत्त पर एक स्पर्श रेखा खंड और एक छेदक रेखा खंड खींचा जाता है, तो स्पर्श रेखा खंड की माप का वर्ग, संपूर्ण छेदक रेखा खंड और उसके बाहरी भाग की मापों के गुणनफल के बराबर होता है। इस संबंध को सूत्र MT² = MA × MB द्वारा व्यक्त किया जाता है, जहाँ MT स्पर्श रेखा है, MA छेदक रेखा का बाहरी खंड है, और MB छेदक रेखा की कुल लंबाई है।

दिया गया है कि MT = 12 सेमी और MA = 8 सेमी, इन मानों को सूत्र में प्रतिस्थापित करने पर 12² = 8 × MB प्राप्त होता है। इसे सरल करने पर 144 = 8 × MB प्राप्त होता है। दोनों पक्षों को 8 से विभाजित करने पर, हमें MB = 18 सेमी प्राप्त होता है। छेदक रेखा की कुल लंबाई MB, बाहरी खंड MA और जीवा AB का योग है, जिसे MB = MA + AB के रूप में दर्शाया जाता है। ज्ञात मानों को प्रतिस्थापित करने पर, हमें 18 = 8 + AB प्राप्त होता है, जिसके परिणामस्वरूप AB = 10 सेमी प्राप्त होता है।

व्याख्या

दिया गया है कि p = 7 + 4√3, इसके व्युत्क्रम 1/p की गणना (1)/(7 + 4√(3)) के रूप में की जाती है। संयुग्मी 7 - 4√3 से गुणा करके हर का परिमेयकरण करने पर 1/p = 7 - 4√3{49 - 48} = 7 - 4√3 प्राप्त होता है। इन दोनों मानों को जोड़ने पर, हमें p + ¹⁄ₚ = (7 + 4√3) + (7 - 4√3) = 14 प्राप्त होता है।

व्यंजक (p⁶ + p⁴ + p² + 1)/(p³) सरल होकर p³ + p + ¹⁄ₚ + (1)/(p³) हो जाता है, जिसे (p³ + (1)/(p³)) + (p + ¹⁄ₚ) के रूप में समूहीकृत किया जा सकता है। बीजगणितीय सर्वसमिका x³ + (1)/(x³) = (x + ¹⁄ₓ)³ - 3(x + ¹⁄ₓ) का उपयोग करते हुए, हम x + ¹⁄ₓ = 14 प्रतिस्थापित करते हैं:

p³ + (1)/(p³) = 14³ - 3(14) p³ + (1)/(p³) = 2744 - 42 = 2702

व्यंजक के दोनों भागों के परिणामों को जोड़ने पर: 2702 + 14 = 2716

व्याख्या

एक समबाहु त्रिभुज के क्षेत्रफल A को सूत्र A = h²/{√3} का उपयोग करके सीधे उसकी ऊंचाई h के पदों में व्यक्त किया जा सकता है। यह देखते हुए कि ऊंचाई h = 7√3 सेमी है, क्षेत्रफल ज्ञात करने के लिए हम इस मान को सूत्र में प्रतिस्थापित करते हैं:

A = (7√3)²/{√3} A = (49 × 3)/(√(3)) A = (147)/(√(3))

हर का परिमेयकरण करने के लिए, हम अंश और हर को √3 से गुणा करते हैं:

A = 147√3/{3} A = 49√3 सेमी²

वैकल्पिक रूप से, मानक ऊंचाई सूत्र h = √3{2} a का उपयोग करके, जहाँ a त्रिभुज की भुजा है, हमारे पास 7√3 = √3{2} a है, जिससे a = 14 सेमी प्राप्त होता है। क्षेत्रफल सूत्र A = √3{4} a² को लागू करने पर, हमें A = √3{4} × 14² = √3{4} × 196 = 49√3 सेमी² प्राप्त होता है।

व्याख्या

वृत्त के एक त्रिज्यखंड का क्षेत्रफल सूत्र A = (θ)/(360) × π r² का उपयोग करके ज्ञात किया जाता है, जहाँ θ केंद्र पर बना कोण है और r त्रिज्या है। दिए गए मानों θ = 90° और r = 10 को प्रतिस्थापित करने पर:

A = ⁹⁰⁄₃₆₀ × π × 10² A = ¼ × π × 100 A = 25π

मानक सन्निकटन π ≈ 3.14 का उपयोग करने पर:

A = 25 × 3.14 = 78.5

संख्यात्मक परिणाम 78.5 परिकलित क्षेत्रफल के संगत है।

व्याख्या

₹3,000 के अंकित मूल्य पर 15% और 15% की दो क्रमिक छूटों के बाद वस्तु के खरीद मूल्य की गणना क्रमिक छूट के सूत्र का उपयोग करके की जाती है: शुद्ध मूल्य (Net Price) = MP × (1 - d₁/100) × (1 - d₂/100) शुद्ध मूल्य = 3000 × (85/100) × (85/100) शुद्ध मूल्य = 3000 × 0.7225 = 2167.5

डीलर के लिए कुल क्रय मूल्य (CP) में खरीद मूल्य और परिवहन व्यय शामिल हैं: कुल CP = 2167.5 + 250 = 2417.5

20% के लाभ पर विक्रय मूल्य (SP) ज्ञात करने के लिए, हम कुल क्रय मूल्य पर लाभ प्रतिशत लागू करते हैं: SP = कुल CP × (1 + लाभ/100) SP = 2417.5 × (120/100) SP = 2417.5 × 1.2 = 2901

व्याख्या

इस कथन का कि 'A, B को 50 मीटर या 5 सेकंड से हराता है' अर्थ यह है कि B दौड़ के अंतिम 50 मीटर को ठीक 5 सेकंड में पूरा करता है। सूत्र चाल = (दूरी)/(समय) का उपयोग करते हुए, B की चाल (v_B) की गणना ⁵⁰⁄₅ = 10 मीटर/सेकंड के रूप में की जाती है।

B द्वारा 1000 मीटर की दौड़ पूरी करने में लिए गए समय को ज्ञात करने के लिए, हम समय = (दूरी)/(चाल) = ¹⁰⁰⁰⁄₁₀ = 100 सेकंड का उपयोग करते हैं। चूंकि A, B को 5 सेकंड से हराता है, इसलिए A दौड़ को 100 - 5 = 95 सेकंड में पूरा करता है। इसलिए A की चाल (v_A) ¹⁰⁰⁰⁄₉₅ = ²⁰⁰⁄₁₉ मीटर/सेकंड है।

A और B की चालों के बीच का अंतर v_A - v_B = ²⁰⁰⁄₁₉ - 10 है। समान हर (common denominator) लेने पर, यह सरल होकर (200 - 190)/(19) = ¹⁰⁄₁₉ मीटर/सेकंड हो जाता है।

व्याख्या

वस्तु A1 का क्रय मूल्य 350 है और वस्तु A4 का विक्रय मूल्य 550 है। A1 के क्रय मूल्य का A4 के विक्रय मूल्य से अनुपात ज्ञात करने के लिए, हम सूत्र का उपयोग करते हैं: अनुपात = (A1 का क्रय मूल्य)/(A4 का विक्रय मूल्य) अनुपात = ³⁵⁰⁄₅₅₀ अंश और हर दोनों को उनके महत्तम समापवर्तक (greatest common divisor), जो कि 50 है, से विभाजित करके भिन्न को सरल करने पर: अनुपात = (350 ÷ 50)/(550 ÷ 50) अनुपात = ⁷⁄₁₁ इस प्रकार, सरल अनुपात 7:11 है।

व्याख्या

लाभ या हानि का प्रतिशत निर्धारित करने के लिए, हम सबसे पहले वस्तुओं के क्रय मूल्य (CP) और विक्रय मूल्य (SP) के बीच संबंध स्थापित करते हैं। माना कि एक वस्तु का क्रय मूल्य C है और एक वस्तु का विक्रय मूल्य S है। प्रश्न में कहा गया है कि 28 वस्तुओं का विक्रय मूल्य 17 वस्तुओं के क्रय मूल्य के बराबर है, जिसे समीकरण 28S = 17C द्वारा दर्शाया गया है। इस समीकरण को पुनर्व्यवस्थित करने पर, हमें विक्रय मूल्य का क्रय मूल्य से अनुपात (S)/(C) = ¹⁷⁄₂₈ प्राप्त होता है।

चूंकि विक्रय मूल्य को 17 इकाइयों द्वारा और क्रय मूल्य को 28 इकाइयों द्वारा दर्शाया गया है, इसलिए विक्रय मूल्य क्रय मूल्य से कम है, जो हानि को दर्शाता है। हानि की मात्रा की गणना क्रय मूल्य से विक्रय मूल्य को घटाकर की जाती है: 28 - 17 = 11 इकाइयाँ। इसके बाद हानि प्रतिशत की गणना क्रय मूल्य के आधार पर सूत्र हानि % = (हानि)/(CP) × 100 का उपयोग करके की जाती है। सूत्र में मान रखने पर हानि % = ¹¹⁄₂₈ × 100 प्राप्त होता है। इस व्यंजक को सरल करने पर, हमें ¹¹⁰⁰⁄₂₈ = ²⁷⁵⁄₇ = 39 ²⁄₇ % प्राप्त होता है। इसके परिणामस्वरूप लगभग 39.29% की हानि होती है।